Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld 30 28. Isolatoren im elektrischen Feld 28.1. Die Verschiebungsdichte - Es existieren zwei Arten der Beziehung elektrisches Feld ↔ Ladung: a) Das Feld wird von Ladungen erzeugt. Die Ladungen sind Quellen/Senken des Feldes („Feldlinien kommen aus Ladungen heraus bzw. gehen hinein“). ! Die Quelldichte des Feldes wird durch die Divergenz charakterisiert: ρ ε = 0 1 E div r (25 - 20) dV dQ = ρ ... Ladungsdichte b) Das Feld übt auf Ladungen Kräfte aus: ! E Q F r r = (25 - 4) - In b) ist E r direkt enthalten, in a) mit der Proportionalitätskonstante ε 0 . Es ist zweckmäßig, eine weitere elektrische Feldgröße zu definieren, die in a) ohne Proportionalitätskonstante auskommt und dafür eine in b) hätte. Dies ist die sogenannte Verschiebungsdichte D r mit ρ = D div r (1) D r ist ein Vektorfeld wie E r , an jedem Punkt r r ist ) r ( D ~ ) r ( E r r r r Offenbar gilt (zumindest im Vakuum 1 ) E D 0 r r ε = (2) Kommentar: u Feldstärke und Verschiebungsdichte sind zwei Größen zur Beschreibung des elektrischen Feldes. Der Vorteil der neuen Größe wird erst beim Isolator im elektrischen Feld deutlich werden. 1 Mit elektrischen Feldern in Stoffen haben wir uns ja bisher nicht befasst. Das Problem „Leiter und elektrisches Feld“ (vgl. <27.>) bringt in dieser Hinsicht noch nichts, denn wir haben gesehen, dass in Leitern 0 E r r = ist.
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Elektrizitätslehre – Isolatoren im elektrischen Feld
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28. Isolatoren im elektrischen Feld
28.1. Die Verschiebungsdichte
− Es existieren zwei Arten der Beziehung elektrisches Feld ↔ Ladung:
a) Das Feld wird von Ladungen erzeugt. Die Ladungen sind Quellen/Senkendes Feldes („Feldlinien kommen aus Ladungen heraus bzw. gehen hinein“). !Die Quelldichte des Feldes wird durch die Divergenz charakterisiert:
ρ⋅ε
=0
1Edivr
(25 - 20)
dVdQ
=ρ ... Ladungsdichte
b) Das Feld übt auf Ladungen Kräfte aus: !EQFrr
⋅= (25 - 4)
− In b) ist Er
direkt enthalten, in a) mit der Proportionalitätskonstante ε0.
Es ist zweckmäßig, eine weitere elektrische Feldgröße zu definieren, die in a)ohne Proportionalitätskonstante auskommt und dafür eine in b) hätte.
Dies ist die sogenannte Verschiebungsdichte Dr
mit
ρ=Ddivr
(1)
Dr
ist ein Vektorfeld wie Er
, an jedem Punkt rr
ist
)r(D~)r(Errrr
Offenbar gilt (zumindest im Vakuum1)
ED 0
rr⋅ε= (2)
Kommentar: u
Feldstärke und Verschiebungsdichte sind zwei Größen zur Beschreibung deselektrischen Feldes. Der Vorteil der neuen Größe wird erst beim Isolator imelektrischen Feld deutlich werden.
1 Mit elektrischen Feldern in Stoffen haben wir uns ja bisher nicht befasst. Das Problem „Leiter und
elektrisches Feld“ (vgl. <27.>) bringt in dieser Hinsicht noch nichts, denn wir haben gesehen, dassin Leitern 0E
rr= ist.
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28.2. Einige grundlegende Experimente
a) Aufladen eines (z.B.) Bernsteinstabesdurch Reiben mit (z.B.) Katzenfell undHeranbringen von Holundermarkkü-gelchen in die Nähe des Stabes
· Bildung eines induzierten Dipolmomentes im Kügelchen· Anziehung des Dipols im inhomogenen Feld des Stabes (vgl. <25.4.>)
b) Aufstellen einer geerdeten Metallplattezwischen Stab und Kügelchen
· Ansammlung positiver Ladungen an der Metall-Oberfläche (Influenz)· der Raum hinter der Platte ist feldfrei; der Leiter schirmt das Feld ab· Es erfolgt keine Anziehung des Kügelchens mehr!
c) Aufstellen einer Isolatorplatte zwi-schen Stab und Kügelchen
· Das Kügelchen wir angezogen! ⇒ Das elektrische Feld greift durch denIsolator durch.
⇒ Ein Isolator wird auch als Dielektrikum bezeichnet1.
d) Isolator im Plattenkondensator
1.) Der Plattenkondensator wird leer (d.h. mit Luft zwischen den Platten) mit-tels einer äußeren Spannung aufgeladen. Es fließt die Ladung
Ud
AUCQ 0 ⋅
ε⋅=⋅= (27 - 9)
auf ihn. 1 dia... (in Zusammensetzungen) - hindurch (griech.)
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2.) Der Kondensator wird von der Spannungs-quelle getrennt
3.) Es wird ein Dielektrikum in den Zwischen-raum gebracht.
Die Spannung U verringert sich auf
εU
(ε > 1)
An der Ladungsbelegung der Platten (± Q) hat sich jedoch nichts geändert,denn bei Entfernen des Dielektrikums steigt U wieder auf den alten Wert!
− Die Definition der Kapazität C = Q / U lt. Gl. (27- 7) gilt allgemein. Wennalso U bei konstantem Q sinkt, muss sich C erhöht haben:
U →εU
ohne Dielektrikum(„Vakuum“)
C → C⋅ε
mit Dielektrikum
− Technische Kondensatoren haben ein Dielektrikum mit großem ε.
− Man benutzt die Änderung der Kondensatorkapazität, um die Materialkon-stante ε zu definieren: Die Dielektrizitätskonstante ε eines Materials ist dasVerhältnis der Kapazität eines Kondensators mit diesem Material im Zwi-schenraum bzw. ohne:
!
VakCC
=ε (3)
Aufgrund dieser Definition ist die Dielektrizitätskonstante dimensionslos.
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− Schlussfolgerung:Wenn der Kondensator erst nach dem Einschieben des Isolators von derSpannungsquelle getrennt wird, fließt eine größere Ladung auf die Platten:
Q → Q⋅εå æUCvak ⋅ UCUC Vak ⋅⋅ε=⋅
28.3. Interpretation der Ergebnisse
− Wenn in Experiment d) die Spannung sinkt, muss sich die elektrische Feldstärke redu-ziert haben, denn im homogenen Feld des Plattenkondensators gilt ja (vgl. <27.3.>)
dU
E =r
(4)
d ... Plattenabstand
Wegen Gl. (4) reduziert sich Er
genauso wie U.
Vakuum ... Er
→ E1 r
⋅ε
... mit Dielektrikum (ε)
− Die Feldstärke im Plattenkondensator ohne Dielektrikum („Vakuum“) beträgt lt.Gl. (27 - 8):
AQ1
E0
Vak ⋅ε
= (5)
â(= Flächenladungsdichte σ)
Mit Dielektrikum reduziert sich die Feldstärke E um ε1
:
AQ1
E0
Diel ⋅ε⋅ε
= (6)
− Wir erinnern uns, wie wir in<27.3.> VakE
r lt. Gl. (5) ermit-
telt hatten:
*A Fläche d. innerhalb ges,0*A Fläche geschl.
Q1
dAE ⋅ε
=⋅∫r
(25 - 10)
Dies muss natürlich auch jetzt noch gelten! Aber das Integral über A* mitQges = „Q auf der Kondensatorplatte“ hatte eben in <27.3.> das EVak lt. Gl. (5)ergeben und nicht EDiel lt. Gl. (6).
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⇒ Innerhalb von A* müssen weitere Ladungen sitzen, und zwar eine ent-gegengesetzte (hier: negative) Ladung QP (Polarisationsladung) aufder Oberfläche des Dielektrikums.
!
Diese reduzieren das Er
-Feld im Isolator, das von Q - QP bestimmt wird. !
− Beschreibung des (reduzierten) Er
-Feldes DielEr
im Innern des Dielektrikums:
Es ist gleichwertig, ob man
· von Q ausgeht und über ε1
reduziert gemäß Gl. (6), oder
· Gl. (5) nimmt (ohne ε1
), aber mit der effektiven Ladung Q - QP
AQQ1
AQ1
E P
00Diel
−⋅
ε=⋅
ε⋅ε= (7)
â âGl. (6) Gl. (5) mit effektiver Ladung
Umgeformt aus Gl. (7) erhält man:
Q1
Qp ⋅ε−ε
= (8)
− Wir definieren die dielektrische Polarisation Pr
:
AQ
P P=r
(9)
Die Richtung von Pr
geht von -QP nach +QP, also dem Er
-Feld parallel gerichtet. !
Man kann Pr
als Dipolmoment pro Volumen deuten. !
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Das Dipolmoment des polarisierten Die-lektrikums ergibt sich zu
PQdp ⋅=r
Dieses Dipolmoment geteilt durch dasVolumen liefert:
Gl. (11) ist die Verallgemeinerung von Gl. (2). Es gilt also:
Wenn ein Dielektrikum existiert, entsteht eine dielektrische Polarisation Pr
unddas elektrische Feld E
r reduziert sich zu DielE
r. Im Vakuum gibt es keine Polari-
sation und das elektrische Feld Er
ist entsprechend größer.!
⇒ Wir können allgemein schreiben:
DEP 0
rrr=⋅ε+ (12)
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Veranschaulichung:
Kommentar: u· P
r zeigt von - nach + (entsprechend der Definition des Dipolmomentes!).
· Er
muss mit ε0 „geeicht“ werden.· D
r „geht durch den Isolator hindurch“1, je nach ε ändert sich nur das Ver-
hältnis von Er
zu Pr
.
− Wichtig: Kräfte auf bzw. zwischen Ladungen hängen vom Er
-Feld ab, sie sinddaher in Dielektrika geschwächt.
Beispiel: Wasser nDie Wechselwirkung der Ionen in Wasser (ε = 81,1) ist nur 1/ε ≈ 1,2 % so groß wie wenndie Ionen den gleichen Abstand im Vakuum hätten. Dadurch wird die Dissoziation vonVerbindungen in Wasser sehr erleichtert, die thermische Energie reicht schon!
28.4. Mechanismen der dielektrischen Polarisation
= Frage danach, wie die Oberflächenladungen ±QP auf dem Dielektrikum zu Stan-de kommen können
Es gibt zwei Möglichkeiten der Entstehung, die beide unter dem Einfluss einesäußeren elektrischen Feldes stattfinden:
· Ausrichtung vorhandener (permanenter) Dipole, oder· Schaffung (Induzierung) von Dipolen
a) Induzierung von Dipolen (sogenannte Verschiebungspolarisation)
Es kommt zur Trennung der Ladungsschwerpunkte und Bildung eines Dipol-momentes p
r. !
⇒
1 Dies gilt streng nur für die Komponente senkrecht zur Oberfläche!
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einfache Modellvorstellung:
· das äußere elektrische Feld Er
übt eine Kraft aus
EQF ⋅=
· es existiert eine „elastische“ (lineare) Rückstellkraft
xkF ∆⋅−=
⇒k
EQx
⋅=∆
· die Auslenkung ∆x bringt ein Dipolmoment zustande
pp ≡r
Qx ⋅∆=
Ek
Q2
⋅=
p E⋅α= (13)α ... Polarisierbarkeit (Eigenschaft des Atoms)
· Die Polarisation Pr
war Dipolmoment pro Volumen, so dass mit der Teil-chenzahldichte n = N / V (Teilchen pro Volumen) aus Gl. (13) folgt
PEnpnrrr
=⋅α⋅=⋅ (14)å æ
Dipolmoment Polarisationeines Atoms
Vergleich von Gl. (14) mit Gl. (10) ergibt
α⋅=ε⋅−ε n)1( 0 (15)
Gl. (15) stellt eine Verknüpfung makroskopischer mit atomaren Größen dar!
Eine dielektrische Substanz haben wir uns etwa so vorzustellen:
Im Innern ist die Verschiebungs-polarisation nicht zu spüren („wasA nach links geht, geht B nachrechts“).
Was insgesamt bleibt, ist die Auf-ladung der Oberflächen (±QP)
!
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b) Ausrichtung vorhandener Dipole (sogenannte Orientierungspolarisation)
Manche Moleküle1 besitzen ein permanentes Dipolmoment, z.B. HF, HCl, oder H2O:
Im Allgemeinen sind die Dipolmomente infolge der Wärmebewegung regellosausgerichtet. !Durch ein äußeres elektri-sches Feld kann eine Aus-richtung erfolgen.
!
Kommentar: u
· Die thermische Bewegung wirkt der Ausrichtung entgegen. Eine einiger-maßen vollständige Ausrichtung ist nur bei großen Beträgen der elektri-schen Feldstärke bzw. bei kleinen Temperaturen zu erwarten.
!· Bei einem E
r-Wechselfeld kann es durch ständiges Umorientieren zu Rei-
bung und Wärmeentwicklung kommen (eher bei Flüssigkeiten, weniger beiGasen) ⇒ dielektrische Verluste.
Beispiel: Wasser im Mikrowellenherd n
Es kann auch passieren, dass bei hohen Frequenzen die Moleküle dem Feldinfolge ihrer Trägheit nicht so schnell folgen können.
28.5. Energiedichte des elektrischen Feldes im Dielektrikum
− Die Energiedichte des elektrischen Feldes war im Vakuum
20 E2V
Ww ⋅
ε== (27 - 18)
Mit D = ε0 � E gemäß Gl. (2) können wir schreiben
DE21
w ⋅⋅= (16)
In dieser Form gilt die Gleichung ganz allgemein, auch in Dielektrika. Wirmüssen nur für D die bereits bekannte Form verwenden:
ED 0 ⋅ε⋅ε= (11)
1 Solche Materialien werden als par(a)elektrisch bezeichnet.
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− Bei der Betrachtung der Energiedichte muss man sorgfältig die konkreten physikali-schen Bedingungen berücksichtigen, wie an folgenden Beispielen deutlich wird:
a) Wir erinnern uns an das Experiment, in dem der aufgeladene Kondensatorvon Spannungsquelle abgeklemmt war und ein Dielektrikum hinein- undherausgeschoben wurde. Dabei blieben die Ladungen auf den Platten unver-ändert (Q = const.), d.h. D = const.:
· Die Energiedichte mit Luft („Vakuum“) ist:
DE21
w Vak ⋅⋅=
· Mit Dielektrikum reduziert sich bei konstantem D die Feldstärke E auf
VakE1
⋅ε
Für die Energiedichte mit Dielektrikum folgt:
DE1
21
w Vak ⋅⋅ε
⋅=
⇒ Die Energiedichte w wird auf 1/ε reduziert, was einem Übergang in ei-nen energieärmeren Zustand entspricht.
b) Der Kondensator bleibt an Spannungsquelle angeschlossen. Auch hier sinktzunächst durch das Einschieben des Dielektrikums die Feldstärke Eauf ε-1 � EVak. Dann aber fließen solange Ladungen nach, bis Spannung undFeldstärke wieder den alten Wert erreicht haben.
⇒ E bleibt unverändert, aber D ist durch zusätzliche Ladungen auf das ε-fache
angestiegen, da das Verhältnis ED
lt. Gl. (11) auch hier wieder stimmen muss.
· Die Energiedichte mit Luft („Vakuum“) ist wiederum:
DE21
w Vak ⋅⋅=
· Für die Energiedichte mit Dielektrikum folgt:
DE21
w Vak ⋅⋅ε⋅=
⇒ Die Energiedichte w wird bei gleicher Ladespannung des Kondensatorsauf das ε-fache erhöht!
In technischen Kondensatoren werden Dielektrika mit großem ε ver-wendet. !
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− Schlussbemerkung:
Alle bisherigen Darlegungen gelten für den voll mit Dielektrikum erfüllten(Platten-)Kondensator. Wenn man beliebig geformte dielektrische Körper in ei-nen Kondensator hängt, kann es spezielle Effekte geben.
!
Plausibilitätserklärung:
dielektrischer Stab in einem Luft-kondensator:
Das Er
-Feld zwischen den Polari-sationsladungen wirkt voll E
r-Feld-
schwächend.
Das Er
-Feld zwischen den Polari-sationsladungen verläuft außer-halb und wirkt dem E
r-Feld im
Material praktisch nicht entgegen.
28.6. Piezoelektrizität und Elektrostriktion; Ferroelektrizität
− Bisher haben wir die Polarisation infolge eines äußeren elektrischen Feldes be-trachtet.
− Jedoch: Es existieren Festkörper, bei denen Polarisation durch elastische Ver-formung erzeugt werden kann (sogenannte Piezoelektrizität). !Paradebeispiel: Quarz (kristallines SiO2) n
({2}, S. 88)
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Kommentar: u· Ursache ist die sogenannte polare Achse im Kristall (in den Abbildungen
vertikal gezeichnet, d.h. X1-Achse)· Druck/Zug parallel zur polaren Achse bewirkt, dass positive (+) oder nega-
tive (-) Ladungen näher an die Oberfläche rücken als im Normalfall· Druck/Zug senkrecht zur polaren Achse bewirkt den analogen Effekt wegen
der Querkontraktion (vgl. <11.1.>)
− Umgekehrt führt das Anlegen einer äußeren Spannung an einen solchen Kristalldazu, dass sich dieser entsprechend verformt ⇒ Elektrostriktion !
Pll
iktionElektrostr
rizitätPiezoelekt r
← →∆
⇒ ∆U (Spannungsdifferenz zwi-schen den Oberflächen)
generell:
· ll∆ ist relativ klein (≤ 1 %)
· ∆U ist relativ groß (≈ kV)
Beispiel: n
Das Anlegen einer Wechselspannung entsprechender Frequenz bewirkt eine Schalle-mission des Quarzes.
− Vielfältige Anwendungen:
· piezoelektrischer Gasanzünder (Druck ⇒ Funken)
· piezoelektrisches Stellglied (elektrische Spannung ⇒ elastische Verfor-mung, die zum Verstellen im Sub-Å-Bereich genutzt wird; sehr definiert,ruck- und spielfrei) ⇒ Raster-Tunnel-Mikroskopie (STM) ermöglicht.
· elektromechanischer Schwinger („Schwingresonanz“)Der elektromechanische Schwinger ist das Analogon zum mechanischenSchwinger mit seinem Wechselspiel zwischen kinetischer und potentiellerEnergie (Ekin/Epot). Beim schwingenden Quarzkristall ist dies ebenso, abergleichzeitig kommt es dabei zu einem periodischen Umladen der Oberflä-che! So ist die Kopplung eines Schwingquarzes mit einem elektrischenSchwingkreis möglich. Maßgebend ist die mechanische Eigenfrequenz desQuarzes, analog der eines Perpendikels). Anwendung: Quarzuhr
− Ferroelektrizität: Manche Piezoelektrika haben auch im unverformten Zustandschon eine Polarisation, d.h. „aufgeladene Oberflächen“. !· formale Analogie zum Ferromagneten („ohne äußere Einwirkung bereits ...“)· Quarz ist streng genommen auch ein Ferroelektrikum, wird jedoch unter
realen Umweltbedingungen (adsorbierte Luftfeuchte) als solches nicht wirk-sam.
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Paradebeispiel: Bariumtitanat (BaTiO3) n
Ba2+, Ti4+, O2-; TC = 120 °C
Erklärung:„Für das relativ kleine Ti4+-Ion ist dieGitterlücke zu groß. Es kann nicht in derMitte schweben und lehnt sich an einesder 6 Sauerstoff-Ionen, das sich seiner-seits disloziert.“
!
({3}, S. 619)
Kommentar: u
· Eigentlich existieren 6 gleichwertige Möglichkeiten der Ortsverlagerung desTi-Ions. Dies führt aber nicht dazu, dass sich die verschiedenen Verlagerun-gen regellos mischen und makroskopisch nichts wahrgenommen wird, son-dern es besteht die Tendenz der Fortpflanzung der Polarisation über einengrößeren Bereich (ferroelektrische Domäne).
· Oberhalb einer bestimmten Temperatur TC (CURIE-Temperatur) geht dieOrdnung verloren.
