2.2 Optische Systeme und paraxiale Näherung - leibniz...

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Angewandte_Optik_2_2 12.05.2003 15

2.2 Optische Systeme und paraxiale Näherung Ein optisches System besteht aus einer Folge optischer Komponenten, wie Linsen, Spiegel, Prismen, Blenden usw. Seine Funktion lässt sich am besten durch Strahlrechnung analysieren. Dazu werden Strahlen durch die An-ordnung von Komponenten verfolgt, indem an den Oberflächen der Komponenten Reflexions- und Brechungsge-setze angewandt werden. In der paraxialen Näherung reicht die Berechnung von zwei geeignet gewählten Strah-len aus, um die wesentlichen Charakteristika eines Systems zu erfassen. Bei gut korrigierten Systemen weichen die durch paraxiale Näherung gefundenen Pupillen- und Bildlagen nur wenig von den tatsächlichen Positionen ab.

2.2.1 Kardinalpunkte

Ein gut korrigiertes, zentriertes System kann man als „black box“ mit Hilfe eines Satzes von sechs Kardinal-punkten auf der optischen Achse beschreiben. Diese sind

• erster und zweiter Brennpunkt (Fokus),

• erster und zweiter Hauptpunkt,

• erster und zweiter Knotenpunkt.

Sie sind wie folgt definiert

1. Ein vor Eintritt in das System achsenparalleler Strahl schneidet die optische Achse nach dem System im zweiten Brennpunkt.

2. Ein in umgekehrter Richtung das System durchlaufender, achsenparalleler Strahl schneidet die optische Achse vor dem System im ersten Brennpunkt.

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3. Setzt man einen in das System eintretender, achsenparallelen Strahl und den resultierenden, das System ver-lassenden Strahl vorwärts bzw. rückwärts fort, so schneiden sie sich in einem Punkt. Die Menge der Schnittpunkte für alle Achsenabstände der eintretenden Strahlen bilden die zweite Hauptebene. Der Schnittpunkt der zweiten Hauptebene mit der optischen Achse ist der zweite Hauptpunkt.

4. Analog ergibt sich für das System rückwärts durchlaufende Strahlen die erste Hauptebene bzw. der erste Hauptpunkt.

5. Ein auf den ersten Knotenpunkt gerichteter (i. a. schiefer) Strahl verlässt das System unter demselben Win-kel vom zweiten Knotenpunkt ausgehend.

Es gelten folgende Beziehungen:

• Für ein gut korrigiertes System sind die Hauptebenen sphärische Flächen. Für paraxiale Strahlen sind sie E-benen senkrecht zur optischen Achse durch die Hauptpunkte.

• Ist der Brechungsindex des Mediums auf beiden Seiten außerhalb des Systems gleich (z. B. Luft), dann sind die Knotenpunkte identisch mit den Hauptpunkten. Die Abstände zwischen Hauptpunkten und Brennpunkten vor und nach dem System sind gleich.

F1

F2

S1 H1 H2 S2

feff bf

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Wichtige Größen:

• Effektive Brennweite: Abstand zwischen Hauptpunkt und Fokalpunkt.

• Schnittweite des Brennpunkts (back focal distance): Abstand zwischen Scheitelpunkt und Fokalpunkt.

Für die Abbildung durch ein beliebiges optisches System gilt Gl. (1.7), wenn für f die effektive Brennweite und für Objekt- und Bilddistanzen t0 und t1 die Abstände zu den jeweiligen Hauptpunkten eingesetzt wird. Bezeich-nen x0 und x1 die Abstände zwischen Objekt bzw. Bild und den jeweiligen Foci, so gilt die Newton’sche Abbil-dungsgleichung

x x f0 12= − (1.8)

2.2.2 Brechung eines Strahls an einer sphärischen Oberfläche

Optische Systeme werden im Allgemeinen aus Komponenten konstruiert, bei denen sphärische Flächen Gebiete mit unterschiedlichen Brechungsindices n und n’ voneinander trennen. Ein Strahl wird an einer solchen Fläche gebrochen bzw. reflektiert. Beliebig einfallende Strahlen können daher durch eine solche Fläche mit etwas Tri-gonometrie verfolgt werden. Bildet ein Strahl in der yz - Ebene den Winkel U gegen die optische Achse und schneidet der ungebrochene Strahl die optische Achse in einem Abstand L vom Scheitelpunkt der sphärischen Fläche, so lassen sich der Winkel U’ und die Schnittweite L’ des gebrochenen Strahls berechnen. Damit ist der gebrochene Strahl vollständig charakterisiert.

Die Fläche habe den Krümmungsradius r. Der Strahl bilde die Winkel I und I’ mit dem Lot auf die Fläche am Auftreffpunkt Q. Wir beachten zusätzlich zu den oben genannten noch die folgende Vorzeichenregel:

8. Einfalls- und Ausfallswinkel I und I’ werden von der Normalen zur Fläche am Ort des Strahleintritts entge-

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gengesetzt zum Uhrzeigersinn positiv gerechnet.

Dann gelten die folgenden Beziehungen:

CA L r U= − −( )sin sowie sin ICAr

= .

CA L r U′ = − ′− ′( )sin sowie sin ′ =′

ICA

r .

Aus dem Brechungsgesetz folgt sin sin′ =Inn

I0

1 .

Damit gilt CAnn

CA′ = 0

1 .

Des weiteren sieht man durch den Vergleich der Dreiecke PQC und P’QC, dass gilt

− + = − ′+ ′U I U I .

Durch Kombinieren dieser Beziehungen ergibt sich UU

rLnn

rUAC

rL′

−+=′

′−=′

sinsin

)(sin 1

0

Die genaue Berechnung des allgemeinen Falls erfordert die Berechnung von trigonometrischen Funktionen und ihrer Inversen, um die Winkel I und I’ zu bestimmen. Diese Berechnung kann man in der paraxialen Näherung

A’

U U’ CL’

r

A

P’ P

I

I’

L

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umgehen.

2.2.3 Paraxiale Strahlenrechnung einer Fläche

Das Problem der Brechung eines Strahls an einer sphärischen Fläche lässt sich mit der paraxialen Näherung be-sonders einfach behandeln. Dazu betrachtet man einen infinitesimal dünnen „Schlauch“ um die optische Achse, für welchen alle Winkel - Einfalls- und Ausfallswinkel sowie die Winkel von Strahlen gegen die optische Achse - klein sind. Damit werden die Winkelfunktionen Sinus und Tangens gleich ihrem Argument im Bogenmaß. Die Fläche wird zu einer Ebene senkrecht zur optischen Achse. Im Gegensatz zum allgemeinen Fall beschreibt man paraxiale Größen konventionell mit Kleinbuchstaben, also i, u, l, etc. Die oben beschriebenen Beziehungen wer-den so zu

( )CA l r u i

CAr

inn

i

u u i i CAnn

CA l rCAu

= − − = ′ =′

′ = − + ′ ′ =′

′ = − ′′

Hieraus ergibt sich eine einfache Beziehung für den Schnitt-punkt des gebrochenen Strahls mit der optischen Achse,

( )′ = ′

′ − +l

l n rn n l nr

.

Durch Umformen erhält man

′′

=′ −

+nl

n nr

nl

.

n n’ r

u u’

y y’

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Man beachte, dass l’ unabhängig ist von u und u’. Die Größe

( )Φ =′ −

= ′ − =n n

rn n c c

r mit

1 (1.11)

heißt Brechkraft der Fläche. Die Krümmung c führt man ein, um plane Flächen darstellen zu können, für die c = 0 gilt, die Radien aber unendlich werden.

2.2.4 Paraxiale Strahlenrechnung mehrerer Flächen

Ein optisches System kann man sich vereinfacht als eine Abfolge optisch wirksamer sphärischer Flächen denken, welche Gebiete unterschiedlichen Brechungsindices voneinander trennen. Ein beliebiger paraxialer Strahl kann durch das System durch Strahlrechnung verfolgt werden. Spezielle Flächen sind Objekt- und Bildebenen, d. h. die Fläche vor dem System, von welcher aus Strahlen ausgehen, und die Fläche nach dem System in welcher ihre Position untersucht wird. Ein Strahl wird von einer Fläche zur nächsten transferiert. Danach wird die Brechung (bzw. Reflexion) anhand der im vorigen Abschnitt entwickelten Gleichung berechnet. Der gebrochene Strahl wird zur nächsten Fläche transferiert usw.

Es erweist sich als vorteilhaft, die Schnittpunkte der Strahlen mit der optischen Achse zu ersetzen durch fiktive Strahlhöhen y an den Orten der Scheitelpunkte der Flächen. dazu löst man die paraxialen Beziehungen

y lu l u= − = − ′ ′ (1.12)

nach l bzw. l’ auf und erhält für eine gegebene Fläche aus (1.10)

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( ) ( )′ ′= − ′ − + → ′ ′ = − ′ −

n uy

n n cnuy

n u nu n n y c . (1.13)

Aus dem Winkel u’ des gebrochenen Strahls mit der Achse, der Strahlhöhe y und dem Abstand t zum Scheitel-punkt der nächsten Fläche lässt sich die Strahlhöhe y* am Ort der nächsten Fläche berechnen mit

y y t u y tn un

* = + ′ = +′ ′′

. (1.14)

Man beachte, dass die Winkel u und u’ in den Gleichungen (1.13) und (1.14) immer als Produkt mit dem Bre-chungsindex des jeweiligen Mediums auftreten. Die Größen y und nu bestimmen vollständig den Strahl. Man be-zeichnet daher (1.13) und 1.14) als die Gleichungen der y-nu - Strahlenrechnung.

Zur Beschreibung von Systemen mit mehreren Flächen indiziert man diese der Reihe nach, die Objektebene hat dabei den Index 0. Das System ist also beschrieben durch die Angabe von

• dem Abständen ti zwischen der i-ten und der (i+1)-ten Fläche,

• dem Brechungsindex ni des der Fläche folgenden Mediums,

• der Krümmung ci bzw. dem Krümmungsradius ri.

Für eine gegebene Fläche gelten ungestrichene Größen unmittelbar vor dem Durchgang durch die Fläche (Re-fraktion oder Reflexion), gestrichene Größen unmittelbar danach.

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ti

ri ri+1

u’i-1 = u i

u’i = u i+1

u’i+1 yi = y’ i

yi+1 = y’ i+1

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Hieraus ergibt sich ein Satz von Refraktions- und Translationsgleichungen. Ersterer wandelt von ungestriche-nen zu gestrichenen Größen um, der zweite propagiert den Index i um eins.

( )n u n u n n y c

y yi i i i i i i i

i i

′ = − −

′ =− −1 1 (Refraktionsgleichungen) (1.15)

n u n u

y y tn

n u

i i i i

i ii

ii i

+

+

= ′

= ′ + ′

1

1 (Translationsgleichungen) (1.16)

Man beachte, dass gemäß der Vorzeichenregeln für Spiegelflächen gilt n ni i= − −1. Damit wird der erste Teil der Refraktionsgleichungen zu

− ′ = + → ′ = − −− − −n u n u n c u u ci i i i i i i i i1 1 12 2 (1.17)

Unter Umständen ist in Gl. (1.16) die Strahlhöhe yi+1 an der (i+1)-ten Fläche vorgegeben, und ihr Abstand ti zur i-ten Fläche soll ermittelt werden (Höhenlösung, height solve). Dann werden die Translationsgleichungen zu

ni-1 ni ni+1

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( )n u n u

tn y y

n u

i i i i

ii i i

i i

+

+

= ′

=′ −

′

1

1 (Translationsgleichungen) (1.16a)

Ähnlich kann man den Winkel ′ = +u ui i 1 vorgeben und daraus bei gegebenen Brechungsindices die Krümmung der Fläche aus Gl. (1.15) berechnen (Winkellösung, angle solve).

Die Gleichungen (1.15) und (1.16) eignen sich sehr gut für schematisierte Rechnungen und Tabellenkalkulation. Dazu bestimmt man die vorab für jede Fläche die Hilfsgrößen −Φ und die reduzierten Schnittweiten t ni i und kann die Strahlrechnung für beliebige Werte von y0 und n0u0 durchführen.

2.2.5 ABCD - Matrixrechnung

Die Gleichungen (1.15) und (1.16) lassen sich bequem in Matrixschreibweise formulieren. Dazu fasst man Strah-lenhöhe und -winkel in einen Strahlenvektor zusammen. Dieser sei unmittelbar hinter der i-ten Fläche gegeben mit

′ =′

S

yn ui

i

i i. (1.18)

Die Translationsmatrix zur Fläche i+1 ist gegeben mit

Tii it n

=

10 1

. (1.19)

Damit ist der Strahlenvektor unmittelbar vor der i+1-ten Fläche ist dann

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S Si i i+ = ′1 T . (1.20)

Den Übergang unmittelbar vor zu unmittelbar hinter einer Fläche bewirkt die Refraktionsmatrix

Φ−

=101

iiR (1.21)

gemäß

′ =S Si i iR (1.22)

Sei der Strahlenvektor S1 unmittelbar vor der ersten Fläche des Systems gegeben. Dann erhalten wir den Strah-lenvektor S’k unmittelbar nach der k-ten Fläche vermöge

′ = =−S S Sk k k kR T T R M1 1 1 1 1 1L . (1.23)

Die Transfermatrix Mk1 ergibt sich aus der Multiplikation der Translations- und Refraktionsmatrizen der ersten k Flächen. Gemäß (1.19) und (1.20) hängen ihre Komponenten A, B, C, und D (Gauss'sche Konstanten), definiert mit

M R T T Rk k kk k

k k

A BC D1 1 1 1

1 1

1 1= =

− L (1.24)

nur von der Konfiguration des optischen System ab. Die Gauss’schen Konstanten durch die Rechnung zweier li-near unabhängiger Strahlvektoren ermitteln. Mit

S S S Ska

ka

kb

kb= =M M1 1 1 1, (1.25)

ergibt sich

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( ) ( )

( ) ( )A L n y u y u B L y y y y

C L n n u u u u D L n y u y u

k ab kb a

ka b

k ab ka b a

kb

k ab k kb a

ka b

k ab kb

ka a

kb

11

0 0 0 11

1 1

11

0 0 0 11

1 1

= − = −

= ′ − ′ = ′ − ′

− −

− − (1.26)

wobei ( )L n y u y uabb

ka a

kb= ′ − ′0 1 1 die Helmholtz-Lagrange - Invariante ist. Die Lagen von Objekt und Bild er-

geben sich aus Translationsmatrizen T0 und Tk+1.

Die Determinanten der Matrizen R und T sind gleich 1, damit ist die Determinante von M immer gleich 1 und Lab ist eine Erhaltungsgröße des optischen Systems. Mit dem Umstand, dass M durch zwei unabhängige Strahlen vollständig bestimmt ist, ergibt sich, dass sich jeder beliebige paraxiale Strahl aus der Berechnung zweier unab-hängiger paraxialer Strahlen ergibt.

2.2.6 Pupillen und Luken

Reale, zentrierte optische Systeme haben eine endliche Ausdehnung ihrer Komponenten. Lichtbündel sind daher auf verschiedene Weisen begrenzt. Blickt man durch das System von der Objekt- oder Bildseite längs der opti-schen Achse, so erkennt man genau ein Element (z. B. die Fassung einer Linse, häufig eine dedizierte Blende), welches das achsnahe Bündel begrenzt. Dieses Element heißt Aperturblende. Sie bestimmt die Lichtstärke des optischen Systems.

Das - u. U. virtuelle - Bild der Aperturblende in den objektseitigen Raum heißt Eintrittspupille des Systems, das Bild der Aperturblende in den bildseitigen Raum heißt Austrittspupille. So wie das optische System die Objekt-ebene in die Bildebene abbildet, bildet sie die Eintrittspupille auf die Austrittspupille ab.

Bündel außerhalb der optischen Achse werden i. a. nicht mehr von einem Element allein beschränkt, die Bündel mit zunehmendem Feldwinkel mehr und mehr abgeschattet (Vignettierung). Systeme können so konstruiert sein, dass sie eine Gesichtsfeldblende beinhalten, welche den Feldwinkel scharf begrenzen. Die objekt- bzw. bildseiti-

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gen Bilder der Gesichtsfeldblende heißen Eintritts- bzw. Austrittsluken.

Man berechnet zwei Strahlen durch ein System. Der eine Strahl beginnt in der Objektebene auf der optischen Achse (y0 = 0) und geht durch den Rand der Eintrittspupille (axialer Strahl oder Marginalstrahl). Die Lage der Schnittstellen mit der optischen Achse kennzeichnet Zwischenabbildungen der Objektebene. Der zweite Strahl beginnt am Rande des Gesichtsfeldes in der Objektebene (y0 = h) und geht durch den Vertex der Eintrittspupille. Dies ist der Hauptstrahl. Seine Schnittpunkte mit der optischen Achse kennzeichnen die Lagen von Pupillen.

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Pupillen in einem optischen System.

Eintrittspupille Aperturblende

(virtuelle) Aus-trittspupille

Zwischenbild

Hauptstrahl Marginalstrahl

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2.2.7 Die einfache Linse

Wir betrachten eine einfache Linse, d. h. ein aus einem Material mit Brechungsindex n > 1 bestehendes Element, welches von zwei Sphären mit Radien R1 und R2 bzw. Krümmungen c1, c2 begrenzt wird. Die optische Achse verbindet die beiden Mittelpunkte. Die Scheitelpunkte haben einen Abstand t. Der Einfachheit halber wird der Brechungsindex von der umgebenden Luft gleich 1 gesetzt. Aus diesen Größen bestimmen wir die Lage der Kar-dinalpunkte.

Die effektive Brennweite eines beliebigen optischen Systems bestimmen wir definitionsgemäß (siehe Abschnitt 2.2.1) durch Rechnung eines eingehenden achsenparallelen Strahls mit einer Höhe y1 und Ermittlung seines Schnittwinkels u’k nach der letzten (k-ten) Fläche:

fy

ueffk

=−

′1 . (1.27)

Die Schnittweite des Brennpunkts zur letzten Fläche ergibt sich aus

sy

ukk

k=

−′

. (1.28)

Bei der Linse ergibt sich für die erste Fläche:

( ) ( )nu u n y c n y c′ = ⋅ − − = − −1 1 1 1 1 11 1 0 1

Daraus ergibt sich die Strahlhöhe y2 an der 2. Fläche:

( ) ( )

−

−=−

−=′

+= 1111

11

121

11

ctn

ny

ncyn

tynun

tyy

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t

1 1 n

y1 y2

u’1

u’2

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Der Winkel des Strahls nach der 2. Fläche wird dann:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 11

1

11

2 1 2 2

1 1 1 1 2

1 1 2 1 2

⋅ ′ = ′ − −

= − − − −−

−

= − − − +−

u n u y n c

n y c yn

nt c n c

y n c c t c cn

n

Die Brechkraft Φ der Linse erhalten wir aus dem Kehrwert von (1.27):

( ) ( )

( ) ( )

Φ = = − ′ = − − +−

= − − +−

11

1

11 1 1

2

11 2 1 2

1 2 1 2

fuy

n c c t c cn

n

nr r

tnn r r

eff (1.29)

Analog ergibt sich die Fokalschnittweite aus (1.28) zu:

( )

sy

uf

f t n

n reffeff

22

2 1

1=

−′

= −−

(1.30)

Aus der Position des Brennpunktes erhält man durch Subtraktion von feff die Lage des zweiten Hauptpunktes, aus der Fokalschnittweite den Scheitelpunkt der 2. Fläche. Somit sind Lagen der 2. Kardinalpunkte bekannt. Die La-ge der 1. Kardinalpunkte erhält man durch Vertauschen der Indices 1 und 2 in (1.27) bis (1.30).

Bei einer dünnen Linse kann man den dritten Term in der eckigen Klammer von (1.29) vernachlässigen, bzw.

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den Abstand t = 0 setzen.. Dann ergibt sich die Linsenmachergleichung:

( )Φ = = − −

11

1 1

1 2fn

r reff (1.31)

Lagen von Haupt- und Fokalpunkten bei einfachen Linsen:

Diagramm 1. Radius r1 2. Radius r2 Bezeichnung

> 0 < 0 bikonvex

< 0 > 0 bikonkav

> 0 = ∞ plankonvex

< 0 = ∞ plankonkav

> 0 > r1 positiver Meniskus

< 0 < r1 negativer Meniskus

F2 F2 F1 F1 H1 H1 H2 H2

F2 F2 F1 F1 H1 H1 H2 H2

F2 F2 F1 F1 H1 H1 H2 H2

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2.2.8 Spiegelsysteme

Aus der Vorzeichenregel 6 und den Refraktionsgleichungen (1.13) und (1.15) gilt für einen Spiegel der Krüm-mung c, dass der Brechungsindex vom Betrag her gleich bleibt, aber sein Vorzeichen umkehrt. Für einen sich in Luft befindlichen Spiegel als i-te Fläche gilt daher n n ni i i− −= = − = −1 11 1, . Rechnet man einen achsenparalle-len Strahl für einen einfachen Spiegel, so erhält man

( )

( )

n u

n u n u y n n c

y c

y c

0 0

1 1 0 0 0 1 0

0

0

0

0 1 1

2

=

= − −

= − − −

=

Damit wird

u y c! = − 2 1

und die Höhenlösung für den Schnittpunkt mit der opti-schen Achse ergibt die Position des Brennpunkts mit

tyu

yy c c

r1

1

1

1

1212 2

= − = = = .

R

R/2

R/2

R

f > 0

f < 0

u0

u0

u1

u1

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Ein Beispiel eines Spiegelsystems ist das Cassegrain-Teleskop. Es besteht aus zwei Spiegeln, von denen der erste konkav und der zweite konvex ist. In der Tabelle ist für ein numerisches Beispiel die Berechnung des Marginal-strahls für ein unendlich weit entferntes Objekt angegeben.

Medium 0 Fläche 1 Medium 1 Fläche 2 Medium 2

Krümmung c -1/200 -1/50

Abstand t ∞ -80

Brechungsindex n +1 -1 +1

Strahlhöhe y 1.0 0.2

Strahlwinkel nu 0 -0.01 -0.002

F1 F2 F’2

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2.2.9 Systeme aus mehreren Komponenten

Es ist manchmal einfacher, ein System durch die Brechkräfte und Abstände seiner Komponenten zu beschreiben, als Strahlrechnungen von Fläche zu Fläche durchzuführen. Man repräsentiert eine Komponente durch die Lage seiner Hauptebenen. Diese sind Flächen mit Einheitsvergrößerung, d. h. der eintretende und austretende Strahl treffen die Hauptebenen in derselben Höhe y. Für einen axialen Strahl mit Abstand s zwischen erster Hauptebene und Schnittpunkt des Strahls mit der Achse gilt:

uys

uy

s=

−′ =

−′

, (1.32)

Aus der Gleichung (1.7) ergibt sich

1 1 1s s feff

+′

= (1.33)

Aus (1.32) und (1.33) erhalten wir

′ = − = −u uy

fu y

effeffΦ (1.34)

als Refraktionsgleichung des Systems. Eine Translati-onsgleichung zum nächsten System ergibt sich

y y t u2 1 12 1= + ′ (1.35)

wobei der untere Index das erste und zweite System kennzeichnen, und t12 der Abstand zwischen den Haupt-ebenen ist.

s s’

u u’ y y’

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Wir betrachten den spezifischen Fall zweier Linsen mit Brechkräften Φ1 und Φ2 im Abstand t12. Zunächst rech-nen wir einen Strahl, der parallel zur optischen Achse in der Höhe y1 einfällt

( )( )

( )2112211

21121112

1121111212

111

1

11

0

0

ΦΦ−Φ+Φ−=ΦΦ−−Φ−=′

Φ−=Φ−=Φ−=′

=

tytyyu

tyytyyyu

u

(1.36)

Die Brechkraft des kombinierten Systems ergibt sich mit (1.27) zu

Φ

Φ Φ Φ Φ

12

2

1

1 2 12 1 2

1 2

12

1 2

1

1 1

=

=− ′

= + −

= + −

f

uy

t

f ftf f

eff

. (1.37)

Die effektive Brennweite des Systems ergibt sich dann mit

ff f

f f teff =+ −

1 2

1 2 12 . (1.38)

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Die Schnittweite des gemeinsamen Brennpunkts t2 ergibt sich aus (1.30) mit

( )

( )( )

ty

u

y ty t

f f tf f t

22

2

1 12 1

1 1 2 12 1 2

2 1 12

1 2 12

1

= −′

=−

+ −

=−

+ −

ΦΦ Φ Φ Φ

(1.39)

Sind die effektive Brennweite, Abstand der Komponenten und Fokalschnittweite gegeben, so lassen sich die Brennweiten der einzelnen Komponenten berechnen mit

ft f

f t

f t tf t t

eff

eff

eff

112

2

212 2

2 12

=−

= −− −

(1.40)

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2.2.10 Chromatische Aberration

Die Chromatische Aberration ergibt sich aus der Dispersion des Materials optischer Komponenten. Da der Bre-chungsindex mit der Wellenlänge variiert, ändert sich auch die Brechkraft von Linsen. Die Brennweiten gelten daher nur für eine Wellenlänge. Diesen sich bei breiten Spektralbereichen störend auswirkenden Effekt nennt man chromatische Aberration.

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für die paraxiale Rechnung eines achsenparallelen Strahls durch eine Singlett-Linse bei den drei Fraunhofer-Linien C, d, und F mittels eines Tabellenkalkulationsprogramms. Die Lin-se besteht aus zwei Flächen mit Krümmungsradien von 40 mm und -120 mm im Abstand von 4 mm. Der Ab-stand zur Bildebene „3“ ist bei der d-Linie exakt berechnet durch Höhenlösung. Die Bildhöhen bei den anderen Wellenlängen verschwinden nicht. Die grau unterlegten Flächen sind berechnet.

Aus den Strahlhöhen lässt sich absehen, dass die blaue F-Linie ihren Fokus innerhalb, und die C-Linie außerhalb der d-Linie hat. Dieser Fehler heißt Farblängsfehler. Man nennt den Abstand zwischen den Schnittpunkten der Strahlen bei C und F die longitudinale axiale chromatische Aberration:

L t tch N F N C= −, , (1.41)

Die Differenz der Strahlhöhen der C- und F-Linien in der Fokalebene der d-Linie heißt die transversale axiale chromatische Aberration:

T y ych N F N C= −+ +1 1, , (1.42)

Gehen die Strahlen von einem Punkt außerhalb der Achse aus, so führen die unterschiedlichen effektiven Brenn-weiten zu unterschiedlichen Vergrößerungen, das Bild bekommt einen farbigen Saum. Dieser Effekt heißt Farb-vergrößerungsfehler (lateral chromatic aberration).

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Fläche "0" "0-1" "1" "1-2" "2" "2-3" "3"t 10000000 4 56,5311nC 1,00000 1,51461 1,00000nd 1,00000 1,51700 1,00000nF 1,00000 1,52262 1,00000r 40,0 -120,0c 0,02500 -0,00833yC 1,00000 1,00000 0,96602 0,00454yd 1,00000 1,00000 0,96592 0yF 1,00000 1,00000 0,96568 -0,01068nuC 0,00000 -0,01287 -0,01701nud 0,00000 -0,01293 -0,01709nuF 0,00000 -0,01307 -0,01727

feff C 58,796 t2 C 56,7983feff d 58,526 t2 F 56,5311feff F 57,900 t2 d 55,9126

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Der Farbvergrößerungsfehler lässt sich durch die Differenz der Brennweiten der Linse bei den Wellenlängen der F- und C- Linien darstellen. Für eine dünne Linse nach Gl. (1.31) ergibt sich

( )( )

fn

r rr r

f fn n

n nr r

r r

C FC F

F CF C

F C

,,

=−

⋅−

− =−

− −

⋅

−

11

1 1

1 2

2 1

1 2

2 1

. (1.43)

Man kann das Produkt im Nenner der ersten Klammer genähert ersetzen durch den Brechungsindex bei der d- Linie

( )( ) ( )n n nF C d− − ≈ −1 1 1 2

und erhält mit der Definition der Abbé-Zahl in Gl. (1.4):

( )f f

n nn n

r rr r

fV

F CF C

d d

d

− =−−

⋅

−⋅

−

=

11

11 2

2 1 (1.44)

Die reziproke Abbé-Zahl gibt daher die Größe des Farbvergrößerungsfehlers an.

Analog gilt für die Brechkraft

∆Φ Φ ΦΦ

= − =F Cd

V (1.45)

ANGEWANDTE OPTIK


2.2.11 Achromatische Linsen

Eine achromatische Linse besteht aus zwei Komponenten A und B im Kontakt, deren Brechkräfte und Dispersio-nen so kombiniert sind, dass die effektive Brennweite für zwei gewählte Wellenlängen gleich ist. Aus der Kom-binationsgleichung (1.37) erhalten wir für tAB = 0 und aus (1.45) folgende Bedingungen

Φ Φ Φ

∆Φ ∆Φeff A B

A B

= +

+ = 0 , (1.46)

wenn die effektive Brennweite bei den F- und C- Linien gleich sein soll. Aus der Kombination von (1.45) und (1.46) erhält man

Φ Φd A

A

d B

B

A A B B

V Vf V f V

, ,+ =

+ =

0

0 (1.47)

Da die Abbé-Zahlen immer positiv sind, folgt, dass die Brennweiten unterschiedliche Vorzeichen haben müssen, Eine Komponente ist daher eine Linse mit positiver, die andere mit negativer Brechkraft, deren Absolutwerte beide größer als der Absolutbetrag der gemeinsamen Brechkraft sein muss.

Bei gegebener Gesamtbrechkraft ergeben sich die Brechkräfte der Komponenten in Abhängigkeit von den Abbé-Zahlen mit

Φ Φ Φ ΦA effA

A BB eff

B

B A

VV V

VV V

=−

=−

, . (1.48)

ANGEWANDTE OPTIK


Als praktisches Beispiel versuchen wir, die Linse in Abschnitt 2.2.10 (fd = 58.526mm) achromatisch bei den C- und F- Linien zu machen. Um die einzelnen Brechkräfte vom Betrag nicht zu groß werden zu lassen, sollte man den Betrag von VA - VB möglichst groß wählen. Für die Kombination Kronglas K5 (522595) und Flintglas F5 (603380) ist VA - VB = 21.5. Hieraus ergeben sich die Brennweiten der Komponenten zu

fA = 21.148 mm,

fB = -33.113 mm.

Um die Linse konstruieren zu können, muss man die einzelnen Flächen angeben können. Dazu wenden wir fol-gende Konstruktionsprinzipien an:

1? die erste Linse mit einer Brennweite von 21.148 mm sei eine symmetrische Bikonvexlinse (c2 = -c1),

2? die Komponenten werden verkittet, dadurch hat die erste Fläche der zweiten Linse denselben Radius wir die zweite Fläche der ersten Linse (c3 = c2),

3? die Dicken der Komponenten werden vorläufig auf 5 bzw. 3 mm festgelegt.

Wir erhalten damit

21

0 09059 22 081 1 2cn

r rA

d A=

−= → = − =

Φ

,. . mm , und

c cn

c rB

d B3 4 4 41

0 05 0 000476 21013− =−

= − → = → =Φ

,. . . mm

Die folgende Tabelle zeigt die zugehörige paraxiale Strahlenrechnung bei den drei Wellenlängen.

ANGEWANDTE OPTIK


Objekt 1. Fläche 2. Fläche 3. Fläche Bildt 10000000 5 3 49,840nC 1,00000 1,51982 1,59874 1,00000nd 1,00000 1,52249 1,60342 1,00000nF 1,00000 1,52860 1,61461 1,00000r 22,1 -22,1 210,1c 0,04529 -0,04529 0,00476yC 1,00000 1,00000 0,92255 0,88456 0,00116yd 1,00000 1,00000 0,92229 0,88434 0yF 1,00000 1,00000 0,92169 0,88388 -0,00151nuC 0,00000 -0,02354 -0,02025 -0,01772nud 0,00000 -0,02366 -0,02028 -0,01774nuF 0,00000 -0,02394 -0,02035 -0,01776

feff C 56,418 t2 C 49,905feff d 56,359 t2 F 49,840feff F 56,292 t2 d 49,755

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