2.1M

Klassische Mechanik

Prof. Dr. Gunter Mahlerubertragen von Thomas Muller

Wintersemester 2003/2004

Version 09.2004

2

Inhaltsverzeichnis

I Einfuhrung 7

II Newton’sche Mechanik 9II.1 Raum-Zeit-Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.1.A Spezielle Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 11II.1.B Allgemeine Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 12II.1.C Galilei-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II.2 Mechanische Punktsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.2.A Ein-Teilchen-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.2.B N-Teilchen-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.2.C Exkurs: Zum Begriff der tragen Masse . . . . . . . . . . . 16II.2.D Mechanische Punktsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.2.E System und Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.3 Abgeschlossene Systeme: Galilei-Invarianz . . . . . . . . . . . . . 19II.3.A Interpretation der Galilei-Transformation . . . . . . . . . . 20II.3.B Transformationsverhalten von Observablen . . . . . . . . . 20II.3.C Galilei-Invarianz der Newton’schen Bewegungsgleichungen 23

II.4 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.4.A Impulsbilanz: Ai = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.4.B Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.4.C Drehimpulsbilanz: Ai ≡ ri × . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II.5 Bewegung im homogenen Kraftfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.5.A Schrager Wurf: Bahn im Konfigurationsraum . . . . . . . . 29II.5.B Senkrechter Wurf: Phasenraum-Portrat . . . . . . . . . . . 31

II.6 Bewegung im linearen Zentralfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.6.A Spezielle Zentralfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.6.B Bewegungsgleichung fur n = −2: harmonischer Oszillator . 33II.6.C Allgemeine Eigenschaften fur lineare homogene Differenzi-

algleichung der Ordnung n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.6.D Losung durch Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.6.E Isotroper Harmonischer Oszillator (zweidimensional) . . . 35II.6.F Anisotroper harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . 35

II.7 Bewegung unter dem Einfluss von Reibung . . . . . . . . . . . . . 36

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

II.7.A Senkrechter Wurf mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.7.B Erzwungener gedampfter linearer harmonischer Oszillator . 37

II.8 Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42II.8.A Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II.9 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50II.9.A Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50II.9.B Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IIIMehrteilchensysteme 53III.1 Abgeschlossenes Zweiteilchensystem: Entkopplung . . . . . . . . . 53III.2 Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III.2.A Erhaltungssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.2.B Bahnkurve in Polarkoordinaten (Konfigurationsraum) . . . 57III.2.C Transformation auf kartesische Koordinaten . . . . . . . . 59III.2.D Kepler’sche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III.2.E Bertrand-Theorem (1873) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63III.2.F Lenz’scher Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III.3 Streuung im Zentralfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.3.A Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.3.B Berechnung von ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III.3.C Rucktransformation auf die Teilchen-Koordinaten . . . . . 69III.3.D Offenes Zweiteilchensystem: Inelastischer Stoß . . . . . . . 72III.3.E Differenzieller Streuquerschnitt (Teilchenstrahlen) . . . . . 72III.3.F Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

III.4 Lineare N -Teilchen-Systeme:Normal-Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III.4.A Eingespannte Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81III.4.B Kette

”ohne Rand“: periodische Randbedingungen . . . . . 83

III.5 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.5.A Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.5.B Struktur der Newton’schen Mechanik . . . . . . . . . . . . 86

IV Lagrange-Mechanik 89IV.1 Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

IV.1.A Holonome Beschrankung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.1.B Nichtholonome Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 91IV.1.C Dynamik: Zwangskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

IV.2 D’Alembert-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96IV.2.A Virtuelle Verruckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96IV.2.B Holonome Zwangskrafte und Lagrange-Gleichung erster Art 98IV.2.C d’Alembert-Prinzip in generalisierten Koordinaten . . . . . 102

IV.3 Lagrange-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104IV.3.A Angepasste Koordinaten qα . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

INHALTSVERZEICHNIS 5

IV.3.B Lagrange-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105IV.3.C Aquivalenz von Lagrange-Funktionen . . . . . . . . . . . . 112

IV.4 Punkttransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115IV.4.A Invarianz der Lagrange-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . 115IV.4.B Rotierendes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV.4.C Koordinatentransformation der kinetischen Energie . . . . 118IV.4.D Koordinatentransformation des Potenzials . . . . . . . . . 119IV.4.E Reibung: Rayleigh’sche Dissipationsfunktion . . . . . . . . 120

IV.5 Symmetrien und Erhaltungsgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . 122IV.5.A Erhaltungsgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122IV.5.B Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123IV.5.C Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

IV.6 Hamilton-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129IV.7 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

IV.7.A Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131IV.7.B Struktur der Lagrange-Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 132

V Starrer Korper und Kreiseltheorie 135V.1 Systemdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135V.2 Darstellung von Vektoren und Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . 138V.3 Drehimpuls bezuglich Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 142V.4 Berechnung von Tragheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . 143

V.4.A Haupttragheitsmomente bezuglich Achse durchSchwerpunkt S: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

V.4.B Tragheitsmomente bezuglich beliebiger Achsen . . . . . . . 144V.5 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145V.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149V.7 Euler’sche Winkel und Lagrange-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 154

V.7.A Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154V.7.B Transformationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V.7.C Vektor der Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 157V.7.D Lagrange-Funktion in Euler-Winkeln . . . . . . . . . . . . 157

V.8 Schwerer symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159V.9 Stehauf-Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

V.9.A Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163V.9.B Lagrange-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

V.10 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166V.10.AZusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

VI Hamilton’sche Mechanik 167VI.1 Legendre-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167VI.2 Poisson-Klammer und Liouville’scher Satz . . . . . . . . . . . . . 173

VI.2.A Observablendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6 INHALTSVERZEICHNIS

VI.2.B Liouville’scher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174VI.3 Kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

VI.3.A Zyklische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177VI.3.B Koordinatentransformation im Phasenraum . . . . . . . . 178VI.3.C Variationsprinzip fur H-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 179VI.3.D Konstruktion spezieller kanonischer Transformationen . . . 180VI.3.E Klassen (zeitabhangiger) kanonischer Transformationen . . 181VI.3.F Hamilton-Jakobi-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

VI.4 Allgemeine dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186VI.4.A Vollstandig integrable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 186VI.4.B Ergodische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189VI.4.C Mischende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190VI.4.D Bernoulli-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190VI.4.E Diskrete dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 191

VI.5 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193VI.5.A Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Kapitel I

Einfuhrung

Zweige des Wissens: Beispiele (Genom-Projekt,”intelligente“ Verkehrssteuerung,

Kosmologie, Medizin. . .)

Bedeutung der klassischen Mechanik als Theorie

• Beispiel fur eine quantitative Theorie

• Abstrakte Modell-Struktur

• Geschichte (Begriffs-Entwicklung, Konzepte, Personen)

• Extremalprinzip (ursprunglich als”gottliches“ Prinzip gesehen)

Mechanik als (klassische) Systemtheorie

• Systemdefinition, -Beschreibung, -Parameter, -Struktur

• Zustandsraum, Zustandstransformation

• Dynamik (Zustandsanderungen)

• Observable (Eigenschaften)

• Einbettung (Beobachter, Information, Kontrolle)

Literatur

1. F. Kuypers: Klassische Mechanik

2. F. Scheck: Mechanik

3. W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik I/II

4. W. Greiner: Klassische Mechanik I/II

7

8 KAPITEL I. EINFUHRUNG

Kapitel II

Newton’sche Mechanik

Ubersicht

• Referenz, materielle Basis

– Raum-Zeit, Ereignis, Inertialbasis

– Galilei-Transformation (passiv)

• Zustandsraum

– Mechanischer Zustand

– Teilraume/Gesamtraum (Γ-Raum = direkte Summe)

– Zustandstransformation (Dynamik): Newton’sches Grundgesetz

• System-Definition

– Mechanische Punktsysteme

– N-Teilchen-Systeme

– abgeschlossen/offen (Isolierbarkeit/”Abschirmung“)

– Observable

– Bilanzgleichung

• Modell-Beispiele

– Bewegung im Zentralfeld

– Harmonischer Oszillator

– Dampfung

• Nichtinertialbasis

– Transformationsgesetze

– Scheinkrafte

– Realisierung: Hierarchische Systeme (Drehscheibe, Erde)

9

10 KAPITEL II. NEWTON’SCHE MECHANIK

II.1 Raum-Zeit-Struktur

Die Struktur von Raum und Zeit wird durch das Verhalten von Uhren undMaßstaben festgelegt, deren Eigenschaften andererseits durch Gesetze der Phy-sik bestimmt sind. Deshalb sind nur beide zusammen empirisch verifizierbar. DieRaum-Zeit-Struktur ist nur erfahrbar uber die Mechanik.

Axiom 1a: Bild der RaumzeitDas mathematische Bild des physikalischen Raums ist einEuklidischer Raum E3. Das mathematische Bild der physi-kalischen Zeit ist ein eindimensionaler Euklidischer Raum E1

(Metrik).

Euklischer Raum (Dimension n):

Menge von Punkten

P = x1, x2, ..., xn

mit Abstand

D(P,Q)2 =n∑

ν=1

(xν − yν)2.

Gerichtete Punkt-Paare−→PQ definieren den Vektorraum.

P = O (Koordinatenursprung),−→OQ : Ortsvektor

Beide Elemente zusammen (Punkte, Vektoren) bilden den affinen Raum En.

Def. Ereignis

(r, t) ∈ E3 ⊕ E1

Der vierdimensionale Ereignisraum besitzt hier nur die Struktur der Einzelraume(keine vierdimensionale Metrik). Die Folge von Ereignissen bezuglich eines Mas-sepunkts definiert dessen Bahn r(t).

Basisvektoren von E3 ⊕ E1 (direkte Summe)

Bei der Auswahl von Basisvektoren spielt jedoch eine Kopplung der beiden Eu-klidischen Raume eine entscheidende Rolle:

II.1. RAUM-ZEIT-STRUKTUR 11

1. Newton’sches Grundgesetz (Tragheitsgesetz)

Die Gleichformigkeit der Bewegung ist eine Invariante zugelassener Abbildungenin E3 ⊕ E1 (→ Galilei-Transformationen). Die Erfahrung lehrt, dass dies nichtallgemein fur jedes Bezugssystem der Fall ist. Dies gilt nur fur Inertialsysteme.

Def. Inertialbasis

Jedes Bezugssystem (e1, e2, e3) von E3, gegen welches die Bahnen von drei vomgleichen Punkt nach verschiedenen (nicht in einer Ebene liegenden) Richtungenfortgeschleuderten Massenpunkten geradlinig sind (

”Inertialbahnen“).

Def. Inertialzeitskala

Zeitskala, nach der ein sich selbst uberlassener, bewegter Massepunkt in einerInertialbahn gleiche Strecken in gleichen Zeiten zurucklegt. Realisierungen:

• Inertialbasis: Basis, in welcher der Schwerpunkt des Planetensystems ruht,e1 ausgerichtet nach den Fixsternen (Kepler)

• Inertialzeit: Atomuhr

Habe ich ein Inertialsystem gefunden, kann ich weitere konstruieren (Klasse).Dabei bleibt die Gleichformigkeit der Bewegung invariant.

Axiom 1b: Wechsel des InertialsystemsDie Koordinaten (r, t) in K und die Koordinaten (r′, t′) in K ′

hangen uber eine Galilei-Transformation miteinander zusam-men (Abbildung).

II.1.A Spezielle Galilei-Transformation

r, t→ r′, t′ (Automorphismus)

Seien K und K ′ Inertialsysteme mit t = t′ = 0 : K = K ′.

-

6

x

z

y

-

6

x′

z′

y′· (x, y, z, t)

(x′, y′, z′, t′)

Ereignis

-vx


x′(t′) = x− vxty′(t′) = y(t)

z′(t′) = z(t)

t′ = t

II.1.B Allgemeine Galilei-Transformation

r′(t′) = αr(t) + vt+ a

t′ = λt + b

λ = ±1

αT = α−1

detα = ±1

II.1.C Galilei-Gruppe

Galilei-Gruppe G: Menge aller Abbildungen

g = α, v, a, b, λ = 1

Einselement:

g = 1, 0, 0, 0

Hintereinander-Ausfuhrung g2g1 (Gruppen-Operation) 1 :

g1 : r → r′, t→ t′

g2 : r′ → r′′, t′ → t′′

g2g1 = α2α

1, α

2v1 + v2, α2

a1 + v2b1 + a2, b2 + b1= α, v, a, b ∈ G

Inverse:

gg−1 = 1, 0, 0, 0

1Beachte: Nach erster Transformation ist v′ = α1v, t′ = t + b1.

II.1. RAUM-ZEIT-STRUKTUR 13

Einparametrige Untergruppen Gi

(in Klammern Zahl der Parameter)1. Rotation um feste Achsen (3): Achse (2), Drehwinkel (1)2. Translation (3): a3. Spezielle Galilei-Transformation (3): v4. Zeitverschiebung (1): b

⇒ Die Galilei-Gruppe ist zehndimensional, entsprechend den zehn Parametern(Lie-Gruppe).

Eigentliche (orthochrone) Galilei-Gruppe

detα = 1⇒ α ∈ SO(3) (spezielle orthogonale Gruppe)

λ = 1

Die volle Galilei-Gruppe enthalt demgegenuber zusatzlich Raum-(”Paritat“ P )

und Zeitspiegelungen T :

P : (r, t)→ (−r, t)T : (r, t)→ (r,−t)

Eigenschaften

1. Zeit ist absolut und homogen.

2. Raum ist isotrop und homogen.

3. Das Tragheitsgesetz ist eine Konsequenz der Raumzeit-Struktur.

Matrix-Darstellung der Galilei-Transformation

(ohne Nullpunktsverschiebungen a = 0, b = 0)

g → g =

α11 α12 α13 v1

α21 α22 α23 v2

α31 α32 α33 v3

0 0 0 1

Def. Vierervektor: (x, y, z, t)

(x′, y′, z′, t′) = g

xyzt

Homogene Galilei-Transformation


Spezielle Galilei-Transformation: ohne Drehung, v = (v1, 0, 0)

g =

1 0 0 v1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Vergleich mit spezieller Lorentz-Transformation (ohne Drehung) v = (v1, 0, 0):

l =

γ 0 0 γv1

0 1 0 00 0 1 0γ v1c2

0 0 γ

γ =

(

1− v2

c2

)− 1

2

c→∞ : l → g

Explizit:

(r′, t′) = l

(rt

)

x′ = γx+ γv1t

t′ =1

c2γv1x+ γt

Allgemein: inhomogene Lorentz-Transformation = Poincare-Transformation (Grup-pe)

II.2 Mechanische Punktsysteme

II.2.A Ein-Teilchen-Systeme

Sei r(t) = Bahnkurve eines Massepunktes bezuglich K.Def. Geschwindigkeit:

v(t) = r(t) =

dxdtdydtdzdt

Beschleunigung:

b = v(t) = r

Axiom 2a: Mechanischer ZustandDer mechanische Zustand eines Massepunktsa zur Zeit t wirdvollstandig beschrieben durch

(r, r)t ∈ R3 ⊕ R3 (Koordinaten)

aIdealisierung: Gleichzeitig Definition des Massepunkts

Darstellung: Punkt im sechsdimensionalen Phasenraum, µ-Raum (= mechani-scher Zustandsraum, 6 Koordinaten).

II.2. MECHANISCHE PUNKTSYSTEME 15

Konsequenzen:

1. Der mechanische Zustand bestimmt alle mechanischen Observablen desMassepunkts:

A = A(r, r, t)

2. Der Zustand zu beliebiger Zeit t legt auch die Zeitentwicklung des Systems= Dynamik fest (Evolution):

(r, r)t → (r, r)t′

DynamikDie Zeitentwicklung ist deterministisch:

r(t) = f(r, r, t)

(Gewohnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung)

f =1

mF

1

m: charakteristisch fur Massepunkt, Masseparameter > 0

F : Kraft, unabhangig von Masse (= Punkt-Eigenschaft)

t : explizite Zeitabhangigkeit (nicht-autonome Kraft)

Axiom 3a: Newton’sches Grundgesetz

d

dtp ≡ mr(t) = F (r, r, t)

II.2.B N-Teilchen-System

Axiom 2bMechanischer Zustand: r1, r2, . . . , rN ; r1, r2, . . . , rN =Punkt im 6N-dimensionalen Phasenraum Γ.Alternativ: N Punkte im 6-dimensionalen µ-Raum (=Ein-Teilchen-Raum).

Dynamik:

Axiom 3bAllgemeines Newton’sches Grundgesetz:

miri(t) = F i (r1, . . . , rN , r1 . . . rN , t)︸︷︷︸

mechanischer Zustand


II.2.C Exkurs: Zum Begriff der tragen Masse

Nach A. Einstein ist E = mc2 (allgemeine Relativitatstheorie, c = Lichtgeschwin-digkeit).Betrachte nun Gesamtmasse M eines N -Teilchen-Systems:

M = m1 +m2 + . . .+mN − µ, µ : Massendefekt

−µ =U

c2

U = W︸︷︷︸

Anregungsenergie

− B︸︷︷︸

Bindungsenergie (Kondensationswarme)

=”Innere Energie“

W = 0: Grundzustand, sonst W > 0B ≤ 0 fur Gase (keine Bindung; Abstoßung)

Beispiel 12C

n =Neutron, p =Proton, e =Elektron; u =atomare Masseneinheit= 1, 66·10−27kg

M = 6n+ 6p+ 6e ≡ 12u→ µ = 0, 098u

Erster angeregter Zustand (Kern-Anregung):

W = 7 · 10−13NmW

c2= 0, 00477u

M∗ = 12, 00477u > M

Die Energie und die Masse sind voneinander abhangige Großen. Bei chemischerAnregung ist der Massendefekt µ um ca. 6 Großenordnungen kleiner (10−10u). Inder nichtrelativistischen Mechanik wird µ vernachlassigt: µ → 0. Die Masse istdann eine additive Erhaltungsgroße. Diesr Grenzfall entspricht c→∞.

II.2.D Mechanische Punktsysteme

Definiert durch

• Teilchenzahl N

• Massenparameter mi

• Funktionale Form und Parameter von F i

II.2. MECHANISCHE PUNKTSYSTEME 17

Allgemeine Klassifikation der Kraft F i

i = Teilchennummer

1. Autonom: keine explizite Zeitabhangigkeit:

F i = F i(r1, . . . , rN , r1, . . . , rN)

2. Außere Krafte: F i nur abhangig von mechanischem Zustand des Teilchensi:

F exti = F ext

i (ri, ri, t)

3.”Statische“ Krafte: nur abhangig von

”Konfigurationen (r1, . . . , rN )“

F i = F i(r1, . . . , rN , t)

4. Konservative Krafte (Potenzialkrafte)

F i = −∇iVi(r1, . . . , rN , t)

Vi = Potenzial; speziell: außere Potenzialkrafte

5. Innere Krafte: nur abhangig von Relativkoordinatenrjk = rj − rk, j, k = 1, 2, . . . , N

F inti = F i(rjk, t)

Vgl. Schwerpunkts- und Relativkoordinaten, Jakobi-Koordinaten (vgl. Kap.III.5)

6. Zwei-Korper-Krafte (Superposition)

F inti =

∑

k 6=i

F ik(ri − rk, t)

Fik: Kraft von k auf i (Nolting; Scheck: k und i vertauscht)

>6

0

i

ri rk

kri − rk

7. Zentralkrafte (spezielle Zwei-Korper-Krafte):

F ik(ri − rk, t) = fik(|ri − rk|, t)ri − rk|ri − rk|


r ri kri − rk

f > 0: abstoßend

r - ri kri − rk

f < 0: anziehend

rF 12

rF 21

-

ausgeschlossen!

Konsequenz (3. Newton’sches Gesetz):

Axiom 3c:

F ik = −F ki

actio = reactio

Zentralkrafte sind konservative Krafte, d.h. sie haben ein Potenzial:

F ik = −grad iVik(|rik|) = − ∂Vik∂|rik|

rik|rik|

= fikrik|rik|

rotF ik(rik) = −rot gradVik = 0

II.2.E System und Umgebung

”Kartesischer Schnitt“: Subjekt/Objekt; ermoglicht objektive Wissenschaft.

System: in der Regel eine willkurliche Abgrenzung, was dazu gehoren soll.Idealisierungen:

Abgeschlossenes System

System ohne (materielle) Umgebung. Diese Systeme befinden sich also in der un-gestorten Raum-Zeit-Struktur. Deren Invarianzeigenschaften fuhren daher auchdirekt zu Invarianzeigenschaften der Mechanik.

Offenes System

'

&

$

%U

'&

$%S

Die Dynamik der Umgebung U ist nicht Gegenstand der Theorie. S +U kann sogroß gewahlt werden, dass das Gesamtsystem

”praktisch“ abgeschlossen ist.

Wechselwirkungen:S → U : Messung (Information)U → S: (Praparation, Kontrolle)U ↔ S: Austausch-Prozesse (Energie etc.)

II.3. ABGESCHLOSSENE SYSTEME: GALILEI-INVARIANZ 19

1. Außeres Potenzial Ui (konservative Krafte, i = Teilchennummer):

F exti = −gradUi

2. Reibungskrafte (nicht konservativ)

F exti = F ext

i (r)

3. Zeitabhangige (treibende) Krafte

F exti = F ext

i (t)

4. Zeitunabhangige Bindungen (skleronom, vgl. Kap. IV.1)):

B(r1, . . . , rN) = 0

5. Zeitabhangige Bindungen (rheonom=fließend):

B(r1, . . . , rN , t) = 0

Einschrankungen: Lagrange-System, Hamilton-System

II.3 Abgeschlossene Systeme: Galilei-Invarianz

Beispiel: Drehung im zweidimensionalen Raum (passiv: a fest, Basis gedreht; ak-tiv: Basis fest, a gedreht)

e1

e′1

e2e′2

a

”passiv“

e1

e2

a

a′

”aktiv“


II.3.A Interpretation der Galilei-Transformation

1. Transformationsgesetz fur eine Bahn beim Ubergang zwischen zwei ver-schiedenen Inertialsystemen (Basiswechsel: ek → e′k) ⇒ Klasse mecha-nisch aquivalenter Bezugssysteme (

”passiv“), Koordinatentransformation

2. Bezuglich festem Koordinatensystem beschreiben r und r′(t) zwei verschie-dene Bahnen, die durch die Galilei-Transformation ineinander ubergehen(”aktiv“). Hierfur gilt das

Axiom 4: Galilei-RelativitatsprinzipAlle Gleichungen (Abbildungen) der klassischen Mechanikfur ein abgeschlossenes System, beschrieben in einer beliebi-gen aber festen Inertialbasis, sind forminvariant bezuglich derGalilei-Transformationen.

Begrundung: r(t)→ r′(t′) hatte auch durch Bezugssystemwechsel entstehen konnen.Die Galilei-Gruppe ist die Invarianzgruppe der klassischen Mechanik.Konsequenz: Betrachtliche Einschrankungen zugelassener Modelle.

II.3.B Transformationsverhalten von Observablen

Eine allgemeine mechanische N -Teilchen-Observable lasst sich schreiben:

A = A(r1, . . . , rN , r1, . . . , rN , t)

A heißt Skalar unter g ∈ Gi ⊂ G (Galilei-Gruppe),

g :

r → r′

r → r′

t→ t′

wenn

A′ = A(r′1, . . . , r′N , r

′1, . . . , r

′N , t

′) = A

fur alle g ∈ Gi (Untergruppe). D.h. A ist ein Skalar, wenn A invariant ist unterallen g ∈ Gi.Entsprechend:A heißt Vektor unter g, wenn sich A wie der Ortsvektor r transformiert.A heißt Tensor zweiter Stufe unter g, wenn sich A transformiert wie die Dyade

r ⊗ r =

xx xy xzyx yy yzzx zy zz

.


a) Untergruppe: Translation

g = (1, 0, a, 0) : r′i = ri + a i = 1, 2, . . . , N

Skalare unter g:

A′ = A

r′i = ri (Gilt auch komponentenweise)

A = A(ri) Vektorfunktion

Jede Komponente:

r′i − r′k = ri − rkA = A(rik) nicht dagegen: A = A(ri)

Vektor unter g:

A′ = A+ a

b) Untergruppe: Spezielle Galilei-Transformation

g = (1, v, 0, 0) r′i = ri + vt i = 1, 2, . . . , N

Skalare unter g:

A = A(ri)

ri ist ein Vektor, aber die Komponenten xi, yi, zi sind Skalare unter g, d.h. siesind einzeln invariant.Dagegen ist A = r2 ein Skalar, aber nicht invariant, denn

A′ = (r + v)2 6= A

ist kein Galilei-Skalar.Vektoren unter g:

A′ = A+ vt

z.B. r′i = ri + v kein Vektor unter g


c) Untergruppe: Drehung α

g = (α, 0, 0, 0) r′i = αri i = 1, 2, . . . , N

Skalare unter g:

Invarianten: |r′i| = |ri|, |r′i| = |ri| (Norm)r′i · r′j = ri · rj (Winkel)

⇒ z.B. A(r1, r2) = A(|ri|, |rj|, r1 · r2) zulassig

Vektor unter g:

A′ = αA

z.B. A′ = r′i − r′j = α(ri − rj)A′ = r′i = αri

Allgemein

A′ = A(r′) = A(αr)!= αA(r)

⇒ A(r) ≡ a(|r|) · rz.B. A(r1, r2) = a(|r1 − r2|)[r1 − r2]

d) Untergruppe: Raum-Spiegelung (Paritat)

(gehort zur vollstandigen Galilei-Gruppe)

g : r′i = −ri i = 1, 2, . . . , N

Skalare unter g:

A′ = A(r′)!= A(r), z.B. A = A(|r|)

Def. Pseudo-Skalar:

A(r′) = −A(r)

Beispiel Spatprodukt:

A(r1, r2, r3) = r1 · (r2 × r3)

Vektor unter g:

A′ = −A, z.B. r′i = −riDef. Pseudo-Vektor (Axialer Vektor):

A′ = A

Beispiel Kreuzprodukt:

r′ × r′ = +(r × r)


e) Untergruppe: Zeittranslation

g = (1, 0, 0, b) t′ = t + b

Beliebige Observable: A′ = A (Skalar, Vektor etc.)

A(t′) = A(t) ∀t, t′

Eine explizite Zeitabhangigkeit ist nicht zulassig.

II.3.C Galilei-Invarianz der Newton’schen Bewegungsglei-

chungen

Axiom 4Ist

rk(t) k = 1, 2, . . . , N

Losung der Bewgungsgleichungen, dann auch

r′k(t′) = αrk(t) + vt+ a

t′ = t+ b

detα = 1 (orthochron)

⇒ Invarianz von Gleichungen: rechte Seite transformiert wie linke Seite.

Beispiel 1: Teilchen mit außerer Kraft

mr = F ext(r, r, t)

linke Seite:

md2

dt′2r′(t′) = mα

d2

dt′2r(t′ − b) = mα

d2

dt2r(t)

”Vektor unter Drehung“

rechte Seite:

F ext′ = F ext(αr + vt+ a, αr + v, t+ b)!= αF ext

⇒ F ext = 0 (Modell-Einschrankung)

Das erste Newton’sche Gesetz (Tragheitsgesetz) ist eine Konsequenz des Galilei-Prinzips (Axiom 4).


Beispiel 2: Abgeschlossenes N-Teilchen-System mit Zwei-Korper-Kraften

Sei

mk

d2

dt2rk(t) =

∑

l,k,l 6=k

F kl; F kl(rkl(t))

mk

d2

dt′2r′k(t

′)!=

∑

l,k

F ′kl; wobei F ′

kl = F kl(r′kl(t

′))

linke Seite: α d2

dt2r(t)

Terme rechte Seite:

F kl = F kl(αrkl(t))!= αF kl(rkl(t)) (II.1)

Denn dann ist

α

[

d2

dt2rk −

∑

l,k,l 6=k

F kl

]

︸︷︷︸

=0 (nach Vorraussetzung)

= 0

Bedingung (II.1) erzwingt Zentralkrafte (Modell-Einschrankung):

F kl = rkl︸︷︷︸

transformiert sich wie Ortsvektor

fkl( |rkl|︸︷︷︸

Skalar unter Drehung

)

II.4 Bilanzgleichungen

Ausgangspunkt: Newton’sche Bewegungsgleichung

miri =∑

k 6=i

F ik(ri − rk, t) + F exti (ri, ri, t)

Anmerkung: Die explizite Zeitabhangigkeit von F ik (”innere Dynamik“) ist jen-

seits des Massepunktmodells.Betrachte Ein-Teilchen-Observable Ai = Ai(ri, ri). Dann sind Bilanz-Gleichungenglobale (integrale) Aussagen des Typs

∑

i

miAiri =∑

k,i,k 6=i

AiF ik +∑

i

AiFexti

II.4.A Impulsbilanz: Ai = 1

Linke Seite:∑

i

miri := P

II.4. BILANZGLEICHUNGEN 25

Def. Teilchen-Impuls

pi

= miri (Ein-Teilchen-Impuls)

P =∑

i

pi

(Gesamtimpuls)

∑

k,i,k 6=i

F ik = 0, fur Zentralkrafte F ik = F ki

⇒ P =∑

i

F exti (ri, ri, t) ≡ F ext

”Anderung des Gesamtimpulses=gesamte außere Kraft“

Mechanisch abgeschlossenes System (Translationsinvarianz):

P = 0 Galilei-invariant

⇒ P = P 0 = const

Drei Integrale der Bewegung bezuglich festem Inertialsystem. P 0 ist der Gesam-timpuls und hat keine absolute Bedeutung.Schwerpunkt:

R =1

M

∑

i

miri

Gesamtmasse:

M =∑

i

mi

⇒ R =1

M

∑

i

miri =1

MP

Schwerpunktsatz (fur abgeschlossene Systeme):

R = const

R(t) = R0 + V 0t

V 0 =1

M0P 0

R0, V 0 sind Erhaltungsgroßen, ⇒ 6 Integrale der Bewegung.


II.4.B Energiebilanz: Ai ≡ ri· (=Skalarprodukt)

∑

i

mi(ri · ri) =∑

i,j,i6=j

(ri · F ij)

︸︷︷︸

≡X

+∑

i

(ri · F exti )

Linke Seite:

d

dt

1

2

∑

i

mir2i :=

d

dtEkin

Kinetische Energie:

Ekin =1

2

∑

i

mir2i

Rechte Seite:

X :=∑

i,j,i 6=j

(ri · F ij) =1

2

∑

i,j,i6=j

(ri · F ij) +1

2

∑

i,j,i6=j

(rj · F ji)

=1

2

∑

i,j,i6=j

(rijF ij) (actio=reactio)

Annahme:

Es existiert ein Potenzial: (Fij: Kraft auf Teilchen i)

F ij = −gradiVij(|rij|, t) = − ∂Vij∂|rij|

rij|rij|

⇒ X = −1

2

∑

i,j

∂Vij∂|rij|

rij · rij|rij|

d

dt|rij| =

d

dt(rij · rij)

1

2 =1

2(rij · rij)−

1

2

[(rij · rij) + (rij · rij)

]=rij · rij|rij|

⇒ X = −1

2

∑

i,j

∂Vij∂|rij|

d

dt|rij|

Andererseits (Kettenregel):

d

dtVij(|rij|, t) =

∂Vij∂|rij|

d

dt|rij|+

∂Vij∂t

⇒ X = +1

2

∑

i,j

(− d

dtVij +

∂

∂tVij)

II.4. BILANZGLEICHUNGEN 27

Potenzial:

V ≡ 1

2

∑

i,j

Vij(|rij|, t)

X = −dV

dt+

∂

∂tV

d

dt(Ekin + V ) =

∂V

∂t+∑

i

(ri · F exti )

Energiebilanz: Anderung der Gesamtenergie

E = Ekin + V

= explizite Anderung der Wechselwirkungsenergie + Arbeitsleistung außerer Krafteam System.Abgeschlossenes System:

F exti = 0;

∂V

∂t= 0 (invariant bezuglich Zeitverschiebung)

⇒ d

dtE = 0 (Galilei-invariant)

⇒ E = E0 = const bezuglich festem Koordinatensystem; E ist aber nicht Galilei-invariant (kein Skalar unter g). E0 hat keine absolute Bedeutung. ⇒ 1 Integralder Bewegung.Energieerhaltungssatz gilt auch fur:

a)”Wattlose“ außere Krafte

F exti ⊥ri

z.B. Lorentz-Kraft. Diese Krafte leisten keine Arbeit.

b) Außere Krafte mit Potenzial Ui = Ui(ri), zeitunabhangig

F exti = −grad iUi

rechte Seite = −∑

i ri · grad iUiAndererseits:

⇒ dUidt

=dUidri

dridt

= gradUiri

⇒ rechte Seite = − d

dt

∑

i

Ui


⇒ Ekin + V +∑

i

Ui = const Konservatives System (nicht Galilei-invariant)

II.4.C Drehimpulsbilanz: Ai ≡ ri × . . .∑

i

miri × ri =∑

i,j,i6=j

ri × F ij +∑

i

ri × F exti

Linke Seite =d

dt

∑

i

ri × ri =d

dtL

Gesamt-Drehimpuls (bezogen auf Koordinatenursprung):

L ≡∑

i

Li =∑

i

ri × pi

Indexvertauschung:

d =∑

i,j,i 6=j

ri × F ij =1

2

∑

i,j,i6=j

(ri × F ij + rj × F ji)

F ij = −F ji : d =1

2

∑

ij

rij × F ij = 0, da F ij ‖ rij (Zentralkrafte)

Drehmoment

D :=∑

i

ri × F ij

d

dtL = D

Abgeschlossenes System: D = 0⇒ L = L0 = const⇒ 3 Integrale der Bewegung bezuglich festem Koordinatensystem.Die Drehimpulserhaltung gilt auch, falls

F exti ‖ ri (außere Krafte = Zentralkrafte)

ZusammenfassungFur abgeschlossene, d.h. Galilei-invariante Systeme existierenzehn Integrale der Bewegung. Dies ist eine Konsequenz derzehnparametrigen Galilei-Gruppe.

Vgl. Noether-Theorem (Kap. IV.5).Fur den Rest dieses Kapites beschranken wir uns auf Ein-Teilchen-Probleme.

II.5. BEWEGUNG IM HOMOGENEN KRAFTFELD 29

II.5 Bewegung im homogenen Kraftfeld

Darstellungsformen (fur einen einzelnen Massepunkt):

• Parameterdarstellung der Bahn (dreidimensionaler Konfigurationsraum):x(t), y(t), z(t)

• Bahngleichung (zweidimensionaler Konfigurationsraum: y(x))

• Phasenraumportrat (eindimensional: x(x)) etc.

Homogenes Kraftfeld

V (r) = −F 0r

⇒ F ext = −∇V = F 0

Potenzialkraft, Richtung ausgezeichnet: F 0 = const.Wahle kartesisches Koordinatensystem mit ez ||F 0

⇒ F 0 =

00F0

II.5.A Schrager Wurf: Bahn im Konfigurationsraum

Beispiel:

Erdnahes Gravitationsfeld (g = Erdbeschleunigung)

F0 = −mg, g = 9, 8m

s2

Anfangsbedingungen:

r(t = 0) = 0

r(t = 0) =

0cosϕsinϕ

v0 = v0

Bewegungsgleichung (separabel):

my = 0

mz = −mg


ϕ

v0

z

y

F0 = −mg

Wurfhohe

WurfweiteDirekte Integration:

vy(t) = vy0

vz(t) = −gt+ vz0

y(t) = vy0t+ y0

z(t) = −1

2gt2 + vz0t+ z0

Festlegung der Integrationskonstanten:

y(0) = y0 = 0

z(0) = z0 = 0

vy(0) = vy0 = v0 cosϕ

vz(0) = vz0 = v0 sinϕ

Bahn in Parameterdarstellung:

y(t) = v0t cosϕ

z(t) = v0t sinϕ−1

2gt2

t =y

v0 cosϕ

Bahngleichung (Parabel im Konfigurationsraum):

z(y) = tanϕy − 1

2g

(y

v cosϕ

)2

II.5. BEWEGUNG IM HOMOGENEN KRAFTFELD 31

Steigzeit:

vz(T ) = 0⇒ vz = −gT + v sinϕ

T =v sinϕ

g

Wurfzeit:

z(tw) = 0 fur tw 6= 0

(sinϕ)v0tw =1

2gt2w

tw =2(sinϕ)v0

g= 2T

Wurfweite:

L = v0 cosϕ · tw =v20

gsin 2ϕ

Winkel fur maximale Weite bei festem v:

ϕ =π

4= 450

II.5.B Senkrechter Wurf: Phasenraum-Portrat

Eindimensionaler Konfigurationsraum

z = v0t−1

2gt2

z = v0 − gt⇒ t =1

g(v0 − z)

2gz = v20 − z2

oder z = ±(v20 − 2gz)

1

2

Zweidimensionaler Phasenraum:


z

(z, z)t

z

Steighohe

In der Regel ist das Schaubild begrenzt durch Zwangsbedingungen, z.B. z ≥ 0.Phasenraum-Trajektorien durfen sich nicht schneiden, da (z, z) Vergangenheitund Zukunft eindeutig festlegt (fur festes g 6= 0, vgl. mechanischer Zustand).Beispiel:

z

z

y

z

Trajektorie im Phasenraum Bahnkurve im Konfigurationsraum

II.6 Bewegung im linearen Zentralfeld

II.6.A Spezielle Zentralfelder

V (r) = − c

|r|n

⇒ F (r) = −∇V =nc

|r|n+1

r

|r|

n = −2 lineares Feldn = 1 Gravitationsgesetz, Coulomb-Gesetz

Punktsymmetrie: Kraftzentrum |r| = 0

II.6. BEWEGUNG IM LINEAREN ZENTRALFELD 33

II.6.B Bewegungsgleichung fur n = −2: harmonischer Os-

zillator

V (r) = −c|r|2 ⇒ F = +2c|r| r|r| = F = +2cr

kartesische Koordinaten, k = −2c > 0 (Ruckstellkraft): V = 12k|r|2

mx + kx = 0

lineare homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung, eindimensionaler Kon-figurationsraum

II.6.C Allgemeine Eigenschaften fur lineare homogene Dif-

ferenzialgleichung der Ordnung n

Superpositionsprinzip: Wenn x1(t), x2(t) Losungen sind, dann auch

x(t) = a1x1(t) + a2x2(t). (II.2)

Beweis durch Einsetzen:

mx+ kx = a1 (mx1 + kx1)︸︷︷︸

=0

+a2 (mx2 + kx2)︸︷︷︸

=0

= 0

Die Funktionen f1(x), f2(x), . . . heißen linear unabhangig (a ≤ x ≤ b), wenn

λ1f1(x) + λ2f2(x) + . . . = 0 (Nullfunktion in diesem Intervall)

⇒ λ1 = λ2 = . . . = 0.

Wenn x1(t), x2(t) linear unabhangig sind, dann ist (II.2) die allgemeine Losung(Ordnung n = 2).

II.6.D Losung durch Ansatz

Spezielle Losungen:

x1(t) = cosω0tx2(t) = sinω0t

linear unabhangig

⇒ −mω20 + k = 0⇒ ω0 =

√

k

m

x(t) = a1 cos(ω0t) + a2 sin(ω0t) = A cos(ω0t+ ϕ)


x(t) = −a1ω0 sinω0t+ a2ω0 cosω0t

x(0) = a1

x(0) = ω0a2

Anfangsbedingungen

a2 = 0:

x

t

T = 2πω0

x2 +1

ω20

x2 = a21 cos2 ω0t + a2

2 sin2 ω0t+ 2a1a2 cosω0t sinω0t

+a21 sin2 ω0t + a2

2 cos2 ω0t− 2a1a2 cosω0t sinω0t

= a21 + a2

2

Phasenraumportrat:

Gebundener Zustand: Ellipse

x

x

II.6. BEWEGUNG IM LINEAREN ZENTRALFELD 35

II.6.E Isotroper Harmonischer Oszillator (zweidimensio-

nal)

V =1

2k(x2 + y2), Fx = − ∂

∂xV Fy = − ∂

∂yV

x = −ω2x y = −ω2y

x(t) = x0 sin(ωt+ α)

y(t) = y0 sin(ωt+ β)

α = 0, β = π2:

x(t)2

x20

+y(t)2

y20

= 1

Bahn im Konfigurationsraum: Ellipse mit Kraftzentrum im Mittelpunkt.

y

x

α = β = 0:

x

x0

=y

y0

Pendelbahn, Geradenstuck

II.6.F Anisotroper harmonischer Oszillator

V =1

2kr2 ⇒ V =

1

2(kxx

2 + kyy2)

ω2i =

kim

i = x, y ν =ωyωx

ν ganz (rational): Lissajou’sche Figuren sind geschlossen (Wiederkehr des An-fangszustands)Wiederkehrzeit = kleinstes gemeinsames Vielfaches von Ti = 2π

ω1und T2 = 2π

ω2.


ν irrational: keine geschlossenen Figuren: Durchlaufene Punkte liegen dicht imPhasenraum.

Konfigurationsraum (zweidimensional)

(Schnitt im vierdimensionalen Phasenraum)

II.7 Bewegung unter dem Einfluss von Reibung

II.7.A Senkrechter Wurf mit Reibung

mz = −mg − αz, α : phanomenologische Konstante (Stokes’sche Reibung)

Hilfssatz:Losung einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung =allgemeine Losung der homogenen Differenzialgleichung +spezielle Losung der inhomogenen Differenzialgleichung

Homogene Differenzialgleichung:

mz + αz = 0

Ansatz:

z = a exp(λt) + b

z = λa exp(λt)

z = λ2a exp(λt)

mλ2 + aλ = 0⇒ λ = − αm

z(t = 0) = a+ b

z(t = 0) = λa = −aαm

II.7. BEWEGUNG UNTER DEM EINFLUSS VON REIBUNG 37

Spezielle Losung der inhomogenen Differenzialgleichung: Ansatz:

z(t) = v∞t

z(t) = v∞

z(t) = 0

⇒ 0 = −mg − αv∞ ⇒ v∞ = −mgα

< 0 (α 6= 0)

Allgemeine Losung:

z(t) = a exp(− αmt)− mg

αt+ b

z(t) = −αam

exp(− αmt)− mg

α

t = −mα

ln

(m2g

aα2+m

αaz

)

v∞ = z(t→∞)

II.7.B Erzwungener gedampfter linearer harmonischer Os-

zillator

F ext(x, x, t) = −αx− kx+ F (t)

α > 0 : Kraft entgegen der Geschwindigkeitk > 0 : Ruckstellkraft

mx = F extx (x, x, t)

Bewegungsgleichung:

x +α

mx + ω2

0x =1

mF (t) ω2

0 =k

m

Sei

F (t) = A1 cos(ω1t)

Allgemeine Losung der homogenen Differenzialgleichung:

x +α

mx + ω2

0x = 0 (II.3)


Trick: Wir interpretieren (II.3) als komplexe Gleichung:

z +α

mz + ω2

0z = 0 (II.4)

wobei z = x + iy

⇒ (x+α

mx+ ω2

0x) + i(y +α

my + ω2

0y) = 0

⇒ x = Re zy = Im z

Die Losung der ursprunglichen Gleichung (II.3) erhalt man als Real- oder Ima-ginarteil von der Losung z(t).Losungsansatz:

z(t) = exp(pt)

Damit in (II.4) ⇒ charakteristische Gleichung:

p2 +α

mp + ω2

0 = 0

p1,2 = −γ ± (γ2 − ω20)

1

2

γ ≡ α

2m≥ 0

a) Kleine Dampfung: γ2 < ω20

Der Term unter der Wurzel ist < 0.

p1,2 = −γ ± iω′

wobei ω′ ≡ (ω20 − γ2

0)1

2 > 0

Allgemeine Losung:

z(t) = exp(−γt)(α exp(iω′t) + β exp(−iω′t))

x(t) = Re z(t) =1

2(z + z∗)

=1

2exp(−γt)

(α + β∗)︸︷︷︸

=G exp(iϕ)

exp(iω′t) + (α∗ + β)︸︷︷︸

=G exp(−iϕ)

exp(−iω′t)

x(t) = G exp(−γt) cos(ω′t + ϕ)


Relaxionszeit

τ =1

γ=

2m

α

Q-Faktor (Gutefaktor)

Q ≡ ω0

2γω0 =

2π

T

Q =πτ

T

x(t)

t

b) Große Dampfung: γ2 > ω20

p1,2 = −γ ± (γ2 − ω20)

1

2 reell, negativ

x(t) = a1 exp(p1t) + a2 exp(p2t)

c) Aperiodischer Grenzfall: γ2 = ω20

Aus der charakteristischen Gleichung ergibt sich nur eine Losung (p1 = p2, phy-sikalisch singular):

x(t) = a1 exp(−γt)

Zweite Losung: Sei zunachst noch p1 6= p2, dann ist

xp1(t)− xp2(t)p1 − p2


auch Losung (wegen der Linearitat) und somit ist fur

p1 → p2 :dx

dp= t exp(pt) = t exp(−γt)

ebenfalls Losung. Insgesamt also

x(t) = exp(−γt)(a1 + ta2)

Spezielle Losung der inhomogenen Differenzialgleichung

z +α

mz + ω2

0z =1

mA1 exp(iω1t), A1 reell (II.5)

Euler’sche Formel:

exp(±iα) = cosα± i sinα

⇒ x(t) = Re z(t)

Ansatz:

z(t) = x0︸︷︷︸

reell

exp(iω1t) exp(−iθ) (Polardarstellung)

in (II.5):

−ω21 + i

α

mω1 + ω2

0 =A1

mx0exp(iθ) (II.6)

Gleichung (II.6) zerfallt in zwei Anteile: Re , Im :

(ω20 − ω2

1) =A1

mx0

cos θ1

γ =α

2m2γω1 =

A1

mx0

sin θ1

⇒ tan θ1 =2γω1

ω20 − ω2

1

(ω20 − ω2

1)2 + 4γ2ω2

1 =A2

1

x20m

2

x0 =A1

m [(ω20 − ω2

1)2 + 4γ2ω2

1]1

2


x(t) = Re z(t) = x0 cos(ω1t− θ1)

Transientes Verhalten (γ2 < ω20: großes Q (Gute))

x(t) = G exp(−λt) cos(ω′t+ ϕ) + x0 cos(ω1t− θ1)

Eingeschwungener Zustand (t τ = 1γ)

x(t) = x0 cos(ω1t− θ1)

(unabhangig von Anfangsbedingungen)Extremwerte:

dx0

dω1

= 0 : ω1 =

0wr

ωr = (ω20 − 2γ2)

1

2 Resonanzfrequenz

x0

ω1

A1

ω20

ωr ω0

kleines Q

großes Q

θ1

ω1

π2

π

ω0

kleines Q

großes Q

θ1: Phase gegenuber Treiber

”Antwort des Systems“ auf außeres Treiberfeld


Phasenraumportrat

Gegeben: A1, ω1 > 0. Eingeschwungener Zustand:

x(t) = x0 cos(ω1t− θ1)x(t) = −ω1x0 sin(ω1t− θ1)

(x

ω1

)2

+ x2 = x20, x0 > 0

Grenzzyklus:

(x

ω1

)2

+ x2 = x20 = const

Vgl. mit freiem Oszillator(xω1

)2

+ x2 = const. Der Grenzzyklus (”Limit-Cycle“)

wird unabhangig von den Anfangsbedingungen erreicht (”Gedachtnis-Verlust“,

Evolution: Zeit bekommt eine ausgezeichnete Richtung).

x

xω1Anfangsbed. 1

Anfangsbed. 2Grenzzyklus

Einschwingvorgang (starke Dampfung)

II.8 Rotierendes Bezugssystem

Motivation

Die bisherige Formulierung der Dynamik ist nur gultig fur Inertialsysteme. Es istoft vorteilhaft, auch Nicht-Inertialsysteme zuzulassen:

• um theoretische Untersuchungen zu erleichtern

• um Situation im”realen“ Labor (auf der Erde) zu beschreiben

II.8. ROTIERENDES BEZUGSSYSTEM 43

Sei

• K Inertialbasis (Basisvektoren e1, e2, e3)

• K rotierendes Bezugssystem (Basisvektoren bezuglich K: e1, e2, e3); ω:Drehachse, Drehwinkel

Annahme: Koordinatenursprung gleich in K und K

r(t) =

3∑

i=1

xi(t)ei =

3∑

i=1

xi(t)ei(t) = r(t)

d.h. die Vektoren sind gleich, die Komponenten sind jedoch verschieden (passiveInterpretation vgl. II.3). Dies gilt fur jeden Vektor bezuglich des Koordinatenur-sprungs, insbesondere gilt auch

ω = ω.

D.h. nicht etwa ω = −ω (feste Bedeutung)!

0 x1

x3

e1

ω

r(t)

x2 Drehkegel gesehen von K

|de1| = |e1| sin(α)ωdt = |ω × e1|dt Richtung ω × e1

d

dtei = ω × ei(t)


0

ω

de1

e1

dϕ = ωdt

|e1| sinα = sinα, entspr. fur e2, e3

α

d

dtr(t) =

3∑

i=1

xi(t)ei =d

dtr(t) =

3∑

i=1

[ ˙xi(t)2ei(t) + xi(t) ˙ei(t)]

=3∑

i=1

xiei + ω ×3∑

i=1

xiei ≡d 3

dtr + ω × r(t)

dr

dt=

dr

dt+ ω + r(t)

Dies gilt fur jeden Vektor ⇒ definiere”Operator“:

d

dt. . . =

d

dt. . .+ ω × . . .

Wende an auf Vektoren ω: ω = dωdt

= dωdt

= ˙ω

d2

dt2r =

d

dt

d

dtr =

d

dt

(dr

dt

)

+ ω × d

dtr

=d

dt

[

dr

dt+ ω × r

]

+ ω ×[

d

dtr + ω × r

]

=d2

dt2r + ω × d

dtr + ω × d

dtr + ω × (ω × r) +

dω

dt× r

d2

dt2r =

d2r

dt2− 2ω × d

dtr − ω × (ω × r)− ω × r

Newton’sche Bewegungsgleichung:

md2

dt2r = F in K

F = F falls Aufpunkt auf Drehachse (fest.)


Mit

ω = ω ω = ˙ω r = rd

dtr = ˙r

d2

dt2r = ¨r

folgt demnach fur K (Komponenten in K)

m¨r = F − 2mω × ˙r −mω × (ω × r)−m ˙ω × r︸︷︷︸

Scheinkrafte

Corioliskraft

C = −2mω × ˙r

Zentrifugalkraft

Z = −mω × (ω × r) = mω2r⊥

0

ω

r

r⊥

ω × r

II.8.A Anwendung

a) Drehscheibe

ω


ez = ez

ω = (0, 0, ωz) = ω

Ebene Bewegung

˙r = ( ˙x, ˙y, 0)

Corioliskraft:

C = −2mω × ˙r

Cx = −2m(−ωz ˙y) = 2mωz ˙y

Cy = −2mωz ˙x

ey

ex

˙x

Cy

ω ‖ ez = ez

˜ez = −e

ey

ex

˙x

Cy

Nordhalbkugel ωz > 0Rechtsablenkung in K

Sudhalbkugel ωz < 0Linksablenkung in ˜K

Die Zentrifugalkraft fuhrt zur”Korrektur“ der Schwerkraft (Betrag und Rich-

tung).

b) Corioliskrafte und atmospharische Bewegungen

1. PassatwindeAm Aquator steigt erhitzte Luft auf (Tiefdruck-Rinne). Die nachstromendeLuft wird nach rechts (N) bzw. nach links (S) abgelenkt.

S

N

Aquator


2. Zyklone (Tiefdruck-Trichter, Nordhalbkugel)In ein Tiefdruckgebiet einstromende Luft erzeugt einen Wirbel gegen denUhrzeigersinn (vgl. rotierender Trichter). Die Luft steigt letztlich auf.

T

3. Antizyklone (Hochdruck, Nordhalbkugel)Das Abstromen von Luftmassen erzeugt einen Wirbel im Uhrzeigersinn.

4. Tropische Wirbelsturme

Anm.: Der sogenannte”Badewannen-Effekt“ (Einfluss der Erdrehung auf das

Ausstromen von Wasser) existiert nicht!

c) Freier Fall auf rotierender Erde

Vernachlassige:

• Polschwankungen (ω 6= 0)

• Umlauf der Erde um die Sonne (RS 6= 0, RS : Schwerpunkt der Erde)

Wahle Koordinatensysteme

• K: Nullpunkt in RS, fest gegenuber Sonne

• K, rotiert mit der Erde: Nullpunkt in RS

ϕ : geographische Breitein K: ω = (−ω, 0, 0)K: (0; ex, ey, ez)

ex : N→ S

ey : W→ O

ez : Normale am Ort P


F = mg = F

ω = ω = (−ω cosϕ, 0, ω sinϕ)

md2

dt2r = F − 2mω × ˙r

g = (0, 0,−g)d2

dt2= ¨x etc.

g : statisch bestimmte Erdanziehungskraft, Summe von Zentrifugal- und Gravi-tationskraft in Richtung −ez

S

N

π2− ϕ

RS

exex

ez

ϕ

ez

R

P

exAquator

Bewegungsgleichungen:

¨x = 2ω sinϕ ˙y (II.7)ÿ = 2ω sinϕ ˙x− 2ω cosϕ ˙z (II.8)¨z = −g + 2ω cosϕ ˙y (II.9)

Anfangsbedingungen:

˙r(0) = 0

r(0) = (0, 0, R+ h), h > 0, R : Erdradius

Integration von (II.7) mit Anfangsbedingungen:

˙x = 2ω sinϕ y (II.10)

(II.9): ˙z = −gt+ 2ω cosϕ y (II.11)


Dies in (II.8):

ÿ = −4ω2 sin2 ϕ y + 2ω cosϕ gt− 4ω2 cos2 ϕ y

⇒ ÿ + 4ω2y = 2gtω cosϕ (II.12)

(Inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung)Losung der homogenen Differenzialgleichung (harmonischer Oszillator):

y0(t) = A sin 2ωt+B cos 2ωt

Partikulare Losung der inhomogenen Differenzialgleichung:

y(t) = Ct˙y = Cÿ = 0

⇒ 4ω2Ct = 2gtω cosϕ⇒ C =g cosϕ

2ω

Anfangsbedingungen:

y(0) = B = 0˙y(0) = 2ωA+ C = 0

⇒ y(t) =g cosϕ

2ω

(

t− 1

2ωsin 2ωt

)

(Ostablenkung)

(II.10): ˙x(t) = g cosϕ sinϕ

(

t− 1

2ωsin 2ωt

)

Integration mit Anfangsbedingung:

x(t) = g cosϕ sinϕ

(t2

2− 1− cos 2ωt

(2ω)2

)

(Sudablenkung)

(II.11): ˙z(t) = −gt+ g cos2 ϕ

(

t− 1

2ωsin 2ωt

)

z(t)− R = h− 1

2gt2 + g cos2 ϕ

(t2

2− 1− cos 2ωt

(2ω)2

)

︸︷︷︸

vertikale Abweichung (fallt langsamer)


Entwickle fur ωt 1

cos 2ωt = 1− 1

2(2ωt)2 +

1

24(2ωt)4; 1− cos 2ωt

(2ω)2=t2

2+t2

24(2ωt)2

sin 2ωt = 2ωt− 1

6(2ωt)3 + . . .

t− 1

2ωsin 2ωt = t− t +

(2ω)2

6t3

⇒ y(t) ≈ gt2

3cosϕ (ωt) (Effekt 1. Ordnung)

x(t) ≈ gt2

6sinϕ cosϕ (ωt)2 (Effekt 2. Ordnung)

Die Ostablenkung y(t) betragt in tiefen Bergwerkschachten einige Zentimeter undwurde bereits fruh beobachtet.

z(t)−R ≈ h− 1

2gt2

1− 1

3cos2 ϕ(ωt)2

︸︷︷︸

Effekt 2. Ordnung

II.9 Erganzungen

II.9.A Literaturhinweise

• Raumzeitstruktur, Galilei-Gruppe, Bilanzgleichungen:

– N. Straumann: Klassische Mechanik, Springer 1987

– F. Scheck: Klassische Mechanik, Springer 1988

• Transformationsverhalten von Observablen:

– S. Brandt, H. D. Dahmen: Physik I, Mechanik, Springer 1987

• Nichtinertialsysteme

– N. Straumann

II.9.B Zusammenfassung

1. Die Raumzeit wird reprasentiert als direkte Summe eines dreidimensiona-len und eines eindimensionalen Euklidischen Raumes. Ein Ereignis ist einPunkt dieses Raumes, spezifiziert durch einen Ortsvektor r und eine Zeit-marke t bezuglich eines sogenannten Inertialsystems.

II.9. ERGANZUNGEN 51

2. Die Galilei-Gruppe ist eine Invarianzgruppe der Raumzeit, d.h. die Mengeder Ereignisse geht bei Galilei-Transformationen in sich uber (Symmetrie).Die Galilei-Gruppe hat zehn Parameter.Korrolar: Aquivalenz aller Inertialsysteme, die durch Galilei-Transformationauseinander vorgehen.

3. Der mechanische Zustand eines Massepunkts ist vollstandig definiert durcheinen Punkt (r, r) im sechsdimensionalen µ-Raum. Ein N -Teilchen-Systemwird als Punkt im 6N -dimensionalen Γ-Raum beschrieben (Phasenraum).

4. Die Zeitentwicklung (Dynamik) ist determiniert durch die Newton’schenBewegungsgleichungen

miri = F i(Zustand, t) im Inertialsystem

mi: trage Masse, F i = F inti + F ext

i : KraftDarstellung: Parameter-Darstellung, Bahnkurve, Phasenraumportrat

5. Fur abgeschlossene Systeme gilt das Galilei-Prinzip: Mechanische Geset-ze sind invariant gegen Galilei- Transformationen. Die zehn Integrale derBewegung sind hier immer gultig, die Konstanten sind aber keine Galilei-Invarianten (d.h. sie sind abhangig vom gewahlten Inertialsystem).

6. Die globale Impulserhaltung gilt auch fur nicht abgeschlossene Systeme,falls fur innere Krafte actio = reactio und fur die Summe der außerenKrafte = 0 gilt.

7. Die globale Energieerhaltung gilt auch, falls innere Krafte Zentralkrafte(d.h. sie haben ein Potenzial) und explizit zeitunabhangig sowie außereKrafte

”wattlos“ sind:

Ekin + V = const

Falls außere Krafte Potenzialkrafte sind (aus U , ∂U∂t

= 0, konservativesSystem), gilt

Ekin + V + U = const.

8. Die globale Drehimpulserhaltung gilt auch (bezuglich eines beliebigen ineinem Inertialsystem ruhenden Bezugspunkts), falls innere Krafte Zentral-krafte sind und die Summe der außeren Drehmomente = 0 ist.

9. Reibung zeichnet die Zeitrichtung aus: Relaxion. Bei einem getriebenenharmonischen Oszillator fuhrt sie zu einem Grenzzyklus (Limit-Cycle).


10. Bezuglich eines Nicht-Inertialsystems treten in der Newton’schen Bewe-gungsgleichung zusatzlich Scheinkrafte auf. Diese sind immer ∼ mi. Spezielltreten bei einem rotierenden Bezugssystem Coriolis- und Zentrifugalkraftauf.Einfache Ein-Teilchen-Probleme:

• Freier Fall (konstante Kraft)

• Harmonischer Oszillator (lineare Kraft)

Kapitel III

Mehrteilchensysteme

III.1 Abgeschlossenes Zweiteilchensystem: Ent-

kopplung

m1r1 = F 12(r12) (Kraft von 2 auf 1)

m2r2 = F 21 = −F 12(r12)

Transformation auf Schwerpunkt - und Relativ-Koordinaten:

R =1

M(m1r1 +m2r2), M = m1 +m2

r2 := r1 − r2 = r12 (Relativkoordinate)

⇒ r2 =R

m2(m1 +m2)−

m1

m2r1

r = r1 +m1

m2r1 −

R

m2(m1 +m2)

r1 = R + m2

m1+m2r

r2 = R− m1

m1+m2r

⇒ m1r1 = m1R +m1m2

m1 +m2r = F 12(r) | ·m2

⇒ m2r2 = m2R−m1m2

m1 +m2r = −F 12(r) | ·m1

Addiere die beiden letzten Gleichungen (⇒Einteilchenproblem I):

⇒ MR = 0

53

54 KAPITEL III. MEHRTEILCHENSYSTEME

bzw. subtrahiere (⇒Einteilchenproblem II):

µr = F 12(r)µ = m1m2

m1+m2

µ = reduzierte Masse

Die Bewegungsgleichungen bezuglich R und r entkoppeln also. Damit erhalt manzwei unabhangige Einteilchenprobleme. Dies geht im Allgemeinen bereits nichtmehr fur Dreiteilchenprobleme.

Erhaltungssatze

a) Impulserhaltung

P = m1r1 +m2r2 = MR = P S = 0

Der Relativimplus tragt nicht zum Gesamtimpuls bei.

b) Energieerhaltung

F 12 = −gradV (|r|)E = Ekin + V = const

Ekin =1

2m1r

21 +

1

2m2r

22

m1r21 =

m22m1

(m1 +m2)2r2 +m1R

2+ 2

m1m2

(m1 +m2)rR

m2r22 =

m21m2

(m1 +m2)2r2 +m2R

2 − 2m1m2

(m1 +m2)rR

⇒ Ekin =1

2MR

2+

1

2µr2

Die Gesamtenergie ist also additiv:

E = ES + Er = const

⇒ES =

1

2MR

2= const

Er =1

2µr2 + V (|r|) = const

III.1. ABGESCHLOSSENES ZWEITEILCHENSYSTEM: ENTKOPPLUNG55

c) Drehimpulserhaltung

L = m1r1 × r1 +m2r2 × r2

= m1R× R +m1m2

m1 +m2r × R +

m1m2

m1 +m2R× r +

m1m22

(m1 +m2)2r × r

+m2R× R −m1m2

m1 +m2

r × R− m1m2

m1 +m2

R× r +m2m

21

(m1 +m2)2r × r

L = (m1 +m2)R× R + µr × r = LS + Lr = const

⇒ LS = MR × R = constLr := µr × r = const

(da R und r ungekoppelt sind)

Das abgeschlossene Zweiteilchensystem, entkoppelt in Relativ- und Schwerpunkts-koordinaten, fuhrt exakt zu zwei Einteilchenproblemen. Dies bedeutet:

• Die Bewegungsgleichungen sind entkoppelt.

• Alle Observablen werden in die entsprechenden Teile aufgespalten.

• Die Bilanzgleichungen gelten getrennt fur R- und r-Koordinaten.

• Dies funktioniert nicht in Anwesenheit außerer Krafte.

Anmerkungen

1. Diese Entkopplung ist fur N > 2 im Allgemeinen nicht moglich.

2. Selbst die Schwerpunktsbewegung lasst sich im Allgemeinen nicht exaktseparieren (Reduktion N -Teilchen-Problem → (N − 1)-Teilchen-Problem).

3. Jakobi-Koordinaten (vgl. Kap. III.5) sind verallgemeinerte Schwerpunkts-und Relativkoordinaten:

(r1, r2, . . . , rN)→ (R, ξ1, . . . , ξ

N−1)

Problem: Die kinetische Energie bleibt entkoppelt (wie in den ursprungli-chen Koordinaten), aber die potenzielle Energie separiert im Allgemeinennicht (Uberlagerung von Zweikorperkraften). Eine Ausnahme sind lineareSysteme.

V (R, ξ1, . . . , ξ

N−1) 6= V0(R) + V (ξ

1, . . . , ξ

N−1)


4. Wir wissen zwar, dass sich R bezuglich einer Inertialbasis gleichformig ge-radlinig bewegen muss, konnen aber dessen Bahnkurve trotzdem nur be-rechnen, indem wir das Gesamtproblem losen (oder Naherungen machen).

5. COM-Basis (center of mass): R = 0. Dies ist eine nutzliche Basis, aberTransformationen auf das Labor- System erfordern die Kenntnis von R(t).Dieses ist wieder nur nach Losung des Gesamtproblems bekannt.

III.2 Kepler-Problem

Ziel: Herleitung der verschiedenen Bahntypen aus dem Kraftgesetz.

F ij(rij) = −Gmimj

r2ij

rij|rij|

rij = ri − rjF ij : Kraft von j auf i

III.2.A Erhaltungssatze

Zwei-Korper-Problem: r12 = r

⇒ µr = −Gm1m2

r2

r

|r| , G = 6, 67 · 10−11 m3

kg s2

Drehimpulserhaltungssatz: Die Bewegung verlauft in einer Ebene, die durch r(t =0) und v(t = 0) aufgespannt wird. Man wahlt ebene Polarkoordinaten:

x(t) = r(t) cosϕ(t)y(t) = r(t) sinϕ(t)

x = r cosϕ− r sinϕ ϕ

y = r sinϕ+ r cosϕ ϕ

Relativ-Drehimpuls:

Lx = µr × r = const

Lrx = Lr,y = 0

Lrz = µ(xy − yx) = µr2ϕ

⇒ ϕ(t) =Lrzµr2(t)

III.2. KEPLER-PROBLEM 57

U = −Ar

(Gravitationspotenzial)

F 12 = −∇U = − A2

|r|2r

|r| ⇒ A = Gm1m2 > 0 (anziehend)

Relativ-Energie/Energiesatz:

x2 + y2 = (r2 + r2ϕ2 − rr sinϕ cosϕ ϕ+ rr sinϕ cosϕ ϕ)

const = Er =1

2µ(r2 + r2ϕ2)− A

r(t)=

1

2µr2 +

1

2µ

L2rz

r2− A

r︸︷︷︸

Veff

Eindimensionales Problem mit effektivem Potenzial (=Gravitation+Zentrifugal-Potenzial)

V

r

Veff

VZ

U

III.2.B Bahnkurve in Polarkoordinaten (Konfigurations-

raum)

r = r(ϕ)

dr

dt=

dr

dϕ· ϕ =

dr

dϕ

Lrzµr2

Koordinatentransformation:

σ(ϕ) :=1

r(ϕ),

dσ

dϕ= − 1

r2

dr

dϕ

Durch Drehimpuls ausgedruckt:

⇒ r = −dσ

dϕ

Lrzµ


Setze r in Energiesatz ein:

Er =L2rz

2µ

[(dσ

dϕ

)2

+1

r2

]

− A

r= const | · 2

A

Parameter:

l :=L2rz

Aµ> 0, l = 0 : Bewegung durch Zentrum

⇒ l

(dσ

dϕ

)2

+l

r2− 2

r=

2ErA

| · l

Definiere dann

ω(σ) ≡ −lσ + 1 = − lr

+ 1⇒ r = − l

ω − 1,

also

ω2 =l2

r2− 2l

r+ 1

und

dω

dϕ=

dω

dσ

dσ

dϕ= −ldσ

dϕ

⇒(

dω

dϕ

)2

+ ω2 =2Erl

A+ 1 ≡ ε2

(inhomogene, nichtlineare Differenzialgleichung erster Ordnung)

Losung:

ω(ϕ) = ±ε cos(ϕ− ϕ0), ε ≥ 0

Beweis:

dω

dϕ= ∓ε sin(ϕ− ϕ0)


Zuruck in ursprungliche Koordinaten:

r = − l

ω − 1=

−l±ε cos(ϕ− ϕ0)− 1

≥ 0

r(ϕ) =l

∓ε cos(ϕ− ϕ0) + 1

(Polarkoordinatendarstellung eines Kegelschnitts)ε =

”Exzentrizitat“

Ein anderes Vorzeichen bei ε fuhrt nur zu einer anderen Phase ϕ0. Im folgendenwird ϕ0 ≡ 0 und das Vorzeichen bei ε positiv gewahlt.

III.2.C Transformation auf kartesische Koordinaten

Verschobenes Koordinatensystem (Kraftzentrum nicht im Nullpunkt)Ansatz:

x = r cosϕ+ c r =l

1 + ε cosϕ(Bahn)

y = r sinϕ

r2 = l2(

1

1 + ε cosϕ

)2

= l2(

1− ε cosϕ

1 + ε cosϕ

)2

= (l − εr cosϕ)2

Andererseits:

r2 = (x− c)2 + y2 = [l − ε(x− c)]2

Ziel: c so bestimmen, dass die in x linearen Terme verschwinden.

x2 − 2cx︸︷︷︸

+c2 + y2 = l2 + ε2x2 − 2xcε2︸︷︷︸

+c2ε2 − 2lεx︸︷︷︸

+2lεc (III.1)

Also:

−2cx!= −2cxε2 − 2lεx

c(1− ε2) = lε

⇒ c =εl

1− ε2 ε 6= 1 (Er 6= 0)

Restterme:

(1− ε2)x2 + y2 = −c2 + l2 + c2ε2 + 2lεc

= c2(ε2 − 1) + l2 + 2lεc

= − ε2l2

1− ε2 + l2 +2l2ε2

1− ε2 = l2−ε2 + (1− ε)2 + 2ε2

1− ε2 = l21

1− ε2


(1− ε2)2

l2x2 +

1− ε2l2

y2 = 1

a2 :=l2

(1− ε2)2

b2 :=l2

1− ε2 =l2

(1− ε2)2− ε2l2

(1− ε2)2= a2 − c2 ≷ 0

x2

a2+

y2

a2 − c2 = 1 Kegelschnitt

i. Er < 0: gebundene Zustande

1− ε2 = −2Erl

A> 0 ⇒ 0 < ε < 1

c2

a2= ε2 ⇒ c < a

a =l

1− ε2 =A

2|Er|b2 = al > 0

B1

B2

b

y

x

r

c j

P

Kraftzentrum

a

a− c = a(1− ε) = l1+ε

x2

a2+y2

b2= 1 Ellipse

ε = 0 : a2 = b2 Kreis


ii. Er > 0: Streu-Zustande

1− ε2 = −2Erl

A< 0⇒ ε > 1⇒ c > a

b2 = a2 − c2 < 0x2

a2− y2

b2= 1 2 Hyperbelaste

Asymptoten:

r =l

1 + ε cosϕr →∞ : ε cosϕ∞ = −1

y

xc

a

P

j¥

j

Physikalischer Astbei Anziehung

Bei Abstoßung wird der linke Ast realisiert.

iii. Er = 0

ε = 1 (oben ausgeschlossen) a = c⇒ b = 0

(III.1) x2 −2cx+ c2 + y2 = l2 + x2 + 2cx+ c2 − 2lx+ 2lc

y2 = 2lx− 2lc− l2 = 0

c frei wahlbar: c ≡ 0Parabel:

y2 = l2 − 2lx

l2


III.2.D Kepler’sche Gesetze

1. Gesetz

Die gebundenen Bahnen sind Ellipsen. Das Kraftzentrum ist in einem der Brenn-punkte.Schwerpunktsystem:

R ≡ 0 (=Kraftzentrum)

r1 =m2

m1 +m2r

r2 = − m1

m1 +m2

r

In ebenen Polarkoordinaten:

r1(ϕ1) =m2

m1 +m2

l

ε cosϕ1 + 10 < ε < 1

r2(ϕ2) =m1

m1 +m2

l

ε cosϕ2 + 1ϕ2 = ϕ1 + π

cosϕ2 = cos(ϕ1 + π) = − cosϕ1

(vgl. Abb. unten)m1 = m2 : Maßstabsfaktor:

f1 =m1

m1 +m2=

m2

m1 +m2= f2 =

1

2⇒ l1,2 →

l

2

x ,x1 2

j1

m1

m2

1 2

“elastische Hantel”, sich bewegend um =0R

r2

r1

d.h. a1 = a2 =a

2

b1 = b2 =b

2etc.

Der Schwerpunkt ist der gemeinsame Brennpunkt beider Ellipsen. Die beidenEllipsen sind um ϕ0 = π zueinander verkippt.m1 m2 :

f1 =m2

m1 +m2≈ 1, f2 1

r2 r1 ≈ r


x ,x1 2

m1

m2

1

2

2. Kepler’sches Gesetz

Die Flachengeschwindigkeit ist konstant.

dF = |r × dr|

dF

dt=

1

2|r × r| = 1

2µ|Lr| = const

(gilt im Schwerpunktsystem auch fur die Einzelbahnen)

3. Kepler’sches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten (um die Sonne) verhalten sich wiedie Kuben der großen Halbachsen.Fur den gesamten Umlauf t = T ist F = πab.

dF

dt→ F

T=

Lrz2µ⇒ T =

2µπab

Lrz(T

2π

)2

=µ2a2b2

L2rz

(b2=al)=

µ2a3l

L2rz

„

l=L2rzAµ

«

=µa3

A=

a3

(m1 +m2)G

m1 m2 = MSonne(gleicher Zentral-Stern)

⇒ T 2

a3∼ const fur alle Planetenbahnen (mechanische Ahnlichkeit)

III.2.E Bertrand-Theorem (1873)

Sei fur einen gebundenen Zustand

F 21 = f(r12)r21

|r21|(Zentralkraft),

so existieren geschlossene Bahnen fur alle Anfangsbedingungen nur fur

f(|r12|) ≈1

|r12|2und f(r12) ≈ |r12|.


Energiesatz:

Er =1

2µ(r2 + r2ϕ2) + U(r) =

1

2µr2 + Veff

Veff =1

2µ

L2rz

r2+ U(r)

rmin rmax r

E

Veff

rmin

rmaxr=| |=

0(nicht 0)v

Geschlossen für alleAnfangsbedingungen

rmin rmax

r

EVeff

rmin

rmax

Geschlossen

U~| |²rharmonischer Oszillator, isotrop

rmin

rmin

rmax

nicht-geschlossen bei Störungenz.B. Perihel-Drehung(Lissajous-Figuren)(Rosettenbahnen)

U = −Ar

L2rz > 0

Veff = 12µ

L2rz

r2+ 1

2kr2

III.2.F Lenz’scher Vektor

Def.:

L := µr × Lr − µAr

|r|

A = Gm1m2 > 0

L⊥Lr, Lr⊥r ⇒ L in Bewegungsebene

Behauptung:

dL

dt= 0


Beweis:

µr = −Ar2

r

|r| (Newton)

Lr = µr × r

⇒ µr × Lr = −µAr3

[r × (r × r)]

Rechte Seite = −µAr3

[r(rr)− r2r

]; r · r =

1

2

d

dt(r · r) =

1

2

d

dt(r2) = rr = r|r|

= −µAr3

[r|r| − r|r|]d

dt

(r

|r|

)

=r|r| − r|r||r|2 Quotientenregel

⇒ Rechte Seite = µAd

dt

(r

|r|

)

Lr = 0:

⇒ d

dt(µr × Lr) = µr × Lr

⇒ d

dt

(

µr × Lr − µAr

|r|

)

= 0 ⇒ L = const

L: Vorzugsrichtung in Bewegungsebene.Es gibt bezuglich Relativkoordinaten maximal sechs Integrale der Bewegung(=Anfangsbedingungen).Interpretation:

1. Eine Konstante legt fest, wo sich auf der Bahn das Teilchen zur Zeit tbefindet (Gedachtnis)

2. Er3.-5. Lr

6. uber L (L⊥Lr)Es handelt sich also um ein integrables System (falls nicht integrabel: nur E wareErhaltungsgroße).

Orientierung von L

(→Nolting)Betrachte

Lr = µ(r × Lr)︸︷︷︸

µ(r×r)Lr=L2r (Spatprodukt)

r − µAr

Lr = |L|r cosϕ


⇒ µAr + |L|r cosϕ = L2r = const

r +|L|µA︸︷︷︸

≡ε

r cosϕ =L2r

µA= l

⇒ |L| = εµA

Falls Kreisbahn: ε = 0, |L| = 0

⇒ r =l

1 + ε cosϕL in Richtung großer Halbachse a

L ‖ x

Der Lenz’sche Vektor ist nur fur das 1/|r| - Potenzial eine Erhaltungsgroße.

III.3 Streuung im Zentralfeld

III.3.A Problemstellung

Schwerpunkts- (R) und Relativkoordinaten (r):

r = r1 − r2

v = r1 − r2

µ =m1m2

m1 +m2

MR = 0⇒ R = V ext = const

µr = F 21(r) = −∇U(|r|)

Er =1

2µv2 + U(|r|)

Lr = µr × v = const

Annahme:

U(|r|) = const fur |r| > a

⇒ F 21(r) = 0 fur |r| > a (begrenzte Reichweite) ⇒ asymptotische Bewegungen

III.3. STREUUNG IM ZENTRALFELD 67

Def. Stoßproblem (”zentraler Stoß“)

Anfangszustand fur t→ −∞ : |r| > a freies”Teilchen“ mit Geschwindigkeit v

Stoßparameter b:

Lr = const⇒ ebene Bewegung1

µLr = r × v

⇒ |Lrz| = µbv = const

b =|Lrz|µv

Abstand, in dem ein Teilchen ohne Wechselwirkung am Zentrum vorbeifliegenwurde.Endzustand:

t→ +∞ |r| > a Freies”Teilchen“ mit v′

”INPUT-OUTPUT-Analyse“ (systemtheoretischer Aspekt), die genaue Bahn in-

teressiert nicht.

Streuvorgang

Elastischer Stoß:

Er = const

|r| > a : Er =1

2µv2 = const

⇒ |v| = |v′| =

√

2Erµ

b =|Lrz|√2µEr

v2 = r2 + r2ϕ2 = r2 +1

µ2

L2rz

r2(ebene Polarkoordinaten)


Mindestabstand:

Er = Veff(rmin) = U(rmin) +Lrz

2µr2min

(r = 0!)

Hilfsvektor (Impulsubertrag):

k ≡ µ(v′ − v)

k = 2µv sinϑ

2ϑ : Ablenkwinkel

Fur eine ebene Bewegung und |v′| = |v| ist ϑ die einzige Unbekannte (ebenerStoß).

1µk

v sin ϑ2

III.3.B Berechnung von ϑ

Drehimpulssatz:

Lrz = µr2ϕ ebene Polarkoordinaten

⇒ Lrzdt = µr2dϕ⇒ dt =µr2

Lrzdϕ (III.2)

Energiesatz:

Er =1

2µr2 +

1

2µ

L2rz

r2+ U(r)

⇒ r =

[2

µ

(

Er − U −L2rz

2µr2

)] 1

2

⇒ dt =dr

√

2µ

(

Er − U − L2rz

2µr2

) (III.3)

(III.2)=(III.3):

dϕ =Lrzdr

r2

√

2µ(

Er − U − L2rz

2µr2

) =bdr

r2

√

1− UEr− b2

r2


Integration uber korrespondierende Grenzen:

∫ ϕ(r→∞)

ϕ(rmin)

dϕ = ϕ(r →∞)− ϕ(rmin) = ϕ∞ =

∫ ∞

rmin

. . .dr

da ϕ(rmin) = 0 vgl. Zeichnung

Kraftzentrum

a

r

b

x

rmin

Asymptote

(t ® ¥)

Asymptote

(t ® -¥)

J

j¥

j¥

Wechselwirkungs-

bereich F2 1¹0

physikalischer Astbei Abstoßung

z.B. U = +Ar

ϕ∞ =

∫ ∞

rmin

bdr

r2

√

1− UEr− b2

r2

ϑ = |π − 2ϕ∞|0 ≤ ϑ ≤ π

III.3.C Rucktransformation auf die Teilchen-Koordinaten

r1 = R +m2

m1 +m2

r

r2 = R − m1

m1 +m2r


a) Laborsystem:

V : Schwerpunktgeschwindigkeitvor dem Stoß:

v1 := V +m2

m1 +m2v

v2 := V − m1

m1 +m2v

nach dem Stoß:

v′1 := V +m2

m1 +m2

v′

v′2 := V − m1

m1 +m2

v′

V =m1v1 +m2v2

m1 +m2= V ′ unverandert

⇒ v′1 =m1v1

m1 +m2+

m2v1

m1 +m2+

m2

m1 +m2(v2 −v1)︸︷︷︸

=−v

+m2

m1 +m2v′

k

m1

=m2

m1 +m2

(v′ − v)

m1v′1 = m1v1 + k

m2v′2 = m2v2 − k

k = Impulsubertrag

b) Schwerpunktsystem

R ≡ 0⇒ V = 0

u : Schwerpunktsystem, v : Laborsystem; vor dem Stoß:

u1 ≡m2

m1 +m2v = v1 − V

u2 ≡ − m1

m1 +m2

v = v2 − V

⇒ u2 = −m1

m2u1

⇒ |p1| = m1|u1| = m1

m2

m1|u2| = |p2

|


Elastischer Stoß:

|v′| = |v| ⇒|u′1| = |u1||u′2| = |u2|

Wie im Laborsystem gilt auch hier (wegen u′1 = v′1 − V etc.)

m1u′1 = m1u1 + k

m2u′2 = m2u2 − k

Schwerpunktsystem:

|p1| = |p

2| = |p′

1| = |p′

2|

p1

p2

p1’

p2’

J

J

Beim ebenen Stoß ist ϑ aus den Stoßparametern und U(r) zu berechnen.

Streuformeln: (Zentralkraft, ebener Stoß-Prozess)

Er =1

2µv2 + U(|r|) =

1

2µr2 +

1

2µ

L2rz

r2+ U(r)

rmin : Er =1

2µ

L2rz

r2+ U(rmin) (r = 0)

b =|Lrz|µv

=|Lrz|√2µEr

v : außerhalb Streubereich (freies Teilchen)

ϕ∞ =∫∞

rmin

bdr

r2q

1− UEr

− b2

r2

ϑ = |π − 2ϕ∞|


III.3.D Offenes Zweiteilchensystem: Inelastischer Stoß

Es gilt der Impulssatz

R = 0

Energiesatz:

Er =1

2µv2 =

1

2µv′2 +Q

⇒ |v′| =

[

v2 −Q 2

µ

] 1

2

; Q ≤ 1

2µv2 = Er

Annahme: Q geht uber in andere (thermische) Freiheitsgrade und verschwindetdamit aus der mechanischen Energiebilanz. Dann gilt:

Etot =1

2MV 2 + Er ≥

1

2MV 2

Satz von Carnot uber die obere Grenze der Energieumwandlung beim inelas-tischen Stoß.Falls die fur die Wechselwirkung verantwortliche Kraft keine Zentralkraft ist,muss der Stoßprozess kein ebener Stoß sein. Zur Beschreibung genugt dann nichtnur ein Streuwinkel.

III.3.E Differenzieller Streuquerschnitt (Teilchenstrahlen)

Betrachtung in dreidimensionalem Raum (Zylindersymmetrie).Def.:

σ(Ω)dΩ =Zahl der im Raumwinkel dΩ pro Zeit gestreuten Teilchen

einfallende Teilchenintensitat I


h

FM

dq

qz

R

“Kugelschicht”

Z

Kugelschicht-Mantelflache (Z =Kugel-Zentrum):

FM = 2πRh dFM = 2πRdh

Kugelkoordinaten: z = r cosϑ, dz = −r sin ϑdϑ

⇒ dh = r sinϑdϑ

dFM = 2πR2 sinϑdϑ (Flachenelement in Kugelkoordinaten)

Raumwinkel:

dΩ =dFM

R2= 2π sinϑdϑ

Anmerkung: Zum Begriff Raumwinkel vergleiche:

dj

R

dW

R

ebener Winkel d dj= l/R Raumwinkel d dW= F/R2

dl

dF


db

b

v

Zentrum

a

r

dJ

J

dW

2 d(Ringfläche)

pb b

| |r ?a* )

z

I

∗) Kugelradius r liegt im Fernbereich (d.h. dort wo die Detektoren sind). Furr → ∞ ist aber ϑ identisch mit dem Streuwinkel zwischen v und v′ (anders alsim Bild zu sehen).

dΩ = 2π sinϑdϑ (ϑ : Streuwinkel)

2πbdbI︸︷︷︸

Intensitat durch Ring

= σdΩI︸︷︷︸

Intensitat durch Kugelschicht

2πbdb = σ2π sinϑdϑ

⇒ σ(ϑ) =b(ϑ)

sinϑ

∣∣∣∣

db

dϑ

∣∣∣∣

Dimension Flache

Gesamte Streurate (totaler Streuquerschnitt):

σtot =

∫

σ(Ω)dΩ = 2π

∫ π

0

σ(ϑ) sinϑdϑ

III.3.F Anwendungen

i. Kein Potential, U(r) = 0

⇒ Er =L2rz

2µr2min

; rmin =Lrz√2µEr

= b

ϕ∞ = b

∫ ∞

b

dr

r√r2 − b2


Integraltafel:∫

dx

x(x2−α2)12

= 1α

arccos αx; α = b, x = r

ϕ∞ = arccos 0− arccos 1 =π

2ϑ = π − 2ϕ∞ = 0

Also gilt unabhangig von b:

⇒ ϑ = 0 = const⇒ db

dϑ= 0⇒ σ = 0

ii. Harte-Kugel-Potenzial

U(r) =

0∞ fur

r ≥ R0

r < R0

rmin =

R0

bfalls

b < R0

b > R0

v

v’

b

R0

Jj¥

Bahnen = Asymptoten (Geraden)

b > R0 : Wie Fall i.b < R0 :

ϕ∞ = b

∫ ∞

R0

dr

r(r2 − b2) 1

2

=π

2− arccos

b

R0

⇒ ϑ = π − 2ϕ∞ = 2 arccosb

R0

⇒ cosϑ

2=

b

R0< 1


Damit ist also

b = R0 cosϑ

2⇒∣∣∣∣

db

dϑ

∣∣∣∣=R0

2

∣∣∣∣sin

ϑ

2

∣∣∣∣

σ =b

sinϑ

∣∣∣∣

db

dϑ

∣∣∣∣=

bR0

2 sinϑ

∣∣∣∣sin

ϑ

2

∣∣∣∣=

R20

2 sinϑcos

ϑ

2sin

ϑ

2

sin 2α = 2 sinα cosα

⇒ σ(ϑ) =R2

0

4isotrop

J

R0

J = p

J = 0

iii. 1r-Potenzial

U(r) = −Ar

(Gravitation, Coulomb)

Betrachte Bahnkurve (physikalischer Hyperbelast):

x2

a2− y2

c2 − a2= 1⇒ c2 − a2 > 0

ε =c

a> 1

Polarkoordinaten:

r =l

1 + ε cosϕ


r →∞:

ε cosϕ∞ → −1

cosϕ∞ = −1

ε

tanϕ∞ = ±√

1− cos2 ϕ∞

cosϕ∞= ∓ε

(

1− 1

ε2

) 1

2

= ∓(ε− 1)1

2

= ∓(

2Erl

A

) 1

2

(vgl. III.2)

l =L2rz

Aµ; b2 =

L2rz

2µEr⇒ 2ErL

2rz

A2µ=

4E2r b

2

A2

⇒ tanϕ∞ = ∓2bErA

Er =µ

2v2 (im ∞)

tanϕ∞ = ∓µbv2

A

tanϕ∞ = cot(π

2− ϕ∞

)

= cotϑ

2

cotϑ

2=

µbv2

A

b → ∞ ϑ→ 0b → 0 ϑ→ π


Differenzieller Streuquerschnitt:

σ(ϑ) =b

sinϑ

∣∣∣∣

db

dϑ

∣∣∣∣

b(ϑ) =A

µv2cot

ϑ

2db

dϑ= −1

2

A

µv2

1

sin2 ϑ2

σ(ϑ) =A cot ϑ

2

sinϑ µv2

A

2µv2

1

sin2 ϑ2

sinϑ = 2 sinϑ

2cos

ϑ

2

σ(ϑ) =A2

4µ2v4

1

sin4 ϑ2

Anisotrop. Divergiert fur ϑ = 0 (Vorwartsstreuung) und ϑ = π. Ebenso divergiertdie gesamte Streurate (unendliche Reichweite der Wechselwirkung). Streuszenarioeigentlich nicht gultig!

Anwendung: Rutherford-Streuung

Coulomb-Gesetz:

A =1

4πε0e1e2, ei ≷ 0 (Ladung)

m1 = M1 m2 :

m1 = Kernmasse

m2 = Masse des α-Teilchens

e2 = 2e1

A

µ' e1e2

4πε0m2≷ 0

Das Vorzeichen hat keinen Einfluss in der Streuformel.Beachte: Das Coulomb-Potenzial wird durch die Elektronenhulle abgeschirmt,somit ist σtot endlich (Teilchen mit Stoßparameter Atomradius erfahren keineAblenkung mehr; fur die Gravitation gibt es dagegen keine Abschirmung).

III.4. LINEARE N -TEILCHEN-SYSTEME: NORMAL-SCHWINGUNGEN 79

III.4 Lineare N-Teilchen-Systeme:

Normal-Schwingungen

Anmerkung: Analytisch losbare Modelle typischerweise im Bereich von Ein- undZwei-Teilchen-Problemen. Hier ein analytisch losbares N -Teilchen-Problem.

Struktur-Modell:

Schwingungen um die Gleichgewichtskonfiguration. Die Gleichgewichtskonfigura-tion ist gekennzeichnet durch minimale Energie.

E =N∑

i=1

1

2miv

2i + V (r1, r2, . . . , rN )

Gleichgewichtszustand:

∂V

∂ri

∣∣∣∣0

= 0 i = 1, 2, . . . , N

Sei Y = yi, i = 1 . . . 3N = r1, . . . , rN Konfigurationsraum (3N -dimensional)

∂V

∂yj

∣∣∣∣0

= 0⇒ yj0 ”Struktur“

Taylorentwicklung (um Gleichgewicht):

V (y1, . . . , y3N) ≈ V (y01, . . . , y03N) +∑

i

∂V

∂yi

∣∣∣∣uj

+1

2

∑

j,j′

(∂2V

∂yj∂yj′

)

yj=yj0,yj′=yj′0

(yj − yj0)(yj′ − yj′0)

⇒ V (y10 + u1, y20 + u2, . . .) = const +1

2

∑

j,j′

Vjj′ujuj′ uj = yj − yj0

wobei (uj = Auslenkung der Koordinate yj aus Gleichgewicht yj0)

Vij ≡∂2V

∂yi∂yj

∣∣∣∣yi=yi0

=∂2V

∂ui∂uj

∣∣∣∣0

uj = yj∂V

∂yj=

∂V

∂ujetc.


mjuj = − ∂V∂uj

= −∑

i

Vjiui

Gekoppeltes (lineares) System von Gleichungen j = 1, 2, . . . , 3NMatrix-Schreibweise:

M :=

m1 0 0 · · ·0 m2 0 · · ·0 0 m3 · · ·...

......

. . .

(V )ij := Vij

MU = −V U

U = u1, . . . , u3N : 3N -dimensionaler Auslenkungsvektor

Normalschwingungen

Komplexer Losungsansatz (lineare Gleichung):

U = A exp(−iωt)

(= Definition von Normalschwingungen: Alle Auslenkungen haben gleiche Fre-quenz!)

⇒ (V − ω2M)A = 0 Eigenwertgleichung

Charakteristische Gleichung:

det |V − ω2M | = 0

Gleichung 3N -ten Grades ⇒ 3N Losungen ω2ν, ν = 1, 2, . . . , 3N . Die zugehori-

gen Eigenvektoren Aν werden dann bestimmt nach Einsetzen von ων aus derEigenwertgleichung (siehe Beispiel eingespannte Kette, Kap. III.4.A).

Allgemeine Losung

Uberlagerung von Normalschwingungen (Superpositionsprinzip gilt, da Gleichun-gen linear). Mit der Uberlagerung treten nun mehrere Frequenzen auf).


Beispiel: Einatomige lineare Kette

i = 1, 2, ...N

m f f

a ui ui+1

mj = m

Gleichgewichtsstruktur:

yi = yi0

yi0 = yi−1,0 + a

Nachste Nachbar-Wechselwirkung (Zweikorperkrafte), interpretierbar als”Feder-

krafte“

V =∑

j

1

2f(uj − uj+1)

2 ≡ 1

2

∑

j,j′

Vjj′ujuj′

Vll = 2f ; Vl,l±1 = −f∂V

∂ul= f(ul − ul+1)− f(ul−1 − ul)

mul = −f(2ul − ul−1 − ul+1)

Ansatz: ul = Al exp(−iωt)

⇒ −mω2Al + 2fAl − fAl−1 − fAl+1 = 0

Charakteristische Gleichung: Tridiagonalmatrix:

det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

......

......

...· · · 0 −f 2f − ω2m −f 0 · · ·

· · · 0 −f 2f − ω2m −f 0 · · ·· · · 0 −f 2f − ω2m −f 0 · · ·

......

......

...

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

Daraus ergeben sich N Losungen fur ω2.

III.4.A Eingespannte Kette

N = 2; u0 = 0, u3 = 0


mu1 = −f(2u1 − u2)

mu2 = −f(2u2 − u1)

ul = Al exp(−iωt)

ul = −Alω2 exp(−iωt)

(mω2 − 2f)A1 + fA2 = 0

(mω2 − 2f)A2 + fA1 = 0

(mω2 − 2f f

f mω2 − 2f

)(A1

A2

)

= 0

Eigenfrequenzen:

det

∣∣∣∣

2f −mω2 −f−f 2f −mω2

∣∣∣∣= 0

⇒ (2f −mω2)2 − f 2 = 0

4f 2 − 4fω2m + ω4m2 − f 2 = 0

(ω2m)2 − 4f(ω2m) + 3f 2 = 0

ω21,2m = 2f ± (4f 2 − 3f 2)

1

2

ω21,2 =

2f

m± f

m

ω1 =

(3f

m

) 1

2

ω2 =

(f

m

) 1

2

Eigenfunktionen (= Moden):

(2f −mω2

i −f−f 2f −mω2

i

)(

A(i)1

A(i)2

)

=

(00

)

i = 1, 2

(−f −f−f −f

)(

A(1)1

A(1)2

)

=

(00

)

⇒ A(1)1 = −A(1)

2 →←

(f −f−f f

)(

A(2)1

A(2)2

)

=

(00

)

⇒ A(2)1 = A

(2)2 →→


III.4.B Kette”ohne Rand“: periodische Randbedingun-

gen

Translationsinvarianz

Ansatz:

Al = A(k) exp(ikal)⇒ Al+1 = Al exp(ika)⇒ Al−1 = Al exp(−ika)

in Newton’sche Bewegungsgleichung

−mω2(k)A(k) = −fA(k)(2− exp(−ika)− exp(ika))

= −2fA(k)(1− cos ka)

⇒ ω2(k) =2f

m(1− cos ka)

4(

sinα

2

)2

= 2(1− cosα)

ω(k) = +

√

f

m2 sin

ka

2Dispersionsrelation

2√

f

m

ul(t) = Re (A(k) exp (i(kal − ωt)))

Periodendauer:

ul(t+ T )!= ul(t)

⇒ exp(−iωT ) = 1

⇒ ωT = 2π ⇒ T =2π

ω

Periodische Randbedingungen:

ul+L(t)!= ul(t) (Ring)

exp(ikaL) = 1


k =2π

aLn; n = 0,±1, . . . ,±L

2diskret, L gerade

Moden-Zahl: L=Zahl der Atome (eindimensional)

Wellenlange:

k =2π

λ

⇒ λ =aL

n

λmin = 2a

⇒ nmax =L

2

kmax =2π

λmin=π

a

Verallgemeinerungen:

• Zweiatomige Kette

• Dreidimensionales Gitter

• erweiterte Wechselwirkungen

• verschiedene Randbedingungen

III.5. ERGANZUNGEN 85

III.5 Erganzungen

III.5.A Zusammenfassung

1. Das abgeschlossene Zweikorperproblem und das lineare N -Korperproblemsind exakt losbare Probleme.

2. Das Zweikorperproblem wird durch die Separation in Schwerpunkts- undRelativkoordinaten gelost.

3. Fur N > 3 ist die Abseparation des Schwerpunkts im Allgemeinen nichtmoglich. Ansonsten ware jedesN -Korper-Problem stufenweise reduzierbar∗).

4. Erhaltungsgroßen (Energie, Drehimpuls etc.) schranken mogliche Bahnkur-ven ein.

5. Streuprobleme sind als Zweikorperprobleme ebenfalls exakt losbar, falls dieinneren Krafte Zentralkrafte sind (ebener Stoß).

∗) Exkurs: Worin liegt das Problem?

Betrachte 1-dimensionalen Fall:a) RelativkoordinatenAnzahl

xνµ :N(N − 1)

2

+ 1 Schwerpunktskoordinate.N = 2 : 2 KoordinatenN = 3 : 4 Koordinaten (konnen also nicht unabhangig sein)b) Jacobi-Koordinaten, systematische

”Abseparation des Schwerpunkts“

ξ1 = x1 − x2

ξ2 =1

2(x1 + x2 − 2x3)

ξ3 =1

3(x1 + x2 + x3 − 3x4)

...

ξl =1

l(x1 + x2 + . . .+ xl − lxl+1)

...

ξN =1

N

∑

i

ξi : Schwerpunkt (gleiche Massen)

linear unabhangige Koordinaten, genau N Stuck. Aber: die ξl sind fur N > 2

”unphysikalisch“, d.h. sie treten in tyischen Modellen so nicht auf.


III.5.B Struktur der Newton’schen Mechanik

a) System-Beschreibung

• N -Teilchen (N = 1, 2, . . .)

• Masseparameter mi

• Kraftfelder (Klassifikation: Innere / Außere Krafte etc.)

• Einschrankungen (Zwangsbedingungen)

b) Zustands-Beschreibung

ri, ri; i = 1, 2, . . . , N ; t Punkt im Γ-Raum

c) Methoden

d) Problemstellungen

Kraftfelder → Ort-Zeit-Kurven, Bahnkurven,Phasenraumportrats

Bahntypen → KraftfelderBahn in Bezugssystem 1 → Bahn in Bezugssystem 2Kraftfelder → Erhaltungsgroßen

Bahncharakteristiken (z.B. vmax, xmax etc.)Zustand t1, Zustand t2Asymptotik Zustandt1 → −∞ t2 → +∞ (Streuung)

Stabilitat (gegen Storungen)

e) Was fehlt?

Ausgespart:

• Kompliziertere Zwangsbedingungen

III.5. ERGANZUNGEN 87

• Allgemeine System-Definition / Prinzipien (Integral- / Differenzialprinzipi-en)

Praktisch wichtigstes Verfahren: Lagrange (Kap. IV)Von theoretischem Interesse: Hamilton und Hamilton-Jacobi (Kap. VI)


Kapitel IV

Lagrange-Mechanik

Motivation

Fur viele mechanischen Probleme ist es zweckmaßig, die Newton’schen Bewe-gungsgleichungen in eine andere Form umzuschreiben. Vorteile:

1. Berucksichtigung von Zwangsbedingungen (bestimmter Klasse)

2. einfaches Transformationsverhalten bei Koordinatentransformationen

3. Beziehung zwischen Symmetrien und Erhaltungssatzen

4. Mechanische Systemdefinition (L=Lagrange-Funktion)

5. Der Lagrange-Formalismus ist verallgemeinerbar: Zugang zur Feldtheorie(Lagrange)

IV.1 Zwangsbedingungen

Zwangskrafte:

Außere Krafte, die man zunachst nur uber ihren Einfluss auf die Bewegung kennt.Beispiel:

Gleiten eines Korpers auf gekrummter Oberflache unter Einfluss der Gravitati-on. Die Oberflachenkraft erzwingt eine zweidimensionale Bewegung (Einfluss derUmgebung).

89

90 KAPITEL IV. LAGRANGE-MECHANIK

Klassifikation:

IV.1.A Holonome Beschrankung

fν(r1, r2, . . . , rN , t) = 0, ν = 1, 2, . . . , b

fν : kontinuierliche, differenzierbare Funktion der rNfν ist aufzufassen als Gleichung einer (3N − 1)-dimensionalen Hyperflache im3N -dimensionalen Konfigurationsraum. Die Nebenbedingung ist zu allen Zeitenerfullt:

dfνdt

= 0

skleronom:∂fν∂t

= 0; rheonom:∂fν∂t6= 0

Beispiele

(Kuypers)

• Rollende Scheibe (=starrer Korper) in der Ebene

y

yA

xA x

a

yr

A

B

B : Markierung auf Scheibe

A : Auflagepunkt

3 Koordinaten : xA, yA, ψ

u = 2πr

l = ψr (Bogenmaß)

ψ :”Rollwinkel“

IV.1. ZWANGSBEDINGUNGEN 91

Abrollbedingung:

cosα =xAl

sinα =yAl

xA − rψ cosα = 0yA − rψ sinα = 0

skleronom

• Perle auf rotierendem DrahtZylinderkoordinaten r, z, ϕ

ϕ = ω

z = ar2

ϕ− ωt = 0z − ar2 = 0

rheonomskleronom

IV.1.B Nichtholonome Zwangsbedingungen

• Hyperflache im Phasenraum: fν(r1, r2, . . . , r1, r2, . . . , t) = 0

• Gebietsbeschrankung im Konfigurationsraum: fν(r1, . . . , rN , t) > 0

• Differenzielle Beschrankung

N∑

j=1

= aνjdrj + aνtdt = 0, ν = 1, 2, . . . , b


• Gleiten auf Kugeloberflache

r ≥ R Ungleichung ⇒ nicht-holonom

• Rollende Kreisscheibe (starrer Korper)

x yA

j

J

ry

yA

xA

, , x yA A J y j, ,

A: Auflagepunkt

: Rollwinkely

J: Neigungswinkel

Starrer Korper: 6 Koordinaten, hier: 5 (Ebene)Nebenbedingungen: Abrollbedingung:

dl = rdψ

Projektionen,”differenziell“:∗) nicht-holonom

dxA = −rdψ cosϕ

dyA = −rdψ sinϕ

xA + rψ cosϕ = 0

yA + rψ sinϕ = 0

Anmerkung: Diese Gleichungen konnen nicht integriert werden, da ϕ nichtals Funktion von ψ gegeben ist: Die Rollbedingung sagt nicht, wohin dieScheibe rollt. Erst nach der Losung der Bewegungsgleichungen kann ϕ(ψ)angegeben werden.∗) Anmerkung:

df(xA, yA, ϑ, ϕ, ψ) = dxA + r cosϕdψ = 0


kein vollstandiges Differenzial:

∂f

∂ϕ= 0;

∂f

∂ψ= r cosϕ

aber∂2f

∂ϕ∂ψ= 0 6= ∂2f

∂ψ∂ϕ= r sinϕ

IV.1.C Dynamik: Zwangskrafte

Newton:

mj rj = F j + Zj

Zj :”Zwangskraft“, sie bewirkt eine geometrische Einschrankung der Bahn. Die

Wirkung ist bekannt, die Große ist im Allgemeinen unbekannt.F j :

”eingepragte Krafte“ (=

”physikalische Krafte“: Gravitation etc.). Die Große

ist bekannt, die Wirkung ist zu berechnen.Zwangskrafte modifizieren die Wirkung der eingepragten Krafte. Aber wie?

Teilchen im Kreiskegel

Punktmasse auf der Innenseite eines Kreiskegels (Spezialfall: schrage Ebene)

Zylinderkoordinaten (r, z, ϕ):

x = r cosϕ

y = r sinϕ

z = z

Zwangsbedingung:

tanα =r

z


r − z tanα = 0

Fur die Dynamik reicht die Zwangsbedingung nicht aus: Wie wird die Wirkungeingepragter Krafte modifiziert?

mx = Zx my = Zy mz = −mg + Zz

⇒ x = r cosϕ− r sinϕ ϕ

x = r cosϕ− 2r sinϕ ϕ− r cosϕ ϕ2 − r sinϕ ϕ

y = r sinϕ+ 2r cosϕ ϕ− r sinϕ ϕ2 + r cosϕ ϕ

z = r cotα

In Newtonsche Bewegungsgleichung:

m(r cosϕ− 2rϕ sinϕ− rϕ sinϕ− rϕ2 cosϕ) = Zx (IV.1)

m(r sinϕ+ 2rϕ cosϕ+ rϕ cosϕ− rϕ2 sinϕ) = Zy (IV.2)

m(r cotα + g) = Zz (IV.3)

Drei Gleichungen mit funf Unbekannten: r, ϕ, Zx, Zy, ZzZusatzbedingungen notwendig!Annahme: Zwangskraft Z⊥ Kegelwand

m

a

g

a

|Z |r

ZZz

er

ez

Zz|Zr|

= tanα

|Zr| = (Z2x + Z2

y )1

2

Zz = (Z2x + Z2

y )1

2 tanα (IV.4)

Projektion auf die x/y-Ebene:


x

yj

|Z |r Zx

Zy

Zx|Zr|

= cosϕZy|Zr|

= sinϕ

⇒ Zx sinϕ = Zy cosϕ (IV.5)

Zy = Zx tanϕ

|Zr|2 = (Z2x + Z2

y) =Z2x

cos2 ϕ

(IV.5)⇒ Zz = −Zx1

cosϕtanα (IV.6)

Beachte die Richtung von Z gemaß Skizze. Zx, Zy sind negativ (bezuglich ex, ey)(IV.1) · sinϕ− (IV.2) · cosϕ :

m sinϕ(r cosϕ− 2rϕ sinϕ− rϕ sinϕ−rϕ2 cosϕ) = Zx sinϕ

−m cosϕ(r sinϕ+ 2rϕ cosϕ+ rϕ cosϕ−rϕ2 sinϕ) = −Zy cosϕ

2rϕ+ rϕ = 0

(IV.1) · tanα+ (IV.3) · cosϕ :

m tanα(r cosϕ− (2rϕ+ rϕ)︸︷︷︸

=0

sinϕ− rϕ2 cosϕ) = Zx tanα

m cosϕ(r cotα+ g) = Zz cosϕ

(tanα + cotα)r − rϕ2 tanα + g = 0

Damit erreicht: 2 Gleichungen fur 2 Unbekannte r, φ. Die Idee der Zusatzbedin-gungen wird nun verallgemeinert.


IV.2 D’Alembert-Prinzip

IV.2.A Virtuelle Verruckung δri, i = 1, 2, . . . , N (zur Zeit t)

=willkurliche, infinitesimale Veranderung der Koordinaten, welche mit den Kraf-ten und Zwangsbedingungen vertraglich ist. Sie wird am System zu einem belie-bigen, aber festen Zeitpunkt (δt = 0) ausgefuhrt, hat also mit der infinitesimalenBewegung (reelle Verruckung) im Zeitintervall dt nichts zu tun.

Beispiel: Perle auf Draht

Der Draht sei gleichformig beschleunigt in y-Richtung

y − 1

2bt2 = 0 Rheonome Zwangsbedingung

∂y

∂t= bt⇒ dy = btdt

dr = dx, dy: reelle Verschiebung, δr = δx virtuelle Verschiebung

Virtuelle Arbeit

Sei

F i = F i + Zi, Zi : beliebige Zwangskraft, i : Teilchenindex

Newton:

F i −mri = 0⇒ (F i −mri)δri = 0

oder

δA =∑

i

(F i −mri)δri = 0

Dies gilt immer. Wir schranken nun ein:

IV.2. D’ALEMBERT-PRINZIP 97

Axiom 5Es exisitiert eine Klasse mechanischer Systeme, fur welchedie gesamte virtuelle Arbeit der jeweiligen Zwangskrafte ver-schwindet (Differenzial-Prinzip).

δA(Z) =∑

i

Ziδri = 0

(Prinzip der virtuellen Arbeit, Kuypers: d’Alembert-Prinzip)

Es ist nicht klar, wie viele Zusatzbedingungen notig sind. Es handelt sich um einphanomenologisches Modell. Es gibt keine Quantenversion.Beachte: Axiom 5 ist eine Idealisierung, ahnlich der von Massepunkten: Die Be-deutung liegt darin, dass es unter dieser Bedingung allgemeine Losungsverfahrengibt. Andere Systeme gibt es, diese sind aber nur durch Spezialverfahren behan-delbar.

Ubersicht uber die Axiome

• Axiom 1: Raum-Zeit

• Axiom 2: Mechanischer Zustand

• Axiom 3: Newtonsche Gesetze

• Axiom 4: Galilei-Prinzip

• Axiom 5: Prinzip der virtuellen Arbeit

Aus Axiom 5 folgt das d’Alembert’sche Prinzip (Kuypers: D’Alembert-Gleichung)

N∑

i=1

(miri − F i)δri = 0

In diesem tauchen die Zwangskrafte nicht explizit auf. Wegen δA(Z) = 0 sind dieδri aber nicht voneinander unabhangig, so dass hier nicht auf das Verschwindender Einzelsummanden geschlossen werden kann.Das d’Alembert-Prinzip gilt fur holonome wie nichtholonome Zwangskrafte unterAxiom 5. Ohne Zwangsbedingungen ergibt sich die Newton’sche Gleichung. Eslasst sich anschaulich aber am ehesten fur holonome Zwangskrafte deuten.

Beispiel: Direkte Verwendung der d’Alembert-Gleichung: Teilchen imKreiskegel (3 Koordinaten)

Schwerkraft:

g = (0, 0,−g)


(mr −mg)δr = m(xδx+ yδy + (z + g)δz) = 0 (1 Bedingung)

r = (x, y, z) = r(cosϕ, sinϕ, cotα)

dx =∂x

∂rdr +

∂x

∂ϕdϕ = cosϕ dr − r sinϕ dϕ

δr =

δx = cosϕ δr − r sinϕ δϕδy = sinϕ δr + r cosϕ δϕδz = cotα δr

nicht unabhangig, daverbunden uber dasPrinzip δA(Z) = 0

Bereits berechnet (IV.1):

x = r cosϕ− 2r sinϕ ϕ− r cosϕ ϕ2 − r sinϕ ϕ

y = r sinϕ+ 2r cosϕ ϕ− r sinϕ ϕ2 + r cosϕ ϕ

z = r cotα

Setze r und δr in das d’Alembert-Prinzip ein:

(2rϕ+ rϕ)rδϕ+[(tanα+ cotα)r − rϕ2 tanα + g

]cotα δr = 0

δr und δϕ sind unabhangig.

2rϕ+ rϕ = 0(tanα + cotα)r − rϕ2 tanα + g = 0

wie vorher (IV.1.C)

IV.2.B Holonome Zwangskrafte und Lagrange-Gleichung

erster Art

Beispiel: Einteilchensystem mit einer Zwangskraft

f(r, t) = 0 Flache im dreidimensionalen Konfigurationsraum

⇒ ∇f : Vektor ⊥ Flache

Deutung:

δr = τ (r, t)Tangentenvektor an f im Punkt rzur Zeit t (beliebig in der Tangentialebene)

Z = λ∇f λ : Parameter (zu bestimmen aus Wirkung)

⇒ Virtuelle Arbeit:

δA(Z) = λ∇f · δr = 0


Energiebilanz

Sei F = −∇V ;mr = F + Z

⇒ mrr =d

dt

(1

2mr2

)

= −∇V r + λ∇f r

Damit das Teilchen auf der Oberflache bleibt muss zu allen Zeiten f(r, t) = 0gelten:

df

dt= ∇f r +

∂f

∂t= 0 ⇒ ∇f r = −∂f

∂t

Außerdem ist

dV

dt= ∇V r +

∂V

∂t⇒ ∇V r =

dV

dt− ∂V

∂t

⇒ dE

dt=

d

dt

(1

2mr2 + V

)

=∂V

∂t− λ∂f

∂t

D.h. bei ∂V∂t

= 0 und Z⊥ Oberflache ruhrt der Wechsel der Energie nur von der

Anderung der Oberflache (∂f∂t

) her. δA(Z) = 0 bedeutet hier eine”glatte“ Flache,

d.h. es tritt keine Reibung auf. Ist die Flache dann stationar, so ist r immertangential zu ihr und Zr = 0 (

”reelle“ Arbeit = 0).

Erweiterung auf ein N-Teilchen-System mit b Zwangsbedingungen

Lagrange-Gleichungen erster Art

miri = F i + Zi, i = 1, 2, . . . , N

fν(r1, . . . , rN , t) = 0, ν = 1, 2, . . . , b

Zi =b∑

ν=1

λν∇ifν

Es handelt sich um 3N + b Gleichungen fur 3N Koordinaten und b Faktoren λν.Die Lagrange-Gleichungen erster Art sind aquivalent den Newton’schen Bewe-gungsgleichungen, kombiniert mit dem Axiom 5.

Beispiel: Ebenes mathematisches Pendel


F = (0, 0,−mg)

f1 = x2 + y2 + z2 − l2 = 0

f2 = y = 0

⇒ Zx = λ1∂

∂xf1 + λ2

∂

∂xf2 = λ12x

Zy = λ1∂

∂yf1 + λ2

∂

∂yf2 = λ12y + λ2

Zz = λ1∂

∂zf1 + λ2

∂

∂zf2 = λ12z

I : mx = 2λ1xII : my = 2λ1y + λ2

III : mz = −mg + 2λ1zIV : y = 0V : x2 + y2 + z2 = l2

Funf Gleichungen fur funf Unbekannte x, y, z, λ1, λ2

y ≡ 0(II)⇒ λ2 = 0

Eliminiere λ1:(−z)(I) + (x)(III):

m(−zx + xz) = −mgx

Polarkoordinaten:

x = l sinϕ → Rechte Seite

[x = l ϕ cosϕ]

x = lϕ cosϕ− lϕ2 sinϕ

z = −l cosϕ

[z = l ϕ sinϕ]

z = lϕ sinϕ− lϕ2 cosϕ

xz − zx = lϕ → Linke Seite

⇒ ml2ϕ = −mgl sinϕ


ϕ+g

lsinϕ = 0

Bestimmung von λ1:(x)(I) + (z)(III):

m(xx + zz) = −mgz + 2λ1 (x2 + y2)︸︷︷︸

l2 aus f1

Linke Seite:

xx + zz = −l2ϕ2 (siehe oben)

⇒ −ml2ϕ2 = mgl cosϕ+ 2λ1l2

2λ1 = −(mg

lcosϕ+mϕ2

)

⇒ Zx = 2λ1x = 2λ1l sinϕ = − sinϕ[mg cosϕ+mlϕ2]

Zy = 0 kein Zwang notwendig: ebene Bewegung

Zz = 2λ1z = −2λ1l cosϕ = cosϕ[mg cosϕ+mlϕ2]

|Z| = mg cosϕ+mlϕ2

”Fadenspannung“

Losung:

sinϕ ∼ ϕ : ϕ+ ω2ϕ = 0, ω2 =g

l

ϕ = ϕ0 cosωt mit ϕ0 1 ⇒ cosϕ ≈ 1− ϕ2

2

⇒ ϕ = ϕ0ω sinωt cosϕ ' 1− ϕ20

2cos2 ωt ωt nicht klein

|Z| ' m

[

g − 1

2lω2ϕ2

0 cos2 ωt+ lω2ϕ20 sin2 ωt

]

t = 0 : |Z| = mg −mlω2

2ϕ2

0 < mg (beim Loslassen)

ωt =π

2: |Z| = mg +mlω2ϕ2

0 > mg (unten)

→”Zentrifugalkraft“ |F Z| = mω2l


IV.2.C d’Alembert-Prinzip in generalisierten Koordina-

ten

Koordinatentransformation

R3N → R3N (Konfigurationsraum)

qα = qα(r1, r2, . . . , rN , t) differenzierbar α = 1, 2, . . . , 3N

Die Transformation sei umkehrbar eindeutig: fur die Jakobi-Determinante giltdann

det

(∂qα∂ri

)

6= 0

fur alle Punkte im Konfigurationsraum.Beachte: qα hat nicht unbedingt die Dimension einer Lange.d’Alembert-Prinzip in kartesischen Koordinaten:

N∑

i=1


Transformation: Virtuelle Verruckung

δri =

3N∑

α=1

∂ri∂qα

δqα +∂ri∂tδt

︸︷︷︸

=0

δt = 0 gilt, da die Verruckung virtuell ist.

Def. Generalisierte Krafte

Qα ≡N∑

i=1

F i

∂ri∂qα

= Qα(q1, . . . , q3N , t)

⇒3N∑

α=1

[N∑

i=1

miri∂ri∂qα−Qα

]

δqα = 0

Betrachte:

vi =d

dtri(q1, . . . , q3N , t)

=

3N∑

β=1

∂ri∂qβ

qβ +∂ri∂t

⇒ ∂vi∂qα

=∂ri∂qα

(IV.7)


Analog:

d

dt

∂ri∂qα

=3N∑

β=1

∂

∂qβ

(∂ri∂qα

)

qβ +∂

∂t

∂ri∂qα

[∂

∂t

∂ri∂qα

=∂

∂qα

∂ri∂t

]

=∂

∂qα

[∑

β

(∂ri∂qβ

qβ +∂ri∂t

)]

s.o.=

∂vi∂qα

d

dt

∂ri∂qα

=∂vi∂qα

(IV.8)

Forme um (Produkt-Regel):

N∑

i=1

miri∂ri∂qα

=d

dt

[∑

i

miri∂ri∂qα

]

−∑

i

mirid

dt

∂ri∂qα

=d

dt

[∑

i

mivi∂vi∂qα

(IV.7)]

−∑

i

mivi∂vi∂qα

(IV.8)

Definiere

T ≡ 1

2

∑

i

miv2i (= Ekin)

⇒N∑

i=1

miri∂ri∂qα

=d

dt

∂T

∂qα− ∂T

∂qα

⇒3N∑

α=1

[d

dt

∂T

∂qα− ∂T

∂qα−Qα

]

δqα = 0 (IV.9)

d’Alembert-Prinzip, ausgedruckt uber T , Q in generalisierten Koordinaten. Diesgilt nach wie vor fur holonome und nichtholonome Zwangsbedingungen (unterAxiom 5).Entsprechend:

δA(Z) =

N∑

i=1

Ziδri Zi = Zi(r1, . . . , rN , t)

=3N∑

α=1

N∑

i=1

Zi

∂ri∂qα

︸︷︷︸

≡Zα(q1,...,q3N ,t)

δqα =3N∑

α=1

Zαδqα

Was hat man dadurch gewonnen?


IV.3 Lagrange-Systeme

Definition

Ein Lagrange-System ist ein konservatives System mit holonomen Zwangsbedin-gungen (eingepragte Krafte sind Potenzialkrafte).

IV.3.A Angepasste Koordinaten qα

=spezielle generalisierte Koordinaten.Betrachte holonome Beschrankungen

fν(r1, . . . , rN , t) = 0, ν = 1, 2, . . . , b

Zahl mechanischer Freiheitsgrade:

fm = 3N − b

Konstruktion: Wahle die b letzten qα so, dass sie nur uber diese fν von den riabhangen, d.h.

qf+ν = Rν(f1(r1, . . . , rN , t), f2(r1, . . . , rN , t), . . . , fb(r1, . . . , rN , t))

Beispiel:

Ausgangspunkt: kartesische Koordinaten (x, y, z); b = 2, fm = 1

f1 = z − h Hyperflache: Ebenef2 = x2 + y2 + z2 − R2 Hyperflache: Kugel

Ziel: Zwei Koordinaten zur Erfullung der Zwangsbedingung, eine Koordinate frei.Zylinderkoordinaten: (x, y, z)→ ρ, z, ϕ

q1 = ϕ

q2 = R1(f1) = f1 = z − hq3 = R2(f2) = f2 = ρ2 + z2 − R2

Bei Erfullung der Zwangsbedingungen sind dann die Koordinaten qf+ν , ν =1, . . . , b konstant:

qfm+ν = Rν(0, 0, . . . , 0) = const

IV.3. LAGRANGE-SYSTEME 105

Umkehrung (vorrausgesetzt: Koordinatentransformation ist eindeutig umkehr-bar):

qf+ν = Rν(f1, . . . , fb), ν = 1, . . . , b

⇒ fν = fν(qf+1, . . . , qfm+b)

Zwangskrafte:

Zα =b∑

ν=1

λν∂fν∂qα

⇒ Zα = 0, α = 1, 2, . . . , fm

da ∂fν∂qα

= 0 fur α = 1, 2, . . . , fm

⇒ δA(Z) =

fm∑

α=1

Zαδqα +

fm+b∑

α=fm+1

Zαδqα = 0

fur beliebige Variationen von qα, α = 1, . . . , fm und festen qα, α = fm +1, . . . , fm + b. Die fm ersten qα sind also frei variierbar.⇒ d’Alembert-Prinzip: einzelne Summanden von (IV.9) = 0:

d

dt

∂T

∂qα− ∂T

∂qα= Qα, α = 1, 2, . . . , fm (IV.10)

(Kuypers: fm d’Alembert-Gleichungen)

IV.3.B Lagrange-Funktion

Konservatives System:

F i = −∇iV = −∂V∂ri

V = V (ri(qα, t), t) = V (q1, . . . , qf , t) ”verschiedene Funktionen, aber

gleiche Bedeutung“

Qα =∑

i

F i

∂ri∂qα

= −∑

i

(∇iV )∂ri∂qα

= − ∂V∂qα

⇒ d

dt

∂T

∂qα− ∂T

∂qα= − ∂V

∂qα;

∂V

∂qα= 0

d

dt

[∂(T − V )

∂qα

]

=∂

∂qα(T − V )


Def. Lagrange-Funktion (”naturliche Form“)

L(q, q, t) ≡ T − V (IV.11)

Lagrange-Gleichungen zweiter Art (fm Differenzialgleichungen zweiter Ordnung):

d

dt

∂L

∂qα− ∂L

∂qα= 0, α = 1, 2, . . . , fm (IV.12)

Die Zwangsbedingungen sind verschwunden.

Anmerkungen

1. Mechanisches System hier definiert durch L(qα, qα, t) (Lagrange-Systeme),wobei L = T −V zuerst in kartesischen Koordinaten eingefuhrt wird, danneventuell umgerechnet uber Koordinatentransformation ri = ri(qα, t); ri =ri(qα, qα, t).

2. Nicht jedes mechanische System ist ein Lagrange-System. Aber nach bishe-riger Erfahrung sind abgeschlossene Systeme Lagrange-Systeme. Die Dyna-mik ist definiert durch δL

δqα= 0, wobei

δL

δqα≡ ∂L

∂qα− d

dt

∂L

∂qα≡ ”

Lagrange-Ableitung“(Variationsableitung fur L)

(IV.13)

3. Ohne Zwangsbedingungen sind die Lagrange-Gleichungen zweiter Art iden-tisch mit den Newton’schen Bewegungsgleichungen eines konservativen Sys-tems:

q = r1, . . . , rN

T =1

2

∑

j

mj r2j U = U(r1, . . . , rN , t)

L = T − Ud

dt

∂L

∂rj= mj rj;

∂L

∂rj= −∂U

∂rj= +F j

⇒ mj rj = F j

4. Schema zum Losen von Aufgaben:

• Szenario (Bild)

• Zwangsbedingungen, fm = 3N − b• Angepasste Koordinaten qα

• L = T − V (Trafo kartesisch → qα)

• Lagrange-Gleichungen zweiter Art aufstellen

• (Losung der Lagrange-Gleichungen)


Beispiele

a) Atwood’sche Fallmaschine

Zwei Teilchen, Konfigurationsraum (x1, y1, z1; x2, y2, z2)

a

m1

m2

x1

x2

g=(0,0, )-g

x

y

l+ a=Lp

f1(x1, x2) = x1 + x2 + l = 0

y1 = −ay2 = a

zi = 0, i = 1, 2

⇒ fm = 6− 5 = 1

Angepasste generalisierte Koordinaten:

x1 = q1

x1 = q1

⇒ x2 = l − q1x2 = −q1

V = m1gx1 +m2gx2

V = m1gq1 +m2g(l − q1)

T =1

2(m1 +m2)q

21

L = T − V =1

2(m1 +m2)q

21 − (m1 −m2)gq1 −m2gl

∂L

∂q1= −(m1 −m2)g

∂L

∂q1= (m1 +m2)q1

q1 = x1 = −m1 −m2

m1 +m2g g > 0, x1, x2 > 0 (Einschrankung)


b) Teilchen in Kugelschale

x

y

z

R

j

q

g

Projektion aufEbenex,y-

Zentrifugalkraft

Schwer-kraft

Gesamtkraft=Zwangskraft

z

Zwangsbedingung:

|r2| = R2

f1 = x2 + y2 + z2 − R2 = 0

fm = 3− 1 = 2

Angepasste generalisierte Koordinaten:

q1 = θ

q2 = ϕ (in x, y-Ebene)

Schwerkraft:

K = (0, 0,−mg)

Spharische Polarkoordinaten:

x = R sin q1 cos q2

y = R sin q1 sin q2

z = R cos q1

x = −R sin q1 sin q2 q2 +R cos q1 cos q2 q1 = x(q1, q2, q1, q2) etc.

y = R sin q1 cos q2 q2 +R cos q1 sin q2 q1

z = −R sin q1 q1

V = mgz = mgR cos q1 [V (z = 0) = 0]

T =1

2mr2 =

1

2m(x2 + y2 + z2)


kartesisch → qα:

x2 + y2 + z2 = R2q2[sin2 q1 sin2 q2 + sin2 q1 cos2 q2]

+R2q1[cos2 q1 cos2 q2 + cos2 q1 sin2 q2 + sin2 q1]

+2R2q1q2[−2 sin q1 cos q1 sin q2 cos q2

+2 sin q1 cos q1 cos q2 sin q2]

= R2q22 sin2 q+

1 R2q2

1

T =1

2mR2[q2

2 sin2 q1 + q21] = T (q1, q2, q1)

L = T − V =1

2mR2[q2

2 sin2 q1 + q21 ]−mgR cos q1

Euler-Lagrange-Gleichung:

d

dt

∂L

∂qα− ∂L

∂qα= 0, α = 1, 2

α = 1:

∂L

∂q1= mR2q2

2 sin q1 cos q1 +mgR sin q1

∂L

∂q1= mR2q1

⇒ q1 −[

q22 cos q1 +

g

R

]

sin q1 = 0

α = 2:

∂L

∂q2= 0

∂L

∂q2= mR2q2 sin2 q1

⇒ mR2 d

dt(q2 sin2 q1) = 0

Losung:

⇒ q2 sin2 q1 ≡ W = const ⇒ q2 =W

sin2 q1


⇒ q1 −W 2

tan q1 sin3 q1− g

Rsin q1 = 0

i. ϕ = 0⇒ W = 0:

q1 = ϑ ≡ π − α, α 1

sin θ = sin(π − α) = sinα ≈ α

θ = −αα +

g

Rα = 0 (fur kleine Winkel harmonischer Oszillator)

ii. q1 = θ = 0:

q2 = ϕ

ϕ2 (IV.9)=

W 2

sin4 θ

(IV.10)= − g

Rtan θ

(nur Losung fur tan θ < 0 : π2≤ θ ≤ π, an der Decke kann das Teilchen keine

Kreise ziehen ⇒ θ = 0 (da θ = 0))in (IV.9):

ϕ = ±( g

Rtan θ

) 1

2

”Steilwandfahrer“ (ohne Reibung)

θ =π

2: ϕ = ∞


c) Zeitabhangige Zwangskraft (rheonom)

f1(x, y, z) = z = 0

r = (x2 + y2)1

2 = R0 − ct ≥ 0

⇒ f2(x, y) = (x2 + y2)1

2 −R0 + ct = 0

Ebene Polarkoordinaten:

x = (R0 − ct) cos q1

y = (R0 − ct) sin q1

Generalisierte Koordinate:

q1 = ϕ

T =m

2(x2 + y2) =

m

2(R0 − ct)2q2

1 +m

2c2

L = T (q, t)

∂L

∂q1= mq1(R0 − ct)2

d

dt

∂L

∂q1=

d

dt[mq1(R0 − ct)2] = 0

⇒ mϕ(R0 − ct)2 = const ≡ LZ (Drehimpuls bezuglich 0)

ϕ =LZ

m(R0 − ct)2fur ct < R0 (nichtholonome Einschrankung)

t0

Lz¹0

j

R c0/


IV.3.C Aquivalenz von Lagrange-Funktionen

Behauptung:

Zwei Lagrange-Funktionen L und L′ mit

L = L′ +dM

dtM = M(qβ(t), t)

(IV.14)

haben dieselben Euler-Lagrange-Gleichungen.

Beweis:

Zu zeigen:

[d

dt

∂

∂qα− ∂

∂qα

]dM

dt!= 0

ri = ri(qβ(t), t)

d

dt

∂ri∂qα

=∂vi∂qα

=∂

∂qα

dridt

(vgl. (IV.8),”vertauschen“)

∂

∂qα

dM

dt=

d

dt

∂M

∂qα

⇒[

d

dt

∂

∂qα− ∂

∂qα

]dM

dt=

d

dt

[∂

∂qα

dM

dt− ∂M

∂qα

]

dM

dt=

f∑

β=1

∂M

∂qβqβ +

∂M

∂t

=d

dt

∂

∂qα

(f∑

β=1

∂M

∂qβqβ +

∂M

∂t

)

︸︷︷︸

= ∂M∂qα

−∂M∂qα

= 0

da M = M(qβ , t):

”Eichen“: Wahl einer bestimmten Lagrange-Funktion aus der Menge aller mogli-

chen, welche die gleichen Bewegungsgleichungen liefern.


Anmerkung

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht : Zwei Lagrange-Funktionen L und L′,welche die gleichen Euler-Lagrange-Gleichungen haben, unterscheiden sich nurdurch eine totale Zeitableitung d

dtM .

Beispiel:Die Lagrange-Funktionen

L1(qα, qα) = (q1q2 − q1q2) +1

2(q2

3 − q23)

L2(qα, qα) =1

2(q2

1 + q22 + q2

3 − q21 − q2

2 − q23)

haben die gleichen Lagrange-Gleichungen. Fur deren Differenzen gilt:

∆L = L1 − L2 = q1q2 − q1q2 + 1

2q23 −

1

2q23

−1

2q21 −

1

2q22 −

1

2q23 +

1

2q21 +

1

2q22 +

1

2q23

= q1q2 −1

2(q2

1 + q22) +

1

2(q1 − q2)2

!=

d

dtM

d

dtM =

∂M

∂q1q1 +

∂M

∂q2q2 +

∂M

∂t

Vergleich mit ∆L:

∂M

∂q1= q2 −

1

2q1; setze M1 =

(

q2 −1

2q1

)

q1

∂M

∂q2= q1 −

1

2q2; setze M2 =

(

q1 −1

2q2

)

q2

∂2M

∂q1∂q2= 0

M = M1 +M2 +1

2(q1 − q2)2t = M(q1, q2, q1, q2, t) nicht erlaubt!

L1 − L2 6=d

dtM ! M = M(qβ, t)


Beispiele zum Um-Eichen:

1. Harmonischer Oszillator

q = x

”Naturliche Form“:

L = T − U =1

2m

(dx

dt

)2

− 1

2kx2

Wahle M(x, t) = 12γx2

dM

dt= γx

dx

dt

L′ =1

2m

(dx

dt

)2

+ γxdx

dt− 1

2kx2 (Umeichen)

L′ liefert die gleiche Bewegungsgleichung (Achtung: keine Variablen-Transformation).Unter Umstanden kann dies zur Vereinfachung von L angewendet werden.

2. Freies Teilchen im elektromegnetischen Feld

Elektromagnetisches Feld, beschrieben durch skalares Potenzial φ und Vektorpo-tenzial A: φ(r, t), A(r, t)

L =1

2mr2 − eφ+

e

cAr (IV.15)

(IV.13):

L′ = L +d

dt

(e

cχ(r, t)

)

e

c

d

dtχ =

e

c∇χr +

e

c

∂χ

∂t

⇒ L′ =1

2mr2 − eφ′ +

e

cA′r

Umeichen von L bedeutet hier Eichtransformation der elektrodynamischen Po-tenziale:

φ′ = φ− 1c∂∂tχ

A′ = A+∇χ

IV.4. PUNKTTRANSFORMATION 115

Durch diese Umtransformation werden die”physikalischen“ Felder nicht verandert:

B′ ≡ rotA′ = rotA ≡ B

E ′ ≡ −gradφ′ − 1

cA

′

= −gradφ+1

c

∂

∂t∇χ− 1

cA− 1

c

∂

∂t∇χ ≡ E (IV.16)

IV.4 Punkttransformation

IV.4.A Invarianz der Lagrange-Ableitung

Es seien ql generalisierte Koordinaten, L(ql, ql, t) =Lagrange-Funktion. Eine Punkt-Transformation ist eine Koordinatentransformation definiert durch:

Qα = Qα(q1, . . . , qfm , t), det

(∂ql∂Qα

)

6= 0

⇒ ql = ql(Q1, . . . , Qfm, t)

Satz:Ist ql Losung zu δL

δql= 0, l = 1, 2, . . . , fm, dann ist Qα Losung

zu δLδQα

= 0, α = 1, 2, . . . , fm mit

L = L(Q1, . . . , Qfm, t)

≡ L(q1(Q, t), q2(Q, t), . . . , t) +dM

dt(IV.17)

mit M = M(Q1, . . . , Qfm, t). Korrolar: Falls δLδql

= 0 fur ein Koordinatensystem,dann ist fur alle generalisierten Koordinaten, die daraus eindeutig hervorgehendie Lagrange-Ableitung invariant.

Beweis:

[

ql =d

dtql =

∑

β

∂ql∂Qβ

Qβ +∂ql∂t

]

⇒ ∂ql

∂Qα

=∂ql∂Qα

vgl. (IV.7) (IV.18)

∂L

∂Qα

=∑

l

(∂L

∂ql

∂ql∂Qα

+∂L

∂ql

∂ql∂Qα

)

+∂

∂Qα

dM

dt

∂L

∂Qα

=∑

l

∂L

∂ql

∂ql

∂Qα︸︷︷︸

=0

+∂L

∂ql

∂ql

∂Qα︸︷︷︸

=∂ql∂Qα

wegen (IV.18)

+∂

∂Qα

dM

dt


⇒ d

dt

∂L

∂Qα

=∑

l

d

dt

(∂L

∂ql

∂ql∂Qα

)

+d

dt

∂

∂Qα

dM

dt

Produktregel=

∑

l

[∂L

∂ql

∂ql∂Qα

+∂ql∂Qα

d

dt

∂L

∂ql

]

+ . . .

δL

δQα

=∂L

∂Qα

− d

dt

∂L

∂Qα

=∑

l

Trafo−Matrix︷︸︸︷(∂ql∂Qα

)

nach Vorraussetzung ∂L∂ql

=0

︷︸︸︷[∂L

∂ql− d

dt

∂L

∂ql

]

−[

d

dt

∂

∂Qα

− ∂

∂Qα

]

︸︷︷︸

=0 wegen IV.3

dM

dt= 0

1. Die Gultigkeit des Satzes war zu erwarten: Zur Herleitung der Lagrange-Gleichung wurde kein bestimmtes Koordinatensystem vorrausgesetzt ⇒Forminvarianz.

2. Ohne Zwangsbedingungen gilt dies fur (beliebige) kartesische Koordinaten.⇒ Anwendung auf Transformationen, welche verschiedene Koordinatensys-teme miteinander verbinden.

IV.4.B Rotierendes Bezugssystem

Vgl. Kap. II.8

• K = x, y, z: Inertialsystem

• K = x, y, z: Bezugs-System dreht sich mit ω bezuglich K um die gemein-same z-Achse (vgl. II.8)

Bewegungsgleichung (ohne Zwangsbedingungen) im Nichtinertialsystem:Setze

r(t) = α(t)r(t),


wobei hier

α(t) =

cosωt − sinωt 0sinωt cosωt 0

0 0 1

x = x cosωt− y sinωty = x sinωt+ y cosωtz = z

x = −ωx sinωt− ωy cosωt+ ˙x cosωt− ˙y sinωt

y = ωx cosωt− ωy sinωt+ ˙x sinωt+ ˙y cosωt

z = z′

T =1

2m(x2 + y2 + z2) =

1

2m[ ˙x2 + ˙y2 + ˙z2 + ω2(x2 + y2)− 2ω( ˙xy − ˙yx)]

Sei V = V (r) gegeben:

L = T − V = L(r, ˙r)

Im Gegensatz zu den Newton’schen Bewegungsgleichungen ist die”Lagrange-

Ableitung“ invariant:

d

dt

∂T

∂ ˙x− ∂T

∂x= m¨x−mω2x− 2mω ˙y = −∂V

∂xd

dt

∂T

∂ ˙y− ∂T

∂y= mÿ −mω2y + 2mω ˙x = −∂V

∂y

d

dt

∂T

∂ ˙z− ∂T

∂z= m¨z = −∂V

∂z

Hier ist

ω = (0, 0, ω) ≡ ω (Richtung der Drehachse, vgl. II.8)

m¨r = −2mω × ˙r −mω × (ω × r) + F (r)

Bezuglich r, r sind die Bewegungsgleichungen aber nicht gleich. mx = − ∂V∂x

giltnur im Inertialsystem. L wie auch T und V sind nicht forminvariant.


IV.4.C Koordinatentransformation der kinetischen Ener-

gie

Naturliche Form:

L = T − V in kartesischen Koordinaten, dann L→ L

Ausgangspunkt ist hier also die”naturliche Form“ fur T (berucksichtigt im All-

gemeinen nicht die Zwangsbedingungen)

T =1

2

∑

i

miv2i (kartesische Koordinaten/Inertialsystem)

Setze ri = ri(q, t), wobei q ≡ q1, . . . , qfm, i = 1, 2, . . . , N

⇒ T =1

2

∑

i

mi

ri︷︸︸︷[∑

α

∂ri∂qα

qα +∂ri∂t

]

ri︷︸︸︷[∑

β

∂ri∂qβ

qβ +∂ri∂t

]

T = a(q, t) +∑

a

bα(q, t)qα +∑

α,β

cαβ(q, t)qαqβ (IV.19)

a =1

2

∑

i

mi

∣∣∣∣

∂ri∂t

∣∣∣∣

2

(Konstante, vgl. IV.3, Beispiel c))

bα =∑

i

mi

(∂ri∂t

∂ri∂qα

)

, α = 1, 2, . . . , fm

cαβ =1

2

∑

i

mi

(∂ri∂qα

∂ri∂qβ

)

= cβα, α, β = 1, 2, . . . , fm (IV.20)

Allgemeinste Form fur holonome Systeme; hier konnen Zwangsbedingungen beruck-sichtigt sein. Sind die Gleichungen zwischen qα und ri zeitunabhangig (sklero-nom), gilt

a = 0bα = 0

da∂ri∂t

∣∣∣∣q fest

= 0 (6= vi !)

cαβ = cαβ(qj) (Tensor)

⇒ T =∑

α,β

cαβ(q)qαqβ (homogene quadratische Funktion) (IV.21)


IV.4.D Koordinatentransformation des Potenzials

ri = ri(qα, t)

vi =dridt

=∑3N

β=1∂ri∂qβqβ +

∂ri∂t

nach (IV.7)

vi = vi(qα, qα, t)

Sei

V = V (ri(qα, t), vi(qα, qα, t)) (geschwindigkeitsabhangig)

V = V (q1, . . . , qf , q1, . . . , qf , t)

Generalisierte Kraft: Beachte L = T − V

⇒ d

dt

∂L

∂qα=

dT

dqα− d

dt

∂V

∂qα

in Lagrange-Gleichung:

ddt

(∂T∂qα

)

− ∂T∂qα

= Qα

Qα ≡ − ∂V∂qα

+ ddt

(∂V∂qα

) (IV.22)

Generalisierte Kraft bei geschwindigkeitsabhangigem Potenzial

Beispiel:

Minimalkopplung der Elektrodynamik (kartesische Koordinaten), vgl. (IV.15):

V (r, r, t) = eφ(r, t)− e

cA(r, t)r

⇒ Qj = Fj = −∂V∂rj

+d

dt

(∂V

∂rj

)

(kartesische Koordinaten)

∂V

∂rj= e

∂φ

∂rj− e

c

3∑

k=1

rk∂Ak∂rj

d

dt

∂V

∂rj= −e

c

d

dtAj = −e

c

3∑

k=1

[

rk∂Ai∂rk

+∂Ai∂t

]

⇒ Fj = −e[∂φ

∂rj+

1

c

∂Aj∂t

]

+e

c

3∑

k=1

rk

(∂Ak∂rj− ∂Aj∂rk

)

︸︷︷︸

(r×rotA)j


B = rotA”Magnetisches Feld“

E = −e∇φ− 1c

∂A

∂t ”Elektrisches Feld“

⇒ F = e

[

E +1

c(v × B)

]

(IV.23)

Die Lorentz-Kraft verletzt trotz Geschwindigkeits-Abhangigkeit nicht die Ener-gieerhaltung (

”Watt-lose“ Kraft)

IV.4.E Reibung: Rayleigh’sche Dissipationsfunktion

V = V (qβ)

Rα =d

dt

(∂V

∂qα

)

=∑

β

(∂V

∂qα

)∂V

∂qβqβ +

∂

∂t

(∂V

∂qα

)

=∂

∂qα

(∑

β

(∂V

∂qβ

)

qβ +∂V

∂t

)

︸︷︷︸d

dtV≡−εD<0

Rα = − ∂

∂qαεD (IV.24)

Sei zum Beispiel (nicht notwendig):

εD =1

2

∑

α,β

aαβ qαqβ > 0 (IV.25)

aαβ = aβα (aus statistischer Physik)

⇒ Rα = −∑

β

aαβ qβ Reibungskraft

Lagrange II:

d

dt

∂L

∂qα− ∂L

∂qα= − ∂

∂qαεD = Rα (IV.26)

Reibungskrafte verletzen die Energieerhaltung, im Gegensatz zur Lorentz-Kraft:

dE

dt=

d

dt(Ekin + V ) =

∂V

∂t< 0 (vgl. II.4)

∂V

∂t=

d

dtV −

∑

β

(∂V

∂qβ

)

qβ


Arbeit gegen die Reibung:

dW = −∑

α

Rαdqα

dW

dt= −

∑

α

Rαqα =∑

α,β

aαβ qαqβ = 2εD

Rekonstruktion von εD:

Ansatz: Reibungskraft (in kartesischen Koordinaten):

Ri = −h(|vi|)vi|vi|

i = 1, 2, . . . , N

Transformation auf generalisierte Koordinaten (IV.2.C):

Rα = −N∑

i=1

hi(|vi|)vi|vi|

∂ri∂qα

Nach IV.2.C:

∂ri∂qα

=∂vi∂qα

vi∂vi∂qα

=1

2

∂(vivi)

∂qα=

1

2

∂|vi|2∂qα

= |vi|∂|vi|∂qα

(implizite Ableitung)

⇒ Rα = −N∑

i=1

hi(|vi|)∂|vi|∂qα

Hilfsformel: F (y) Stammfunktion zu f(y): dFdy

= f

∫ a(x)

0

f(y)dy = F (a(x))− F (0)

d

dx

∫ a(x)

0

f(y)dy =d

dxF (a(x)) = f(a(x))

da

dx(implizite Ableitung)

a→ |vi| : Funktion von qα, qα, t

⇒ ∂

∂qα

∫ |vi|

0

hi(|vi|′)d|vi|′ = hi(|vi|)∂|vi|∂qα

⇒ Rα = − ∂

∂qα

N∑

i=1

∫ |vi|

0

hi(|vi|′)d|vi|′ ≡ −∂

∂qαεD

εD ≡N∑

i=1

∫ |vi|

0

h(|vi|′)d|vi|′


Beispiel:

Ri = −γ vi|vi|⇒ εD

∫ |v|

0

γd|v|′ = γ|v| = γ(v2)1

2

⇒ h = γ = const

Gleitreibung (geschwindigkeitsunabhangig), in kartesischen Koordinaten.

IV.5 Symmetrien und Erhaltungsgroßen

IV.5.A Erhaltungsgroßen

Def. Kanonischer Impuls

”konjugierter Impuls“, verallgemeinerter Impuls

pj ≡∂L

∂qjj = 1, 2, . . . , fm (IV.27)

Fur geschwindigkeitsunabhangige Potenziale ist der konjugierte Impuls stets derkinematische Impuls (in kartesischen Koordinaten mr). Andernfalls, z.B.:

L =1

2mr2 − eφ+

e

cAr;

qi = xic = Lichtgeschwindigkeit (SI-Einheiten: ohne c)

p =∂L

∂r= mr +

e

cA

mr = p− e

cA (

”kinematischer Impuls“)

Def. Zyklische Koordinaten

qi ”zyklisch“ ⇔ ∂L

∂qi= 0

Lagrange-Gleichung:

⇒ d

dt

∂L

∂qj=

d

dtpj = 0

⇒ Die dazu gehorenden kanonischen Impulse sind dann Erhaltungsgroßen.Behauptung: Ein System von fm Freiheitsgraden hat 2fm unabhangige Erhal-tungsgroßen:Anfangsbedingungen qi(0), qi(0), i = 1, . . . , fm. Nenne diese nun c1, . . . , c2fm .

⇒ qi = qi(c1, . . . , c2fm , t)

qi = qi(c1, . . . , c2fm , t)

IV.5. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROSSEN 123

Umkehrung:

ck = ck(q1, . . . , qfm , q1, . . . , qfm , t)

Im Allgemeinen sind diese Funktionen aber erst nach dem Losen der Bewegungs-gleichungen bekannt (d.h. sie

”nutzen nichts“). Unter speziellen Bedingungen hilft

hier das Noether-Theorem.

IV.5.B Noether-Theorem

Wir betrachten ein autonomes Lagrange-System

∂L

∂t= 0, L = L(q, q), q = q1, q2, . . . , qf

und eine einparametrige Schar von Koordinatentransformationen (passiv inter-pretiert):

Qα = Qα(ε, q, t) = qα + εηα(q, t) +O(ε2)

so dass

Qα(0, q, t) = qα,dQα

dε

∣∣∣∣ε=0

= ηα

Dies ist eine Punkttransformation. qα sei Losung der Lagrange-Gleichung (wahreBahn). Gemaß IV.4 gilt dann fur alle ε

d

dt

∂L

∂Qα

=∂L

∂Qα

,

wobei aber

L ≡ L(Qα, Qα) = L(ε, q, q) 6= L (im Allgemeinen)

L(0, q, q) = L(q, q)

Satz von Emmy Noether (1882-1935)

Gilt unter den obigen Bedingungen speziell (fur jeweils festes ε)

L(ε, q, q) = L(0, q, q) +d

dtM(ε, q, t)

(”Invarianz der Lagrange-Funktion“ bei Koordinatentransformationen), so ist

I(q, q) =

fm∑

α=1

(∂L

∂qα

)dQα

dε

∣∣∣∣ε=0

− dM

dε

∣∣∣∣ε=0

(IV.28)

eine Erhaltungsgroße (Integral der Bewegung, Differenzialgleichung erster Ord-nung)


Beweis:

L ≡ L(Q(ε, t), Q(ε, t))

dL

dε=

f∑

α=1

[

∂L

∂Qα

dQα

dε+

∂L

∂Qα

dQα

dε

]

(nur implizite ε-Ableitung)

Lagrange−Gl.=

f∑

α=1

[

d

dt

(

∂L

∂Qα

)

dQα

dε+

∂L

∂Qα

d

dt

dQα

dε

]

=d

dt

f∑

α=1

(

∂L

∂Qα

)

dQα

dε

Wegen Vorraussetzung ist andererseits

d

dtM = L(ε)− L(0)

dL

dε=

d

dε

d

dtM

nur explizite ε−Abh.=

d

dε

d

dtM(ε, q(t), t) =

d

dt

d

dεM(ε, q(t), t)

⇒f∑

α=1

(

∂L

∂Qα

)

dQα

dε− dM

dε= const

Fur ε→ 0:

L → L,

Qα → qα,

Qα → qα (nichtdQα

dε→ dqα

dε(= 0))

folgt die Behauptung.

IV.5.C Anwendungen

Das Noether-Theorem besagt, dass mit jeder einparametrigen Symmetrie-Trans-formation eine Erhaltungsgroße verknupft ist. Das fundamentale Anwendungs-beispiel ist die Galilei-Invarianz fur freie Systeme. Bisher wurden sie bewiesenuber Bilanzgleichungen (nach Newton, II.4). Hier nun eine neue Interpretationdes schon bekannten Sachverhalts.(Folgende Beispiele in kartesischen Koordinaten)

I =

N∑

i=1

(∂L

∂ri

)dr′idε

∣∣∣∣ε=0

− dM

dε

∣∣∣∣ε=0

(IV.29)


dM

dt= L(ε, rj, rj)− L(0, rj, rj)

dridε

∣∣∣∣ε=0

≡ ηi

Mechanisches System (Lagrange):

L =1

2

∑

j

mj r2j −

1

2

∑

i,j

Vij(|ri − rj|)

i. Translation (Homogenitat des Raumes)

passive Interpretation

r′i = ri + εex ⇒ L(ε, ri, ri) = L(0, r, r)⇒ dM

dt= 0⇒M ≡ 0 (Wahl)

ηi

=d

dεr′i

∣∣∣∣ε=0

= ex, i = 1, 2, . . . , N (Einheitsvektor)

pi

=∂L

∂ri= mri (verallgemeinerter Impuls=kinematischer Impuls)

⇒ I =N∑

i=1

piex =

N∑

i=1

pix = Ptot,x = constx-Komponentedes Gesamtimpulses

ii. Rotation (Isotropie des Raumes)

passive Interpretation

r′i = α(ε)ri

in Modell:

L(ε, ri, ri) = L(0, ri, ri) ⇒M ≡ 0

Speziell Drehung um z-Achse:

α(ε) =

cos ε sin ε 0− sin ε cos ε 0

0 0 1

ηi

=d

dεr′i

∣∣∣∣ε=0

=d

dε[xi cos ε + yi sin ε,−xi sin ε+ yi cos ε, zi]ε=0

= (yi,−xi, 0) = ri × ez∂L

∂ri= p

i


⇒ I =

N∑

i=1

pi(ri × ez) =

N∑

i=1

ez(pi × ri) = −Lz = constz-Komponentedes Drehimpulses

iii. Spezielle Galilei-Transformation

r′i = ri + εvt, v = const

r′i = ri + εv

ηi

=∂r′i∂ε

= vt

dM(ε)

dt= L(ε)− L(0) =

1

2

∑

i

mi(ri + εv)2 − 1

2

∑

i

mir2i

=1

2ε2Mv2 + ε

∑

i

mi

d

dtriv

Integration⇒ M(ε) =1

2ε2Mv2t+ ε

∑

i

miriv + const

dM(ε)

dε

∣∣∣∣ε=0

=∑

i

miriv

⇒ I =

N∑

i=1

(P it−miri)v = (P tott−MR)v = const

P tot =N∑

i=1

pi = const gemaß i., v = const

R =1

M

∑

i

miri = Schwerpunkt

Es folgt der Schwerpunktsatz:

MR = P tott + const

MR = 0


iv. Zeittranslation (Homogenitat der Zeit)

iv.a) Als Transformation aus dem Noether-Theorem

r′i(t′) = ri(t + εb) (Zeitabhangigkeit nur uber ri)

ηi

=d

dεr′i

∣∣∣∣ε=0

=dri

d(t + εb)

d(t + εb)

dε≈ dri

dtb = vib;

∂L

∂ri= p

i

dM

dt= L(ε)− L(0)⇒ d

dε

dM

dt=

d

dt

dM

dε=

dL

dε=

dL

d(t+ εb)

d(t+ εb)

dε

⇒ d

dt

dM

dε

∣∣∣∣ε=0

=

(dL

dt

)

b

Integration⇒ dM

dε

∣∣∣∣ε=0

= Lb

⇒ I =N∑

j=1

(pivi − L)b = const

⇒∑

i

miv2i − L =

∑

i

1

2miv

2i + V = E = const

iv.b) Definition der Energie aus der Lagrange-Funktion (skleronom)

Gemaß IV.4.C:

T =∑

α,β

cαβ(qγ)qαqβ, cαβ = cβα(homogene quadratischeFunktion)

∂T

∂qα= 2

∑

α

cαβ qβ

⇒∑

α

∂T

∂qαqα = 2T

Damit ist fur L = T − U(q, t)

E = T + V =

f∑

α=1

∂L

∂qαqα − L Gesamtenergie

Anmerkungen (Fließbach): Bei rheonomen Zwangsbedingungen hat H nicht mehrdie Bedeutung Gesamtenergie.Kartesische Koordinaten:

E =

N∑

i=1

pivi − L


Energieerhaltungssatz (direkt):

dE

dt=

∑

α

[d

dt

(∂L

∂qα

)

qα + ∂L

∂qαqα −

∂L

∂qαqα −

∂L

∂qαqα

]

︸︷︷︸

=0 Lagrange

−∂L∂t

⇒ dE

dt=

∂L

∂t= 0

fur autonome Systeme(zeitliche Translationsinvarianz von L)

Beispiel: Harmonischer Oszillator

L =m

2x2 − mω2

2x2

Zeige:

L(x′, x′) = L(x, x) +dM

dtunter der Symmetrietransformation

x→ x′ = x + ε cosωt

L(x′, x′, t) = L(ε, x, x, t) =m

2(x− εω sinωt)2 − mω2

2(x+ ε cosωt)2

=m

2x2 − ω2m

2x2 ← L(0, x, x) = L

−mxεω sinωt+m

2ε2ω sin2 ωt

−ω2mxε cosωt− mω2

2ε2 cos2 ωt

dM

dt= −εmω[x sinωt+ xω cosωt] + ε2

df

dtM = −εmωx sinωt+ ε2f(t)

Damit folgt

I =∂L

∂x

d(x+ ε cosωt)

dε

∣∣∣∣ε=0

− dM

dε

∣∣∣∣ε=0

∂L

∂x= mx

d(x+ ε cosωt)

dε= cosωt

dM

dε= −mωx sinωt+ εf(t)

ε→ 0 :dM

dε= −mωx sinωt

⇒ I = m(x cosωt+ ωx sinωt) invariant

(nicht universell, speziell fur den harmonischen Oszillator, nicht intuitiv)

IV.6. HAMILTON-PRINZIP 129

IV.6 Hamilton-Prinzip

Ziel: Herleitung der Euler’schen Gleichung aus einem Extremalprinzip (Integral-prinzip, vgl. Fermat-Prinzip).

Motivation

Extremalprinzipien gehoren zu den wenigen Konzepten der Physik, die trotz volli-gen Wandels der Interpretation Jahrhunderte uberdauert haben. Ursprunglichwurde ihnen ein fast metaphysischer Hintergrund unterlegt; heute werden solchePrinzipien als Kernstruktur einer durchentwickelten Theorie gesehen.Hier handelt es sich um das Prinzip der kleinsten Wirkung (Integralprinzip). Esist die pragnanteste und kompakteste Formulierung der Mechanik. Der Name(nach Helmholtz, Planck) ist irrefuhrend: Eigentlich ist es das Prinzip des kleins-ten Aufwands bei großter Wirkung (Sommerfeld).

Sei ein System definiert durch

L = L(q(t), q(t), t) (Lagrange-System)

Betrachte Bahn mit den Randbedingungen

qα(t1) = qα1 qα(t2) = qα2 α = 1, 2, . . . , fm

Def. ε-Schar von Wegen mit gleichen Randbedingungen

qα(t, ε) = qα(t) + εηα(t) +O(ε2) ηα(t) : beliebige Funktion (Variation)

(nicht als Koordinatentransformation interpretiert, aktiv), wobei

ηα(t1) = ηα(t2) = 0

∂qα∂ε

= ηα(t) ⇒ ∂qα(t1, ε)

∂ε=∂qα(t2, ε)

∂ε= 0

qα(t) wird dadurch in eine Schar von Vergleichskurven eingebettet, die dieselbenRandbedingungen wie qα(t) erfullen.

e=0

e1

e2

t1 t2

t

qaq ta( ) (unbekannter “richtiger” Weg)

d.h. wir setzen die Lagrange-Gl. nicht voraus!ha( ) gegeben:

(aus Funktionenraum)

t


Def. Wirkungsintegral S

S ≡∫ t2

t1

L(q(t), q(t), t)dt (IV.30)

S[q(t)] = S(ε) =

∫ t2

t1

L(t, ε)dt =

∫ t2

t1

L(q(t, ε), q(t, ε), t)dt Funktional!

Notation:

Sei f = f(q, q, t), qα = qα(t, ε).Zeitableitung bei festem q, q:

∂f

∂t

∣∣∣∣q,q

:=∂f

∂t

Zeitableitung bei festem ε:

∂f

∂t

∣∣∣∣ε

:=df

dt= f

⇒ q =dq(ε, t)

dt(entlang eines Weges, wie

”bisher“)

Also fur ε = 0:

q(t, ε) = q(t) + εη(t) = q(t) fur ε→ 0

∂q

∂ε=

d

dt

∂q

∂ε(Reihenfolge vertauschbar; oben benutzt)

Hamilton-Prinzip

Behauptung: Fur Lagrange-Systeme folgen aus δS = 0 die Lagrange-Gleichungenzweiter Art.

Axiom 3’(Axiom 3: Newton)

δS :=dS(ε)

dε

∣∣∣∣ε=0

=d

dε

∫ t2

t1

L(t, ε)dt = 0 (IV.31)

δS = 0 ist die notwendige Bedingung fur Extremalitat von S[q] (S ist minimal,hinreichend zweite Ableitung > 0).

IV.7. ERGANZUNGEN 131

Beweis:

δS =

∫ t2

t1

∂L

∂εdt = 0 (da Grenzen unabhangig von ε)

∂L

∂ε=

∑

α

[∂L

∂qα

∂qα∂ε

+∂L

∂qα

∂qα∂ε

]

Betrachte zweiten Term:

∂L

∂qα

∂qα∂ε

=∂L

∂qα

d

dt

∂qα∂ε

Nun ist

d

dt

[∂L

∂qα

∂qα∂ε

]

=

[d

dt

∂L

∂qα

]∂qα∂ε

+∂L

∂qα

d

dt

∂qα∂ε

(Produktregel)

⇒ ∂L

∂ε=

∑

α

[∂L

∂qα− d

dt

∂L

∂qα

]∂qα∂ε

+d

dt

[∂L

∂qα

∂qα∂ε

]

0 =dS

dε=

∑

α

∫ t2

t1

[∂L

∂qα− d

dt

∂L

∂qα

]∂qα∂ε

dt

+∑

α

∫ t2

t1

d

dt

[∂L

∂qα

∂qα∂ε

]

vollstandiges Differenzial

da ∂qα∂ε

= 0 fur t = t1, t2:

∂L

∂qα

∂qα∂ε

∣∣∣∣

t2

t1

= 0

⇒∑

α

∫ t2

t1

[∂L

∂qα− d

dt

∂L

∂qα

]

︸︷︷︸δLδqα

=Variationsabl.=Lagrange−Abl.

∂qα∂ε

dt = 0

Da ∂qα∂ε

= ηα(t) beliebig (Funktionenraum):

d

dt

∂L

∂qα− ∂L

∂qα= 0, α = 1, 2, . . . , fm

Gezeigt: Wenn wir vom”richtigen“ Pfad abweichen, ist S nicht mehr extremal.

IV.7 Erganzungen

IV.7.A Zusammenfassung

1. Zwangsbedingungen sind (zunachst) nicht als Krafte, sondern nur als Ein-schrankung der Bewegung definiert.


2. Holonome Bedingungen lassen sich explizit als Zwangskrafte formulierenund in die Newton’schen Bewegungsgleichungen einbauen (Lagrange Gl.erster Art).

3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit ist ein Differenzialprinzip. Es besagt, dassdie virtuelle Arbeit bezuglich der physikalischen Krafte (und Tragheits-krafte) verschwindet. Die Aussage lasst sich auch in generalisierten Koor-dinaten schreiben.

4. Die b letzten angepassten Koordinaten erfullen die b Zwangsbedingungen,die 3N− b ersten sind damit frei.⇒ d’Alembert-Prinzip ⇒ fm d’Alembert-Gleichungen.

5. Sind die physikalischen Krafte Potenzialkrafte, lasst sich eine Lagrange-Funktion L = T − V definieren. (Daraus folgen die Lagrange-Gleichungenzweiter Art).

6. L ist nicht eindeutig: Eichtransformation.

7. Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art sind invariant gegen Koordinaten-transformationen (Punkttransformationen).

8. L sieht in unterschiedlichen Koordinaten unterschiedlich aus. T und V mussallgemeiner dargestellt werden als in kartesischen Koordinaten.

9. Reibungskrafte lassen sich uber Dissipationsfunktionen εD = −∂V∂t

in dieLagrange-Gleichung einbauen.

10. Abstraktion lohnt sich: Symmetrie-Eigenschaft eines Systems: Lagrange-Funktion ⇒ Noether-Theorem.

11. Lagrange II ist aquivalent zum Hamilton-Prinzip (Integralprinzip).

IV.7.B Struktur der Lagrange-Mechanik

a) d’Alembert-Prinzip

Zi: Zwangskraft; δri: virtuelle Verruckung

δA(Z) =∑

i

Ziδri = 0 (Axiom 5)

⇒N∑

i=1


IV.7. ERGANZUNGEN 133

b) Lagrange-Gleichungen erster Art

miri = F i + Zi, i = 1, 2, . . . , N

fν(r1, . . . , rN , t) = 0, ν = 1, . . . , b Hyperflachen

Zi =

b∑

ν=1

λν∇ifν λν : Parameter

c) Lagrange-Gleichungen zweiter Art

Angepasste Koordinaten qα, α = 1, . . . , fm, fm = 3N − bL(q, q, t) = T − V

− δLδqα≡ d

dt

∂L

∂qα− ∂L

∂qα= 0, α = 1, 2, . . . , fm

Aquivalenz:

L = L′ +dM

dtM = M(q, t)

Punkttransformation:

Qα = Qα(q1, . . . , qfm, t), α = 1, . . . , fm

ql = ql(Q1, . . . , Qfm , t)

Ist ql Losung zur Lagrange-Gleichung zweiter Art mit δLδqα

= 0, dann istQα Losung

zu δLδQα

mit

L = L(q1(Q, t), q2(Q, t), . . . , t) +dM

dt

d) Neother-Theorem

Qα = qα + εηα(q, t)

Gilt fur jedes ε

L(Q, Q, t) = L(ε, q, q) = L(0, q, q) +d

dtM(ε, q, t),

wobei

L(0, q, q) = L(q, q),

so ist

I(q, q, t) =

fm∑

α=1

(∂L

∂qα

)dQα

dε

∣∣∣∣ε=0

− dM

dε

∣∣∣∣ε=0

eine Erhaltungsgroße.


Kapitel V

Starrer Korper undKreiseltheorie

Motivation:

1. Verbesserte Idealisierung. Massepunkte (als Gegenstand der klassischen Me-chanik) gibt es nicht. Allerdings: Kein ausgedehnter Korper ist unter allenBedingungen starr; Starrheit im Prinzip in Widerspruch zur Relativitats-theorie.

2. Mehr Freiheitsgrade

3. Technisch wichtig: Unwucht, Schiffsmotoren, Kreiselkompass

4. Uberraschende Phanomene (Nutation, Prazession)

5. “Naturliches” Entstehen von nichtlineare Bewegungsgleichungen (oft schwie-rig zu losen)

V.1 Systemdefinition

Modell:

N -Teilchen-System mit holonomen Zwangsbedingungen

|rν − rµ| = const, ν, µ = 1, 2, . . . , N

Idealisierung: Konflikt mit der Relativitatstheorie und elastischen Eigenschaften.

Berechnung von fm

b = Anzahl unabhangiger Zwangsbedingungen

135

136 KAPITEL V. STARRER KORPER UND KREISELTHEORIE

N b f = N-bm 3

1

2

3

4

…

0

1

3

6

…

3

5

6

6

…

⇒ fm = 6 (V.1)

Inertialsystem K (=Laborsystem)

S = Schwerpunkt

mn

S

0

R( )t

rn( )t

rsn

rν(t) = R(t) + rSν(t) (V.2)

R =1

M

N∑

ν=1

mνrν (V.3)

⇒∑

ν

mνrSν = −MR +∑

ν

mνrν = 0

Hilfskoordinatensysteme (KS, K′S)

ez

ex

eS z

eS x

K=Inertialsystem (Labor)

KS

K ’s

eS x’

eS z’

R

z

x

xS

zS

x ’S

z ’S

passive Interpretation:

r =∑

rjej =∑

rSjeSj =∑

r′Sje′Sj

KS = Koordinatensystem (translatorisch)K ′S = korperfestes Koordinatensystem

Koordinatenursprungim Schwerpunkt S

V.1. SYSTEMDEFINITION 137

Beziehung zwischen KS und K ′S

vgl. II.8w

S

d dj=w t

(d ) = drSn ro t w t´r

Sn

rSn

Richtung von ω = Drehachse. Drehsinn:”Rechte-Faust-Regel“.

|ω| ≡ dϕ

dt

momentane Winkelgeschwindigkeitvon K ′

S bezuglich KS (gemessen in KS)

dr

dt=

dr

dt+ ω × r

d.h. fur jedes ν:

⇒ d

dtrSν = ω × rSν bezuglich S (V.4)

Kinetische Energie:

Aufspaltung in Translations- und Rotationsteil bezuglich S:

T =1

2

∑

ν

mν r2ν =

1

2

∑

ν

mν(R + rSν)2

=1

2MR

2+

1

2

∑

ν

mν r2Sν

︸︷︷︸

≡Trot

+R∑

ν

mν rSν

︸︷︷︸

=0

(V.5)

(wenn Bezugspunkt=Schwerpunkt)

r2Sν = (ω × rSν)2 = ω2r2

Sν − (ωrSν)2

denn

a× b = ab sinϕ ⇒ (a× b)2 = a2b2(1− cos2 ϕ)

= a2b2 − (ab)2

⇒ Trot =1

2

∑

ν

mν [ω2r2Sν − (ωrSν)

2]bezuglich S(darstellungsunabhangig)

(V.6)


Umformung der Rotationsenergie (bezuglich Schwerpunkt S)

In kartesischen Koordinaten: rSν = rSν1, rSν2, rSν3 bzgl. KS

Trot =1

2

N∑

ν=1

mν

[3∑

i,j=1

ω2i r

2Sνj −

3∑

i,k=1

ωirSνiωkrSνk

]

=1

2

N∑

ν=1

mν

[∑

i,j,k=1

ωiωkr2Sνjδik −

∑

i,k

ωiωkrSνirSνk

]

=1

2

3∑

i,k=1

ωiωk

N∑

ν=1

mν

[(3∑

j=1

r2Sνj

)

δik − rSνirSνk]

θik :=N∑

ν=1

mν

[(3∑

j=1

r2Sνj

)

δik − rSνirSνk]

= θik reell, symmetrisch (V.7)

Tragheitstensor bezuglich KS und beliebiger (ω kommt nicht vor) Achse durchden Schwerpunkt (im Allgemeinen dynamische Große, da rSν = rSν(t)).Explizit:

θ11 =∑

νmν(r2Sν2 + r2

Sν3)θ22 =

∑

νmν(r2Sν3 + r2

Sν1)θ33 =

∑

νmν(r2Sν1 + r2

Sν2)

Tragheitsmomente ≥ 0

θ12 = θ21 = −∑

νmνrSν1rSν2 etc. Deviationsmomente ≤ 0

(V.8)

Damit folgt (bezuglich S):

Trot =1

2

∑

i,k

ωiωkθik

︸︷︷︸

inKS

≡ 1

2ωθω︸︷︷︸

darst.unabh.

(Skalar)

Die entsprechenden Formeln gelten auch in den Koordinaten bzgl. K ′S.

V.2 Darstellung von Vektoren und Tensoren

a) Basis-Elemente

a︸︷︷︸

darst.unabh.

=∑

j

ej︸︷︷︸

Basisv.

aj︸︷︷︸

Komponente

aj = (ej · a) (V.9)

V.2. DARSTELLUNG VON VEKTOREN UND TENSOREN 139

Die Komponente aj wird berechnet gemaß Skalarprodukt

a · b =∑

n

anbn.

Dyadisches Produkt (=Tensor):

(a⊗ b)mn = ambn (kartesische Koordinaten) (V.10)

⇒ (a⊗ b) =

a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3

Basistensoren: (ej ⊗ ek), j, k = 1, 2, 3

e1 = (1, 0, 0)e2 = (0, 1, 0)e3 = (0, 0, 1)

⇒ (e1 ⊗ e1) =

1 0 00 0 00 0 0

(e1 ⊗ e2) =

0 1 00 0 00 0 0

etc.

Fur die neun Basistensoren gilt:

(ei ⊗ ej)mn = δimδjn (V.11)

Einheitstensor:

1 =∑

j

(ej ⊗ ej) (V.12)

⇒A =

∑

i,j

(ei ⊗ ej)Aij

Aij = eiAej

(V.13)

Die Komponente Aij wird berechnet gemaß doppeltem Skalarprodukt:

a · A · b =∑

m,n

amAmnbn

b) Transformationsverhalten (passiv)

Basiswechsel (gleicher Vektor, gleicher Tensor wie vorher):

a =∑

j

e′ja′j

A =∑

i,j

e′i ⊗ e′jA′ij


Sei

e′j =∑

k

αjkek

αik = Transformationsmatrix

α · αT = 1 (orthogonal, αT transponiert)

⇒ a =∑

k

∑

j

αjkeka′j

!=∑

k

ekak

⇒ ak =∑

j

αjka′j =

∑

j

(αT)kja′j

Transformation derVektorkomponenten

(V.14)

A =∑

k,l

∑

i,j

αilαjkel ⊗ ekA′ij

!=

∑

k,l

el ⊗ ekAlk

⇒ Alk =∑

i,j

αilA′ijαjk =

∑

i,j

(αT)liA′ijαjk

Transformation derTensorkomponenten

(V.15)

c) Transformationsverhalten (aktiv)

e′j = αej = ejαT ⇒ αTe′j = ej

Da nun

(Aa)i =∑

j

Aijaj =∑

j

ajAij =∑

j

aj(AT)ji

= (aAT)i

gilt mit

(e′j ⊗ e′k) = αej ⊗ αek = αej ⊗ ekαT

= α(ej ⊗ ek)αT

⇒ a′ =∑

j

aje′j = α

∑

j

ajej = αa, a = αTa′

V.2. DARSTELLUNG VON VEKTOREN UND TENSOREN 141

⇒ A′ =∑

j,k

Ajke′j ⊗ e′k = αAαT (V.16)

A = αTA′α

Aij = eiAej = eiαTA′αej = e′iA

′e′j = A′ij Komponenten konstant

Beispiel

θ = αTθ′α

eiθej = eiαTθ′αej

= αeiθ′αej

θij = = e′iθ′e′j = θ′ij

j

j

ex

ex’

eyey’

a a= ’

passiv(Bezugswechsel)Komponenten verschiedenbezüglich und ’e ej j

j

j

ex

ex’

eyey’

a

aktiv(”mitfahren”) zeitabhängigKomponenten gleichbezüglich und ’e ej jj

a’

Darstellung von θ bezuglich K ′S (korperfest)

θ′ik = e′Si θ︸︷︷︸

darst.unabh.

e′Sj zeitlich konstant (da korperfest)

Hauptachsentransformation (bezuglich K ′S)

θe′Sj = θ′j e′Sj Eigenwertgleichung

e′Sj = Eigenbasis=Hauptachsen

θ′j = Eigenwerte

Eigenwerte θ′ bestimmen aus

det[θ′ − θ′1] = 0

Losungen:

θ′ = θ′j


V.3 Drehimpuls JS bezuglich Schwerpunkt S

JS =∑

ν

mν

(

rSν ×drSνdt

)

=∑

ν

mν [rSν × (ω × rSν)]

Entwicklungssatz (fur zweifaches Vektorprodukt):

JS =∑

ν

mν[(rSν)2ω − (rSνω)rSν]

Weitere Umformung uber kartesische Darstellung (KS)

JSk =∑

ν

mν

[∑

i

r2Sνiωk −

∑

j

rSνjωjrSνk

]

=∑

j

ωj

N∑

ν=1

mν

[(∑

i

r2Sνiδjk − rSνjrSνk

)]

︸︷︷︸

θjk

⇒ JSk =∑

k

ωjθjk =∑

j

θkjωj (da θij = θji)

JS = ωθ = θω (V.17)

JS = Drehimpuls bezuglich S

θ = Eigenschaft starrer Korper (wie Masse)

ω = Drehachse

im Allgemeinen ist JS nicht parallel zu ω, θ nicht konstant.

Wann ist JS parallel zu ω?

Sei fur bestimmtes ω = ω:

JS = θω

⇒ Eigenwertgleichung:

θω!= θω ⇒ det[θ − θ1] = 0

V.4. BERECHNUNG VON TRAGHEITSMOMENTEN 143

Eigenwerte=Haupttragheitsmomente ⇒ ω ‖ Hauptachsen (fest in K ′S)⇒ JS ‖ ω

falls ω ‖ einer der Haupttragheitsachsen eSjMit Hilfe von JS lasst sich nun schreiben:

Trot =1

2ωθω =

1

2ωJS

JS =∂Trot

∂ω= θω

(V.18)

JS ist der”konjugierte Impuls“ zu ω (vgl. Kap. IV.5).

V.4 Berechnung von Tragheitsmomenten

V.4.A Haupttragheitsmomente bezuglich Achse durchSchwerpunkt S:

θzz =∑

ν

mν (x2Sν + y2

Sν)︸︷︷︸

:=ρν2 Abstand von Achse

Koordinaten bzgl. KS oder K ′S

(hier: Strich weglassen)

Kontinuumslimes:

mν → dm(rS) kontinuierlich, rS bezuglich Schwerpunkt

Massendichte:

n(rS) =dm(rS)

dV⇒ dm(rS) = n(rS)dV∑

ν

mνρ2ν →

∫

ρ2(rS)n(rS)dV

θzz =

∫

V

(x2S + y2

S)n(rS)dV und zyklisch

Speziell: n = const:

θzz =M

V

∫

V

(x2S + y2

S)dV


Beispiel: Vollzylinder

n = const; Zylinderkoordinaten: x2 + y2 = ρ2

dV = 2πρdρdz (Zylindermantel)

θzz =M

V2π

∫ R

0

ρ3dρ

∫ h

0

dz =2πMh

V

∫ R

0

ρ3dρ

=2πMh

V

R4

4V = πR2h

θzz =1

2MR2 θxx = θyy =

1

4MR2 +

1

12Mh2

Fur h =√

3 ist θxx = 14MR2 + 1

4MR2 = θzz.

V.4.B Tragheitsmomente bezuglich beliebiger Achsen

In manchen Fallen wird eine Rotation um eine Achse erzwungen, die nicht durchS geht.

A

R

dr

Sn

mn

S

rAn

rAν = d+ rSν

V.5. BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 145

Dann ist das Tragheitsmoment bezuglich einer Achse parallel zur z-Achse durchA gegeben durch (Grundform)

θAzz =∑

ν

mν(x2Aν + y2

Aν) =∑

ν

mν [(dx + xSν)2 + (dy + ySν)

2]

=∑

ν

mν(d2x + d2

y) +∑

ν

mν(x2Sν + y2

Sν) + 2dx∑

ν

mνxSν

︸︷︷︸

=0

+2dy∑

ν

mνySν

︸︷︷︸

=0

da

∑

ν

mirSν = MR = Schwerpunkt ≡ 0 in KS

Steiner’scher Satz

θAzz = θSzz +M(d2x + d2

y) und zyklischθAxy = θSxy −Mdxdy und zyklisch

⇒Minimaleigenschaft des Schwerpunktes: |θxy| ist fur die Achse durch S minimal.⇒ Tragheitsmomente zu parallelen Achsen hangen voneinander ab.

V.5 Bewegungsgleichungen

Schwerpunktsatz (bezuglich K):

R =1

M

∑

ν

mνrν

mν rν = F ν = F extν +

N∑

µ=1

F νµ

∑

ν

mν rν =∑

ν

F extν +

∑

µ,ν

F νµ

︸︷︷︸

=0 wegen F νµ=−Fµν(actio=reactio)

⇒ MR = F ext ≡∑

ν

F extν =

d

dtP tot (V.19)


Drehimpulssatz (bezuglich K):

∑

ν

mνrν × rν =∑

ν

rν × F ν

=∑

ν

rν × F extν +

∑

ν,µ

rν × F νµ

J =∑

ν

mν(rν × rν)

dJ

dt=

∑

ν

mν(rν × rν) = Linke Seite

Doppelsumme:

r1 × F 12 + r2 × F 21 = (r1 − r2)× F 12 (actio=reactio)

Annahme: Innere Krafte sind Zentralkrafte ⇒ Doppelsumme= 0

⇒ d

dtJ = D =

∑

ν

rν × F extν Drehmoment (V.20)

Drehimpulssatz (bezuglich KS)

rν = R + rSνrν = R + rSν

Dies in∑

ν

mν(rν × rν) =∑

ν

rν × F extν

unter Beachtung von

∑

ν

mµrSν = 0;∑

ν

mν rSν = 0 ⇒ gemischte Terme= 0

∑

ν

mν(R× R + rSν × rSν) =∑

ν

(R× F extν + rSν × F ext

ν )

Nach dem Schwerpunktsatz sind die beiden ersten Terme rechts und links gleich:

⇒∑

ν

mν(rSν × rSν) =∑

ν

rSν × F extν

V.5. BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 147

d

dtJS = DS (V.21)

Andererseits:

JS = θω = θ(t)ω(t)

d

dtJS = θω + θω = DS (in KS) (V.22)

Diese Gleichung ist leicht zu merken, aber schwer zu benutzen, außer fur θ = 0.Trick: Gehe uber in K ′

S, dort ist θ′ = const. Darstellungswechsel:

JS(t) =∑

i

J ′Sie

′Si(t) =

∑

i,j

θ′ijω′j(t)e

′Si(t)

da

J ′Si =

∑

j

θ′ijω′j(t)

⇒ d

dtJS =

∑

i,j

θ′ijω′je

′Si +

∑

i,j

θ′ijω′j e

′Si in K ′

S

e′Si = ω′ × e′Si (vgl. II.8), gilt nur fur korperfestes Bezugssystem

Die Gleichungen haben verschiedene Gestalt in KS und K ′S, obwohl sie

”abstrakt“

uber Vektoren formuliert sind. Die erste Form (V.21) gilt in KS und K ′S.

Euler’sche Gleichungen (Kreiselgleichung)

⇒ d

dtJ ′S = θ′ω′ + ω′ × J ′

S = DS (in K ′S) (V.23)

Da J ′S = θ′ω′ ⇒nichtlinear bezuglich ω:

⇒ ω′ × (θ′ω′) + θ′ω′ = D′S


Euler’sche Gleichungen in Hauptachsenform:

θ′ik = θ′iδik, i, k = x, y, z (1, 2, 3)

⇒ (ω′ × (θ′ω′))x = θ′zω′yω

′z − θ′yω′

zω′y

= (θ′z − θ′y)ω′yω

′z und zyklisch

θ′xω′x − (θ′y − θ′z)ω′

yω′z = D′

Sx

θ′yω′y − (θ′z − θ′x)ω′

zω′x = D′

Sy

θ′zω′z − (θ′x − θ′y)ω′

xω′y = D′

Sz

(in K ′S)

(korperfestes Hauptachsensystem)(V.24)

Nichtlineare gekoppelte Differenzialgleichungen fur ωx, ωy, ωz (momentane Achsedurch den Schwerpunkt). Das Drehmoment DS bestimmt die Dynamik. Aber ausDS = 0 folgt nicht ω′ = 0 (nur fur θ′i = θ′

”Kugelkreisel“).

Hinterher Rucktransformation in KS bzw. K.Geometrische Kugel: Alle Dreibeine in S sind Hauptachsen. Es ist immer θ′i = θ′.Dies gilt auch fur Wurfel und sogar fur Zylinder, falls h =

√3R. Der Tragheitsten-

sor θ = θ′1 hat diese Form in jedem Koordinatensystem, sofern nur die Drehachsedurch S geht.Denn es ist

θ′′ = αTθ′α

θ′ = θ1

⇒ θ′′ = θαTα = θ1

Klassen von Kreiseln:

• Kugelkreisel: Alle θi sind gleich bezuglich der Haupttragheitsachsen.

• Symmetrische Kreisel: Zwei Tragheitsmomente sind gleich.

• Unsymmetrischer Kreisel: Alle Tragheitsmomente sind verschieden.

• Rotator: θ1 = θ2, θ3 = 0 (eindimensional), nur zwei Gleichungen

Eine Symmetrieachse ist immer eine Haupttragheitsachse.

V.6. ANWENDUNGSBEISPIELE 149

V.6 Anwendungsbeispiele

1. Rotation um feste Achse: Torsionspendel

Wie bei rotierendem Bezugssystem (K,KS, K′S)

w

e eS z S z, ’

j’

eS x

eS y

e eS z S z= ’

eS y’ Ruhelage ’=0j

Wahle

KS : eSx, eSy, eSz ‖ ωK ′S : e′Sx, e′Sy, e′Sz ‖ eSz

⇒ ωz = ω′z

Setze

ω′ = (0, 0, ϕ′) (ϕ =Euler’scher Winkel, siehe unten)

Kreiselgleichung:

⇒ θ′zω′z = D′

Sz ≡ −k′ϕ′ (Modell fur Ruckstell-Moment)

θ′zϕ+ k′ϕ′ = 0

Losung:

ϕ′(t) = ϕ′0 cos(Ω′

0t− α)

Ω′0 =

√

k′

θ′z

2. Rollender Zylinder

bezuglich KS, K′S feste Achse

S

j’ ey

ex

ez

R( )tR0’

K

w

e eS z S z, ’

K KS S, ’:


K ′S : Trot = 1

2θ′zω

′2z

KS : Ttrans = 12MR2

x (zusatzlich)

Abrollbedingung (Verknupfung der Drehbewegung und der Translation):

Rx = −ϕ′R0

ω′z = ϕ′ = −Rx

R0

R = (Rx, 0, 0)

T =1

2MR2

x +1

2θ′zω

′2z =

1

2

(

M +θ′zR′2

0

)

︸︷︷︸

Meff>M

R2x = T (Rx)

Lagrange-Funktion:

L = T (Rx)

d

dt

∂L

∂Rx

= MeffRx = 0

3. Kraftefreie Kreisel

”freie Achse“

D′S = 0 ⇒ JS = const

a)”Kugelkreisel“

θ′1 = θ′2 = θ′3 ≡ θ′ Hauptachsensystem

Euler-Gleichungen:

θ′ω′i = D′

Si = 0, i = 1, 2, 3

⇒ ω′i = const, i = 1, 2, 3

ebenso J ′Si = θ′ωi = const

bezuglich K ′S (Hauptachsen)

⇒ J ′S ‖ ω′ (immer)

Symmetrieachsen=Hauptachsen= e′j:

ω′ ‖ e′S3 ‖ eS3 oder andere Hauptachse


b) Symmetrischer Kreisel

z.B. Kinderkreisel

θ′1 = θ′2 6= θ′3 θ′1 − θ′3 = ∆θ′

e′3 = Figurenachse (Symmetrieachse)Euler-Gleichungen:

θ′1ω′1 −∆θ′ω′

2ω′3 = 0

θ′1ω′2 + ∆θ′ω′

3ω′1 = 0

(θ′1 + ∆θ′)ω′3 = 0

⇒ ω′3 = const

ω′1 =

∆θ′ω′3

θ′1ω′

2 (V.25)

ω′2 = −∆θ′ω′

3

θ′1ω′

1

⇒ ω′1 = −

(∆θ′ω′

3

θ′1

)2

ω1 ≡ −Ω′20 ω

′1 mit Ω′

0 =

∣∣∣∣

∆θ′ω′3

θ′1

∣∣∣∣

ω′2 = −Ω′2

0 ω′2

Ansatz:

ω′1 = ω′

⊥ sin Ω′0t ⇒ ω′

1 = ω′⊥ cos Ω′

0t Ω′0

Wegen (V.25):

ω′⊥ cos Ω′

0t Ω′0 = Ω′

0ω′2

Ω′0 positiv per Definition, Vorzeichen oben fur ∆θ′ω′

3 > 0; ω′⊥ =

”Amplitude“ der

Winkelgeschwindigkeit

ω′1 = ω′

⊥ sin Ω′0t

ω′2 = ω′

⊥ cos Ω′0t

⇒ ω′21 + ω′2

2 = ω′2⊥ = const

ω′2 =∑

i

ω′2i = ω′2

⊥ + ω′23 = const


Drehimpuls bezuglich Hauptachsensystem (K ′S):

J ′Si = θ′iω

′i

J ′2S = θ′21 ω

′2⊥ + θ′23 ω

′23 = const

Damit folgt bezuglich KS,K′S:

2Trot = ωθω = JSω = |JS||ω| cosα = |J ′S|

︸︷︷︸

=const

|ω′|︸︷︷︸

=const︸︷︷︸

Skalare invariant

cosα′

⇒ cosα =2Trot

|JS||ω|= const > 0 ⇒ −π

2≤ α ≤ π

2

ba

g

w’ w^’

JS’

S

eS3’

w3’ (Figurenachse)=Hauptträgheitsachse=fest

in ’KS

Entsprechend:

ω′3

︸︷︷︸

const

= |ω′|︸︷︷︸

const

cos β tanβ =ω′⊥

ω′3

⇒ cos β = const

γ = α + β = const

Behauptung: J ′S, ω

′, eS3 liegen in einer Ebene:

(J ′S × ω′)e′S3

!= 0 (Spatprodukt)

Beweis:

(J ′S × ω′)3 = J ′

S1ω′2 − J ′

S2ω′1 = θ′1ω

′1ω

′2 − θ′2ω′

2ω′1

= 0 da θ′1 = θ′2

J ′S und ω′ bewegen sich auf Kegeln um die Figurenachse, Ω0 =

∣∣∣∆θ′ω′

3

θ′1

∣∣∣ (d.h. beide

Vektoren sind bezuglich K ′S nicht konstant). ω′ beschreibt um e′S3 einen Polkegel

(siehe oben, Drehfrequenz Ω′0).


Beschreibung bezuglich KS

JS = const

Wahle eS3 ‖ JS. Alle Winkel sind invariant bezuglich einer orthogonalen Koordi-natentransformation.

ag

w (Präzession)

S

JS

eS3’

eS3

Spurkegel

Nutationskegel

Figurenachse

Alternative Darstellungauf Einheitskugel um :S

S

e JS S3||

eS3’

Nutationskegel=Wanderung der Figurenachse, von außen sichtbarRegulare Prazession=Bewegung von ω mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω0

(nicht so gut sichtbar).JS, ω, e

′S3 liegen in einer Ebene.

Wann ist J ′S ‖ ω′ (JS ‖ ω)?

Allgemein

J ′S = θ′ω′ !

= θ′ω′

Setze

ω′ = |ω′|e′S⇒Eigenwertgleichung:

θ′e′ = θ′e′S

d.h. falls ω′ parellel zu einer der Hauptragheitsachsen e′S1, e′S2, e

′S3 ist, dann ist

auch J ′S parallel zu ω′ (alle Kegel verschwinden).

⇒Die Anfangspraparation entscheidet (Annahme: kraftefrei).

Anwendung: Erde als symmetrischer Kreisel

Figurenachse S-N (geometrische Pole)K ′S, Erde:

θ′1 = θ′2 < θ′3 (Rotationsellipsoid, abgeflacht)

∆θ′

θ′1=

θ′1 − θ′3θ′1

≈ − 1

300


Ω′0 =

∣∣∣∣

∆θ′ω′3

θ′1

∣∣∣∣

T ′ =2π

Ω′0

=2π

ω′3

︸︷︷︸

1 Tag

∣∣∣∣

θ′1∆θ′

∣∣∣∣

︸︷︷︸

300

≈ 300 Tage

Sichtbar von K ′S (=Erde): Wanderung des Schnitts der momentanen Drehachse

(=kinematischer Nordpol NK) auf der Erdoberflache.

eS3’w’

S

NNK

Unterscheide:

• Geometrischer Nordpol: N

• Kinematischer Nordpol: NK

• Magnetischer Nordpol: Nm

Experimentell: T ′ = 433 Tage = 1 Chandler’sche Periode.ω′ beschreibt einen Kreis mit Radius 10m (

”Praparation“, Polkegel)

V.7 Euler’sche Winkel und Lagrange-Gleichung

V.7.A Einleitung

Darstellungswechsel K ′S ↔ KS (passiv)

e′Si =∑

k

αikeSk

eSk =∑

i

(αT)kie′Si =

∑

i

αike′Si

(αT)ik = αki (vertausche Zeilen und Spalten)

ααT = 1 (orthogonale Transformation)

V.7. EULER’SCHE WINKEL UND LAGRANGE-GLEICHUNG 155

α = orthogonale Transformation in drei Dimensionen: 3 × 3-Matrix, aber nur3 = fm unabhangige Parameter. Spezielle Parametrisierung: Euler-Winkel.

α = C(ϕ) ·B(ϑ) · A(ψ) 3 Basis-Operationen

Daruber hinaus sind ϕ, ϑ, ψ angepasste Koordinaten, falls die Drehbewegungnicht durch Zwangsbedingungen eingeschrankt ist.Bisher vernachlassigt:

• Außere Krafte und Reibung

• Außere Potenzialkrafte: Funktion der angepassten Koordinaten ϕ, ϑ, ψ

Ziel: Lagrange-Funktion

L(R, R, ϕ, ϕ, ϑ, ϑ, ψ, ψ, t) = T − V (ϕ, ϑ, ψ)

6 Koordinaten, 6 Geschwindigkeiten

V.7.B Transformationsmatrix α(ϕ, ϑ, ψ)

Positive Winkel gegen den Urzeigersinn (”Rechte-Faust-Regel“).

1. Drehung: Definition von ϕ

e eS z S z=(1 )

j

j

eS x

eS x

(1 )

eS y

eS y

(1 )

A(ϕ) =

cosϕ sinϕ 0− sinϕ cosϕ 0

0 0 1

(V.26)

eSx, eSy = Aquatorialebene des Systems KS

Orthogonal: AAT = 1 etc.


2. Drehung: Definition von ϑ

eS y

(1 )

JJ

eS y

(2 )

e eS x S x

(1 ) (2 )=

eS z

(1 )

eS z

(2 )

B(ϑ) =

1 0 00 cosϑ sin ϑ0 − sinϑ cosϑ

(V.27)

Drehung um”KnotenlinieKn“=Schnittlinie der beiden Aquatorebenen eSx, eSy

und e′Sx, e′Sy (siehe unten)

3. Drehung: Definition von ψ

eS y

(2 )

e eS z S z

(2 )= ’

y

y

eS y’

eS x

(2 )

eS x’

C(ψ) =

cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 0

0 0 1

(V.28)

e′Sx, e′Sy = Aquatorialebene von K ′S

Hinter einander ausgefuhrt (Drehungen nicht kommutativ)

α = C ·B · A (V.29)

=

cosψ cosϕ− cosϑ sinϕ sinψ cosψ sinϕ+ cosϑ cosϕ sinψ sinψ sinϑ− sinψ cosϕ− cosϑ sinϕ cosψ − sinψ sinϕ+ cosϑ cosϕ cosψ cosψ sin ϑ

sinϑ sinϕ − sinϑ cosϕ cos ϑ

e′Si =∑

k

αikeSk

Euler-Winkel: Vermitteln Drehung von eSk nach e′Si.

V.7. EULER’SCHE WINKEL UND LAGRANGE-GLEICHUNG 157

V.7.C Vektor der Winkelgeschwindigkeit

Rotation: Anderung der Euler-Winkel pro ZeitDef.:

ω = ωϕ + ωϑ + ωψ,

wobei

ωϕ = ϕeSz Drehung um eSz-Achse (KS)

ωϑ = ϑe(2)Sx Drehung um Knotenlinie Kn (KS/K

′S)

ωψ = ψe′Sz Drehung um Figurenachse e′Sz (K ′S)

Forme um bezuglich Einheitsvektoren von K ′S:

e′Si =∑

k

αikeSk

eSz =∑

i

αize′Si = αxze

′Sx + αyze

′Sy + αzze

′Sz

= sin ϑ sinψ e′Sx + sin ϑ cosψ e′Sy + cosϑe′Sz

e′Sj =∑

k

Cike(2)Sk

e(2)Sx =

∑

i

Cixe′Si = Cxxe

′Sx + Cyxe

′Sy + Czxe

′Sz

= cosψ e′Sx − sinψ e′Sy

Summiere und ordne:

ω = ω′xe

′Sx + ω′

ye′Sy + ω′

ze′Sz

ω′x = ϕ sinϑ sinψ + ϑ cosψ

ω′y = ϕ sinϑ cosψ − ϑ sinψ

ω′z = ϕ cosϑ + ψ

in K ′S (V.30)

|ω′|2 = ϕ2 + ϑ2 + ψ2 + 2ϕψ cosϑ

V.7.D Lagrange-Funktion in Euler-Winkeln

L = T − VV = V (ϕ, ϑ, ψ) (Modell)

T︸︷︷︸

Skalar

=1

2ω′θ′ω′ =

1

2

∑

i

θ′i︸︷︷︸

const

ω′2i (Hauptachsenform bzgl. K ′

S)


L(ϕ, ϑ, ψ, ϕ, ϑ, ψ) =1

2ϑ′x(θ cosψ + ϕ sinϑ sinψ)2

+1

2θ′y(−ϑ sinψ + ϕ sinϑ cosψ)2

+1

2θ′z(ψ + ϕ cos ϑ)2 − V (ϕ, ϑ, ψ)

(V.31)

Lagrange-Gleichungen:a)

d

dt

∂T

∂ϕ− ∂T

∂ϕ︸︷︷︸

=0

=∂V

∂ϕ= Dz Drehmoment bezuglich eSx (KS) (V.32)

b)

d

dt

∂T

∂ϑ− ∂T

∂ϑ= −∂V

∂ϑ= DKn

Drehmoment bezuglich e(2)Sx

(Knotenlinie KS/K′S)

(V.33)

c)

d

dt

∂T

∂ψ− ∂T

∂ψ= −∂V

∂ψ= D′

z Drehmoment bezuglich e′Sz (K ′S) (V.34)

Explizit:

∂T

∂ψ= θ′z(ψ + ϕ cosϑ) = θ′zω

′z

∂T

∂ψ= θ′x (ϑ cosψ + ϕ sinϑ sinψ)

︸︷︷︸

ω′

x

(−ϑ sinψ + ϕ sinϑ cosψ)︸︷︷︸

ω′

y

+θ′x (−ϑ sinψ + ϕ sinϑ cosψ)︸︷︷︸

ω′

y

(−ϑ cosψ − ϕ sinϑ sinψ)︸︷︷︸

−ω′

x

= (θ′x − θ′y)ω′xω

′y

Lagrange-Gleichung:

θ′zω′z − (θ′x − θ′y)ω′

xω′y = D′

z (V.35)

Identisch mit der Euler-Gleichung (V.24) fur die z-Komponente (K ′S), wie zu er-

warten.Insgesamt stimmen aber die Lagrange-Gleichungen in Euler-Winkeln nicht mitden Euler-Gleichungen uberein: Dort beziehen sich alle Komponenten auf daskorperfeste Koordinatensystem. Die Lagrange-Gleichungen dagegen sind in ge-mischter Darstellung.

V.8. SCHWERER SYMMETRISCHER KREISEL 159

V.8 Schwerer symmetrischer Kreisel

Koordinatensysteme:

• Korperfestes System K ′O e′Ox, e′Oy, e′Oz = Figurenachse (Hauptachsensys-

tem bezuglich festem Drehpunkt O 6= S)

• Raumfestes SystemKO eOx, eOy, eOz; beide Koordinaten-Nullpunkte stim-men uberein und sind identisch mit dem Drehpunkt O.

Tragheitstensor bezuglich S:

θ′x, θ′y, θ

′z; θ′x = θ′y

Tragheitstensor bezuglich O:

θ′x = θ′y = θ′x +Ml2 (Steiner)

θ′x = θ′z (e′Oz-Achse geht durch S)

Potenzial:

V (ϑ) = Mgl cosϑ (V.36)

T =1

2θ′x[(ϑ cosψ + ϕ sin ϑ sinψ)2 + (−ϑ sinψ + ϕ sin ϑ cosψ)2]

+1

2θ′z(ψ + ϕ cosϑ)

Fasse zusammen:

L(ϑ, ψ, ϕ, ϑ, ψ) =1

2θ′x(ϑ

2 + ϕ2 sin2 ϑ) +1

2θ′z(ψ + ϕ cosϑ)2 −Mgl cosϑ (V.37)

Invarianzen

a)∂L

∂ϕ= 0 b)

∂L

∂ψ= 0 c)

∂L

∂t= 0

⇒ drei Erhaltungsgroßena)

∂L

∂ϕ= θ′xϕ sin2 ϑ + θ′z(ψ + ϕ cos ϑ) cosϑ

∂L

∂ϕ= 0 ⇒ d

dt

∂L

∂ϕ= 0 ⇒ ∂L

∂ϕ= const = Jz


Jz = (θ′x sin2 ϑ + θ′z cos2 ϑ)ϕ+ θ′z cosϑ ψ = const (V.38)

b)

∂L

∂ψ= θ′z(ψ + ϕ cos ϑ)

∂L

∂ψ= 0 ⇒ d

dt

∂L

∂ψ= 0

∂L

∂ψ= const = J ′

z

J ′z = θ′zψ + θ′z cosϑ ϕ = const (V.39)

c) Wegen ∂L∂t

= 0 ist ∂E∂t

= 0 (vgl. IV.5) E = T + V = const:

E =θ′x2

(ϑ2 + ϕ2 sin2 ϑ) +θ′z2

(ψ + ϕ cosϑ)2 +Mgl cosϑ = const (V.40)

Aus (V.39):

θ′zψ = J ′z − θ′z cosϑ ϕ (V.41)

oder

(ψ + ϕ cos ϑ)2 =J ′2z

θ′2z(V.42)

(V.41) in (V.38) (ϑ 6= 0, ϑ 6= π):

cosϑ J ′z − θ′z cos2 ϑ ϕ+ (θ′z cos2 ϑ+ θ′x sin2 ϑ)ϕ = Jz

⇒ ϕ(ϑ) =Jz − J ′

z cosϑ

θ′x sin2 ϑ

ϕ2 sin2 ϑ =(Jz − J ′

z cosϑ)2

θ′2x sin2 ϑ(V.43)

(V.42) und (V.43) in (V.40):

E(ϑ, ϑ) =θ′x2ϑ2 +

(Jz − J ′z cosϑ)2

2θ′x sin2 ϑ+J ′2z

2θ′z+Mgl cosϑ

≡ E +J ′2z

2θ′z+Mgl

︸︷︷︸

=const wegen (V.39)

= const ⇒ E = const

Def.:

E =θ′x2ϑ2 + Ueff(ϑ)

Ueff(ϑ) =(Jz − J ′

z cosϑ)2

2θ′x sin2 ϑ−Mgl(1− cosϑ)

(V.44)

V.8. SCHWERER SYMMETRISCHER KREISEL 161

-(1-cos )J

-2

0 p

J

monoton0

1

1

sin2J

p(Jz−J ′

z cosϑ)2

2θ′x sin2 ϑ: Polstellen ϑ = 0, ϑ = π. Fur 0 ≤ δ ≤ π ist Mgl(1 − cosϑ) ≤ 0,

monoton.Falls Jz 6= J ′

z : Ueff(ϑ→ 0, π)→∞ (nicht erreichbar), dazwischen Minimum.

Ueff( )J

JJ1 J2

E~

p

Minimum für vorgegebenes , ’ (für )J Jz z

J=0

® j=reguläre Präzession const

.

.

J ,J :

Þ1 2 Umkehrpunkte

( irreguläre Präzession)

Jz = J ′z : ϑ = 0 stehender Kreisel

Jz = −J ′z : ϑ = π hangender Kreisel (Aufhangepunkt fest)

Anmerkungen

• Das Problem ware schwierig zu losen mit Hilfe der Euler’schen Kreisel-Gleichungen:

– Das Drehmoment DKn = −∂V∂ϑ

ist weder bezuglich KS noch K ′S vor-

gegeben.

– Erhaltungsgroßen Jz und J ′z (ebenfalls verschiedene Koordinatensys-

teme)

• ψ = Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Korper um die Figurenachsee′z dreht=

”eigentliche Kreisel-Rotation“, hier dominierend.

• ϕ = Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Figurenachse e′z um Jzez (festin KS) dreht (→ Nutationskegel), ϕ ψ.

• ϑ =”Nick-Bewegung“ (Torkeln, keine Drehung): Bewegung des Winkels

zwischen raumfester Jzez-Achse und korperfester e′z-Achse=Figurenachse(in Kap. V.6 ϑ = γ), ϑ ψ, Offnungswinkel des Nutationskegels


Bewegungstypen des schweren symmetrischen Kreisels

a)”Feste Rotation“

ϑ = 0, ϕ(ϑ) = const ≡ 0, ψ(ϑ, ϕ) =J ′z

θ′z

In K ′S:

ω′x = 0

ω′y = 0

ω′z = ψ ω′ ‖ e′Sz (Figurenachse)

b) Regulare Nutation (∼ Prazession)

ϑ = 0; ϕ(ϑ) = const 6= 0 ψ,

ψ(ϑ, ϕ) =J ′z − θ′z cosϑ ϕ

θ′z= const = a

c) Irregulare Nutation (∼ Prazession)

ϑ 6= 0 (Nutationskegel zeitabhangig)

ϕ(ϑ) 6= const

ψ(ϑ, ϕ) 6= const

Regulare Prazession

ϑ = 0 ⇒ ϑ = ϑ1 = ϑ2 = const(V.43)⇒ ϕ = const

Kegel mit Offnungswinkel ϑ

eOz

’e

Oz

j

J =J1 2

KO

(vgl. Fig. für )E~

Nutation:Bewegung von ’

bzgl. ( )

e

e

Oz

Oz SK

Im kraftefreien Fall gibt es nur regulare Prazession (U = 0, vgl. Kap. V.6, vierErhaltungsgroßen E, JS)

V.9. STEHAUF-KREISEL 163

Irregulare Prazession

Darstellung bezuglich KO (Inertialsystem)

ϑ 6= 0, ϕ 6= const (V.43)

Bewegung der Figurenachse auf der Einheitskugel (Durchstoßpunkt): Nutation(Betrachtung von außen (KO))

O

Figurenachse ’eOz (~ ’)weOz z( -Richtung)J

eOy

eOx

j

JgeometrischerNordpol N

Bahn des Durchstoß-

punktes, J¹0.

j

zO

J1

J2

a)

j

zO

J1

J2

b)

Anwendung Erde (kein fester Aufhangepunkt): Die ϑ-Bewegung ist eine Torkelbe-wegung von N . Die ϕ-Bewegung ist wie die Prazession von ω. Die Erde entsprichteinem symmetrischen Kreisel. Das gesamte angewendete Drehmoment (durch dieMitglieder des Sonnensystems) ist zeitlich aber nicht konstant. Die Nutation ent-spricht etwa dem Fall b). Die ϑ-Periode betragt T = 26000 Jahre. (Kap. V.6: DasKoordinatensystem KS ist das System, in dem J = const gilt; hier ist J nichtkonstant, da das Drehmoment 6= 0 ist.)

V.9 Stehauf-Kreisel

V.9.A Modell

Symmetrischer Kreisel mit GleitreibungLinks reale Form, rechts Ersatzmodell (Schwerpunkt S 6= Zentrum Z)

Anfangszustand:

0q=

Endzustand:

q=p

A

S

JR=1

a J= jsin Hebelarm bzgl. -Achse

1- cosa JsinJ

a Z

eS z

eS z’j

y

Hebelarm bzgl. -Achsey

Reibungskraftanteil

^ Papierebene

Figurenachse(Hauptträgheitsachse)


Der Aufpunkt A ist im Allgemeinen nicht fest.Phanomenologische Gleitreibung, bezuglich der Bewegung von A, wobei S raum-fest ist (S-Bewegung schon weggedampft):

Drehmoment = Hebelarm× Reibungskraft

Komponenten:

Dϕ = Hebelarm bzgl. ϕ · Reibungskraftanteil⊥Dψ = Hebelarm bzgl. ψ · Reibungskraftanteil⊥

⇒ Dϕ

Dψ

=α sinϑ

sin ϑ= α

Lineare Geschwindigkeiten (Schwerpunkt sei konstant bezuglich Auflageflache).Bei Rotation um Schwerpunkt (Schwerpunkt fest) ist die Gleitreibungskraft ∼ v(phanomenologisches Modell)Geschwindigkeit von A auf der Ebene:

v = (vψ + vϕ)e⊥ + vϑe‖

vψ = ψ sinϑvϕ = ϕα sinϑ

⊥eSz, e′Sz-Ebene

vϑ = ϑ(1− α cosϑ) in Ebene eSz, e′Sz

V.9.B Lagrange-Gleichungen

d

dt

∂L

∂ϕ= J3 = −Dϕ +

∂L

∂ϕ︸︷︷︸

= ∂T∂ϕ

=0

d

dt

∂L

∂ψ= J ′

3 = −Dψ +∂L

∂ψ︸︷︷︸

= ∂T∂ψ

=0 fur θ′x=θ′

y

Mit DϕDψ

= α

⇒ J3 = αJ ′3 ⇒ J3 − αJ ′

3 = 0

⇒ λ ≡ J3 − αJ ′3 = const Erhaltungsgroße

V.9. STEHAUF-KREISEL 165

Wichtiges Ergebnis: λ = const. Zwar nicht einfach zu verstehen, aber damit lasstsich Stehauf-Kreisel qualitativ verstehen (siehe unten).

Trot =1

2θ′x(ϑ

2 + ϕ2 sin2 ϑ) +1

2θ′z(ψ + ϕ cosϑ)2

⇒ J3 =∂L

∂ϕ= ϕ(θ′x sin2 ϑ+ θ′z cos2 ϑ) + θ′zψ cosϑ

J ′3 =

∂L

∂ψ= θ′z(ψ + ϕ cosϑ)

Fur ϑ = 0:

J3 = J ′3 = θ′z(ψ + ϕ)

Ohne Gleiten ist v = (vϑ, vϕ + vψ) = (0, 0), d.h.

ϑ = 0, vϕ + vψ = 0⇒ ψ + αϕ = 0

Dies in Trot:

Trot =1

2θ′xϕ

2 sin2 ϑ +1

2ϕ2(cosϑ− α)2θ′z

Trot =1

2Fϕ2

F ≡ θ′x sin2 ϑ + (cosϑ− α)2θ′z

Eliminiere ϕ: Dazu beachte

λ = J3 − αJ ′3

J3 =∂L

∂ϕ= ϕ(θ′x sin2 ϑ+ θ′z cos2 ϑ) + θ′zψ cos ϑ

J ′3 =

∂L

∂ψ= θ′z(ψ + ϕ cosϑ)

λ ≡ ϕ(θ′x sin2 ϑ + θ′z(cosϑ− α)2) = ϕF

Trot(ϑ) =λ2

2F (ϑ)

F (ϑ):

F (0) = (1− α)2θ′z 0 < α < 1

F (π) = (1− α)2θ′z > F (0)


Trot(ϑ = π)︸︷︷︸

Inversion

< Trot(ϑ = 0) am Anfangkontinuierliche Funktion(keine Barriere)

(+Bedingung fur θ′x, θ′z)

Interpretation: Epot erhoht ⇒ Trot kleiner ⇒ weniger Gleitreibung bei Storung,d.h. Zustand ϑ = π ist der stabilere.

V.10 Erganzungen

V.10.A Zusammenfassung

1. Modell: Ein starrer Korper ist definiert uber holonome Zwangsbedingungeneines N -Punkte-Systems. fm = 6. Dies gilt auch fur den Kontinuumslimes.

2. Der Tragheitstensor liefert eine relative Struktur-Information. Er ist einsymmetrischer Tensor. Bezuglich momentaner Drehachse ω(t) ist θ(t), alsozeitabhangig.

3. Bilanzgleichungen: Schwerpunktsatz, Drehimpulssatz. Der Drehimpulssatzlasst sich umformen in Kreiselgleichungen: drei nichtlineare gekoppelte Be-wegungsgleichungen fur ω′.

4. Die Bewegungstypen ergeben sich aus den Kreiselgleichungen (z.B. krafte-frei) und der Symmetrie (Kugel-, symmetrischer, unsymmetrischer Kreisel).

5. Angepasste Koordinaten: drei Euler-Winkel und drei Schwerpunktskoordi-naten.

6. Lagrange-Funktion bezuglich Euler-Winkeln: Die Lagrange-Gleichungen be-ziehen sich weder auf KS noch auf K ′

S, sondern auf die drei Drehachsen inder Definition der Euler-Winkel (gemischte Darstellung). Die generalisier-ten Krafte sind die Drehmomente.

7. Bewegungstypen:

(a) Starre Achsen

(b) Kraftefrei, ω ‖ Haupttragheitsachse: ohne Prazession

(c) Kraftefrei, ω beliebig: Regulare Prazession ϕ = const

(d) Konstantes Kraftfeld: Prazession und (wahre) Nutation ϕ = ϕ(ϑ).Irregulare Prazession: ϑ 6= 0

(e) Zeitabhangige Kraftfelder: z.B.”astronomische Nutation“

(f) Mit Reibung: Stehauf-Kreisel, Stabilitatsfragen

Kapitel VI

Hamilton’sche Mechanik

Motivation

Als praktische Methode ist die Hamilton-Mechanik weniger geeignet als die Lagrange-Mechanik. Statt dessen ist sie nutzlich

1. als Transformationstheorie (zyklische Koordinaten, kanonische Transforma-tionen)

2. als Storungstheorie (Naherungsverfahren)

3. fur die statistische Mechanik (Liouville’sches Theorem)

4. als Ubergang zur Quantenmechanik (Poisson-Klammer → Kommutator)

5. wegen physikalischer Deutung der Hamilton-Funktion: Gesamtenergie (furzeitunabhangige Zwangsbedingungen)

Wir beschranken uns auf holonome Zwangskrafte. Ein Kennzeichen der Hamil-ton’schen Mechanik ist die symmetrische Behandlung von Ort und Impuls (me-chanischer Zustand). Ort und Impuls sind kanonisch konjugiert.

VI.1 Legendre-Transformation

Ziel:

Variablenwechsel ohne Informationsverlust, umkehrbar, erste Ableitungen inter-pretierbar.

Def. Legendre-Transformation

Sei f(x) eine differenzierbare Funktion. Die neue Variable

z(x) ≡ df

dx(VI.1)

167

168 KAPITEL VI. HAMILTON’SCHE MECHANIK

heißt”konjugierte Große zu x“. Es sei ferner

d2f

dx2=

dz

dx6= 0. (VI.2)

⇒ Es existiert eine eindeutige Umkehrung x = x(z). Aber f(x) ↔ f(x(z))ware nicht notwendig eindeutig 1. Gesucht: Umkehrbarkeit bezuglich Funktion,nicht nur bezuglich Variablen. Vermeide

”Informationsverlust“ (Systemdefiniti-

on). Dies leistet die Legendre-Transformation=Funktions-Transformation (vgl.Fourier-Transformation):

Lf(x) = xdf

dx− f(x) = x(z)z − f(x(z)) = h(z)

heißt Legendre-Transformierte zu f(x) (In der Thermodynamik mit umgekehrtemVorzeichen definiert).

Eigenschaften:

1.

d

dzh(z) = x(z) + z

dx

dz−

z︷︸︸︷

df

dx

dx

dz= x

(Konjugation x↔ z bleibt erhalten)

2.

Lh(z) = zdh

dz− h(z) = zx − xz + f(x(z)) = f(x)

LLf = f

3.

Lf(x) 6= f(x(z))

1Beispiel (Nolting): Betrachte die zwei Funktionen f(x), g(x):

f(x) = αx2 ⇒ z =

Umkehrung OK︷︸︸︷

2αx f(z) = z2

4α

g(x) = α(x + c)2 ⇒ z = 2α(x + c) g(z) = z2

4α

⇒ g(x) 6= f(x) aber f(z) = g(z) !

VI.1. LEGENDRE-TRANSFORMATION 169

Beispiel 1:

f(x) =mx2

2

z =df

dx= mx;

d2f

dx2= m 6= 0

”z konjugiert zu x“

⇒ x(z) =z

m

Lf = xdf

dx− f(x) =

z

mz − m

2

( z

m

)2

=z2

2m

Beispiel 2:

g(x) =m

2(x+ c)2

z =dg

dx= mx +mc

x(z) =z

m− c

Lg = z( z

m− c)

︸︷︷︸

x

− 1

2mz2

︸︷︷︸

g(x(z))

=1

2mz2 − cz 6= g(x(z))

Mehrere Veranderliche f(x1, x2, . . . , xm):Sei

det

(∂2f

∂xk∂xj

)

6= 0

Konjugierte:

zk =∂f

∂xk, k = 1, 2, . . . , m (VI.3)

Diese Funktionen zk = zk(x1, x2, . . . , xm) sind umkehrbar, also:

Lf(x1, . . . , xm) =

m∑

k=1

zkxk(z)− f(x1(z), x2(z), . . . , xm(z)) (VI.4)

= h(z1, z2, . . . , zm)

∂h

∂zk= xk


Hamilton-Funktion

Gegeben sei

L = L(q1, . . . , qfm , q1, . . . , qfm, t)

”Kanonischer Impuls“ (konjugiert zu qk):

pk =∂L

∂qk= pk(q, q), det

(∂2L

∂qk∂qi

)

6= 0 ⇒ qk = qk(q, p) (VI.5)

Legendre-Transformation bezuglich q1, . . . , qfm :

H(q1, . . . , qfm, p1, . . . , pfm , t) = LL(q1, . . . , qfm, q1, . . . , qfm, t)

=

fm∑

k=1

pkqk(q, p, t)− L(q1, . . . , qfm , q1(q, p), . . . , qfm(q, p), t)(VI.6)

Eigenschaften:

i. H erzeugt kanonische Gleichungen

∂H

∂pk′= qk′ +

fm∑

k=1

pk∂qk∂pk′

−fm∑

k=1

∂L

∂qk

∂qk∂pk′

= qk′

∂H

∂qk′=

fm∑

k=1

pk∂qk∂qk′− ∂L

∂qk′−

fm∑

k=1

∂L

∂qk︸︷︷︸

pk

∂qk∂qk′

= − ∂L

∂qk′Lagrange

= − d

dt

∂L

∂qk′= −pk′

∂H

∂t=

fm∑

k=1

∂qk∂t

pk −fm∑

k=1

∂L

∂qk︸︷︷︸

pk

∂qk∂t− ∂L

∂t= −∂L

∂t

2fm Hamilton’sche kanonische Gleichungen (2fm Differenzialgleichungen ersterOrdnung im Phasenraum der Dimension 2fm, q, p

”kanonisch konjugiert“):

qk =∂H

∂pk

−pk =∂H

∂qkk = 1, 2, . . . , fm

−∂L∂t

=∂H

∂t

(VI.7)

VI.1. LEGENDRE-TRANSFORMATION 171

ii. Fur zeitunabhangige Zwangsbedingungen (holonom-skleronom) gilt

H = T + V = Etot (VI.8)

Beweis:

L =1

2

N∑

ν=1

mν r2ν

︸︷︷︸

nat. Form

−V (r1, . . . , rN )

∂L

∂rµ= mµrµ = p

µ

H =

N∑

ν=1

mν r2ν − L =

1

2

N∑

ν=1

mν r2ν + V (r1, . . . , rN)

=N∑

ν=1

p2ν

2mν

+ V (r1, . . . , rN) = T + V

Dagegen gilt fur zeitabhangige Zwangsbedingungen (rheonom-holonom):Koordinaten-Transformation:

ri = ri(q, t) L = T − V,

wobei fur die verallgemeinerte kinetische Energie (vgl. Kap. IV.4) gilt:

T (q, q, t) = a(q, t) +∑

α

bαqα +∑

α,β

Cαβ qαqβ

∂T

∂qγ= bγ + 2

∑

α

Cαγ qα ≡ pγ

H =

P

γ pγ qγ︷︸︸︷

2∑

α,γ

Cαγ qαqγ +∑

γ

bγ qγ −L

=∑

α,β

Cαβ qαqβ − a(q, t) + V = T + V − 2a−∑

α

bαqα

H = T + V gilt nur fur a = 0, bγ = 0

Falls a, bγ 6= 0 hat H nicht die Bedeutung T + V = E.


iii. Def. Kanonische Systeme

Mechanisches System, dem man eine H-Funktion zuordnen kann derart, dassdiese die Bewegung erzeugt gemaß den kanonischen Gleichungen. Jedes Lagrange-System mit

det

(∂2L

∂qk∂qi

)

6= 0 (VI.9)

ist kanonisch, d.h. LL = H erzeugt kanonische Gleichungen. Umgekehrt ist einkanonisches System H mit

det

(∂2H

∂pk∂pi

)

6= 0 (VI.10)

ein Lagrange-System, d.h. es genugt auch den Lagrange-Gleichungen zu LH. Esgibt Lagrange-Systeme, die nicht kanonisch sind (z.B. Maxwell-Feld, L(q1, q1, q2, t)).

Beispiel: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

vgl. Kap. IV.3

L(r, r, t) =1

2mr2 − eφ(r, t) +

e

crA(r, t)

p =∂L

∂r= mr +

e

cA kanonischer Impuls

⇒ r =1

mp− e

mcA

H = pr − L =1

mp(

p− e

cA)

− 1

2m

(

p− e

cA)2

+ eφ− e

mcA(

p− e

cA)

H(r, p, t) =1

2m

(

p− e

cA(r, t)

)2

+ eφ(r, t) = T + V

12m

(p− e

cA(r, t)

)2: kinetische Energie, ausgedruckt durch kanonischen Impuls p

Achtung: Einheitensystem, SI: ec→ e

VI.2. POISSON-KLAMMER UND LIOUVILLE’SCHER SATZ 173

VI.2 Poisson-Klammer und Liouville’scher Satz

VI.2.A Observablendynamik

Sei F = F (q, p, t)”Observable“, Funktion auf dem Phasenraum. Dann gilt

dF

dt=

fm∑

k=1

∂F

∂qkqk +

fm∑

k=1

∂F

∂pkpk +

∂F

∂t

Hamilton−Gl.=

fm∑

k=1

(∂F

∂qk

∂H

∂pk− ∂F

∂pk

∂H

∂qk

)

+∂F

∂t

dF

dt:= F,Hq,p +

∂F

∂t(VI.11)

Def. Poisson-Klammer

F,Gq,p︸︷︷︸

Goldstein,NoltingFließbach,Kuypers

:=∑

i

(∂F

∂qi

∂G

∂pi− ∂F

∂pi

∂G

∂qi

)

= −F,Gp,q︸︷︷︸

Landau,Scheck

(VI.12)

Eigenschaften:

1. Antisymmetrie F,G = −G,F ⇒ F, F = 0

2. Linearitat αF + βG,K = αF,K+ βG,K

3. Jakobi-Identitat F, G,K + G, K,F + K, F,G = 0 (zyklischeVertauschung)

4. Poisson-Klammer-Ausdruck enthalt als Spezialfall die kanonischen Glei-chungen: d

dtqk = qk, H = ∂H

∂pketc.

Fundamentale Poisson-Klammern:

qk, qj = 0pk, pj = 0qk, pj = δkj

(VI.13)

qk und pk heißen”kanonisch konjugiert“ (vgl. Quantenmechanik: Kommutator-

Relationen). Ferner gilt:

F, qk = − ∂F∂pk

F, pk = +∂F

∂qk

(VI.14)


Integrale der Bewegung (Erhaltungsgroßen)

F (q, p) ist Erhaltungsgroße, falls

0!=

dF

dt=∂F

∂t+ F,H (VI.15)

Poisson-Theorem

Die Poisson-Klammer aus zwei Bewegungsintegralen u, v ist wieder ein Bewe-gungsintegral.Beweis: Setze w = u, v

d

dtw =

∂

∂tw + w,H

d

dtw =

∂u

∂t, v

+

u,∂v

∂t

1 mal vertauschen

− H, u, v

Jakobi-Identitat: H, u, v = −u, v,H − v, H, u

d

dtw =

∂u

∂t, v

+

u,∂v

∂t

+ u, v,H+ v, H, u

2 mal vertauschen=

∂u

∂t+ u,H, v

+

u,∂v

∂t+ v,H

⇒ d

dtu, v =

du

dt, v

+

u,dv

dt

”Produktregel gilt“

Falls dudt

= 0, dvdt

= 0⇒ ddtu, v = 0⇒ Behauptung

VI.2.B Liouville’scher Satz

Mechanischer Zustand=Punkt im Phasenraum: ξ = q1, . . . , qfm , p1, . . . , pfm,vgl. Kap. II.2.B, Kap. VI.1.Ubergang zur statistischen Beschreibung

Ensemble

Betrachte eine große Anzahl identischer Systeme, d.h. solche mit gleicher H-Funktion (gleiches Modell). Jedes System ν des Ensembles wird im Phasenraumξi; i = 1, . . . , 2fm reprasentiert als ein Punkt ξνi .

VI.2. POISSON-KLAMMER UND LIOUVILLE’SCHER SATZ 175

x1

x2

x

x1

x2

x3

x1

x2

Einzelsystem Ensemble“Punkt-Schwarm”

Kontinuums-Naherung: ξνi → ξi (”Name=Ort in Ausgangskonfiguration“)

Große Anzahl von Punkten ⇒ beschrieben durch Phasenraumdichte ρ(ξ, t) mitder Normierung

∫

V (t)

ρ(ξ, t)d2fξ = 1

x1

x2

V t( )

Globale Erhaltungsgroße (Teilchenzahl) ⇔ lokale Bilanzgleichung:

Dreidimensionaler Ortsraum:

Es gilt fur eine globale Erhaltungsgroße A (in Volumen V (t); (V (t)) = Oberflachevon V )

A =

∫

V (t)

a(r, t)d3r = const

0 =dA

dt=

∫

V (t)

∂a

∂td3r +

∮

(V )

avdf (ohne Beweis, v = Geschwindigkeit)

Gauß=

∫

V

(∂a

∂t+ div (av)

)

d3r ”Reynold’sches

Transport-Theorem“(VI.16)

Da Volumen V beliebig, muss Integrand verschwinden::

∂a

∂t+ div

ja=Stromdichte︷︸︸︷

(av) = 0 Kontinuitatsgleichung (VI.17)

div (av) = v grad a+ a div v

div v =

3∑

i=1

∂vi∂ri


Verallgemeinerung auf Phasenraum (Dimension 2fm):

r → ξ, a→ ρ

vi = ξi, i = 1, 2, . . . , 2fm

div v =

2fm∑

i=1

∂vi∂ξi

=

fm∑

i=1

∂qi∂qi

+

fm∑

i=1

∂pi∂pi

=

fm∑

i=1

∂2H

∂pi∂qi−

fm∑

i=1

∂2H

∂qi∂pi= 0

”inkompressibel“ (VI.18)

⇒ ∂ρ

∂t+ vgrad ρ = 0

ρ,H =

fm∑

i=1

(∂ρ

∂qi

∂H

∂pi− ∂ρ

∂pi

∂H

∂q1

)

=

f∑

i=1

∂ρ

∂qiqi +

f∑

i=1

∂ρ

∂pipi

=

2f∑

i=1

∂ρ

∂ξiξi = v grad ρ

Poisson-Klammer fur ρ(ξ, t):

dρ

dt=∂ρ

∂t+ ρ,H =

∂ρ

∂t+ v grad ρ = 0 Liouville’scher Satz (VI.19)

dρdt

:”Materielle Ableitung“ (substanziell),

”mitschwimmend“

∂ρ

∂t: lokale Ableitung

v grad ρ : konvektive Ableitung

Stationare Dichte:

H = H(ξ) = H(p, q)

Sei

ρ = ρ(H) ⇒ ∂ρ

∂qi=

∂ρ

∂H

∂H

∂qi∂ρ

∂pi=

∂ρ

∂H

∂H

∂pi

VI.3. KANONISCHE TRANSFORMATIONEN 177

ρ,H =∑

i

(∂ρ

∂qi

∂H

∂pi− ∂ρ

∂pi

∂H

∂qi

)

=∂ρ

∂H

∑

i

(∂H

∂qi

∂H

∂pi− ∂H

∂pi

∂pi∂qi

)

= 0

⇒ ∂ρ

∂t= 0

Statistische Physik: “kanonische Phasenraumdichte” (thermisches Gleichgewicht,T = Temperatur):

ρ =1

Zexp(−Hβ), β =

1

kBT, Z = Zustandssumme

VI.3 Kanonische Transformationen

Die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten und der kanonisch konjugierten Im-pulse ist nicht eindeutig. Dies kann man dazu ausnutzen, besonders “gunstige”Koordinaten zu finden.

VI.3.A Zyklische Koordinaten

Def. zyklische Koordinate:

qfm zyklisch ⇒ ∂L

∂qfm= 0 (VI.20)

(Nummerierung so gewahlt, dass diese Koordinate gerade die Nummer fm hat.)

⇒ L = L(q1, . . . , qfm−1, q1, . . . , qfm, t)

In der Hamilton-Formulierung:

LL = H(q1, . . . , qfm−1, p1, . . . , pfm, t)

⇒ pfm = − ∂H

∂qfm= 0 ⇒ pfm = αfm = const

H → H(q1, . . . , qfm−1, p1, . . . , pfm−1, αfm, t) 2(fm − 1)-dimensionaler Phasenraum

Die Koordinate qfm ist”ignorierbar“ (klarer als der Begriff

”zyklisch“).

Sind alle Koordinaten zyklisch,

H = H(p1, . . . , pfm, t),


so sind die kanonischen Gleichungen elementar losbar:

pk = αk = const, k = 1, 2, . . . , fm

qk =∂H

∂pk

∣∣∣∣pi=αi

:= vk(t) unabhangig von allen qk

qk(t) =

∫ t

t0

vk(t)dt + βk, k = 1, 2, . . . , fm

Motivation fur kanonische Transformation

Frage: Kann man die Koordinaten und Impulse so wahlen, dass einige oder garalle Koordinaten zyklisch werden?

VI.3.B Koordinatentransformation im Phasenraum

Sei wieder

ξα = qα, α = 1, 2, . . . , fm ηα = Qα, α = 1, 2, . . . , fmξα = pα−fm, α = fm + 1, . . . , 2fm ηα = Pα−fm , α = fm + 1, . . . , 2fm

R2fm → R2fm :

ηα = ηα(ξ1, . . . , ξ2fm , t) differenzierbar

”Phasenraumtransformation“; umkehrbar eindeutiga:

det

(∂ηα∂ξβ

)

6= 0 (VI.21)

⇒ ξi = ξi(η1, . . . , η2fm , t)

avgl. Punkttransformation in der Lagrange-Mechanik, Kap. IV.4

Schreibweise:

Mit Hilfe von

γαβ =

(

0fm

1fm

−1fm

0fm

)

z.B. fm = 2 :

(0 00 0

) (1 00 1

)

(−1 00 −1

) (0 00 0

)


lassen sich die kanonischen Gleichungen schreiben als

ξα =∑

β

γαβ∂H

∂ξβ, α = 1, 2, . . . , 2fm

dF

dt=

∑

α

∂F

∂ξαξα +

∂F

∂t=∑

α,β

∂F

∂ξαγαβ

∂F

∂ξβ+∂F

∂t

(VI.22)

Wir wenden den Poisson-Klammer-Ausdruck auf ηα(ξ1, . . . , ξ2fm, t) an:

dηαdt

= ηα = ηα, H+∂ηα∂t

= ηα(η1, . . . , η2fm , t) (da invertierbar)

Kanonische Transformation2

Nicht jede Phasenraumtransformation ist kanonisch, aber alle Punkttransforma-tionen. Notwendige Bedingung: Es exisiert ein H(η, t) derart, dass

ηα =∑

β

γαβ∂H

∂ηβ

Hinreichend: Transformation ξ → η derart, dass H fur jedes Ausgangsmodell Hexistiert.

Theorem uber kanonische Transformationen

Eine Transformation ξ → η ist dann kanonisch, wenn fur jedes Paar dynamischerVariablen F,G gilt:

F,G =∑

j

(∂F

∂qj

∂G

∂pj− ∂F

∂pj

∂G

∂qj

)

=∑

j

(∂F

∂Qj

∂G

∂Pj− ∂F

∂Pj

∂G

∂Qj

)

(VI.23)

Die Poisson-Klammer ist invariant.

VI.3.C Variationsprinzip fur H-Funktion

Variablen q, p, q, p. Sei

F (q, p, q, t) :=

fm∑

k=1

pkqk −H(p, q, t) (VI.24)

2Hamilton-Gleichungen bleiben invariant


(formal wie Legendre-Transformation, keine p-Abhangigkeit, formal Funktion von4fm Koordinaten).Dann ist

δ

∫ t2

t1

Fdt = 0

aquivalent zu den 2f(!) Euler-Lagrange-Gleichungen

− δFδqk

=d

dt

∂F

∂qk− ∂F

∂qk= 0

− δFδpk

=d

dt

∂F

∂pk− ∂F

∂pk= 0

(Variationsableitung)qk, pk unabhangig

(VI.25)

Setzen wir F ein, so folgen daraus die kanonischen Gleichungen:

pk +∂H

∂qk= 0

−qk +∂H

∂pK= 0, da

∂F

∂pk

Die Funktion F ist – wie L – nicht eindeutig (vgl. V.3):

F = F +d

dtM

M = M(p, q, t) Funktion im 2fm-dimensionalen Phasenraum(VI.26)

F liefert die gleichen kanonischen Bewegungsgleichungen. Dies folgt direkt ausdem Variationsprinzip

δ

∫ t2

t1

d

dtM = δ[M(t2)−M(t1)] = 0.

Damit ist auch H nicht eindeutig.

VI.3.D Konstruktion spezieller kanonischer Transforma-

tionen

Gegeben sei ein beliebiges Hamilton-System H(ξ, t). Betrachte eine zeitabhangigeTransformation

ξ = p, q → η = P ,Q Transformationsgleichung

Ist dann die Aquivalenzbedingung erfullt (vgl. Kap. IV.4, Gl. (VI.26)):

F (ξ, ξ, t) = F (η, η, t) +dM

dt,


d.h.

fm∑

k=1

pkqk −H(q, p, t) =

fm∑

k=1

PkQk − H(Q,P, t) +dM

dt, (VI.27)

so gilt: Ist p, q Losung zu H, dann ist P,Q Losung zu H. M(p, q, t) kannbezuglich der alten oder der neuen Koordinaten gegeben sein. ξ → η ist dannkanonisch (bezuglich jeder H-Funktion).

Def. Erzeugende Funktion

M heißt erzeugende Funktion, wenn M teilweise als Funktion der alten Koor-dinaten q, p, teilweise als Funktion der neuen Q,P gegeben ist. Dies ergibtgrundsatzlich vier Moglichkeiten:

M1 = M1(q, Q, t)M2 = M2(q, P , t)M3 = M3(p,Q, t)M4 = M4(p, P , t)

jeweils Funktion imgesamten 2fm-dimensionalenPhasenraum (alt/neu)

(VI.28)

Wir betrachten hier nur die zwei ersten Klassen.

VI.3.E Klassen (zeitabhangiger) kanonischer Transforma-

tionen

1. Klasse

M1 = M1(q, Q, t) (VI.29)

⇒fm∑

k=1

piqi −H =∑

k

PkQk − H +dM1

dt ”Aquivalenz“

=∑

k

pkQk − H +∑

i

∂M1

∂qiqi +

∑

i

∂M1

∂Qi

Qi +∂M1

∂t

fm∑

k=1

qi (pi −∂M1

∂qi)

︸︷︷︸

=0

−H =∑

k

Qk (Pk +∂M1

∂Qk

)︸︷︷︸

=0

−H +∂M1

∂t


Da die qi bzw. Qi unabhangig sind, mussen die Koeffizienten von qi und Qi separatverschwinden.

⇒

pi =∂M1

∂qi= pi(q, Q, t)

Pk = −∂M1

∂Qk

= Pk(q, Q, t)

H = H +∂M1

∂t

(VI.30)

⇒ Qk = Qk(p, q, t)

⇒ Pk = Pk(q, Q(p, q, t), t)

⇒ Umkehrfunktionen; in H,M1:

H(P ,Q, t) = H(q(P,Q, t), p(P,Q, t), t) +∂M1

∂t(q(P ,Q, t), Q, t)

Damit ist die Transformation uber M1 vollstandig definiert.

Beispiel 1

M1(q, Q) =

fm∑

k=1

qkQk

pi =∂M1

∂qi= Qi

Pk = −∂M1

∂Qk

= −qk

TransformationsgleichungenVorzeichen wesentlich

Hierdurch wird die Rolle von Koordinaten und Impulsen vertauscht!

⇒ H(Q,P ) = H(q(P,Q), p(P ,Q))

= H(−P ,Q)

Beispiel 2:

fm = 1

M1(q, Q) =1

2mωq2 cotQ

p =∂M

∂q= mωq cotQ

p = −∂M∂Q

=1

2

mωq2

sin2Q


Umkehrung

q =

√

2P

mωsinQ, p =

√2mωP cosQ

Dies lost sofort den harmonischen Oszillator:

H(p, q) =p2

2m+

1

2mω2q2

H(P,Q) = ωP (cos2Q+ sin2Q) = ωP, Q zyklisch

⇒ P = −∂H∂Q

= 0, P = α = const

Q =∂H

∂P= ω, Q = ωt+ β

in den ursprunglichen Koordinaten:

q(t) =

√

2P

mωsinQ =

√

2α

mωsin(ωt+ β)

2. Klasse

M2 = M2(q, p, t) (VI.31)

Betrachte M2 als Legendre-Transformation von M1, wobei gelte

−Pi =∂M1

∂Qi

d.h.

M2 ≡ −LM1 = M1(q, Q, t) +∑

i

QiPi

⇒M1(q, Q, t) = M2(q, P , t)−∑

i

QiPi

⇒ d

dtM1 =

d

dtM2 −

∑

i

QiPi −∑

i

QiPi

Aquivalenzbedingung:

fm∑

k=1

piqi −H =∑

k

PKQk − H +dM1

dt

= −H +∑

k

∂M2

∂qkqk +

∑

k

∂M2

∂PkPk +

∂M2

∂t︸︷︷︸

dM2

dt

−∑

k

QkPk


Ordne:

fm∑

k=1

qi

(

pi −∂M2

∂qk

)

︸︷︷︸

=0

−H =∑

k

Pk

(∂M2

∂Pk−Qk

)

︸︷︷︸

=0

−H +∂M2

∂t

⇒pi =

∂M2

∂qi= pi(q, P , t)

Qi =∂M2

∂Pi= Qi(q, P , t)

H = H + ∂M2

∂t

(VI.32)

⇒ Pk = Pk(p, q, t)

⇒ Qi = Qi(q, P (p, q, t), t)

⇒ Umkehrfunktionen ⇒ einsetzen in H,M2.

Beispiel: Identische Abbildung

M2(q, P ) =

fm∑

i=1

qiPi

pi =∂M2

∂qi= Pi, Qj =

∂M2

∂Pj= qj, H = H

VI.3.F Hamilton-Jakobi-Gleichung

=Bewegungsgleichung fur Erzeugende. Sei

H(P,Q) ≡ const = 0 (VI.33)

(nur moglich mit explizit zeitabhangiger Transformation)

⇒Qk =

∂H

∂Pk= 0 ⇒ Qk = βk = const

Pk = − ∂H∂Qk

= 0 ⇒ Pk = αk = const

alle zyklisch

Unter der Transformationsklasse 2 sei dies der Fall fur

S = M∗2 (q,

=α=const︷︸︸︷

P , t), pi =∂S

∂qi(vgl. (VI.32)).


Hamilton-Jakobi-Gleichung:

H = H(q1, . . . , qfm,∂S

∂q1, . . . ,

∂S

∂qfm, t) +

∂S

∂t= 0 (VI.34)

Nichtlineare (i.A. quadratisch in den Impulsen ∂S∂qi

) partielle Differenzialgleichungerster Ordnung fur die Erzeugende S. S hangt ab von fm Koordinaten und derZeit t. Die Losung muss also fm + 1 freie Konstanten enthalten.

∂S

∂αi= βi(q, α, t) ⇒ qj = qj(α, β, t) Losung aus Erzeugender (VI.35)

Vollstandiges Integral:

S = S(q1, q2, . . . , qfm , α1, α2, . . . , αfm, t) + A

dS

dt=

∑

i

∂S

∂qiqi +

∂S

∂t

∂S

∂t= −H ⇒ dS

dt=

∑

i

piqi −H = L

⇒ S =

∫

Ldt + A (VI.36)

Erzeugende der gesuchten Transformation: unbestimmtes Wirkungsintegral, Stamm-funktion zu L.

Speziell: Autonomes Hamilton-System

H = H(p, q) ⇒ ∂S

∂t+H(q,

∂S

∂q) = 0

Ansatz:

S(q, α, t) := W (q, α)− α0t Abseparation von t

W : charakteristische Hamilton-Funktion

∂S

∂t= −α0

pi =∂S

∂qi=

∂W

∂qi

H(q,∂W

∂q) = α0 α0 = E = Energie


Beispiel: Harmonischer Oszillator

H = T + V =1

2mp2 +

1

2kq2, p =

∂W

∂q

H

(

q,∂W

∂q

)

=1

2m

(∂W

∂q

)2

+k

2q2 = α0

⇒ ∂W

∂q=

√

2mα1 −mkq2

S =√mk

∫ √

2α0

k− q2dq − α0t

∂S

∂α0≡ β0(q, α0, t) = −t+

√m

karcsin

(√

k

2α0q

)

, ω2 =k

m

q(α0, β0, t) =

√

2α0

ksinω(t+ β0)

Hamilton-Jakobi ist nur nutzlich fur separierbare Probleme.

VI.4 Allgemeine dynamische Systeme

Motivation: Blick uber die Grenzen der analytischen Mechanik hinaus

VI.4.A Vollstandig integrable Systeme

1. fm mechanische Freiheitsgrade ⇒ 2fm-dimensionaler Phasenraum. DieBahn im Phasenraum ist kontrolliert durch die Hamilton’schen Gleichungen(VI.22):

ξα =∑

β

γαβ∂H

∂ξβ, H = H(ξ, t)

Losung:

ξ(t) = φt︸︷︷︸

Fluss

(ξ(0), t), ξα(0) = Anfangsbedingung

Dimension des Problems: 2fm + 1 (ξ und t)

VI.4. ALLGEMEINE DYNAMISCHE SYSTEME 187

2. Autonomes Hamilton-System:

H = H(ξ),∂H

∂t= 0

⇒ Es existieren 2fm funktional unabhangige Erhaltungsgroßen:

ξ(t) = φt(ξ(0)) 2fm Anfangsbedingungen

Hamilton-Jakobi (vgl. Kap. VI.3.F):

c = α, β

2fm-dimensionaler Raum, 2fm Invarianten ⇒ fester Punkt bezuglich”gu-

ten“ Koordinaten, P,Q. Die”ursprunglichen“ Koordinaten p, q liegen

dadurch aber nicht fest (zeitabhangige Transformation aus P ,Q).

3.”Phasenraumportrait“:

ci = ci(q1, . . . , qfm , q1, . . . , qfm), i = 1, . . . , 2fm

Umkehrung:

qk = qk(c1, . . . , c2fm , q1, . . . , qfm), k = 1, . . . , fm

fm Gleichungen: 2fm − fm = fm-dimensionale Hyperflache (”Torus“)

q

q.

fm=1: fm=2:

q=q q( )vgl. Kap. II.6

. .im 4-dimensionalenPhasenraum

= +

4. Poincare’scher Wiederkehrsatz: Die Bewegung auf einem Torus ist quasi-periodisch: Man kann stets eine Zeit τ0 angeben derart, dass ein Systemeinem Anfangspunkt (t = 0) beliebig nahe kommt.Beispiel: Separierbares Problem: N Radfahrer im Stadion (fm = N ,

”sepa-

rierter Torus“)

w1 w2 w3 wN

. . .t=

=

= N

0

0

1,2,...,

j

n

n


Wahrscheinlichkeit, dass Radfahrer ν innerhalb ∆ϕ um ϕ = 0 anzutreffenist (Winkelgenauigkeit ∆ϕ):

w(∆ϕ|ϕ = 0) =ϕ

2π(”geometrische Wahrscheinlichkeit“)

Fur alle (unkorreliert):

w =

(∆ϕ

2π

)N

Wie oft tritt dies ein? Wann tritt dies wieder ein? Haufigkeit:

1

τ≈(

∆ϕ

2π

)N

ω, ω = mittlere Drehfrequenz

Anwendung: Sei ∆ϕ2π

= 10−2, ω = 0, 1s−1:

N = 5 ⇒ τp = 1011s ≈ 3000 JahreN = 10 ⇒ τp ≈ 1021s > Alter des Universums

5. Integrable Systeme sind zeitumkehrinvariant ⇒ keine Irreversibilitat, keineausgezeichnete Zeitrichtung, keine Transport-Theorie.

6. Alle autonomen integrablen Systeme mit fm Freiheitsgraden gehen durcheine im Allgemeinen nichtlineare Transformation ineinander uber. Sie sinddaher aquivalent zu fm Pendeln (fm harmonische Oszillatoren, falls unge-bundene Bewegungen fehlen). Beweis: Poincare (separierbares Hamilton-Jakobi-System).

Bespiele fur integrable Systeme

1. Alle Systeme mit fm = 1 und analytischer Lagrange-Funktion

2. Freies Zwei-Korper-Problem

3. Spezielle Probleme: Ein-Teilchen, starrer Korper

4. Alle Systeme mit linearen Bewegungsgleichungen (lineare N -Teilchen-Sys-teme)

5. Nichtlineare Systeme, welche in ungekoppelte fm = 1-Systeme separieren:Solitonen

Anmerkung

Jedes endlich dimensionale nichtlineare Modell kann untransformiert werden inein lineares mit unendlicher Dimension (vgl. Quantenmechanik3)

3→ www.faqs.org/faqs/sci/nonlinear-faq


VI.4.B Ergodische Systeme

Ergodische Systeme sind Systeme, bei denen die Gesamtenergie E die einzigeKonstante der Bewegung ist.Anmerkung: Damit ist nicht gesagt, dass es solche Systeme gibt. ⇒ Hamilton-Jakobi-Gleichungen nicht separierbar.Energie-Flache F (E) im Phasenraum (2fm − 1-dimensionale Hyperflache):

H(p, q) = E (bezuglich allen Koordinaten)

Konsequenz: Zustand ξ = p, q bleibt immer in F (E):

ξ′ = φt(ξ), ξ, ξ′ ∈ F (E)

⇒ Abbildung von F auf sich selbst. Umkehrbar eindeutig: Automorphismus.Sei Observable A = A(ξ):

Zeitlicher Mittelwert

A = limT→∞

1

T

∫ T

0

A(φt(ξ))dt (VI.37)

Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(ξ)

w(R) =

∫

R

ρ(ξ)d2fmξ, d2fm = dq1 · · ·dqfmdp1 · · ·dpfm, R ≤ F

w(0) = 0

w(F ) = 1

Invariante Dichte

ρt(ξ) ≡ ρ(φt(ξ)) = ρ(ξ) (VI.38)

Statistische Beschreibung:

Mikrokanonische Dichte

Fur ergodische Systeme ist die einzige invariante Dichte

ρ(ξ) = ρ0 fur ξ ∈ F (E)

Normierung:

ρ0

∫

F (E)

d2fmx = 1


Ensemble-Mittel:

〈A〉 = ρ0

∫

F (E)

A(ξ)d2fmξ (VI.39)

Fur ergodische Systeme:

A = 〈A〉 (VI.40)

(Zeitmittel=Scharmittel)

VI.4.C Mischende Systeme

Gemaß (VI.38) und (VI.40) darf das Zeitmittel nicht vom Anfangswert ξ0abhangen.

Dies ist bei ergodischen Systemen nur dann garantiert, wenn zur Zeit t = t0 be-reits eine Gleichgewichtsverteilung vorlag. Fur mischende Systeme gilt:

limt→∞

∫

F (E)

A(ξ)ρ[φt(ξ)]d2fmξ = 〈A〉

Beispiele fur mischende Systeme:

1. Jedes Vielteilchensystem mit repulsiver Wechselwirkung (”Harte-Kugel-Gas“)

2. Vermutung: Klassische Vielteilchensysteme mit repulsiver und attraktiverWechselwirkung bei genugend hoher Energie und niedriger Dichte (nochnicht bewiesen, Anzeichen: Erfolg der Transporttheorie)

3. Sinai-Billard (freies Teilchen auf Ebene mit elastisch reflektierender Begren-zung)

Das Konzept der Bahn ist auch klassisch nicht allgemein haltbar (empfind-lich gegenuber Anfangsbedingungen).

VI.4.D Bernoulli-Systeme

Wie ist es moglich, trotz deterministischer Dynamik nur statistisches Verhaltenzu erzeugen?Def.: Fur Bernoulli-Systeme sind Makromessungen zu verschiedenen Zeiten un-korreliert (vgl. Roulette; Beispiel Baker-Trafo).Hierarchie: Bernoulli → mischend → ergodisch


VI.4.E Diskrete dynamische Systeme

Bisher: t kontinuierlich:

ξ(t) = φt(ξ(0))

⇒ ξ(t+ dt) = φdt(ξ(t))

Diskretisierung:

ξt+1

= φ(ξt) (Abbildung)

Zusammenhang diskrete/kontinuierliche Aspekte:

Poincare-Abbildung (poincare section)

Globaler Schnitt: Hyperebene h im Phasenraum: Betrachte Durchstoßpunkte

h

t1

t2

t3

t4

t5

x2

x1

h= , x x1 2

z.B. Kepler-Problem:

t t1 3, t t2 4,

y

x

Schnitt periodisch

Beispiel fur ein diskretes dynamisches System (Zustande = Punkte im Einheits-Quadrat):

Die Zahl der Zustande bleibt bei diesen Abbildungen naturlich erhalten. LetztesBild (fur n→∞): wie “verdunnte Farbe” (daher der Name “mischend”).

Baker-Transformation

xn+1 = φ(xn), n = t diskret


Abbildung der Flache h = [x, y; 0 < x, y < 1] auf sich mit

φ =

(2x, y

2

)

(2x− 1, 1

2(y + 1)

) fur0 < x < 1

212≤ x < 1

Flachentreue Abbildung:”Backen von Blatterteig“

Explizite Beschreibung der (diskreten Dynamik):

Mikrozustand: (x, y)

1

1

x

y

R0

R1

½

Makrozustand (”Grobbeschreibung“): R0, R1 (d.h. System ist in R0 oder R1)

Trick: Formulierung der Baker-Transformation im Binarsystem:

x < 1 : x =

∞∑

ν=1

xν2−ν = 0.x1x2x3 . . . , xi = 0, 1

y < 1 : y =∞∑

ν=1

yν2−ν = 0.y1y2y3 . . . , yi = 0, 1

z.B.”0.01“=1

4,”0.1“=1

2, . . .

0 < x < 12

: 0.0x2x3 . . .12< x < 1 : 0.1x2x3 . . .

2x =

∞∑

ν=1

xν2−ν+1 = x1.x2x3 . . .

Falls 0 ≤ x < 12

x→ 2xFalls 1

2≤ x < 1 x→ 2x− 1

x′ = 0.x2x3 . . .

VI.5. ERGANZUNGEN 193

y

2=

∞∑

ν=1

yν2−ν−1 = 0.0y1y2y3 . . .

Falls 0 ≤ x < 12

y → y

2= 0.0y1y2y3 . . .

Falls 12≤ x < 1 x→ y

2+ 1

2= 0.1y1y2y3 . . .

y′ = 0.x1y1y2y3 . . .

Erster Schritt:

⇒ φ : x′ = 0.x2x3x4 . . . y′ = 0.x1y1y2y3 . . .

(x, y) = (0.x1x2x3 . . . , 0.y1y2y3 . . .) in Rx1

φ(x, y) = (0.x2x3x4 . . . , 0.x1y1y2 . . .) in Rx2

φ2(x, y) = (0.x3x4x5 . . . , 0.x2x1y1 . . .)︸︷︷︸

Mikro

in Rx2︸︷︷︸

Makro

• Da die Wahrscheinlichkeit fur 0 oder 1 jeweils 12

und unkorreliert ist, fuhrtdie makroskopische Messung auf R0 oder R1 mit der Wahrscheinlichkeit 1

2

(Messergebnisse zu verschiedenen Zeiten sind im Allgemeinen korreliert, furBernoulli-Systeme aber unkorreliert, vgl. Munzwurf).

• Sensitivitat bezuglich der Anfangsbedingungen. Die Genauigkeit bestimmtden vorhersagbaren Entwicklungsbereich: x = 0.10110 . . .⇒ R1, R0, R1, R1, R0 . . ..

• Das System ist mischend (siehe oben).

VI.5 Erganzungen

VI.5.A Zusammenfassung

1. Die “naturlichen” Variablen der Hamilton-Funktion H sind die generalisier-ten Impulse und generalisierten Koordinaten (Phasenraum). H erhalt manaus der Lagrange-Funktion L durch Legendre-Transformation.

2. H erzeugt die sogenannten kanonischen Gleichungen (=Bewegungsgleichun-gen).

3. Die Dynamik einer allgemeinen Observable (= Funktion auf dem Phasen-raum) erhalt man uber die Poisson-Klammer.

4. Unter den Phasenraum-Transformationen gibt es speziell die sogenanntenkanonischen Transformationen. Unter diesen bleiben alle Poisson-Klammerninvariant. (Konsequenz: “Physik bleibt invariant”.)


5. Spezielle Klassen kanonischer Transformationen kann man durch Erzeugen-de definieren.

6. Die Hamilton-Jakobi-Gleichung ist die Bewegungsgleichung fur eine Erzeu-gende, welche alle Koordinaten zyklisch macht.

7. Eine zyklische Koordinate ist eine Koordinate, von der die Lagrange-Funktion(bzw. Hamilton-Funktion) nicht abhangt. Der zugehorige Impuls ist dannkonstant (triviale Losung).

Date post:	05-Jan-2017
Category:	Documents
Upload:	lythuan
View:	219 times
Download:	1 times

2.1M

Documents