Teil 1Mathematik I (WS2011/2012)

KAPITEL 1MengenDefinition 1.1. Eine Menge ist eine Ansammlung von diskreten oder ni htdiskreten Elementen. ab de f g M:MengeAbbildung1.0.1. Euler-Venn-DiagrammEine Menge kann endli h oder un-endli h sein.Mengen werden mit Groÿbu h-staben (z.B. M,A,B) bes hrieben.

a ∈ M : �a in M�b /∈ M : �b ni ht in M�1.1. MengenoperationenDefinition 1.2. MengenoperationenS hnittmenge: a ∩B = (x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}Teilmenge: D ⊂ A ⇔ D = {x|(x ∈ A)(∀x ∈ D)}Vereinigungsmenge: A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}Di�erenzmenge: A\B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}Beispiel 1.1. MengenoperationenZ ganze Zahlen (. . . ,−3,−2− 1, 0, 1, 2, 3 . . . )N natürli he Zahlen (1, 2, 3, 4, 5...)R reelle Zahlen (z.B π)Q rationale Zahlen (Beispiel: 3, 7̄)C komplexe ZahlenR\Q irrationale Zahlen efAa b B dg hFigure 1.1.1. Zwei Mengen2

1.1. MENGENOPERATIONEN 3es gilt: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CDefinition 1.3. Eine Menge A heiÿt wohlgeordnet, falls gilt:(a < b)oder(a = b)oder(a > b)

∀a, b ∈ ASatz 1.1. R (und damit au h Q,Z,N) sind wohlgeordnet.Die Gesetze, na h denen Elemente wohlgeordnete Mengen operieren sind dieGruppen- und Körperaxiome.Definition 1.4. Eine wohlgeordnete Menge A mit einer Operation ◦ (A, ◦) heiÿtGruppe, wenn gilt:(1) a ◦ b ∈ A∀a, b ∈ A (Vollständigkeit)(2) (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (Assoziativgesetz)(3) a ◦ n = a (Gesetz vom Neutralelement)(4) a ◦ a−1 = nGilt auÿerdem:(5) a ◦ b = b ◦ a (Kommutativgesetz),so heiÿt die Gruppe Abels he Gruppe.Beispiel 1.2. Operation MatrixmultiplikationH =

(1 35 7

)

I =

(1 62 9

)

H · I =

(1 35 7

)

·(

1 62 9

)

=

(7 3319 93

)

I ·H =

(1 62 9

)(1 35 7

)

=

(31 4547 69

)In der Menge der Matrizen vom Typ 2× 2 gilt in der Regel das Kommutativ-gesetz ni ht!Definition 1.5. Eine wohlgeordnete Menge A mit zwei Operationen (A, ◦, ⋆) heiÿeKörper falls gilt:(1) A ist vollständig sowohl ◦ als au h unter ⋆(2) (A, ◦) ist eine abels he Gruppe(3) (A\{n◦}, ⋆) ist eine abels he Gruppe(4) Es gilt das Distributivgesetz: a ⋆ (b ◦ c) = a ⋆ b ◦ a ⋆ c

1.1. MENGENOPERATIONEN 4Beispiel 1.3. Körper(1) Ist (R,+, ·) ein Körper? 1(2) Ist (Q+, ·) ein Körper? 2(3) Ist (Z,+, ·) ein Körper? 3Beispiel 1.4. MatrizenmultiplikationH ·N = H

(1 35 7

)

·(

1 00 1

)

︸ ︷︷ ︸

E

=

(1 35 7

)

1-Ja.2-Ja.3Nein.

KAPITEL 2FunktionenDefinition 2.1. Eine Funktion y = f(x) ist eine Abbildung, mit den Eigens haf-ten:∀x ∈ D∃ genau ein y ∈ W mit y = f(x)(D =De�nitionsberei h, W =Werteberei h)Beispiel 2.1. Sind diese Abbildungen Funktionen?(1) f(x) =

√4− x2 D = R1(2) f(x) =

√4− x2 − 2 ≤ x ≤ 22(3) f(x) =

√4− x2 32.1. Darstellung von Funktionen

• Funktionsglei hungDefinition 2.2. Funktionsglei hung(1) y = f(x) explizite Darstellung(2) g(y) + f(x) = 0 implizite DarstellungBeispiel 2.2. Funktionsglei hungen (explizit und implizit)y = 2 sinx+ 5 explizit

x2 + y2 = 16 implizite Darstellung1Keine Funktion2Ist eine Funktion, da gilt: ∀x ∈ D abgebildet werden3Identis h mit (2), ist also eine Funktion. 5

2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 6• Skizze y xKreisfunktionSägezahnfunktion"normale"FunktionAbbildung 2.1.1. Diverse Funktionen• Wertetabelle x 2 6 4 . . .y 3 8 10 . . .Tabelle 2.1.1. Beispiel einer Wertetabelle• Parameterabhängige Darstellung

x = x(t)

y = y(t)

a ≤ t ≤ b2.2. Eigens haften von Funktionen• Grenzwerte (waagre hte und senkre hte Asymptoten)• Maxima, Minima } Extremwerte• Nullstellen• Stetigkeit• Wendepunkte• In�mum• Symmetrie• Sattelpunkte2.2.1. Nullstellen. Definition 2.3. Eine Funktion y = f(x) besitzt in x0 eine Nullstelle, wenn gilt:

f(x0) = 0Beispiel. Polynome

2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 7f(x) = x2 − x− 6

0 = x2 − x− 6

x1 = −2

x2 = 3(gelöst mit pq-Formel!)Ist f(x) = x2+px+q sind x1 und x2 Nullstelle, dann ist f(x) = (x−x1)(x−x2)Im Beispiel:f(x) = (x+ 2)(x− 3)Beispiel. f(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 6

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0

x1 = 1

(x− 1)(ax2 + bx+ c) = 0

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0

ax2 + bx+ c =x3 − 2x2 − 5x+ 6

x− 1Polynomdivision.x3 −2x2 −5x +6 ÷ (x− 1) = −x2 − x− 6

−(x3 −x2)

0 −x2 −5x0 −(−x2 +x)0 −6x +6

−(−6x +6)− −

2.2.EIGENSCHAFTENVONFUNKTIONEN8

(5x6 +0x5 +2x4 +x3 −2x2 +x −4) ÷(x2 + 2x+ 3) = 5x4 − 10x3 + 7x2 + 17x+ 15−(5x6 +10x5 +15x4)

−10x5 −13x4 +x3

−(−10x5 −20x4 −30x3)7x4 +31x3 −2x2

−(7x4 +14x3 +21x2)−17x3 −23x2 +x−(−17x −34x2 −51x)

15x2 +52x −4−(15x2 +30x +45)

22x −49

2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 9Beispiel 2.3. Trigonometris he Funktionen (Nullstellen)(1) f(x) = sinx(2) f(x) = cosx =√

1− sin2 x(3) f(x) = tanx = sin xcosx(4) f(x) = cotx = cos xsin x(1) Nullstellen von f() = sinx xn = nπ n ∈ ZAlle trigonometris hen Funktionen haben unendli h viele Nullstellen(2) Nullstellen von f(x) = cosx xn = 1+2n

2 π n ∈ Z(3) Nullstellen von f(x) = tanx xn = nπ(4) Nullstellen von f(x) = cotx xn = 1+2n2 π n ∈ Z2.2.2. Monotonie von Funktionen

.Definition 2.4. MonotonieSeien x1 und x2 zwei Werte aus D mit x1 < x2Dann heiÿt f(x)monoton wa hsend, falls f(x1) ≤ f(x2)∀x1, x2streng monoton wa hsend, falls f(x1) < f(x2)∀x1, x2monoton fallend, falls f(x1) ≥ f(x2)∀x1, x2monoton fallend, falls f(x1) > f(x2)∀x1, x2y x

Abbildung 2.2.1. grün: streng monotone Funktion, rot: monoto-ne FunktionBeispiel 2.4. Monotone Funktionen:f(x) = x ist streng monoton wa hsend.fn(x) = x(2n−1) ist streng monoton wa hsend.f2(x) = x2 D = R+ ist streng monoton wa hsend (R+positve reelleZahlen)fc(x) = c c ∈ R ist sowohl monoton wa hsend als au h monoton fallend.f(x) = sinxDefinition 2.5. Fakultätn! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · n n ∈ N

0!def= 1Definition 2.6. Binomialkoe�zienten( n

k

)

2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 10(a+ b)0 = 1

(a+ b)1 = 1ab0 + 1ba0

(a+ b)2 = 1a2b0 + 2ab+ 1b2a0

(a+ b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1b3a0

(a+ b)4 = 1a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4a1b3 + 1b4

(nk

)

= n!k!(n−k)!Beispiel 2.5. (

53

)

= 5!3!(5−3)! =

5!3!·2! =

12012 = 10Alternativer Lösungsweg: 5!

3!·2! =1·2·3·4·51·2·3·1·2 = 4·5

1·2 = 2 · 5 = 10

a =

(106

)

= 10!6!(10−6)! =

10!6!·4! =

7·8·9·101·2·3·4 = 7 · 5 · 3 · 2 = 6 · 35 = 210

(00

)

= 0!0!(0−0)! = 1

(n0

)

= n!0!(n−0)! =

n!n! = 1

(n1

)

= n!1!(n−1)! =

n!(n−1)! = n

(44

)= 4!

4!(4−4)! = 1(43

)= 4!

3!(4−3)! =43! = 4

(42

)= 6

(41

)= 4!

1!(4−1)! = 4(40

)= 1

(60

)= 1

(61

)= 6

(62

)= 6!

2!(6−2)! =6!

2!·4! = 5 ∗ 3 = 15(63

)= 6!

3!(6−3)! =6!

3!·3! = 2 ∗ 5 ∗ 2 = 20(64

)= 6!

4!(6−2)! = 15(65

)= 6!

5!(6−5)! = 6(66

)= 1

(a+ b)6 = 1a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6Definition 2.7. Das Summenzei hen∑

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 =

5∑

n=1

nxn

2.3. PERIODIZITÄT 11Beispiel 2.6.3∑

n=−3

2n = 2−3 + 2−2 + 2−1 + 20 + 2 + 22 + 23

3∑

n=−3

2n =1

8+

2

8+

4

8+ 1 + 2 + 4 + 8

3∑

n=−3

2n = 157

8=

127

8=

3 · 5 · 72 · 2 · 2Aufgabe 2.1. Übungsblatt 1 Aufgabe 3(1)

ex ≈ 1 + x+x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+

x7

7!+

x8

8!+

x9

9!

ex ≈9∑

n=0(2)cosx ≈ 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+

x8

8!− x10

10!+

x12

12!− x14

14!+

x16

16!

cosx ≈8∑

n=0

(−1)nx(2n)

(2n)!(3)sinx ≈ x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+

x9

9!− x11

11!+

x13

13!− x15

15!+

x17

17!

sinx ≈8∑

n=0

(−1)nx(2n+1)

(2n+ 1)!2.3. PeriodizitätDefinition 2.8. Eine Funktion y = f(x) heiÿt periodis h mit der Periode(nlänge)T , falls gilt:

f(x) = f(x+ nt) n ∈ Z

T = onst.Beispiel 2.7. Periodis he Funktionenf(x) = sinx T = 2πf(x) = cosx T = 2πf(x) = tanx T = πf(x) = cotx T = πBeispiel 2.8. Sägezahnfunktion

2.4. SYMMETRIE 12f(x) = 1

2x für 0 ≤ x < 2 T = 2 x ∈ RBeispiel 2.9. (−1)[x]Re hte kfunktionf(x) =

{

1 für 0 ≤ x < 1

−1 für 1 ≤ x < 2periodis h mit T = 22.4. SymmetrieDefinition 2.9. Eine Funktion y = f(x) heiÿt

• A hsensymmetris h falls gilt:f(−x) = f(x) ∀x ∈ D

• Punktsymmetris h falls gilt:f(−x) = −f(x)Beispiel 2.10. Symmetris he Funktionen

f(x) = tanx ist punktsymmetris h.f(x) = cotx ist punktsymmetris hf(x) = sinx ist punktsymmetris h ⇒sin(−x) = − sin(x)f(x) = cosx ist A hsensymmetris h⇒ cos(−x) = cos(x)f(x) = tanx = sin x

cosx

f(x) = tan(−x) = sin(−x)cos(−x) = − sin x

cosx = − sinxcosx = − tanx⇒tan x ist punktsym-metris h.

f(x) = cotx = cosxsin x

f(x) = cot(−x) = cos xsin x

= · · · = − cot(x) ⇒ cotx ist punktsymmetris hBeispiel 2.11. f(x) = x2 · sinx

f(−x) = (−x)2 · sin(−x)

f(−x) = x2 · (−1) · sin(x)f(−x) = −(x2 sinx)

f(−x) = −f(x)

⇒ f(x) ist Punktsymmetris hSatz 2.1. Verknüpfung von Punktsymmetis h und A hsensymmetris hWerden diese beiden mittels mal oder geteilt verknüft, resultiert daraus einePunktsymmetris he Funktion.Beispiel 2.12. f(x) = x3 sinx

f(−x) = (−x)3 sinx

f(−x) = −(x3)− sinx

f(−x) = x3 sinx

f(−x) = f(x)

⇒ f(x) ist A hsensymmetris h

2.4. SYMMETRIE 13Beispiel 2.13. Zeigen sie: f(x) = ex ist ni ht symmetris hf(−x) = e−x

f(−x) =1

exAnnahme: A hsensymmetrieEs müsste gelten: f(x) = f(−x)∀x ∈ R. Setze x = 1 ⇒ f(1) = f(−1) ⇒ e = 1e.Dies ist nur der Fall wenn e2 = 1. Dem ist ni ht so! Also keine A hsensymmetrie.Annahme: PunktsymmetrieEs müsste gelten:f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R. Setze x = 1 ⇒= −(f(1)) =

f(−1) ⇒ −e = 1e. Dies ist nur der Fall, wenn −e2 = 1. Dem ist ni ht so, alsokeine Punktsymmetrie.Beispiel 2.14. f(x) = ex−e−x

2

f(−x) =e−x − ex

2

f(−x) = (−1) · ex − e−x

2f(−x) = −(f(x))

⇒ f(x) ist Punktsymmetris h.• UmkehrbarkeitDefinition 2.10. Eine Funktion y = f(x) heiÿt umkehrbar, wenn ihre Umkehrung

f−1(x) wieder eine Funktion ist.� geometris h:� analytis h: 2 S hritte:(1) x und y vertaus hen(2) au�ösen na h yBeispiel 2.15. y = x2 D = R+

f−1(x) = y =√xSatz 2.2. Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion istumkehrbar.Beispiel 2.16. y = ex W = R+ D = R(1) Analytis h

x = ey

lnx = ln(ex)

y = lnx W = R D = R+Satz 2.3. Wird eine Funktion y = f(x) umgekehrt, so vertaus hensi h Werte- und Defenitionsberei h.(2) Geometris h

2.4. SYMMETRIE 14f(x) f−1(x)

ex x ∈ R lnx x ∈ R+

sinx − π2 ≤ x ≤ π

2 arcsinx x ∈ [−1, 1]cosx 0 ≤ x ≤ π arccosx x ∈ [−1, 1]

tanx − π2 < x < π

2 arctanx x ∈ R

cotx ar otx x ∈ RTabelle 2.4.1. Funktionen und Umkehrfunktionen

CHAPTER 3Koordinatensysteme3.1. PolarkoordinatensystemKoordinatentransformation:x, y → r, ϕTransformationsglei hungen:

x = r cosϕ

y = r sinϕ

r =√

x2 + y2

ϕ = arctany

xBeispiel 3.1. Gradmaÿ und Bogenmaÿϕ: Grad [ °℄ϕ Bogenmaÿ (Radiant rad)

360° =̂ 2π

10° =̂π

18

P (x0, y0) = P (3, 4)kart. = P (5, 0.9273)polar

P (x1, y1) = P (5, 1.5)polar = P (0.3437, 4.9875)kart.Funktionen:• im kartes. Koordinatensystem: y = f(x)• im Polarkoordinatensystem: r = f(ϕ)Beispiel 3.2. r(ϕ) = ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π15

3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 16

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

Abbildung 3.1.1. r(ϕ) = ϕ

ϕ ∈ R

r ≥ 0Beispiel 3.3. r(ϕ) = |sin(2ϕ)|

3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 17

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

abs(sin(2*t))

Figure 3.1.2. r(ϕ) = |sin(2ϕ)|

Beispiel 3.4. r(ϕ) = | tan(ϕ) + 1|

3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 18

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

abs(tan(t)+1)

Figure 3.1.3. r(ϕ) = | tan(ϕ) + 1|

Beispiel 3.5. r(ϕ) = 42−3 cosϕ

3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 19ϕ = arctan

x

y

r =√

x2 + y2

√

x2 + y2 =4

2− 3 · x√x2+y2

√

x2 + y2 =4

2− 3x√x2+y2

√

x2 + y2 =4

2√

x2+y2−3x√

x2+y2

√

x2 + y2 =4√

x2 + y2

2√

x2 + y2 − 3x

1 =4

2√

x2 + y2 − 3x

2√

x2 + y2 − 3x = 4√

x2 + y2 =4 + 3x

2

x2 + y2 =16 + 24x+ 9x2

4

−5x2 − 24x− 16 + 4y2 = 0

5x2 + 24x+ 16− 4y2 = 0

25x2 + 120x+ 144− 128− 4y2 = 0

(5x+ 12)2 − 4y2 − 128 = 0

KAPITEL 4Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen4.1. Reelle ZahlenfolgenDefinition 4.1. Unter einer reellen Zahlenfolge verstet man eine geordnete Mengereeller zahlen.< an >= a1, a2, a3, . . . , an, . . . n ∈ NAlle Zahen a1, a2, . . . heiÿen Glieder der Folge. an ist das n-te Glied der Folge.Beispiel 4.1. − 1

2 ,− 14 ,− 1

6 , · · · ≡< an >= − 12nBeispiel 4.2. 1, 8, 27, 64 · · · ≡< bn >= n3Beispiel 4.3. 0, 12 ,

23 ,

34 , · · · ≡< cn >= n−1

n= 1− 1

nVerans hauli hung:Definition 4.2. Eine Zahl g ∈ R heiÿt Grenzwert einer Folge, wenn in einerbeliebigen ǫ-Umgebung von g unendli h viele Folgenglieder liegen.Definition 4.3. Eine Folge konvergiert, wenn sie genau einen Grenzwert g hat.limn→∞

an = gDann ist für ein n > n0

|an − g| < ǫBeispiel 4.4.< cn > = 1− 1

nǫ = 0, 001

n0 = 1000

|an − g| < ǫ

|1− 1

n− 1| <

1

10001

n<

1

1000n > 1000

⇒ n0 = 100020

4.1. REELLE ZAHLENFOLGEN 21Beispiel 4.5.limn→∞

(

1 +1

n

)n

= e (zu zeigen)(a+ b)n =

(n

0

)

an +

(n

1

)

an−1b+ · · ·+(

n

n− 1

)

a1bn−1 +

(n

n

)

a0bn

(a+ b)n =

n∑

j=0

(n

j

)

an−j · bj

(

1 +1

n

)n

=

n∑

j=0

(n

j

)

1n−j ·(1

n

)j

=

n∑

j=0

(n

j

)

n−j

=

(n

0

)

n−0

︸ ︷︷ ︸

1

+

(n

1

)

︸︷︷︸

n

n−1

︸ ︷︷ ︸

1

+

(n

2

)

n−2 + · · ·+(

n

n− 1

)

n−(n−1) ++

(n

n

)

n−n

Eine untere Grenze: 2 ≤ (1 + 1n)nBestimmen einer oberen Grenze:

(n

k

)

=n!

k!(n− k)!

=1 · 2 · 3 · · · · · (n− k) · (n− k + 1) · · · · · n

k! · 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · (n− k)(n

k

)

=(n− k + 1) · (n− k2 + 2) · · · · · n

k!

(1 +1

n)n =

n∑

k=0

(n

k

)

· 1

nk

Nehme von einem Folgenglied ein Summenglied

4.1. REELLE ZAHLENFOLGEN 22(n

k

)

· 1

nn=

(n− k + 1) (n− k + 2) · · · · · (n− 1) (n)

k!· nk

(n

k

)1

nk=

(n−k+1)n

(n−k+2)n

· · · · · (n−1)n

· nn

k!(n

k

)1

nk=

1

k!· nn· n− 1

n· · · · · (n− k + 2)

n· (n− k + 1)

n

=1

k!· 1 ·

(

1− 1

n

)

︸ ︷︷ ︸

<1

·(

1− 2

n

)

︸ ︷︷ ︸

<1

·(

1− 3

n

)

︸ ︷︷ ︸

<1

· · · · ·(

1− k − 2

n

)

︸ ︷︷ ︸

<1

·

(n

k

)1

nk<

1

k!

(1 +1

n)n =

n∑

k=0

(n

k

)1

nk

︸ ︷︷ ︸

< 1

k!Für jedes Folgeglied:an = 1 + 1 +

1

1 · 2(1−1

n) +

1

1 · 2 · 3(1 −1

n)(1 − 2

n) + · · ·+ 1

1 · 2 · · · · · k (1 −1

n) · (1− 2

n) · · · · · (1− k − 1

n1

1 · 2 · 3 · · · · · n (1 −1

n)(1 − 2

n) . . . (1 − n− 1

n)

an < 2 +1

1 · 2 +1

1 · 2 · 3 + · · ·+ 1

1 · 2 · 3 · · · · · k + · · ·+ 1

1 · 2 · 3 · · · · · n︸ ︷︷ ︸

<2+ 1

2+ 1

2·2+ 1

2·2·2+···+ 1

2k+···+ 1

2n

an < 2 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

2nDefinition 4.4. Summenformel der geomtris hen Reihesn = a0

1− qn

1− q

a0 : Anfangsglied: 12

q: Quotient: 12

⇒ an < 2 +1

2· 1− (12 )

n

1− 12

= 3− 2−n

limn→∞

an < 3− 2−∞

︸︷︷︸

0

limn→∞

an < 3Beispiel 4.6.(5

2

)

=5!

2!(5− 2)!=

4 · 52!

4.1. REELLE ZAHLENFOLGEN 23Beispiel 4.7. (7

3

)

=7!

3!(7− 3)!=

5 · 6 · 73!Beispiel 4.8.

〈an〉 =2

3,3

4,4

5,5

6, . . .

limn→∞

= 1Beispiel 4.9.〈bn〉 =

(

1 +1

n

)n

= 2,9

4,64

27,625

256

〈bn〉 = e

〈an〉+ 〈bn〉 =2

3+ 2,

3

4+

9

4,4

5+

64

27, . . .

limn→∞

(〈an〉+ 〈bn〉) = limn→∞

〈an〉+ limn→∞

〈bn〉Beispiel 4.10.limn→∞

[

(

1 +1

n

)n

+ (1− 1

n)] = e+ 1Beispiel 4.11.

limn→∞

(3− 3

n) = lim

n→∞

3 ·(

1− 1

n

)

= 3 limn→∞

(

1− 1

n

)

= 3

limn→∞

c · 〈an〉 = c · limn→∞

〈an〉Beispiel 4.12.limn→∞

(〈an〉 · 〈bn〉) =4

3,27

16,256

135,3125

1536, . . . , e · 1

limn→∞

〈an · bn〉 = limn→∞

〈an〉 · limn→∞

〈bn〉

limn→∞

〈an〉〈bn〉

= ? Vorraussetzung: 〈bn〉 ist keine Nullfolgelimn→∞

⟨anbn

⟩

=limn→∞ 〈an〉limn→∞ 〈bn〉Eigens haften von Grenzwerten und Folgen:

• Seien 〈an〉 , 〈bn〉 , 〈cn〉 Folgen mitan → gabn → gbcn → gcdann gilt:(1) 〈an〉+ 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = ga + gb(2) c 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = c · gb

4.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 24(3) 〈an〉 · 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = ga · gb(4) 〈an〉 ÷ 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = ga ÷ gb falls gb 6= 0(5) 〈arn〉 = 〈cn〉 dann ist gc = gr r ∈ R\{0}Beispiel 4.13.limn→∞

(1 +1

n)n = e

limn→∞

(1 +1

n)2n = e2

(

limn→∞

(1 +1

n)n)2

= limn→∞

(1 +1

n)2nBeispiel 4.14.

limm→∞

(1 +1

m)m = e

limm→∞

(1 +m)1

m = e subst:m =1

n4.2. Grenzwerte von FunktionenBeispiel 4.15.f(x) =

x− 3

x+ 2Definition 4.5. Eine Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von x0 de�niert.Gilt dann für jedeim De�nitionsberei h der Funktion liegende und gegen die Stellex0 konvergierende Zahlenfolge〈xn〉 (x1 6= x0) gilt dafür stets: limn→∞ f(xn) = gso heiÿt g Grenzwert der Funktion f(x) für x → x0. Wir s hreiben: limx→x0

f(x) =g.Beispiel 4.16. Ni ht-existente Grenzwerte•

limx→π

2

tanx

•limx→∞

x

•limx→π

cotx

•limx→0

lnxBeispiel 4.17. Grenzwerte existieren

4.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 25(1)f(x) =

x2 − 1

x− 1linksseitiger Grenzwert limx→1

x2 − 1

x− 1

limn→∞

(1− 1n)2 − 1

(1− 1n)− 1

limn→∞

1− 2n+ 1

n2 − 1

− 1n

1n2 − 2

n

− 1n

− 1n+ 2

1

2− 1

n