UNIVERSITÄT SIEGEN
2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung
2.3 Elementsteifigkeitsmatrix und Lastvektor nach Th. II. Ordnung
2.3.1 Steifigkeitsmatrix und Grundformeln
2.3.2 Lastvektor
2.3.3 Koordinatentransformation
Baustatik (Master) – WS 2015/2016
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Baustatik (Master) – WS 2015/2016
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.3.1 Steifigkeitsmatrix und Grundformeln
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iT
kT
iu kuiw
kwi
k
Unverformtes und verformtes Element
iS
kS
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,
i i
i i
i i
k k
k k
k k
S uT wM
s dS uT wM
s k d
Elementsteifigkeitsbeziehung:
k : Elementsteifigkeitsmatrix
: Stabendkraftvektors
: Stabendverschiebungsvektord
Elementsteifigkeitsbeziehung
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Elementsteifigkeitsbeziehung
• Der Zusammenhang zwischen den Stabendkräften und denStabendverformungen wird durch die Elementsteifigkeitsmatrixbeschrieben.
• Die Elementsteifigkeitsmatrix muss für ein verformtes Elementhergeleitet werden.
• Die Elementsteifigkeitsmatrix kann durch zwei unterschiedlicheMethoden hergeleitet werden:1) Herleitung mit der homogenen Lösung der Differential-
gleichung.2) Herleitung mit den Grundformeln (Tabelle für Stabendkräfte).
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Grundelement
Grundelement
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Herleitung mit der homogenen Lösung der Dgl
1
2
3
4
1 0 1 00 / 0 /10 / ( / ) ( / )
i
i
k
k
w CCl l
w Cc sCl l s l c
d
C
A
d A C 1C A d
Beispiel: Grundelement mit EA
Aus der homogenen Lösung der Dgl (vgl. Abschnitt 2.2):
0x
x l
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1
2
3
4
0 / 0 00 0 1 00 / 0 00 0
i
i
k
k
T ClM C
ST ClM Cc s
Ähnlich für den Stabendkraftvektor:
s C
B
s B C 1C A d
1s B A d k d
Steifigkeitsmatrix: 1k B A
Herleitung mit der homogenen Lösung der Dgl
0x
x l
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Herleitung mit den Grundformeln
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Steifigkeitsmatrix für Grundelement
iT
kT
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S
lEI
Wert
S als Druckkraft S als Zugkraft
A
sin cos
2 1 cos sin
sinh cosh
2 cosh 1 sinh
B
sin
2 1 cos sin
sinh
2 cosh 1 sinh
D A B
2 1 cos2 1 cos sin
2 1 cosh2 cosh 1 sinh
C 2 sin
sin cos
2 sinh
cosh sinh
A B 1 cos
sin
1 coshsinh
V 3
2 1 cos sin12
sin
3
2 1 cosh sinh12
sinh
Abkürzungen nach Chwalla
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• Der Einfluss der Stabkrümmung wird in den Termen A´ , B´ und D´berücksichtigt.
• Der Einfluss der Stabverdrehung (P--Effekt) wird im Anteil S/lberücksichtigt.
• S bringt einen Beitrag zu Ti und Tk durch den P--Effekt.• Die Druckkraft S wirkt steifigkeitsmindernd, während die Zugkraft
versteifend wirkt.• Es gilt die Beziehung:
2 2
2 ´ ´D S El EI l
• Theorie I. Ordnung:
0 0 0 0lim ´ 4, lim ´ 2, lim ´ 3, lim ´ 6 A B C D
0
Bemerkungen
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Aufspaltung der Steifigkeitsmatrix
Um den Einfluss der Stablängskraft S auf einfache Weise zu analysieren, wird dieSteifigkeitsmatrix aufgespalten:
II I g= +k k kI : Elastische Steifigkeitsmatrix, Steifigkeitsmatrix nach Th. I. Ordnungk
g : Geometrische Steifigkeitsmatrix k
Die obige Aufspaltung wird ermöglicht durch die folgenden Reihenentwicklungenfür klein :
2 2 2
2 2
2 1 1´ 4 , ´ 2 , ´ 3 ,15 30 51 6´ 6 , ´ 12
10 5
A B C
D E
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Einsetzen der obigen Reihenentwicklungen in die exakte Steifigkeitsmatrix liefertdie elastische Steifigkeitsmatrix kI und die geometrische Steifigkeitsmatrix kg.
Die obigen Reihenentwicklungen liefern eine gute Näherung für 2,5!
Aufspaltung der Steifigkeitsmatrix
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2 22 2
II
22
0 0 0 0 0 00 0 0 06 6012 6 12 60 5 10 5 10
26 04 0 2 15 10 300 0 0
0 0 6symm.5 1012 6symm. 2
154
EA EAEI EI l l
l ll ll l l
EI Sl
l lEAll
lll
k
IElastische Steifigkeitsmatrix k gGeometrische Steifigkeitsmatrix k
Bedingung: 2,5
Genäherte Steifigkeitsmatrix für Grundelement
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Randmomente
´ ´ ´
´ ´ ´
k ii i k
k ik i k
w wEIM A B Dl l
w wEIM B A Dl l
Grundelement
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Transversalkräfte
i k k ii
i k k ik
M M w wT Sl l
M M w wT Sl l
iT
kT
S
SiM
kM
i k k ii k
M M w wT T Sl l
Zug
Druck
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2.3.2 Lastvektor
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Der Lastvektor enthält die Stabendschnittgrößen (Randschnittgrößen) infolgeeiner vorgegebenen Elementbelastung. Die Stabendschnittgrößen sind für einengeometrisch bestimmten Zustand bei einer vorgegebenen Elementbelastung zubestimmen.
Beispiel: Grundelement unter einer konstanten Streckenlast
Lastvektor
0iM 0
kMS S
0iT 0
kT
p
0
00
0
0
i
i
k
k
TM
sTM
Lastvektor
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Lastvektor
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0
200
0
0
2
1
cot 22
12
cot 22
i
i
k
k
T lM plsTM l
Lastvektor
Exakt:
02
00
0
02
111
6 6012
116 60
i
i
k
k
T lM plsTM l
Angenähert:
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2.3.3 Koordinatentransformation
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Transformationsmatrix
Koordinatentransformation
X
Z
x
z
,Y y
T
1 T
; ;
(Es gilt: !)G L GL
X Xx xz zy y
Z ZY Y
t t
t t
( , , ) : globales Koordinatensyste( , , ) : lokales Koordinatensys
mtemx y z
X Y Z
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Koordinatentransformation
L L
L
G
GLG
TG
T
;
;
s s
d
T T
T T
s s
d dd
G
LT
TL G
L
L L
L
G
G
G G G
k
Tk
s
T
T k T
s
d
s d dk
s d
d
TG G LG G k k T kd Ts
G
L
: globale Größe: lokale Größe
( )( )
Globale Elementsteifigkeitsmatrix
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Transformationsmatrix T:
Transponierte Transformationsmatrix TT:
Koordinatentransformation
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Globale Elementsteifigkeitsmatrix
G k