Band 1/10

Quantitative und formale Probleme

Inhaltsverzeichnis

Einleitung .......................................................................................................................................................... 1

Methodik.......................................................................................................................................................... 13

1.) Mathematische Grundlagen .............................................................................................................. 13

1.1) Die Potenz ..................................................................................................................................... 13

1.3) Radix-Regeln (Wurzel-Regeln) ............................................................................................. 18

1.4) Prozentzahlen .............................................................................................................................. 20

1.5) Umwandlung: Dezimalzahlen ⟷ Brüche ......................................................................... 22

1.6) Bruchrechnen vs. Rechnen mit Dezimalzahlen .............................................................. 23

1.7) Direkte bzw. indirekte Proportionalität (Dreisatz) ...................................................... 25

1.8) KgV und ggT ................................................................................................................................. 27

2.) Anweisungen zu praktischen Aufgaben ....................................................................................... 28

2.1) Vorsätze für Masseinheiten.................................................................................................... 28

2.2) Umrechnen von Einheiten ...................................................................................................... 30

2.3) Das Rechnen mit Konzentrationen ..................................................................................... 32

3.) Erläuterung von Begriffen ................................................................................................................. 35

Aufgaben .......................................................................................................................................................... 36

Lösungen mit Kommentaren ................................................................................................................... 87

Lösungsübersicht ...................................................................................................................................... 159

- 1 -

Einleitung

Herzlich Willkommen bei Mediseminar

Das Medizinstudium ist für viele junge Menschen ein Traum – doch der Weg zum Stu-

dienplatz kann hart sein. Der Eignungstest für das Medizinstudium – Numerus Clausus –

ist für viele Teilnehmer eine Extremsituation: Der umfangreiche und teilweise sehr

schwierige Test findet für die meisten Beteiligten in einer ungewohnten Umgebung statt

und kann massgeblich über die eigene Karriere entscheiden. Denn wer beim Test nicht

perfekt vorbereitet ist, muss ein ganzes Jahr warten! Weiter sind die zu beantworten-

den Frage- und Testformen für viele Teilnehmer – z.B. Schulabgänger – unbekannt. Die

stetig knapper werdenden Studienplätze erhöhen zusätzlich den Druck auf die Teil-

nehmer.

Wir von Mediseminar möchten Dir helfen, Dich möglichst gut auf diesen Test vorzube-

reiten und Dir den Druck und auch die eventuell bestehende Angst vor dem Eignungs-

test zu nehmen. Der grosse Vorteil, z.B. gegenüber Prüfungen in der Schule oder an der

Universität ist, dass die Formen der Aufgaben und der Aufbau des Tests bekannt sind.

Du kannst den Test also hervorragend trainieren – und das am besten mit den Unterla-

gen und Seminaren von Mediseminar.

Die Zulassung zu einen der genannten Studiengänge ist eine grosse Herausforderung

und wir gehen davon aus, dass Du die Vorbereitung auf den Eignungstest entsprechend

ernst nimmst. Wahrscheinlich wirst Du viel Zeit mit dem Training verbringen. Wir

möchten, dass Du diese Zeit möglichst effizient nutzt. Daher hat Mediseminar ein Lern-

konzept entwickelt, welches genau auf die Ansprüche beim Eignungstest zugeschnitten

ist: Trainingsbücher, Karteikarten (inkl. Smartphone-App) und Seminare.

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Trainingsbücher

Band 1: Quantitative und formale Probleme

Band 2: Schlauchfiguren

Band 3: Textverständnis

Karteikartenset 1: Quantitative und formale Probleme

Karteikartenset 2: Schlauchfiguren

Karteikartenset 3: Figuren lernen

Band 4: Planen und Organisieren

Band 5: Konzentriertes und sorgfältiges Arbeiten

Band 6: Figuren lernen

Band 7: Fakten lernen

Band 8: Med. & naturwiss. Grundverständnis

Band 9: Muster zuordnen

Karteikartenset 4: Fakten lernen

Band 10: Diagramme und Tabellen

Karteikarten (inkl. Smartphone-App)

Seminar

Das Mediseminar Konzept

Karteikartenset 5: Muster zuordnen

- 3 -

Über uns

Sämtliche Unterlagen von Mediseminar werden ausschliesslich von qualifizierten Medi-

zinern oder Experten in den jeweiligen Gebieten erstellt. Alle Beteiligten verfügen über

grosse Erfahrung und Expertise in der Erstellung von Lernunterlagen sowie dem Unter-

richten von Seminaren. Dadurch ist es uns möglich eine hohe didaktische Qualität unse-

rer Materialien zu garantieren. Unsere Unterlagen werden fortlaufend aktualisiert, um

die aktuellen Veränderungen und Anpassungen beim Numerus Clausus zu berücksichti-

gen. Hinter Mediseminar stecken die Gründer der Uniseminar GmbH

(www.uniseminar.ch), welche seit 2005 an schweizerischen Universitäten und in ganz

Europa Prüfungsvorbereitungskurse, Lernunterlagen und Karteikarten für jährlich über

20‘000 Studierende anbieten. Aktuell sind wir u.a. an den Universitäten Zürich, Bern

und St.Gallen mit zahlreichen Lernprodukten vertreten.

Trainingsbücher

Unsere Trainingsbücher bestehen immer aus einer detaillierten methodischen Einfüh-

rung zu dem jeweiligen Test, in welcher beschrieben wird, wie Du Dich möglichst gut

auf den Testteil vorbereiten und wie Du die Aufgaben an der Prüfung ideal angehen

kannst. Weiter haben wir zu jedem Testteil eine grosse Anzahl an Übungsaufgaben ent-

wickelt, denn beim Eignungstest gilt auch wie sonst so oft: Übung macht den Meister

bzw. den Medizinstudent! Die Übungsaufgaben sind eng an die Aufgaben des originalen

Tests angelegt und entsprechen inhaltlich und hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades

den Originalaufgaben.

Folgende Trainingsbücher zu den Untertests sind erhältlich:

• Band 1: Quantitative und formale Probleme

• Band 2: Schlauchfiguren

• Band 3: Textverständnis

• Band 4: Planen und Organisieren

• Band 5: Konzentriertes und sorgfältiges Arbeiten

• Band 6: Figuren lernen

• Band 7: Fakten lernen

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• Band 8: Medizinisch-naturwissenschaftliches Grundverständnis

• Band 9: Muster zuordnen

• Band 10: Diagramme und Tabellen

Karteikarten (inkl. Smartphone App)

Ergänzt werden unsere Unterlagen durch Karteikarten in besonders gut „lernbaren“

Untertests. Die Karteikarten helfen Dir, stark trainierbare Untertests noch besser zu

verstehen und Sicherheit durch weitere Übung zu erhalten. Die Karteikartensets enthal-

ten jeweils ca. 200 Karteikarten und helfen Dir dabei Dein in den Trainingsbüchern an-

geeignetes Wissen weiter zu vertiefen.

Folgende Karteikartensets sind erhältlich:

• Karteikartenset 1: Quantitative und formale Probleme

• Karteikartenset 2: Schlauchfiguren

• Karteikartenset 3: Figuren lernen

• Karteikartenset 4: Fakten lernen

• Karteikartenset 5: Muster zuordnen

Zusätzlich zu jedem physisch gekauften Karteikartenset erhältst Du die digitale Version

der Karteikarten kostenlos in der Smartphone-App dazu. Gib einfach „Uniseminar“ im

Apple App- bzw. Google Play Store ein und lade Dir die App kostenlos herunter!

Wichtig: Wähle im Bereich „Universität auswählen“ einfach „Numerus Clausus“ aus, um

zu Deinen Inhalten zu gelangen.

Nach dem Herunterladen kannst Du Dich mit Deinem Account einloggen und erhältst

automatisch Zugang zu Deinen gekauften Karteikartensets. So hast Du Deine Karteikar-

ten immer dabei und kannst auch unterwegs bequem für den Numerus Clausus lernen!

Für weitere Informationen über uns und die Bestellung unserer Trainingsbücher und

Karteikarten besuche einfach unsere Homepage unter www.mediseminar.ch!

- 5 -

Seminar

Die von Mediseminar angebotenen Seminare komplettieren unser Lernsystem. Hierbei

handelt es sich um 2 – 5 tägige Intensivkurse in kleinen Gruppen, die Deiner Vorberei-

tung auf den Numerus Clausus den perfekten Feinschliff geben. Sämtliche Kurse von

Mediseminar werden von erfahrenen Dozenten geleitet und betreut. Alle Dozenten ver-

fügen über langjährige Unterrichtserfahrung und wissen deshalb genau Bescheid, wo

Probleme bei den Lernenden auftreten und können Dich somit bei Deiner Vorbereitung

optimal unterstützen. Oberstes Ziel unserer Seminare ist es, den prüfungsrelevanten

Stoff anschaulich und verständlich zu vermitteln und Dir die Aufregung bzw. Angst vor

dem Test zu nehmen.

Für weitere Informationen über unsere Dozenten und die Anmeldung zu den begehrten

Seminaren von Mediseminar besuche einfach unsere Homepage unter

www.mediseminar.ch!

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Vorgehen und Motivation

Auch wenn die verschiedenen Aufgabenteile bei der ersten Betrachtung sehr kompli-

ziert erscheinen, wirst Du bei der Arbeit mit den Mediseminar-Unterlagen feststellen,

wie schnell Du Lernfortschritte machst. Wir empfehlen Dir wie folgt schrittweise vorzu-

gehen, um einen möglichst guten Lernerfolg zu erzielen:

1. Methodik: Lies als erstes die Methodik zu den jeweiligen Untertests durch und

versuche den Aufbau und die Herangehensweise zu verstehen.

2. Üben ohne Zeitdruck: Mit dem theoretischen Wissensstand kannst Du nun die

ersten Übungsaufgaben lösen. Du sieht so, was beim Einstufungstest auf Dich zu-

kommt und kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen.

3. Üben mit Zeitdruck: Die Zeit ist der entscheidende Faktor beim Numerus Clau-

sus. Nachdem Du die Aufgaben ohne Zeitdruck beherrschst, solltest Du unter

„Prüfungsbedingungen“ und mit Zeitdruck trainieren, um Dein Zeitmanagement

und Zeitgefühl zu verbessern.

4. Karteikarten & App: Schaue Dir parallel dazu die passenden Karteikarten an und

versuche damit noch besser und sicherer bei der Bearbeitung der Aufgaben zu

werden.

5. Mache eine Pause und wiederhole einen Testteil oder beginne mit einem ande-

ren Untertest.

- 7 -

Ablauf des Tests

Um Dich gut auf den Numerus-Clausus vorzubereiten, solltest Du Dich sehr gut mit dem

Ablauf auskennen. Hierfür findest Du im Folgenden die Struktur des Tests in tabellari-

scher Form.

Testbeginn: ca. 9:00

Teil 1 Aufgabenzahl Bearbeitungszeit

Quantitative und formale Probleme 20 50 Minuten

Schlauchfiguren 20 12 Minuten

Textverständnis 18 45 Minuten

Planen und Organisieren 20 60 Minuten

Konzentriertes und sorgfältiges Arbeiten 20 * 8 Minuten

* aus 1‘600 zu bearbeiteten Zeichen errechnet

Mittagspause (1 Stunde)

Teil 2 Aufgabenzahl Bearbeitungszeit

Einprägungsphase Figuren lernen 20 ** 4 Minuten

Einprägungsphase Fakten lernen 20 ** 6 Minuten

Medizinisch und naturwissenschaftliches Grundverständnis

20 50 Minuten

Reproduktionsphase Figuren lernen 20 5 Minuten

Reproduktionsphase Fakten lernen 20 7 Minuten

Muster zuordnen 20 18 Minuten

Diagramme und Tabellen 20 50 Minuten

** in der Einprägungsphase sind keine Aufgaben zu beantworten

Testende

Gesamt 198 ca. 5.5 Stunden zzgl. Mittagspause

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Methodik

Bevor Du die Aufgaben löst, solltest Du Dich mit der Methodik zu dem Untertest befas-

sen, um auf alle möglichen Aufgabentypen gut vorbereitet zu sein und Dir eine passende

Herangehensweise angeeignet zu haben. Der folgende Theorieteil besteht aus Mathema-

tischen Grundlagen, aus Anweisungen zu praktischen Anwendungen sowie aus Erläute-

rungen von Begriffen.

1.) Mathematische Grundlagen

Der nun folgende Teil erklärt die für den Numerus Clausus wichtigsten mathematischen

Regeln.

1.1) Die Potenz

Die Potenz ist eine vereinfachte Schreibweise einer Anhäufung von Multiplikationen

gleicher Elemente. Sie ist folgendermassen definiert

a ∙ a ∙ … ∙ a (n mal) = an,

a wird dabei als Basis bezeichnet, n als Exponent. Der Exponent kann aber neben den

natürlichen Zahlen auch die 0, negative oder rationale Zahlen annehmen. Hierfür gilt

• a0 = 1 .

• a−n = 1an .

• anm = √anm .

Die Wurzelrechnung, auch Radix-Regeln genannt, sind somit eng mit den Potenz-Regeln

verbunden und es bietet sich an Wurzeln in Potenzen umzuwandeln und danach nur

noch mit diesen zu rechnen. Der Vollständigkeit halber sind die Radix-Regeln in der Me-

thodik jedoch vorhanden.

- 14 -

10er Potenzen

Bevor wir die allgemeine Potenz mit deren Gesetzen einführen, erläutern wir anhand

von Beispielen ein sehr wichtiges Werkzeug zum Bestehen des Numerus Clausus: die

10er Potenz. Sie vereinfacht das Rechnen ungemein und sorgt für eine hohe Übersicht,

selbst bei sehr schwierigen Aufgaben. Es gilt folgende Tabelle:

Gleitkommazahl: 1‘000.0 100.0 10.0 1.0 0.1 0.01 0.001

10er Potenz: 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3

Der Exponent der 10 (die Zahl an der rechten oberen Seite) gibt also an, wie viel 0en

sich zwischen dem Punkt und der 1 befinden. Angefangen zu zählen wird dabei von der

ersten 0 vor dem Punkt.

Zuletzt noch eine Tabelle der gängigsten Zahlenwörter und ihrer Zehnerpotenz:

Hundert Tausend Million Milliarde Billion Billiarde Trillion

102 103 106 109 1012 1015 1018

Beispiele:

• 1’000.0 = 103: Hier wird der Einfachheit halber beim Komma von rechts nach

links gezählt. Bei 1'000.0 sind es demnach 3 Nullen und danach kommt die 1.

Die 0 rechts vom Punkt kann bei dieser Zählweise ausser Acht gelassen wer-

den, da sie irrelevant ist und hier nur der Vereinheitlichung dient.

• 1.0 = 100: Die 1 hat hier die Stelle der 0 eingenommen, mit der wir anfangen

zu zählen. Insofern existiert kein Anfang, also keine 0 und der Exponent ist

gleich 0.

• 0.001 = 10−3: Hier richten wir uns nach der Position der 1 (in diesem Fall

rechts vom Punkt), es wird also von links nach rechts gezählt. Es gilt

0. ⇝ 1 ; 0.0 ⇝ 2 ; 0.00 ⇝ 3.

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2er Potenzen

Im Numerus Clausus zählt die Geschwindigkeit, mit der man die Aufgaben bearbeitet.

Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die folgende Tabelle der 2er Potenzen auswendig

zu lernen, da diese in vielen Aufgaben benötigt werden und die Umrechnung mitunter

wertvolle Zeit kosten kann.

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1‘024 2‘048 4‘096

Da die Zahlen auf Grund der selbigen Klassifizierung des Arbeitsspeichers eines Compu-

ters in den meisten Köpfen schon vorhanden sind, müssen diese nur noch mit dem zu-

gehörigen Exponenten verknüpft werden.

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1.2) Potenz-Regeln

Da Potenzen nicht miteinander addiert oder subtrahiert werden können, existieren nur

Regeln für die Multiplikation, Division und das Potenzieren von Potenzen. Zu beachten

ist, dass die Multiplikation und Division auch nur möglich ist, wenn entweder die Basis

oder der Exponent gleich sind. Es gilt

an ∙ bm ≠ (a + b)n + m.

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Besitzen die Potenzen die gleiche Basis, so können die Exponenten addiert werden, es

gilt

am ∙ an = am + n .

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Mit der anfangs erwähnten Regel �a−n = 1an � kann die Division auf die Multiplikation

zurückgeführt werden und es gilt

am

an = am ∙ an = am + (-n) = am – n .

Beispiel: 24 ∙ 25 = (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) = 24 + 5 = 29

Beispiel: 211

26 = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙22∙2∙2∙2∙2∙2

= 211 – 6 = 25

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Multiplikation von Potenzen mit ungleicher Basis und gleichem Exponent

Ist die Basis von Potenzen identisch, so können diese miteinander multipliziert werden.

Es gilt:

an ∙ bn = (a ∙ b) n .

Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponent

Es gilt folgende Regel:

an

bn =�ab�

n.

Potenzieren von Potenzen

Wird eine Potenz potenziert, so werden die Exponenten multipliziert. Es gilt

(am)n = am ∙ n .

Beispiel: 23 ∙ 33 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (3 ∙ 3 ∙ 3) = (2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) = (2 ∙ 3)3

Beispiel: 24

34 = 2∙2∙2∙23∙3∙3∙3

= �23�

4

Beispiel: (23)2 = (2 ∙ 2 ∙ 2)2 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2) = 22 ∙3 = 26

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2.2) Umrechnen von Einheiten

Einheiten erster Potenz

Das Umrechnen von Einheiten erster Potenz wie z.B. Meter (m) oder Kilogramm (kg)

bereitet meist keine Schwierigkeiten.

Einheiten zweiter Potenz

Das Umrechnen von Einheiten zweiter Potenz scheint auf den ersten Blick schwieriger,

mit Hilfe der richtigen Überlegungen wird es aber einfach.

Beispiele:

• 1 km = 1‘000 m = 103 m = 1‘000‘000 mm = 106 mm.

• 1 μg = 0.001 mg = 10-3 mg = 0.000 001 g = 10-6 g.

• 10 ms = 101 ∙ 10-3 s = 10-2 s = 0.01 s.

Beispiel: Wir wollen 1 m2 in mm2 umwandeln:

Hierfür müssen wir beachten, dass gilt 1 m2 = 1 m ∙ 1 m. Ersetzen wir nun m durch

mm, so müssen wir dies zweimal tun. 1 m entspricht 1‘000 mm, somit ergibt sich ei-

ne Fläche von 1‘000 mm ∙ 1‘000 mm = 1‘000‘000 mm2. Hier bietet es sich wieder an

mit den Zehnerpotenzen zu rechnen, da hier die Nullen einfach nur addiert werden

müssen:

103 mm ∙ 103 mm = 103+3 mm2 = 106 mm2.

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Einheiten dritter Potenz

Hat man die Umwandlung Einheiten zweiter Potenz verstanden, stellt das rechnen mit

Einheiten dritter Potenz kein Problem mehr dar.

Beispiel: Wir wollen 1 mm3 in m3 umwandeln:

Hierfür müssen wir beachten, dass gilt 1 mm3 = 1 mm ∙ 1 mm ∙ 1 mm. Ersetzen wir

mm durch m so müssen wir dies nun dreimal tun. 1 mm entspricht 0.001 m = 10-3 m,

somit ergibt sich ein Volumen von 0.001 m ∙ 0.001 m ∙ 0.001 m = 0.00‘000‘0001 m3

oder einfacher in Zehnerpotenzen 10-3 m ∙ 10-3 m ∙ 10-3 m = 10-9 m3.

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2.3) Das Rechnen mit Konzentrationen

Letztlich kommen wir zum Konzentrationsrechnen. Dies taucht häufig in Fragestellun-

gen auf und bereitet vielen Maturanden grosse Mühe.

Es gibt einige Formeln, durch die man je nach Fragestellungen die richtige Lösung durch

Einsetzen der Variablen eruieren kann. Wir raten von diesen Formeln ab, da die Aufga-

ben im NC häufig mit kleinen Falltüren gespickt sind, die diese Formeln unsicher im Ge-

brauch machen.

Mit einem guten Verständnis dieser Problematik lassen sich die Aufgaben in kürzerer

Zeit sicherer lösen. Deshalb diese Erläuterungen hierzu.

Eine Konzentration wird immer definiert als Masse pro Volumen. Trotz dieser Definiti-

on können verschiedene Einheiten imponieren – letztendlich läuft aber alles auf das

Gleiche hinaus.

Aufgrund dieser Form der Konzentration lässt sich eine allgemein gültige Formel herlei-

ten, die vielen schon aus der Mittelschule bekannt sein dürfte:

c = mV .

Wobei:

• c = Konzentration, z.B. mg/l.

• m = Masse, z.B. in mg oder in mol.

• V = Volumen, z.B. l oder ml.

Zwei Beispiele, wie Konzentrationen häufig auftreten:

• mg pro ml = mg/ml = mgml

.

• mol pro l = mol/l = moll

(Ein Mol bezeichnet eine Stoffmenge! Wenn mit einem

Dutzend Eier 12 Eier gemeint sind, sind mit einem Mol Eier 6 ∙ 1023 Eier ge-

meint, also eine 6 mit 23 Nullen, eine unvorstellbare Menge).

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Hieraus lassen sich auch bei anderen Fragestellungen Formeln für die Berechnung des

Volumens bzw. der Masse ziehen:

m = c ∙ V bzw. V = mc

.

Beispiel: Wir haben nun einen Behälter mit 5 Liter Wasser und fügen 10 mg Salz hin-

zu, das sich komplett im Wasser löst. Was ist die Konzentration in mg/l?

Wenn wir 10 mg Salz in 5 l Wasser haben, haben wir 2 mg in 1 l Wasser. Nochmal als

Rechnung: 10 mg

5 l =

2 mg1 l

.

Mit mol/l verhält es sich gleich. Fügen wir 2 Mol NaCl (Kochsalz, das entspräche

2 ∙ 6 ∙ 1023 Salz-Teilchen) in 3 Liter Wasser, haben wir wie viele Salz-Teilchen pro l?

Es gilt

2 mol NaCl in 3 l = 2 ∙ 6 ∙ 1023 Teilchen in 3 l = 12 ∙ 1023 Teilchen

3 l =

4 ∙ 1023 Teilchen1 l

.

Der nächste Schritt der Rechnung ist das Zusammengiessen zweier Lösungen unter-

schiedlicher Konzentrationen. Wir haben eine Lösung A mit einer Konzentration von

5 mg Salz/l Wasser und eine Lösung B mit der Konzentration 8 mg Salz/l Wasser.

Wir giessen 2 Liter von Lösung A mit 3 Liter von Lösung B zusammen. Was ist die

Konzentration dieser neuen Lösung?

Lösung A hat pro Liter 5 mg Salz, somit hat 2 Liter von Lösung A 10 mg Salz. Das Glei-

che gilt für Lösung B, 8 mg Salz pro Liter und 24 mg Salz pro 3 Liter. In der neuen

Lösung befinden sich also 10 mg Salz aus A und 24 mg Salz aus B, macht 34 mg Salz.

Diese Menge verteilt sich auf 2 + 3 = 5 Liter Wasser.

Somit haben wir 34 mg Salz in 5 Liter Wasser, ergibt 34 mg

5 l =

6.8 mg1 l

.

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Vollständigkeitshalber ist hier die Formel, mit der sich die meisten Konzentrationsauf-

gaben ebenfalls lösen lassen. Förderlich für ein tieferes Verständnis der Problematik ist

allerdings ein Lösungsweg ohne Formelanwendung:

c1 ∙ V1 + c2 ∙ V2 = c ∙ (V1 + V2),

wobei:

• c1: Konzentration der Lösung 1.

• c2: Konzentration der Lösung 2.

• V1: Volumen der Lösung 1.

• V2: Volumen der Lösung 2.

• c: Konzentration der Mischung.

Sind also Volumen und Konzentration der Lösungen 1 und 2 vorgegeben, lässt sich c

(die Konzentration der Mischung) daraus berechnen.

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Aufgaben

1.) Optischer Apparat: Visustafel

Die Sehschärfe (Visus) wird meist mit einer Sehprobentafel bestimmt und anhand eines

Bruches ermittelt

Visus = Ist-Entfernung

Soll-Entfernung .

Wobei:

• Visus: Sehschärfe (ohne Einheit), Gesundsichtige haben einen Visus von 1.

• Ist-Entfernung den Abstand zwischen Proband und Sehprobentafel bezeichnet.

• Soll-Entfernung den Abstand bezeichnet, über den hinweg ein Gesundsichtiger

sämtliche Sehzeichen auf der Tafel erkennen sollte, international wird dabei von

5 Metern ausgegangen.

Bei welcher Konfiguration hat ihr Proband infolgedessen einen Visus von 1?

(A) Proband steht 40 Meter entfernt von der Tafel und erkennt einen Sechzehntel

aller Zeichen.

(B) Proband steht 20 Meter entfernt von der Tafel und erkennt einen Achtel aller

Zeichen.

(C) Proband steht 15 Meter entfernt von der Tafel und erkennt einen Viertel aller

Zeichen.

(D) Proband steht 12.5 Meter entfernt von der Tafel und erkennt zwei Fünftel aller

Zeichen.

(E) Proband steht 10 Meter entfernt von der Tafel und erkennt drei Fünftel aller

Zeichen.

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2.) Optischer Apparat: Stäbchen und Zapfen

In der Netzhaut des menschlichen Auges gibt es zwei Arten von Lichtrezeptoren: Stäb-

chen (für das Schwarz-Weiss-Sehen, ca. 108 Stäbchen) und Zapfen (für das Farbense-

hen, ca. 106 Zapfen). Retinitis Pigmentosa ist eine vererbte Erkrankung der Netzhaut bei

der nach und nach die Lichtrezeptoren zu Grunde gehen. Innerhalb eines Jahres halbiert

sich so die Gesamt-Lichtrezeptoranzahl um die Hälfte der zu Beginn des Jahres noch

übrig bleibenden Lichtrezeptoren.

Wie viele Lichtrezeptoren werden in Folge dessen am Ende des 5. Jahres im Verlauf der

Erkrankung zu Grunde gegangen sein?

(A) ca. 99.4 ∙ 106

(B) ca. 97.8 ∙ 106

(C) ca. 94.7 ∙ 106

(D) ca. 6,3 ∙ 106

(E) ca. 3.1 ∙ 106

- 38 -

3.) Auditorisches System: Hörschwelle

Das Trommelfell reagiert bereits auf geringste Schwankungen im Luftdruck (normaler

Luftdruck besitzt 105 Pascal (Pa)). Bereits ab einer Schwankung im Luftdruck von

2 ∗ 10−5 Pa wird es in Schwingung versetzt. Dabei wird 40% dieser Schwingungsener-

gie vom Trommelfell reflektiert, die übrige Energie wird via Gehörknöchelchen ins In-

nenohr eingespeist. Die Gehörknöchelchen erfüllen zusätzlich zur Weiterleitungs- noch

eine Verstärkerfunktion, so wird die aufgenommene Energie 25-fach verstärkt und so

ins Innenohr eingespeist.

Um welchen Faktor F ist der normale Luftdruck dementsprechend grösser als die

Druckschwankung im Innenohr?

(A) F = ca. 3.3 ∙ 108

(B) F = 5 ∙ 108

(C) F = 5 ∙ 109

(D) F = ca. 3.3 ∙ 109

(E) F = ca. 8.3 ∙ 109

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4.) Physikalische Grundlagen: Stromleitung und Widerstand

Der elektrische Leitwert G (Einheit: Siemens, S) eines Gegenstandes ist der Kehrwert

des elektrischen Widerstandes R (Einheit: Ohm, Ω) und gibt eine Auskunft darüber, wie

gut ein Gegenstand Strom leitet. Er ist abhängig von 2 Grössen: Es besteht erstens eine

direkte Proportionalität zur Querschnittsfläche F in mm2 des Gegenstandes (d.h. je hö-

her die Querschnittsfläche des Gegenstandes, desto grösser G) und zweitens eine indi-

rekte Proportionalität zur Länge L des Leiters in m (d.h. je länger der Gegenstand, desto

kleiner G). Der elektrische Widerstand R wird dabei definiert als

R = UI .

Wobei:

• U = elektrische Spannung, Einheit Volt (V).

• I = elektrische Stromstärke, Einheit Ampère (A).

Wie hoch ist dementsprechend die Spannung U über einem Germanium-Stück mit einer

Querschnittsfläche von 20 mm2 und einer Länge von 0.8 m bei einer durchfliessenden

Stromstärke von 5 A?

(A) 80 Volt

(B) 125 Volt

(C) 0.2 Volt

(D) 3.2 Volt

(E) Aufgrund dieser Angaben lässt sich keine numerische Aussage zur Spannung

machen.

- 40 -

5.) Physikalische Grundlagen: Strömung, Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Strömungswiderstände von Flüssigkeiten in einem Rohr mit laminarer Strömung (ohne

Verwirbelung) lassen sich mit Hilfe des Hagen-Poiseullischem Gesetz berechnen:

R = 8 ∙ η ∙ lπ ∙ r4 .

Wobei:

• R = Strömungswiderstand.

• η = Viskosität der Flüssigkeit (Zähheit), Einheit Pa ∙ s = kg ∙ m-1 ∙ s-1. Das Kürzel Pa

steht für Pascal.

• l = Länge des Rohres, Einheit m.

• π = Kreiszahl (wir gehen in dieser Aufgabe von π = 3 aus).

• r = Radius des Rohres, Einheit m.

Welche Aussage dazu ist falsch?

(A) Der Strömungswiderstand R in einem Rohr (die Länge ist 6 Meter, der Durch-

messer ist 2 m) mit Paraffin-Öl (η = 0.1 Pa ∙ s) beträgt 1.6 Pa ∙s ∙ m-3 .

(B) Bei Verdopplung der Rohrlänge verdoppelt sich der Strömungswiderstand R im

betreffenden Rohr.

(C) Eine Halbierung des Rohr-Radius führt zu eine, 16 mal grösseren Strömungs-

widerstand im betreffenden Rohr.

(D) Vervierfacht man den Radius und die Länge des Rohres, nimmt der Strö-

mungswiderstand im betreffenden Rohr ab.

(E) Eine Verdopplung des Radius führt zu einer Quadrierung (also R2) des Strö-

mungswiderstandes.

- 41 -

6.) Physikalische Grundlagen: Serie- und Parallelschaltung von Rohren

Werden zwei Wasserrohre mit den Widerständen R1 und R2 parallel geschaltet, verhal-

ten sie sich in einem Wasserkreislauf wie ein einzelner Gesamtwiderstand RG. Es gilt

dabei folgende Beziehung:

1RG

= 1

R1 +

1R2

.

Welchen Widerstand muss R1 haben, wenn R2 = 3‘300 Newton (N) und der Gesamtwi-

derstand 550 N beträgt?

(A) R1 = 550 N

(B) R1 = 660 N

(C) R1 = 780 N

(D) R1 = 825 N

(E) R1 = 1‘025 N

- 42 -

7.) Physikalische Grundlagen: Pumparbeit des Herzens

Bei jedem Herzschlag muss das Herz eine gewisse Blutmenge aus der linken Kammer in

den Kreislauf pumpen, um eine genügende Blutversorgung des Körpers zu gewährleis-

ten. Die Pumparbeit des Herzens P (in Joule, J) ist dabei direkt proportional zum Druck-

gradienten △p(in Kilopascal, kPa), der zwischen Kammer und Kreislauf herrscht. Weiter

ist die Pumparbeit P direkt proportional zur Volumenstromstärke I, die ihrerseits eine

Information über das Blutvolumen gibt, das pro Zeit (oder Herzschlag) ausgestossen

wird (in kg/Herzschlag).

Wie gross ist die Pumpleistung des Herzens pro Herzschlag und pro Tag, wenn es pro

Minute 80 mal schlägt und damit eine Blutmenge von 8 Litern in den Kreislauf befördert

bei einem Druck in der linken Kammer von 15 kPa und einem Druck im Kreislauf von 10

kPa?

(A) 5 Joule pro Schlag, 432‘000 Joule pro Tag

(B) 0.5 Joule pro Schlag, 57‘600 Joule pro Tag

(C) 0.1 Joule pro Schlag, 57‘600 Joule pro Tag

(D) 0.5 Joule pro Schlag, 43‘200 Joule pro Tag

(E) 0.1 Joule pro Schlag, 43‘200 Joule pro Tag

- 43 -

8.) Physikalische Grundlagen: Röntgenstrahlung und Bildgrösse, Vergrösse-

rung

Röntgenbilder entstehen, wenn Röntgenstrahlung auf einen Röntgenfilm trifft. Die

Röntgenstrahlung wird im Röntgenfokus produziert und breitet sich fächerförmig aus,

bis sie auf den Röntgenfilm trifft, der sich dort je nach ankommender Röntgenstrahlung

anfärbt. Da die Röntgenstrahlung sich nicht geradlinig sondern fächerförmig ausbreitet,

zeigt das Röntgenbild dargestellte Strukturen grösser, als sie in Wirklichkeit sind. Es

besteht dabei folgende Beziehung:

BG

= bg

.

Wobei:

• B: Bildgrösse.

• G: Gegenstandsgrösse (z.B. ein Kniegelenk).

• b: Bildweite (Abstand Röntgenfokus – Röntgenfilm).

• g: Gegenstandsweite (Abstand Röntgenfokus – Gegenstand).

• x: Abstand Objekt – Röntgenfilm.

- 44 -

Wie gross ist dementsprechend der Abstand x zwischen dem Gegenstand und dem

Röntgenfilm bei einer Bildgrösse B von 14 cm, einer Gegenstandsgrösse G von 10 cm

und einer Gegenstandsweite g von 1.4 m?

(A) x = 56 cm

(B) x = 58 cm

(C) x = 60 cm

(D) x = 62 cm

(E) Aufgrund dieser Angaben lässt sich keine Aussage zu dieser Frage machen.

- 87 -

Lösungen mit Kommentaren

1.) Optischer Apparat: Visustafel

Die Sehschärfe (Visus) wird meist mit einer Sehprobentafel bestimmt und anhand eines

Bruches ermittelt

Visus = Ist-Entfernung

Soll-Entfernung .

Wobei:

• Visus: Sehschärfe (ohne Einheit), Gesundsichtige haben einen Visus von 1.

• Ist-Entfernung den Abstand zwischen Proband und Sehprobentafel bezeichnet.

• Soll-Entfernung den Abstand bezeichnet, über den hinweg ein Gesundsichtiger

sämtliche Sehzeichen auf der Tafel erkennen sollte, international wird dabei von

5 Metern ausgegangen.

Bei welcher Konfiguration hat ihr Proband infolgedessen einen Visus von 1?

(A) Proband steht 40 Meter entfernt von der Tafel und erkennt einen Sechzehntel

aller Zeichen.

(B) Proband steht 20 Meter entfernt von der Tafel und erkennt einen Achtel aller

Zeichen.

(C) Proband steht 15 Meter entfernt von der Tafel und erkennt einen Viertel aller

Zeichen.

(D) Proband steht 12.5 Meter entfernt von der Tafel und erkennt zwei Fünftel aller

Zeichen.

(E) Proband steht 10 Meter entfernt von der Tafel und erkennt drei Fünftel aller

Zeichen.

Lösung: D

Kommentar: Es gibt zwei Wege diese Aufgabe zu lösen. Der eine Weg benutzt den Drei-

satz und Prozentrechnung und der andere das Relationsprinzip und Bruchrechnung.

- 88 -

Weg 1:

Zuallererst müssen wir die Brüche in Prozente umrechnen. Bei zwei Fünftel sind dies

40%. Normalerweise sollte man nun in einem Abstand von 5 Meter alle Zeichen (Visus 1

sind 100%) erkennen, beim doppelten Abstand (10 m) noch die Hälfte der Zeichen

(50%). Um nun von 10 Meter auf einen Abstand von 12.5 Meter zu kommen, müssen

wir erkennen, das die fehlenden 2.5 Meter gerade ein Fünftel von 10 Metern sind, was

in Prozent gerade ein Fünftel von 50% sind, also 10%. Diese ziehen wir nun von 50%

(10 m) ab und erhalten 40% = zwei Fünftel.

Weg 2:

Für diesen Weg müssen wir zuallererst die Dezimalstellen in Brüche überführen. Bei

12.5 Meter sind dies gerade 252

Meter. Für diese Zahl gilt nach der Aufgabenstellung

folgende Relation:

252

↭ 25

.

Unser Ziel ist es auf der rechten Seite eine eins und auf der linken Seite eine fünf stehen

zu haben. Wollen wir nun wissen, mit welcher Zahl wir 252

Meter multiplizieren müssen,

damit wir 5 = 102

erhalten, müssen wir 252

durch 102

teilen, also mit dem Kehrwert mul-

tiplizieren. Wir erhalten:

252

∙ 210

= 52

.

Nach dem Relationsprinzip erhalten wir nun folgende Rechnung:

252

= 52

∙ 102

↭ 25

,

102

↭ 25

∙ 52

= 1 .

Nun wissen wir, dass die Relation mit der Anfangsrelation übereinstimmt.

Beide Wege verifizieren aber nur das Ergebnis D. Um auf das Ergebnis D zu kommen

liegt es hier nahe die anderen Möglichkeiten mittels einer der gerade aufgezeigten Wege

auszuschliessen. Z.B. kann es Lösung A nicht sein, da die Person bei 5 Meter nur die

- 89 -

Hälfte der Zeichen erkennen würde, Lösung B nicht, da die Person wieder bei 5 Meter

nur die Hälfte der Zeichen erkennen würde usw.

- 90 -

2.) Optischer Apparat: Stäbchen und Zapfen

In der Netzhaut des menschlichen Auges gibt es zwei Arten von Lichtrezeptoren: Stäb-

chen (für das Schwarz-Weiss-Sehen, ca. 108 Stäbchen) und Zapfen (für das Farbense-

hen, ca. 106 Zapfen). Retinitis Pigmentosa ist eine vererbte Erkrankung der Netzhaut bei

der nach und nach die Lichtrezeptoren zu Grunde gehen. Innerhalb eines Jahres halbiert

sich so die Gesamt-Lichtrezeptoranzahl um die Hälfte der zu Beginn des Jahres noch

übrig bleibenden Lichtrezeptoren.

Wie viele Lichtrezeptoren werden in Folge dessen am Ende des 5. Jahres im Verlauf der

Erkrankung zu Grunde gegangen sein?

(A) ca. 99.4 ∙ 106

(B) ca. 97.8 ∙ 106

(C) ca. 94.7 ∙ 106

(D) ca. 6,3 ∙ 106

(E) ca. 3.1 ∙ 106

Lösung: B

Kommentar: Zuerst alle Photorezeptoren addieren 108 + 106 = 100‘000‘000 +

1‘000‘000 = 101‘000‘000 = 101 ∙ 106 (Vorsicht: 108 + 106 ≠ 1014, aber 108 ∙ 106 =

1014). Nun müssen wir pro Jahr die Rezeptoren halbieren.

Anfang des ersten Jahres: 101 ∙ 106 = 101‘000‘000.

Ende des ersten Jahres: 50.5 ∙ 106 = 50‘500‘000.

Ende des zweiten Jahres: 25.25 ∙ 106 = 25‘250‘000.

Ende des dritten Jahres: 12.625 ∙ 106 = 12‘625‘000.

Ende des vierten Jahres: 6.3125 ∙ 106 = 6‘312‘500.

Ende des fünften Jahres: 3.15625 ∙ 106 = 3‘156‘250.

So viele Lichtrezeptoren sind nach 5 Jahren noch übrig, somit sind 101‘000‘000 –

3‘156‘250 Lichtrezeptoren zerstört = 97‘843‘750 = 97.8 ∙ 106.

- 91 -

Es reicht natürlich, ab dem 3. Schritt nicht mehr mit allen Nachkommastellen zu rech-

nen, z.B. 12.625 ÷ 2 ≈ 6.3. Das Resultat kann auch so richtig ermittelt werden und spart

zudem Zeit.

- 92 -

3.) Auditorisches System: Hörschwelle

Das Trommelfell reagiert bereits auf geringste Schwankungen im Luftdruck (normaler

Luftdruck besitzt 105 Pascal (Pa)). Bereits ab einer Schwankung im Luftdruck von

2 ∗ 10−5 Pa wird es in Schwingung versetzt. Dabei wird 40% dieser Schwingungsener-

gie vom Trommelfell reflektiert, die übrige Energie wird via Gehörknöchelchen ins In-

nenohr eingespeist. Die Gehörknöchelchen erfüllen zusätzlich zur Weiterleitungs- noch

eine Verstärkerfunktion, so wird die aufgenommene Energie 25-fach verstärkt und so

ins Innenohr eingespeist.

Um welchen Faktor F ist der normale Luftdruck dementsprechend grösser als die

Druckschwankung im Innenohr?

(A) F = ca. 3.3 ∙ 108

(B) F = 5 ∙ 108

(C) F = 5 ∙ 109

(D) F = ca. 3.3 ∙ 109

(E) F = ca. 8.3 ∙ 109

Lösung: A

Kommentar: Zuallererst müssen wir 40% von 2 ∙ 10-5 Pa berechnen (wenn 40% reflek-

tiert werden, werden 60% eingespeist)

2 ∙ 10-5 Pa ∙ 0.6 = 1.2 ∙ 10-5 Pa.

Der Druck wird danach um das 25-fache verstärkt, was

1.2 ∙ 10-5 Pa ∙ 25 = 30 ∙ 10-5 Pa = 3 ∙ 10-4 Pa

ergibt. Der Faktor F berechnet sich nun wie folgt

105

3∙ 10−4 =

13

∙ 108 = 3.3 ∙ 108.

- 93 -

4.) Physikalische Grundlagen: Stromleitung und Widerstand

Der elektrische Leitwert G (Einheit: Siemens, S) eines Gegenstandes ist der Kehrwert

des elektrischen Widerstandes R (Einheit: Ohm, Ω) und gibt eine Auskunft darüber, wie

gut ein Gegenstand Strom leitet. Er ist abhängig von 2 Grössen: Es besteht erstens eine

direkte Proportionalität zur Querschnittsfläche F in mm2 des Gegenstandes (d.h. je hö-

her die Querschnittsfläche des Gegenstandes, desto grösser G) und zweitens eine indi-

rekte Proportionalität zur Länge L des Leiters in m (d.h. je länger der Gegenstand, desto

kleiner G). Der elektrische Widerstand R wird dabei definiert als

R = UI .

Wobei:

• U = elektrische Spannung, Einheit Volt (V).

• I = elektrische Stromstärke, Einheit Ampère (A).

Wie hoch ist dementsprechend die Spannung U über einem Germanium-Stück mit einer

Querschnittsfläche von 20 mm2 und einer Länge von 0.8 m bei einer durchfliessenden

Stromstärke von 5 A?

(A) 80 Volt

(B) 125 Volt

(C) 0.2 Volt

(D) 3.2 Volt

(E) Aufgrund dieser Angaben lässt sich keine numerische Aussage zur Spannung

machen.

Lösung: C

Kommentar: Schaue Dir bitte nochmal die Erklärung in der Methodik bzgl. Proportiona-

lität und Antiproportionalität an. Denn mit dieser gilt G = FL

. Des Weiteren gilt G = 1R

mit

R = UI. Fügen wir diese 3 Elemente zusammen so erhalten wir folgende Rechnung:

- 94 -

FL

= G = 1R

= 1UI

= IU

.

Setzen wir nun für die entsprechenden Parameter die Werte ein, so erhalten wir mit 200.8

= 2045

= 25 das Ergebnis

25 = 5U

und somit U = 15

= 0.2 Volt.

- 95 -

5.) Physikalische Grundlagen: Strömung, Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Strömungswiderstände von Flüssigkeiten in einem Rohr mit laminarer Strömung (ohne

Verwirbelung) lassen sich mit Hilfe des Hagen-Poiseullischem Gesetz berechnen:

R = 8 ∙ η ∙ lπ ∙ r4 .

Wobei:

• R = Strömungswiderstand.

• η = Viskosität der Flüssigkeit (Zähheit), Einheit Pa ∙ s = kg ∙ m-1 ∙ s-1. Das Kürzel Pa

steht für Pascal.

• l = Länge des Rohres, Einheit m.

• π = Kreiszahl (wir gehen in dieser Aufgabe von π = 3 aus).

• r = Radius des Rohres, Einheit m.

Welche Aussage dazu ist falsch?

(A) Der Strömungswiderstand R in einem Rohr (die Länge ist 6 Meter, der Durch-

messer ist 2 m) mit Paraffin-Öl (η = 0.1 Pa ∙ s) beträgt 1.6 Pa ∙s ∙ m-3 .

(B) Bei Verdopplung der Rohrlänge verdoppelt sich der Strömungswiderstand R im

betreffenden Rohr.

(C) Eine Halbierung des Rohr-Radius führt zu einem 16 mal grösseren Strömungs-

widerstand im betreffenden Rohr.

(D) Vervierfacht man den Radius und die Länge des Rohres, nimmt der Strö-

mungswiderstand im betreffenden Rohr ab.

(E) Eine Verdopplung des Radius führt zu einer Quadrierung (also R2) des Strö-

mungswiderstandes.

Lösung: E

Kommentar:

A.) Stimmt: Vorsicht, angegeben ist der Durchmesser, in der Formel wird aber der

Radius gebraucht! Also halbieren, macht r = 1 m, alles in Formel einsetzen,

ergibt 1.6 Pa ∙ s ∙ m-3.

- 96 -

B.) Stimmt, setze Zahlen ein (einmal L = 1 Meter, einmal L = 2 Meter).

C.) Stimmt! Alles bleibt gleich bis auf den Radius, setze für Radius z.B. 4 m und 2 m

ein (für die anderen unbekannten spielt es keine Rolle, wir gehen nun davon aus,

dass die Unbekannten multipliziert 1 ergeben). Dann erhalten wir mit r1 = 4: 1

3 ∙ 256 , und r2 = 2: 1

3∙16 .Die Zahl 16 ist 16 mal kleiner als 256, da die Zahl im Nen-

ner ist, wird der Widerstand also 16 mal grösser im Falle einer Verdopplung des

Radius.

D.) Stimmt: Da der Strömungswiderstand viel stärker vom Radius abhängt (steht in

Beziehung zum 4. Quadrat) als von der Rohrlänge, stimmt diese Aussage; allen-

falls mit Zahlen ausprobieren.

E.) Falsch! Siehe C

- 97 -

6.) Physikalische Grundlagen: Serie- und Parallelschaltung von Rohren

Werden zwei Wasserrohre mit den Widerständen R1 und R2 parallel geschaltet, verhal-

ten sie sich in einem Wasserkreislauf wie ein einzelner Gesamtwiderstand RG. Es gilt

dabei folgende Beziehung:

1RG

= 1

R1 +

1R2

.

Welchen Widerstand muss R1 haben, wenn R2 = 3‘300 Newton (N) und der Gesamtwi-

derstand 550 N beträgt?

(A) R1 = 550 N

(B) R1 = 660 N

(C) R1 = 780 N

(D) R1 = 825 N

(E) R1 = 1‘025 N

Lösung: B

Kommentar: Es ergibt sich folgende Rechnung:

1550

= 1

3‘300 +

1R2

⟺ 1550

- 1

3‘300 =

1R2

.

Da der KgV von 550 und 3´300 gerade 3´300 ist, gilt

1550

- 1

3‘300 = 6

3‘300 -

13‘300

= 53‘300

= 1

R2.

Somit ist R2= 660 Newton.

- 98 -

7.) Physikalische Grundlagen: Pumparbeit des Herzens

Bei jedem Herzschlag muss das Herz eine gewisse Blutmenge aus der linken Kammer in

den Kreislauf pumpen, um eine genügende Blutversorgung des Körpers zu gewährleis-

ten. Die Pumparbeit des Herzens P (in Joule, J) ist dabei direkt proportional zum Druck-

gradienten △p(in Kilopascal, kPa), der zwischen Kammer und Kreislauf herrscht. Weiter

ist die Pumparbeit P direkt proportional zur Volumenstromstärke I, die ihrerseits eine

Information über das Blutvolumen gibt, das pro Zeit (oder Herzschlag) ausgestossen

wird (in kg/Herzschlag).

Wie gross ist die Pumpleistung des Herzens pro Herzschlag und pro Tag, wenn es pro

Minute 80 mal schlägt und damit eine Blutmenge von 8 Litern in den Kreislauf befördert

bei einem Druck in der linken Kammer von 15 kPa und einem Druck im Kreislauf von 10

kPa?

(A) 5 Joule pro Schlag, 432‘000 Joule pro Tag

(B) 0.5 Joule pro Schlag, 57‘600 Joule pro Tag

(C) 0.1 Joule pro Schlag, 57‘600 Joule pro Tag

(D) 0.5 Joule pro Schlag, 43‘200 Joule pro Tag

(E) 0.1 Joule pro Schlag, 43‘200 Joule pro Tag

Lösung: B

Kommentar: Aus der zweimaligen Proportionalität folgt der Zusammenhang P = ∆p ∙ I,

wobei ∆p der Druckgradient zwischen linker Kammer und Kreislauf ist. Es gilt

∆p = 15 – 10 kPa = 5 kPa.

Die Volumenstärke I pro Schlag wäre 8 Liter pro 80 Herzschläge, somit 880

= 110

= 0.1

Liter. Nun ergibt sich für die Pumparbeit eines Herzschlags

P = 0.1 ∙ 5 = 0.5 J.

In einer Minute schlägt das Herz 80 mal, in einer Stunde 80 ∙ 60 mal, an einem Tag 80 ∙

60 ∙ 24 mal = 115‘200 ∙ 0.5 = 57‘600 Joule/Tag.

- 99 -

8.) Physikalische Grundlagen: Röntgenstrahlung und Bildgrösse, Vergrösse-

rung

Röntgenbilder entstehen, wenn Röntgenstrahlung auf einen Röntgenfilm trifft. Die

Röntgenstrahlung wird im Röntgenfokus produziert und breitet sich fächerförmig aus,

bis sie auf den Röntgenfilm trifft, der sich dort je nach ankommender Röntgenstrahlung

anfärbt. Da die Röntgenstrahlung sich nicht geradlinig sondern fächerförmig ausbreitet,

zeigt das Röntgenbild dargestellte Strukturen grösser, als sie in Wirklichkeit sind. Es

besteht dabei folgende Beziehung:

BG

= bg

.

Wobei:

• B: Bildgrösse.

• G: Gegenstandsgrösse (z.B. ein Kniegelenk).

• b: Bildweite (Abstand Röntgenfokus – Röntgenfilm).

• g: Gegenstandsweite (Abstand Röntgenfokus – Gegenstand).

• x: Abstand Objekt – Röntgenfilm.

Wie gross ist dementsprechend der Abstand x zwischen dem Gegenstand und dem

Röntgenfilm bei einer Bildgrösse B von 14 cm, einer Gegenstandsgrösse G von 10 cm

und einer Gegenstandsweite g von 1.4 m?

- 100 -

(A) x = 56 cm

(B) x = 58 cm

(C) x = 60 cm

(D) x = 62 cm

(E) Aufgrund dieser Angaben lässt sich keine Aussage zu dieser Frage machen.

Lösung: A

Kommentar: Die Aufgabe erscheint auf den ersten Blick nicht lösbar, da die Variable x

nirgends determiniert ist. Beim Betrachten der Graphik wird aber ersichtlich, dass sich

b aus x und g zusammensetzt. Einfach in der Formel substituieren (Vorsicht Einheiten!).

Damit erhalten wir:

BG

= bg

= g+xg

Durch einsetzen erhalten wir die Lösung

14 cm10 cm

= 140 cm + x140 cm

⇔ 14 cm ∙ 140 cm10 cm

– 140cm = 56cm = x.

- 159 -

Lösungsübersicht

1 D 21 A 41 C

2 B 22 D 42 B

3 A 23 E 43 D

4 C 24 D 44 E

5 E 25 C 45 C

6 B 26 C 46 B

7 B 27 A 47 E

8 A 28 A 48 B

9 A 29 C 49 B

10 D 30 C 50 B

11 A 31 A

12 D 32 D

13 B 33 E

14 C 34 B

15 A 35 D

16 E 36 D

17 C 37 A

18 D 38 C

19 B 39 D

20 C 40 E

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