1Andreas Schulte-Kemper, Finanzmathematik11.04.23

Berechnungsverfahren und Einflussgrößen

Die Duration von Standard Anleihen

Symbolverzeichnis

- D: Duration

- Zt: Zins- und Tilgungszahlungen

- t: Betrachtungszeitpunkt- r: gegenwärtige Marktrendite des betrachteten Titels- n: Frist bis zur letzten Fälligkeit

- P0: Barwert oder Marktwert des Finanztitels

- dP: infinitesimale Marktwertänderung- dr: infinitesimale Marktzinsänderung

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Gliederung

Malcauly durationdefinitionbeispielrechnung

Modified durationdefinitionbeispielrechnung

Übungsaufgaben

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Macauly Duration

Definition:•Gewichteter Durchschnitt der Zeitpunkte der Zahlungen•Angabe über durchschnittliche Kapitalbindung

Beispiel 1:•Anleihe über 5 Jahre•Kupon 4 %•Marktzinsniveau 5 %•Duration 4,62 Jahre

Merke:1.Malcauly Duration Maßeinheit in Jahren2.Je höher der Coupon desto größer die Duration3.Je höher die Laufzeit desto länger die Duration4.Je höher das Marktzinsniveau desto kürzer die Duration

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Berechnung Beispiel 1

Marktzinsniveau 5%Zeitpunkt

(t)Cashflow

(Z)Barwert Gewichteter

Zahlungsstrom

1 4 3,81 3,81

2 4 3,63 7,26

3 4 3,46 10,37

4 4 3,29 13,16

5 104 81,49 407,4395,67 (Kurs der Anleihe) 442,03

Duration 4,62 Jahre

In einer Formel ausgedrückt heisst dies:

=D =

95,67

442,03

= 4,62 Jahre

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Ableitung aus der Barwertformel:Die Duration kann insbesondere zur Herstellung einesZusammenhangs zwischen einer bestimmten marginalen Änderungdes Marktzinssatzes und der aus ihr resultierenden relativenMarktwertänderung verwendet werden:

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Modified Duration

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Definition:•Instrument zur Analyse des Zinsänderungsrisikos•Die Modified Duration (MD) misst die Zinssensivität einer Anleihe•Die MD gibt an, wie sich der Dirty Price* einer Anleihe verhält wenn man sich die Rendite um einen Prozentpunkt verändert

*Dirty Price = Barwert der Anleihe, bzw. Preis incl Stückzinsen

Merke:1.Modified Duration Maßeinheit in Prozent2.Je höher der Coupon desto größer die MD3.Je höher die Laufzeit desto niedriger die MD4.Je höher das Marktzinsniveau desto niedriger die MD

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Berechnung der Modified Duration anhand der Malcauly Duration:

( 1 +

Malcauly Duration

Marktzinsniveau)100

Modified Duration =

In Anwendung auf Beispiel 1:

( 1 +

4,62

5)100

Modified Duration = = 4,40 %

Dies multipliziert mit dem Kurs von 95,66 € ergibt 4,21 €

Fazit: Verändert sich die Rendite um 1 %, verändert sich der Kurs um 4,21 €!

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Vereinfachung der Formel (6) durch die Modified Duration:

(7) [mit MD =D / (1+i)] MD *

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Damit die Darstellungen übersichtlich bleiben, gelten folgende Vorraussetzungen:

•Auf- und Abzinsungen erfolgen mit dem klassischen Zinseszinskalkül (i: diskreter Jahreszins)•Die untersuchten Anleihen (Bonds) bestehen aus endfälligen Kupons, der erste Kupon in höhe Z, ist ein Jahr nach dem Planungezeitpunkt (=Kaufzeitpunkt) t= 0 fällig, die Restlaufzeit der Anleihe beträgt n Jahre, am Ende der Restlaufzeit wird die Anleihe zum rücknahmekurs Cn (meist mit 100 %, d.h. zu pari angenommen) vollständig getilgt. Die untersuchten Anleihen haben also folgende zeitliche Zahlungsstruktur, bezogen auf einen Nominalwert von 100 €:

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Wegen t1 = 1, t2 = 2, …, tn = n sowie Z1 = Z2 = … = Z (Wobei Zn ungleich Z + Cn) lässt wie folgt schreiben:

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Im Nenner steht als Kurs-Funktion C0(i) der übliche Anleihen- Barwert mit 1 + i

=q):

(Kursfunktion C0(q) bzw. C

0(i))

Der Zähler besteht mit Ausnahme des letzten Summaneden aus einem Summen Term

Stellt man die dabei abzuzinsende gewichteten Zahlungen t * Z auf dem Zahlenstrahl so dar, so ergibt sich (Ohne Berücksichtigung des Rücknahmekurses C0:

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d.h. wie haben es mit einer arithmetisch veränderlichen Rente zu tun, bei der die Differenz zweier aufeinander folgenden Zahlungen Z beträgt

umformen

Addiert man hierzu noch den gewichteten Rücknahmekurs n * Cn und zins

tann auf t = 0 ab, so erhält man (nach Division durch C0 und unter

Berücksichtigung der Tatsache dass sich der Abszinsunfaktor q-n

herauskürzt) schließlich die Macauly Duration zu:

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Bzw. nach einiger Umformung:

D = Malcauly Duration für endfällige Kupon-Anleihen

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Kupon Z sowie Rücknahmekurs Cn sind entweder a) nur in Geldeinheiten oder b)

nur in dezimal einzusetzen. Mit den Zahlen aus dem ersten Beispiel ergibt sich folgendes für eine Rechnung in Geldeinheiten:

Beispiel 1:•Volumen 100•Anleihe über 5 Jahre•Kupon 4 %•Marktzinsniveau 5 %

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Die Berechnungsvorschrift der Malcauly Duration lässt mit etwas Aufwand auch weiter vereinfachen zu

Mit den Daten von Beispiel 1 erhalten wir wieder dasselbe Ergebnis der Duration