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Das Konzept Das Konzept unscharfer Mengenunscharfer Mengen

Basisdefinitionen und Basisdefinitionen und DarstellungsformenDarstellungsformen

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Das Konzept der unscharfen Mengen

1. Grundbegriffe (klassische Mengenlehre)

2. Charakterisierung unscharfer Mengen

3. Grundlegende Mengenrelationen

4. Typen unscharfer Mengen

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1. Grundbegriffe (klassische Mengenlehre)

Definition : (Menge)„Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten Wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“[Cantor 1966]

bestimmt – es ist eindeutig entscheidbar ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht.

Wohlunterschieden – es ist eindeutig entscheidbar, ob zwei beliebige Elemente gleich oder ungleich sind.

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Beschreibung von Mengen• aufzählende Form

A = x1, ... , xn

• beschreibende Form in ihr werden die Elemente über gemeinsame Eigenschaften charakterisiert.

A = x | x Ω und B(x) Ω – Grundmenge (z.B. die Menge aller Computer)x - VariableB(x) – Bedingungen

• Funktionen (Indikatorfunktion)fA: Ω 0, 1

a Ω gilt: f(a) := 1 , falls a A

f(a) := 0, falls a A

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Beispiel:A = x | x Ω , 16 <= RAM(x) <= 64 Ω - Ist die Menge aller Computer

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Definition : (Kardinalität)Die Kardinalität einer Menge A ist die Anzahl ihrer Elemente.(geschrieben card(A) oder |A|)

Definition : (A = B)A = B (x A : x B) und (x B : x A )

Definition : (A ≠ B)A ≠ B (x A : x B) oder (x B : x A )

Definition: (Potenz Mengen)P(A) = x | x A

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Definition: (unechte Teilmenge)A B (x A : x B)

Definition: (echte Teilmenge)A B A B und A ≠ B

Definition: (Vereinigungsmenge) A B = x | x A oder x B

Definition: (Schnittmenge)A B = x | x A und x B

Definition: (Disjunkte Mengen)dis(A, B) A B =

Definition: (Differenzmenge)A \ B = x | x A und x B

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Definition: (Komplementmenge) A = x | x Ω und x A

Definition: (Kartesisches Produkt)

A1 x A2 x ... x An = (x1, x2, ... , xn) | x1 A1 , ... , xn An

Definition: (Konvexe Mengen)

Eine Menge A n heißt konvex, wenn für je zwei Punkte P1, P2 A auch alle Punkte der

Verbindungssträcke zwischen P1 und P2 zu A gehöhren.

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Gesetzte der klassischen Mengenalgebra

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Das Konzept der unscharfen Mengen

1. Grundbegriffe (klassische Mengenlehre)

2. Charakterisierung unscharfer Mengen

3. Grundlegende Mengenrelationen

4. Typen unscharfer Mengen

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• Charakterisierung unscharfer Mengen• Der Mengenbegriff setzt voraus das eindeutig bestimmt

werden kann ob ein Objekt zu einer Menge gehört oder nicht.[Cantor]

• In der Realität existiert nicht eine derart präzise Zugehörigkeit.z.B. „die Schönheit eines Baumes “ oder „kleine und große Menschen“[Zadeh]

die scharfe Unterscheidung an den Randbereichen „aufzuweichen“ und „abzustufen“

• Die Bildmenge von f wird erweitert:

von 0, 1 auf [ 0, 1 ]

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Beispiel: (Stufenfunktion vs. stetige Funktion )

„starkes Fieber“ soll in einer Zahlen Menge beschrieben werden.

Problem: was soll der Grenzwert sein? (z.B. 39.5 °C)

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Definition: (fuzzy set)Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (die Bildmenge ist das reelles Einheitsintervall)

μ : Ω [ 0, 1 ]

μ – Zugehörigkeitsfunktion / membership function

μ(x) – Zugehörigkeitsgrade / grades of membership

(Ω)- die Menge aller bildbaren Fuzzy-Mengen über Ω

Fuzzy-Einermenge / fuzzy singleton – eine Fuzzy-Menge die genau ein Element mit einem zugehörigkeitsgrad (>0) enthält.

gewöhnliche Mengen sind spezielle Fuzzy-Mengen

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Parametrische Standartfunktionen

• Fuzzy-Mengen werden über ihre Zugehörigkeitsfunktion beschrieben.– Keine Einschränkung über die Grundmenge– Keine Einschränkung über den Funktionsverlauf

• Beschreibung einer Funktion :– Angabe einer Funktionsgleichung– Explizite Auflistung von Argument-Werte-Paaren– parametrische Funktionen

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• s-Funktion s(x, , ) - steht für den höchsten Wert mit μ() = 0 - steht für den niedrigsten Wert mit μ() = 1

• z-Funktion z(x, , ) = 1 – s(x, , )• Spiegelung an der Gerden μ(x) = 0.5

• s/z-Funktion s/z(x, , , , )• Aneinanderreihung von Teilabschnitten einer s- und einer

z-Funktion

• So erzielt man einen „sanften“ Übergang in die kritischen Zonen

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Beispiel:

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• Derartige Genauigkeit ist für Fuzzy-Mengen nicht nötig

• In der Praxis werden trapezförmige Funktionsgrafen verwendet(oder dreiecksförmige Funktionsgraphen)

• fTrapez(x, m1, m2, , )

• (m1, m2) - gibt den Bereich an in dem μ(x) = 1 ist

- ist die linke Schwankungsbreite (monoton steigend)

- ist die rechte Schwankungsbreite (monoton fallend)

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Beispiel: (Unscharfer Alteresangaben)

• Drei Kategorien von Alteresangaben– „Jung“ , „Alt“ , „mittleren Alteres“

• Der Wert der Zugehörigkeitsfunktion μ(x) ist vom Kontext abhängig

– „Geologischen Formationen“ oder „Lebewesen“

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• Parametrische Standartfunktionen haben zwei Vorzüge:– Angabe weniger Parameter– Es gibt Effiziente Verrechnungsvorschriften für sie

• Eine größere Flexibilität erreicht man mit stückweise linearen Zugehörigkeitsfunktionen.

– Alle Punkte des Funktionsgraphen werden angegeben.

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Das Konzept der unscharfen Mengen

1. Grundbegriffe (klassische Mengenlehre)

2. Charakterisierung unscharfer Mengen

3. Grundlegende Mengenrelationen

4. Typen unscharfer Mengen

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• Grundlegende Mengenrelationen

• Anforderung an die Grundlegende Mengenrelationen von Fuzzy-Mengen ist,daß sie äquivalent zu den Definitionen der Klassischen Mengenlehre sein soll.

• Fuzzy-Menge werden spezifiziert durch ihre Elemente und deren Zugehörigkeitsgraden

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Seien A, B Unscharfe Mengen über Ω

Definition : (Gleichheit unscharfer Mengen)

A = B x Ω : μA(x) = μB(x)Für viele Praktische zwecke ist diese Definition zu streng, deshalb werden „weichere“ Vergleichsmaße erlaubt.

Definition : (ungleichheit unscharfer Mengen)

A ≠ B x Ω : μA(x) ≠ μB(x)

Mengenrelationen

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Definition: (unechte Teilmenge)A B x Ω : μA(x) < = μB(x)

Definition: (echte Teilmenge) [Bothe]A B x Ω : μA(x) < μB(x)Dies ist keine Verallgemeinerung der klassischen Definition

Definition: (echte Teilmenge)A B A B und A ≠ B

Beispiel:

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Kenngrößen

Definition : (Kardinalität)|A| = ∑ μA(x)

x Ω – Bei gewöhnliche Mengen erhält man die Anzahl der Elemente– Bei unscharfen Mengen werden die Elemente mit deren Gewicht

berücksichtigt

Definition : (Relative Kardinalität)

|A B|||A/B|| = --------- : |B| ≠ 0

|B|

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Definition : (Höhe / height)hgt(A) = sup μA(x)

x Ω – In jeder normalen Fuzzy-Menge gibt es ein Element x mit μA(x) = 1– Dies gilt jedoch nicht für alle Fuzzy-Mengen – Maß für den höchsten Zugehörigkeitsgrad

Definition : (Normalität)A ist normalisiert hgt(A) = 1A heißt subnormal hgt(A) ≠ 1

• Jede subnormale unscharfe Menge As lässt sich in eine normalisierte unscharfe Menge An umwandeln.(durch Maßstabstransformationen ihrer Zugehörigkeitsgrade)

μAs (x)μAn (x) = ----------- : hgt(As) ≠ 0 hgt(As)

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Definition: (Konvexität)Eine unscharfe Menge A ist konvex x1, x2 und [ 0, 1 ] gilt: μA( x1 + (1- ) x2 ) <= min μA(x1), μA(x2)

Sei A eine konvexe unscharfe Menge, dann gilt daß

zwischen zwei Elementen x1 und x2 gibt es kein Element x3 mit μA(x3) <= min μA(x1), μA(x1)

Beispiel:

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Definition: (Träger / support)supp(A) - der Träger einer unscharfen Menge A über Ω.

supp(A) = x Ω | μA(x) > 0

Definition: (Kern / core)core(A) - der Kern einer unscharfen Menge A über Ω.

core(A) = x Ω | μA(x) = 1

Definition: (-Schnitt / -cut) A - der -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω.

-Schnitt Niveaumenge

A = x Ω | μA(x) : [ 0, 1 ]

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Definition: (Scharfe -Schnitt / strenge -cut)A> - der Scharfen -Schnitt einer unscharfen Menge A über Ω.

A> = x Ω | μA(x) > : [ 0, 1 ]

Beispiel:

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Resolutionsidentität

• Der -Schnitt ist eine horizontale Sichtweise unscharfer Mengen.

• Die Beziehung zwischen einer unscharfen Menge und der Gesamtheit ihrer Niveaumengen wird mit dem Begriff Resolutionsidentität beschrieben

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• Jede unscharfe Menge bestimmt eindeutig die Gesamtheit ihrer Niveaumengen.

und • Die Gesamtheit der Niveaumengen bestimmt eindeutig

eine unscharfe Mange.1

A = ∫ A

0

∫ - VereinigungsbindungA – bezeichnetet eine unscharfe Menge , so das gilt:

μA(x) = μA(x) : x Ω

• Die Resolutionsidentität kann sowohl:– über die -Schnitte– über die strengen -Schnitte Beschrieben werden

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• Durch die Resolutionsidentität lässt sich jede unscharfe Menge als ein System von klassischen Mengen beschreiben

mathematische Verfahren für unscharfe Mengen kann man zurückführen auf schon Definierte mathematische Verfahren für klassische Mengen

Beispiel:

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Das Konzept der unscharfen Mengen

1. Grundbegriffe (klassische Mengenlehre)

2. Charakterisierung unscharfer Mengen

3. Grundlegende Mengenrelationen

4. Typen unscharfer Mengen

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• Typen unscharfer MengenDefinition: (fuzzy set) Eine unscharfe Menge (Fuzzy-Menge) wird charakterisiert durch eine Funktion μ. (unscharfe Mengen vom Typ 1l)

μ : Ω [ 0, 1 ]

• Es wird keine Aussage die Grundmenge gemacht. Elemente der Grundmenge Ωx können selbst wieder unscharfe Mengen über eine andere Grundmenge Ωy sein.

• Fuzzy-Mengen dieses Typs heißen: „unscharfe Mengen zweiter

Stufe“• Entsprechend werden „Fuzzy-Mengen höher Stufe“ gebildet.

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• Die Bildmenge jedoch wird bei Zadehs festgelegt. (das Einheitsintervall)

Definition: (L-Fuzzy-Menge) Eine L-Fuzzy-Menge wird charakterisiert durch eine Funktion μ.

μ : Ω L : L - ist ein Verbandz.B. L = [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ] oder L = [ 0, 1 ]n

• Fuzzy-Mengen Typ 1 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen

Definition: (unscharfe Mengen vom Typ 2) Eine unscharfe Mengen vom Typ 2 wird charakterisiert durch eine Funktion μ.

μ : Ω F1 : F1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ 1 sind

• Fuzzy-Mengen Typ 2 sind spezielle L-Fuzzy-Mengen

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Definition: (unscharfe Mengen vom Typ n) Eine unscharfe Mengen vom Typ n wird charakterisiert durch eine Funktion μ.

μ : Ω Fn-1 : Fn-1 – ist eine Menge, deren Elemente vom Typ n-1 sind.

In der weiteren Theorieentwicklung haben Typ n : n>2 keine signifikante Bedeutung erlangt.

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