12 Übungsaufgaben 12.1 Übungsaufgaben zu Kapitel...

Version vom: 26.06.2005

12 Übungsaufgaben In diesem Kapitel sind Übungsaufgaben zusammengestellt, die den Stoff der Vorlesung vertiefen und die für Prüfungen erforderliche Praxis und Schnelligkeit vermitteln sollen. Dem Studierendem wird daher dringend empfohlen zumindest einige der Aufgaben selbstständig zu bearbeiten. 12.1 Übungsaufgaben zu Kapitel 8 1. Gegeben sei die Fläche . Skizzieren Sie die Schnittkurven mit den Koordi-

natenebenen. Wie lautet die Gleichung der Niveaulinie ? Skizzieren Sie die Fläche.

22 yxz −=

;;:)

;;;0;0;0;)

;:;;0)

;:;;0)

;

0022

2222

22

22

2

zzzyxchungNiveaugleid

xyyxzyxcczc

xzParabelxzyb

yzParabelyzxa

RD

==−

±=⇒=⇒==−

≥===

=−=−=

==

2. Existieren die folgenden Grenzwerte ?

a)

;0lim

;0limlim0

;0

;lim

22

2

)0,0(),(

22

)0,0(),(22

2

)0,0(),(

22

22

22

22

2

22

2

)0,0(),(

=+

⇒

=+≤+

≤

+=+

+≤

+≤

+

→

→→

→

yx

x

yxyx

x

yxyx

yxyx

x

yxx

yx

yxyx

yx

b)

;0lim;0limlim0

;

lim

22

2

)0,0(),()0,0(),(22

2

)0,0(),(

2

2

22

2

22

2

)0,0(),(

=+

⇒=≤+

≤

=≤+

+

→→→

→

yxyxy

yxyx

yx

yxyx

yx

yxyx

yxyxyx

yx

Mathematik II © Rony Degen unterstützend wirkten mit Patricia Berger, Bernd Juckel Seite 1 von 28


c)

22

22

)0,0(),(lim

yxyx

yx +−

→

Falls er existiert, dann muss der Grenzwert auf allen Wegen zum Punkt (0,0) gleich sein, wähle daher speziellen Weg: x->0, y->0, wobei y=mx (Gerade in xy-Ebene).

( )( ) ;

11

11limlimlim 2

2

22

22

0222

222

022

22

)0,0(),( mm

mxmx

xmxxmx

yxyx

xxyx +−

=+−⋅

=+−

=+−

→→→

-> Der Grenzwert hängt von der Art Konvergenz gegen (0,0) ab, d.h. von der Steigung m der Geraden. -> Der Limes existiert nicht.

3. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion für ),( yxfz =

a)

( )

;

;22

;

2

222

2

xeyf

yexeyxexf

ez

xyx

xyxxyxxyx

xyx

⋅=

+=+⋅=

=

+

+++

+

δδδδ

b)

;ln

;

;

1

xxyf

xyxf

xz

y

y

y

=

⋅=

=

−

δδδδ

c)

;cos

1

tan

1

;1

cos

1

tan

1

;tanln

22

2

yx

yx

yxy

f

yyx

yxx

f

yxz

−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

δδ

δδ



d)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )AbleitungderDefmit

yxfyndentsprechexx

xx

xfxf

xf

yx

Ableitungpartiellestetigenicht

yx

yyx

xyyxx

fy

yx

xyx

xyyxy

fx

yxyxfür

yxfüryx

xyz

xxx.

;0),(

;00lim0

00

lim0,00,lim

0,0,

.2

21

;

22

10,0,

)0,0(),(0

)0,0(),(

0

2

00)0,0(

22

22

22

22

22

22

22

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

==−

+

⋅

=−

=

=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

+

⋅+⋅

⋅−+⋅

=

+

⋅+⋅

⋅−+⋅

=

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

→→→δδ

. 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (2,1,3) an die Fläche

( ) ( ) ( ) ( ) ( );25412

;114226111223

);(),()(),(),(

;4;6

;312

;1123

3

2

00000000

0

0

0

22

0

−+=−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅+⋅=

−⋅+−⋅+=

==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−+=

=

yxzyxz

yyyxfxxyxfyxfz

yfyxfx

zyx

P

yxz

z

yx

44 844 76

5. Wie groß ist der Anstiegswinkel α der Tangente parallel zur y, z-Ebene an die Fläche

229 yxz −−= im Punkt ( )? 0,1,2 z

( )

;56,26;21tan

;21

129

1)1,2(

;9

292

1

);,(tan:);,(:

:,

22

2222

00

000

0

°−=⇒−=

−=−−

−=

−−−=−⋅

−−⋅=

===

=−

αα

α

y

y

y

f

yxyy

yxf

yxfTangentederSteigungxxyxfzveSchnittkur

xxEbeneZYzurparallelEbene



6. Gegeben seien die Funktion xyxyxf += 2

21),( , sowie die Punkte

und

)2,1(0 =P

.)9.1,1.1(=P

a) Wo ist f(x,y) differenzierbar ?

fx, fy überall stetig Satz f überall total diff. Stetigkeit:

;;

xfyyxfx

=+=

( )

( );limlimlim

);(),(lim

),(

00,),(

0,0,),(

00

0000

00

321yxf

yyxxyxyx

yxyx

yxyxyx

yxfyxf

+=+=+

=

→→→

→

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt .

),( yxfz =

0P

;2123

);2(1)1(3212

);(),()(),(),(

0

0

00000000

−+=

−⋅+−⋅+=

−⋅+−⋅+=

yxz

yxz

yyyxfyxxyxfxyxfz

c) Berechnen Sie in das totale Differential von . Welchen Wert hat das totale

Differential für die Zuwächse dx = 0.1 und dy = -0.1 ? Vergleichen Sie diesen Wert mit der Differenz .

),( yxf

( ) ( )0PfPf −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;195,0211219,11,11,1

21

;2,0)1,0(11,03;),(),(

);2,1(;)9,1,1,1(;

;

;21),(

220

0000

0

2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅+=−

=−⋅+⋅=+===

=+=

+=

PfPf

dzdyyxfydxyxfxdz

PPxfy

yxfx

xyxyxf



7. Gegeben sei die Funktion sowie der Punkt 22),( yxyxf += ( )Tx 8,1=→

und der

Richtungsvektor ( )Tv 8,131

−=→

.

a) Man berechne die Richtungsableitung . →→

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇ vxf T

( ) ( )

( ) ( ) ;3

14

83131

82,28

13182,2

;82,2

;2;2;),(),,(

−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇

=∇

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∇

→→

vxf

xf

yfyxfxyxyfyx

xff

T

T

T

rδδ

δδ

b) Man setze und berechne ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

→→

vtxfth ( )0h′ .

( )

;3

14)0(

;23

14)(

;3

149)(

;388

31)(

;

;

388

31

81

31

81

2

22

−=′

+−=′

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

→→

h

tth

ttth

ttth

vtxfth

t

t

tvtxyx rr



c) Man zeige, daß jeder Vektor, der die Tangente an die Niveaulinie von f in re-

präsentiert, senkrecht zu ist.

→

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇→

xf

( )

;08

11

822

)(:

;8

11

;8

1)1(

;2921)(

;9)(

;9;9;9

.),(:

;9)8,1(

;81)8,1(

;),(

);()8,1(

2

2

22222

22

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅∇

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−=′

−⋅−

=′

−=

−=−=⇒=+

=

=

+=

+=

∇⊥

TxfBeweis

T

y

xx

xy

HalbkreisObererxxy

xyxyyx

konstyxfgengleichunNiveaulini

f

f

yxyxf

xff

Tr

r

d) Man zeichne die Niveaulinien von f und trage alle in a), b) und c) berechneten Größen in die Skizze ein.

8. Berechnen Sie die relativen Minima und Maxima von

a) ( )

;);2,1(;);2,1(

;0066det;);2,1(;);2,1(

;0066det;12;6

;2;1;123;33

;0123;033;123;33

;20123,

4

3

2

1

22

22

22

33

tSattelpunkPtSattelpunkP

yxHMaximumrelativesPMinimumrelativesP

yxHfyyxfxxyxyxyx

yfyxfxyxyxyxf

−=−=

<−⋅=−−=

=>−⋅=

==

==

==

=−=−

−=−=

+−−+=



b) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

MinimumrelPfxxHP

tSattelpunkPHP

SScriptSiehefxyyfyyxfxx

Pyyx

Pyyx

xxx

x

xxx

xx

xyfyxy

yxyxfx

yxyxyxf

.:;026;062626det:

:;060606det:

27.;6;6;6

);2,2(;2;221

);0,0(;0;021

;2;0;8

;0643

;0;0643

;06213

;63;21

;063;63

;6,

2

22

12

1

222

2

112

1

21

3

3

13

22

22

2

2

33

>⋅=>−−⋅⋅⋅=

<−−⋅⋅⋅=

−===

==⇒=⇒

==⇒=⇒

===

=−

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−=⇒=

=−

−=

+−=



12.2 Übungsaufgaben zu Kapitel 9 l. Ein Betrieb produziert aus drei Rohstoffen die Produkte und . Aus den nach-

stehenden Daten ist ein Produktionsprogramm anzugeben, das maximalen Gewinn sichert. Man formuliere das lineare Programm und löse die Optimierungsaufgabe graphisch.

1P 2P

Verbrauch pro Einheit 1P 2P

verfügbare Rohstoffmenge

Rohstoff 1 Rohstoff 2 Rohstoff 3

2 2 4

4 1 0

16 10 20

Gewinn 2 3

;2;4 beiliegt Optimum Das;32

),(;632

:6eicht hier viell wäreErgebnis dasfür guter WertEin passen.Graphen desereich den Wertebin möglichst

aber sollte Es rden.gewählt we freikann 32Funktion max.zu der Ergebnis Das8. Ergebnis mögl. das n,geschnitte 8 bei wirdAchse- die4, Ergebnis mögl. das n,geschnitte 4 bei wirdAchse- die d.h.

;8;1602;0

;4;1640;0 : Zeile1. Beispiel

schneiden.nachsen Koordinate die ProgrammslinearendesFunktionendiewowerden,abgelesenschnellkannsogesetzt,0aufxundxsewechselweiwirdNun

32:max

;0;0

;2004;1012;1642

212121

21

1

2

11

2

22

1

21

21

2

1

21

21

21

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∇=⋅+⋅

⋅+⋅≤≤

≤⇒≤+⋅=

≤⇒≤⋅+=

⋅+⋅

≥≥

≤⋅+⋅≤⋅+⋅≤⋅+⋅

xxxxfxx

xxxx

xxx

xxx

xx

xx

xxxxxx



2. Ein Landwirt plant seinen Getreideanbau für die nächsten drei Jahre. Zu Beginn dieses Zeitraums stehen ihm M Zentner Getreide zur Verfügung; ein Zentner ausgesätes Ge- treide ergibt eine Ernte von λ Zentnern. Von dem Anfang des i-ten Jahres ( ) vorhandenen Getreide sollen jeweils Zentner ausgesät und der Rest zum voraus- sichtlichen Preis von DM/Zentner verkauft werden; zu Beginn des vierten Jahres wird alles noch vorhandene Getreide zum Preis abgesetzt. Man gebe ein lineares Programm zur Bestimmung der optimalen Anbaumengen an.

3,2,1=i

ix

ip

4p

321 ,, xxx

1. Jahr: 1111 :; xErnteverkaufenpzuZentnerxMaussähenZentnerx ⋅→− λ

2. Jahr: 22212 :; xErnteverkaufenpzuZentnerxxaussähenZentnerx ⋅→−⋅ λλ

3. Jahr: 33323 :; xErnteverkaufenpzuZentnerxxaussähenZentnerx ⋅→−⋅ λλ

4. Jahr: verkaufenpzuZentnerx 43⋅λ

Zielfunktion:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

;0,...,00

:

min

max;max)(

31

3223

2112

113

343232121

3342231121

4333222111

≥≤+⋅−⇔⋅≤≤+⋅−⇔⋅≤

≤≤∈

⋅⋅−+⋅⋅−+⋅⋅−

⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅=⋅⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=

→

xxxxxxxxxx

MxMxIRx

xppxppxpp

xppxppxpppMpxpxxpxxpxMxf

λλλλ

λλλ

λλλλλλr



3. Man löse das lineare Programm

.0,0,0643422:

42max

321

32

321

13

321

≥≥≥≤+≤++≤∈

++→

xxxxxxxx

xIRx

xxx

mit dem Simplex-Algorithmus von Seite 53.



4. Man versuche das lineare Programm

.0,0,0,010312098:

620max

4321

3

4321

2121

4321414

4321

2143

≥≥≥≥≤

≤+−−

≤+−−∈

−+−→

xxxxx

xxxxxxxxIRx

xxxx

mit dem Simplex-Algorithmus von Seite 53 zu lösen. Kommen dabei bei der Auswahl

des Pivotelements (Eliminationsregel) mehrere Indizes s in Frage, so nehme man stets den kleinsten Index. Den jeweils neu in die Basis kommenden Index t (Aufnahmeregel) wähle man dabei gemäß

a) Nlccct ∈<= ,0min 11



b) 0min 1 <∈= cNlt .

5. Gegeben sei das lineare Programm

;0,;336;1595;632

:

66max

21

21

21

21

221

≥≥+−=+−≤+

∈

+−

xxxxxxxx

IRx

xxr

a) Mittels Umformungen und Anwendung der M-Methode ermittle man eine zulässige

Startbasis für dieses Programm.

;0,...,;336;1595;632

66max:

41

421

21

321

21

≥=−+−=+−=++

+−

xxxxx

xxxxx

xxbeseitigengenUngleichun



( ) ( ) ;18126116:

;315396656:folgendZeileletztediesichwandeltSomit

möglich.durchausZeilederStelleandereranM´sderAuftauchendasistDabeien.verschwindn)Subtraktiofache(MnenenoperatioMatrixzeil

durchZeilemomentanenderVariablenMxdiedaßumformen,soZeileLetzte;0,...,

;066;336;1595;632

;:66:

7421

74222111

61

76521

6421

521

321

721

MxMxxMxMssenzusammenfaneudanach

MMxMxxMxMxxMxMx

xxxMxMxxx

xxxxxxx

xxxxxx

erweiternMethodeMmitJetzt

−=++−−++

−−=++−−−++

−−

≥=+++−=+−+−=++−=++

=+−−

b) Man berechne von dieser Basis ausgehend die Optimallösung.



6. Der Tischproduzent aus dem Vorlesungsbeispiel (Seite 64f) überlegt, aus Marketing-

Gründen die Verarbeitungsqualität des Tischtyps Tl durch Erhöhung des Arbeitsauf- wandes um ε in der Tischlerei zu verbessern. Wie groß kann er ε maximal wählen, so daß es immer noch optimal ist, ausschließlich die Tischtypen Tl und T4 zu produzieren ? Wie ändert sich für das maximale ε der Gewinn ?



7. Ein Mineralölunternehmen kann in einer bestimmten Periode bis zu 9000 Mengen-

einheiten (ME) eines Kraftstoffes zu DM 190.- je ME absetzen. Der Kraftstoff muß jedoch eine Mindestoktanzahl von 90 aufweisen. Zu seiner Herstellung stehen drei Komponenten zur Verfügung, die entsprechend gemischt werden können. Sie haben unterschiedliche Beschaffungspreise und verschiedene Oktanzahlen. Ferner sind zwei von ihnen nur in der Menge von 4000 ME verfügbar. Nachfolgende Tabelle zeigt die genauen Problemdaten:



Preise (DM/ME) Oktanzahl Maximalmenge

Kraftstoff Komponente l Komponente 2 Komponente 3

190 180 210 140

90 87,5 100 75

9000 4000 4000 ∞

Formulieren Sie das lineare Programm zur Ermittlung der Mengen, die von den einzel-

nen Komponenten in die Mischung eingehen, und die Mischungsmenge, die abgesetzt werden soll, damit ein maximaler Gewinn entsteht.

( )

;0,...,;015105,2

;4000;4000;9000:

502010:.max

;502010140210180190

:;015105,2

;90751005,87

:.

;4000;4000:;9000:

;3,2,1:

31

321

2

1

3213

321

321

321321

321

321

321

2

1

321

≥≥−+−≤≤≤++∈

−−

−−⇔−−−++⋅

−≥−+−⇔

≥++++

≤≤≤++

=

xxxxx

xx

xxxIRx

xxx

xxxxxxxxx

KostenUmsatztionGewinnfunkxxx

xxxxxx

zahlOkt

xxMengenVerfügbare

xxxatzMaximalabsixnKomponente i

r



12.3 Übungsaufgaben zu Kapitel 10 1. Die Verteilung der Religionszugehörigkeit in einem Berliner Stadtteilbezirk ergab: 7208

Christen, 10.368 Islamisten und 3.114 Sonstige. Bestimmen Sie die relativen Häufig- keiten und erstellen sie ein Histogramm.

.)( 74 SeiteScript Siehenötig.itt Rechenschrein noch ist 1 iteKlassenbre Falls werden.abgelesen

sofortErgebnisdaskannsomit1,iteKlassenbremitHIERHistogramm:Achtung

;15,0650.20

114.3

;50,0690.20368.10

;35,0690.20208.7h

Merkmal nominales

20.690Sonstige3.114

Muslime368.10Christen7208

3

2

1

)!(3

2

1

iteKlassenbreh

h

h

nnnn

i

nummerischnicht

≠=

==

==

==

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

444 3444 21



2. In der Marketingabteilung eines Unternehmens wurden die Wochenumsätze in TEUR

bei zwei unterschiedlichen Werbestrategien beobachtet:

Strategie I 15 16 18 20 24 28 30 33 36 37 38 44 48 49 50 Strategie II 20 22 25 28 32 33 33 33 34 35 38 38 38 40 43

a) Bestimmen Sie Mittelwerte III YY , und Mediane beider Beobachtungen.

b) Erstellen Sie Histogramme mit Reduktionslage 14.5, Variationsbreite 42 und Klas- senbreite 7.



c) Berechnen Sie jeweils empirische Varianz und Standardabweichung

III SS ,

d) Wieviel Prozent der Daten liegen jeweils im Intervall [ ]III SYSY +− , bzw.

[ ]IIIIIIII SYSY +− , ?

3. Sei die empirische Verteilungsfunktion der Strategie II aus der vorherigen Aufgabe. )(ˆ xF

a) Berechnen Sie .

)4.32(F



b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für und stellen Sie die Funktion graphisch dar.

)(ˆ xF

Achtung: Die Verbindungslinien zwischen den Punkten müssen gerade sein.

c) Ermitteln Sie mittels geeigneter Quantile einen Bereich, in dem 95% aller beobach- teten Werte liegen.

;875,46

;60,07

5,4239,0)(ˆ975,0

;125,17

;60,05,145,21

5,14)(ˆ025,0

975,0

025,0

=

⋅−

+==

=

⋅−

−==

x

xxF

x

xxF



4. Bei der linearen Regression liefert die Lösung der Normalengleichung u.a. die Formel

2ˆ

x

xy

SS

b = . Man zeige:

a) 2

1

212 XXSn

iinX −= ∑

=

b) YXYXSn

iiinxy −= ∑

=1

1

c) Die sogenannte Verschiebungsformel

2

1

2

1ˆ

XnX

YXnYXb n

ii

n

iii

−

−=

∑

∑

=

= .



5. In untenstehender Tabelle wird der prozentuale Anstieg (gegenüber dem Vorjahr) der

Verbraucherpreise in Deutschland mit dem durchschnittlichen Kapitalmarktzins für langfristige öffentliche Anleihen verglichen:

Jahr 19.. 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 Rendite % 8,50 10,40 9,00 7,90 7,80 6,90 5,90 5,80 6,10 7,09 8,88 8,63 7,96 Preisanstieg % 5,40 6,30 5,30 3,30 2,40 2,20 -0,10 0,20 1,30 2,80 2,70 3,50 4,00

Die Rendite sei die unabhängige Variable X und der Preisanstieg die abhängige Va-

riable Y.

a) Berechnen Sie die Mittelwerte X und Y .

b) Berechnen Sie die Regressionskoeffizientenb (Verschiebungsformel benutzen!) und

. Wie lautet die Gleichung der Regressionsgeraden ? ˆ

a

c) Prognostizieren Sie die Veränderung des Preisanstiegs bei einer Rendite von 6.5%.



d) Ermitteln Sie den zugehörigen Korrelationskoeffizienten. Besteht ein Zusammen- hang zwischen Rendite und Preisanstieg ?



e) Wie groß ist die Fehlerquadratsumme ? 2ˆES

6. Wir betrachten Permutationen von n Elementen:

a) Es sei n = 3 und zwei der drei Elemente seien gleich. Wieviele Permutationen gibt es dann ?

b) Unter den n Elementen seien genau Elemente gleich. Wieviele Permutationen gibt es dann ?

1n

c) Unter den n Elementen befinden sich jeweils gleiche Elemente (mit . Wieviele Permutationen gibt es jetzt ?

knnn ,,, 21 K

nnnn k =++ K21

7. a) Einer Warenlieferung von 12 Williamsbirnen soll zu Kontrollzwecken eine Stichpro-

be von 3 Birnen entnommen werden. Wieviele unterschiedliche Stichproben sind möglich ? b) Beim Pferdetoto gibt es eine Dreierwette: Der Zieleinlauf der ersten drei Pferde muß

in der richtigen Reihenfolge getippt werden. Wieviele verschiedene Dreierwetten sind beim Start von 10 Pferden möglich ?

c) An einem Tanzkurs nehmen 15 Damen und 20 Herren teil. Bei jedem Tanz müssen 5 Herren aussetzen, während die 15 übrigen mit den Damen tanzen. Wieviele verschiedene Tanzpaarungen sind möglich ?

8. In einer Studiengruppe von 25 Studenten/innen sind 10 Frauen. In der Gruppe sind

insgesamt 15 katholisch und 8 evangelisch. 6 der Frauen sind katholisch, der Rest der Frauen ist evangelisch. Eine Person wird nun beliebig ausgewählt.

a) Wir betrachten die Ereignisse , die dafür stehen, daß die ausgewählte Per-

son weiblich (w) bzw. männlich (m) ist. Mittels Abzählregel bestimme man die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse.

mw GG ,

b) Nun betrachten wir die Ereignisse , die dafür stehen, daß die ausgewählte Person katholisch (k), evangelisch (e) bzw. "sonstige'' (s) ist. Mittels Abzählregel bestimme man die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse.

sek RRR ,,

c) Man ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse ji GG ⋅ mit und .

mwi ,=sekj ,,=

d) Sind die Eigenschaften “Geschlecht“ und “Religionszugehörigkeit“ in der Studien-gruppe unabhängig?

e) Ohne Verwendung der Abzählregel bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person weiblich oder evangelisch ist.

9. Zwei Programme und im sog. Zeitscheibenverfahren auf einer Werkstation, 1P 2P

d.h. jedem der Programme wird eine vorgegebene Zeitspanne lang die CPU zugeteilt.



Diese Zuteilung wird solange zyklisch fortgesetzt, bis beide Programme beendet sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass P nach dem ersten Schritt beendet ist, beträgt 0.3. Ist

on mehr als 3 Zutei-

0. Auf einem Volksfest wird an einer Bude das Spiel Chuck-a-luck angeboten: Der Spieler

rscheinlichkeit er 3, 2, l Euro

tarereignisse

1

jedoch noch nicht beendet, so ird es im zweiten Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.7 beendet. Waren die beiden ersten Zuteilungen nicht ausreichend, so wird 1P im dritten Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8 beendet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bis zum Programmende v

1P w

1Plungen notwendig ?

1darf eine der Zahlen l, 2,... 6 als Glückszahl wählen und dann 3 Würfel werfen (=Ele- mentarereignis). Für jeden Würfel, der seine Zahl zeigt, erhält er vom Schausteller l Euro. Erscheint seine Zahl nicht, so muß er l Euro zahlen. Der Spieler interessiert sich nun dafür, mit welcher Wahgewinnt bzw. l Euro verliert. a) Wie können die Klemen iω , spezifiziert werden ? Wieviele Elemente

reignisraum ? b) aß r Spieler die 6 als Glückszahl gewählt hat. Führen Sie eine

ertetabellec) Ereignissen zusammen, so

hat der EWir nehmen an, d de

Ω

Zufallsvariable IRX aΩ: ein, die den "Gewinn" des Spielers angibt. Deuten Sie die zugehörige W von X an. Fassen Sie die Elementarereignisse zu 3211 ,,, EEEE−

daß ( ) 1−=ωX für ∈ E 1−ω bzw. ( ) iX i =ω für ii E∈ω gilt. d) he Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für die oben definierten Ereignisse nach

e) inlichkeit dafür, nicht zu verlieren ? Geben Sie zwei Be-

f) ngig ? ö lichkeits- und Verteilungsfunktion auf.

11. egeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y mit den Erwartungswerten

Welcdem Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit ? Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten mit 3 Nachkommastellen an ! Wie groß ist die Wahrscherechnungsmöglichkeiten an ! Sind die Ereignisse iE unabhä

g) Stellen Sie die zugeh rige Wahrschein G YX µµ , und

Kovar als

Varianzen 22 , σσ . Analog zur empirischen Kovarianz definieren wir die ianz von X und Y [ ]

YX

( )( )[ ]YX YXEYXovCXY µµσ −−== , a) Zeigen Sie, daß [ ] YXXY YXE µµσ −= , gilt.

ufallsvariable Zb) Sei Z die neue Z bYXa += mit IRba ∈, Zeigen Sie, daß dann [ ] YX baZE µµ += und [ ] aZVar σ += lt.

nn

2222 2 YXYX bab σσ + gic) Die Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, we [ ] [ ] [ ]YEXEYX ⋅=⋅ . E

Berechnen Sie in diesem Fall XYσ . Zeigen Sie, daß für unabhän e d) gig Zufallsvariablen [ ] [ ] [ ]YVarXVarYXVar +=+ gilt.

2. Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit n gleichwahrscheinlichen Werten . nxx ,,1 K 1



a) Geben Sie möglichst einfache Formeln für [ ]XE und [ ]XVar an. b) Ausgehend von den drei gleichwahrschein n Umliche weltkonstellationen Rezession

(A), unverändertes ökonomisches Umfeld (B), Hochkonjunktur (C) legen die Akti- enanalysten einer Bank für zwei zu betrachtende Aktien folgende Renditeprognose vor:

Szenario Rendite Aktie l Rendite Aktie 2 A B C

15 9 3

l 10 19

chnen Sie jeweils die erwartete Rendite (=Erwartungswert) und das Risiko

Bere(=Varianz) der Aktien.

c) Aus den beiden Aktien wird ein Portefeuille P gebildet, indem das vorhandene Kapital zu 3

21 =X in Aktie l und zu 3

12 =X in Aktie 2 investiert wird. Berechnen

Sie erwartete Rendite und Risiko des Portefeuilles.

13. egeben seien m unabhängige, diskrete Zufallsvariablen , die den Wert 0 inlichkeit

X ,1 K mXGmit Wahrscheinlichkeit l - p und den Wert l mit Wahrsche p annehmen. Die Summe dieser Zufallsvariablen sei die neue Variable mXXX ,,1 K= a) Sind die X, alle binomialverteilt mit Parameter p und n = l ? b) Berechnen Sie Erwartungswert [ ]iXE und Varianz [ ]iXVar (Hinweis: !).

ialverteii XX =2

c) Zeigen Sie, daß X mit Parameter p und n = m binom ilt ist. d) Zeigen Sie, daß [ ] mpXE = und [ ] ( )pmpXVar −= 1 gilt (Hinweis: verwenden Sie

14. an eine

Teil b) !!).

zeige: Ist XM ( )2, σµN -verteilte Zufallsvariable, dann gilt ( ) ,7 0

0 2.68≈<− σµXP ( ) 0045.952 ≈<− σµX , (P ) 0

073.993 ≈< σµ .

5. Gegeben seien die historischen Renditen zweier Aktien:

6

−XP 1

Monat l 2 3 4 5 Aktie l Aktie 2

25-

-1 10 35 13 10

015 5

5 5 20 25

Berechnen Sie jeweils Schätzwerte für die erwartete Rendite und das Risiko der Aktien.

6. D

vall für die durchschnittliche Brenndauer der

ie durchschnittliche Brenndauer von Glühbirnen betrage 240 Stunden bei einer Stan- 1dardabweichung von 20 Stunden. Der Hersteller behauptet nun aufgrund eines neuen Verfahrens die durchschnittliche Brenndauer (bei gleicher Abweichung) erhöht zu haben. Eine Zufallsstichprobe ergibt: 267, 232, 275, 271, 229, 213, 267, 248, 266 und 232 Stunden. a) Berechnen Sie das Stichprobenmittel. b) Ermitteln Sie das 95%-Konfidenzinter

neuen Birnen. c) Wie lautet das 90%-Konfidenzintervall ? d) Kann man die Hypothese 240:0 =µH mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%

ablehnen ?



12.4 Übungsaufgaben zu Kapitel 11 1. Im ökonomischen Beispiel von Abschnitt 8.7.2 (Seite 21) soll an die Stelle der Gewinn-

maximierung das Ziel der Erlösmaximierung unter Einhaltung eines Mindestgewinns treten. Wie lassen sich Zielfunktion und Nebenbedingungen formulieren ? minG

2. Ein rechteckiges Haus mit maximalem Volumen und einer Oberfläche von genau 10m2

soll errichtet werden. Bestimmen Sie mittels Kuhn-Tucker-Gleichungen die Seitenlängen x, y und z .

3. Ermitteln sie die Extremwerte ( ) zyxzyxf ++=,, unter den Nebenbedingungen

x2 + y2 = 2 und x + z = l . 4. Wir betrachten das Problem

,0

0:

min

2

32

122

21

≤−≤+−∈

+→

xaxxIRx

xx

wobei ein beliebiger Parameter sei. IRa∈

a) Stellen Sie für das Problem die Kuhn-Tucker-Gleichungen auf und lösen sie diese (Hinweis: Fallunterscheidung a = 0 bzw. 0≠a ).

b) Bestimmen Sie graphisch die Optimallösung des Problems. Was fällt auf ?

5. Ein Unternehmer stellt quaderförmige Geschenkkisten, die oben offen sind, her. Diese Kisten müssen ein Volumen von 32 cm3 haben und sollen aus ästhetischen Gründen doppelt so breit wie hoch sein. Da die Oberfläche der Kiste mit sehr hochwertigen Stoff verkleidet wird, ist der Unternehmer daran interessiert, die Oberfläche zu minimieren.

a) Formulieren Sie das zu lösende Optimierungsproblem. b) Der Unternehmer ermittelt, daß die Ausmaße 4cm x 4cm x 2cm die minimale

Oberfläche liefern. Berechnen Sie durch Lösen der Kuhn-Tucker-Gleichungen die zu diesem Minimum gehörenden Lagrange-Multiplikatoren. Welchen Optimalwert hat die Zielfunktion ?

c) Der Unternehmer verzichtet auf die ästhetische Form der Kisten. Wo liegt das neue Minimum ?

d) Das Volumen der Kisten soll auf 33 cm3 bzw. 62,5 cm3 geändert werden. Berechnen Sie jeweils eine Schätzung des neuen Optimalwertes der Zielfunktion im Sinne der Sensitivitätsanalyse.

6. Gegeben seien 3 Aktien, deren Renditeprognosen für drei gleichwahrscheinliche Um-

weltkonstellationen durch folgende Tabelle gegeben sind:

Szenario Aktie l Aktie 2 Aktie 3 A B C 3

915

13

12

11

===

RRR

41016

23

22

21

===

RRR

19101

33

32

31

===

RRR



a) Man berechne Erwartungswert, Varianz, Kovarianz und Korrelation der Aktien. b) Man zeige die Formel (11.21) der Vorlesung

∑ ∑∑= ≠==

+=N

i

N

ikkikki

N

iiiP XXX

1 ,11

222 σσσ

für den Fall N = 3. c) Ein Portefeuille P bestehe zu jeweils 1/4 aus Aktie l und Aktie 2 sowie zur Hälfte

aus Aktie 3. Man berechne die zu erwartende Rendite und das Risiko von P.

Aktie Rendite Risiko A B C

14 8 20

6 3 15

Korrelation B C A B

0.5

0.20.4

7. Wir betrachten einen Aktienmarkt, der aus 3 Aktien A, B und C besteht. Die Aktien

seien durch folgende Daten charakterisiert: a) Unter Annahme einer risikolosen Rendite von 6 % (d.h. 6=FR ) berechne man das

optimale Portefeuille P. (Hinweis: Die zu den KT-Gleichungen gehörenden Lagrange-Multiplikatoren erge-

ben sich zu 031 == λλ und 8/52 =λ .) b) Man berechne Rendite und Risiko des Optimalportefeuilles P und trage A, B, C

und P in ein ( )σµ , - Koordinatensystem ein (Einheitenlänge: 0.25cm).

8. Gegeben sei ein Aktienmarkt mit N Aktien. Ein Investor möchte das beste Portefeuille P ermitteln, das eine fest vorgegebene Rendite von PR verspricht. Formulieren Sie das Optimierungsproblem, das der Investor lösen muß.


Date post:	25-Mar-2021
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