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LAND BRANDENBURG
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft
MathematikLeistungskurs
Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2012
MathematikLeistungskurs
Aufgabenvorschlag
Hilfsmittel: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschenSprache
Formelsammlung, die an der Schule eingeführt ist bzw.
für Berlin von der zuständigen Senatsverwaltung für dieVerwendung im Abitur zugelassen ist.
Taschenrechner, die nicht programmierbar und nicht gra-fikfähig sind und nicht über Möglichkeiten der numeri-schen Differenziation oder Integration oder dem automati-sierten Lösen von Gleichungen verfügen.
Gesamtbearbeitungszeit: 270 Minuten inkl. Lese- und Auswahlzeit
Aufgabenstellung 1Thema/Inhalt: Analysis
Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 1.1 oder 1.2 zurBearbeitung aus.
Aufgabenstellung 2
Thema/Inhalt: Analytische Geometrie
Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 2.1 oder 2.2 zurBearbeitung aus.
Aufgabenstellung 3
Thema/Inhalt: Stochastik
Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 3.1 oder 3.2 zurBearbeitung aus.
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Aufgabe 1.1: Eisenbahntrasse
Im nebenstehenden Bild sind drei Graphen derFunktionenschar af mit
a x a x x f a
−
−=
2
)3()( , R I a∈ , 0>a gegeben.
a) Geben Sie den Definitionsbereich derFunktionen af an.
Begründen Sie, dass a x = einePolstelle ist.Bestimmen Sie eine Gleichung für dieschräge Asymptote.
b) Ermitteln Sie die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte der Graphen von af .
Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: ( )( )2
22 32a x
aax x x f a−
−−=′ .
[Kontrollergebnisse: ( )aaH a 8| −− , ( )0|3aT a ]
Begründen Sie, dass keiner der Graphen einen Wendepunkt besitzt.Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, auf der die lokalen Hochpunkte derGraphen von af liegen.
c) Geben Sie an, für welche Werte des Parameters a die Graphen gezeichnet worden sindund begründen Sie Ihre Entscheidung.
d) Zeichnen Sie für 1=a alle Asymptoten und den Graphen der Funktion 1f mindestens für
das Intervall [ ]8;6−
.
e) Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung von 1f in der Form ( )1
451
−+−= x
x x f
geschrieben werden kann.Der Graph von 1f , die Gerade mit der Gleichung 5−= x y sowie die Senkrechte 3= x
schließen eine Fläche ein, die ins Unendliche reicht.Prüfen Sie, ob dieser Fläche ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann.
f) Die beiden Graphenteile von 1f sind Bestandteile eines Eisenbahnnetzes. Zwischen den
beiden Extrempunkten des Graphen soll eine neue Gleisverbindung gebaut werden.Der Übergang an den beiden Punkten soll jeweils „ohne Knick“ erfolgen, das heißt, in
diesen beiden Punkten muss es jeweils einen gleichen Anstieg geben.Modellieren Sie die neue Gleisverbindung durch eine ganzrationale Funktion vonmöglichst geringem Grad.
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe
BE 7 13 3 6 6 5 40
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Aufgabe 1.2: Anhänger einer Halskette
Gegeben ist die Funktionenscharaf mit ( ) ( ) a
x
a e x a x f ⋅−= ; R I x ∈ ; 0, ≠∈ aR I a .
Ihre Graphen heißen aG .
a) Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von af für ±∞→ x in Abhängigkeitvon a . Berechnen Sie die Länge der Strecke in Abhängigkeit von a , die durch die jeweiligen beiden Achsenschnittpunkte von
aG festgelegt ist.
b) Zeigen Sie, dass für jeden Graphen aG der lokale Extrempunkt auf der y -Achse liegt
und bestimmen Sie in Abhängigkeit von a dessen Art.
[Kontrollergebnis: ( )
+⋅−=′′
2a
x ae x f a
x
a]
Stellen Sie 2G mindestens im Intervall [ ]3;7− in einem Koordinatensystem graphisch
dar.
c) Ein Graph der Schar aG hat an der Stelle 1= x den Anstieg em −= . Ermitteln Sie den
zugehörigen Parameterwert a durch inhaltliche Überlegung.Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Tangente an diesen Graphen an derStelle 1= x mit der positiven Richtung der x -Achse einschließt.
d) Ermitteln Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle Wendepunkte von aG liegen.
Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente an den Graphen der Funktion 2f .
Hinweis: Auf den Nachweis der Existenz der Wendepunkte mithilfe einer hinreichendenBedingung wird verzichtet.
e) Jeweils ein Graph aG für 0>a und der
zugehörige an der x -Achse gespiegelteGraph sowie die Gerade k x = sollen dieForm eines Kettenanhängers begrenzen.Um den Materialbedarf zu ermitteln, wird derInhalt der Querschnittsfläche benötigt.Bestimmen Sie für alle 0<k den Inhalt derQuerschnittsfläche des Kettenanhängers.
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe
BE 8 12 6 9 5 40
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Aufgabe 2.1: Raubvogel
Ein Raubvogel gleitet geradlinig gleichförmig in der Morgensonne über den Frühnebel.
Er befindet sich in einer Höhe von m830 im Punkt )830|1860|3260(0 −P und eine
Sekunde später in )829|1848|3248(1 −P . Im selben Zeitraum fliegt ein Singvogel geradlinig
gleichförmig im morgendlichen Frühnebel von )200|600|800(0
−Q nach
)201|592|796(1 −Q , mLE 11 = .
a) Geben Sie für die Flugbahnen der Vögel je eine Geradengleichung an.
Bestätigen Sie, dass die Vögel mit den Geschwindigkeiten vonh
km2,61 bzw.h
km4,32
fliegen.Zeigen Sie, dass die Fluggeraden windschief zueinander verlaufen, indem Sie dielineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren nachweisen und den Abstand derbeiden Geraden berechnen.
b) Die obere Grenze des Frühnebels verläuft in einer Ebene E . Die Ebene E ist
orthogonal zu⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=10
1
1
E n und verläuft durch den Punkt )280|0|0( A .
Berechnen Sie, in welchem Punkt, nach welcher Zeit und unter welchem Winkel derSingvogel den Frühnebel verlässt, wenn sein Flug ungestört verläuft.
[Kontrollergebnis: Der Singvogel würde den Nebel in )500|1800|400(−S verlassen.]
c) Berechnen Sie den Abstand des Raubvogels vom Singvogel in dem Moment, in demder Singvogel den Frühnebel verlassen möchte.
Der Raubvogel erspäht den Singvogel beim Erscheinen in der Ebene E und schlägtsofort einen Haken in Richtung auf den Singvogel.Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die ursprüngliche und die neue Flugstrecke
des Raubvogels einschließen.d) In diesem Moment flieht der Singvogel (vom Punkt S aus) zurück in den Frühnebel auf
derselben Geraden, auf der sich der Raubvogel nähert.Berechnen Sie die im Frühnebel mindestens erforderliche Sichtweite, damit derRaubvogel den Singvogel nicht aus den Augen verliert, wenn jetzt Singvogel undRaubvogel jeweils dreimal so schnell fliegen wie zuvor.Hinweis: Es wird darauf verwiesen, dass es sich bei diesem Modell um einen nichtrealistischen Beschleunigungsvorgang handelt, weil ein realer Vogel die dreifacheGeschwindigkeit nicht in Nullzeit erreicht.
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) Summe
BE 12 8 6 4 30
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Aufgabe 2.2: Turm
Ein Turm, der auf ebenem Gelände steht, hat die Form eines Quaders mit quadratischerGrundfläche. Ihm ist als Dach eine gerade quadratische Pyramide aufgesetzt.
Die Eckpunkte der Grundfläche des Turmes sind mit ( )0|0|0 A , ( )0|0|6B , ( )0|6|6C und
( )0|6|0D gegeben (1 LE = 1 m).
a) Die Turmspitze S befindet sich in 16 m Höhe über der Grundfläche. Der Eckpunkt E des
Dachbodens liegt auf der Geraden IR ss x g ∈
+
= ;
3
5,4
3
16
9
6
: genau über dem Punkt A.
Bestimmen Sie die Koordinaten von S und E . Geben Sie die Koordinaten der EckpunkteF , G und H des Dachbodens an, wobei F über B, G über C und H über D liegt.Zeichnen Sie den Turm in das vorgegebene Koordinatensystem ein (Anlage).
[Kontrollergebnis: ( )10|0|0E ]
b) Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E* , in der die Dachfläche GHS liegt, inKoordinatenform auf.Die Gerade g durchstößt die Ebene E* im Punkt P .Bestimmen Sie die Koordinaten von P .
[Kontrollergebnis: ( )13|5,4|3P ]
An der Dachfläche GHS befindet sich außen eine Hebevorrichtung.Dazu wurde ein Balken im Punkt P senkrecht durch die Dachfläche GHS
hindurchgeführt, der 52 m aus der Dachfläche herausragt. An der Spitze des Balkens
ist außen eine Rolle befestigt, über die ein Seil läuft.Berechnen Sie den Abstand, den das heruntergelassene Seil von der Turmwand CDHG hat.Hinweis: Die Ausmaße der Rolle werden vernachlässigt.
c) Der Balken, an dessen Spitze sich die 52 m lange Hebevorrichtung befindet, geht
durch das Dach hindurch und wird an einen Träger angeschraubt, der an der DachflächeEFS befestigt ist.Berechnen Sie die Größe des Winkels, den diese Dachfläche mit dem Balkeneinschließt.
d) An der Seite BCGF des Turmes befindet sich eine Zugbrücke. Sie ist drehbar um dieKante BC .
Zeigen Sie, dass die Kante BC in jeder Ebene der Schar : 6 ( 0)a
E ax z a a− = ≥ liegt.
e) An der Turmspitze S ist ein Windrichtungsmesser angebracht, dessen Spitze W sichgenau 0,7 m über S befindet. Eine Person (Augenhöhe 1,50 m) steht am Boden vor derSeitenfläche BCGF des Turmes und kann die Spitze W gerade noch sehen.Berechnen Sie den Abstand, in dem die Person vor der Seitenfläche steht.
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe
BE 8 11 5 2 4 30
Anlage
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- 4
- 6
-2
8
6
10
14
12
16
2
0
4
2 4 6 8 100-2-4-6-8
x
y
z
Anlage zu Aufgabe 2.2 a) Turm
-8
-4
4
8
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Aufgabe 3.1: Sport in 3D
Die Fernsehsendung „Sport in 3D“ informiert über das aktuelle Sportgeschehen im neuen3D-Format. Dabei treten Bildstörungen in 3D mit 4 % Wahrscheinlichkeit auf. Ist das Bildgestört, dann treten mit 60 % Wahrscheinlichkeit auch noch Tonstörungen auf. Ist das Bildeinwandfrei, dann ist auch der Ton mit 90 % Wahrscheinlichkeit einwandfrei.
B und T seien die folgenden Ereignisse:
B: „In der 3D-Übertragung treten Bildstörungen auf“;
T: „In der 3D-Übertragung treten Tonstörungen auf“.
a) Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und untersuchen Sie, ob die EreignisseB und T stochastisch unabhängig sind.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bild, falls der Ton gestörtist.
c) Man betrachtet das Ereignis Z: “Ein Zuschauer wechselt den Sender“.
Falls keine Bildstörung auftritt, tritt Z höchstens mit der Wahrscheinlichkeit6
1 ein.
Im Falle einer Bildstörung wechselt der Zuschauer mit Sicherheit den Sender.Berechnen Sie den maximalen Wert P(Z).
d) Im Studio ist ein Fußballtor aufgebaut, auf das Sportler und Studiogäste schießendürfen. Ein Gast trifft mit der Wahrscheinlichkeit p in das Tor.Berechnen Sie die Mindestgröße von p, damit der Studiogast bei 6 Versuchen mit einerWahrscheinlichkeit von wenigstens 95 % mindestens einmal trifft.
e) Der Sender benötigt zur richtigen Ausleuchtung des Studios, in dem die 3D-Aufnahmenerfolgen, 400 neue, einwandfreie Halogenlampen. Die Erfahrung lehrt, dass 2 % der
gelieferten Lampen schadhaft sind.Entwickeln Sie eine Ungleichung zur Bestimmung der Anzahl n der Lampen, diemindestens bestellt werden müssen, damit mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeitwenigstens 400 einwandfreie Lampen darunter sind.Erläutern Sie, wie diese Ungleichung nach n aufgelöst werden kann, wenn man dieNormalverteilung als Näherung wählt.
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe
BE 7 3 6 6 8 30
Anlage
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Anlage zu Aufgabe 3. 1: Sport in 3D
Standardnormalverteilung
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „0,“.
Bei negativen Werten liest man nach der Gleichung Φ(–z) = 1 – Φ(z) ab.
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,00,10,20,30,4
50005398579361796554
50405438583262176591
50805478587162556628
51205517591062936664
51605557594863316700
51995596598763686736
52395636602664066772
52795675606464436808
53195714610364806844
53595753614165176879
0,50,60,70,80,9
69157257758078818159
69507291761179108186
69857324764279398212
70197357767379678238
70547389770479958264
70887422773480238289
71237454776480518315
71577486779480788340
71907517782381068365
72247549785281338389
1,0
1,11,21,31,4
8413
8643884990329192
8438
8665886990499207
8461
8686888890669222
8485
8708890790829236
8508
8729892590999251
8531
8749894491159265
8554
8770896291319279
8577
8790898091479292
8599
8810899791629306
8621
8830901591779319
1,51,61,71,81,9
93329452955496419713
93459463956496499719
93579474957396569726
93709484958296649732
93829495959196719738
93949505959996789744
94069515960896869750
94189525961696939756
94299535962596999761
94419545963397069767
2,02,12,22,32,4
97729821986198939918
97789826986498969920
97839830986898989922
97889834987199019925
97939838987599049927
97989842987899069929
98039846988199099931
98089850988499119932
98129854988799139934
98179857989099169936
2,52,62,72,82,9
99389953996599749981
99409955996699759982
99419956996799769982
99439957996899779983
99459959996999779984
99469960997099789984
99489961997199799985
99499962997299799985
99519963997399809986
99529964997499819986
3,03,13,23,33,4
99879990999399959997
99879991999399959997
99879991999499959997
99889991999499969997
99889992999499969997
99899992999499969997
99899992999499969997
99899992999599969997
99909993999599969997
99909993999599979998
3,53,6
99989998
99989998
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
Beispiele: Φ(2,37) = 0,9911; Φ(–2,37) = 1–Φ(2,37) = 1 – 0,9911 = 0,0089;
Φ(z) = 0,7910⇒ z = 0,81; Φ(z) = 0,2090 = 1 – 0,7910⇒ z = –0,81.
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Aufgabe 3.2: Blutgruppen
Jeder Mensch hat eine der Blutgruppen A, B, AB oder 0 (null). Neben der Blutgruppen-zugehörigkeit wird nach dem Vorhandensein eines Rhesusfaktors (Rh positiv: Rh+ bzw.Rh negativ: Rh –) unterschieden. Für Deutschland gilt folgende Häufigkeitsverteilung für Blut-gruppen und zugehörige Rhesusfaktoren in % (Wikipedia 2010). Dabei bedeutet z.B. die
Angabe A Rh –
die Blutgruppe A mit negativem Rhesusfaktor, diese hat die Wahrscheinlich-keit 06,0)( =
−Rh AP .
Blutgruppe A B AB 0
Häufigkeit in % 43 11 5 41
Rhesusfaktor A Rh+ A Rh
– B Rh
+ B Rh
– AB Rh
+ AB Rh
– 0 Rh
+ 0 Rh
–
Häufigkeit in % 37 6 9 2 4 1 35 6
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
D: Unter 19 zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich mehr als eine Person,die die Blutgruppe B mit positivem Rhesusfaktor besitzt.
E: Unter 100 zufällig ausgewählten Bundesbürgern befinden sich mindestens sechs undweniger als zwölf Personen mit Blutgruppe AB.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Blutspendetermin untersechs zufällig ausgewählten Spendern
F: der erste Spender die Blutgruppe B, der dritte, vierte und sechste Spender die Blut-gruppe A und die übrigen Spender die Blutgruppe AB oder 0 besitzen.
G: einer mit der Blutgruppe B, drei mit der Blutgruppe A und der Rest mit der Blutgruppe AB oder 0 sind.
c) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bürger eines deutschen Bundeslandes Rh negativ
(Rh –) ist, sei p mit 10 << p . Berechnen Sie, wie groß p mindestens sein müsste, damit
sich mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 80 % unter zehn zufällig ausgewähltenBürgern dieses Bundeslandes mindestens eine Person mit negativem Rhesusfaktor be-findet.
d) Auf der Grundlage langjähriger Erfahrungen vermuten die Mitarbeiter einesBlutspendezentrums, dass 3,9 % der Bundesbürger mit Blutgruppe 0 und 2,4 % der Bun-desbürger mit anderen Blutgruppen Blutspender sind.
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewählter BundesbürgerBlutspender ist.
Ein Bundesbürger hat gerade Blut gespendet. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,dass er die Blutgruppe 0 besitzt.
e) Nur 3 % der Bundesbürger im Alter von 18 bis 68 Jahren sind Blutspender.In einer repräsentativ ausgewählten Gruppe von 1500 Bundesbürgern wurde die Anzahlder Blutspender ermittelt. Ermitteln Sie, in welchem kleinstmöglichen zum Erwartungs-
wert symmetrischen Intervall [ ]aaI +−= μ μ ; mit μ <∈ aR I a , , die Anzahl der Blut-
spender in dieser Gruppe mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % liegt.
Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile
Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe
BE 8 7 4 7 4 30
Zwei Anlagen
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Anlage 1 zu Aufgabe 3.2: Blutgruppen
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „0,“,alle freien Plätze links unten enthalten 1,0000, rechts oben 0,0000.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen (p > 0,5), ist der richtige Wert 1 − (abgelesener Wert)
Np
k0,02 0,05 0,10
16
0,20 0,25 0,3013
K
0123456789
1011
121314151617
1326403367678590949298459959999199989999
005903711183257843606160766087209369971898859957
998599959999
00030019007802370576117220613209451358327030
801887619274960197949900
00010004001300380095023104270777
129720002874387749425994
000100030009002300570126
025304690804128519232712
00010004
001000250054011102110376
00010002000400100022
00010002
999897969594939291908988
878685848382
100
18192021222324252627
282930313233343536
< 99549980999299979999
6965780384818998937096219783988199389969
9985999399979999
3621460255956540738981098686912594429658
980098889939996999859993999799999999
0630099514882114286437114617553564177224
792585058962930795549723983699069948
0045008901650288047907551136163122442964
376846235491633171077793837188399201
0005001100240048009101640281045807151066
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81807978777675747372
717069686766656463
37383940414243
444546474849505152
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555453525150494847
n k 0,95 0,9056
0,80 0,75 0,7023
kp
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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2012 Länder Berlin und Brandenburg
MathematikLeistungskurs
Anlage 2 zu Aufgabe 3.2: Blutgruppen
Standardnormalverteilung
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „0,“.
Bei negativen Werten liest man nach der Gleichung Φ(–z) = 1 – Φ(z) ab.
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,00,10,20,30,4
50005398579361796554
50405438583262176591
50805478587162556628
51205517591062936664
51605557594863316700
51995596598763686736
52395636602664066772
52795675606464436808
53195714610364806844
53595753614165176879
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69507291761179108186
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71907517782381068365
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84618686
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896291319279
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1,51,61,71,81,9
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93459463956496499719
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93829495959196719738
93949505959996789744
94069515960896869750
94189525961696939756
94299535962596999761
94419545963397069767
2,02,12,22,32,4
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97789826986498969920
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97889834987199019925
97939838987599049927
97989842987899069929
98039846988199099931
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98129854988799139934
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2,5
2,62,72,82,9
9938
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9940
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9941
9956996799769982
9943
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9945
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9946
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9952
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3,03,13,23,33,4
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99889992999499969997
99899992999499969997
99899992999499969997
99899992999599969997
99909993999599969997
99909993999599979998
3,53,6
99989998
99989998
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
99989999
Beispiele: Φ(2,37) = 0,9911; Φ(–2,37) = 1–Φ(2,37) = 1 – 0,9911 = 0,0089;
Φ(z) = 0,7910 ⇒ z = 0,81; Φ(z) = 0,2090 = 1 – 0,7910 ⇒ z = –0,81.
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