Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-1
1. Methode der Finiten Elemente
1.1 Innenraumprobleme
1.2 Außenraumprobleme
1.3 Analysen
1.4 Bewertung
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-2
1.1 Innenraumprobleme
1.1.1 Schwache Formulierung
1.1.2 Finite Elemente
1.1.3 Diskretisierungsregeln
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-3
1.1.1 Schwache Formulierung
● Aufgabenstellung:
– Gesucht ist die komplexe Amplitude des Schallfelds in einem geschlossenen Gebiet G.
– In G erfüllt das Schallfeld die Helmholtz-Gleichung
– Der Rand des Gebietes besteht aus drei Teilen:
G
Sv
Sa
Sa
Sp
S=∂G=S p∪S v∪Sa
∇ 2Pk 2P=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-4
1.1.1 Schwache Formulierung
– Rand Sp:
● Die Schalldruckamplitude hat einen vorgegebenen Wert.● Durch kann z.B. eine kleine Öffnung näherungsweise
beschrieben werden.
– Rand Sv:
● Die Schallschnelle senkrecht zur Wand hat einen vorgegebe-nen Wert.
● Durch diese Randbedingung wird eine schwingende oder schallharte Wand beschrieben.
● Für den Schalldruck folgt:● Schallharte Wand:
P=0
∇ P⋅n=−i0V n
∇ P⋅n=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-5
1.1.1 Schwache Formulierung
– Rand Sa:
● Die Impedanz ist vorgegeben:● Dadurch lassen sich absorbierende Flächen beschreiben.● Mit
folgt:
P=Z V n
∇ P⋅n=−i0PZ=−i0 A P
∇ P⋅n=−i0V n
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-6
1.1.1 Schwache Formulierung
● Schwache Formulierung der Helmholtz-Gleichung:
– Um die spätere Kopplung mit den Gleichungen für die Struktur zu erleichtern, wird die durch die Massendichte di-vidierte Helmholtz-Gleichung betrachtet:
– Die klassische oder starke Lösung● ist in G zweimal stetig differenzierbar,● erfüllt in G die Helmholtz-Gleichung,● erfüllt die Randbedingungen.
10
∇ 2 P2
0 c2P=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-7
1.1.1 Schwache Formulierung
– Für viele technisch interessante Fälle gibt es keine Lösung, die in ganz G zweimal stetig differenzierbar ist.
– Für numerische Verfahren ist es vorteilhaft, wenn die Ste-tigkeitsanforderungen an die Lösung verringert werden können.
– Das kann durch partielle Integration erreicht werden, nach-dem die Helmholtz-Gleichung mit einer Testfunktion multi-pliziert wurde.
– Für jede Testfunktion gilt:P
∫G 10 P∇2 P
2
0c2P P dV=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-8
1.1.1 Schwache Formulierung
– Von der Testfunktion wird gefordert,● dass sie einmal differenzierbar ist und
● dass sie auf Sp null ist.
– Dann lässt sich das erste Integral partiell integrieren:
– Mit dem Integralsatz von Gauß folgt für das erste Integral auf der rechten Seite:
P
∫G
10
P∇2 P dV=∫G
10
∇⋅ P∇ P dV−∫G
10
∇ P⋅∇ P dV
∫G
10
∇⋅ P∇ P dV=∫S
10
P∇ P⋅ndS
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-9
1.1.1 Schwache Formulierung
– Damit gilt:
– Unter Berücksichtigung der Randbedingungen und auf S
p folgt
P=0
∫S
10
P∇ P⋅n dS=−i∫S vPV ndS∫
S a
A P P dS
∫S
10
P∇ P⋅n dS−∫G
10
∇ P⋅∇ P dV2∫G
P P
0c2dV=0
∫G
10
∇ P⋅∇ P dV−2∫G
P P
0c2dV=∫
S
10
P∇ P⋅n dS
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-10
1.1.1 Schwache Formulierung
– Damit ist gezeigt:
– Diese Gleichung wird als schwache Formulierung der Helmholtz-Gleichung bezeichnet.
∫G
10
∇ P⋅∇ P dVi∫S a
A P P dS−2∫G
P P
0 c2dV
=−i∫S v
PV ndS
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-11
1.1.1 Schwache Formulierung
– Die schwache Lösung● ist einmal differenzierbar,
● erfüllt die Randbedingung auf Sp ,
● erfüllt die schwache Formulierung für alle Testfunktionen, die stetig differenzierbar sind und auf S
p verschwinden.
– Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen können mit den Methoden der Funktionalanalysis untersucht werden.
– In der Mathematik wird gezeigt:● Wenn die schwache Lösung zweimal stetig differenzierbar ist,
dann stimmt sie mit der klassischen Lösung überein.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-12
1.1.2 Finite Elemente
● Geometrie:
– Das betrachtete Gebiet G wird durch die Vereinigung von fini-ten Elementen GE angenähert.
– Ein akustisches finites Element ist definiert durch
● seine Knotenpunkte,● Interpolationsfunktionen für
die Geometrie und● Interpolationsfunktionen für
den Schalldruck G≈∪EGE
GE
G
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-13
1.1.2 Finite Elemente
– Übliche räumliche finite Elemente sind Hexaeder, Penta-eder oder Tetraeder mit geraden oder gekrümmten Kanten:
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-14
1.1.2 Finite Elemente
– Die Geometrie wird durch Interpolation zwischen den Kno-ten des finiten Elements beschrieben:
– Die Interpolationsfunktionen haben jeweils an einem Knoten k den Wert eins und an allen anderen Knoten den Wert null.
– Die Matrix enthält die Koordinaten aller Knoten des fini-ten Elements.
x , ,=∑k
N k , , x k
y , ,=∑k
N k , , yk
z , ,=∑k
N k , , zk } [ x , , ]=[N E , , ] [ xE ]
[ xE ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-15
1.1.2 Finite Elemente
– Beispiel: Hexaeder mit geraden Kanten● Den Knoten des Hexaeders entsprechen die Parameterwerte
● Interpolationsfunktionen:
=±1,=±1,=±1
N 1 , ,=18
1− 1− 1−
N 2 , ,=18
1− 1 1−
N 3 , ,=18
1 1 1−
N 4 , ,=18
1 1− 1−
N 5 , ,=18
1− 1− 1
N 6 , ,=18
1− 1 1
N 7 , ,=18
1 1 1
N 8 , ,=18
1 1− 1
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-16
1.1.2 Finite Elemente
(-1, -1, -1) (-1, 1, -1)
(1, 1, -1)(1, -1, -1)
(-1, -1, 1) (-1, 1, 1)
(1, 1, 1)(1, -1, 1)
ξ
η
ζ
x
y
z
1
2
34
5
6
78
[NE(ξ, η, ζ)][xE]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-17
1.1.2 Finite Elemente
● Ansatzfunktionen für den Schalldruck:
– Der Schalldruck im Innern des Raumgebiets wird durch In-terpolation des Schalldrucks an den Knoten des Raumge-biets dargestellt:
– Die Matrix enthält die Werte des Schalldrucks an den Knoten des finiten Elements.
– Finite Elemente, bei denen die gleichen Interpolationsfunk-tionen für Geometrie und Schalldruck verwendet werden, heißen isoparametrische Elemente.
P , ,=[N E , , ] [P E ]
[ P E ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-18
1.1.2 Finite Elemente
– Ein finites Element muss einen konstanten Schalldruck in-nerhalb des Elements exakt beschreiben können.
– Bei isoparametrischen Elementen ist diese Bedingung er-füllt.
● Schwache Formulierung für ein finites Element:
– Für jedes finite Element gilt:
∫GE
10
∇ P⋅∇ P dV−2∫GE
P P
0c2dV
=−i∫S E
PV ndS Vn
Vn
Vn
SE
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-19
1.1.2 Finite Elemente
– Für den Schalldruck wird die Ansatzfunktion
verwendet.
– Damit kann die schwache Formulierung nicht mehr für jede Testfunktion erfüllt werden.
– Stattdessen wird gefordert, dass die schwache Formulie-rung für alle Testfunktionen
mit beliebigen Matrizen erfüllt ist.
– Dieses Verfahren wird als Bubnov-Galerkin-Verfahren be-zeichnet.
P , ,=[N E , , ] [P E ]
P
P , ,=[N E , , ] [ P E ]
[ P E ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-20
1.1.2 Finite Elemente
– Einsetzen in die schwache Formulierung ergibt:
– Damit diese Gleichung für beliebige erfüllt ist, muss gelten:
[ P E ]T
∫G E
10
[∇ N E ]T[∇ N E ]dV−
2∫GE
1
0c2[N E ]
T[N E ]dV [ P E ]
=−i [ P E ]T
∫S E
[N E ]TV ndS
[ P E ]
∫GE
10
[∇ N E ]T[∇ N E ]dV−
2∫G E
1
0c2[N E ]
T[N E ]dV [P E ]
=−i∫S E
[N E ]TV ndS
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-21
1.1.2 Finite Elemente
– Mit den Matrizen
und
folgt:
– Die Mobilitätsmatrix beschreibt die inverse Masse. Sie hängt mit der kinetischen akustischen Energie zusammen.
– Die Kompressibilitätsmatrix beschreibt die Kompressibi-lität. Sie hängt mit der potentiellen akustischen Energie zu-sammen.
[H E ]=∫G E
10
[∇ N E ]T[∇ N E ]dV
[QE ]=∫GE
1
0 c2[N E ]
T[N E ]dV
[H E ]−2 [QE ] [P E ]=−i∫S E
[N E ]TV ndS
[H E ]
[QE ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-22
1.1.2 Finite Elemente
– Mobilitätsmatrix und Kompressibilitätsmatrix sind beide reell und symmetrisch.
– Für die Randflächen eines finiten Elements können vier Fäl-le auftreten:
● Die Fläche ist Teil der Randfläche Sp, auf der der Schalldruck
vorgeschrieben ist.
● Die Fläche ist Teil der Randfläche Sv, auf der die Schallschnel-
le vorgeschrieben ist.
● Die Fläche ist Teil der absorbierenden Randfläche Sa.
● Die Fläche ist eine innere Fläche.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-23
1.1.2 Finite Elemente
– Schalldruck vorgegeben:● Auf dieser Fläche ist die Testfunktion null. Das entsprechende
Integral wird daher nicht benötigt.
– Schallschnelle vorgegeben:● Da die Schallschnelle bekannt ist, kann das Integral berech-
net werden:
– Absorbierende Fläche:
● Für das Integral gilt:
S jE=S p
E⊂S p
S jE=S v
E⊂S v
[G E ]=∫S vE
[N E ]TV n dS
S jE=S a
E⊂S a
∫S aE
[N E ]TV n dS=∫
SaE
A [N E ]T[N E ]dS [P E ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-24
1.1.2 Finite Elemente
● Mit der Absorptionsmatrix
gilt:
– Innere Fläche:
● Da die Schallschnelle nicht bekannt ist, kann das Integral nicht berechnet werden.
● Die Beiträge von zwei aufeinanderfallenden Flächen benach-barter Elemente heben sich jedoch gegenseitig auf, da der Normalenvektor jeweils aus dem Element zeigt.
[ AE ]=∫SaE
A [N E ]T[N E ]dS
∫SaE
[N E ]TV ndS=[ AE ] [P E ]
[G iE ]=∫
S iE
[N E ]TV ndS
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-25
1.1.2 Finite Elemente
● Berechnung der Element-Matrizen:
– Die Interpolationsfunktionen sind Funktionen der Parameter ξ, η und ζ.
– Für die Ableitungen nach den Koordinaten x, y und z gilt:
∂∂
=∂ x∂
∂∂ x
∂ y∂
∂∂ y
∂ z∂
∂∂ z
∂∂
=∂ x∂
∂∂ x
∂ y∂
∂∂ y
∂ z∂
∂∂ z
∂∂
=∂ x∂
∂∂ x
∂ y∂
∂∂ y
∂ z∂
∂∂ z
[∇ ]=[ J ] [∇ x ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-26
1.1.2 Finite Elemente
– Dabei ist
– Die Jacobi-Matrix kann aus den Interpolationsfunktionen und den Koordinaten der Knotenpunkte berechnet werden.
– Die inverse Beziehung lautet:
– Für das Volumenelement gilt:
[∇ ]=[∂∂∂∂∂∂
] , [∇ x ]=[∂∂ x∂∂ y∂∂ z
] , [ J ]=[∂ x∂
∂ y∂
∂ z∂
∂ x∂
∂ y∂
∂ z∂
∂ x∂
∂ y∂
∂ z∂
][∇ x ]=[J ]
−1[∇ ]
dV x=J dV mit J=det [ J ]
[ J ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-27
1.1.2 Finite Elemente
– Damit gilt für die Element-Matrizen:
– Die Integrale werden numerisch mit dem Verfahren der Gauß-Integration berechnet.
[H E ]=∫G E
10
[J ]−1 [∇ N
E ] T
[J ]−1 [∇ N
E ] J dV
[QE ]=∫GE
1
0 c2[N E ]
T[N E ] J dV
[GE ]=∫S vE
[N E ]TV n J S dS , [ AE ]=∫
S aE
A [N E ]T[N E ] J S dS
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-28
1.1.2 Finite Elemente
● Assemblierung:
– Da der Schalldruck stetig ist, hat der Schalldruck für alle Elementknoten, die auf denselben Gebietsknoten fallen, den gleichen Wert.
– Die Matrix mit den Werten des Schalldrucks an den Elementknoten kann für jedes Element aus der Matrix mit den Werten des Schalldrucks an den Gebietsknoten ex-trahiert werden:
– Die Zeilen der Matrix entsprechen den Elementknoten und die Spalten den Gebietsknoten.
[ P E ][P ]
[ P E ]=[aE ] [P ]
[a E ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-29
1.1.2 Finite Elemente
– Jede Zeile enthält eine Eins in der Spalte, die dem Gebiets-knoten entspricht, der mit dem betreffenden Elementknoten zusammenfällt.
– Alle anderen Elemente einer Zeile sind null.
– Da auch die Testfunktionen stetig sein müssen, gilt entspre-chend:
– Aus der schwachen Formulierung für das Element folgt:
[ P E ]=[aE ] [ P ]
[ P ]T [aE ]
T[H E ] [aE ]−
2 [aE ]T[QE ] [aE ] [P ]
=−i [ P ]T [aE ]
T[GE ][a E ]
T[ AE ] [a E ] [P ][aE ]
T
[G iE ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-30
1.1.2 Finite Elemente
– Damit diese Gleichung für beliebige erfüllt ist, muss gel-ten:
– Summation über alle Elemente ergibt:
[ P ]
[aE ]T[H E ] [aE ]−
2 [aE ]T[QE ] [a E ] [P ]
=−i [aE ]T[GE ][aE ]
T[ AE ] [aE ] [P ][aE ]
T
[G iE ]
∑E [aE ]T[H E ] [aE ]−2∑
E
[aE ]T[QE ] [aE ] [P ]
=−i∑E [a E ]T[GE ]∑
E
[aE ]T[ AE ] [aE ] [P ]∑
E
[a E ]T
[G iE ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-31
1.1.2 Finite Elemente
– Die Beiträge der inneren Flächen heben sich bei der Sum-mation auf, da jede Fläche genau zweimal mit entgegenge-setztem Normalenvektor auftritt:
– Mit den Gesamtmatrizen
folgt:
[H ]=∑E
[a E ]T[H E ] [aE ] , [Q ]=∑
E
[aE ]T[QE ] [a E ]
[ A ]=∑E
[aE ]T[ AE ] [aE ] , [G ]=∑
E
[aE ]T[GE ]
∑E
[aE ]T
[G iE ]= [0 ]
[H ]i [ A ]−2 [Q ] [P ]=−i [G ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-32
1.1.2 Finite Elemente
– Die Mobilitätsmatrix ist reell, symmetrisch und positiv semi-definit:
– Für ein räumlich konstantes Schallfeld gilt:
– Die Kompressibilitätsmatrix ist reell, symmetrisch und positiv definit:
– Die Absorptionsmatrix ist komplex und symmetrisch. Sie kann außerdem von der Kreisfrequenz ω abhängen.
[P ]T
[H ] [P ]≥0 für [P ]≠[0 ]
[ P 0 ] [H ] [P 0 ]=[0 ]
[H ]
[Q ]
[P ]T
[Q ] [P ]0 für [P ]≠[0 ]
[ A ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-33
1.1.3 Diskretisierungsregeln
● Geometrie:
– Hexaeder und Pentaeder liefern in der Regel bessere Er-gebnisse als Tetraeder.
– Große Unterschiede in den Kantenlängen eines Elements sind zu vermeiden.
– Spitze Winkel zwischen Elementkanten sind zu vermeiden.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-34
1.1.3 Diskretisierungsregeln
● Elementgröße:
– Die größte Kantenlänge Lmax
hängt von der Wellenlänge λ ab:
● Bei Verwendung von Elementen mit linearer Interpolation des Schalldrucks gilt:
● Bei Verwendung von Elementen mit quadratischer Interpolati-on des Schalldrucks gilt:
● Ausschlaggebend ist die Wellenlänge, die zum dreifachen Wert der höchsten Erregerfrequenz f
max gehört:
Lmax/6
Lmax/2
=c
3 f max
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-35
1.2 Außenraumprobleme
● Nahbereich und Außenbereich:
– Bei Außenraumproblemen ist das Gebiet, in dem das Schallfeld berechnet werden soll, unendlich.
– Es wird unterteilt in einen Nahbereich Gi und den unendli-
chen Außenbereich Ga.
– Die Grenzfläche SG zwischen Nahbereich und Außenbereich
muss konvex sein und alle Schallquellen einschließen.
– Der Nahbereich kann mit finiten Elementen diskretisiert werden.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-36
1.2 Außenraumprobleme
Sv
Gi
Ga
SG
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-37
1.2 Außenraumprobleme
– Im Außenbereich hat die Lösung der Helmholtz-Gleichung, die die Abstrahlbedingung von Sommerfeld erfüllt, die Dar-stellung
(Reihenentwicklung von Atkinson und Wilcox).
– Die Funktionen werden durch die Werte auf der Grenzfläche S
G festgelegt.
– Der Außenbereich wird mit halbunendlichen Elementen dis-kretisiert, die als semi-infinite Elemente bezeichnet werden.
P r , ,=e−i k r∑n=1
∞ Pn ,
r n
Pn ,
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-38
1.2 Außenraumprobleme
● Geometrie eines semi-infi-niten Elements:
– Die Geometrie eines se-mi-infiniten Elements wird festgelegt durch seine Basisfläche S
B und den
Pol P.
– Die Basisfläche ist Teil der Grenzfläche:
S B⊂SGP
1
23
4
SB
O
x3
xP
x3 - x
P
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-39
1.2 Außenraumprobleme
– Die Geometrie wird durch folgende Interpolation beschrie-ben:
– Dabei ist
● xP der Ortsvektor des Pols und
● xk der Ortsvektor eines Knotenpunkts.
– Die Summation erstreckt sich über alle Knotenpunkte der Basisfläche.
x , ,=xP∑k
N k , g xk−xP
−1≤≤1, −1≤≤1, 0≤≤1
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-40
1.2 Außenraumprobleme
– Die Funktionen sind die üblichen Interpolations-funktionen für 2-dimensionale finite Elemente.
– Für ein lineares Element mit 4 Knoten gilt z.B.
– Die Interpolationsfunktionen müssen die Bedingung
erfüllen.
N k ,
N 1 ,=14
1− 1− , N 2 ,=14
1 1−
N 3 ,=14
1 1 , N 4 ,=14
1− 1
∑k
N k ,=1
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-41
1.2 Außenraumprobleme
– Von der Funktion wird gefordert:
– Die einfachste Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, ist
– Die Punkte mit ζ = 0 liegen in der Basisfläche:
g
g −1=0, g 0=1, lim1
g =∞
g =1
1−
x , ,0=xP∑k
N k , xk−xP =∑k
N k , xk
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-42
1.2 Außenraumprobleme
– Für feste Werte von ξ und η ergeben sich Halbgeraden, die im Pol beginnen.
– Für den Abstand eines Punktes auf der Halbgerade vom Pol gilt:
– Dabei ist rB der Abstand zwischen dem Pol und dem Basis-
punkt, in dem die entsprechende Halbgerade die Basisflä-che schneidet.
– Es folgt:
r=∥x−xP∥=g ∥∑k
N k , xk−x P ∥=g r B
rr B=g =
1
1−,r Br=1−
1
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-43
1.2 Außenraumprobleme
P
BxB - x
P
1
2
3
4
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-44
1.2 Außenraumprobleme
● Interpolation des Schalldrucks:
– Nach der Reihenentwicklung von Atkinson und Wilcox gilt für den Verlauf des Schalldrucks in radialer Richtung
– Die unendliche Reihe wird durch eine endliche Summe ap-proximiert:
P r =e−i k r−r B ∑
n=1
∞
n , r Br n
P r ≈e−i k r−r B ∑
n=1
p
n , r Br n
=e−i k r−r B ∑
n=1
p
PBn , n r Br
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-45
1.2 Außenraumprobleme
– Die Funktionen sind Polynome vom Grad n, von de-nen gefordert wird:
– Dann gilt:
– Die Funktionen werden mithilfe der Interpolations-funktionen für die Basisfläche definiert:
– Mit lautet der Ansatz für den Schalldruck:
11=1, n1=0 für n1
PBn , =∑k
N k , Pkn
=k r−r B
P , ,=e−i∑n=1
p
∑k
N k , n1−
1 Pkn
n x
PBn ,
P r B=P B 1
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-46
1.2 Außenraumprobleme
– Aus den für die Polynome geforderten Eigenschaften folgt:
● Die Koeffizienten Pk1 geben den Schalldruck an den Knoten-
punkten der Basisfläche an.● Sie stimmen mit dem Schalldruck an den entsprechenden
Knotenpunkten der an die Basisfläche angeschlossenen fini-ten Elemente überein.
● Die übrigen Koeffizienten haben keine unmittelbare physikali-sche Bedeutung.
n x
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-47
1.2 Außenraumprobleme
– Die numerischen Eigenschaften der entstehenden Matrizen hängen entscheidend von einer geschickten Wahl der Poly-nome ab.
– Günstige Eigenschaften werden erzielt, wenn orthogonale Polynome (Legendre-Polynome, Jacobi-Polynome) gewählt werden.
● Schwache Formulierung für den Außenbereich:
– Zur Herleitung der schwachen Formulierung wird der Au-ßenbereich durch eine äußere Grenzfläche abgeschlossen, auf der die Abstrahlbedingung von Sommerfeld als Rand-bedingung angesetzt wird.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-48
1.2 Außenraumprobleme
– Anschließend wird der Grenzübergang betrachtet, dass die äußere Grenzfläche unendlich weit nach außen verschoben wird.
● Testfunktionen:
– Für semi-infinite Elemente werden in der Regel Testfunktio-nen gewählt, die nicht mit den für die Interpolation gewähl-ten Funktionen übereinstimmen.
– Diese allgemeineren Galerkin-Verfahren werden als Petrov-Galerkin-Verfahren bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-49
1.2 Außenraumprobleme
– Folgende Verfahren sind gebräuchlich:● Werden die Interpolationsfunktionen als Ansatzfunktionen
gewählt, ergeben sich komplexe frequenzabhängige Matri-zen, die symmetrisch sind (Bettess, Burnett).
● Werden die komplex konjugierten Ansatzfunktionen gewählt, ergeben sich komplexe unsymmetrische Matrizen, die nicht von der Frequenz abhängen.
● Besonders leistungsfähige Elemente ergeben sich, wenn als Ansatzfunktionen die durch r2 dividierten komplex konjugierten Ansatzfunktionen gewählt werden (Astley, Leis).
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-50
1.2 Außenraumprobleme
● Hinweise zur Modellierung:
– Damit die semi-infiniten Elemente den gesamten Außenbe-reich überlappungsfrei überdecken, muss die Grenzfläche zwischen Nahbereich und Außenbereich konvex sein, und alle Elemente müssen den gleichen Pol haben.
– Bei Schallabstrahlung in den Halbraum muss der Pol in der den Halbraum begrenzenden schallharten Ebene liegen
– Der Grad des Polynoms in radialer Richtung hängt ab
● vom Abstand der Grenzfläche SG zwischen Nahbereich und
Außenbereich vom abstrahlenden Körper● von der Richtungsabhängigkeit der Schallabstrahlung
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-51
1.2 Außenraumprobleme
– Der Grad des Polynoms muss umso höher sein,● je näher die Grenzfläche am abstrahlenden Körper ist, ● je komplizierter die Richtungsabhängigkeit der Schallabstrah-
lung ist.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-52
1.3 Analysen
● Die wichtigsten akustischen Analysen sind die Eigen-schwingungsanalyse und die Frequenzganganalyse.
● Die Eigenschwingungsanalyse ermittelt die akustischen Eigenschwingungen bei Innenraumproblemen.
● Die Frequenzganganalyse ermittelt Amplitude und Phase des Schalldrucks in Abhängigkeit von der Erregerfre-quenz.
● Mit den Ergebnissen der Frequenzganganalyse lässt sich das Leistungsdichtespektrum des Schalldrucks aus dem Leistungsdichtespektrum der Anregung ermitteln.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-53
1.3 Analysen
● Eigenschwingungsanalyse:
– Wenn keine Anregung und keine Absorption vorhanden sind, lautet das diskrete Gleichungssystem für das Innen-raumproblem
– Die Matrizen und sind symmetrisch. Matrix ist po-sitiv semi-definit und Matrix positiv definit.
– Daraus folgt:● Es gibt genau n positive Eigenwerte , für die nichttriviale
Lösungen des Gleichungssystems existieren. Dabei ist n die Dimension des Gleichungssystems.
[H ]−2 [Q ] [P ]=[0 ]
2
[H ] [Q ] [H ][Q ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-54
1.3 Analysen
● Die zugehörigen Frequenzen sind die Resonanz-frequenzen.
● Zu jedem Eigenwert gibt es einen reellen Eigenvektor :
● Für die Eigenvektoren gilt:
● Die Eigenvektoren können bezüglich der Kompressibilitätsma-trix normiert werden:
● Dann gilt:
f = /2
[ x ][H ] [ x ]=
2 [Q ] [ x ]
[ x ]T
[H ] [ x ]=0, [ x ]T
[Q ] [ x ]=0 für ≠
[ x ]T
[Q ] [ x ]=1
[ x ]T
[H ] [ x ]=2
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1.3 Analysen
● Jedes diskrete Schalldruckfeld lässt sich als Überlagerung der Eigenvektoren darstellen:
● Die im Allgemeinen komplexen Koeffizienten qν werden als
modale Koordinaten bezeichnet.
– Wenn der Wert des Schalldrucks an keiner Stelle des Ran-des zu null gesetzt ist, dann gibt es einen Eigenwert .
– Der zugehörige Eigenvektor beschreibt ein im gesamten Gebiet konstantes Schalldruckfeld.
[P ]=∑=1
n
q [ x ]
02=0
[P ]
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1.3 Analysen
– Zur Lösung des Eigenwertproblems können dieselben Me-thoden eingesetzt werden, wie sie für die Berechnung der Eigenschwingungen von Strukturen verwendet werden.
– Die wichtigsten Methoden sind das Verfahren von Lanczos und die Unterraumiteration.
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1.3 Analysen
● Frequenzganganalyse:
– Es wird zwischen der direkten und der modalen Frequenz-ganganalyse unterschieden.
– Bei der direkten Frequenzganganalyse wird das Glei-chungssystem
für jede vorgegebene Erregerfrequenz ω gelöst.
– Bei der modalen Frequenzganganalyse wird das Schallfeld als Überlagerung der Eigenvektoren dargestellt:
[P ]=∑=1
n
q [ x ]
[H ]i [ A ]−2 [Q ] [P ]=−i [G ]
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1.3 Analysen
– In der Regel werden dabei nicht alle Eigenvektoren ver-wendet, sondern nur die m Eigenvektoren, die zu den nied-rigsten Resonanzfrequenzen gehören:
mit
[P ]≈ [Pm ]=∑=1
m
q [ x ]=[ X m ] [q ]
[ X m ]=[ [ x1 ] [ x2 ] [ xm ] ] und [q ]=[q1q2⋮qm
]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-59
1.3 Analysen
– Dieses Verfahren wird als modale Reduktion bezeichnet. Dabei ist in der Regel .
– Einsetzen des Ansatzes für den Schalldruck und Multiplika-tion des entstehenden Gleichungssystems mit ergibt
– Aus den Eigenschaften der Eigenvektoren folgt
mit
[ X m ]T
[ X m ]T [H ]i [ A ]−
2 [Q ] [ X m ] [q ]=−i [ X m ]T
[G ]
[2 ]−2 [ I ]i [ X m ]
T[ A ] [ X m ] [q ]=−i [ X m ]
T[G ]
[ ]=[1 0⋮ ⋱ ⋮0 m
]
m≪n
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1.3 Analysen
– Ohne Absorption ist die Matrix dieses Gleichungssystems eine Diagonalmatrix.
– Die so genannte Ausbreitungsdämpfung des Schalls infolge von Wärmeleitung und Viskosität der Luft kann bei der mo-dalen Frequenzganganalyse durch ein Lehrsches Dämp-fungsmaß von ca. 1‰ beschrieben werden.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-61
1.4 Bewertung
● Die Methode der Finiten Elemente stößt wie jedes andere numerische Verfahren an Grenzen, wenn die Erregerfre-quenz zu groß wird.
● Ausschlaggebend dafür ist das Verhältnis der kleinsten Wellenlänge zur größten Abmessung des betrachteten Gebiets.
● Die Grenzen resultieren aus der Modellgröße sowie der Reproduzierbarkeit der Ergebnisse.
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1.4 Bewertung
● Modellgröße:
– Pro Wellenlänge sollten mindestens 6 lineare oder 2 qua-dratische Elemente verwendet werden.
– Die Anzahl der benötigten Elemente NE lässt sich abschät-
zen durch
– Dabei ist V das Volumen des betrachteten Gebiets und
das Volumen eines typischen finiten Elements mit der Kan-tenlänge L
E.
N E=VV E
V E≈LE3
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1.4 Bewertung
– Mit folgt● bei Verwendung von linearen Elementen:
● bei Verwendung von quadratischen Elementen:
– Dabei ist die höchste Erregerfrequenz.
=c / f
N E≈63V 3 f maxc
3
=5832V f maxc 3
N E≈23V 3 f maxc
3
=215V f maxc 3
f max
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1.4 Bewertung
● Reproduzierbarkeit:
– Mit zunehmender Erregerfrequenz nimmt die Anzahl der Resonanzfrequenzen in der Umgebung der Erregerfre-quenz stark zu.
– Das hat zur Folge, dass die Antwort sehr stark von kleinen Ungenauigkeiten in den Daten abhängt.
– Bei hochfrequenter Anregung sind daher nur statistische Aussagen sinnvoll.
– Statistische Vorhersagen lassen sich zum Beispiel mit der Statistical Energy Analysis (SEA) machen.