Zahlen und Maße
Darum geht’s in diesem Kapitel:Vom Mikrochip bis zur Raumstation – ohne Mathematik wäre die moderne Technik undenkbar. Man bezeichnet die Mathematik oft als „Wissenschaft von Zahl und Raum“. Im täglichen Leben haben wir ständig mit Zahlen zu tun. Größen wie Strecken und Flächen können mit Zahlen und Maßeinheiten beschrieben werden.
Das lernst du in den folgenden Lerneinheiten:1 Grundrechnungsarten und Zahlenmengen2 Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und
Gleitkommadarstellung3 Prozent- und Promillerechnung
Hoch hinausDie Raumstation ISS (Interna-tional Space Station) umkreist die Erde in einer Höhe von ca. 400 km. In welche anderen Maßeinheiten kann man diese Zahl umwandeln?1
Angewandte Mathematik I 1
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Zahlen und
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Darum geht’s in diesem Kapitel:Vom Mikrochip bis zur Raumstation – ohne Mathematik
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Vom Mikrochip bis zur Raumstation – ohne Mathematik wäre die moderne Technik undenkbar. Man bezeichnet Le
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wäre die moderne Technik undenkbar. Man bezeichnet die Mathematik oft als „Wissenschaft von Zahl und Le
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die Mathematik oft als „Wissenschaft von Zahl und Raum“. Im täglichen Leben haben wir ständig mit Zahlen Le
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1 Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
Die ganze Mathematik baut auf einigen einfachen Grundregeln auf. Die Grundrechnungsarten hast du schon in der Volksschule gelernt. Hier findest du einige Regeln, die dir vielleicht selbstver-ständlich erscheinen, und Symbole, mit denen mathematische Aussagen einfacher dargestellt werden können.
A 1.1 ★ Einfache Rechnungen D
Erkläre, welche Rechenarten und welche Arten von Zahlen du brauchst, um die folgenden Aufgaben zu lösen.a) Eine Packung Eier enthält 6 Stück. Wie viele Eier enthalten 5 Packungen?b) An einem Winterabend beträgt die Temperatur 2 °C, in der Nacht wird es um
5 Grad kälter. Wie hoch war die Temperatur in der Früh?c) 12 Bonbons sollen gerecht auf 4 Kinder aufgeteilt werden. Wie viele bekommt jedes?d) 3 Pizzen werden gleichmäßig auf 5 Personen aufgeteilt. Wie viel bekommt jede?
GrundrechnungsartenWir wiederholen zuerst einige Grundbegriffe.
Bezeichnungen bei den GrundrechnungsartenMan unterscheidet verschiedene Rechenstufen:
Rechenarten erster Stufe:
■ Addition: Summand + Summand = Summe
■ Subtraktion: Minuend – Subtrahend = Differenz Umkehrung der Addition
GrundrechnungsartenDie vier Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie die grundlegenden Rechengesetze in den Zahlenmengen sind die Basis für viele Anwendungen der Mathematik.
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2 Angewandte Mathematik I
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Grundrechnungsarten
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Grundrechnungsarten Zahlenmengen
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ZahlenmengenDie ganze Mathematik baut auf einigen einfachen Grundregeln
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Die ganze Mathematik baut auf einigen einfachen Grundregeln auf. Die Grundrechnungsarten hast du schon in der Volksschule
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auf. Die Grundrechnungsarten hast du schon in der Volksschule gelernt. Hier findest du einige Regeln, die dir vielleicht selbstver
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gelernt. Hier findest du einige Regeln, die dir vielleicht selbstverständlich erscheinen, und Symbole, mit denen Le
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ständlich erscheinen, und Symbole, mit denen Aussagen einfacher dargestellt werden können.Le
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Aussagen einfacher dargestellt werden können.
Einfache Rechnungen Leseprobe
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DLeseprobe
D
Erkläre, welche Rechenarten und welche Arten von Zahlen du brauchst, Leseprobe
Erkläre, welche Rechenarten und welche Arten von Zahlen du brauchst,
Rechenarten zweiter Stufe:
■ Multiplikation: Faktor · Faktor = Produkt wiederholte Addition derselben Zahl (z. B.: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 · 4)
■ Division: Dividend : Divisor = Quotient Umkehrung der Multiplikation
Rechenart dritter Stufe:
■ Potenzieren: Basis PotenzExponent = wiederholte Multiplikation derselben Zahl (z. B. 2 2 2 23$ $ = )
Reihenfolge der RechenoperationenEs ist wichtig, die Reihenfolge der Rechenoperationen zu beachten.
Reihenfolge der Rechenoperationen
Rechenarten höherer Stufe werden zuerst ausgeführt!(Potenzen vor Punktrechnung vor Strichrechnung)
Ausnahme: Ausdrücke, die in einer Klammer stehen, werden zuerst berechnet.
L 1.1 Verschiedene Ergebnisse durch Klammern B
Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Rechnungen:a) ·4 5 32+ = b) ·4 5 32+ =_ i c) ·4 5 3 2+ =_ i d) ·4 5 3 2+ =_ iLösung:a) · ·4 5 3 4 5 9 4 45 492+ = + = + =b) · · ·4 5 3 9 3 9 9 812 2+ = = =_ ic) ·4 5 3 4 15 4 225 2292 2+ = + = + =_ id) ·4 5 3 4 15 19 3612 2 2+ = + = =_ _i i
Grundlegende RechengesetzeIn der Mathematik muss man jeden Lehrsatz beweisen, das heißt auf schon bewiesene Sätze zurückführen. Irgendwo muss man aber anfangen. Einen Satz, der nicht mehr weiter bewiesen werden muss oder kann, bezeichnet man als Axiom.
Axiome für das Rechnen mit Zahlen: Die folgenden Grundregeln sind mithilfe von Variablen aufgeschrieben und gelten in allen Zahlenbereichen.
Kommutativgesetz der Addition
a + b = b + a
Assoziativgesetz der Addition
a + (b + c) = (a + b) + c
Kommutativgesetz der Multiplikation
a · b = b · a
Assoziativgesetz der Multiplikation
a · (b · c) = (a · b) · c
Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · ca · (b – c) = a · b – a · c
MalpunktDer Malpunkt kann vor einem Buchstaben oder einer Klammer auch weggelassen werden; 2a bedeutet dasselbe wie 2 · a, a · (b + c) dasselbe wie a(b + c).
Exponent = HochzahlDen Exponenten bezeichnet man auch als Hochzahl.
Punkt vor StrichDie Punktrechnung stellt eine stärkere Verbindung als die Strichrechnung dar. Als Eselsbrücke kannst du dir merken, dass ein Punkt Superkleber viel fester als ein Strich mit einem Klebestick hält.
VariableUm allgemeine Zusammen-hänge auszudrücken, verwen-det man Variablen. Das sind meist Buchstaben, die für eine beliebige Zahl stehen können.
Angewandte Mathematik I 3
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
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Leseprobe Ausdrücke, die in einer Klammer stehen, werden zuerst berechnet.
Leseprobe Ausdrücke, die in einer Klammer stehen, werden zuerst berechnet.
Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Rechnungen:
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Vergleiche die Ergebnisse der folgenden Rechnungen:4 5
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4 5 3
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3 2
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2+ =
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+ =·+ =·
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·+ =·4 5+ =4 5
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4 5+ =4 5 3+ =3
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3+ =3 2+ =2
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2+ =24 5+ =4 5
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4 5+ =4 5_
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_4 5_4 5
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4 5_4 5_
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_4 5_4 5
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4 5_4 54 5+ =4 5_4 5+ =4 5
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4 5+ =4 5_4 5+ =4 5 i
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i+ =i+ =
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+ =i+ =
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d)
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d) 4 5
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4 54 5+ =4 5
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4 5+ =4 5_
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_
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15 4 225 229
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15 4 225 22915 4 225 229+ =15 4 225 229
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15 4 225 229+ =15 4 225 22915 19 361
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215 19 361215 19 361
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15 19 361215 19 36115 19 361=15 19 361
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Grundlegende RechengesetzeLeseprobe
Grundlegende RechengesetzeIn der Mathematik muss man jeden Lehrsatz beweisen, das heißt auf schon Le
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In der Mathematik muss man jeden Lehrsatz beweisen, das heißt auf schon bewiesene Sätze zurückführen. Irgendwo muss man aber anfangen. Einen
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bewiesene Sätze zurückführen. Irgendwo muss man aber anfangen. Einen
A 1.2 ★ Rechengesetze erklären C D
a) Erkläre in Worten, was die Rechengesetze aussagen.b) Gib zu jedem Rechengesetz ein Beispiel mit beliebigen Zahlen an.c) Zeige anhand von je einem Gegenbeispiel, dass die folgenden „Rechengesetze“
nicht gelten:• Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Subtraktion• Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Division• Kommutativgesetz und Assoziativgesetz beim Potenzieren
A 1.3 ★ Reihenfolge der Rechenoperationen B
Berechne die angegebenen Terme.a) 5 · 12 + 4 · 25 =
(5 · 12 + 4) · 25 =5 · (12 + 4) · 25 =5 · (12 + 4 · 25) =
b) 240 : 20 – 5 · 2 =240 : (20 – 5) · 2 =240 : (20 – 5 · 2) =(240 : 20 – 5) · 2 =
c) 20 · 8 + 32 : 16 – 12 · 5 =20 · (8 + 32) : (16 – 12) · 5 =20 · (8 + 32 : 16) – 12 · 5 =(20 · 8 + 32) : (16 – 12) · 5 =20 · [8 + 32 : (16 – 12)] · 5 =[(20 · 8 + 32) : 16 – 12] · 5 =
Mathematische SymboleAußer den bekannten Rechenzeichen (+, –, = …) verwendet man in der Mathematik auch Zeichen aus der Logik und der Mengenlehre.
Symbole für mathematische RelationenZwei Zahlen können gleich oder ungleich sein. Für die verschiedenen Möglichkeiten (kleiner, größer …) gibt es Symbole.
Symbole für Beziehungen zwischen Zahlen: Beziehungen bezeichnet man auch als Relationen.
a = b a ist gleich ba!b a ist ungleich ba b a ist ungefähr gleich b (rund)a | b a ist ein Teiler von b
a b a ist kleiner als ba b a ist kleiner als oder gleich b (höchstens)a b a ist größer als ba b a ist größer als oder gleich b (mindestens)
Es gibt auch noch weitere Relationszeichen zwischen Zahlen, z. B.:a % b a ist sehr viel kleiner als ba ∼ b a ist proportional zu b
A 1.4 ★ Unnötige Zeichen D
Erkläre, warum man kein Zeichen für „a ist nicht kleiner als b“ und „a ist nicht größer als b“ braucht.
a · (b + c + d) = a · b + a · c + a · d
DistributivgesetzBeim Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken mit mehr als zwei Summanden wendet man ebenfalls das Distributivgesetz an.
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4 Angewandte Mathematik I
Leseprobe[(20 · 8 + 32) : 16 – 12] · 5 =
Leseprobe[(20 · 8 + 32) : 16 – 12] · 5 =
Mathematische Symbole
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Mathematische SymboleAußer den bekannten Rechenzeichen (+, –, = …) verwendet man in der
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Außer den bekannten Rechenzeichen (+, –, = …) verwendet man in der Mathematik auch Zeichen aus der Logik und der Mengenlehre.
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Mathematik auch Zeichen aus der Logik und der Mengenlehre.
Symbole für mathematische
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Symbole für mathematische Relationen
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RelationenZwei Zahlen können gleich oder ungleich sein. Für die verschiedenen
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Zwei Zahlen können gleich oder ungleich sein. Für die verschiedenen Möglichkeiten (kleiner, größer …) gibt es Symbole.
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Möglichkeiten (kleiner, größer …) gibt es Symbole.
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Symbole für Beziehungen zwischen Zahlen:Leseprobe
Symbole für Beziehungen zwischen Zahlen:
Symbole aus der mathematischen LogikIn der mathematischen Logik geht es um Beziehungen zwischen Aussagen. Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Wahre Aussagen: „Der Jänner hat 31 Tage.“, „3 < 5“ …
Falsche Aussagen: „2015 ist ein Schaltjahr.“, „1 = 2“ …
Keine Aussagen: „Guten Morgen!“, „Wie geht es dir?“ …
Aussageformen: „a < 7“, „x = 2y“ …
Eine Aussageform wird zu einer wahren oder falschen Aussage, wenn man für die Variablen Zahlen einsetzt.
Symbole für Verknüpfungen von Aussagen: Aussagen können miteinander verknüpft werden.
¬A nicht A (ist wahr, wenn A falsch ist)A B A und B (ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind)A B A oder B (ist wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind)A B wenn A, dann B; aus A folgt B (ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist)A B genau dann A, wenn B; A ist äquivalent zu B (ist wahr, wenn A und B beide wahr oder beide
falsch sind) x für alle x gilt … x es gibt ein x, sodass … x es gibt kein x, sodass …
Verknüpfungen von Aussagen können durch Wahrheitswerttabellen verdeut-licht werden.
A 1.5 ★ Wer kommt zur Party? A
Alina, Bernhard und Christine sind zu einer Party eingeladen. Schreibe A für „Alina kommt.“, B für „Bernhard kommt.“ und C für „Christine kommt.“ und übertrage die folgenden Aussagen mittels logischer Symbole in mathematische Schreibweise.a) Bernhard kommt mit Alina oder mit Christine auf die Party.b) Wenn Alina kommt, kommt Bernhard auch.c) Wenn Christine kommt, kommt Alina nicht.
A 1.6 ★ Wahr oder falsch? C
Kreuze bei den folgenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch sind:a) 10 < 10 w. A. f. A.b) 10 ⩽ 10 w. A. f. A.c) ¬(2 + 2 = 5) w. A. f. A.d) (3 < 4) ∧ (3 < –4) w. A. f. A.e) (3 < 4) ∨ (3 < –4) w. A. f. A.f) (x = 3) ⇒ (x2 = 9) w. A. f. A.g) (x = 3) ⇔ (x2 = 9) w. A. f. A.
A 1.7 ★★ Umkehrung einer „wenn – dann“-Aussage D
Erkläre anhand eines Beispiels, warum man aus der Aussage „Wenn A, dann B“ nicht folgern kann „Wenn nicht A, dann nicht B“. Gib die richtige Umkehrung an.
w. A.wahre Aussagef. A.falsche Aussage
LINKWahrheitswerttabellenVertiefender Inhalt zu Wahrheitswerttabellen und zugehöriges Lehrbeispiel L 1.2
LINKBoole’sche OperatorenVertiefender Inhalt
Angewandte Mathematik I 5
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
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Leseprobeist wahr, wenn A falsch ist)
Leseprobeist wahr, wenn A falsch ist)
ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind)
Leseprobeist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind)
ist wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind)
Leseprobeist wahr, wenn A oder B oder beide wahr sind)
ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist)
Leseprobeist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist)
(
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(ist wahr, wenn A und B beide wahr oder beide
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ist wahr, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind)
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falsch sind)
Verknüpfungen von Aussagen können durch
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Verknüpfungen von Aussagen können durch Wahrheitswerttabellen
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Wahrheitswerttabellen
Wer kommt zur Party?
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Wer kommt zur Party?
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A
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A
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Alina, Bernhard und Christine sind zu einer Party eingeladen. Schreibe A für „Alina Leseprobe
Alina, Bernhard und Christine sind zu einer Party eingeladen. Schreibe A für „Alina kommt.“, B für „Bernhard kommt.“ und C für „Christine kommt.“ und übertrage die Le
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kommt.“, B für „Bernhard kommt.“ und C für „Christine kommt.“ und übertrage die folgenden Aussagen mittels logischer Symbole in mathematische Schreibweise.Le
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folgenden Aussagen mittels logischer Symbole in mathematische Schreibweise.ernhard kommt mit Alina oder mit Christine auf die Party.Le
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ernhard kommt mit Alina oder mit Christine auf die Party.
Symbole aus der MengenlehreEine Menge im mathematischen Sinn ist eine Zusammenfassung von Objek-ten (Gegenstände, Zahlen, Punkte …), den Elementen der Menge. Wenn man die Elemente einer Menge aufzählt, schreibt man sie in geschwungene Klammern; dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an.
Eine Menge, die keine Elemente besitzt, heißt leere Menge. Man schreibt: { } oder ∅.
Symbole aus der Mengenlehre
x A x ist ein Element von A.x A x ist kein Element von A.A B A ist eine Teilmenge von B. (Jedes Element von A ist auch in B enthalten.)A B A ist eine echte Teilmenge von B. (A ist Teilmenge von B, es gibt aber auch
Elemente von B, die nicht in A enthalten sind.)A B A ist keine Teilmenge von B.A B Durchschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A
als auch in B enthalten sind)A B Vereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder
beiden enthalten sind)A \ B Di³erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten
sind)
GA Komplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)
andere Schreibweise: A'A B Produktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in
A und deren zweites Element in B enthalten ist)
L 1.3 Elemente und Teilmengen C
Es sind folgende Mengen gegeben:G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {2, 4, 6, 8, 10}B = {2, 3, 5, 7}Setze die passenden Zeichen ein:a) 3 G 3 A 3 Bb) A G B G A B
Lösung:a) 3 ∈ G 3 ∉ A 3 ∈ B (Links steht eine Zahl, rechts der Name einer Menge – es kann also
„ Element“ oder „nicht Element“ eingesetzt werden.)b) A ⊆ G (oder A ⊂ G) B ⊆ G (oder B ⊂ G) A ⊈ B
(Links und rechts stehen Namen von Mengen – es kann also „Teilmenge“ oder „keine Teilmenge“ eingesetzt werden.)
MengeIn der Umgangssprache ist „eine Menge“ gleichbedeu-tend mit „viel“; in der Mathe-matik kann eine Menge auch wenige oder gar keine Elemente besitzen.
LINK
(Links und rechts stehen Namen von Mengen – es kann also „Teilmenge“
Warum ist überall nichts drin?Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
6 Angewandte Mathematik I
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Leseprobechschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A
Leseprobechschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A
ereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder
Leseprobeereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder
erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten
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erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten
omplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente
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omplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)
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von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)
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von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)
oduktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in
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oduktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in A und deren zweites Element in B enthalten ist)
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A und deren zweites Element in B enthalten ist)
Elemente und Teilmengen
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Elemente und Teilmengen
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C
Es sind folgende Mengen gegeben:Leseprobe
Es sind folgende Mengen gegeben:G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Le
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G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Symbole aus der MengenlehreEine Menge im mathematischen Sinn ist eine Zusammenfassung von Objek-ten (Gegenstände, Zahlen, Punkte …), den Elementen der Menge. Wenn man die Elemente einer Menge aufzählt, schreibt man sie in geschwungene Klammern; dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an.
Eine Menge, die keine Elemente besitzt, heißt leere Menge. Man schreibt: { } oder ∅.
Symbole aus der Mengenlehre
x A x ist ein Element von A.x A x ist kein Element von A.A B A ist eine Teilmenge von B. (Jedes Element von A ist auch in B enthalten.)A B A ist eine echte Teilmenge von B. (A ist Teilmenge von B, es gibt aber auch
Elemente von B, die nicht in A enthalten sind.)A B A ist keine Teilmenge von B.A B Durchschnittsmenge, A geschnitten mit B (alle Elemente, die sowohl in A
als auch in B enthalten sind)A B Vereinigungsmenge, A vereinigt mit B (alle Elemente, die in A oder B oder
beiden enthalten sind)A \ B Di³erenzmenge, A ohne B (alle Elemente von A, die nicht in B enthalten
sind)
GA Komplementärmenge von A bezüglich der Grundmenge G (alle Elemente von G, die nicht in A enthalten sind, wobei A eine Teilmenge von G ist)
andere Schreibweise: A'A B Produktmenge, A kreuz B (alle geordneten Paare, deren erstes Element in
A und deren zweites Element in B enthalten ist)
L 1.3 Elemente und Teilmengen C
Es sind folgende Mengen gegeben:G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {2, 4, 6, 8, 10}B = {2, 3, 5, 7}Setze die passenden Zeichen ein:a) 3 G 3 A 3 Bb) A G B G A B
Lösung:a) 3 ∈ G 3 ∉ A 3 ∈ B (Links steht eine Zahl, rechts der Name einer Menge – es kann also
„ Element“ oder „nicht Element“ eingesetzt werden.)b) A ⊆ G (oder A ⊂ G) B ⊆ G (oder B ⊂ G) A ⊈ B
(Links und rechts stehen Namen von Mengen – es kann also „Teilmenge“ oder „keine Teilmenge“ eingesetzt werden.)
MengeIn der Umgangssprache ist „eine Menge“ gleichbedeu-tend mit „viel“; in der Mathe-matik kann eine Menge auch wenige oder gar keine Elemente besitzen.
LINKWarum ist überall nichts drin?Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
L 1.4 Verknüpfungen von Mengen B
Bilde mit den Mengen aus Lehrbeispiel L 1.3:a) A ⋂ B b) A ⋃ B c) A \ B d) AGNLösung:a) A ⋂ B = {2}b) A ⋃ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
c) A \ B = {4, 6, 8, 10}d) AGN = {1, 3, 5, 7, 9}
Eine Menge kann angegeben werden,
■ indem man ihre Elemente aufzählt (aufzählendes Verfahren), z. B. M = {1, 2, 3, 4, 5},
■ indem man beschreibt, welche Elemente zur Menge gehören (beschreibendes Verfahren), z. B. M = {x ∈ G | x ⩽ 5}, sprich: „Menge aller Elemente x von G, für die gilt: x ist kleiner oder gleich 5“ (G ist die Menge aus Lehrbeispiel L 1.3).
A 1.8 ★ Mengen beschreiben A C
Es seien:A: die Menge aller Angestellten einer FirmaM: die Menge aller männlichen AngestelltenF: die Menge aller weiblichen AngestelltenS: die Menge aller Angestellten, die Sport betreibenInterpretiere die Bedeutung der folgenden Mengen. Übertrage diese in die „Alltagssprache“.a) M ⋂ S b) M ⋃ S c) F \ S d) M ⋂ F e) M ⋃ F
A 1.9 ★ Geometrie und Mengenlehre A
Übersetze in Mengenschreibweise:a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt A.b) Die Gerade g und der Kreis k schneiden einander in den Punkten B und C.c) Die Gerade h und der Kreis k haben keine gemeinsamen Punkte.d) Die Menge g′ besteht aus allen Punkten der Geraden g außer A.
Abb. 1.1.1
k
C
B
A
h
g
A 1.10 ★ Verknüpfungen von Mengen B
Es sind folgende Mengen gegeben:M = {a, e, i, o, u} N = {a, b, c, d, e, f} P = {u, v, w}
Bilde die folgenden Verknüpfungen:a) M ⋂ Nb) M ⋂ P
c) N ⋂ Pd) M ⋃ N
e) M ⋃ Pf) M \ N
g) N \ Mh) P \ N
LINKWie viele Teilmengen hat eine Menge?Eine Packung Twax mit 2 Riegeln hat 4 Teilmengen.
Angewandte Mathematik I 7
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
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Interpretiere die Bedeutung der folgenden Mengen. Übertrage diese in die
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Interpretiere die Bedeutung der folgenden Mengen. Übertrage diese in die
d
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d)
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) M
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M ⋂
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⋂ F
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F e)
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e)
Geometrie und Mengenlehre
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Geometrie und Mengenlehre
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A
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A
Übersetze in Mengenschreibweise:
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Übersetze in Mengenschreibweise:ie Geraden g und h schneiden einander im Punkt A.
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ie Geraden g und h schneiden einander im Punkt A.ie Gerade g und der Kreis k schneiden einander in den Punkten B und C.
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ie Gerade g und der Kreis k schneiden einander in den Punkten B und C.ie Gerade h und der Kreis k haben keine gemeinsamen Punkte.
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ie Gerade h und der Kreis k haben keine gemeinsamen Punkte.
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ie Menge g′ besteht aus allen Punkten der Geraden g außer A.Leseprobe
ie Menge g′ besteht aus allen Punkten der Geraden g außer A.Leseprobe
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A
ZahlenmengenEinige Zahlenmengen sind so wichtig, dass man ihnen eigene Namen gegeben hat.
Natürliche Zahlen
Menge der natürlichen Zahlen
, , , , , ,0 1 2 3 4 5 …N = # -
Axiome für natürliche Zahlen
• Null ist eine natürliche Zahl.• Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n + 1 als Nachfolger.• Null ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl.
Die natürlichen Zahlen haben einen Anfang, aber kein Ende. Man kann sie auf dem Zahlenstrahl veranschaulichen:
Abb. 1.1.2 Die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl
Man kann die Menge der natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen einteilen:ℕg = {0, 2, 4, 6, 8, …}: gerade natürliche Zahlen
ℕu = {1, 3, 5, 7, 9, …}: ungerade natürliche Zahlen
A 1.11 ★ Rechnen mit natürlichen Zahlen D
Prüfe, ob man eine natürliche Zahl erhält, wenn man zwei beliebige natürliche Zahlena) addiert. b) subtrahiert. c) multipliziert. d) dividiert.Begründe jeweils deine Entscheidung!
Ganze ZahlenWenn man zu den natürlichen Zahlen noch die negativen (ganzen) Zahlen dazu nimmt, erhält man die Menge der ganzen Zahlen.
Menge der ganzen Zahlen
ℤ = {… –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, …}
Eine ganze Zahl ist durch ihren Betrag (der immer positiv ist) und ihr Vorzei-chen festgelegt. Für den Betrag einer Zahl a schreibt man | a | :
| +3 | = | –3 | = 3
Die ganzen Zahlen kann man auf der Zahlengeraden anschaulich darstellen, entweder als Punkte oder als Pfeile: Ein nach rechts gerichteter Pfeil bedeutet eine positive Zahl, ein nach links gerichteter eine negative. (Die natürlichen Zahlen liegen auf dem positiven Zahlenstrahl, das heißt auf dem Teil der Zahlengeraden rechts von 0.)
Zwei Zahlen werden addiert, indem man die entsprechenden Pfeile aneinan-derhängt.
3 LINK
Ist 0 eine natürliche Zahl?Da sind sich nicht einmal die Mathematiker/innen einig.
8 Angewandte Mathematik I
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Man kann die Menge der natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen
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Man kann die Menge der natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen
= {0, 2, 4, 6, 8, …}: gerade natürliche Zahlen
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= {0, 2, 4, 6, 8, …}: gerade natürliche Zahlen
= {1, 3, 5, 7, 9, …}: ungerade natürliche Zahlen
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= {1, 3, 5, 7, 9, …}: ungerade natürliche Zahlen
Rechnen mit natürlichen Zahlen
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Rechnen mit natürlichen Zahlen
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D
Prüfe, ob man eine natürliche Zahl erhält, wenn man zwei beliebige natürliche
Leseprobe
Prüfe, ob man eine natürliche Zahl erhält, wenn man zwei beliebige natürliche
b) Leseprobe
b) subtrahiert. Leseprobe
subtrahiert. c)Leseprobe
c) multipliziert.Leseprobe
multipliziert.Begründe jeweils deine Entscheidung!Le
seprobe
Begründe jeweils deine Entscheidung!
L 1.5 Addition auf der Zahlengeraden B
Addiere –3 und +5 grafisch.Lösung:Zeichne einen Pfeil von 0 bis –3. Von seiner Spitze aus zeichne einen Pfeil, der 5 Ein-heiten nach rechts geht. Er endet bei +2, das ist das Ergebnis der Addition:(–3) + (+5) = +2
Meist lässt man die Klammern weg und schreibt:–3 + 5 = 2
Abb. 1.1.3 Grafische Darstellung der Addition (–3) + (+5) = +2
A 1.12 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen D
Prüfe, ob man eine ganze Zahl erhält, wenn man zwei beliebige ganze Zahlena) addiert. b) subtrahiert. c) multipliziert. d) dividiert.Begründe jeweils deine Entscheidung!
Negative Zahlen auf dem TI-8xZum Eingeben einer negativen Zahl musst du die Negationstaste (-) verwen-den („Vorzeichen-Minus“). Es ist günstig, negative Zahlen in Klammern zu setzen. Beim Potenzieren sind die Klammern unbedingt nötig!
Abb. 1.1.4
A 1.13 ★ Klammer oder nicht? D
Erkläre, warum die Rechnungen –26 und (–2)6 (wie in Abb. 1.1.4) verschiedene Ergebnisse haben.
Rationale ZahlenWenn man zwei ganze Zahlen dividiert, erhält man als Ergebnis oft einen Bruch. Die ganzen Zahlen gemeinsam mit den Brüchen bilden die Menge der rationalen Zahlen.
Menge der rationalen Zahlen
Die Menge ℚ enthält alle Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, wo-bei im Nenner nicht 0 stehen darf.
Auf der Zahlengeraden liegen die Brüche zwischen den ganzen Zahlen.
Jeder Bruch kann in eine endliche oder periodische Dezimalzahl umgewan-delt werden.
LINKRechenregeln für negative ZahlenWiederholung und zugehörige Lehrbeispiele L 1.6 – L 1.8
Rational Lateinisch ratio: (hier) Verhält-nis; eine rationale Zahl kann als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden.
Angewandte Mathematik I 9
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
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Prüfe, ob man eine ganze Zahl erhält, wenn man zwei beliebige ganze Zahlen
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Prüfe, ob man eine ganze Zahl erhält, wenn man zwei beliebige ganze Zahlenmultipliziert.
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multipliziert. d)
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d) dividiert.
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dividiert.
Zum Eingeben einer negativen Zahl musst du die Negationstaste
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Zum Eingeben einer negativen Zahl musst du die Negationstaste ). Es ist günstig, negative Zahlen in Klammern zu
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). Es ist günstig, negative Zahlen in Klammern zu setzen. Beim Potenzieren sind die Klammern unbedingt nötig!
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setzen. Beim Potenzieren sind die Klammern unbedingt nötig!
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L 1.9 Brüche in Dezimalzahlen umwandeln B
Forme die Brüche in Dezimalzahlen um:: ,8
3 3 8 0 375= = • Die Division geht ohne Rest auf, die De-zimalzahl bricht nach drei Stellen ab.
: , ,127 7 12 0 583333 0 583…= = = o • Hier bleibt immer wieder 4 als Rest, das
Ergebnis ist eine periodische Dezimal-zahl.
A 1.14 ★ Rechnen mit rationalen Zahlen D
Prüfe, ob man eine rationale Zahl erhält, wenn man zwei beliebige rationale Zahlena) addiert. b) subtrahiert. c) multipliziert. d) dividiert.Begründe deine Entscheidung!
Auf dem TI-8x gibst du einen Bruch einfach als Division ein. Mit dem Befehl 1:} Frac im Menü MATH kannst du das Ergebnis als Bruch anzeigen lassen (englisch fraction = Bruch). Mit dem Menüpunkt 2:} Dec kommst du zur Dezimalschreibweise zurück.
Abb. 1.1.5 Abb. 1.1.6
Achtung: Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Auf dem Taschenrechner
musst du die Klammern aber eingeben. Wenn du zum Beispiel ·2 47 5+ berech-
nen willst, lautet die Eingabe: (7+5)/(2*4).
Das Gleiche gilt auch für Berechnungen mit dem CAS von GeoGebra.
A 1.15 ★ Eingabe in den Taschenrechner oder in GeoGebra B
Gib in den Taschenrechner oder in GeoGebraa) (7+5)/2*4b) 7+5/(2*4)ein. Welches Ergebnis erhältst du? Schreibe diese Taschenrechner-Eingabe als „normalen Bruch“ auf und kontrolliere durch händisches Nachrechnen.
Reelle ZahlenObwohl auf jedem Abschnitt der Zahlengeraden unendlich viele rationale Zahlen liegen, gibt es auch Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können (z. B. , ,2 3 π …). Man bezeichnet sie als irrationale Zahlen.
Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen.
Menge der reellen Zahlen
Die Menge ℝ enthält alle Punkte der Zahlengeraden, das heißt alle rationalen und irrationalen Zahlen.
LINKRechenregeln für Brüche, gemischte Zahlen, periodi-sche DezimalzahlenWiederholung und Lehrbei-spiele L 1.10 – L 1.11
10 Angewandte Mathematik I
Leseprobe = Bruch). Mit dem Menüpunkt
Leseprobe = Bruch). Mit dem Menüpunkt
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Leseprobe
Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Auf dem Taschenrechner
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Der Bruchstrich ersetzt eine Klammer. Auf dem Taschenrechner
musst du die Klammern aber eingeben. Wenn du zum Beisp
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musst du die Klammern aber eingeben. Wenn du zum Beispnen willst, lautet die Eingabe:
Leseprobe
nen willst, lautet die Eingabe: (7+5)/(2*4).
Leseprobe
(7+5)/(2*4).
Das Gleiche gilt auch für Berechnungen mit dem CAS von GeoGebra.
Leseprobe
Das Gleiche gilt auch für Berechnungen mit dem CAS von GeoGebra.
Eingabe in den Taschenrechner oder in GeoGebra Leseprobe
Eingabe in den Taschenrechner oder in GeoGebra Gib in den Taschenrechner oder in GeoGebraLe
seprobe
Gib in den Taschenrechner oder in GeoGebraLeseprobe
Leseprobe
Die Menge der positiven reellen Zahlen bezeichnet man mit ℝ+, die Menge der negativen reellen Zahlen mit ℝ–. (Analog gilt das auch für die anderen Zahlenmengen.)
Abb. 1.1.7 Dem Wert 2 entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden.
Einen Abschnitt der Zahlengeraden bezeichnet man als Intervall. Man schreibt die Intervallgrenzen in eckige Klammern, die nach innen zeigen, wenn die Intervallgrenzen dazugehören (abgeschlossenes Intervall), und nach außen, wenn die Grenzen nicht dazugehören (offenes Intervall).
So bedeutet zum Beispiel:
■ [0,8; 3,2] alle reellen Zahlen von 0,8 bis 3,2 einschließlich der Grenzen
■ ]–2,8; –0,3[ alle reellen Zahlen zwischen –2,8 und –0,3, aber ohne die Grenzen
■ [2; ∞[ alle reellen Zahlen von 2 bis unendlich (Weil unendlich keine Zahl, sondern nur ein Symbol ist, ist das Intervall dort immer offen.)
Abb. 1.1.8 Die Intervalle [0,8; 3,2], ]–2,8; –0,3[ und [2; ∞[
Bei der grafischen Darstellung eines Intervalls bedeutet ein ausgefüllter Kreis, dass der Endpunkt zum Intervall gehört. Ist der Kreis nicht ausgefüllt, gehört der Endpunkt nicht dazu.
Offene Intervalle können auch mit runden Klammern geschrieben werden, also (–2,8; –0,3) bzw. [2; ∞).
Es gibt auch halboffene Intervalle, z. B. [–3; 1,5[ oder ]–3; 1,5].
Zusammenhang zwischen den ZahlenbereichenDie Zahlenmengen sind verschachtelt: Jede der angeführten Zahlenmengen ist eine Teilmenge der darauffolgenden:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Abb. 1.1.9 Zahlenmengen
Jede natürliche Zahl ist also gleichzeitig eine ganze Zahl, jede ganze Zahl ist auch rational und jede rationale Zahl ist reell.
LINK
Wie groß ist unendlich?Unendlich (Symbol: ∞ ) ist keine Zahl, und selbst die größten denkbaren Zahlen sind nichts im Vergleich zur Unendlichkeit.
LINKZahlenmengenZusammenfassende Lernkarte
Angewandte Mathematik I 11
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
Leseprobe
einschließlich der Grenzen
Leseprobe
einschließlich der Grenzen
ohne die Grenzen
Leseprobeohne die Grenzen
(Weil unendlich keine Zahl, sondern nur ein Symbol ist, ist das Intervall
Leseprobe(Weil unendlich keine Zahl, sondern nur ein Symbol ist, ist das Intervall
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]–2,8; –0,3[
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]–2,8; –0,3[ und
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und [2; ∞[
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[2; ∞[
Bei der grafischen Darstellung eines Intervalls bedeutet ein ausgefüllter
Leseprobe
Bei der grafischen Darstellung eines Intervalls bedeutet ein ausgefüllter Kreis, dass der Endpunkt zum Intervall gehört. Ist der Kreis nicht ausgefüllt,
Leseprobe
Kreis, dass der Endpunkt zum Intervall gehört. Ist der Kreis nicht ausgefüllt, gehört der Endpunkt nicht dazu.
Leseprobe
gehört der Endpunkt nicht dazu.
Offene Intervalle können auch mit runden Klammern geschrieben werden, Leseprobe
Offene Intervalle können auch mit runden Klammern geschrieben werden, also (–2,8; –0,3) bzw. [2; ∞).Le
seprobe
also (–2,8; –0,3) bzw. [2; ∞).Leseprobe
Es gibt auch halboffene Intervalle, z.Leseprobe
Es gibt auch halboffene Intervalle, z.Leseprobe
A 1.16 ★★ Zahlenmengen C D
Setze in die Felder der Tabelle die zutreffenden Zeichen ∈ oder ∉ ein. Begründe deine Entscheidung.
–7
19
2,25
–0,04
37
520-
,3 3o
,0 9o
36
10
ÜBENIn den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Grund-rechnungsarten und Zahlenmengen gezielt üben und festigen.
Ganze ZahlenA 1.17 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen B
Berechne die angegebenen Terme:a) (+10) + (–6) – (+7) =b) (+15) – (–9) + (–12) = c) (–21) – (+8) + (+11) =d) (–9) + (+16) – (–10) = e) (+48) – (+23) – (–52) – (+5) =f) (–75) + (+15) – (–36) – (+6) =
g) (+91) + (–70) – (+14) + (–30) = h) (–64) – (+12) – (–80) – (–18) =i) (–6) + (–7) – [(+11) – (–5)] =j) (+18) – [(+5) + (–29)] – (+9) =k) [(–27) – (–12)] + [(+5) – (+14)] =l) (+108) – [(–42) + (+16) – (–14)] =
A 1.18 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen B
Berechne die angegebenen Terme: a) (+6) · (–4) + (+4) · (+10) – (+2) · (–5) =b) (–6) · (–4) – (+4) · (–10) + (–2) · (–5) =c) [(+6) · (–4) + (+4)] · (+10) – (+2) · (–5) =
d) (+6) · [(+4) + (–4) · (–10)] – (–2) · (–5) =e) (–6) · (+4) + (–4) · [(+10) + (+2) · (–5)] =f) [(–6) · (–4) – (+4)] · [(–10) + (+2)] · (+5) =
A 1.19 ★ Rechnen mit ganzen Zahlen B
Berechne die angegebenen Terme: a) (–36) : (+9) – (+21) : (–7) = b) (+9) : (–12) + (–15) : (–6) =c) [(–96) : (–8) + (+4)] · (+6) =
d) (–96) : [(–8) + (+4) · (+6)] =e) (–96) : [(–8) + (+4)] · (+6) =f) [(+120) + (–43)] : [(–40) – (–18)] =
LINKRechnen mit ganzen ZahlenAufgaben A 1.20 – A 1.25
12 Angewandte Mathematik I
Leseprobe
Leseprobe
Leseprobe
Leseprobe
Leseprobe
Leseprobe
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Leseprobe
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In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Grund
Leseprobe
In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Grundrechnungsarten und Zahlenmengen gezielt üben und festigen.
Leseprobe
rechnungsarten und Zahlenmengen gezielt üben und festigen.
Rechnen mit ganzen Zahlen Leseprobe
Rechnen mit ganzen Zahlen Leseprobe
BLeseprobe
B
Berechne die angegebenen Terme:Leseprobe
Berechne die angegebenen Terme:
Rationale ZahlenA 1.26 ★ Brüche kürzen B
Ermittle die gekürzte Form der folgenden Brüche:
a) 7545 = b) 132
88 = c) 16896 = d) 52
130 = e) 14403420 =
A 1.27 ★ Brüche erweitern B
Bestimme durch Erweitern den Zähler so, dass die Brüche den gegebenen Nenner haben:
a) 43
48= b) 57
40= c) 125
240= d) 83
1000= e) 3516
770=
A 1.28 ★ Brüche addieren und subtrahieren B
a) 21
31+ =
b) 65
83+ =
c) 43
31- =
d) 52
154- =
e) 1 52 2 3
2+ =
f) 3 32 4 6
5+ =
g) 8 95 3 6
1- =
h) 5 121 3 4
3- =
i) 43
21
65+ - =
j) 2 73 1 2
1145+ - =
k) 5 21 3 9
2 1 61- + =
l) 1 254
21 2 10
3- + =
A 1.29 ★ Brüche multiplizieren und dividieren B
a) ·1 32 9 =
b) ·54
83 =
c) ·65
109 =
d) ·94 1 8
7 =
e) ·2 52 3 3
1 =
f) ·2 121 2 10
7 =
g) :41 3 =
h) :54 8 =
i) :52
103 =
j) :127
95 =
k) :3 43
85 =
l) :4 51 4 3
2 =
A 1.30 ★★ Mit Brüchen rechnen B
a) ·2 43 1 5
2 1 32 2 6
1- + =
b) ·2 43 1 5
2 1 32 2 6
1- + =b l
c) ·3 31 1 5
1 1 83
21- + =b l
d) ·3 31 1 5
1 1 83
21- + =b bl l
e) ·2 31 3 2
1 1 71
21+ - =b bl l
f) ·2 31 3 2
1 1 71
21+ - =b l
Rechnen mit PotenzenA 1.38 ★ Rechnen mit Zahlen und Potenzen B
Berechne die folgenden Potenzen.a) ·4 45 4 = b) ·5 52 3 = c) ·6
6 62
3 =
Keine Angst vor Brüchen!Wenn zwei Tafeln Schokolade gleichmäßig auf drei Personen aufgeteilt werden sollen, wird z. B. jede Tafel gedrittelt und jede Person erhält zwei Drittel Schokolade, als Bruch geschrieben:
32
LINKBruchrechnen Aufgaben A 1.31 – A 1.37
Angewandte Mathematik I 13
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
Leseprobe=
Leseprobe=
9
Leseprobe
9 1
Leseprobe
1 6
Leseprobe
61
Leseprobe
1- +
Leseprobe
- + =
Leseprobe
=
Leseprobe
25
Leseprobe
25 2
Leseprobe
21
Leseprobe
1 2
Leseprobe
2 10
Leseprobe
103
Leseprobe
3- +
Leseprobe
- +1- +1
Leseprobe
1- +1 =
Leseprobe
=
Leseprobe
- +
Leseprobe
- +
Leseprobe
Brüche multiplizieren und dividieren
Leseprobe
Brüche multiplizieren und dividieren
Leseprobe
B
Leseprobe
B
g)
Leseprobe
g) :
Leseprobe
:4
Leseprobe
41
Leseprobe
1 3 =
Leseprobe
3 =
Leseprobe
h)
Leseprobe
h) :
Leseprobe
:5
Leseprobe
54
Leseprobe
4 8 =
Leseprobe
8 =
Leseprobe
i)Leseprobe
i) 5Leseprobe
52
Leseprobe
2
Leseprobe
Leseprobe
A 1.39 ★★ Struktur der Potenz D
Erkläre, ob die Eingabe der Potenz ins CAS von GeoGebra richtig ist oder nicht. Schreibe gegebenenfalls eine korrigierte Version auf.
a) 4
2 3·7
3 5-_ i
Abb. 1.1.10
b) ·5
3 82
2 10
Abb. 1.1.11
c) 2 75·2
7-
Abb. 1.1.12
d) ··
7 52 33 2
4
Abb. 1.1.13
A 1.40 ★★ Zahlenpotenzen im Kopf B
Berechne die folgenden Potenzen ohne technisches Hilfsmittel.
a) ·2 32 2 = b) ·5 32- = c) 93 4-
=_ i
d) ·2
2 33
3 2- - =
A 1.41 ★★ Struktur von Zahlenpotenzen B
Berechne die folgenden Zahlenpotenzen mittels GeoGebra.
a) , :0 25 4110
7=b l b) 3
66
2
- = c) 32 2 5
=b l d) ,, · ,2 8
1 5 0 55
3 2=
A 1.42 ★★ Klammern und Potenzen A B
Setze Klammern in die vorgegebenen Potenzen ein, sodass das Ergebnis positiv ist.
a) ·6
2 32
4 5- - = b) ·
3 54 82 2
6 3
-- = c) 5
6 25
3 3- =
Aussagen und ZahlenmengenA 1.43 ★ Grundrechnungsarten D
Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und entscheide, ob sie wahr sind. Wenn sie falsch sind, stelle sie richtig.a) (a ∈ ℕg) ∧ (b ∈ ℕg) ⇒ a + b ∈ ℕg b) (a ∈ ℕu) ∧ (b ∈ ℕu) ⇒ a + b ∈ ℕu c) (a ∈ ℕg) ∨ (b ∈ ℕg) ⇒ a · b ∈ ℕg
d) (a ∈ ℕu) ∨ (b ∈ ℕu) ⇒ a · b ∈ ℕu e) (a > 0) ∨ (b > 0) ⇒ a · b > 0f) (a < 0) ∧ (b < 0) ⇒ a + b < 0
A 1.44 ★★ Teilbarkeit D
„a ist ein Teiler von b“ wird abgekürzt: a | b. Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und stelle fest, ob sie wahr sind. Wenn sie falsch sind, gib ein Gegenbeispiel an.a) 2 | x ⇒ 4 | xb) 4 | x ⇒ 2 | x
c) 2 | x ⇒ 4 | x2d) (2 | x) ∧ (3 | x) ⇒ 6 | x
e) (2 | x) ∧ (4 | x) ⇒ 8 | x
A 1.45 ★ Mengen-Angabe A B
Gib die folgenden Mengen im aufzählenden Verfahren an:a) E = {x ∈ ℕ | 5 ⩽ x ⩽ 12} b) F = {x ∈ ℕ | 2 < x < 9} c) G = {x ∈ ℤ | –4 ⩽ x < 4}
A 1.46 ★ Verknüpfungen A B
Bilde mit den Mengen aus dem vorigen Beispiel (A 1.45):a) E ⋂ F b) F ⋂ G
c) E ⋂ G d) E ⋃ F
e) F ⋃ Gf) E \ F
g) F \ Eh) G \ E
LINK
u
. Erkläre, was die folgenden Aussagen
| x
Wahr oder falsch? Manche Aussagen sind ein Widerspruch in sich.
14 Angewandte Mathematik I
Leseprobed)
Leseprobed) 2
Leseprobe2
2 3
Leseprobe2 3·2 3·
Leseprobe·2 3·
3
Leseprobe3
3 2
Leseprobe3 22 33 22 3
Leseprobe2 33 22 3·2 3·3 2·2 3·
Leseprobe·2 3·3 2·2 3·-
Leseprobe- -
Leseprobe- =
Leseprobe=
Leseprobe
Berechne die folgenden Zahlenpotenzen mittels GeoGebra.
Leseprobe
Berechne die folgenden Zahlenpotenzen mittels GeoGebra.5
Leseprobe
5=
Leseprobe
=b l
Leseprobe
b l3b l3
Leseprobe
3b l3
Leseprobe
d)
Leseprobe
d) , ·
Leseprobe
, ·2 8
Leseprobe
2 81 5 0 5
Leseprobe
1 5 0 5, ·1 5 0 5, ·
Leseprobe
, ·1 5 0 5, · ,1 5 0 5,
Leseprobe
,1 5 0 5,3 2
Leseprobe
3 21 5 0 53 21 5 0 5
Leseprobe
1 5 0 53 21 5 0 5, ·1 5 0 5, ·3 2, ·1 5 0 5, ·
Leseprobe
, ·1 5 0 5, ·3 2, ·1 5 0 5, ·
Leseprobe
Setze Klammern in die vorgegebenen Potenzen ein, sodass das Ergebnis positiv ist.
Leseprobe
Setze Klammern in die vorgegebenen Potenzen ein, sodass das Ergebnis positiv ist.
3 5
Leseprobe
3 54 8
Leseprobe
4 82 2
Leseprobe
2 23 52 23 5
Leseprobe
3 52 23 56 3
Leseprobe
6 34 86 34 8
Leseprobe
4 86 34 83 5-3 5
Leseprobe
3 5-3 53 52 23 5-3 52 23 5
Leseprobe
3 52 23 5-3 52 23 5 =
Leseprobe
=
Leseprobe
c)
Leseprobe
c) 6 2
Leseprobe
6 2
Aussagen und Zahlenmengen
Leseprobe
Aussagen und Zahlenmengen Grundrechnungsarten Le
seprobe
Grundrechnungsarten Leseprobe
DLeseprobe
D
Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und entscheide, ob sie wahr sind. Leseprobe
Erkläre, was die folgenden Aussagen bedeuten, und entscheide, ob sie wahr sind. Wenn sie falsch sind, stelle sie richtig.Le
seprobe
Wenn sie falsch sind, stelle sie richtig.a + b Leseprobe
a + b ∈Leseprobe
∈ ℕLeseprobe
ℕ
e) (2 | x) ∧ (4 | x) ⇒ 8 | x
LINKWahr oder falsch? Manche Aussagen sind ein Widerspruch in sich.
A 1.47 ★ Intervalle A B C
Gib die folgenden Mengen in Intervallschreibweise an und zeichne sie auf der Zahlengeraden ein:a) J = {x ∈ ℝ | –2 ⩽ x ⩽ 5} b) K = {x ∈ ℝ | 1,5 < x < 6,3} c) L = {x ∈ ℝ | x ⩾ 3}
A 1.48 ★ Verknüpfungen B
Bilde mit den Mengen aus dem vorigen Beispiel (Aufgabe A 1.47):a) J ⋂ K b) J ⋂ L c) J ⋃ K d) K ⋃ L e) K \ J f) J \ L
A 1.49 ★ Zahlenmengen zuordnen C
Ergänze in allen leeren Kästchen die Zeichen ∈ bzw. ∉.
0,5
510
9
4
7
–32
KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du Grundrechnungsarten und Zahlenmengen wiederholt und neue mathematische Symbole kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.
A 1.53 ★★ Rationale Zahlen B D
Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl. Gib für die folgenden Zahlenpaare jeweils eine rationale Zahl an, die dazwischen liegt. Erkläre, wie du daraus begründen kannst, dass in jedem Intervall unendlich viele rationale Zahlen liegen. Stelle die gegebenen und die gefundenen Zahlen auf der Zahlengeraden dar.
a) 6 und 8 b) und31
21 c) –12,5 und –12,49
A 1.54 ★ Irrationale Zahlen B
Berechne mit dem Taschenrechner die Werte der folgenden irrationalen Zahlen und gib jeweils zwei rationale Zahlen an, zwischen denen sie liegen:a) 5 b) 23 c) 2π
A 1.55 ★★ Behauptung D
Beurteile die Aussage: „Das offene Intervall ]0; 10[ enthält alle Zahlen von 0 bis 9.“
A 1.56 ★★ Meteorologie, traditionell B D
Eine alte „Volksweisheit“ lautet: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich’s Wetter, oder es bleibt, wie’s ist.“Stelle diese Aussage mit logischen Symbolen dar (H: „Der Hahn kräht.“, W: „Das Wetter ändert sich.“) und erkläre, warum sie immer wahr ist.
LINK
J \ L
Kannst du richtig Nein sagen?Übe dich in der Kunst der Verneinung.
LINKAussagen und ZahlenmengenAufgaben A 1.50–A 1.52
Angewandte Mathematik I 15
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 1: Grundrechnungsarten und Zahlenmengen
Leseprobe
Leseprobe
Leseprobe
In dieser Lerneinheit hast du Grundrechnungsarten und
Leseprobe
In dieser Lerneinheit hast du Grundrechnungsarten und ahlenmengen wiederholt und neue mathematische Symbole
Leseprobe
ahlenmengen wiederholt und neue mathematische Symbole kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen
Leseprobe
kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.
Leseprobe
anwenden und überprüfen.
Rationale Zahlen Leseprobe
Rationale Zahlen Leseprobe
BLeseprobe
BLeseprobe
DLeseprobe
D
Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl. Gib für Leseprobe
Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl. Gib für Leseprobe
die folgenden Zahlenpaare jeweils eine rationale Zahl an, die dazwischen liegt. Leseprobe
die folgenden Zahlenpaare jeweils eine rationale Zahl an, die dazwischen liegt. Erkläre, wie du daraus begründen kannst, dass in jedem Intervall unendlich viele Le
seprobe
Erkläre, wie du daraus begründen kannst, dass in jedem Intervall unendlich viele rationale Zahlen liegen. Stelle die gegebenen und die gefundenen Zahlen auf der
Leseprobe
rationale Zahlen liegen. Stelle die gegebenen und die gefundenen Zahlen auf der Leseprobe
A 1.57 ★★ Zahlenmengen C
Multiple Choice (1 aus 5): Die Zahl m 535=- ist gegeben. Welche der folgenden
Argumentationen stimmt? Kreuze die richtige Aussage an.
m ist keine ganze Zahl, weil es ein Bruch ist.
m ist eine rationale Zahl, weil es als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann.
m ist eine natürliche Zahl, weil man durch 5 kürzen kann.
m ist keine reelle Zahl, weil es rational ist.
m ist eine rationale Zahl, weil jede reelle Zahl rational ist.
A 1.58 ★★★ Wahrheitsgehalt von Aussagen prüfen D
Prüfe den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen. Begründe deine Überlegungen.a) Alle natürlichen Zahlen sind rational.b) Es gibt reelle Zahlen, die auch ganze Zahlen sind.c) Nicht alle ganzen Zahlen sind reell.d) Die Differenz von zwei rationalen Zahlen kann eine natürliche Zahl sein.e) Das Produkt von zwei irrationalen Zahlen muss irrational sein.
A 1.59 ★★★ Mathematische Symbole D Begründe, welche der Pfeile ⇒, ⇔, ⇐ in die Lücke passen.a) a ist durch 10 teilbar. a ist durch 5 und 2 teilbar.
b) b ist durch 20 teilbar. b ist durch 2 und 10 teilbar.
c) c ist eine Primzahl > 3. c Nu! .
d) d ist ein Deltoid. d ist ein Viereck mit zwei zueinander normalen Diagonalen.
e) 0 < z < n nz ∉ ℕ
A 1.60 ★★ Zahlenterme berechnen B
Berechne die folgenden Zahlenterme:
a) ·10 2 9 17 5 6 3 4· · 2- - - - =_ _i i
b) ( , ) ·737 2 4 3
5- - =
c) ·2 6 9 3 41·- - - =` _ ij
d) · · , :2 7 4 0 5 321- - - =b l
e) , · ·0 5 2 23
31 2 5- - - - - =_ b _i l i
f) · · , ,3 2 31 3 2 0 125 0 5- - + - =_b il
g) · · · :143 42 9
591 3 2 3
1- - - - + =_ bi l
h) · : : : ·54
29
83
27
65
32
103
74+ - =b bl l
KOMPETENZCHECKMeine Kompetenzen Kann ich? Aufgaben
Ich kann Aussagen in mathematische Symbole übertragen und Aussagen, in denen Symbole vorkommen, interpretieren.
A 1.56, A 1.59
Ich kann die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ beschreiben und entscheiden, ob eine Zahl zu einer dieser Mengen gehört.
A 1.53, A 1.54, A 1.55, A 1.57, A 1.58
Ich kann die Zahlenmengen auf der Zahlengeraden veranschaulichen. A 1.53
Ich kann mit positiven und negativen Zahlen sowie mit Brüchen rechnen. A 1.60
LINKInteraktive AufgabenAufgaben in den Antwort-formaten der sRDP
16 Angewandte Mathematik I
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Leseprobeie Differenz von zwei rationalen Zahlen kann eine natürliche Zahl sein.
Leseprobeie Differenz von zwei rationalen Zahlen kann eine natürliche Zahl sein.
as Produkt von zwei irrationalen Zahlen muss irrational sein.
Leseprobeas Produkt von zwei irrationalen Zahlen muss irrational sein.
in die Lücke passen.
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in die Lücke passen. a ist durch 5 und 2 teilbar.
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a ist durch 5 und 2 teilbar.
b ist durch 2 und 10 teilbar.
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b ist durch 2 und 10 teilbar.
d ist ein Viereck mit zwei zueinander normalen
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d ist ein Viereck mit zwei zueinander normalen
Zahlenterme berechnen
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Zahlenterme berechnen
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B
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B
Berechne die folgenden Zahlenterme:Leseprobe
Berechne die folgenden Zahlenterme:
3 4Leseprobe
3 4·3 4·Leseprobe
·3 4·2Leseprobe
23 423 4Leseprobe
3 423 4 =Leseprobe
=iLeseprobe
i3 4i3 4Leseprobe
3 4i3 4
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2 Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und
GleitkommadarstellungWir schreiben Zahlen im Dezimalsystem. Damit können auch sehr große Zahlen übersichtlich angeschrieben werden. In fast allen Ländern der Erde wird das metrische System verwendet, das heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen ineinander umgerechnet.
A 1.61 ★★ „Das macht nach Adam Riese …“ D
Eine Aufgabe aus einem alten Rechenbuch (Ries, Adam: Rechnung auf der Linien und Federn. 1522):„Ein Pfund einer Ware kostet 3 Groschen 9 Pfennig. Wie viel kosten 3 Zentner 2 Stein 7 Pfund? Antwort: 68 Gulden 9 Pfennig.“(1 Zentner = 5 Stein; 1 Stein = 22 Pfund; 1 Gulden = 21 Groschen; 1 Groschen = 12 Pfennig)a) Überprüfe das Ergebnis.b) Erkläre die Vorteile des modernen Maß- und Währungssystems.
MaßeinheitenDas metrische System wurde 1793 in Frankreich und in der Folge in fast allen Ländern der Erde eingeführt. Es besteht aus einheitlichen Maßen, die leicht ineinander umgerechnet werden können.
Wie ist 1 Meter definiert?Das Urmeter legte bis 1960 die Grundeinheit des metrischen Systems fest. Heutzutage ist die Länge 1 Meter über die Lichtgeschwindigkeit definiert.
LINK
heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen
Ist ein altes Kilo heute leichter? Das Urkilogramm schrumpft auf rätselhafte Weise.
1
Angewandte Mathematik I 17
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Maßzahlen und
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Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und
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Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung
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GleitkommadarstellungWir schreiben Zahlen im Dezimalsystem. Damit können auch sehr
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Wir schreiben Zahlen im Dezimalsystem. Damit können auch sehr große Zahlen übersichtlich angeschrieben werden. In fast allen Le
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große Zahlen übersichtlich angeschrieben werden. In fast allen Leseprobe
Ländern der Erde wird das metrische System verwendet, das Leseprobe
Ländern der Erde wird das metrische System verwendet, das heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen Le
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heißt, die Maßeinheiten werden mithilfe von Zehnerpotenzen ineinander umgerechnet.Le
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ineinander umgerechnet.Leseprobe
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Längen-, Flächen- und RaummaßeAlle Maße für Längen, Flächen und Volumina leiten sich vom Meter ab.
Es wurde ursprünglich definiert als 100000001 der Länge eines
Erdquadranten (ein Viertel eines Meridians, siehe die rote Linie im Bild).
Längenmaße umwandeln
1 km = 1000 m1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mmHilfestellung: : 1000 : 10 : 10 : 10
km m dm cm mm
· 1000 · 10 · 10 ·10
Weil ein m2, also ein Quadrat mit einem Meter Seitenlänge, 102 = 100 dm2 enthält, ist die Umwandlungszahl für Flächenmaße 100.
Flächenmaße umwandeln
1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 ha: Hektar1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 a: Ar
Hilfestellung: : 100 : 100 : 100
m2 dm2 cm2 mm2
· 100 · 100 · 100
Ein Würfel mit 1 m Seitenlänge hat ein Volumen von 103 = 1000 dm3. Die Umwandlungszahl für Raummaße ist daher 1000.
Raummaße umwandeln
1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3
Hilfestellung: : 1000 : 1000 : 1000
m3 dm3 cm3 mm3
· 1000 · 1000 · 1000
Flüssigkeiten und Gase werden in Liter gemessen. 1 Liter ist nur ein anderer Name für 1 dm3.
Maße für Flüssigkeiten und Gase
1 hl = 100 L1 L = 10 dl = 100 cl = 1000 ml1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3
Einheiten für die MasseDie Masse (umgangssprachlich: das Gewicht) von Körpern wird in Kilogramm gemessen. 1 kg ist die Masse von 1 L Wasser bei einer Temperatur von 4 °C (größte Dichte).
Ein ErdquadrantDer Abstand des Nordpols vom Äquator sollte ursprüng-lich genau 10 000 km betragen.
1 L = 1 dm3
UnverwechselbarFür den Liter kann auch das Einheitenzeichen l verwendet werden. Um in vielen Schrift-arten eine Verwechslung mit „groß I“ zu vermeiden, ist L für Liter gebräuchlich, wenn keine Vorsilbe davor steht.
18 Angewandte Mathematik I
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= 100 dm
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= 100 dm2
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ha: Hek
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ha: Hektar
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tara: Ar
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a: Ar
: 100
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cm
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cm2
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2 mm
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mm2
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100
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· 100
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· 100
Würfel mit 1 m Seitenlänge hat ein Volumen von 10
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Würfel mit 1 m Seitenlänge hat ein Volumen von 10Umwandlungszahl für Raummaße ist daher 1000.
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Umwandlungszahl für Raummaße ist daher 1000.
Raummaße umwandeln
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Raummaße umwandeln
000 cmLeseprobe
000 cm3Leseprobe
3 = 1Leseprobe
= 1 000Leseprobe
000 000Leseprobe
000 000 mmLeseprobe
000 mm: 1000Leseprobe
: 1000 Leseprobe
: 1000Leseprobe
: 1000
dmLeseprobe
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Masseneinheiten umwandeln
1 t = 1000 kg t: Tonne1 kg = 100 dag = 1000 g
L 1.12 Mit unterschiedlichen Einheiten rechnen A B
Ein Balken aus Fichtenholz ist 2,5 m lang, 12 cm breit und 15 mm dick. Fichtenholz hat eine Dichte von 0,47 kg/dm3. Berechne die Masse des Balkens in Gramm.Lösung: Die Formelzeichen sind:Masse = Volumen · Dichte … Dichte m … Massem = V · V … Volumen
Wir müssen alle Längenangaben in dieselbe Einheit umwandeln, am besten in dm:2,5 m = 25 dm12 cm = 1,2 dm15 mm = 0,15 dm
Das Volumen beträgt also 25 · 1,2 · 0,15 = 4,5 dm3, und der Balken wiegt 2,115 kg = 2115 g.
Zeitmaße und GeschwindigkeitsmaßeHier hat sich das Dezimalsystem nicht durchgesetzt.
Zeitmaße umwandeln
1 d = 24 h d: Tag (lat. dies)1 h = 60 min = 3600 s h: Stunde (lat. hora)
L 1.13 Zeitangaben umrechnen B
a) Forme 2 h 17 min 30 s in h um. Lösung:
17 min = h6017 ; 30 s = h3600
30
2 h 17 min 30 s = , h2 6017
360030 2 2917.+ +
b) Forme 4,27 h in die Schreibweise h, min, s um. Lösung: 0,27 h = 0,27 · 60 min = 16,2 min; 0,2 min = 0,2 · 60 s = 12 s 4,27 h = 4 h 16 min 12 s
Geschwindigkeiten gibt man meist in m/s (Meter pro Sekunde) oder km/h (Kilometer pro Stunde) an. Wenn sich ein Körper in einer Sekunde 1 m fortbewegt, legt er in einer Stunde 3600 m = 3,6 km zurück. Es gilt also:
Umwandlung Meter pro Sekunde in Kilometer pro Stunde
1 m/s = 3,6 km/h
ρgriechischer Buchstabe rho
LINK
,27 h = 0,27 · 60 min = 16,2 min; 0,2 min = 0,2 · 60 s = 12 s
Unterwegs mit Lichtgeschwindigkeit?Das sichtbare Licht breitet sich mit der Lichtgeschwindig-keit c 3 10· 8. m/s aus.
Angewandte Mathematik I 19
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung
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Leseprobe, und der Balken wiegt
Leseprobe, und der Balken wiegt
Geschwindigkeitsmaße
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GeschwindigkeitsmaßeHier hat sich das Dezimalsystem nicht durchgesetzt.
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Hier hat sich das Dezimalsystem nicht durchgesetzt.
ag (lat.
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ag (lat. ag (lat.
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ag (lat. dies
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dies)
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))
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)h: St
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h: Stunde (lat.
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unde (lat. hora
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hora)
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)
Zeitangaben umrechnen Leseprobe
Zeitangaben umrechnen Leseprobe
BLeseprobe
B
orme 2 h 17 min 30 s in h um.Leseprobe
orme 2 h 17 min 30 s in h um.
Auf dieses Ergebnis hätte man auch so kommen können:
/ , /km h hkm
sm m s1 1
136001000
3 61= = =
A 1.62 ★ Einheiten umwandeln B
Forme in die angegebenen Einheiten um:a) 50 m = mm
0,5 km = m4,3 hm = dm8,450 km = cm7300 cm = km
b) 0,6 m2 = dm2
13,7 m2 = cm2
0,36 km2 = m2
18 600 mm2 = cm2
6700 cm2 = m2
c) 17 m3 = dm3
0,6 m3 = cm3
75 000 cm3 = m3
d) 70 ml = L0,53 L = ml = dm3
2 L = ml = dm3 = cm3
e) 720 g = dag50 dag = g72 kg = g95 kg = t
f) 2 h = min = s17 min = s430 s = min s
g) 30 m/s = km/h144 km/h = m/s
Zahlen in Fest- und GleitkommadarstellungFür große Zahlen verwenden wir eigene Namen: Million, Milliarde, Billion … Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.
Zahlen im DezimalsystemBekanntlich benutzen wir ein Stellenwertsystem, um Zahlen zu schreiben. Das heißt, der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht. Für jede Stelle, die sie nach links rückt, wird der Wert verzehnfacht. Man spricht daher auch vom Dezimalsystem (Zehnersystem).
Beispiel: · · ·2345 2 10 3 10 4 10 53 2= + + +
Dadurch können mit nur 10 Ziffern beliebig große Zahlen geschrieben werden. (Bei großen Zahlen teilt man die Ziffern in Dreiergruppen.)
Bei Stellen, die nach dem Komma stehen, ist der Wert jeder Stelle ein Zehntel der vorigen.
Beispiel: , · · · ·5 6789 5 6 101 7
101 8
101 9
101
2 3 4= + + + +
Das kann man auch mit negativen Hochzahlen schreiben:
,5 6789 5 6 10 7 10 8 10 9 10· · · ·1 2 3 4– – – –= + + + +
(Über negative Hochzahlen erfährst du mehr in Kapitel 2.)
LINKDie wichtigsten MaßeinheitenZusammenfassende Lernkarte
2
Achtung: Im englischen Sprachraum verwendet man einen Punkt statt des Kommas.
20 Angewandte Mathematik I
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Leseprobecm
s
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s
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Zahlen in Fest- und
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Zahlen in Fest- und GleitkommadarstellungLe
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GleitkommadarstellungFür große Zahlen verwenden wir eigene Namen: Million, Milliarde, Billion … Le
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Für große Zahlen verwenden wir eigene Namen: Million, Milliarde, Billion … Leseprobe
Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, sehr große oder sehr kleine Zahlen Leseprobe
Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, sehr große oder sehr kleine Zahlen Leseprobe
Darstellung von sehr großen ZahlenIn den Naturwissenschaften treten oft sehr große Zahlen auf. Damit man leichter damit rechnen kann, schreibt man sie als Produkt einer kleinen Zahl (eine Stelle 0 vor dem Komma) und einer Zehnerpotenz.
Gleitkommadarstellung (Fließkommadarstellung) einer Zahl
z = m · 10k m … Mantisse, 1 ⩽ | m | < 10 k … Exponent, k ∈ ℤ
Die Multiplikation einer Zahl mit 10k, k > 0, bedeutet, dass das Komma um k Stellen nach rechts verschoben wird.
Die „normale“ Schreibweise (das Komma steht immer nach der Einerstelle) bezeichnet man als Festkommadarstellung.
L 1.14 Gleitkommadarstellung B
Stelle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung dar: a) 2345 b) 17 250 c) 5 120 000Lösung:a) 2345 = 2,345 · 1000 = 2,345 · 103
b) 17 250 = 1,725 · 10 000 = 1,725 · 104
c) 5 120 000 = 5,12 · 1 000 000 = 5,12 · 106
L 1.15 Festkommadarstellung B
Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar: a) 3,65 · 102 b) 7,03 · 105 c) 6,249 · 107
Lösung:a) 3,65 · 102 = 3,65 · 100 = 365b) 7,03 · 105 = 7,03 · 100 000 = 703 000c) 6,249 · 107 = 6,249 · 10 000 000 = 62 490 000
Die Schreibweise 1 · 100 bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird. Wir erhalten also: 100 = 1
Darstellung von sehr kleinen ZahlenAuch Zahlen, die kleiner als 1 sind, können in Gleitkommadarstellung geschrieben werden. Dafür verwendet man negative Hochzahlen. Die Multi-plikation einer Zahl mit 10–k, –k < 0, bedeutet, dass das Komma um k Stellen nach links verschoben wird.
L 1.16 Kleine Zahlen in Gleitkommadarstellung B
Stelle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung dar: a) 0,7 b) 0,0245 c) 0,00013Lösung:a) 0,7 = 7 · 0,1 = 7 · 10–1
b) 0,0245 = 2,45 · 0,01 = 2,45 · 10–2
c) 0,00013 = 1,3 · 0,0001 = 1,3 · 10–4
Darstellung von sehr großen ZahlenIn den Naturwissenschaften treten oft sehr große Zahlen auf. Damit man leichter damit rechnen kann, schreibt man sie als Produkt einer kleinen Zahl (eine Stelle
Gleitkommadarstellung (Fließkommadarstellung) einer Zahl
k
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leichter damit rechnen kann, schreibt man sie als Produkt einer kleinen Zahl
Wie schwer ist die Sonne?Die Mathematik hat eine Lösung für die übersichtliche Darstellung von sehr großen Zahlen gefunden.
LINK
bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird.
Multi-
Wie schwer ist die Sonne?Die Mathematik hat eine Lösung für die übersichtliche Darstellung von sehr großen Zahlen gefunden.
Was schätzt du?1 Reiskorn auf das 1. Feld des Schachbretts, auf jedes weitere doppelt so viele wie auf das vorherige – wie groß wird dieser Reisberg?
Angewandte Mathematik I 21
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung
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Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar:
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Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar: ,03 · 10
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,03 · 105
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5 c)
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c)
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= 3,65 · 100 = 365
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= 3,65 · 100 = 3650 Le
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000 = 703Leseprobe
00 = 703 0Leseprobe
000Leseprobe
00 = 6,249 · 10 Le
seprobe
= 6,249 · 10 0 Leseprobe
000 Leseprobe
00 0Leseprobe
000 = 62Leseprobe
00 = 62 49Leseprobe
490Leseprobe
0 0Leseprobe
000Leseprobe
00
bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird. Leseprobe
bedeutet, dass das Komma gar nicht verschoben wird. Leseprobe
Ein negativer Exponent gibt also an, die wievielte Stelle nach dem Komma als erste von 0 verschieden ist.
L 1.17 Von der Gleitkommadarstellung zur Festkommadarstellung B
Stelle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung dar: a) 3,8 · 10–2 b) 1,24 · 10–3 c) 9,6 · 10–5
Lösung:a) 3,8 · 10–2 = 3,8 · 0,01 = 0,038 b) 1,24 · 10–3 = 1,24 · 0,001 = 0,00124c) 9,6 · 10–5 = 9,6 · 0,00001 = 0,000096
A 1.63 ★ Zahlen in unterschiedlichen Darstellungsformen B
Ergänze die fehlenden Zahlen in der Tabelle:
Festkommazahl Gleitkommazahl
5235,6
798 400
1,45 1016
1,022 109
0,0000034
1,1 10−12
9,8 · 1015
A 1.64 ★ Umwandlung in Gleitkommadarstellung B
Wandle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung um:a) 54 000 000 000 = b) 0,000 003 52 = c) 0,500 400 = d) 20 400 000 =
e) 0,000 000 007 = f) 9 060 000 000 = g) 2000,007 = h) 36,2 =
A 1.65 ★ Umwandlung in Festkommadarstellung B
Wandle die folgenden Zahlen in Festkommadarstellung um:a) 7,5 · 105 = b) 3,2 · 103 = c) 1,3 · 10–4 = d) 5,35 · 106 =
e) 9,71 · 10–5 = f) 7,514 · 108 = g) 7,514 · 10–4 = h) 4,2 · 10–9 =
A 1.66 ★ Die Welt in Zahlen B
Forme folgende Maßzahlen in Gleitkommadarstellung um:a) Die Masse eines Wasserstoffatoms beträgt etwa 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 66 kg.b) Der Eiffelturm in Paris hat eine Masse von ca. 7 300 000 kg.c) Die Erde hat eine Masse von etwa 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.d) Ein Eisenatom hat einen Durchmesser von ungefähr 0,000 000 000 2 m. e) Die Geschwindigkeit des Lichts beträgt ca. 300 000 000 m/s.f) Die Erde umläuft die Sonne in einem mittleren Abstand von etwa
150 000 000 000 m.g) Der Umfang der Erde ist 40 000 km.
LINKWie schwer ist ein Elektron?Die Mathematik hat eine Lösung für die übersichtliche Darstellung von sehr kleinen Zahlen gefunden.
22 Angewandte Mathematik I
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Leseprobe1,45
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1,022
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Umwandlung in Gleitkommadarstellung
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Umwandlung in Gleitkommadarstellung
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B
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Wandle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung um:
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Wandle die folgenden Zahlen in Gleitkommadarstellung um:
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e)
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e) 0
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0,000
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,000 0
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000 007 =
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00 007 = f
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f)
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) 9
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9 060 000
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060 000gLeseprobe
g)Leseprobe
) 2000,007 = Leseprobe
2000,007 = Leseprobe
Umwandlung in Festkommadarstellung Leseprobe
Umwandlung in Festkommadarstellung Leseprobe
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h) Die Masse des Mondes beträgt 73 Trillionen t.i) Ein Virus hat einen Durchmesser von ca. 0,000 000 1 m.j) Der Durchmesser eines Atoms ist 0,000 000 1 mm.
Vorsilben für EinheitenBei Einheiten für physikalische Größen verwendet man Vorsilben wie Kilo-, Dezi-, Milli- für Vielfache und Teile. Diese Vorsilben sind im Internationalen Einheitensystem (SI) festgelegt. Sie sind ebenfalls Bezeichnungen für Zehnerpotenzen.
Potenz Name SI-Vorsilbe Abkürzung
1018 Trillion Exa E
1015 Billiarde Peta P
1012 Billion Tera T
109 Milliarde Giga G
106 Million Mega M
103 tausend Kilo k
102 hundert Hekto h
101 zehn Deka da
10–1 Zehntel Dezi d
10–2 Hundertstel Centi c
10–3 Tausendstel Milli m
10–6 Millionstel Mikro µ
10–9 Milliardstel Nano n
10–12 Billionstel Piko p
10–15 Billiardstel Femto f
10–18 Trillionstel Atto a
Eine kleine Hilfe zum Umrechnen: : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10
k h da 1 d c m
· 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10
· 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3 · 10–3
… G M k 1 m µ n …
· 103 · 103 · 103 · 103 · 103 · 103 · 103 · 103
L 1.18 Umwandeln von SI-Einheiten B
Wandle in die angegebene Einheit um und gib das Ergebnis in normierter Gleitkom-madarstellung an:a) 3,57 nm = mb) 3,57 mm = µm
c) 125 km = md) 0,04 mm = nm
Lösung:a) 3,57 nm = 3,57 · 10–9 m • von der kleineren (10–9) in die größere
(100) Einheit: · 10–9
SISystème international d'unités (franz.)
µgriechischer Buchstabe my
normierte GleitkommadarstellungGleitkommadarstellung, bei der die Mantisse zwischen 1 und 10 liegt und dabei echt kleiner als 10 ist
Angewandte Mathematik I 23
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung
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c
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m
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m
µ
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µ
Nano
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Nano n
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n
Billionstel Piko
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Femto
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Femto f
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f
Trillionstel
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Trillionstel Atto
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Atto
Eine kleine Hilfe zum Umrechnen:Leseprobe
Eine kleine Hilfe zum Umrechnen:: 10Leseprobe
: 10 : 10Leseprobe
: 10Leseprobe
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b) 3,57 mm = 3,57 · 103 µm • von der größeren (10–3) in die kleinere (10–6) Einheit: · 103
c) 125 km = 125 · 103 m = 1,25 · 105 m • der erste Faktor wird durch 102 dividiert, der zweite mit 102 multipliziert
d) 0,04 mm = 0,04 · 106 nm = 4 · 104 nm • der erste Faktor wird mit 102 multipliziert, der zweite durch 102 dividiert
A 1.67 ★★ Dieselbe Zahl – unterschiedliche Schreibweisen B
Forme in die angegebenen Schreibweisen um:
Festkommazahl Gleitkommazahl SI-Vorsilben
85 000 m
350 MJ
2,7 · 109 W
60 mg
0,000 075 m
0,000 000 003 s
Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner
L 1.19 Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner B
Berechne mit dem Taschenrechner zuerst 2 000 0002 und dann den Kehrwert dieser Zahl.Lösung: Das Ergebnis der ersten Rechnung wäre 4 000 000 000 000 (vier Billionen). Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner das Ergebnis 4E12 aus, das heißt 4 · 1012.Den Kehrwert kannst du mit der Taste x–1 berechnen. Hier lautet das Ergebnis 2,5E–13, also 2,5 · 10–13 = 0,000 000 000 000 25.
Abb. 1.2.1 Abb. 1.2.2
Wie du siehst, zeigt der Taschenrechner sehr große und kleine Zahlen automatisch als Gleitkommazahlen an. Wenn du willst, dass alle Zahlen so dargestellt werden, musst du im Menü MODE in der ersten Zeile Sci markieren (engl. scientific = wissenschaftlich) und mit ENTER bestätigen.
Um eine Gleitkommazahl einzugeben, verwendest du die Taste 2nd [EE]. 3 · 105 gibst du zum Beispiel mit der Tastenfolge 3 2nd [EE] 5 ein.
LINK
multipliziert,
Was ist die „Engineering“ Notation?Es gibt auch andere gebräuch-liche Gleitkommadarstellun-gen, z.B. die „technische“ Darstellung (englisch: engineering notation).
Joule (J)Einheit der EnergieWatt (W)Einheit der Leistung
LINK
00 (vier Billionen). Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner
berechnen. Hier lautet das
LINKSprichst du schon Taschenrechner?Wenn du eine Gleitkomma-darstellung ausgewählt hast – wie schreibt dein Taschen-rechner die Zahl 8 an?
24 Angewandte Mathematik I
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60 mg
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60 mg
Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner
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Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner
Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner
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Sehr große und sehr kleine Zahlen im Taschenrechner
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B
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B
0
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000
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00 0
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000
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002
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2 und dann den Kehrwert dieser
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und dann den Kehrwert dieser
Das Ergebnis der ersten Rechnung wäre 4
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Das Ergebnis der ersten Rechnung wäre 4 0
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000
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00 0
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000
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00 0
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000
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00 0
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000 (vier Billionen).
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00 (vier Billionen). Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner
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Weil so viele Stellen nicht angezeigt werden können, gibt der Rechner das Ergebnis 4E12 aus, das heißt 4 · 10
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das Ergebnis 4E12 aus, das heißt 4 · 1012
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12.
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.Den Kehrwert kannst du mit der Taste
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Den Kehrwert kannst du mit der Taste
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x
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xx
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xx
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x–1
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–1 berechnen. Hier lautet das
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berechnen. Hier lautet das berechnen. Hier lautet das
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berechnen. Hier lautet das berechnen. Hier lautet das
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berechnen. Hier lautet das –13, also 2,5 · 10Le
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–13, also 2,5 · 10Leseprobe
–13Leseprobe
–13 = 0,000Leseprobe
= 0,000 000Leseprobe
000 000Leseprobe
000Leseprobe
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Rechnen mit gerundeten Zahlen – Rundungsregeln und sinnvolle GenauigkeitL 1.20 Wie viel Genauigkeit ist sinnvoll? C
Interpretiere die folgende Berechnung:„Ein ICE (Intercity Express) fährt von Wien nach Linz (190 km) mit einer Durch-schnittsgeschwindigkeit von 105 km/h. Die Fahrzeit beträgt daher
, ...t h105190 1 80952= = , das sind 1 h 48 min 34,29 s.“
Lösung:Eine solche Antwort ist natürlich sinnlos. Niemand kann die Fahrzeit eines Zugs auf Hunderts telsekunden genau angeben. Die Entfernung ist auf km gerundet, sie kann in Wirklichkeit jeden Wert zwischen 189,5 km und 190,5 km haben. Auch die Geschwindigkeit ist gerundet – hier ist die Un ge nauig keit wahrscheinlich noch grö-ßer, weil sie von vielen Faktoren abhängt. Eine sinnvolle Antwort wäre daher bes-tenfalls 1,8 h = 1 h 48 min.
Zur Erinnerung: Beim Runden geht es darum, den entstehenden Fehler möglichst klein zu halten.
Rundungsregel
• Wenn an der ersten Stelle, die weggelassen wird, höchstens 4 steht, wird abge-rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.
• Wenn an der ersten Stelle, die weggelassen wird, mindestens 5 steht, wird aufge-rundet, das heißt, die Rundungsstelle wird um 1 erhöht.
L 1.21 Runden B
a) Runde 463 und 468 auf Zehner. Lösung: 463 ≈ 460 (Rundungsfehler: 3) 468 ≈ 470 (Rundungsfehler: 2)
Manchmal müssen auch die davorstehenden Stellen erhöht werden:b) Runde 2,396 auf Hundertstel. Lösung: 2,396 ≈ 2,40 (Rundungsfehler: 0,004; die 0 an der Hundertstelstelle wird ange-
schrieben, um anzudeuten, dass auf Hundertstel und nicht auf Zehntel gerundet wurde.)
Vermeide es, in mehreren Schritten zu runden!c) Runde 18,47 auf Ganze. Lösung: 18,47 ≈ 18 (Rundungsfehler: 0,47) Wenn du rechnest: 18,47 ≈ 18,5 ≈ 19, erhältst du einen größeren Rundungsfehler
von 0,53.
Das Ergebnis einer Rechnung kann höchstens so genau sein wie die genaueste Angabe! Wenn beispielsweise eine gemessene Länge mit
3
Mathematische Bildung„Der Mangel an mathemati-scher Bildung gibt sich durch nichts so auffallend zu erkennen wie durch maßlose Schärfe im Zahlenrechnen.“Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
Wie du siehst, zeigt der Taschenrechner sehr große und kleine Zahlen automatisch als Gleitkommazahlen an. Wenn du willst, dass alle Zahlen so dargestellt werden, musst du im Menü MODE in der ersten Zeile Sci markieren (engl. scientific = wissenschaftlich) und mit ENTER bestätigen.
Um eine Gleitkommazahl einzugeben, verwendest du die Taste 2nd [EE]. 3 · 105 gibst du zum Beispiel mit der Tastenfolge 3 2nd [EE] 5 ein.
LINKSprichst du schon Taschenrechner?Wenn du eine Gleitkomma-darstellung ausgewählt hast – wie schreibt dein Taschen-rechner die Zahl 8 an?
Angewandte Mathematik I 25
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung
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ßer, weil sie von vielen Faktoren abhängt. Eine sinnvolle Antwort wäre daher bes
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ßer, weil sie von vielen Faktoren abhängt. Eine sinnvolle Antwort wäre daher bes
Zur Erinnerung: Beim Runden geht es darum, den entstehenden Fehler
LeseprobeZur Erinnerung: Beim Runden geht es darum, den entstehenden Fehler
sten Stelle, die weggelassen wird, höchstens 4 steht, wird abge
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sten Stelle, die weggelassen wird, höchstens 4 steht, wird abgerundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.
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rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.
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rundet, das heißt, die Rundungsstelle bleibt gleich.sten Stelle, die weggelassen wird, mindestens 5 steht, wird aufge
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sten Stelle, die weggelassen wird, mindestens 5 steht, wird aufgerundet, das heißt, die Rundungsstelle wird um 1 erhöht.
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rundet, das heißt, die Rundungsstelle wird um 1 erhöht.
unde 463 und 468 auf Zehner.
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unde 463 und 468 auf Zehner.
63 ≈ 460 (Rundungsfehler: 3)Leseprobe
63 ≈ 460 (Rundungsfehler: 3)68 ≈ 470 (Rundungsfehler: 2)Le
seprobe
68 ≈ 470 (Rundungsfehler: 2)
3,2 m angegeben ist, können wir davon ausgehen, dass der wahre Wert zwischen 3,15 m und 3,25 m liegt.
A 1.68 ★ Genauigkeit eines Ergebnisses B C
Die Seitenlängen eines rechteckigen Zimmers wurden mit 5,25 m und 3,62 m gemessen. Schätze ab, wie groß der Flächeninhalt des Zimmers mindestens und höchstens sein kann.
A 1.69 ★★ Ergebnisse schätzen B C
Schätze die Ergebnisse der folgenden Berechnungen ab und markiere, welche der folgenden Zahlen dem Ergebnis jeweils am nächsten liegt. a) (5,1 · 1013) · (4,6 · 10–19) 2,4 · 10–32 2,3 · 10–5
2,2 · 105 2,5 · 10–6
b) (9,1 · 1012) · (3,9 · 104) 7,4 · 1017 6,5 · 1017
3,4 · 1017 1,7 · 1017
c) (6,2 · 10–5) · (8,9 · 10–7) 5,6 · 1012 5,6 · 1011
5,6 · 10–12 5,6 · 10–11
d) (8,1 · 106) · (5,3 · 108) 4,4 · 1015 4,2 · 1017
4,3 · 1013 4,5 · 10–16
ÜBENIn den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu Maßzahlen und Maßeinheiten sowie zur Fest- und Gleitkomma-darstellung gezielt üben und festigen.
Rechnen mit Zahlen in GleitkommaschreibweiseA 1.71 ★ Umwandlung in Gleitkommadarstellung B
Stelle in Gleitkommadarstellung dar.a) 13 500 000b) 0,0008
c) 0,2d) 30 000
A 1.72 ★ Umwandlung in Festkommadarstellung B
Stelle in Festkommadarstellung dar.a) 8 · 10–4
b) 1,25 · 104
c) 5 · 10–3
d) 4,78 · 107
A 1.73 ★ Millionen & Co. B
Stelle in Gleitkommadarstellung dar.a) 20 Millionen b) 200 Milliarden c) 10 Trillionen
A 1.74 ★ SI-Einheiten umwandeln B
Wandle in die angegebene Einheit um und gib das Ergebnis in normierter Gleitkommadarstellung an.a) 3500 km = mb) 600 µm = mc) 12,4 mm = kmd) 0,003 m = nme) 750 g = mgf) 42 mg = kg
g) 0,015 mg = µgh) 6600 ns = msi) 0,48 TW = MWj) 98 000 kW = GWk) 24,5 kJ = Jl) 5 360 000 t = Mt
LINK
Die Seitenlängen eines rechteckigen Zimmers wurden mit 5,25 m
) · (8,9 · 10–7) 5,6 · 1011
5,6 · 10–11
8
Etwas verschätzt?Eine Million Menschen auf dem Tahrir-Platz in Kairo – ist dies überhaupt möglich?
LINKMaßeinheitenAufgabe A 1.70
Blöd gelaufenAm 23. September 1999 verglühte die Sonde Mars Climate Orbiter in der Mars -atmosphäre, weil die NASA im metrischen System, der Hersteller der Sonde aber in anderen Einheiten, nämlich in yards und pounds, gerechnet hatten.
26 Angewandte Mathematik I
Leseprobe,5 · 10
Leseprobe,5 · 10–16
Leseprobe–16
In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu
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In den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zu aßzahlen und Maßeinheiten sowie zur Fest- und Gleitkomma
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aßzahlen und Maßeinheiten sowie zur Fest- und Gleitkommadarstellung gezielt üben und festigen.
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darstellung gezielt üben und festigen.
Rechnen mit Zahlen in Gleitkommaschreibweise
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Rechnen mit Zahlen in Gleitkommaschreibweise Umwandlung in Gleitkommadarstellung
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Umwandlung in Gleitkommadarstellung
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Stelle in Gleitkommadarstellung dar.
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Stelle in Gleitkommadarstellung dar.c)Leseprobe
c) 0,2Leseprobe
0,2d)Leseprobe
d)
Umwandlung in Festkommadarstellung Leseprobe
Umwandlung in Festkommadarstellung Stelle in Festkommadarstellung dar.
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Stelle in Festkommadarstellung dar.
A 1.75 ★★ Große und kleine Zahlen aus den Naturwissenschaften B
Stelle alle Ergebnisse in Gleitkommadarstellung dar.a) Unser blauer Planet Erde braucht für seine Umrundung um die Sonne 365 Tage,
wobei er eine Entfernung von 9,4608 · 108 Kilometern zurücklegt. Ermittle die Geschwindigkeit der Erde.
b) Der Durchmesser der Milchstraße beträgt 8,5 1017 Kilometer. Berechne jene Zeitspanne, die das Licht benötigt, um diesen Durchmesser zu durchqueren, wenn es mit 3 105 km/s unterwegs ist.
c) Auch wenn die menschlichen Haare unterschiedlich dick sind, so ist ein menschliches Haar im Durchschnitt 6 · 10–2 mm stark. Die sehr belastbaren Spinnenfäden sind aber nur ein Zwölftel so dick. Berechne die Stärke eines Spinnen fadens.
d) Eine Raumsonde sendet ein Signal mit der Lichtgeschwindigkeit von 3 105 km/s zur Erde, das 4 Stunden 6 Minuten für seine Reise benötigt. Ermittle die Entfernung, die das Signal zurücklegt.
e) Im Körper eines Erwachsenen befinden sich ungefähr 6 Liter Blut, in dem u. a. rote und weiße Blutkörperchen vorhanden sind. In 1 mm3 Blut sind 5 · 106 rote Blutkörperchen mit einem Durchmesser von je 7 10–3 mm enthalten. Berechne die Anzahl der roten Blutkörperchen eines Erwachsenen.
f) Jedes Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen (H-Atomen) und einem Sauerstoffatom (O-Atom). Ein H-Atom hat eine Masse von ,1 674 10· 24- g, ein O-Atom eine Masse von ,2 675 10· 23- g. Die atomare Masseneinheit u ist ein Sechzehntel der Masse eines O-Atoms. Ermittle die Masse eines Wassermoleküls in atomaren Masseneinheiten.
Ergebnisse abschätzen und rundenA 1.79 ★ Ergebnisse runden B
Runde die Ergebnisse der folgenden Rechnungen sinnvoll.a) Ein Rad hat einen Radius von 0,632 m. Berechne den Umfang.b) In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse 7,5 m und eine Kathete
3,33 m lang. Berechne die Länge der anderen Kathete. (Wie würde sich das Ergebnis ändern, wenn die Angabe 7,50 m lauten würde?)c) Ein Wanderer steht in einer horizontalen Entfernung von 5 km zu einem
Berggipfel. Der Höhenunterschied beträgt 456 m. Berechne den Abstand zwischen Wanderer und Gipfel (Luftlinie).
d) In einem Land sind 1,7 Millionen Menschen zuckerkrank, das sind 7 % der Bevölkerung. Berechne, wie viele Einwohner das Land hat.
e) Bei einem Test legt ein Auto eine Strecke von 1000 m in 48,5 s zurück. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s.
A 1.80 ★★ Überschlagsrechnung B C
Schätze die Ergebnisse der folgenden Berechnungen im Kopf ab und markiere, welche der angegebenen Zahlen deinem Ergebnis am nächsten kommt.
a) 123 · 456 5000 10 000 50 000 100 000
b) 23 400 · 0,025 200 600 6000 20 000
c) 365633 000 0,2 50 500 2000
d) 144 0075 0,005 0,03 0,5 200
e) ·175
36 252 10 50 300 1000
f) ,· ,
0 231 200 4 5 500 1000 6000 25 000
LINKRechnen mit Zahlen in Gleitkomma schreibweiseAufgaben A 1.76 – A 1.78
Achtung: Achte bei Anwen-dungsaufgaben immer darauf, dass du die Ergebnisse angemessen rundest!
LINKErgebnisse abschätzen und rundenAufgabe A 1.81
c) (6,2 · 10–5) · (8,9 · 10–7) 5,6 · 1012 5,6 · 1011
5,6 · 10–12 5,6 · 10–11
d) (8,1 · 106) · (5,3 · 108) 4,4 · 1015 4,2 · 1017
4,3 · 1013 4,5 · 10–16
A 1.72 ★ Umwandlung in Festkommadarstellung B
Stelle in Festkommadarstellung dar.
LINKEtwas verschätzt?Eine Million Menschen auf dem Tahrir-Platz in Kairo – ist dies überhaupt möglich?
Blöd gelaufenAm 23. September 1999 verglühte die Sonde Mars Climate Orbiter in der Mars -atmosphäre, weil die NASA im metrischen System, der Hersteller der Sonde aber in anderen Einheiten, nämlich in yards und pounds, gerechnet hatten.
Angewandte Mathematik I 27
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung
Leseprobe
m Körper eines Erwachsenen befinden sich ungefähr 6 Liter Blut, in dem u.
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m Körper eines Erwachsenen befinden sich ungefähr 6 Liter Blut, in dem u. Blut sind 5 · 10
Leseprobe Blut sind 5 · 106
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6 rote
Leseprobe rote
mm enthalten. Berechne
Leseprobe mm enthalten. Berechne
edes Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen (H-Atomen) und
Leseprobeedes Wassermolekül besteht aus zwei Wasserstoffatomen (H-Atomen) und
einem Sauerstoffatom (O-Atom). Ein H-Atom hat eine Masse von
Leseprobeeinem Sauerstoffatom (O-Atom). Ein H-Atom hat eine Masse von ,1 674 10·
Leseprobe,1 674 10· 24
Leseprobe24-
Leseprobe- g,
Leseprobe g,
g. Die atomare Masseneinheit u ist ein
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g. Die atomare Masseneinheit u ist ein Sechzehntel der Masse eines O-Atoms. Ermittle die Masse eines Wassermoleküls
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Sechzehntel der Masse eines O-Atoms. Ermittle die Masse eines Wassermoleküls
Ergebnisse abschätzen und runden
Leseprobe
Ergebnisse abschätzen und runden
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Runde die Ergebnisse der folgenden Rechnungen sinnvoll.
Leseprobe
Runde die Ergebnisse der folgenden Rechnungen sinnvoll.in Rad hat einen Radius von 0,632 m. Berechne den Umfang.
Leseprobe
in Rad hat einen Radius von 0,632 m. Berechne den Umfang.n einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse 7,5 m und eine Kathete
Leseprobe
n einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse 7,5 m und eine Kathete 3,33 m lang. Berechne die Länge der anderen Kathete.
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3,33 m lang. Berechne die Länge der anderen Kathete. Wie würde sich das Ergebnis ändern, wenn die Angabe 7,50 m lauten würde?)Le
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Wie würde sich das Ergebnis ändern, wenn die Angabe 7,50 m lauten würde?)in Wanderer steht in einer horizontalen Entfernung von 5 km zu einem Le
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in Wanderer steht in einer horizontalen Entfernung von 5 km zu einem Berggipfel. Der Höhenunterschied beträgt 456 m. Berechne den Abstand Le
seprobe
Berggipfel. Der Höhenunterschied beträgt 456 m. Berechne den Abstand zwischen Wanderer und Gipfel (Luftlinie).Le
seprobe
zwischen Wanderer und Gipfel (Luftlinie).
KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du gelernt, wie man mit Maßzahlen und Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung rechnet und wie man Maßeinheiten ineinander umwandelt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.
A 1.82 ★ Gleitkommadarstellung C
Zuordnungsformat (2 zu 4): Zahlen können in Gleitkomma- oder Festkommadarstellung aufgeschrieben werden. Ordne den beiden Festkommadarstellungen die passenden Gleitkommadar-stellungen zu.
0,04 mm A 4 · 10–5 m
17 GW B 1,7 · 1010 W
C 1,7 · 1011 W
D 4 · 10–4 m
A 1.83 ★★ Gold B D Gold wird in Feinunzen gewogen, eine Feinunze entspricht 31,1 g. Die Goldreserven der Österreichischen Nationalbank betragen ca. 280 Tonnen.a) Berechne, wie viele Feinunzen die österreichischen Goldreserven betragen.
(Führe die Berechnung in Gleitkommadarstellung durch.)b) 1 dm3 Gold hat eine Masse von 19,3 kg. Angenommen, die österreichischen
Goldreserven würden zu einem Würfel eingeschmolzen. • Erkläre, wie du die Seitenlänge dieses Würfels berechnen kannst.• Berechne die Seitenlänge in Meter.
A 1.84 ★ Haare B D Der Durchmesser eines menschlichen Haares beträgt 0,12 mm. Blonde haben durchschnittlich 150 000 Kopfhaare, Brünette 100 000 und Rothaarige 75 000. Führe die folgenden Berechnungen in Gleitkommadarstellung durch.a) Berechne, welche Strecke (in Meter) die Haare einer blonden bzw. brünetten
Person einnehmen würden, wenn man sie nebeneinanderlegt.• Erkläre, warum man das entsprechende Ergebnis für Rothaarige nicht extra
berechnen muss.b) Ermittle, wie viele Haare man nebeneinanderlegen müsste, um den ganzen
Erdumfang (40 000 km) zu bedecken.
A 1.85 ★ Hochwasser B D Anfang Juni 2013 kam es an der Donau zu einem Jahrhunderthochwasser. In einem Artikel heißt es: „Wo sonst rund 2000 Kubikmeter Wasser pro Sekunde fließen, mussten die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter mit rund 11 000 Kubikmetern pro Sekunde fertigwerden. Das sind jede Sekunde fast 80 000 volle Badewannen.“a) Überprüfe diese Behauptung, wenn eine Badewanne 130 Liter fasst.b) Berechne, wie viele Liter Wasser in einer Stunde durch die Donau flossen.
Rechne in Gleitkommadarstellung.
SRDP
SRDP
SRDP
28 Angewandte Mathematik I
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LeseprobeGold wird in Feinunzen gewogen, eine Feinunze entspricht 31,1
LeseprobeGold wird in Feinunzen gewogen, eine Feinunze entspricht 31,1 g. Die
Leseprobeg. Die
Goldreserven der Österreichischen Nationalbank betragen ca. 280
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Goldreserven der Österreichischen Nationalbank betragen ca. 280 Tonnen.
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Tonnen.erechne, wie viele Feinunzen die österreichischen Goldreserven betragen.
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erechne, wie viele Feinunzen die österreichischen Goldreserven betragen. (Führe die Berechnung in Gleitkommadarstellung durch.)
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(Führe die Berechnung in Gleitkommadarstellung durch.) Gold hat eine Masse von 19,3 kg. Angenommen, die österreichischen
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Gold hat eine Masse von 19,3 kg. Angenommen, die österreichischen
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Goldreserven würden zu einem Würfel eingeschmolzen.
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Goldreserven würden zu einem Würfel eingeschmolzen. rkläre, wie du die Seitenlänge dieses Würfels berechnen kannst.
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rkläre, wie du die Seitenlänge dieses Würfels berechnen kannst.erechne die Seitenlänge in Meter.
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erechne die Seitenlänge in Meter.
Der Durchmesser eines menschlichen Haares beträgt 0,12 mm. Blonde haben
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Der Durchmesser eines menschlichen Haares beträgt 0,12 mm. Blonde haben 00 Kopfhaare, Brünette 100
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00 Kopfhaare, Brünette 100Führe die folgenden Berechnungen in Gleitkommadarstellung durch.Le
seprobe
Führe die folgenden Berechnungen in Gleitkommadarstellung durch.erechne, welche Strecke (in Meter) die Haare einer blonden bzw. brünetten Le
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erechne, welche Strecke (in Meter) die Haare einer blonden bzw. brünetten Person einnehmen würden, wenn man sie nebeneinanderlegt.Le
seprobe
Person einnehmen würden, wenn man sie nebeneinanderlegt.Leseprobe
rkläre, warum man das entsprechende Ergebnis für Rothaarige nicht extra Leseprobe
rkläre, warum man das entsprechende Ergebnis für Rothaarige nicht extra LeseprobeSRDP
LeseprobeSRDP
A 1.86 ★★ Ergebnisse abschätzen B
Schätze die folgenden Ergebnisse mithilfe der Gleitkommadarstellung ab (ohne Taschenrechner!):a) Die Erde hat einen Radius von ca. 6400 km. Berechne die Oberfläche und das
Volumen der Erde. (Kugeloberfläche: O = 4r2π, Kugelvolumen: V r34 3r= )
b) Auf der Erde leben ungefähr 7 Milliarden Menschen. Die Erdoberfläche ist zu ca. 70 % von Wasser bedeckt. Berechne, wie viele Menschen durchschnittlich auf einem Quadratkilometer Landfläche leben.
c) Der Radiosender Ö3 sendet auf den Frequenzen (= Anzahl der elektromagnetischen Schwingungen pro Sekunde) von 99,9 MHz und 101,3 MHz. Elektromagnetische Wellen pflanzen sich (wie auch das Licht) mit einer Geschwindigkeit von 300 000 km/s fort. Berechne die Wellenlänge von Radiowellen (d. h. die Strecke, die während einer Schwingung zurückgelegt wird).
d) Das menschliche Herz schlägt ca. 80-mal pro Minute. Berechne, wie viele Schläge es in einem ganzen Leben macht, wenn du von einer durchschnittlichen Lebenserwartung ausgehst.
KOMPETENZCHECKMeine Kompetenzen Kann ich? Aufgaben
Ich kann die wichtigsten Maßeinheiten zueinander in Beziehung setzen, ineinander umwandeln und damit rechnen.
A 1.83, A 1.84, A 1.85
Ich kann Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwan-deln und umgekehrt und mit ihnen rechnen.
A 1.82, A 1.84, A 1.85
Ich kann Ergebnisse von Rechnungen sinnvoll runden. A 1.83, A 1.84, A 1.85
Ich kann Ergebnisse von Berechnungen abschätzen. A 1.86
LINKInteraktive AufgabenAufgaben in den Antwort-formaten der sRDP
Angewandte Mathematik I 29
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 2: Maßzahlen und Maßeinheiten, Fest- und Gleitkommadarstellung
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Meine Kompetenzen
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Meine Kompetenzen
Ich kann die wichtigsten Maßeinheiten zueinander in Beziehung setzen,
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Ich kann die wichtigsten Maßeinheiten zueinander in Beziehung setzen, einander umwandeln und damit rechnen.
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einander umwandeln und damit rechnen.
Ich kann Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwan
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Ich kann Zahlen von Festkommadarstellung in Gleitkommadarstellung umwandeln und umgekehrt und mit ihnen rechnen.
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deln und umgekehrt und mit ihnen rechnen.
Ich kann Ergebnisse von Rechnungen sinnvoll runden.Leseprobe
Ich kann Ergebnisse von Rechnungen sinnvoll runden.Leseprobe
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Ich kann Ergebnisse von Berechnungen abschätzen.Leseprobe
Ich kann Ergebnisse von Berechnungen abschätzen.
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3 Prozent- und Promillerechnung
Prozente sind aus dem Alltags- und Berufsleben nicht wegzuden-ken. Du isst zum Frühstück ein Joghurt mit 3,6 % Fettgehalt, bezahlst eine Wurstsemmel inklusive 10 % Umsatzsteuer, kämpfst dich mit dem Mountainbike über eine Straße mit 15 % Steigung … Andererseits werden in kaum einer mathematischen Anwendung so viele Fehler gemacht wie bei der Prozentrechnung.
A 1.87 ★ Begriffsverwirrung A C
In einer Zeitung liest du: „In Großstädten trennt jeder fünfte Haushalt Papier von Restmüll. In den ländlichen Gebieten führt hingegen nur jede vierte Familie Mülltrennung durch.“a) Nimm zu dieser Aussage kritisch Stellung.b) Übersetze die Begriffe „jeder Fünfte“, „jede Vierte“ in Prozentangaben.
Wenn man verschiedene Anteile oder Änderungsraten miteinander vergleichen will, bezieht man sie auf denselben Ausgangswert. In der Prozentrechnung ist dieser Wert 100, also ist 1 % (Prozent) ein Hundertstel des Grundwerts.
Sehr kleine Teile gibt man manchmal in Promille an. 1 ‰ (Promille) ist ein Tausendstel des Grundwerts.
Wichtige BegriffeDer Grundwert G ist der Basiswert, auf den sich die Prozent-/Promilleangaben beziehen.
Der Prozentsatz/Promillesatz p gibt an, wie viele Hundertstel/Tausendstel vom Grundwert genommen werden.
Von 0 auf 100Auf manchen Straßen überwindet man innerhalb kürzester Zeit aufgrund der starken Steigung mehrere Hundert Höhenmeter. Die Filbert Street gilt mit 31,5 Prozent Steigung als die steilste Straße im hügeligen San Francisco.
Prozentital. per cento, „von Hundert“
Promilleital. per mille, „von Tausend“
30 Angewandte Mathematik I
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Prozent- und
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Prozent- und Promillerechnung
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PromillerechnungProzente sind aus dem Alltags- und Berufsleben nicht wegzuden
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Prozente sind aus dem Alltags- und Berufsleben nicht wegzudenken. Du isst zum Frühstück ein Joghurt mit 3,6
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ken. Du isst zum Frühstück ein Joghurt mit 3,6bezahlst eine Wurstsemmel inklusive 10
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bezahlst eine Wurstsemmel inklusive 10
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dich mit dem Mountainbike über eine Straße mit 15Leseprobe
dich mit dem Mountainbike über eine Straße mit 15Andererseits werden in kaum einer mathematischen Anwendung Le
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Andererseits werden in kaum einer mathematischen Anwendung so viele Fehler gemacht wie bei der Prozentrechnung.Le
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so viele Fehler gemacht wie bei der Prozentrechnung.Leseprobe
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CLeseprobe
C
Der Prozentanteil/Promilleanteil A ist der Wert des Anteils in €, kg, mm …
Prozentanteil
·GA p100= p … Prozentsatz
Promillanteil
·GA p1000= p … Promillesatz
Berechnung des Prozentanteils (Prozentwerts)
L 1.22 Prozentwert berechnen B
Ein USB-Stick ist mit einem Preis von € 29,80 ausgezeichnet. Im Rahmen eines Son-derangebots wird der Preis um 50 % gesenkt. Berechne den neuen Preis.Lösung:Möglichkeit 1: Schlussrechnung100 % … € 29,80 1 % … € 0,298 50 % … € 14,90Möglichkeit 2: Multiplikation
, , , ,A 29 80 10050 29 80 0 5 14 90· ·= = =
Wie du siehst, ist es einfacher, den Prozentsatz gleich als Dezimalzahl auszudrücken.
Als Hilfestellung kann man sich auch Folgendes merken:
z. B.: 35 % v n 200 = 0,35 200
v n wird zu
Wenn der Grundwert um p % erhöht oder erniedrigt werden soll, ist es einfa-cher, gleich den neuen Wert zu berechnen. Zum Beispiel beträgt bei einer Erhöhung um 5 % der neue Wert 105 %, bei einer Abnahme um 5 % müssen 95 % berechnet werden. Allgemein gilt:
Erhöhung und Erniedrigung des Grundwerts
Erhöhung des Grundwerts um p %:
A G p1 100·= ++ b lVerringerung des Grundwerts um p %:
A G p1 100·= -- b l
Achtung: Achte in der Angabe immer genau darauf, ob etwas um p % oder auf p % vergrößert, verkleinert, ermäßigt, verteuert … wird!
A 1.88 ★ Verpackung A B
Aufgrund der Ergebnisse einer Kundenumfrage wird ein Müsli nun in einer größeren Packung angeboten. Bisher enthielt eine Schachtel 250 g. Die neue Packung beinhaltet um 20 % mehr Müsli. Stelle einen Term auf, der das neue Gewicht beschreibt. Berechne das neue Gewicht.
Hurra, ich hab's!Einer Anekdote zufolge rief Archimedes von Syrakus Heureka (altgriech. für „Ich habe (es) gefunden.“), nachdem er das nach ihm benannte Archimedische Prinzip entdeckt hatte.
Formeln zur PromillerechnungWenn mit Promille gerechnet wird, muss in allen Formeln 1000 statt 100 gesetzt werden.
Achtung: Physikalisch korrekt müsste man von der Masse sprechen, im alltäglichen Sprachgebrauch wird aber der Begriff „Gewicht“ verwendet.
Angewandte Mathematik I 31
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung
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Wie du siehst, ist es einfacher, den Prozentsatz gleich als Dezimalzahl auszudrücken.
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Wie du siehst, ist es einfacher, den Prozentsatz gleich als Dezimalzahl auszudrücken.
Als Hilfestellung kann man sich auch Folgendes merken:
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Als Hilfestellung kann man sich auch Folgendes merken:
v n 200
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0,35 200
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% der neue Wert 105Leseprobe
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A 1.89 ★★ Abverkaufspreise A B D
In deinem Lieblingsgeschäft ist Lagerabverkauf. Bei den Hosen gibt es eine Preisreduktion um 20 %, bei Pullovern um 30 % und bei T-Shirts um 25 %. Du wählst eine weiße Hose (Preis etikett: € 49,90), zwei T-Shirts (Preisetikett: jeweils € 15,90) und einen Pullover (Preisetikett: € 44,90). a) Stelle einen Term auf, der den Geldbetrag, den du bezahlen musst, beschreibt. b) Berechne diesen Geldbetrag. c) Zeige, dass die prozentuelle Ersparnis nicht die Summe der einzelnen
Prozentangaben ist.
A 1.90 ★★ Prozentangaben richtig interpretieren C
Vergleiche die „Angabesätze“ und die „Partnersätze“. Finde die Paare. (Achtung: Es gibt mehr „Partnersätze“ als „Angabesätze“.)Angabesätze:a) Der Preis für eine Herrenjeans wird um 25 % reduziert.b) Die Miete für ein Geschäftslokal wird anlässlich einer Neuübernahme um 12 %
erhöht. c) Das Auslaufmodell eines Snowboards wird heuer auf 40 % des Listenpreises
reduziert.d) Die durchschnittlichen Preise für Flatscreens sind in den letzten 3 Jahren um
15 % gefallen.e) Die Preise für Handys sind im Laufe der letzten 5 Jahre im Durchschnitt um 54 %
gefallen.f) Kaffee der Marke „Kenia“ kostet 7 Euro pro kg. Während einer Aktion wird der
Kilopreis um 15 % reduziert.g) Erdbeeren kosten während einer Aktion 4 Euro pro kg. Wenn keine Aktion ist,
muss man um 30 % mehr zahlen.h) 2015 betrug die Miete für eine Wohnung € 450. Sie wurde mit 1. 1. 2016 auf 112 %
erhöht. i) 2015 musste man für eine Wohnung € 680 Miete bezahlen. Mit 1. 1. 2016 wurde
diese um 14 % erhöht. j) Earl Grey Tee kostet 35 Euro pro kg. Aufgrund einer schlechten Ernte gibt es eine
Preiser höhung auf 115 %.„Partnersätze“: 1. Man muss nun 112 % des alten Preises zahlen. 2. Sie kostet nun 4
3 des ursprünglichen Preises. 3. Man muss nun um 40 % weniger zahlen als im Vorjahr. 4. Er kostet nun 5
3 des ursprünglichen Preises. 5. Man zahlt jetzt nur mehr 6,95 Euro für 1 kg. 6. Nun muss man nur mehr 85 % der alten Preise zahlen. 7. Man zahlt jetzt nur mehr das 0,4-Fache des Ursprungspreises. 8. Man muss nun 121 % des alten Preises zahlen. 9. Man zahlt dann € 786,20 dafür.10. Nun muss man nur mehr 15 % der alten Preise zahlen.11. Man zahlt jetzt nur mehr das 0,46-Fache des früheren Preises.12. Man zahlt dann € 775,20 dafür.13. Man zahlt jetzt nur mehr 5,95 Euro für 1 kg. 14. Man zahlt dann 5,60 Euro für 1 kg.15. Man muss nun um 60 % weniger zahlen als im Vorjahr.16. Man zahlt dann € 40,25.17. Man zahlt dann 5,20 Euro für 1 kg.18. Man zahlt dann € 514 dafür.19. Man zahlt dann € 42,50. 20. Man zahlt dann € 504 dafür.
Verschiedene Arten der Euro-SchreibweiseDas €-Zeichen kann der Zahl voran- oder nachgestellt werden oder man kann die Währung auch nach der Zahl ausschreiben.
32 Angewandte Mathematik I
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ie Miete für ein Geschäftslokal wird anlässlich einer Neuübernahme um 12
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ie Miete für ein Geschäftslokal wird anlässlich einer Neuübernahme um 12
es Listenpreises
Leseprobees Listenpreises
ie durchschnittlichen Preise für Flatscreens sind in den letzten 3 Jahren um
Leseprobeie durchschnittlichen Preise für Flatscreens sind in den letzten 3 Jahren um
ie Preise für Handys sind im Laufe der letzten 5 Jahre im Durchschnitt um 54
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ie Preise für Handys sind im Laufe der letzten 5 Jahre im Durchschnitt um 54 %
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%
affee der Marke „Kenia“ kostet 7 Euro pro kg. Während einer Aktion wird der
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affee der Marke „Kenia“ kostet 7 Euro pro kg. Während einer Aktion wird der
rdbeeren kosten während einer Aktion 4 Euro pro kg. Wenn keine Aktion ist,
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rdbeeren kosten während einer Aktion 4 Euro pro kg. Wenn keine Aktion ist,
015 betrug die Miete für eine Wohnung € 450. Sie wurde mit 1.
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015 betrug die Miete für eine Wohnung € 450. Sie wurde mit 1.
015 musste man für eine Wohnung € 680 Miete bezahlen. Mit 1.
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015 musste man für eine Wohnung € 680 Miete bezahlen. Mit 1.
arl Grey Tee kostet 35 Euro pro kg. Aufgrund einer schlechten Ernte gibt es eine
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arl Grey Tee kostet 35 Euro pro kg. Aufgrund einer schlechten Ernte gibt es eine öhung auf 115
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öhung auf 115 %
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%.
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.
% d Leseprobe
% des alten Preises zahlen.Leseprobe
es alten Preises zahlen. des ursprünglichen Preises.Le
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des ursprünglichen Preises.eniger zahlen als im Vorjahr.Leseprobe
eniger zahlen als im Vorjahr.
A 1.91 ★★ Netto- und Bruttopreis A B
a) Der Nettopreis für einen Lautsprecher beträgt € 32,50. Dazu kommen 20 % Umsatzsteuer (USt). Ermittle den Steuerbetrag und den Bruttopreis.
b) Für Lebensmittel gilt ein Umsatzsteuersatz von 10 %. Ein Kilogramm Käse kostet € 16,00. Frau Wagner kauft 350 g Käse. Berechne den Nettopreis, den Steuerbetrag und den Bruttopreis.
c) Gib Formeln für den Bruttopreis B an, wenn der Nettopreis N bekannt ist, bei normalem bzw. ermäßigtem Umsatzsteuersatz.
A 1.92 ★ Anders ausgedrückt ist das … A B
Manche Prozentsätze kann man durch einfache Brüche ausdrücken.Vervollständige die Tabelle.
Prozentsatz Bruch in Worten
50 % 21 jeder Zweite
25 %
43
101
jeder Fünfte
5 %
drei von fünf
Berechnung des Prozentsatzes
L 1.23 Prozentsatz berechnen A B C
Ein Computerspiel war mit einem Preis von € 29,80 ausgeschildert. Im Abverkauf wird es um € 20,80 verkauft. Berechne, um welchen Prozentsatz das Computer-spiel vergünstigt wurde. Modelliere mehrere Lösungswege und dokumentiere diese.Lösung:Die Ermäßigung beträgt 9 Euro.Möglichkeit 1: Schlussrechnung€ 29,80 … 100 %
€ 1,00 … , %29 80100
€ 9,00 … , , %29 80100 9 30 2· =
Möglichkeit 2: DivisionDer Prozentanteil wird durch den Grundwert dividiert.
, , , %p 29 89 0 302 30 2= = =
Der Verkaufspreis wurde um 30,2 % vergünstigt.
NettopreisPreis ohne UmsatzsteuerUmsatzsteuerSteuer, die auf den Umsatz erhoben wirdBruttopreisPreis einschließlich Umsatzsteuer
Angewandte Mathematik I 33
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung
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jeder Fünfte
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jeder Fünfte
drei von fünf
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drei von fünf
Prozentsatzes
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Prozentsatzes
Prozentsatz berechnen
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Ein Computerspiel war mit einem Preis von € 29,80 ausgeschildert. Im Abverkauf Leseprobe
Ein Computerspiel war mit einem Preis von € 29,80 ausgeschildert. Im Abverkauf wird es um € 20,80 verkauft. Berechne, um welchen Prozentsatz das ComputerLe
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wird es um € 20,80 verkauft. Berechne, um welchen Prozentsatz das ComputerLeseprobe
spiel vergünstigt wurde. Modelliere mehrere Lösungswege und dokumentiere Leseprobe
spiel vergünstigt wurde. Modelliere mehrere Lösungswege und dokumentiere
Dieser Rechenweg lässt sich auch als Formel schreiben:
Prozentsatz
p GA 100·=
A 1.93 ★ Bevölkerungswachstum B
Ein Ort hatte vor 10 Jahren 1320 Einwohner, jetzt sind es 1670. Berechne, um wie viel Prozent die Einwohnerzahl gestiegen ist.
A 1.94 ★ Mieterhöhung B
Die Miete für eine Wohnung wird von € 530 auf € 568 erhöht. Berechne, wie viel Prozent die Erhöhung ausmacht.
A 1.95 ★ Sonderangebot B
Ein Artikel kostet € 35. Bei einem Sonderangebot wird er um € 25 angeboten. Ermittle, um wie viel Prozent der Artikel verbilligt wurde.
A 1.96 ★★ Bahnausbau B D
Durch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf 1 h 45 min.a) Berechne, wie viel Prozent Zeitersparnis das ergibt.b) Der Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24 % von
105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“ Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.
A 1.97 ★ Ab-Hof-Verkauf B
Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50. Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.
Berechnung des Grundwerts
L 1.24 Grundwert ermitteln A B
Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion. Ermittle den regulären Preis.Lösung:Der ermäßigte Preis beträgt 70 % des ursprünglichen Verkaufspreises.Möglichkeit 1: Schlussrechnung
70 % … € 20,80
1 % … € ,7020 8
100 % … € ,70
2 8 1000 · = € 29,71
Möglichkeit 2: DivisionUm 70 % zu erhalten, musste man den Grundwert mit 0,7 multiplizieren. Wir erhal-ten daher den ursprünglichen Preis, indem wir den ermäßigten Preis durch 0,7 divi-dieren:
,, ,G 0 7
2 8 29 710= =
Wahrscheinlich wurde der Pullover ursprünglich um € 29,70 angeboten.
Tipp: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen, sondern kannst sie leicht durch Umformen der Grund-
formel A Gp100
·= herleiten
(Umformen siehe Kapitel 2, Lerneinheit 2).
34 Angewandte Mathematik I
Leseprobe
LeseprobeDurch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf
LeseprobeDurch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf
er Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24
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er Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24 % v
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% von
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on 105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“
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105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“ Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.
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Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.
Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50.
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Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50. Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.
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Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.
Grundwerts
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Grundwerts
Grundwert ermitteln
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Grundwert ermitteln
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A
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A
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B
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B
Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Leseprobe
Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Leseprobe
Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion. Leseprobe
Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion.
Dieser Rechenweg lässt sich auch als Formel schreiben:
Prozentsatz
p GA 100·=
A 1.93 ★ Bevölkerungswachstum B
Ein Ort hatte vor 10 Jahren 1320 Einwohner, jetzt sind es 1670. Berechne, um wie viel Prozent die Einwohnerzahl gestiegen ist.
A 1.94 ★ Mieterhöhung B
Die Miete für eine Wohnung wird von € 530 auf € 568 erhöht. Berechne, wie viel Prozent die Erhöhung ausmacht.
A 1.95 ★ Sonderangebot B
Ein Artikel kostet € 35. Bei einem Sonderangebot wird er um € 25 angeboten. Ermittle, um wie viel Prozent der Artikel verbilligt wurde.
A 1.96 ★★ Bahnausbau B D
Durch den Ausbau einer Bahnstrecke verkürzt sich die Fahrzeit von 2 h 10 min auf 1 h 45 min.a) Berechne, wie viel Prozent Zeitersparnis das ergibt.b) Der Pressesprecher der Bahn erklärt: „25 Minuten sind ungefähr 24 % von
105 Minuten. Sie ersparen sich also in Zukunft fast ein Viertel der Fahrzeit.“ Erkläre, warum diese Argumentation falsch ist.
A 1.97 ★ Ab-Hof-Verkauf B
Eine Flasche Wein kostet beim Weinbauern brutto € 6,16, netto € 5,50. Berechne den Umsatzsteuersatz für den Ab-Hof-Verkauf von Wein.
Berechnung des Grundwerts
L 1.24 Grundwert ermitteln A B
Auf einem Pulloveretikett war der reduzierte Preis von € 20,80 ausgeschildert. Im Rahmen des Schlussverkaufes gab es eine 30%ige Preisreduktion. Ermittle den regulären Preis.Lösung:Der ermäßigte Preis beträgt 70 % des ursprünglichen Verkaufspreises.Möglichkeit 1: Schlussrechnung
70 % … € 20,80
1 % … € ,7020 8
100 % … € ,70
2 8 1000 · = € 29,71
Möglichkeit 2: DivisionUm 70 % zu erhalten, musste man den Grundwert mit 0,7 multiplizieren. Wir erhal-ten daher den ursprünglichen Preis, indem wir den ermäßigten Preis durch 0,7 divi-dieren:
,, ,G 0 7
2 8 29 710= =
Wahrscheinlich wurde der Pullover ursprünglich um € 29,70 angeboten.
Tipp: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen, sondern kannst sie leicht durch Umformen der Grund-
formel A Gp100
·= herleiten
(Umformen siehe Kapitel 2, Lerneinheit 2).
Als Formel geschrieben:
Grundwert
G pA 100·=
Die zweite Möglichkeit (siehe L 1.24) kann man sehr schön mithilfe von Gleichungen anschreiben. Mehr dazu erfährst du in Kapitel 2.
A 1.98 ★ Grundbesitz B
Ein Bauer hat 5,6 ha Wiesen, das sind 35 % seines Grundbesitzes. Gib an, wie groß der gesamte Besitz ist.
A 1.99 ★ Landwirtschaft B
Auch auf dem Land nimmt der Anteil der Bevölkerung, der in der Landwirtschaft arbeitet, immer mehr ab.a) In einem Ort leben 45 Bauern, das sind 6,25 % der Bevölkerung. Berechne, wie
viele Einwohner der Ort hat.b) 2013 arbeiteten in Österreich 148 920 Personen in der Land- und Forstwirtschaft,
das waren 3,63 % aller Erwerbstätigen. Berechne, wie viele Personen insgesamt erwerbstätig waren.
A 1.100 ★ Nettopreis berechnen B
Ein Artikel kostet inkl. 20 % Mehrwertsteuer € 59,90. Berechne den Nettopreis.
A 1.101 ★ Kleinkredit B
Für einen Kredit wurden inkl. 7 % Zinsen nach einem Jahr € 3.745 zurückgezahlt. Ermittle die Höhe des Kredits.
Mehrfach veränderter GrundwertIm Alltag kommt es oft vor, dass der Preis einer Ware sich um p1 % verändert und dann ein zusätzlicher Rabatt von p2 % gewährt wird. Dabei verändert sich mit jeder Preis änderung auch automatisch der Grundwert mit.
RabattEin Rabatt ist ein Preisnachlass, der vom Netto-preis (Listenpreis) abgezogen wird (Abverkauf, Modelländerung, Kundentreue …).
SkontoBei Barzahlung oder bei Bezahlung einer Rechnung innerhalb einer Frist wird ein Preis-nachlass von 2 % bis zu 5 % gewährt (Kassa-skonto).
Tipp: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen, sondern kannst sie leicht durch Umformen der Grund-
formel A Gp100
·= herleiten
(Umformen siehe Kapitel 2, Lerneinheit 2).
LINK
Ein Rabatt ist ein Preisnachlass, der vom Netto-preis (Listenpreis) abgezogen wird (Abverkauf,
Rechnung innerhalb einer Frist wird ein Preis-
LINK
Um oder auf?Beim Prozentrechnen kommt es auf das Um und Auf an.
Angewandte Mathematik I 35
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung
Leseprobeer Bevölkerung. Berechne, wie
Leseprobeer Bevölkerung. Berechne, wie
013 arbeiteten in Österreich 148 920 Personen in der Land- und Forstwirtschaft,
Leseprobe013 arbeiteten in Österreich 148 920 Personen in der Land- und Forstwirtschaft,
ler Erwerbstätigen. Berechne, wie viele Personen insgesamt
Leseprobeler Erwerbstätigen. Berechne, wie viele Personen insgesamt
ehrwertsteuer € 59,90. Berechne den Nettopreis.
Leseprobe
ehrwertsteuer € 59,90. Berechne den Nettopreis.
insen nach einem Jahr € 3.745 zurückgezahlt.
Leseprobe
insen nach einem Jahr € 3.745 zurückgezahlt.
Mehrfach veränderter Grundwert
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Mehrfach veränderter GrundwertIm Alltag kommt es oft vor, dass der Preis
Leseprobe
Im Alltag kommt es oft vor, dass der Preis % v
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% verändert und dann
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erändert und dann ein zusätzlicher Rabatt von pLe
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ein zusätzlicher Rabatt von p2Leseprobe
2 % gLeseprobe
% gewährt wird. Leseprobe
ewährt wird. Dabei verändert sich mit jeder PreisLe
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Dabei verändert sich mit jeder PreisLeseprobe
äLeseprobe
änderung Leseprobe
nderung auch automatisch der Grundwert mit. Le
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auch automatisch der Grundwert mit. Leseprobe
L 1.25 Rabatt berechnen A B C
Im Drogeriemarkt wird die Hautcreme, die du gewöhnlich kaufst, jetzt in einer etwas größeren Dose angeboten als bisher. Dies liefert auch die Begründung für eine Preissteigerung von 8 % gegenüber dem bisherigen Preis von € 17,90. Da du aber eine Stammkundenkarte für diesen Drogeriemarkt besitzt, wird dir ein Rabatt von 5 % gewährt. Gib den Preis für die Dose an. Interpretiere die Grafik – richte dein Augenmerk besonders auf die 100 % der linken Säule im Vergleich zu den 95 % der rechten Säule.
Rabatt berechnen
ursprünglicher Preis
Preis nach Erhöhung P1
100 %neuer
Grundpreis
+ 8 %
100 % 95%
– 5 %Erhöhung Rabatt
neuer Verkaufspreis
P2
Abb. 1.3.1
Lösung:
Möglichkeit 1:Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den Skonto ab.p1 = 17,90 · 1,08 = 19,33p2 = 19,33 · 0,95 = 18,37Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.Möglichkeit 2:Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.p2 = 17,90 · 1,08 · 0,95 = 18,37Interpretation der Grafik: Da nach der Preiserhöhung von 8 % der neue Grundwert G1 108 % des ursprünglichen Grundwerts beträgt, sind die 95 % von G1 mehr als die ursprünglichen 100 %.
A 1.102 ★★ Mehrfache Preisänderungen C D
a) Erkläre, warum der Preis in L 1.25 nicht um 3 % (= 8 % – 5 %) erhöht wurde.b) Untersuche, ob es auf die Reihenfolge der Preisänderungen ankommt.
A 1.103 ★★ Preissenkungen B D
Ein Artikel kostet € 80. Der Preis wird zuerst um 15 % und dann nochmals um 10 % gesenkt.a) Berechne, um wie viel Prozent der Artikel insgesamt billiger geworden ist.b) Erkläre, warum du für a) den ursprünglichen Preis nicht kennen musst.
36 Angewandte Mathematik I
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Grundpreis
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Grundpreis
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LeseprobeVerkaufspreis
LeseprobeVerkaufspreis
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Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den
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Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den
= 19,33 · 0,95 = 18,37 Leseprobe
= 19,33 · 0,95 = 18,37Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.Le
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Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.
Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.Leseprobe
Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.
L 1.25 Rabatt berechnen A B C
Im Drogeriemarkt wird die Hautcreme, die du gewöhnlich kaufst, jetzt in einer etwas größeren Dose angeboten als bisher. Dies liefert auch die Begründung für eine Preissteigerung von 8 % gegenüber dem bisherigen Preis von € 17,90. Da du aber eine Stammkundenkarte für diesen Drogeriemarkt besitzt, wird dir ein Rabatt von 5 % gewährt. Gib den Preis für die Dose an. Interpretiere die Grafik – richte dein Augenmerk besonders auf die 100 % der linken Säule im Vergleich zu den 95 % der rechten Säule.
Rabatt berechnen
ursprünglicher Preis
Preis nach Erhöhung P1
100 %neuer
Grundpreis
+ 8 %
100 % 95%
– 5 %Erhöhung Rabatt
neuer Verkaufspreis
P2
Abb. 1.3.1
Lösung:
Möglichkeit 1:Man berechnet zuerst den Preis nach der Preiserhöhung und zieht danach den Skonto ab.p1 = 17,90 · 1,08 = 19,33p2 = 19,33 · 0,95 = 18,37Die Hautcreme kostet jetzt € 18,37.Möglichkeit 2:Beide Rechnungen können in einem Schritt ausgeführt werden.p2 = 17,90 · 1,08 · 0,95 = 18,37Interpretation der Grafik: Da nach der Preiserhöhung von 8 % der neue Grundwert G1 108 % des ursprünglichen Grundwerts beträgt, sind die 95 % von G1 mehr als die ursprünglichen 100 %.
A 1.102 ★★ Mehrfache Preisänderungen C D
a) Erkläre, warum der Preis in L 1.25 nicht um 3 % (= 8 % – 5 %) erhöht wurde.b) Untersuche, ob es auf die Reihenfolge der Preisänderungen ankommt.
A 1.103 ★★ Preissenkungen B D
Ein Artikel kostet € 80. Der Preis wird zuerst um 15 % und dann nochmals um 10 % gesenkt.a) Berechne, um wie viel Prozent der Artikel insgesamt billiger geworden ist.b) Erkläre, warum du für a) den ursprünglichen Preis nicht kennen musst.
A 1.104 ★★ Umsatzsteigerung D
Der Umsatz einer Firma ist in einem Jahr um 8 % gestiegen, im darauffolgenden Jahr um 5 %. Argumentiere, ob die gesamte Umsatzsteigerung genau 13 %, mehr oder weniger als 13 % beträgt.
A 1.105 ★★ Roller C
Ein Tretroller wird um 30 % verbilligt angeboten. Die Kassiererin zieht vom ermäßigten Preis versehentlich noch einmal 30 % ab. Tobias meint: „Ich habe den Roller um den halben Preis bekommen.“ Überprüfe, ob diese Behauptung stimmt.
Rechnen mit ZinsenWenn du Geld auf die Bank einzahlst (auf ein Sparbuch oder Girokonto), erhältst du dafür Habenzinsen. Davon werden aber noch 25 % Kapitalertrag-steuer (KESt) abgezogen. Bei anderen Anlageformen (Aktien, Anleihen …) beträgt die KESt 27,5 %. Wenn du dein Konto überziehst oder einen Kredit aufnimmst, werden dir dafür Sollzinsen berechnet. Diese sind um ein Vielfa-ches höher als die Habenzinsen.
Meist sind die Zinssätze p. a., also pro anno, angegeben. Es ist demnach ein Jahreszinssatz festgelegt. Wenn die Zeit, für die Zinsen anfallen, geringer ist, musst du das beim Berechnen berücksichtigen. Wie viele (Zins-)Tage ein Monat und wie viele (Zins-)Tage ein Jahr – aus Sicht der Banken – hat, ist nicht immer gleich!
Spareinlagen Girokonten, Kredite
1 Jahr 360 Tage 365 Tage
1 Monat 30 Tage = 121 Jahr kalendermäßig
1 Tag 3601 Jahr
L 1.26 Soll- und Habenzinsen A B C
Auf deinem Konto befinden sich am 1. November noch 228 Euro, der Habenzins-satz beträgt 0,25 %. Du möchtest dir ein Soundsystem um 499 Euro kaufen. Du hast nun zwei Möglichkeiten: Entweder du überziehst das Konto zu einem Zinssatz von 9,3 % p. a. oder du wartest genau einen Monat, bis das Weihnachtsgeld am Konto ist. Stelle eine Formel auf, mit der du die Haben- und Sollzinsen für n Tage berechnen kannst. Berechne jene Zinsen, die du für die Kontoüberziehung für einen Monat bezahlen musst, und vergleiche diese mit jenen Zinsen, die du für deine 228 Euro während dieses Monats erhalten hättest. Lösung:
ZHaben = , ,n228 0 0025 3601 0 75$ $ $ $ • Da 25 % KESt von den Zinsen abgezogen
werden, bleiben nur noch 75 % übrig. ZHaben = , ,228 0 0025 12
1 0 75$ $ $
ZHaben 0,04
Habenzinsen: € 0,04
ZSoll = ,271 0 093 36530$ $ • Konto wird um € 271 für genau 30 Tage
überzogen.ZSoll = 2,07Sollzinsen: € 2,072,07 : 0,04 = 51,75 ⇒ Die Sollzinsen betragen ca. das 52-Fache der Habenzinsen.
Derzeit (Stand: 2017) sind die Habenzinsen fast null.
LINK
Was schätzt du?1 Euro 2000 Jahre gespart – wie groß ist dein Zinsertrag?
Angewandte Mathematik I 37
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung
Leseprobe
Leseprobeo anno, angegeben. Es ist demnach ein
Leseprobeo anno, angegeben. Es ist demnach ein
Jahreszinssatz festgelegt. Wenn die Zeit, für die Zinsen anfallen, geringer ist,
LeseprobeJahreszinssatz festgelegt. Wenn die Zeit, für die Zinsen anfallen, geringer ist,
musst du das beim Berechnen berücksichtigen. Wie viele (Zins-)Tage ein
Leseprobemusst du das beim Berechnen berücksichtigen. Wie viele (Zins-)Tage ein
Monat und wie viele (Zins-)Tage ein Jahr – aus Sicht der Banken – hat, ist nicht
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Monat und wie viele (Zins-)Tage ein Jahr – aus Sicht der Banken – hat, ist nicht
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Girokonten, Kredite
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Girokonten, Kredite
365 Tage
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365 Tage
kalendermäßig
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Soll- und Habenzinsen
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Soll- und Habenzinsen
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A
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Auf deinem Konto befinden sich am 1. November noch 228 Euro, der HabenzinsLeseprobe
Auf deinem Konto befinden sich am 1. November noch 228 Euro, der HabenzinsLeseprobe
. Du möchtest dir ein Soundsystem um 499 Euro kaufen. Du Leseprobe
. Du möchtest dir ein Soundsystem um 499 Euro kaufen. Du hast nun zwei Möglichkeiten: Entweder du überziehst das Konto zu einem Zinssatz Le
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hast nun zwei Möglichkeiten: Entweder du überziehst das Konto zu einem Zinssatz . oder du wartest genau einen Monat, bis das Weihnachtsgeld am Leseprobe
. oder du wartest genau einen Monat, bis das Weihnachtsgeld am
A 1.106 ★★ Sparbuchzinsen berechnen B
Berechne die Zinsen auf einem Sparbuch, das zu 1,2 % p. a. verzinst wird, wenn du 500 Euro für 10 Monate am Sparbuch belässt.
A 1.107 ★★ Kosten der Kontoüberziehung B
Du überziehst dein Konto für 3 Wochen um 1.260 Euro. Ermittle die Sollzinsen bei einem Zinssatz von 10,2 %.
A 1.108 ★ Kleinkredit B
Für einen Kredit wurden inkl. 5 % Zinsen nach einem Jahr € 2.730 zurückgezahlt. Ermittle die Höhe des Kredits.
A 1.109 ★★★ Sparzinsen B
Für ein Sparguthaben von € 7.500 erhielt man nach 4 Monaten (und nach Abzug von 25 % KESt) € 28,13 Zinsen. Ermittle den Jahreszinssatz.
Prozent – ProzentpunkteWenn man verschiedene Prozentanteile vergleicht, verwendet man oft den Ausdruck „Prozentpunkte“. Dieser Begriff bezieht sich auf den gemeinsamen Grundwert.
L 1.27 Wahl B D
Eine Partei erhielt bei einer Wahl 20 % der abgegebenen Stimmen, bei der nächs-ten Wahl konnte sie ihren Stimmenanteil auf 25 % steigern.a) Berechne, um wie viele Prozentpunkte der Stimmenanteil gestiegen ist.b) Berechne, um wie viel Prozent die Anzahl der erhaltenen Stimmen gestiegen ist.c) Erkläre, welche Voraussetzung bei b) gemacht werden muss.Lösung:a) 25 – 20 = 5 Der Anteil ist um 5 Prozentpunkte gestiegen.
b) ,2025 1 25=
Die Anzahl der Stimmen ist um 25 % gestiegen.c) Man muss voraussetzen, dass bei beiden Wahlen gleich viele Stimmen abgegeben
worden sind. Sonst kann man über die absolute Stimmenzahl nichts sagen.
A 1.110 ★ Verzugszinsen A B
Wenn eine Schuld nicht rechtzeitig bezahlt wird, werden Verzugszinsen verrechnet. Der Verzugszinssatz liegt fünf Prozentpunkte über dem Basiszinssatz, der von der Österreichischen Nationalbank bekanntgegeben wird.Frau Kaiser muss für eine nicht bezahlte Rechnung 8 % Verzugszinsen p. a. zahlen.a) Gib den Basiszinssatz an.b) Berechne, wie viel Prozent des Basiszinssatzes der Verzugszinssatz ausmacht.
A 1.111 ★ Alkohol B D
Peter hat nach einem Lokalbesuch einen Blutalkoholgehalt von 1,2 ‰. Dieser Wert nimmt pro Stunde um 0,2 Promillepunkte ab.a) Berechne, um wie viel Prozent die Alkoholmenge in Peters Körper in der ersten,
zweiten und dritten Stunde jeweils abnimmt.b) Erkläre, warum die Ergebnisse aus a) verschieden groß sind. LINK
Formeln zur Prozent- und Promillerechnung Zusammenfassende Lernkarte
38 Angewandte Mathematik I
Leseprobe
LeseprobeWenn man verschiedene Prozentanteile vergleicht, verwendet man oft den
LeseprobeWenn man verschiedene Prozentanteile vergleicht, verwendet man oft den
Ausdruck „Prozentpunkte“. Dieser Begriff bezieht sich auf den gemeinsamen
LeseprobeAusdruck „Prozentpunkte“. Dieser Begriff bezieht sich auf den gemeinsamen
er abgegebenen Stimmen, bei der nächs
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er abgegebenen Stimmen, bei der nächs% s
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% steigern.
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teigern.erechne, um wie viele Prozentpunkte der Stimmenanteil gestiegen ist.
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erechne, um wie viele Prozentpunkte der Stimmenanteil gestiegen ist.erechne, um wie viel Prozent die Anzahl der erhaltenen Stimmen gestiegen ist.
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erechne, um wie viel Prozent die Anzahl der erhaltenen Stimmen gestiegen ist.
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rkläre, welche Voraussetzung bei b) gemacht werden muss.
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rkläre, welche Voraussetzung bei b) gemacht werden muss.
er Anteil ist um 5 Prozentpunkte gestiegen.
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er Anteil ist um 5 Prozentpunkte gestiegen.
ie Anzahl der Stimmen ist um 25Leseprobe
ie Anzahl der Stimmen ist um 25 % gLeseprobe
% gLeseprobe
estiegen.Leseprobe
estiegen.an muss voraussetzen, dass bei beiden Wahlen gleich viele Stimmen abgegeben Le
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an muss voraussetzen, dass bei beiden Wahlen gleich viele Stimmen abgegeben Leseprobe
worden sind. Sonst kann man über die absolute Stimmenzahl nichts sagen.Leseprobe
worden sind. Sonst kann man über die absolute Stimmenzahl nichts sagen.
ÜBENIn den folgenden Aufgaben kannst du die Lerninhalte zur Prozent- und Promillerechnung gezielt üben und festigen.
Prozentanteil berechnenA 1.112 ★ Prozentwerte schätzen und berechnen B
Berechne die fehlenden Werte: (Schätze ab, ob dein Ergebnis stimmen kann.)a) 5 % von 70 =b) 50 % von 150 =
c) 5 % von 980 =d) 75 % von 600 =
e) 9 % von 10 = f) 50 % von 20 =
A 1.113 ★ Obstverarbeitung A B
Von der Apfelernte im Umfang von 2750 kg wurden 80 % zu Saft, der Rest zu Apfelchips weiterverarbeitet. Stelle eine Formel auf, mit der du die zu Apfelchips verarbeitete Menge berechnen kannst. Berechne die Menge an Äpfeln, die für Chips verwendet wird.
A 1.114 ★★ Unterhaltungselektronik A B
Der Nettopreis eines Blu-ray-Players beträgt € 259. Stelle eine Formel für den Bruttopreis auf. Berechne den Bruttopreis bei 20 % USt.
A 1.115 ★★ Wertminderung A B
Frau Knölls Cabrio hatte einen Anschaffungspreis von € 24.860. Die Wertminderung beträgt 18 % pro Jahr. Stelle eine Formel für den Wert nach n Jahren auf. Berechnne, wie viel Frau Knöll für das Cabrio erhält, wenn sie es nach vier Jahren verkauft.
A 1.116 ★★ Kunsthandel A B
Der Galerist Buberl hat vor etlichen Jahren eine Skulptur eines damals unbedeutenden Künstlers um € 420 erworben. Nun ist das Kunstwerk des mittlerweile bekannten Künstlers im Wert auf 350 % gestiegen. a) Stelle eine Formel für den derzeitigen Wert des Kunstwerks auf. Berechne, um
wie viel Prozent das Kunstwerk nun mehr wert ist.b) Berechne, welchen Betrag der Galerist nun für das Kunstwerk verlangen kann.
A 1.117 ★★ Rechnung vom Installateur B
Eine Installationsrechnung macht netto € 470 aus. Dazu kommen noch 20 % USt. Berechnne den Betrag, den der Kunde bezahlen muss, wenn er bei Bezahlung binnen 5 Tagen 2 % Skonto erhält.
A 1.118 ★ Verpflegungskosten A B
Es ist üblich, 10 % des Rechnungsbetrages als Trinkgeld zu geben. Die Rechnung besteht aus einer Hauptspeise zu € 20,40 und einem Mineralwasser für € 2,40. Stelle eine Formel auf, die das Trinkgeld bei einem Rechnungsbetrag R angibt. Ermittle das Trinkgeld für obige Rechnung.
Prozentsatz berechnenA 1.119 ★★ Krankenstände A B
Von den 20 Mitarbeiterinnen einer Firma sind 4 krank. Berechne, welcher Prozentanteil der Mitarbeiterinnen krank ist. Veranschauliche diesen Anteil anhand einer grafischen Darstellung.
A 1.120 ★★ Schnäppchenjagd A B C
Konrad hat sich ein T-Shirt um 29 Euro im Sommerschlussverkauf gekauft. Es war um 30 % verbilligt. Am nächsten Tag wäre es allerdings 40 % billiger gewesen. Vergleiche die beiden Preise miteinander – erstelle eine Formel für den prozentuellen Unterschied.
LINKWelche beiden Zahlen unterhalten sich da?Die Prozentrechnung ist überall.
Angewandte Mathematik I 39
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung
LeseprobeDer Nettopreis eines Blu-ray-Players beträgt € 259. Stelle eine Formel für den
LeseprobeDer Nettopreis eines Blu-ray-Players beträgt € 259. Stelle eine Formel für den
Frau Knölls Cabrio hatte einen Anschaffungspreis von € 24.860. Die Wertminderung
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Frau Knölls Cabrio hatte einen Anschaffungspreis von € 24.860. Die Wertminderung ro Jahr. Stelle eine Formel für den Wert nach n Jahren auf.
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ro Jahr. Stelle eine Formel für den Wert nach n Jahren auf. Berechnne, wie viel Frau Knöll für das Cabrio erhält, wenn sie es nach vier Jahren
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Berechnne, wie viel Frau Knöll für das Cabrio erhält, wenn sie es nach vier Jahren
Der Galerist Buberl hat vor etlichen Jahren eine Skulptur eines damals
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Der Galerist Buberl hat vor etlichen Jahren eine Skulptur eines damals unbedeutenden Künstlers um € 420 erworben. Nun ist das Kunstwerk des
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unbedeutenden Künstlers um € 420 erworben. Nun ist das Kunstwerk des mittlerweile bekannten Künstlers im Wert auf 350
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mittlerweile bekannten Künstlers im Wert auf 350 % g
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% gestiegen.
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estiegen. telle eine Formel für den derzeitigen Wert des Kunstwerks auf. Berechne, um
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telle eine Formel für den derzeitigen Wert des Kunstwerks auf. Berechne, um wie viel Prozent das Kunstwerk nun mehr wert ist.
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wie viel Prozent das Kunstwerk nun mehr wert ist.erechne, welchen Betrag der Galerist nun für das Kunstwerk verlangen kann.Le
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erechne, welchen Betrag der Galerist nun für das Kunstwerk verlangen kann.
Rechnung vom Installateur Leseprobe
Rechnung vom Installateur Leseprobe
Eine Installationsrechnung macht netto € 470 aus. Dazu kommen noch 20Leseprobe
Eine Installationsrechnung macht netto € 470 aus. Dazu kommen noch 20Berechnne den Betrag, den der Kunde bezahlen muss, wenn er bei Bezahlung Le
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Berechnne den Betrag, den der Kunde bezahlen muss, wenn er bei Bezahlung
A 1.121 ★★ Lesebudget B
Rudi erhält monatlich 50 Euro Taschengeld. Da er sehr gerne und viel liest, kauft er sich zweimal im Monat um 9,90 Euro ein Buch. Berechne, wie viel Prozent seines Taschengeldes Rudi für Bücher ausgibt.
A 1.122 ★★ Achtung Kredithai! B
Bei einem „Kredithai“ lieh sich Herr Lacina 1.200 Euro. Nach einem Monat musste er 1.380 Euro zurückzahlen. Berechne den Zinssatz.
Grundwert berechnenA 1.123 ★★ Immobilien B D
Ein Makler vermittelt den Kauf eines Grundstücks und erhält dafür eine Provision von 3 % des Kaufpreises. Diese Provision beträgt € 5.700. Erkläre, wie du den Preis des Grundstücks ermitteln kannst.
A 1.124 ★★ Hi-Fi-Ausstattung A B
Bei der Bestellung von Lautsprechern musste Frau Hofer eine Anzahlung von 35 % des Verkaufspreises leisten. a) Stelle eine Formel für den Verkaufspreis auf. b) Ermittle die Kosten für die Lautsprecher bei einer Anzahlung von € 315.
A 1.125 ★ Gehaltserhöhung A B
Das Bruttogehalt eines Arbeiters beträgt nach einer Gehaltserhöhung von 2,5 % € 1.740.a) Modelliere eine Gleichung, die das Ursprungsgehalt bei einem Gehalt von g
darstellt.b) Ermittle das ursprüngliche Gehalt.
Vermischte AufgabenA 1.126 ★ Den richtigen Ausdruck finden A D
Erkläre, ob der „neue Preis“ höher oder niedriger als der ursprüngliche Preis ist. Stelle eine Formel für den neuen Preis auf.a) Ein Preis wird verdoppelt. b) Ein Preis ist auf das Dreifache gestiegen. c) Ein Preis wird um die Hälfte höher.d) Ein Preis viertelt sich.e) Ein Preis wird um 30 % verringert.f) Ein Preis wird um ein Zehntel vermindert.
A 1.127 ★★ Gemeinderatswahl B
Bei der Gemeinderatswahl wurden 5848 gültige Stimmen abgegeben. Partei A erhielt 2488 der gültigen Stimmen, Partei B erhielt 37 %. Die restlichen gültigen Stimmen entfielen auf Partei C und D zu gleichen Teilen. Berechne für jede der vier Parteien die Anzahl und den Prozentsatz der gültigen Stimmen. Runde auf Ganze.
A 1.128 ★★★ Fehlzeiten A B
Im vorigen Schuljahr waren aufgrund einer Grippe-Epidemie 182 Schüler/innen einer Schule länger als eine Woche krank, das waren 62 % aller Schüler/innen. In diesem Schuljahr waren bei gleicher Gesamtschüler/innenzahl nur 82 Schüler/innen länger als eine Woche krank. Übertrage den Text in eine Gleichung, die den Prozentsatz der kranken Schüler/innen darstellt. Untersuche, um wie viel Prozentpunkte der Anteil der länger erkrankten Schüler/innen gesunken ist.
KredithaiEin Kredithai ist ein mit unsauberen Mitteln und ohne Genehmigung arbeitender Kreditgeber. Er bietet die Kredite oft zu extrem hohen Zinsen an.
40 Angewandte Mathematik I
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Bei der Bestellung von Lautsprechern musste Frau Hofer eine Anzahlung von 35
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Bei der Bestellung von Lautsprechern musste Frau Hofer eine Anzahlung von 35
rmittle die Kosten für die Lautsprecher bei einer Anzahlung von € 315.
Leseprobermittle die Kosten für die Lautsprecher bei einer Anzahlung von € 315.
Das Bruttogehalt eines Arbeiters beträgt nach einer Gehaltserhöhung von 2,5
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Das Bruttogehalt eines Arbeiters beträgt nach einer Gehaltserhöhung von 2,5 %
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%
odelliere eine Gleichung, die das Ursprungsgehalt bei einem Gehalt von g
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odelliere eine Gleichung, die das Ursprungsgehalt bei einem Gehalt von g
Den richtigen Ausdruck finden
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Den richtigen Ausdruck finden
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A
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A
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D
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D
Erkläre, ob der „neue Preis“ höher oder niedriger als der ursprüngliche Preis ist.
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Erkläre, ob der „neue Preis“ höher oder niedriger als der ursprüngliche Preis ist. Stelle eine Formel für den neuen Preis auf.
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Stelle eine Formel für den neuen Preis auf.
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in Preis wird verdoppelt. Leseprobe
in Preis wird verdoppelt. in Preis ist auf das Dreifache gestiegen. Le
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in Preis ist auf das Dreifache gestiegen. Leseprobe
in Preis wird um die Hälfte höher.Leseprobe
in Preis wird um die Hälfte höher.
A 1.129 ★★ Autotest A B
Ein Autohersteller gibt im Datenblatt eines Fahrzeuges einen Verbrauch von 4,6 L Benzin auf 100 km an. Beim Test einer Autozeitschrift stellte sich heraus, dass dieses Fahrzeug 6,6 L verbraucht. Stelle eine Gleichung auf, die die prozentuelle Abweichung p des realen Verbrauches v vom angegebenen Wert angibt. Ermittle, um wie viel Prozent der Testwert von der Angabe des Herstellers abweicht.
A 1.130 ★★ Hausbau A B
Für den Bau eines Wohnhauses werden Materialien im Wert von 202.500 Euro eingekauft. Berechne die Ersparnis für den Bauherrn bei Barzahlung und 3 % Skonto. Stelle eine Formel auf, mit der du bei einem Materialwert von m Euro und einem 2 % Skonto den Preis ermitteln kannst.
A 1.131 ★★ Autokauf A C D
Drei Autofirmen haben unterschiedliche Konditionen:Firma A: 5 % Rabatt auf den Neupreis, 3 % SkontoFirma B: 8 % Rabatt auf den Neupreis, kein SkontoFirma C: 6 % Rabatt auf den Neupreis und 2 % SkontoStelle für jede Firma eine Gleichung auf, mit der du den Endpreis ermitteln kannst. Interpretiere diese Angebote hinsichtlich guter Konditionen. Erkläre deine Vorgangsweise.
A 1.132 ★★★ MP3-Player A B
Der Preis für einen MP3-Player, der ursprünglich 109 Euro kostete, wird um 10 % gesenkt. Da er nach 4 Wochen noch immer nicht verkauft ist, gibt es eine weitere Preisreduktion von 5 %. Berechne, um wie viel Prozent der MP3-Player insgesamt günstiger geworden ist. Stelle eine Formel für den Prozentsatz der Vergünstigung auf, wenn der MP3-Player zuerst um p1 und dann um p2 Prozent verbilligt wird.
A 1.133 ★★ Preisschwankungen D
Der Preis eines Laptops wird zuerst um 11 % teurer. Später wird dieser Preis wieder um 11 % gesenkt. Erkläre, ob du nun den Originalpreis oder einen teureren/günstigeren Preis zahlst. Überlege und begründe dann allgemein.
A 1.134 ★★ Goldring B D
Der Feingehalt von Goldlegierungen, das heißt der Anteil des reinen Goldes, wird in
Promille angegeben. Früher war auch die Einheit Karat üblich (1 Karat = 241 ).
Ein Goldring mit einem Feingehalt von 585 wiegt 8 g.a) Berechne, wie viel Gold der Ring enthält.b) Erkläre, warum das 14 Karat entspricht.
A 1.135 ★★ Blutalkoholkonzentration B D
Die Blutalkoholkonzentration (BAK) ist ein Maß für die Menge des Alkohols im Körper. Sie wird üblicherweise in Promille angegeben. Laut einer gängigen Berechnungsformel wird die Alkoholmenge (in Gramm) durch die reduzierte Körpermasse (in Kilogramm) dividiert. (Die reduzierte Körpermasse ist der Anteil des Körpers, in dem sich der Alkohol verteilt. Sie ist das 0,6- bis 0,7-Fache der Gesamtmasse.)a) Begründe, dass man mit dieser Berechnung die BAK in Promille erhält.b) Jemand trinkt 3 Viertel Wein mit einem Alkoholvolumenanteil von 12 %. 1 Liter
Alkohol wiegt 800 g. Die reduzierte Körpermasse beträgt 45 kg. Berechne die BAK dieser Person.
LINKVermischte AufgabenAufgaben A 1.136 –A 1.144
Angewandte Mathematik I 41
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung
LeseprobeStelle für jede Firma eine Gleichung auf, mit der du den Endpreis ermitteln kannst.
LeseprobeStelle für jede Firma eine Gleichung auf, mit der du den Endpreis ermitteln kannst.
Interpretiere diese Angebote hinsichtlich guter Konditionen. Erkläre deine
LeseprobeInterpretiere diese Angebote hinsichtlich guter Konditionen. Erkläre deine
Der Preis für einen MP3-Player, der ursprünglich 109 Euro kostete, wird um 10
Leseprobe
Der Preis für einen MP3-Player, der ursprünglich 109 Euro kostete, wird um 10 %
Leseprobe
%gesenkt. Da er nach 4 Wochen noch immer nicht verkauft ist, gibt es eine weitere
Leseprobe
gesenkt. Da er nach 4 Wochen noch immer nicht verkauft ist, gibt es eine weitere . Berechne, um wie viel Prozent der MP3-Player insgesamt
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. Berechne, um wie viel Prozent der MP3-Player insgesamt günstiger geworden ist. Stelle eine Formel für den Prozentsatz der Vergünstigung
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günstiger geworden ist. Stelle eine Formel für den Prozentsatz der Vergünstigung und dann um p
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und dann um p2
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2 Prozent verbilligt wird.
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Prozent verbilligt wird.
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Der Preis eines Laptops wird zuerst um 11
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Der Preis eines Laptops wird zuerst um 11 % t
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% teurer. Später wird dieser Preis wieder
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eurer. Später wird dieser Preis wieder esenkt. Erkläre, ob du nun den Originalpreis oder einen teureren/
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esenkt. Erkläre, ob du nun den Originalpreis oder einen teureren/
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günstigeren Preis zahlst. Überlege und begründe dann allgemein.
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günstigeren Preis zahlst. Überlege und begründe dann allgemein.
Goldring Leseprobe
Goldring Leseprobe
B Leseprobe
B Leseprobe
D Leseprobe
D
Der Feingehalt von Goldlegierungen, das heißt der Anteil des reinen Goldes, wird in Leseprobe
Der Feingehalt von Goldlegierungen, das heißt der Anteil des reinen Goldes, wird in
Promille angegeben. Früher war auch die Einheit Karat üblich (1 Karat = Leseprobe
Promille angegeben. Früher war auch die Einheit Karat üblich (1 Karat = Leseprobe
Ein Goldring mit einem Feingehalt von 585 wiegt 8 g.Leseprobe
Ein Goldring mit einem Feingehalt von 585 wiegt 8 g.Leseprobe
KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du die Grundlagen zur Prozent- und Promillerechnung kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.
A 1.145 ★ Brutto – Netto – MWSt. C
Lückentext: Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist.Ein Buch kostet ohne 10%ige Mehrwertsteuer x Euro.Der (1) wird durch (2) beschrieben.
(1) (2)
Bruttopreis,x1 1
Mehrwertsteuerbetrag · ,x 1 1 Nettopreis ,x 0 1+
A 1.146 ★★★ Haushaltsgeräte B C D
Der Geschirrspüler bei dir zu Hause ist kaputt! Du berätst mit deiner Familie, welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden zweiten Tag eingeschaltet.) Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 La) Berechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.b) Schätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.c) Vergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere,
für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 m3 Wasser beträgt € 1,43.)
A 1.147 ★★ Mopedkauf A B D
Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3 % Skonto, weil er bar bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und 12 Monatsraten zu je € 105. Stelle eine Formel für die jeweiligen Kosten auf und begründe anhand dieser, welche Variante günstiger ist.
A 1.148 ★★★ Messfehler A B D
Ein Behälter in Form eines Quaders weist folgende Abmessungen auf: Die Länge misst 10 m, die Breite 5,8 m und die Höhe 4,1 m. Jede dieser Abmessungen ist mit einem Messfehler von ± 1 % behaftet. Berechne das minimale und das maximale Füllvolumen in Liter. Begründe, warum du zur Beantwortung dieser Frage die Angabe von Länge, Breite und Höhe nicht benötigst. Stelle eine Formel für die Berechnung des prozentuellen Unterschieds zwischen dem minimalen und dem maximalen Volumen auf.
A 1.149 ★★ Gehaltsverhandlung A C
Im Rahmen von Gehaltsverhandlungen werden folgende drei Modelle vorgestellt: (Als Basis gelten immer die Bruttogehälter.)Modell 1: Gehaltserhöhung um 1,7 % Modell 2: Gehaltserhöhung um 50 Euro/MonatModell 3: eine Einmalzahlung von 700 Euro
Erinnerung:1 Liter = 1 dm3
42 Angewandte Mathematik I
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welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden
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welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden
Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L
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Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 L
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Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 Lerechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.
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erechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.chätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.
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chätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.ergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere,
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ergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere, für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider
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für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch
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Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 m
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haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 mWasser beträgt € 1,43.)
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Wasser beträgt € 1,43.)
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Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3Leseprobe
Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt Le
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bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und
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sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und
KÖNNENIn dieser Lerneinheit hast du die Grundlagen zur Prozent- und Promillerechnung kennengelernt. In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen anwenden und überprüfen.
A 1.145 ★ Brutto – Netto – MWSt. C
Lückentext: Vervollständige den folgenden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist.Ein Buch kostet ohne 10%ige Mehrwertsteuer x Euro.Der (1) wird durch (2) beschrieben.
(1) (2)
Bruttopreis,x1 1
Mehrwertsteuerbetrag · ,x 1 1 Nettopreis ,x 0 1+
A 1.146 ★★★ Haushaltsgeräte B C D
Der Geschirrspüler bei dir zu Hause ist kaputt! Du berätst mit deiner Familie, welcher Geschirrspüler gekauft werden soll. (Der Geschirrspüler wird jeden zweiten Tag eingeschaltet.) Geschirrspüler A: Preis: € 299, Wasserverbrauch 19 L Geschirrspüler B: Preis: € 549, Wasserverbrauch 16 La) Berechne, um wie viel Prozent Geschirrspüler A billiger ist.b) Schätze ab, um wie viel Prozent mehr Wasser Geschirrspüler A braucht.c) Vergleiche die beiden Geräte über eine Laufzeit von 11 Jahren und argumentiere,
für welches Gerät du dich am besten entscheidest, wenn die Lebensdauer beider Geräte ca. 11 Jahre beträgt und beide Geräte den gleichen Energieverbrauch haben. Dokumentiere deine Überlegungen. (Der Durchschnittspreis von 1 m3 Wasser beträgt € 1,43.)
A 1.147 ★★ Mopedkauf A B D
Serhat kauft sich ein Moped um € 2.150 und bekommt 3 % Skonto, weil er bar bezahlt. Seine Freundin Andrea kauft ebenfalls ein Moped um € 2.150, entschließt sich aber für die folgende Zahlungsvariante: € 1.000 Anzahlung in bar und 12 Monatsraten zu je € 105. Stelle eine Formel für die jeweiligen Kosten auf und begründe anhand dieser, welche Variante günstiger ist.
A 1.148 ★★★ Messfehler A B D
Ein Behälter in Form eines Quaders weist folgende Abmessungen auf: Die Länge misst 10 m, die Breite 5,8 m und die Höhe 4,1 m. Jede dieser Abmessungen ist mit einem Messfehler von ± 1 % behaftet. Berechne das minimale und das maximale Füllvolumen in Liter. Begründe, warum du zur Beantwortung dieser Frage die Angabe von Länge, Breite und Höhe nicht benötigst. Stelle eine Formel für die Berechnung des prozentuellen Unterschieds zwischen dem minimalen und dem maximalen Volumen auf.
A 1.149 ★★ Gehaltsverhandlung A C
Im Rahmen von Gehaltsverhandlungen werden folgende drei Modelle vorgestellt: (Als Basis gelten immer die Bruttogehälter.)Modell 1: Gehaltserhöhung um 1,7 % Modell 2: Gehaltserhöhung um 50 Euro/MonatModell 3: eine Einmalzahlung von 700 Euro
Erinnerung:1 Liter = 1 dm3
(Wichtig: Es gibt 14 Gehälter – 12 „normale“ + je einmal Urlaubs- und Weihnachtsgeld.)Frau A verdient 2.876 Euro/Monat. Frau B verdient 1.990 Euro/Monat. Frau C verdient 4.000 Euro/Monat.Stelle mathematische Modelle für jedes der drei Gehaltsmodelle auf. Vergleiche die drei Modelle. Lege dabei besonderes Augenmerk darauf, welches Modell für welche Arbeitnehmerin am besten wäre.Zusatzaufgabe: Finde heraus, wie viel Nettogehalt jeder der drei Arbeit-nehmerinnen in etwa bleibt.
A 1.150 ★★★ Umsatzentwicklung A B
a) Ein Unternehmen hatte vom Jahr 2015 auf das Jahr 2016 einen Rückgang an Umsatzerlösen von 6,6 %. Der (direkte) Umsatz im Jahr 2015 betrug € 2.611.535,15. Berechne den Umsatz von 2016.
b) Für das Jahr 2017 ist eine Umsatzsteigerung von 5 % gegenüber dem Jahr 2016 geplant. Finde einen Term, der die Umsatzveränderung von 2015 auf 2017 darstellt.
c) Infolge von Pensionierungen können jüngere und damit kostengünstigere Arbeitnehmer/innen aufgenommen werden. Die Aufwendungen für das Personal sollen im Vergleich zum Jahr 2016 gesenkt werden. 2017 können sie um 6 % gesenkt werden, im Jahr 2018 ist eine zusätzliche Senkung um 3 % gegenüber dem Jahr 2017 das Ziel. Die Personalausgaben betrugen im Jahr 2016 genau € 798.487,20. Ermittle die Personalausgaben für 2018.
d) Der Bilanzgewinn ist von 107,8 Tausend Euro auf rund 61 Tausend Euro zurückgegangen. Berechne den Rückgang in Prozent.
A 1.151 ★★ Krebsgefahr durch Fleisch? D
Ende Oktober 2015 meldete die Weltgesundheitsorganisation (WHO), dass durch den Konsum von größeren Mengen geräucherter Fleisch- und Wurstwaren das Risiko, an Darmkrebs zu erkranken, um 18 % zunimmt. Diese Meldung sorgte für große Aufregung in der Öffentlichkeit.Nimm an, dass 6 % der Bevölkerung im Lauf ihres Lebens an Darmkrebs erkranken (das ist eine pessimistische Schätzung), und beurteile folgende Aussagen aus verschiedenen Medien:a) 18 Prozent der Fleischesser bekommen Darmkrebs.b) 18 Prozent der Fleischesser sterben an Darmkrebs.c) Eine Wurstsemmel pro Tag erhöht das Darmkrebsrisiko um 18 Prozent.d) Das Darmkrebsrisiko steigt durch starken Fleischkonsum um ungefähr einen
Prozentpunkt.
A 1.152 ★★ Semmeringbahn B D
Die Steigung von Bahnstrecken wird in Promille angegeben. Sie gibt das Verhältnis des Höhenunterschieds zur horizontal gemessenen Strecke an. Die Semmeringbahn war die erste Gebirgsbahn Europas.a) Die Strecke von Payerbach-Reichenau bis zum Semmering ist 21,451 km lang
und weist eine durchschnittliche Steigung von 18,8 ‰ auf. Berechne den Höhenunterschied.
b) Der steilste Abschnitt zwischen Eichberg (609 m ü. d. M.) und Klamm-Schottwien (699 m ü. d. M.) ist 4016 m lang. Ermittle die durchschnittliche Steigung.
c) Erkläre, warum die Steigung in Promille der Höhendifferenz in Metern pro Kilometer Strecke entspricht.
ü. d. M.über dem Meeresspiegel
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Bereit für die Abfahrt?Beim Hahnenkammrennen in Kitzbühel geht‘s steil bergab. Wie steil, kannst du mit dem Steigungsdreieck berechnen.
Angewandte Mathematik I 43
Kapitel 1: Zahlen und MaßeLerneinheit 3: Prozent- und Promillerechnung
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Leseprobeolge von Pensionierungen können jüngere und damit kostengünstigere
Leseprobeolge von Pensionierungen können jüngere und damit kostengünstigere
Arbeitnehmer/innen aufgenommen werden. Die Aufwendungen für das Personal
LeseprobeArbeitnehmer/innen aufgenommen werden. Die Aufwendungen für das Personal
sollen im Vergleich zum Jahr 2016 gesenkt werden. 2017 können sie um 6
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gesenkt werden, im Jahr 2018 ist eine zusätzliche Senkung um 3
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dem Jahr 2017 das Ziel. Die Personalausgaben betrugen im Jahr 2016 genau
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dem Jahr 2017 das Ziel. Die Personalausgaben betrugen im Jahr 2016 genau € 798.487,20. Ermittle die Personalausgaben für 2018.
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€ 798.487,20. Ermittle die Personalausgaben für 2018.er Bilanzgewinn ist von 107,8 Tausend Euro auf rund 61
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er Bilanzgewinn ist von 107,8 Tausend Euro auf rund 61 Tausend Euro
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Tausend Euro zurückgegangen. Berechne den Rückgang in Prozent.
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zurückgegangen. Berechne den Rückgang in Prozent.
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Ende Oktober 2015 meldete die Weltgesundheitsorganisation (WHO), dass durch
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Ende Oktober 2015 meldete die Weltgesundheitsorganisation (WHO), dass durch den Konsum von größeren Mengen geräucherter Fleisch- und Wurstwaren das
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den Konsum von größeren Mengen geräucherter Fleisch- und Wurstwaren das Risiko, an Darmkrebs zu erkranken, um 18
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Risiko, an Darmkrebs zu erkranken, um 18 % zu
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% zunimmt. Diese Meldung sorgte für
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nimmt. Diese Meldung sorgte für große Aufregung in der Öffentlichkeit.
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große Aufregung in der Öffentlichkeit.er Bevölkerung im Lauf ihres Lebens an Darmkrebs erkranken
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er Bevölkerung im Lauf ihres Lebens an Darmkrebs erkranken (das ist eine pessimistische Schätzung), und beurteile folgende Aussagen aus
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(das ist eine pessimistische Schätzung), und beurteile folgende Aussagen aus verschiedenen Medien: Le
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verschiedenen Medien: Leseprobe
8 Prozent der Fleischesser bekommen Darmkrebs.Leseprobe
8 Prozent der Fleischesser bekommen Darmkrebs.8 Prozent der Fleischesser sterben an Darmkrebs.Le
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8 Prozent der Fleischesser sterben an Darmkrebs.ine Wurstsemmel pro Tag erhöht das Darmkrebsrisiko um 18 Prozent.
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ine Wurstsemmel pro Tag erhöht das Darmkrebsrisiko um 18 Prozent.
A 1.153 ★ Soll- und Habenzinsen B D
a) Roman hat sein Konto 2 Monate (61 Tage) lang um € 900 überzogen. Der Sollzinssatz beträgt 8 % p. a. Berechne, wie viel Überziehungszinsen Roman zahlen muss.
b) Tamara hat ihr Geld auf einem Sparbuch mit 2 % Jahreszinssatz angelegt. Nach Abzug von 25 % KESt erhält sie nach einem Jahr € 52,50 Zinsen. Ermittle, wie hoch das Kapital am Anfang des Jahres war.
c) Ivo hat sein Geld in einem Fond in ausländischer Währung angelegt, bei dem er 10 % Rendite erhält. Leider ist der Wert dieser Währung im selben Zeitraum um 10 % gesunken. Ivo meint: „Wenigstens bekomme ich mein Geld zurück.“ Erkläre, warum er unrecht hat.
KOMPETENZCHECKMeine Kompetenzen Kann ich? Aufgaben
Ich kann den Unterschied zwischen Grundwert, Prozentsatz/Promillesatz und Prozentanteil/Promilleanteil erklären und diese Größen berechnen.
A 1.146, A 1.151, A 1.152
Ich kann Prozent- und Promilleanteile auf unterschiedlichen Wegen (mit Dezi-malzahlen oder Bruchteilen) berechnen.
A 1.146, A 1.147 , A 1.148, A 1.149, A 1.150, A 1.152,
Ich weiß, was Soll- und Habenzinsen bei einem Konto sind. A 1.153
Ich kenne den Unterschied zwischen Netto- und Bruttopreis. A 1.145
Ich kann Rabatte und Skonti berechnen. A 1.147
LINKInteraktive AufgabenAufgaben in den Antwort-formaten der sRDP
44 Angewandte Mathematik I
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Ich kann den Unterschied zwischen Grundwert, Prozentsatz/Promillesatz und
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Ich kann den Unterschied zwischen Grundwert, Prozentsatz/Promillesatz und rozentanteil/Promilleanteil erklären und diese Größen berechnen.
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rozentanteil/Promilleanteil erklären und diese Größen berechnen.
Ich kann Prozent- und Promilleanteile auf unterschiedlichen Wegen (mit Dezi
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Ich kann Prozent- und Promilleanteile auf unterschiedlichen Wegen (mit Dezi
Ich weiß, was Soll- und Habenzinsen bei einem Konto sind.
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Ich weiß, was Soll- und Habenzinsen bei einem Konto sind.
Ich kenne den Unterschied zwischen Netto- und Bruttopreis.
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Ich kenne den Unterschied zwischen Netto- und Bruttopreis.
Ich kann Rabatte und Skonti berechnen.
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Ich kann Rabatte und Skonti berechnen.