1

Stichprobenverfahren zur Qualitätssicherung

Hilfestellung der Statistik in der Wirtschaftsprüfung

2

Rahmenbedingungen und Anwendungsvoraussetzungen

• Zeitliche Begrenzung des zulässigen Prüfaufwandes

• Unmöglichkeit sämtliche Belege zu prüfen• Grosse Transaktionsmengen• Viele ähnliche Transaktionen• Ähnliche Sachverhalte in den Transaktionen

3

Anwendungsziele

• Qualitätssicherung der Revision bei grossen Datenmengen

• Hoher Wirkungsgrad des Prüfaufwandes• Aussagen über die Qualität geprüfter und nicht

geprüfter Bereiche mit einer bestimmten Sicherheit machen können

• Den Geprüften Gewissheit über die Erreichung von im voraus bestimmten Qualitätsstandards vermitteln

4

Anwendungsbeispiele

• Zahlungsverkehr der Staatskasse• Spesenabrechnungen• Einschätzung von Steuerpflichtigen• Beiträge an bedürftige Berner• Stipendienempfänger

5

Die Stichprobenziehung aus der Grundgesamtheit

So..... .... oder so?

6

Erfordernisse an eine Stichprobe• Unverzerrtheit: jedes Element der

Grundgesamtheit besitzt dieselbe Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe aufgenommen zu werden: Zufallszahlengenerator

• Ausreichender Umfang• Homogene Grundgesamtheit bezogen auf das

untersuchte Risiko• Risikorelevante Messgrössen• Zusammenhängende Elemente ziehen, wenn

bestimmte Risiken nur so identifiziert werden können

7

Annahmen über die Fehlerhäufigkeit

• Der genaue Anteil von Fehlern in der Grundgesamtheit ist unbekannt

• Es muss eine Bandbreite festgelegt werden, innerhalb derer die tatsächliche Fehlerhäufigkeit mit grosser Wahrscheinlichkeit liegt, bzw. liegen muss

• Die Qualität der Stichprobe erlaubt Rückschlüsse über diejenige der Grundgesamtheit

8

Hä

ufi

gk

eit

de

r B

eo

ba

ch

tun

ge

n

gut <= Qualität => ungenügend

gut

kritisch

ungenügend

Streuung der Qualität eines Prozesses

9

Checkliste für homogene Grundgesamtheit

• Grösster tolerierter Fehleranteil • Kleinster zu akzeptierender Fehleranteil • Umfang der Grundgesamtheit

ausreichend, um eine Stichprobenziehung zu rechtfertigen

10

Normalverteilung der Qualität in der GrundgesamtheitMittelwert 0, Standardabweichung 1,Vertrauensintervall für Fehleranteil

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00z

Häu

fig

keit

en

Dichtefunktion

11

Berechnung des Stichprobenumfangs

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

Z

Häu

fig

keit

en

1z z

01 pp 11 p

)1()(

)(112

01

21 pp

pp

zzno

0p

12

21 )( zz

201 )( pp

)1( 11 pp

N

Der benötigte Stichprobenumfang ist...• unabhängig von der Grösse der

Grundgesamtheit

• positiv und quadratisch abhängig von der Breite des Vertrauensintervalls auf der Z-Achse

• negativ und quadratisch abhängig von der Anzahl Realisierungen, die im Vertrauensintervall liegen (Fläche unter der Normalverteilung)

• positiv abhängig von p1 (Anteil der kritischen und fehlerhaften Realisierungen)

• negativ abhängig von (1-p1) Anteil der guten Realisierungen)

13

Kritischer Wert einer Stichprobe

• Der kritische Wert einer Stichprobe besagt, wieviele fehlerbehaftete Beobachtungen in der Stichprobe entdeckt werden dürfen, ohne die Annahme zu widerlegen, dass die Grundgesamtheit einen bestimmten Qualitätsstandard einhält.

• Der kritische Wert wird als Prozentanteil der Stichprobe ermittelt.

14

Kritischer Wert in einer StichprobeZulässiger Fehleranteil in der Stichprobe

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

z

Häu

fig

keit

en

0

0010

)1(

n

ppzppk

0p01 p

1z z

15

0

0010

)1(

n

ppzp

Der kritische Wert ist...

• positiv abhängig vom zulässigen Fehleranteil (p0)

• positiv abhängig vom z-Wert (Quantil) für den Anteil der guten Realisierungen

• positiv abhängig von p0 (Anteil der fehlerhaften Realisierungen)

• negativ abhängig von (1-P0) (Anteil der guten und kritischen Realisierungen)

• negativ abhängig von der Grösse der Stichprobe

16

NormalverteilungMittelwert 0, Standardabweichung 1,Verschiedene Wahrscheinlichkeiten

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

z

Häu

fig

keit

en

01 pp 0p11 p

17

Planung einer Qualitätsprüfung

• desto grösser die Stichprobe• desto niedriger der kritische Wert der Stichprobe

Je breiter das Vertrauensintervall...

Je schmaler das Vertrauensintervall....

• desto kleiner die Stichprobe• desto höher der kritische Wert der Stichprobe

Eine mittlere Vertrauensintervallbreite ist für

die Prüfung optimal

18

Vertrauensintervall, Stichprobenumfang und kritischer Wert

0

200

400

600

800

1000

1200

0% 5% 10% 15% 20%

Breite Vertrauensintervall (Abstand zwischen alpha und beta)

Grö

sse

erfo

rder

lich

e S

tich

pro

be

2.5%

2.7%

2.9%

3.1%

3.3%

3.5%

3.7%

3.9%

Kri

tisc

her

Wer

t in

Sti

chp

rob

e

StichprobenumfangKritscher Wert für Stichprobe

OptimalerBereich

19

Zufallszahlen für einenbestimmten Bereich

ZUFALLSZAHLENGENERATOR Untergrenze: 0 Obergrenze: 1000

40 608 36 20 931 26 644 714 370 609649 522 549 152 429 496 267 110 570 558301 62 39 104 158 707 141 465 748 709256 576 321 173 801 179 670 987 582 168857 404 201 242 880 546 89 969 37 680755 193 377 838 468 278 266 498 801 520603 295 875 522 16 547 565 232 251 665554 995 681 286 284 957 212 18 919 606301 848 772 209 57 449 368 856 137 221

44 673 175 920 579 542 911 548 55 840875 384 738 206 601 220 580 585 123 745307 898 900 264 824 716 456 675 658 903593 310 141 312 264 705 79 599 486 941137 334 463 785 67 544 847 27 883 689233 542 928 726 32 53 999 505 552 462259 85 782 223 755 617 113 939 148 664

20

Checkliste bei heterogener Grundgesamtheit

• Gibt es mehr als ein wesentliches Risiko?– Anzahl Steuerpflichtige, Steueraufkommen

• Richtige Risikofaktoren identifiziert?– Falscheinschätzung, fehlerhafter Steuerbetrag

• Sollten geschichtete Stichproben gezogen werden?– 2 Schichten, die je gleichviel zum

Steueraufkommen beitragen– 3 bis 4 Schichten, die je gleichviel zum

Steueraufkommen beitragen