1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen …...1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen INRIVER...

1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen

INRIVER Institut für Risikomanagement und Versicherung der LMU München VP Kapitel 1. Seite 1

INRIVER

Grundlagen der Versicherungsproduktion

Dr. Andrea Boos

Bitte beachten Sie, dass dieser Foliensatz in keiner Weise den Besuch der Vorlesung

ersetzen kann. Die Folien bilden das Gerüst für die Vorlesung und werden in den

Veranstaltungen um wesentliche Inhalte und Beispiele ergänzt.



INRIVER


1.1. Stochastische Prozesse

Charakteristika der Dienstleistung Versicherung:

zeitraumbezogen (Zeit) und

stochastisch (Zufall)

Modellierung:

dynamische und

stochastische Beschreibungsmodelle

Stochastische Prozesse



INRIVER

Denn: stochastische Prozesse modellieren stochastische Zeitabläufe.

Beispiel: (endliche) Zeitreihe

x1 = x(t1), x2 = x(t2), ... , xn = x(tn),

wobei xi der Wert einer Zufallsgröße zum Zeitpunkt ti ist, also z.B.:

Schadenzahl einer versicherungstechnischen Einheit in gleichlan-

gen Beobachtungsintervallen oder Gesamtschadensumme eines

Kollektivs zu bestimmten Zeitpunkten.



INRIVER

Abb. 1.1.: Zeitreihe

N(ti)

t1 t2 t3 t4 t5 t



INRIVER

Zeitreihe (Abb. 1.1.) ist Beispiel für stochastischen Prozess

{N(ti) i} mit diskretem Zeitparameter t.

Beispiel für einen stochastischen Prozess {X(t) t 0} mit stetigem

Zeitparameter t: die Gesamtschadensumme eines Kollektivs im

Zeitintervall [0,t] (Abb. 1.2.).



INRIVER

Abb. 1.2.: stochastischer Prozess

X(t)

t1 t2 t3 t4 t



INRIVER

Es sei N(t) die Anzahl der Schäden im Zeitintervall [0,t].

Dann geben die Realisationen des stochastischen Prozesses

{N(t)t 0} eine Antwort auf die Frage:

Wieviele Schäden sind im Zeitintervall [0,t] eingetreten?

Die Realisationen des Schadenzahlprozesses können in Form von

Punktprozessen

bzw.

Zählprozessen

abgebildet werden.



INRIVER

Der Punktprozess bildet Eintrittszeitpunkte ti der zufälligen

Ereignisse (Schäden) ab, der zugehörige Zählprozess gibt an,

wieviele zufällige Ereignisse (Schäden) innerhalb eines bestimmten

Zeitintervalles eingetreten sind. Der Zählprozess ist also die

Summe der zufälligen Ereignisse eines Punktprozesses.

Abb. 1.3.: Punktprozess

n(ti)

1

t1 t2 t3 t4 t



INRIVER

Abb. 1.4.: Zählprozess

n(ti)

t1 t2 t3 t4 t



INRIVER

Charakteristika stochastischer Prozesse bzw. von Punkt- und

Zählprozessen sind die Eigenschaften der

Zuwächse eines Zählprozesses

Für s < t ist N(t) – N(s) die Anzahl der Schäden im Zeitintervall

(s,t].

Insb.: N1 = N(1) – N(0), N2 = N(2) – N(1), ....

N1, N2, N3, ... modelliert die Schadenzahl eines

Versicherungsnehmers oder eines Kollektivs im Jahr 1, 2, 3, ....



INRIVER

Sind für alle disjunkten Zeitintervalle (ti-1,ti], i = 1,..., n, die

Zuwächse N(ti) – N(ti-1) stochastisch unabhängig, d.h.

Schadenzahl im Jahr ti-1 beeinflusst Schadenzahl im Jahr ti

nicht,

dann ist dies ein Prozess mit

Unabhängigen Zuwächsen

Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen lassen epidemische Effekte

(Wahrscheinlichkeitsansteckung) oder Lerneffekte (“aus Schaden

wird man klug”) nicht zu.



INRIVER

Ist die Wahrscheinlichkeit von n Schäden in einem Zeitintervall nur

abhängig von der Länge des Intervalls, nicht aber von dessen Lage

auf der Zeitachse (“Stationarität in der Zeit”), d.h.,

ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von Schäden im Sommer

im Vergleich zum Winter gleich,

dann ist dies ein Prozess mit

stationären Zuwächsen

(homogenen Zuwächsen)

Gegenbeispiel: Wahrscheinlichkeit von Waldbränden oder die bei

winterlichen Straßenverhältnissen höhere Unfallwahrscheinlichkeit



INRIVER

Die Zuwächse N(t + h) – N(s + h) haben für alle h 0 die gleiche

Verteilung wie N(t) – N(s) für alle s t, d.h.

h

h

( ] ( ] s t s+h t+h



INRIVER

Ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem kleinen Zeitintervall mehr

als ein Ereignis eintritt, klein im Vergleich zur Länge des

betrachteten Zeitintervalls, d.h. es gibt keine

“Massenkarambolagen”, also mehrere Schadenereignisse

gleichzeitig,

dann ist dies ein

Regulärer Prozess

Folge: Der zu einem regulären Prozess zugehörige Zählprozess ist

eine Treppenfunktion mit Sprunghöhe 1 (vgl. Abb. 1.3. und 1.4.).



INRIVER

Sind in einem Zeitpunkt mehrere Ereignisse möglich, ist die Höhe

der Treppenstufe im Zählprozess also nicht mehr notwendigerweise

gleich 1, erhält man Modelle für die Schadensumme bzw. den

Gesamtschaden in einem Kollektiv innerhalb bestimmter Zeitinter-

valle oder für das Phänomen der Massenkarambolage, das durch

das zeitgleiche Eintreten mehrerer zufälliger Ereignisse (Schäden)

charakterisiert ist. Modellierung:

Verallgemeinerter Punktprozess

Verallgemeinerter Zählprozess



INRIVER

Abb. 1.5.: Verallgemeinerter Punktprozess

n(ti)

t1 t2 t3 t4 t



INRIVER

Abb. 1.6.: Verallgemeinerter Zählprozess

n(ti)

t1 t2 t3 t4 t



INRIVER

1.2. Homogener Poisson-Prozess und gemsichter Poisson-

Prozess

Ein Zählprozess {N(t) t 0} heißt

homogener Poisson-Prozess,

wenn

1. N(0) = 0

2. N(t) besitzt unabhängige Zuwächse,

3. N(t) besitzt stationäre Zuwächse,

4. N(t) ist ein regulärer Prozess,

5. für alle t > 0 gilt: 0 < P(N(t) > 0) < 1.



INRIVER

Aus diesen Axiomen kann gefolgert werden, dass es eine Konstante

> 0 gibt, mit

Die Anzahl der Schäden im Intervall [0,t] folgt somit einer Poisson-

Verteilung:

E(N(t)) = Var(N(t)) = t

!n

n)t(te)n)t(N(P



INRIVER

Zu den Bedingungen 1. bis 5.:

1. Normierung

2. unabhängige Zuwächse, also keine Kettenreaktionen,

3. stationäre Zuwächse, also Ausschluss saisonaler Effekte,

4. regulärer Prozess, also Ausschluss multipler Ereignisse,

5. im Intervall [0,t] kann ein Schaden eintreten, muss aber nicht.



INRIVER

Gemischter Poisson-Prozess

Erweiterung des homogenen Poisson-Prozesses:

Heterogenitätsmodell

oder

Modell der schwankenden Grundwahrscheinlichkeiten

homogene Kollektive

sind durch für alle Risiken (versicherungstechnische Einheiten)

identische Zufallsgesetzmäßigkeiten charakterisiert.



INRIVER

Jeder VN eines homogenen Kollektivs besitzt den gleichen Scha-

denerwartungswert, die gleiche Schadenvarianz usw..

Rechtfertigung homogener Kollektive:

Die Kollektive werden auf der Basis

objektiver,

messbarer Kriterien,

die ex ante bekannt sind

also auf der Basis: objektiver Risikofaktoren bzw.

Tarifvariablen, gebildet.



INRIVER

Subjektive Risikofaktoren, also solche Kriterien, die

i.d.R. ex ante unbekannt sind,

die meist nicht messbar sind,

da an eine Person gebunden sind,

bleiben bei dieser Form der Risikoklassifikation unberücksichtigt.

Konsequenz: Die Kollektive sind nicht so homogen, wie unterstellt.

Das Kollektiv ist relativ homogen bzgl. der objektiven Risiko-

faktoren.



INRIVER

Die individuellen Zufallsgesetzmäßigkeiten, der individuelle Scha-

denerwartungswert, die individuelle Schadenvarianz usw. sind nicht

für alle Risiken des Kollektivs gleich, vielmehr rufen die un-

berücksichtigten Risikofaktoren eine beträchtliche Heteroge-

nität in dem Kollektiv hervor.

In einem homogenen Kollektiv ist die durchschnittliche Schaden-

zahl für alle Risiken des Kollektivs identisch. Liegt als Schaden-

zahlmodell der homogene Poisson-Prozess zugrunde, gilt für alle

Risiken des homogenen Kollektivs pro Periode:

E(N) = Var(N) = .



INRIVER

Um die durch subjektive Risikofaktoren hervorgerufene

Heterogenität abzubilden, wird die durchschnittliche Schadenzahl

als Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion U aufgefasst.

Die Verteilungsfunktion U heißt:

Strukturfunktion

oder

mischende Verteilung



INRIVER

1. Risiken eines homogenen Kollektivs sind identisch bzgl. der

objektiven Risikofaktoren. Die vorhandene relative Homogeni-

tät wird durch eine für alle Risiken des Kollektivs identische

Strukturfunktion modelliert.

2. Die durch subjektive Risikofaktoren hervorgerufene Heteroge-

nität wird durch die für jedes Risiko unterschiedliche ex-post

Ausprägung (Realisation) der Zufallsvariablen

modelliert. spiegelt die individuelle Schadenneigung wieder.

U(): Wählt man aus einem Kollektiv zufällig ein Risiko aus, dann

ist die Wahrscheinlichkeit, dass die individuelle Schadenneigung

dieses Risikos kleiner oder gleich einem 0 ist, gerade gleich U(0) .



INRIVER

Für die Schadenzahlverteilung eines solchen Risikos gilt:

Falls U eine Dichte u besitzt:

)(dUe

!n

t)n)t(N(P t

0

n

d)(ue!n

t)n)t(N(P t

0

n



INRIVER

Ist die Strukturfunktion eine Gammaverteilung mit Dichte

Dann gilt:

1kcekc)k(

1)(u

nk

1kck

0

nt

n

ct

t

tc

c

n

1nk

dec)k(

1

!n

)t(e)t(p



INRIVER

Dies ist eine negative Binomialverteilung, mit

c

t1

c

kt))t(N(Var

c

kt))t(N(E

Ein mit einer Gammaverteilung gemischter Poisson-Prozess heißt:

Pólya-Prozess



INRIVER

1.3. Schadensummenverteilungen

Exponentialverteilung

nur ein Parameter, wenig flexibel, theoretisches Interesse

(n-fache Faltung ist berechenbar, vgl. Kap. 1.3. Modelle des

Gesamtschadens)

0x,

0x,

e1

0)x(F

0x,

0x,

e

0)x(f

xx

2

1)X(Var

1)X(E



INRIVER

Exponentialverteilung für = 2



INRIVER

Logarithmische Normalverteilung

Zufallsgröße X ist lognormalverteilt mit Parametern µ und σ2,

wenn die Zufallsvariable Y mit Y = logX normalverteilt mit

Parametern µ und σ2 ist.

2222

2

2

1

)Y(Var1ee)X(Var

)Y(Ee)X(E



INRIVER

Logarithmische Normalverteilung für verschiedene Parameter



INRIVER

Gammaverteilung

hohe Flexibilität, 2 Parameter (a,b), für a = 1: Exponentialver-

teilung, häufige Anwendung z.B. als Strukturfunktion beim ge-

mischten Poisson-Prozess (vgl. VT II, Kap. 1.1.5. und 1.2.2.)

0x,ex)a(

b)x(f bx1a

a

2b

a)X(Varund

b

a)X(E



INRIVER

Gammaverteilung für b = 1 und verschiedene a

a = 0,5

a = 1

a = 2

a = 5



INRIVER

Pareto-Verteilung

logarithmische Form der Exponentialverteilung

)x(x

1)x(Fx

)x(f1

22

12)X(Var

1)X(E



INRIVER

Pareto-Verteilung für β = x0= 1000 und α = 3



INRIVER

Betaverteilung

Definitionsbereich: ]a,b[ mit Parametern p,q (p,q > 0). Sehr

flexibel; Modell für Schadensatzverteilung, falls a = 0 und b =

1. Für a und b beliebig, ideal als Modell für den

Gesamtschaden.

0b,a,q,p;bxa

ab

xbax

)q,p(B

1)x(f

1qp

1q1p

1qpqp

pqab)X(Var

qp

paba)X(E

2

2



INRIVER

Betaverteilung für verschiedene Verteilungsparameter



INRIVER

Normalverteilung:

„Gaußsche Glockenkurve“. Normalverteilung hat zentrale

Bedeutung als Schadensummen- und Gesamtschaden-

verteilung. (Zentraler Grenzwertsatz).

Definitionsbereich: ]-,+ [ bzw. [0, + [.

2 Parameter: = E(S) und 2 = Var(S).

Standardnormalverteilung: = 0 und = 1.

Transformation u = (x-)/ führt jede Normalverteilung in die

Standardnormalverteilung über.

22

2x

2e

2

1)x(f



INRIVER

Standardnormalverteilung Φ(0,1)



INRIVER

1.4. Gesamtschadenprozesse

Möglichkeiten der Modellierung des Gesamtschadens bzw. der

Gesamtentschädigung eines Versicherungsnehmers bzw. eines

Kollektivs.

1. Diskrete Modellierung:

S1, S2, S3, ..., Sn Gesamtschaden im Jahr 1, 2, 3, ..., n.

Kritik: großer Informationsverlust bezüglich der Zusammenset-

zung des Gesamtschadens aus Schadenzahl und Einzelschaden-

höhe. Darüber hinaus werden Schwankungen innerhalb einzel-

ner Perioden nicht erfasst.



INRIVER

2. Zeitstetige Modellierung:

S(t) Gesamtschaden im Zeitintervall [0,t]

Zusammenhang zwischen diskreter und zeitstetiger Modellie-

rung: Betrachte Zuwächse: S(t) – S(t-1) = Gesamtschaden in der

Periode t, d.h. aus zeitstetiger Modellierung folgt die diskrete

Modellierung des Gesamtschadens.



INRIVER

3. zeitstetige Modellierung unter Berücksichtigung der Kom-

ponenten des Gesamtschadens, der Schadenzahl und der

Schadensumme

Es sei:

N(t) Schadenzahlprozess

Xi Höhe des i-ten Schadens. Dann ist der Gesamtschaden S(t) die

Summe der Einzelschäden Xi:

Problem: doppelt stochastische Summe

)t(N

0ii

X)t(S



INRIVER

Beachte: Schadenhöhe ist zeitunabhängig, d.h. z.B. inflations- oder

trendbereinigt.

Realisationen eines Gesamtschadenprozesses S(t) darstellbar als

verallgemeinerte Punkt- und Zählprozesse.

Stochastische Gesetzmäßigkeit von S(t)?

Annahmen:

1. Schadenhöhe zeitunabhängig

2. Einzelschadenhöhen Xi sind i.i.d. (identically, independent

distributed), X ~ F

3. Schadenzahl N und Schadenhöhe X sind stochastisch unabhän-

gig



INRIVER

P(S(t) 1000) = ?

Das Ereignis, dass die Gesamtschadensumme im Zeitintervall [0,t]

kleiner gleich 1000.-- ist, kann auf verschiedene Weise eintreten:

1. im Zeitintervall [0,t] kein Schaden oder

2. im Zeitintervall [0,t] ein Schaden und die Schadenhöhe dieses

Schadens ist kleiner gleich 1000

(x1 1000) oder

3. im Zeitintervall [0,t] zwei Schäden und die Schadenhöhe dieser

beiden Schäden ist kleiner gleich 1000

(x1 + x2 1000) oder



INRIVER

4. im Zeitintervall [0,t] drei Schäden und die Schadenhöhe dieser

drei Schäden ist kleiner gleich 1000

(x1 + x2 + x3 1000) oder

5. usw.

P(S(t) x) = P(N(t) = 0) + P(N(t) = 1)P(X1 1000) +

P(N(t) = 2)P(X1 + X2 1000) +

P(N(t) = 3)P(X1 + X2 + X3 1000) + ...

„“ entspricht „und“ (stochastische Unabhängigkeit)

„+“ entspricht „oder“



INRIVER

Gesamtschadensumme x ist, wenn die Anzahl der eingetretenen

Schäden gleich n ist. Diese Wahrscheinlichkeit wird über die

n-fache Faltung F*n(x) berechnet

0n

n

0ii xXP)n)t(N(P)x)t(S(P

diedass,lichkeitWahrscheinbedingtedieistxXPn

0i

i



INRIVER

F*n(x) = F F F F F (n-mal)

)x(*F)n)t(N(P)x)t(S(P0n

n

)y(dG)yz(F)x(dF)xz(GGF

z

0

z

0

dy)y(g)yz(fdx)x(f)xz(ggf



INRIVER

Beispiel: Berechnung der 2-fachen Faltung der Exponentialver-

teilung

Dichte der Exponentialverteilung: f(x) = ae-ax

Die n-fache Faltung einer Verteilung ist nur in selten Fällen - wie

z.B. bei der Exponentialverteilung - in einer geschlossenen Form,

hier eine Gammaverteilung, darstellbar.

zeaxeadxeadxaeaeff az2z

0az2az

z

0

2axz

0

)xz(a



INRIVER

Verallgemeinerter Poisson-Prozess

Gesamtschadenprozess, bei dem der Schadenzahlprozess ein Pois-

son-Prozess ist.

mit


n

!n

)t(e)n)t(N(P

nt



INRIVER

Gemischter verallgemeinerter Poisson-Prozess

Gesamtschadenprozess, bei dem der Schadenzahlprozess ein ge-

mischter Poisson-Prozess ist.


n

)(dU

0!n

ntte)n)t(N(P



INRIVER

Kontrollfragen zu

“Schadenprozesse und Schadenverteilungen ”

1. Gegeben sei der folgende Punktprozess. Leiten Sie den assoziierten Zählprozess ab.

Abb.1: Punktprozess

f(ti)

t1 t2 t3 t4 t5 t

2. Erläutern Sie an mindestens zwei Beispielen, welche zufälligen Ereignisse durch den Punktprozess der Abbildung 1 modelliert werden

können.

3. Beschreiben Sie die Eigenschaften des homogenen Poisson-Prozesses.

4. Erläutern Sie anhand von drei Beispielen, inwieweit der homogene Poisson-Prozess ein idealtypisches Abbild der Realität ist.

5. Beschreiben Sie das Konzept des gemischten Poisson-Prozesses.

6. Beschreiben Sie den Pólya-Prozess.

7. Was wird mit der Strukturfunktion modelliert?

8. Beschreiben Sie drei allgemeine Formen zur Modellierung des Gesamtschadens. Erläutern Sie die Vor- und Nachteile dieser Modelle.

9. Erklären Sie charakteristische Eigenschaften der Exponentialverteilung, der Pareto-Verteilung und der Gammaverteilung.

10. Beschreiben Sie die Komponenten des Gesamtschadenprozesses.



INRIVER

11. Beschreiben Sie den verallgemeinerten Poisson-Prozess.

12. Beschreiben Sie den gemischten verallgemeinerten Poisson-Prozess.

Date post:	23-Mar-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen …...1. Schadenprozesse und Schadenverteilungen INRIVER...

Documents