Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-

JPCR:

ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA

PROZESSIM INGENIEURSTUDIUM FÜR

ASERBAIDSCHAN

Vorlesungsskript: Grundlagen der Mathematik

(GLMT)

Für Studiengang: Bachelor-

Automatisierunmgstechnik und Elektrische

Energietechnik

Bakalavr təhsili üçün- Proseslərin

avtomatlaşdırılması və Elektroenergetika

ixtisasları üzrə

Riyaziyyatın əsasları

Dr. İng. Mehman Shahverdiyev (AzTU)

Dr. Ing. Mahir Sabzaliyev (ASEA)

Dr. Ing. Ilgar Säfärli (SUS)

Baku 2015

2

Inlahltverzeichnisse

1.Lineare Gleichungssysteme

1.1. Determinanten, rechnen mit Matrizen...........................................7

1.2. İnverse Matrix..............................................................................20

1.3. Einsetzen......................................................................................21

1.4. Gleichsetzen.................................................................................21

1.5. Additionsmethode........................................................................21

1.6. Schematisierung von Gleichungssystemen..................................22

1.7. Cramersche Regel........................................................................22

1.8. Gausscher Alqorithmus................................................................24

1.9. Numerische Inversion von Matrizen............................................25

2. Vektoralgebra

2.1. Einfache Vektoroperationen.........................................................27

2.2. Rechtsdrehendes Koordinatensystem...........................................30

2.3. Skalarprodukt...............................................................................35

2.4. Vektorprodukt, Spaltprodukt........................................................36

2.5. Einfache Anwendungen der Vektorrechung................................38

3. Analytische Geometrie

3.1. Zweidimensionale und dreidimensionale Koordinatensysteme...39

3.2. Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel.........................49

3.3. Geraden und Flachen in kartesischen Koordinaten......................65

3.4. Flachen 2. Ordnung im dreidimensionalen Raum........................65

3.5. Kugel, Ellipsoid, Zylinder in z-Richtung.....................................66

3.6. Doppelkegel in z-Richtung..........................................................67

4. Algebraische Gleichungen

4.1. Allgemeine Form der algebraischen Gleichung n-ten Grades.....69

4.2. Losungen von algebebraischen Gleichungen...............................70

4.3. Goniometrische Gleichungen.......................................................70

4.4. Exponential- Gleichungen............................................................71

4.5. Logarithmische-Gleichungen.......................................................71

4.6. Grafische Losung: Newton-Verfahren, Regula Falsi...................76

4.7. Numerische Losungen..................................................................76

5. Funktionen

5.1. Grundbegriffe der Funktionslehre................................................83

5.2. Analytische Funktionen................................................................83

5.3. Ganzrationale Funktionen............................................................84

3

5.4. Horner-System.............................................................................84

5.5. Gebrochen rationale Funktionen..................................................84

5.6. Transzendente Funktionen...........................................................84

5.7. Trigonometrische Funktionen......................................................85

5.8. Arcus- Funktionen.......................................................................85

5.9. Exponential- Funktionen..............................................................85

5.10. Logarithmus- Funktionen...........................................................86

5.11. Hyperbel- Funktionen................................................................86

5.12. Area- Funktionen.......................................................................86

5.13. Reihen der transzendenten Funktionen......................................90

5.14. Zusammenhang zwischen den transzendenten Funktionen.......95

5.15. Gerade und ungerade Funktionen..............................................99

5.16. Funktionen in Polardarstellung................................................100

5.17. Funktionen in logarithmischer Darstellung..............................102

6. Komplexe Zahlen

6.1. Erweiterung des Zahlenbegriffs.................................................103

6.2. Einführung der komplexen Zahlen.............................................105

6.3. Potenzen komplexer Zahlen.......................................................111

6.4. Wurzel aus komplexen Zahlen...................................................111

6.5. Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl........................117

6.6. e- Funktion komplexer Argumente............................................117

6.7. Zusammenfassung der Rechenregeln der komplexen Rechnung... 117

4

Mündəricat

1.Xətti tənliklər sistemi

1.1. Matris anlayışı...............................................................................7

1.2. Determinantlar..............................................................................13

1.3. Matrisin ranqı. Bazis minoru........................................................17

1.4. Tərs matris....................................................................................20

1.5. Xətti tənliklər sistemi...................................................................21

1.6. Kramer qaydası............................................................................22

1.7.Qauss alqoritmi.............................................................................24

2. Vektorlar cəbri

2.1. Vektorlar və onlar üzərində xətti əməllər.....................................27

2.2. Vektorların xətti asılılığı..............................................................28

2.3. Müstəvi üzərində və fəzada bazis vektorlar.................................29

2.4. Müstəvidə və fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi.....................30

2.5. Vektorun ox üzərində proyeksiyası..............................................31

2.6. Polyar koordinat sistemi...............................................................32

2.7. Vektorların skalyar hasili.............................................................35

2.8. Vektorların vektorial hasili...........................................................36

2.9. Üç vektorun qarışıq hasili............................................................38

3. Analitik həndəsə

3.1. Düz xəttin kanonik, parametrik və vektorial tənlikləri................39

3.2. Düz xəttin polyar koordinat sistemdə tənliyi. Düz xəttin normal

tənliyi...................................................................................................41

3.3. Düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi...................................................42

3.4.Verilmiş nöqtədən və verilmiş istiqamətdə keçən düz xətt tənliyi43

3.5. Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xətt tənliyi................................43

3.6. Düz xəttin parçalarla tənliyi.........................................................44

3.7. Verilmiş nöqtədən keçən və verilmiş vektora perpendikulyar olan

düz xətt tənliyi. Düz xəttin ümumi tənliyi...........................................44

3.8. Düz xəttlərin qarşılıqlı vəziyyəti..................................................45

3.9. Nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafə........................................47

3.10. İkitərtibli əyrilər.........................................................................49

3.11. Fəzada düz xətt və müstəvi tənlikləri.........................................57

3.12. İkitərtibli səthlər.........................................................................65

5

4.Cəbri tənliklər

4.1. n dərəcəli cəbri tənliklər..............................................................69

4.2. Cəbri tənliklərin həlli...................................................................74

4.3. Ədədi üsullar ...............................................................................76

5. Birdəyişənli funksiyalar

5.1. Ədədi aralıqlar..............................................................................81

5.2. Məhdud və qeyri-məhdud ədədi çoxluqlar...................................82

5.3. Həqiqi ədədin mütləq qiyməti......................................................83

5.4.Birdəyişənli funksiya....................................................................83

5.5. Ədədi ardıcıllıq və onun limiti.....................................................89

5.6. Funksiyanın limiti........................................................................92

5.7. Sonsuz kiçilən və sonsuz böyüyən funksiyalar............................96

5.8. Funksiyanın kəsilməzliyi. Kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı............99

6. Kompleks ədədlər

6.1. Kompleks ədədlər və onlar üzərində əməllər.............................103

6.2.Kompleks ədədin həndəsi təsviri.................................................105

6.3.Kompleks ədədin triqonometrik və üstlü şəkli............................111

6.4. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində

əməllər...............................................................................................112

6.5. Kompleks ədədin qüvvətə yüksəldilməsi...................................113

6.6. Kompleks ədədin kökü...............................................................115

6.7.Eyler düsturları............................................................................117

6

GİRİŞ

Elm və texnikanın süerətli inkişafı yüksək səviyyəli mütəxəssislər

Hazırlanması məsələsini günün əsas tələbi kimi ali texniki məktəblər

qarşısında qoymuşdur. Texniki universitetlərin bütün fakültələrində

riyaziyyatın tədris olunduğunu və mühəndislərin riyazi təhsilində

artan tələbləri nəzərə alaraq bakalavr pilləsinin tədris proqramına

uyğun olaraq yeni dərs vəsaitlərinin yaranmasına ciddi ehtiyac

yaranmışdır. Təqdim olunan dərs vəsaitinin bu vacib məsələnin

həllində az da olsa köməyi olacağını düşünürük.

Riyaziyyatın təqdim olunan bu hissəsi 6 bölmədən ibarətdir: xətti

tənliklər sistemi, vektorlar cəbri, analitik həndəsə, cəbri tənliklər,

birdəyişənli funksiyalar, kompleks ədədlər.

Xətti tənliklər sistemi bölməsində matris və determinant anlayışı

daxil edilir və xətti tənliklər sisteminin həllinin Kramer qaydası və

Qauss alqoritmi araşdırılır.

Vektorlar cəbri bölməsində vektor anlayışı daxil edilmiş və onun

tətbiq sahələri araşdırılmışdır.

Analitik həndəsə bölməsində iki və üç ölçülü koordinat sistemi

daxil edilmiş, müstəvi üzərində düz xətt tənlikləri və ikitərtibli əyrilər,

fəzada isə düz xətt, müstəvi tənlikləri, ikitərtibli səthlər geniş

araşdırılmışdır.

Cəbri tənliklər bölməsində cəbri tənlikər anlayışı öyrənilir və

onların bəzi həll üsulları araşdırılmışdır.

Birdəyişənli funksiyalar bölməsində bəzi funksiyaların xassələri

araşdırılmış və praktik tətbiq sahələri göstərilmişdir.

Ədədlər nəzəriyyəsinin genişlənməsi kimi kompleks ədəd anlayışı

daxil edilmiş, onun həndəsi təsviri, təsvir olunma şəkilləri və bəzi

tətbiq sahələri araşdırılmışdır.

7

1. Xətti tənliklər sistemi

1.Matris anlayışı. Matris anlayışı və ona əsaslanan riyaziyyatın

bölməsi olan matrislər cəbri müəyyən ixtisaslarda (iqtisadiyyat,

nəqliyyat və s.) mühüm əhəmiyyətə malikdir. Bu onunla əsaslanır ki,

bu ixtisaslarda bəzi obyekt və proseslərin bir çox hissəsinin riyazi

modelləri kifayət qədər sadə şəkildə yazılır.

Tutaq ki, Nnm , ədədləri verilmişdir. mn sayda ədədlərdən

düzbucaqlı şəklində düzəldilmiş, m sayda sətri və n sayda sütunu olan

cədvələ nm ölcülü matris deyilir. Matrisi

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

şəklində yazırlar.Bəzən dairəvi mötərizə əvəzinə ,

simvollarından da istifadə edilir. Matrisi qısa olaraq, ij

a

njmi ,1;,1 kimi də yazırlar. Matrisləri, adətən, latın əlifbasının

böyük hərfləri ,...,,,, YXCBA ilə işarə edirlər. Bəzən matrisləri nmA

kimi də işarə edirlər. Matrisi təşkil edən ədədlərə onun elementləri

deyilir. ij

a yazılışı matrisin i-ci sətri ilə, j-cu sütununun kəsişməsində

duran elementi göstərir. nm olduqda alınan matris n -tərtibli

kvadrat matris adlanır. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli

matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə

eyniləşdirirlər: 1111

aa .

Ancaq bir sətri olan matrisə sətir matris, ancaq bir sütunu olan

matrisə sütun matris deyilir, məsələn,

)...( 112111 nn aaaA ,

1

21

11

1...

m

m

b

b

b

B .

n -tərtibli kvadrat matrisin nn

aaa ,...,,2211

elementləri çoxluğu həmin

matrisin baş

diaqonalı, 1)1(21

,...,,nnn

aaa

elementləri çoxluğu isə yan (çəp, kənar)

diaqonalı adlanır. Baş diaqonaldan aşağıda (yuxarıda) yerləşən bütün

elementləri sıfra bərabər olan matris yuxarı (aşağı) üçbucaq matris

8

adlanır:

nn

n

n

a

aa

aaa

...00

............

...0

...

222

11211

və ya

nnnn aaa

aa

a

...

............

0...

0...0

21

2221

11

.

Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərqli olan kvadrat

matrisə diaqonal matris, baş diaqonal elementləri eyni bir ədəd olan

diaqonal matrisə isə skalyar matris deyilir. Baş diaqonal elementləri

vahidə bərabər olan skalyar matris vahid matris adlanir vən

E (və

yan

I ) hərfi ilə işarə edilir. Bütün elementləri sıfra bərabər olan

kvadrat matrisə sıfır matris deyilir və O ilə işarə olunur:

nna

a

a

...00

............

0...0

0...0

22

11

-diaqonal matris,

a

a

a

...00

............

0...0

0...0

-

skalyar matris,

1...00

............

0...10

0...01

-vahid matris,

0...00

............

0...00

0...00

-sıfır matris.

2.Matrislər üzərində əməllər.

.10 Matrisin ədədə vurulması. Verilmiş )( ijaA

),1;,1( njmi matrisinin həqiqi ədədinə hasili, elementləri

ijijab ),1;,1( njmi kimi təyin olunan )( ijbB njmi ,1;,1

matrisinə deyilir və AB (və ya AB ) ilə işarə olunur. Deməli

matrisi ədədə vurmaq üçün onun bütün elementlərini həmin ədədə

vurmaq lazımdır.

Xassələri:

.10 ,AA .30 ,AAA

.20 ,BABA .40 . AA

.20 Matrislərin cəmi. Eyni nm ölçülü )( ijaA və )( ijbB

( ;,1 mi ),1 nj matrislərinin cəmi həmin ölçülü və elementəri

9

ijijijbac ( ;,1 mi ),1 nj kimi təyin olunan )( ijcC

),1;,1( njmi matrisinə deyilir və BAC kimi işarə olunur.

Xassələri:

.10 AOA , .30 CBACBA ,

.20 ABBA , .40 BABA .

Eyni ölçülü iki matrisin fərqi əvvəlki əməllərə görə aparılır: .)1( BABA

Aydındır ki, həmişə .OAA

Eyni ölçülü A və B matrislərinin xətti kombinasiyası

BA şəklində ifadəyə deyilir, burada və ixtiyari ədədlərdir.

.30 Matrislərin hasili. nm ölçülü ij

aA ),1;,1( njmi

matrisinin pn ölçülü ij

bB ),1;,1( njmi matrisinə hasili

hədləri

n

k

kjikijbaC

1

pjmi ,1;,1

kimi təyin olunan pm ölçülü )(ij

cC pjmi ,1;,1 matrisinə

deyilir və ABC ilə işarə olunur.

Tərifdən aydındır ki, A matrisinin B matrisinə vurmaq üçün A -

nın sütunlarının sayı B -nin sətirlərinin sayına bərabər olmalıdır.

Qeyd edək ki, matrislərin hasili üçün yerdəyişmə xassəsi doğru

deyildir ( BAAB ).

Xassələri:

.10.AAIIA .20

.OAOOA .30 .BABAAB

.40 BCACCBA . .50 .CBCABAC .60 .CABBCA

.40 Quvvətə yüksəltmə. Xüsusi halda hər bir kvadrat A matrisini

özü özünə

vurmaq olar. Bu halda həmin matrisin kvadratı, kubu və s. alınır:

,..., 322 AAAAAAAAA

Tərifə görə AAEA 10 , fərz edilir. Asanlıqla,

,nmnm AAA mnnm AA )( olduğunu göstərmək olar.

.50 Matrislərin çevrilməsi(transponirə edilməsi). A matrisinin

10

bütün sətirləri ilə sütunlarının yerlərinin dəyişdirilməsinə (nömrələrini

saxlamaqla) onun çevrilməsi deyilir və TAAA ,, simvollarından biri

ilə işarə edilir.

Xassələri:

.10 .)( AA .20 .)( AA

.30 .)( BABA .40 .)( ABAB

, AA yəni ),1,( njiaajiij

olduqda A matrisinə simmetrik,

jiijaa olduqda isə çəpsimmetrik matris deyilir. Simmetrik matrisdə

baş diaqonala nəzərən simmetrik olan elementlər bərabərdirlər.

Çəpsimmetrik matrisdə isə baş diaqonalda sıfırlar yerləşir və bu

diaqonala nəzərən simmetrik olan elementlər isə işarəcə fərqlənirlər.

Eyni ölçülü və bütün uyğun elementləri bərabər olan

matrislərə bərabər matrislər deyilir.

Əgər matrisin hər hansı sətrinin elementi sıfırdan fərqli, ondan

soldakı elementlərin hamısı sıfra bərabərdirsə, onda bu element həmin

sətrin kənar elementi adlanır. Əgər matrisin ikincidən başlayaraq hər

bir sətrinin kənar elementi özündən əvvəlki sətrin kənar elementindən

sağda yerləşərsə, belə matris pilləvari matris adlanır, məsələn:

0

3

7

0

1

4

0

1

2

0

0

1

.

1. n tərtibli kvadrat matris verilmişdir. Tapın:

a) baş diaqonalda,

b) baş diaqonaldan yuxarıda,

c) baş diaqonaldan aşağıda neçə element yerləşir?

Aşağıdakı matrisləri transponirə edin:

2.

52

03A . 3.

13

20A . 4.

13

20A .

5.

6

3

54

21A . 6.

410

112A ,

2

0

23

12B ,

BA 23 ?

Həlli.

12

3

30

363A ,

4

0

46

242B ,

11

BA 23

4124360

032346

4

0

46

24

1230

336=

8

3

76

52.

Verilmiş matrislətin xətti kombinasiyalarını tapın.

7.

4

1

1

1

0

2A ,

2

0

2

1

3

2B , ?23 BA

8.

i

iA

1

1 ,

1

1

i

iB , ?)1()1( BiAi

9.

43

21A ,

65

42B , ?'' BABA

10.

30

16A ,

10

24B , ?32 BAC

11. ,23

11

A ,

21

45

B ?5 BAC

12. ,

201

335

212

A ? EA

13.

422

633

311

A və

585

413

534

B olduqda BAS 23 matrisinin

simmetrik olduğunu göstərin.

14.

314

522

131

A və

6311

546

542

B olduqda BAK 2 matrisinin

çəpsimmetrik olduğunu göstərin.

Aşağıdakı matrisləri pilləvari şəklə gətirin:

15.

1

0

1

235

123

101

. 16.

5

7

3

1005

421

110

. 17.

551

113

232

.

18.

3

2

3

114

312

105

və

3

1

4

2

matrislərinin hasilini tapın.

Həlli:

3

2

3

114

312

105

3

1

4

2

=

331)1(4124

32134122

33114025

=

20

17

20

.

12

Aşağıdakı matrislərə görə TAA və AAT hasillərini hesablayın:

19.

0

3

2

1

A . 20.

15

31

14

21A .

Aşağıdakı matrislərin hasillərini hesablayın:

21. .52

43

45

23

22. .

46

69

64

32

23.

1

2

2

453 .

24. .02

31

24

12

25. .

24

12

02

31

26.

123

212

120

.

531

123

234

27. .

ca

db

dc

ba 28. .

cossin

sincos

cossin

sincos

29.

2

3

3

113

514

205

.

4

7

2

6

30. .

2

5

1

1

3

13204

31.

12638

9328

57

34

12

37. 32.

3

43

21

.

33. .,10

1R

n

. 34.

n

10

11. 35.

n

000

100

010

.

A və B matrisləri verildikdə AB və BA hasillərini tapın (əgər

mümkündürsə).

36. ,1

3

0

2

1

1

A .

817

206

543

B 37. ,45

23

A .

52

43

B

38.

63

21A ,

31

62B .

Verilmiş )(xf çoxhədlisi və A matrisi üçün )(Af matrisinin

qiymətini tapın:

39. ,53)( 2 xxxf

301

111

022

A . 40. ,3)( 2 xxxf

33

12A .

13

41. ,12)( 2 xxxf

011

213

112

A .

42. ,532)( 23 xxxf

32

21A .

43.

33

12A matrisinin 35)( 2 xxxP çoxhədlisinin kökü

olduğunu göstərin.

1.2. Determinantlar

İstənilən n tərtibli kvadrat

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

matrisinə determinant (“ayırdedici”) adlanan bir Adet (və ya A )

ədədini qarşı qoymaq olar:

1) 1n , 111 aA , 111det aA ,

bu elementə 1A matrisinin determinantı (və ya birtərtibli

determinantı) deyilir.

2) ,2n ,2221

1211

2

aa

aaA ,det 12212211

2221

1211

2 aaaaaa

aaA

bu fərqə 2A matrisinin determinantı (və ya ikitərtibli determinantı)

deyilir.

3) 3n ,

333231

232221

131211

3

aaa

aaa

aaa

A ,

333231

232221

131211

3det

aaa

aaa

aaa

A

.112332331221132231133221312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

(1)

Bu ifadə 3A matrisinin determinantı (və ya üçtərtibli determinantı)

adlanır.

Bu ədəd determinantın elementlərindən düzəldilmiş altı

həddən ibarətdir. Hər bir toplanana matrisin hər sətir və hər

sütunundan ancaq bir element daxildir. Determinantın (1) açılışından

14

hədlərin ifadəsi və işarəsi Sarrius qaydası və ya üçbucaq qaydası

adlanan aşağıdakı sxemlə müəyyən olunur:

Üçbucaq qaydası

3332

232221

131211

31aaa

aaa

aaa

n -tərtibli determinantin 2n sayda

elementi və !n sayda həddi var.

n -tərtibli determinantin hər hansı ij

a

elementinin durduğu sətir və sütun

elementlərini pozduqda alınan 1n tərtibli

determinant bu elementin minoru adlanır

və ij

M ilə işarə edilir. Determinantın ij

a

elementinin ij

M minorunun ji1

ədədinə hasili həmin elementin cəbri

tamamlayıcısı adlanır və ij

A kimi işarə

edilir:

ijji

ijMA )1(

Qeyd edək ki, m sətirdən və n

sütundan ibarət düzbucaqlı matrisdə

müxtəlif şəkildə tərtib olunmuş k -tərtibli

minorların sayı kn

km CC -ya bərabərdir. Onda, n tərtibli matris 2n sayda

müxtəlif şəkildə düzəldilmiş minorlara malik olacaq (hər bir elementin

öz minoru var).

Teorem. Hər bir determinant hər hansı bir sətir və ya sütun

elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə

bərabərdir.

Məsələn, üçtərtibli determinant üçün aşağıdakı düsturlar

döğrudur:

Sütunların (sətirlərin)

paralel köçürülməsi

32

2221

1211

3332

232221

131211

3131aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

+

+

+

+

_

_

_

15

.....................................

)(

333323231313

232322222121

131312121111

333231

232221

131211

3

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A

Bu bərabərkiklər üçtərtibli determinantın uyğun sətir və sütun

elementləri üzrə ayrılışları adlanır.

Determinantın aşağıdaki xassələri vardır:

X1.Determinantın bütün sətirlərini uyğun sütunlarla yerlərini

dəyişdiklə, yəni determinantı transponirə etdiklə, onun qiyməti

dəyişməz.

X2.Determinantın iki sətrinin və ya iki sütununun yerlərini

dəyişsək, onun yalnız işarəsi dəyişər.

X3.İki sətri və ya sütunu eyni olan determinant sifra bərabərdir.

X4.Determinantın hər hansı bir sətrinin və ya sütununun bütün

elementlərinin ortaq vuruğunu determinant işarəsi xaricinə cıxarmaq

olar.

X5.Determinantda bütün elementləri sıfır olan sətir və ya sütun

vardırsa, bu determinant sifra bərabərdir.

X6.Determinantın mütənasib olan sətirləri və ya sütunları varsa, bu

determinant sifra bərabərdir.

X7.Determinantın hər hansı bir sətrinin (sütununun) bütün

elementləri iki toplanandan ibarət olduqda, onu iki determinantın cəmi

şəklində yazmaq olar, beləki, bu determinantların birində həmin sətir

(sütun) elementləri birinci, digərində isə ikinci toplananlardan ibarət

olur.

X8.Determinantın hər hansı bir sətir (sütun) elementlərini müəyyən

bir ədədə vurub başqa sətrin (sütunun) uyğun elementləri ilə

topladıqda onun qiyməti dəyişməz.

X9.Determinantın hər hansı sətir (sütun) elementlərinin digər sətrin

(sütunun) uyğun elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına hasilləri cəmi

sifra bərabərdir.

44. 24

32 - determinantını hesablayın.

Həlli. 24

32 161244)3(22 .

45. a -nın hansı qiymətlərində31

532

a

adeterminantı sıfra

16

bərabərdir?

Həlli. Əvvəlcə verilmiş determinantı hesablayaq:

4)1(5)3)(3(31

532

2

aaa

a

a.

Deməli, 2a olduqda, 02 .

46. 305

124

231

- determinantını hesablayın.

Həlli. 35101343522513204321

305

124

231

.

Determinantları hesablayın:

47. 105

63

. 48.

cossin

sincos. 49.

tg

tg

1

1. 50.

bababa

bababa

22

22

.

51. baca

aba

. 52.

832

480

251

. 53. 378

582

752

.

54. 150

301

012

. 55. abb

ab

baa

0 . 56.25

41

.

57. 987

654

321

. 58.812

278

543

.

Tənlikləri həll edin:

59. 014

1

x

xx. 60. 0

5cos8sin

5sin8cos

xx

xx. 61. 0

25

312

x

x.

62. 017

13

xx

xx. 63. 0

1110

312

3

x

xx

. 64. 0

876

543

21

xxx

xxx

xxx

.

Bərabərsizlikləri həll edin:

65. 0

121

21

123

x . 66. 0

35

211

122

x

x

.

17

67. 506

617

302

determinantını ixtiyari sətir və ya sütununun ayrılışına gö-

rə hesablayın.

Həlli. Verilmiş determinantı 2-ci sütuna görə hesablayaq:

8635256

321

506

617

302

.

Aşağıdakı determinantları ixtiyari sətir və ya sütununun

ayrılışına görə hesablayın:

68.

1613

3213

1210

0112

. 69. 312

1486

743

. 70. 1133

3122

291

.

71.

5032

0126

2112

4332

72.

3413

2324

1432

dcba. 73.

454

232

344

125

d

c

b

a

.

74.

7123

1001

6413

3221

. 75.

00

00

e

dcb

a

. 76. 101

011

coscoscos

.

1.3. Matrisin ranqı. Bazis minoru

İxtiyari A matrisinin hər hansı k sayda sətirləri ilə k sayda

sütunlarınin kəsişməsində yerləşən elementlərdən düzəldilmiş

k tərtibli determinant həmin matrisin k tərtibli minoru adlanır.

Aydındır ki, A matrisi nm ölçülüdürsə, onda nmk ,min olar.

A matrisinin sıfırdan fərqli ən yüksək tərtibli minorunun tərtibinə

həmin matrisin ranqı deyilir və Ar ilə işarə edilir. Aydındır ki,

nmAr ,min0 .

Tərtibi matrisin ranqını müəyyən edən minor bazis minoru

adlanır. Matrisin bir neçə bazis minoru ola bilər. Matrisin bazis

minorunun sətirlərinə (sütunlarına) uyğun sətirləri (sütunları) bazis

sətirləri (bazis sütunları) adlanır.

Teorem. (bazis minoru haqqindakı teoremə) Matrisin bazis

18

sətirləri (bazis sütunları) xətti asılı deyildir. A matrisinin ixtiyari sətri

(sütunu) onun bazis sətirlərinin (bazis sütunlarının) xətti

kombinasiyasıdır.

Matrisin ranqını iki qayda ilə tapacağıq.

1.Birinci üsulda seçmə yolu ilə matrisin sıfırdan fərqli ən

yüksək tərtibli minorunu tapırlar. Əvvəlcə ixtiyari birtərtibli 01M

minoru (yəni matrisin sıfırdan fərqli elementi) axtarılır. Əgər belə

minor yoxdursa, onda verilmiş matris sıfır matrisdir və 0)( Ar .

Sonra 1

M minorunu öz daxilinə alan 02M minoru tapılanadək

ikitərtibli minorlar hesablanır. Əgər belə minor (yəni sıfırdan fərqli

olan ikitərtibli) yoxdursa, onda 1)( Ar , əks halda 2)( Ar və s. Bu

qayda ilə matrisin ranqını axtararkən hər addımda cəmi bircə k

tərtibli sıfırdan fərqli minoru tapmaq kifayətdir və onu ancaq

01

kM minorunu öz daxilinə alan minorlar içərisində axtarmaq

lazımdır.

2.İkinci üsul isə matrisin ranqını elementar çevirmələr adlanan

əməliyyatlar vasitəsilə təyin etməkdir.

Matrislər üzərində aparılan aşağıdakı çevirmələr elementar

çevirmələr adlanır:

1. İxtiyari iki sətrin (sütunun) yerini dəyişmək,

2. İxtiyari sətri (sütunu) 0 ədədinə vurmaq və ya bölmək,

3.İxtiyari sətrin (sütunun) elementlərini başqa sətrin (sütunun)

uyğun elementlərinə əlavə etmək,

4.Bütün elementləri sıfır olan sətir və sütunlarin matrisdən kənar

edilməsi.

Elementar çevirmələr matrisin ranqını dəyişmir.

Elementar çevirmələr vasitəsilə matris pilləvari şəklə gətirilərsə,

onda onun

sıfırdan fərqli sətirlərinin sayı, elə verilmiş matrisin ranqı olacaqdır.

Əgər elementar çevirmələr vasitəsilə matris diaqonal şəklə

gətirilibsə, onda

bu matrisin ranqı baş diaqonalda olan sıfırdan fərqli elementlərin

sayına bərabərdir.

77. Elementar çevirmələr vasitəsilə aşağıdakı matrisin ranqını

19

tapın:

3

5

6

151

311

512

Həlli: ~

3

5

6

151

311

512

2

2

IIII

III

~

12

4

6

390

130

512

3 IIIII

0

4

6

000

130

512

.

Alınmış pılləvari matris sıfırdan fərqli iki sətir saxlayır, deməli

2)( Ar .

Aşağıdakı matrislərin ranqını tapın:

78.

12

41 . 79.

64

32. 80.

6101

412

141

. 81.

149

253

372

.

82.

10

11. 83.

00

04. 84.

03

72 . 85.

6633 .

86.

21

02. 87.

28112

71524

42312

. 88.

1977

7115

4312

1531

.

89. Aşağıdakı matrisin ranqını seçmə üsulu ilə tapın və bazis

minorlarını göstərin:

0

0

0

6

0

3

0

2

0

402

010

201

A .

Həlli: 0110

01 , 0

402

010

201

, 0

002

210

001

, 0

602

010

301

olduğu üçün

2)( Ar .

Bazis minorları bu matrisin ikitərtibli minorlarıdır:

10

01,

20

01,

0120 ,

2002 ,

0210 ,

0220 ,

4001 ,

0420 .

Aşağıdakı matrislərin ranqını seçmə üsulu ilə tapın və bir bazis

minorunu göstərin:

20

90.

031

334

213

. 91.

231

334

213

. 92.

3151

5311

6512

.

Aşağıdakı matrislərin ranqını elementar çevirmələr ilə tapın:

93.

110

431110321

. 94.

311

3

461

111113121

.

1.4. Tərs matris

Tərif. Əgər kvadrat A matrisi üçün

EAAAA 11 olarsa, onda 1A matrisinə A matrisinin tərsi deyilir.

Bu halda A matrisi də 1A matrisinin tərsidir: AA 11 , yəni

A və 1A qarşılıqlı tərs matrislərdir.

Determinantı sıfra bərabər olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və

ya məxsusi) matris, əks halda isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi)

matris deyilir.

Teorem. Verilmiş A matrisinin tərs 1A matrisi olması üçün

onun cırlaşmayan olması zəruri və kafi şərtdir.

n - tərtibli cırlaşmayan A matrisinin tərsi aşağıdakı düsturla

təyin olunur:

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

...

............

...

...

1

21

22212

12111

1 ,

burada ij

A ilə A matrisinə uyğun determinantın ij

a elementinin cəbri

tamamlyıcısı işarə olunmuşdur.

Xüsusi halda 2 və 3 tərtibli cırlaşmayan matrislərin tərsi

uyğun olaraq aşağıdakı düsturlarla təyin olunurlar:

2212

2111

2

1

2)(

1

AA

AA

AA , .

)(

1

332313

322212

312111

3

1

3

AAA

AAA

AAA

AA

Tərs matrisin xassələri:

1. 111)( ABAB , 2. AA 11)( ,

21

3. )'()'( 11 AA 4. A

AA111

.

Qeyd. Elementar çevirmələr üsulu ilə də tərs matrisi tapmaq

olar. Buna görə verilən n tərtibli A matrisi üçün nn 2 ölçülü

düzbucaqlı )/( EATA matrisini düzəldək, bu zaman A matrisinin

sağ tərəfinə E vahid matrisini əlavə edirik. A matrisi

çırlaşmayandırsa sətirlər (sütunlar) üzərində elementar çevirmələr

aparmaqla AT matrisini )/( BE şəklinə gətirmək lazımdır. Burada 1 AB .

1.5. Xətti tənliklər sistemi

Tutaq ki, n məchullu m xətti tənliklər sistemi verilmişdir:

mmnmm

nn

n

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

n

n

...

...............................................

...

...

2211

2222121

1121211

2

1

(1)

Bu sistemi qısa olaraq aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

n

i

jjij bxa

1

( mj ,1 ).

Verilən sistem 0...21 mbbb olduqda bircins, mbbb ,...,, 21

ədədlərin-

dən heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda isə bircins olmayan xətti

tənliklər sistemi adlanir.

Məchullarin (1) sisteminin hər bir tənliyini ödəyən 00

22

0

11 ,...,, nn xxxxxx qiymətlər çoxluğuna onun həlli

deyilir.Həlli olan sistem uyuşan (və ya birgə), həlli olmayan sistem

isə uyuşmayan (və ya birgə olmayan) sistem adlanır. Uyuşan sistem,

yeganə həlli olduqda müəyyən, iki və ya daha çox həlli olduqda isə

qeyri-müəyyən sistem adlanır.

(1) sistemini matris tənlik adlanan BAX şəklində yaza

bilərik, burada

22

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

;

nx

x

x

X...

2

1

;

mb

b

b

B...

2

1

işarələmələri aparılmışdır. A -dəyişənlərin əmsallarından düzəldilmiş

matris (və ya sistemin əsas matrisi), X -dəyişənlərin sütun- matrisi, B

isə sərbəst hədlərin sütun matrisidir.

Bu tənlikdən X matrisini tapmaq tələb olunur. A matrisinin

determinantı 0)( A olarsa, onda 1A tərs matrisi var, bu halda

verilmiş tənliyin hər iki tərəfini soldan 1A matrisinə vursaq, X

matrisini taparıq:

.,, 1111 BAXBAEXBAAXA

Eyni qayda ilə BXA və BAXC tənliklərinin də həllini,

uyğun olaraq, aşağıdakı kimi tapmaq olar:

,1111 BAXBAXEBAXAA

BAXCBAEXCBAAXCA 1111

.1111111 BCAXBCAEXBCAXCC

Kramer qaydası. Tutaq ki, (1) tənliklər sistemində tənliklərin

və dəyişənlərin sayı bərabərdir: nm . Onda sistemin matrisi kvadrat

olur və onun A determinantı sistemin determinantı adlanır.

İndi isə ikiməchullu iki xətti tənlikdən ibarət sistemi həll edək:

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa, (2)

burada dəyişənlərin əmsallarından heç olmasa biri sıfırdan fərqlidir.

Bu sistemi həll etmək üçün birinci tənliyi 22a -yə, ikincini isə )( 12a -

yə vurub onları toplayıb 2x dəyişənini yox edək. Sonra birinci tənliyi

)( 21a -ə, ikincini isə 11a -ə vurub toplasaq, 1x dəyişənini yox edək.

Nəticədə belə bir sistem alarıq:

221211212212211

122221112212211

)(

)(

babaxaaaa

ababxaaaa. (3)

Mötərizədəki ifadələr sistemin determinantdır:

23

2221

121112212211

aa

aaaaaa .

Belə bir işarələmə aparaq:

222

1211222211

ab

ababab ,

221

1112111122

ba

baabab .

Beləliklə, (3) sistemi aşağıdakı şəklə düşər

22

11

x

x. (4)

Alınan bu sistemdən görünür ki, əgər sistemin determinantı 0 -

dırsa, onda (2) sistemin yeganə həlli var və bu həll

1

1x ,

2

2x

düsturları ilə tapılır. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.

Əgər 0 və 01 (və ya 02 ) olarsa, onda

22

11

0

0

x

x

alınır və (2) sistemi uyuşmayan olur.

Əgər 021 olarsa,onda

00

00

2

1

x

x alınır və (2) sistemi

qeyri-müəyyən olur və sonsuz sayda həllə malik olur .

İndi isə tutaq ki, n məchullu n xətti tənliklər sistemi verilmişdir:

nnnnn

nn

n

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

n

n

...

...............................................

...

...

2211

2222121

1121211

2

1

(5)

Məchulların əmsallarından düzəldilmiş

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

determinantına (5) sisteminin əsas determinantı deyilir. Kramer teoremi. Tutaq ki, (5) sisteminin əsas

determinantı, i isə əsas determinantının i-ci sütununun sərbəst

24

hədlərdən ibarət sütunla əvəz edilməsindən alınmış determinantlar (köməkçi determinantlar) işarə edilmişdir. Əgər 0 -dirsə, onda (5) sisteminin yeganə həlli var və o

i

ix ),1( ni

düsturları ilə tapılır. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır. Determinantlardan asılı olaraq sistemin həlli üçün aşağıdakı hallar mümkündür:

a) (5) sisteminin 0 olduqda yeganə

i

ix ),1( ni

həlli vardır.

b) əgər 0 və ancaq heç olmasa bir dənə 0i ),1( ni -dirsə, onda

(5) sistemi uyuşmayandır,

c) əgər 0 və 0i ),1(

ni -dirsə, onda (5) sisteminin sonsuz

sayda həlli var (bu halda heç olmasa sistemin bir tənliyi digərlərinin nəticəsi olur). Qauss üsulu. Çox saman (1) və eləcə də (5) sistemini məchulları ardıcıl yoxetmə (və ya Qauss) üsulu ilə həll edirlər: 0

11a

olmaqla ( 011a olduqda isə sistemdəki tənliklərin yerləri elə

dəyişdirilir ki, birinci yerdə duran tənkikdə 1

x məchulunun əmsalı

sıfırdan fərqli olur) (1) sisteminin birinci tənliyinin hər iki tərəfini

əvvəlcə 11

21

a

a ədədinə vurub onun ikinci tənliyindən, sonra

11

31

a

aədədinə

vurub üçüncü tənliyindən və s. 11

1

a

am ədədinə vurub m -ci tənliyindən

tərəf-tərəfə çıxmaqla (1) sisteminin birincidən sonrakı bütün tənliklərindən

1x məchulu yox edilir. Alınmış yeni sistemin ikincidən

sonrakı tənliklərindən də, yuxarıdakı qayda ilə 2

x məchulu yox edilir.

Prosesi bu qayda ilə davam etdirməklə (1) sistemi ona ekvivalent olan pilləvari sistemə gətirilir. Buradan isə məchulları tapmaq çox da çətin deyil.

Ola bilər ki, müəyyən addımlardan sonra sistemin heç olmasa

bir tənliyi 00...00 21 bbxxx n

şəklində olsun, onda (1) sistemi uyuşan deyil. Əgər 00...00 21

nxxx

25

şəklində tənlik alınarsa, onda həmin tənlik atılır.

(1) sistemindəki dəyişənlərin əmsalları ilə sərbəst hədlərdən

düzəldilmiş və genişlənmiş matris adlanan

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

B

...

............

...

...

21

222221

111211

matrisini düzəldək.

Teorem (Kronekker-Kapelli). (1) sisteminin uyuşan olması

üçün onun genişlənmiş matrisinin ranqının əsas matrisin ranqına

bərabər olması ( )()( BrAr ) zəruri və kafidir.

Beləki:

1) ,rArBr nmr ,min olduqda (1) sistemi

uyuşmayandır,

2) )()( ArBr olduqda (1) sistemi uyuşandır və bu halda, sistemin

ranqı

sistemdəki məchulların sayını aşmır, yəni nr və nr ola bilər:

a) nBrAr ( n -məchulların sayıdır) olduqda, sistemin həlli

yeganədir

və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır,

b) rBrAr nmr ,min olduqda isə sistemin həlli sonsuz

saydadır və o belə bir sxem üzrə hesablanır: ),min( nmr olduqda,

sistemin həllini tapmaq üçün onun əsas matrisinin r tərtibli hər hansı

bir bazis minoruna uyğun r sayda tənliyindən yeni sistem qurulur.

Həmin sistemdən, əmsalları bazis minorun elementləri olan, r sayda

məchullar (bazis dəyişənləri) qalan rn sayda məchullardan

(sərbəst dəyişənlərdən) asılı şəkildə tapılır.

Tutaq ki, bircins

0...

............................................

0...

0...

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

(6)

xətti tənliklər sistemi verilmişdir. Aydındır ki, (6) sistemi BrAr

olduğuna görə həmişə uyuşandır və onun 0,...,0,021

n

xxx sıfır

(trivial) həlli var.

26

Teorem. (6) sisteminin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün

onun determinantının sıfra bırabər olması zəruri və kafidir.

Tutaq ki, bircins üç məchullu üç xətti tənliklər sistemi

verilmişdir:

0

0

0

333232131

323222121

312212111

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

.

Burada aşağıdakı hallar mümkündür:

a) əgər 0det 3 A -dırsa, onda sistemin yeganə

0321 xxx həlli var,

b) əgər 0det 3 A və determinantın ikinci tərtib minorlarından biri

sıfırdan

fərqlidirsə, onda tənliklərdən biri digər ikisinin nəticəsi olur və sistem

üçməchullu iki tənlikdən ibarət olur, bunun isə sıfırdan fərqli sonsuz

sayda həlli var,

с) əgər 0det 3 A və determinantın bütün ikinci tərtib minorları sıfra

bərabərdirsə, onda sistem üçməchullu bir tənliyə çevrilir və onun da

sıfırdan fərqli sonsuz sayda həlli olur.

27

2. Vektorlar cəbri

2.1.Vektorlar və onlar üzərində xətti əməllər.

İstiqamətlənmiş düz xətt parçası vektor adlanır. Vektorları ya latın

əlifbasının iki böyük hərfi ilə, məsələn ,BA

DC

və s. kimi, ya da latın əlifbasının bir kiçik hərfi ilə,

məsələn, cba

,, və s. kimi işarə edirlər. Vektoru

göstərən düz xəttparçasının uzunluğu vektorun

modulu və ya uzunluğu adlanır və BA

və ya a

kimi işarə edilir. Başlanğıcı ilə sonu üst-üstə

düşən vektora sıfır vektor deyilir və o

kimi

işarə olunur. Uzunluğu vahidə bərabər olan

vektor isə vahid vektor adlanır və e

simvolu ilə işarə edilir.

Modulları bərabər, bir-birinə paralel

və istiqamətləri eyni olan iki vektora

bərabər vektorlar deyilir. Uzunluqları eyni,

istiqamətləri bir-birinin əksinə yönəlmiş

vektorlar əks vektorlar adlanır , a və a

kimi işarə edilir.

b vektorunun başlanğıcını a

vektorunun sonuna köçürmək şərti ilə, a

vektorunun başlanğıcını b

vektorunun sonu

ilə birləşdirən vektor bu vektorların cəmi

adlanır: .bac

a

və b

vektorlarının fərqi dedikdə

elə c

vektoru başa düşülür ki, acb

münasibəti ödənsin:

.bac

Verilmiş iki vektorun cəmini və fərqini tapmaq üçün

paraleloqram qaydasından istifadə etmək olar. Verilmiş sonlu sayda

vektorların cəmini tapmaq üçün çoxbucaqlılar qaydasından istifadə

etmək olar.

Üç cba

,, vektorları verilən halda, onların d

cəmi bunlar

üzərində qurulan paralelepipedin diaqonalıdır.

0a

vektorunun həqiqi ədədinə a

və ya a

hasili

B

A

B

A

ba

ba

D

C

ba

28

elə b

vektoruna deyilir ki, o aşağıdakı şərtləri ödəsin:

1) ,ab

2) 0 olduqda a

və bvektorları eyni istiqamətli,

0 olduqda isə əks istiqamətlidir.

Vektorların toplanması və ədədə vurulması aşağıdakı

xassələrə malikdir:

.10 .aoa

.20 .abba

.30.)()( cbacba

.40.00 a

.50

.oo

.60 ).()( 2121 aa

.70 .)( baba

.80 aaa

2121 )( .

Eyni bir düz xətt və ya paralel düz

xətlər üzərində yerləşən vektorlara kolli-

near vektorlar deyilir. 0a

və 0b

vektorları üçün ab

münasibəti bu vek-

torların kollinearlıq şərtidir ( const ).

Fəzada eyni bir müstəvi və ya

paralel müstəvilər üzərində yerləşən üç

vektora komplanar vektorlar deyilir.

2.2.Vektorların xətti asılılığı. Verilmiş naaa

,...,, 21 vektorları və həqiqi

,, 21 n..., ədədləri vasitəsilə düzəldilmiş

nnaaa

...2211

ifadəsinə həmin vektorların xətti kombinasiyası deyilir. Əgər

nnaaab

...2211

olarsa, onda deyirlər ki, b

vektoru naaa

,...,, 21 vektorlarının xətti kombi-

nasiyasıdır (və ya bu vektorlar üzrə ayrılmışıdır). naaa

,...,, 21 vektorları üçün heç olmasa biri sıfırdan fərqli olan elə

n ,...,, 21 həqiqi ədədləri varsa ki,

0...2211

nnaaa

olsun, onda bu vektorlar xətti asılı vektorlar adlanır. Sonuncu bərabərlik yalnız 0...21 n olduqda ödənilərsə,onda

dcba

d

a

b

29

naaa

,...,, 21 vektorlarına xətti asılı olmayan vektorlar deyilir.

Teorem. naaa

,...,, 21 vektorlarının xətti asılı olması üçün onlardan

birinin yerdə qalanların xətti kombinasiyası olması zəruri və kafi şərtdir.

Teorem. a

və b

vektorlarının xətti asılı olması onların kollinear olması üçün zəruri və kafi şərtdir.

Teorem. a

, b

və c

vektorlarının xətti asılı olması onların komplanar olması üçün zəruri və kafi şərtdir.

2.3.Müstəvi üzərində və fəzada bazis vektorlar. Tərif. Müstəvi üzərində müəyyən ardıcıllıqla götürülmüş iki

kollinear olmayan vektorlara bu müstəvi üzərindəki bazis vektorlar

deyilir və 21

,ee

kimi işarə edilir.

Müstəvi üzərindəki ixtiyari a

vektorunu

bu müstəvi üzərindəki istənilən 21

,ee

bazisi

üzrə yeganə qayda ilə

2211 eea

(1)

şəklində ayırmaq olar. Bu odeməkdir ki, əgər müstəvi üzərində );( 21 ee

bazisi seçilibsə, onda hər bir a vektoruna bu müstəvi üzərində

birqiymətli olaraq 1 və 2 ədədlərinin nizamlı cütü qarşı qoyulmuş və

əksinə, hər bir 1 və 2 ədədlərinin nizamlı cütünə müstəvi üzərində

(1) bərabərliyi ilə təyin olunan yeganə a vektoru uyğundur.1 və

2

ədədlərinə a

vektorunun bu bazislərə nəzərən koordinatları deyilir və

);( 21 a kimi yazırlar.

(1)-in sağ tərəfindəki 111 ea

və 222 ea

vektorlarına a

vektorunun

verilmiş bazis üzrə komponentləri deyilir.

Bazis vektorlar qarşılıqlı perpendikulyar olub, hər birinin uzunluğu

vahidə bərabər olduqda ona ortonormal bazis deyilir və ji

,

( ,1 ji

090^ ji

) kimi, ixtiyarı a

vektorunun belə bazis üzrə

ayrılışını isə

jaiaa yx

kimi yazırlar.yx

aa , ədədlərinin a

vektorunun koordinatları olmasını

yx

aaa ,

şəklində yazacağıq.

1e

2e

11e

22e

a

30

Tərif. Fəzada müəyyən ardıcıllıqla götürülmüş üç komplanar

olmayan vektorlara bu fəzada bazis vektorlar deyilir ,1e 2e və 3e

kimi işarə edirlər.

Fəzada a

vektorunun 321 ,, eee

bazisi üzrə yeganə

332211 eeea

ayrılışı vardır.

cba

,, vektorlarının komplanar olması üçün zəruri və kafi şərt

onlardan birinin qalan ikisinin xətti kombinasiyası şəklində göstərilə

bilməsidir, məsələn bac

21 (bu münasibət vektorların

komplanarlıq əlamətidir). Fəzada ortonormal bazisi isə kji

,,

( ,1 kji

090^^^ kjkiji

) kimi işarə

edirlər və a

vektorunun kji

,, ortonormal bazisi üzrə ayrılışını isə

kajaiaa zyx

şəklində yazmaq olar.

Müstəvi üzərində yx aaa ,

və yx bbb , vektorlarının bazis

təşkil edib-etmədiyini yoxlamaq üçün bu vektorların koordinatlarından düzəldilmiş ikitərtibli

yy

xx

ba

baA1 və ya

yx

yx

bb

aaA2

matrislərindən birinin ranqını hesablamaq lazımdır. Əgər ranq 2-yə

bərabər olarsa, a

və b

bazis vektorlarıdır (fəzada ranq 3-ə bərabər olmalıdır).

a

vektorunun verilmiş bazis vektorlar üzrə koordinatlarını tapmaq üçün müstəvi üzərində və fəzada vektorun koordinatlar üzrə ayrılışlarını koordinatlarla ifadə edərək, alınan iki və ya üç məchullu xətti tənliklər sistemini həll etmək lazımdır.

2.4.Müstəvidə və fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi.

Tutaq ki, O hər hansı müstəvinin qeyd olunmuş nöqtəsi, );( ji isə

hər hansı bir ortonormal bazisidir.

Tərif. Qeyd olunmuş O nöqtəsi və );( ji ortonormal bazis

toplusuna müstəvi üzərində düzbucaqlı dekart koordinat sistemi (və

ya düzbucaqlı koordinat sistemi) deyilir.

O nöqtəsinə koordinat başlanğıcı, koordinat başlanğıcından

31

keçən və ji , bazis vektorları istiqamətində yönələn Ox və Oy düz

xətləri koordinat oxları adlanır. Ox oxu absis oxu, Oy oxu isə

ordinat oxu adlanır. Koordinat sistemini Oxy və ya jiO ilə işarə

edəcəyik, bu koordinat sisteminə uyğun olan müstəviyə isə Oxy

müstəvisi deyilir.

Aydındır ki, düzbucaqlı koordinat sistemi iki qarşılıqlı

perpendikulyar düz xətlərlə (oxlarla) verilmişdir, hansı ki, onlar

üzərində müsbət istiqamət və vahid uzunluq seçilmişdir. Koordinat

oxları müstəvini dörd

oblasta (rüb və ya

kvadrant) ayırır.

Oxy müstəvisində

M nöqtəsinə baxaq.

OMr vektoruna O

nöqtəsinə nəzərən M

nöqtəsinin radius-vektoru deyilir. Koordinat sistemində M nöqtəsi-

nin koordinatları OM radius-vektorunun koordinatları adlanır:

),(),( yxOMyxM .

Tərif. Qeyd olunmuş O nöqtəsi və );;( kji ortonormal bazis

toplusuna fəzada düzbucaqlı dekart koordinat sistemi (və ya

düzbucaqlı koordinat sistemi) deyilir.

Müstəvi halında olduğu kimi, O koordinat başlanğıcı adlanır.

Koordinat başlanğıcından keçən və kji ;; bazis vektorları

istiqamətində yönələn ,Ox Oy və Oz düz xətlərinə koordinat oxları

deyilir. Ox absis oxu, Oy ordinat oxu, Oz isə aplikat oxu adlanır.

Koordinat oxlarından keçən müstəvilərə koordinat müstəviləri deyilir.

Onlar fəzanı səkkiz oblasta (oktanta) bölür. Burada da

);;();;( zyxOMzyxM .

2.5.Vektorun ox üzərində proyeksiyası. Düz xətt və onun üzərində müəyyən bir

istiqamət verildikdə həmin istiqamətlənmiş düz

xəttə ox deyilir.

Vektorun ox üzərində proyeksiyası, onun

r

x

y

r

a

l

32

uzunluğu ilə vektorla ox arasındakı bucağın kosinusu hasilinə

bərabərdir: .cosPr aal

Vektorun ox üzərində proyeksiyasının aşağıdakı xassələri

vardır: 01 . vektor özünə paralel olaraq başqa yerə köçürüldükdə, onun ox

üzərində proyeksiyası dəyişməz, 02 . ,PrPr)(Pr baba lll

03 . .Pr)(Pr aa ll

2.6.Polyar koordinat sistemi.

Müstəvi üzərində polyus adlanan O nöqtəsi, polyar ox adlanan

OP şüası və ölçü vahidi (miqyas və ya vahid uzunluqlu parça)

verildikdə deyirlər ki, müstəvi üzərində polyar koordinat sistemi təyin

edilmişdir. Burada ixtiyari M nöqtəsinin vəziyyəti iki həqiqi ədədlə

təyin edilir:

1. M nöqtəsinin O polyus nöqtəsindən

olan məsafəsini ifadə edən və polyar radius

adlanan ədədi ilə;

2. OP polyar oxla r

( MO

) polyar radius-

vektor arasında qalan və polyar bucaq adlanan

ədədi ilə.

Müstəvi üzərində M nöqtəsinə bir cüt ),( polyar

koordinatları yox, sonsuz sayda )()2,( Zkk koordinatları

uyğundur. -nin 20 (və ya ) qiymətləri onun baş

qiymətləri adlanır. Polyar bucaq polyar oxdan saat əqrəbi hərəkətinin

əksinə hesablandıqda müsbət, əks halda isə mənfi hesab olunur.

Müstəvi üzərindəki M nöqtəsinin polyar koordinatları ),(

ilə düzbucaqlı ),( yx koordinatları arasında əlaqə düsturları aşağıdakı

kimidir:

sin

cos

y

x və

xy

yx

cos,sin

22

.

Buradan, xüsusi hal kimi 0, xx

ytg alarıq.

, P

33

2.7.Koordinatları ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər.

Koordinat başlanğıcından ),,( zyxM nöqtəsinə yönəlmiş

MOr

vek-

toruna M nöqtəsinin radius-vektoru deyilir və onun koordinat oxları

üzrə proyeksiyaları M nöqtəsinin koordinatlarına bərabərdir:

kzjyixr

.

Qeyd edək ki,

,)()()( kbajbaibabazzyyxx

,)()()( kajaiaazyx

.,,zzyyxx

babababa

1111 ,, zyxM və

2222 ,, zyxM nöqtələrini birləşdirən vektor

,( 1221 xxMM

), 1212 zzyy kimi olur.

Müstəvi üzərində ),( yx aaa

vektorunun uzunluğu 22

yxaaa

düsturu ilə, fəzada zyx

aaaa ,,

vektorunun uzunluğu isə

222

zyx aaaa

düsturu ilə hesablanır.

Tutaq ki, a

vektotunun Ox,Oy,Oz oxlarının müsbət istiqamətləri

ilə əmələ gətirdiyi bucaqlar, uyğun olaraq , və , bu koordinat

oxları üzərindəki proyeksiyaları xa , ya , za olarsa, onda:

a

a

a

a

a

a

z

y

x

cos

cos

cos

- istiqamətverici kosinuslar.

Buradan, 1coscoscos 222 (kosinuslar teoremi).

Verilmiş a

vektoru ilə eyni istiqamətdə və uzunluğu vahidə

bərabər olan vektora vahid vektor və ya ort vektor deyilir və 0a

ilə

işarə olunur. İstənilən a

vektoru bu vektorun uzunluğu ilə ort

vektorun hasilinə bərabərdir: 0aaa

. Buradan 0a

-ni

34

222

0

zyx

zyx

aaa

kajaia

a

aa

düsturu ilə tapmaq olar. 0a

vektoru üçün

kjia coscoscos0

və ya

cosxa , cosya , cosza

münasibətləri doğrudur.

Tutaq ki, zyx

aaaa ,,

və zyx

bbbb ,,

vektorları kollineardır,

(yəni ədədi var ki, ba

) bu vektorların kollinear olması üçün

zəruri və kafi şərt onların uyğun koordinatlarının mütənasib olmasıdır:

.y

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

Bu şərt vektorların kollinearlıq şərti adlanır.

Verilmiş 1111 ,, zyxM və

2222 ,, zyxM nöqtələri arasındakı məsafə

2

12

2

12

2

1221 )()()( zzyyxxMMd

düsturu ilə hesablanır.

Verilmiş 1111 ,, zyxM və

2222 ,, zyxM nöqtələrini birləşdirən

21MM parçasını nisbətində bölən (21 MMMM

) zyxM ,,

nöqtəsinin koordinatları

,1

21

xxx ,

1

21

yyy

1

21 zzz

düsturları ilə hesablanır. Xüsusi halda 1 götürsək 21MM parçasını

yarıya bölən M nöqtəsinin koordinatlarının düsturlarını alarıq:

,2

21 xxx

,

2

21 yyy

.

2

21 zzz

Təpə nöqtələri 11, yxA ,

22 , yxB , 33 , yxC olan üçbucağın

sahəsi

321

321

111

2

1

yyy

xxxS

düsturu ilə hesablanır.

35

2.7. Vektorların skalyar hasili

Tərif. a

və b

vektorlarının uzunluqları ilə aralarındakı bucağın

kosinusu hasilinə onların skalyar hasili deyilir və ba

, ba və ya

),( ba

simvollarından biri ilə işarə edilir:

cos, baba

, ba

^ . (1)

İki vektorun kalyar hasili həqiqi ədəddir.

Skalyar hasilin (1) ifadəsini a

vektorunun b

vektoru üzərinə (və ya tərsinə) proyeksiyalarının

düsturlarından istifadə etməklə,

babaa

Pr),( və ya abba

b

Pr),(

kimi də yazmaq olar.

Skalyar hasilin aşağıdakı xassələri vardır:

01 . ),(),( abba

(skalyar hasilin yerdəyişmə xassəsi).

02 . ),(),(, cbcacba

(skalyar hasilin paylanma xassəsi).

03 . ),(),(),( bababa

(skalyar vuruğu skalyar hasil

işarəsi qarşısına çıxarmaq olar).

04 . Əgər ba olarsa, onda skalyar hasil aa şəklinə düşər

və o a vektorunun skalyar kvadratı adlanır və 2a kimi işarə olunur.

Aydındır ki, bu halda 22 aaaa .

.50 İki vektorun skalyar hasilinin sıfra bərabər olması üçün

onların bir-birinə perpendikulyar olması zəruri və kafidir:

.0 baba

Qeyd. Skalyar hasilin 04 və 05 xassələrindən kji

,, ortonormal

bazis vektorları üçün bilavasitə aşağıdakı bərabərlikləri almaq olar:

1),(),(),( kkjjii

; 0 ),(),(),( kjkiji

.

Teorem. Koordinatları ilə verilmiş zyx

aaaa ,,

və zyx bbbb ,, vektorlarının skalyar hasili

zzyyxx babababa ),(

düsturu ilə təyin edilir.

36

Xüsusi halda burada ba olarsa,onda

22222)( zyx aaaaa

və ya 2222)( zyx aaaaa

.

Nəticə. zyx

aaaa ,,

və zyx bbbb ,, vektorları arasındakı bucağın

kosinusunu

222222

),(cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

ba

ba

düsturu ilə tapmaq olar. Burada )090(cos90 00 yazsaq, alarıq:

.0zzyyxx

bababa

Buna a

və b

vektorlarının ortoqonallıq şərti deyilir.

a

və b

vektorlarının istiqamətverici bucaqlarını uyğun

olaraq, ,1 ,1 1 və ,2 ,2 2 ilə işarə etsək, belə bir təklif alarıq:

Teorem (yeddi kosinuslar teoremi). İxtiyari iki istiqamət

arasındakı bucağın kosinusu onların uyğun istiqamətverici

kosinuslarının hasilləri cəminə bərabərdir: .coscoscoscoscoscoscos 212121

2.8. Vektorların vektrial hasili

Komplanar olmayan və

başlanğıcları eyni nöqtədə olan üç

dənə cba

,, vektorlarından

c

vektorunun ucundan baxdıqda, a

-

nı b

-nin üzərinə gətirmək üçün olan

kiçik bucağın istiqaməti saat əqrəbi hərəkətinin əksi istiqamətində

olarsa, deyirlər ki, cba

,, vektorları sağ oriyentasiyalı, əks halda isə

sol oriyentasiyalı üçlük təşkil edirlər.

Tərif. Aşağılakı şərtləri ödəyən c

vektoruna kollinear

olmayan a

və b

vektorlarının vektorial hasili deyilir:

01 . c

-nin uzunluğu ədədi qiymətcə a

və b

üzərində qurulmuş

paraleloqramın sahəsinə bərabərdir: )^(,sin babac

,

02 . ,, bcac

37

03 . cba

,, vektorları sağ oriyentasiyalı üçlük təşkil edirlər.

a

və b

-nin vektorial hasili ],[ ba

, )( ba

və ya ba

simvollarından biri ilə işarə edilir:

)0(sin baba

. (1)

Vektorial hasilin aşağıdakı

xassələri vardır:

.10 a və b vektorları kollinear

vektorlardırsa, onda

0ba ( 0sin ).

Xüsusi halda .0aa

.20 abba

(vektorial hasil yerdəyişmə xassəsinə malik

deyil). 03 . )()()( bababa

(skalyar vuruğu vektorial hasil

qarşısına çıxarmaq olar). 04 . cabacba

)( ,

cbcacba )( (vektorial hasilin paylanma xassəsi).

Qeyd. Vektorial hasilin tərifinə və 00 2,1 xassələrinə görə

ortonormal kji

,, bazis vektorlarının vektorial hasilləri üçün

0 kkjjii

, ,,, jikjkikji

.,, ijkikjkij

münasibətləri doğrudur.

zyx

aaaa ,,

və zyx

bbbb ,, vektorlarının vektorial hasilini

kbb

aaj

bb

aai

bb

aaba

yx

yx

xz

xz

zy

zy

və ya

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

düsturu ilə tapmaq olar.

bac

a

b

S

38

2.9. Üç vektorun qarışıq hasili

Tərif. a

vektorunun b

vektoruna vektorial hasilinin c

vektoruna skalyar hasili həmin vektorların qarışıq hasili adlanır və

cba

kimi işarə edilir:

).,( cbacba

Teorem. Komplanar olmayan ba

, və c

vektorlarının qarışıq

hasilinin mütləq qiyməti həndəsi olaraq həmin vektorlar üzərində qurulan

paralelepipedin həcminə bərabərdir:

.cbaV

İsbatı. Bildiyimizə görə ba ifadəsi a və b vektorları

üzərində qurulmuş paraleloqramın S sahəsinə bərabərdir. Onda

qarışıq hasilin tərifinə görə yaza bilərik:

coscos)( cScbacbacba .

(1)

Digər tərəfdən bu paralelepipedin

həcmi onun oturacağının S sahəsi ilə H

hündürlüyünün hasilinə bərabərdir,

beləki coscH , onda

.cos cSSHV (2)

(1) və (2)-ni müqayisə etsək, alarıq:

.cbaV (3)

(1) düsturundan görünür ki, üç vektorun qarışıq hasili cos -

nin ışarəsi ilə eynidir. Beləki ,a ,b c sağ üçlük olduqda ,Vcba sol

üçlük olduqda isə Vcba olur.

Qarışıq hasilin aşağıdakı xassələri vardır:

.10 Vektorların dairəvi yerdəyişməsində ( cba ,, vektorlarının

dairəvi qanunla yerini dəyişmək a -nı b ilə, b -ni c ilə və c -ni a ilə

əvəz etmək deməkdir) qarışıq hasil dəyişmir:

bacacbcba )()()( .

.20 Vektorların dairəvi olmayan yerdəyişməsində qarışıq hasilin

yalnız işarəsi dəyişir (istənilən iki hasil vektor yerini dəyişdikdə):

ba

39

.bcaabccabcba

.30 cba

,, vektorlarının komplanar olması üçün 0cba

bərabərliyinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir.

Koordinatları ilə verilmiş ,,, zyx aaaa

zyx bbbb ,, və zyx

cccc ,,

vektorlarının qarışıq hasilini

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba

düsturu vasitəsilə tapmaq olar.

Təpələri verilmiş 4321 ,,, MMMM nöqtələri olan üçbucaqlı

piramidanın həcmini hesablamaq üçün ,21MMa

,

31MMb

41MMc

qəbul etsək, onda bu vektorlar üzərində qurulmuş

paralelepipedin həcminin altıda biri verilmiş piramidanın həcminə

bərabər olar:

cbaV

6

1 .

3. Analitik həndəsə

3.1. Düz xəttin kanonik, parametrik və vektorial tənlikləri.

Tutaq ki, Oxy düzbucaqlı koordinat sistemində ),( 000 yxM

nöqtəsi və ),(0 21 aaa vektoru

verilmişdir. 0M nöqtəsindən və a

vektorundan keçən l düz xəttinin

tənliyini qurmaq tələb olunur.

Tərif. l düz xəttinə paralel olan

0a vektoruna bu düz xəttin yönəldici

vektoru (və ya istiqamətverici vektoru)

deyilir.

Düz xətlərin paralellik aksiomuna görə verilmiş nöqtədən

verilmiş a yönəldici vektoruna görə yeganə düz xətt keçir.

l düz xətti üzərində ),( yxM nöqtəsi götürək. Onda

);( 000 yyxxMM və ),(21

aaa vektorları kollinear olar, yəni elə

skalyar t ədədi tapmaq olar ki, atMM 0 olsun və 01a , 0

2a

a

l

0M

M

y

x O

40

olduqda

2

0

1

0

a

yy

a

xx

(1)

alarıq. (1) tənliyi düz xəttin kanonik tənliyi adlanır.

Əgər 0,021 aa olarsa, onda a vektoru və eyni ilə l düz

xətti də Ox oxuna perpendikulyar olar, bu halda düz xət tənliyi 0

xx

şəklinə düşər.

Əgər 01a , 0

2a olarsa, onda a vektoru və eyni ilə l düz

xətti Oy oxuna perpendikulyar olar, bu halda düz xətt tənliyi 0

yy

şəklinə düşür.

(1) tənliyindəki hər bir bərabər münasibətləri t ilə işarə etsək,

alarıq:

tayy

taxx

ta

yy

ta

xx

20

10

2

0

1

0

. (2)

(2) tənliyinə düz xəttin parametrik tənliyi

deyilir.

İxtiyari l düz xətti götürək, O koordinat

başlanğıjından bu düz xəttə ort vektoru n olan

perpendikulyar düz xətt çəkək və onun l ilə kəsiş-

mə nöqtəsini P ilə işarə edək. Fərz edək ki, n

vektorunun istiqaməti OP -nin istiqaməti ilə eynidir ( l koordinat

başlanğıjından keçərsə, n vektorunun istiqaməti ixtiyari götürülür).

Beləki }sin,{cos n və pOP || .

Aydındır ki, l düz xəttinin ixtiyari ),( yxM nöqtəsi üçün

pOMn pr

və l üzərində olmayan hər hnası nöqtə üçün bu bərabərlik ödənmir.

Skalyar hasilin tərifinə görə

nOMOMn pr .

Buradan

pnOM (*)

l

41

və ya M nöqtəsinin radius-vektorunu r ilə işarə etsək

pnr (**)

alarıq. (*) və ya (**) bərabərliklərinə düz xəttin vektorial tənliyi

deyilir.

3.2. Düz xəttin polyar koordinat sistemində tənliyi. Düz xəttin

normal tənliyi.

Tutaq ki, bizə hər hansı l düz xətti verilmişdir. Koordinat

başlanğıcından bu düz xəttə perpendikulyar n düz xəttini (normal)

keçirib, bu düz xətlərin kəsişmə nöqtəsini N hərfi ilə işarə

edək.Normal üzərində O nöqtəsindən N nöqtəsinə istiqamət qəbul

edək.

Ox oxu ilə normal arasındakı

bucağı ilə, ON parçasının

uzunluğunu isə p ilə işarə edək, beləki

20 , 0p . Verilmiş düz xətt

üzərində polyar ),( M nöqtəsini

götürək. Əgər O və N nöqtələri üst-

üstə düşmürlərsə, onda ONM düzbucaqlı ücbucağından yaza bilərik: )sinsincos(cos)cos(p

0sinsincoscos p . (3)

Beləki l düz xətti üzərində yerləşməyən nöqtələr (3) tənliyini

ödəmirlər, onda bu tənlik polyar koordinatlarda düz xəttin tənliyi

olur.

(3) tənliyinin sağ tərəfini açsaq,

)sinsincos(cosp

0sinsincoscos p

alarıq,burada düzbucaqlı koordinatlarla polyar koordinatlar

arasındakı ,cosx

siny əlaqə düsturlarından istifadə etsək, (3) tənliyi düzbucaqlı

koordinat sistemində

0sincos pyx (4)

şəklinə düşər. Bu tənlik l düz xəttinin normal tənliyi adlanır.Əgər O

və N nöqtələri üst-üstə düşərsə, yəni düz xətt koordinat

başlanğıcından keçər və 0p olar. Bu halda (4) tənliyi

p

O x

n y

N

),( M

l

42

0sincos yx

kimi olar.

3.3.Düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi.

Tutaq ki, düz xətt Oy oxunu ),0( bB nöqtəsində kəsir və Ox oxu

ilə )2/0( bucağı əmələ gətirir. Bu düz xətt üzərində

),( yxM nöqtəsi götürək. Onda düz xəttin meyl bucağının

tangensini MBN düzzbucaqlı üçbucağından tapa bilərik:

x

by

NB

MNtg

. (5)

Düz xəttin absis oxuna meyl bucağının tangensinə onun bucaq

əmsalı deyilir və k ilə işarə olunur: tgk . Absis oxuna paralel olan

düz xəttin bucaq əmsalı sıfra bərabərdir. Ordinat oxuna paralel olan

düz xəttin meyl bucağı 2

olduğundan tg -nın mənası yoxdur və

buna görə də belə düz xətlərin bucaq əmsalından danışmaq olmaz.

Beləliklə, (5)-dən

x

byk

və ya

bkxy . (6)

Asanlıqla göstər-

mək olar ki, (6)

düsturu

2

olan halda da

doğrudur.

Beləliklə, biz

göstərdik ki, düz

xətt üzərində

olan istənilən

nöqtənin koordinatları (6) tənliyini ödəyir və düz xətt üzərində

olmayan nöqtənin koordinatları isə bu tənliyi ödəmir.

(6) tənliyi düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi adlanır.Bu tənliyinin

xüsusi hallarına baxaq.

a) kxyb 0 alarıq, bu koordinat başlanğıcından keçən və

0 tgk

O

O

O

O

43

olduqda Ox oxu ilə iti bucağı, 0 tgk olduqda isə kor bucaq

əmələ gətirən düz xətt tənliyidir.

b) 000 tgk alarıq, onda Ox oxuna paralel düz xəttin

tənliyi by , Ox oxunun özü isə 0y şəklinə malikdir.

c) Əgər 2

olarsa, onda düz xətt Ox oxuna perpendikulyar və

2

tgk təyin olunmayıb, yəni şaquli düz xətt bucaq əmsalına malik

deyil. Fərz edək ki, bu düz xətt Ox oxundan a -ya bərabər parça

ayırır. Aydındır ki,bü cür düz xəttin tənliyi ax , Oy oxunun tənliyi

isə 0x şəklinə malikdir.

3.4. Verilmiş nöqtədən və verilmiş istiqamətdə keçən düz

xəttin tənliyi.

Tutaq ki, düz xətt ),( 111 yxM nöqtəsindən keçir və Ox oxu ilə

2

bucağı əmələ gətirir. Beləki ),( 111 yxM nöqtəsi düz xətt

üzərində yerləşir, onda onun koordinatları (6) tənliyini ödəyir, yəni

bkxy 11 . (7)

(7) bərabərliyini (6) bərabərliyindən çıxsaq, axtarılan düz

xəttin tənliyini alarıq:

)( 11 xxkyy . (8)

Əgər (8) tənliyində k ixtiyari ədəd olarsa, onda bu tənlik

),( 111 yxM nöqtəsindən keçən düz xətlər dəstəsini müəyyən edir,

beləki bu tənliyə Oy oxuna paralel olan və bucaq əmsalı olmayan düz

xətlər daxil deyil.

3.5.Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xətt tənliyi.

Tutaq ki, iki ),( 111 yxM , ),( 222 yxM nöqtəsi verilmiş və 21 xx ,

21 yy . 21MM düz xəttinin tənliyini təyin etmək üçün 1M

nöqtəsindən keçən (8) tənliyinə baxaq. Belə ki ),( 222 yxM nöqtəsi

verilən düz xətt üzərində olduğundan, onda onu düz xətt dəstəsindən

ayırmaq üçün onun koordinatlarını (8) tənliyində nəzərə alaq və düz

xəttin bucaq əmsalını tapaq:

12

121212 )(

xx

yykxxkyy

.

44

k -nın qiymətini (8)-də nəzərə alsaq, onda axtarılan tənlik

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

(9)

kimi olar.

3.6. Düz xəttin parçalarla tənliyi.

(9) tənliyinə görə, )0,(aA və ),0( bB nöqtələrindən keçən düz xəttin

tənliyi

a

ax

b

y

00

0

və ya

1b

y

a

x (10)

şəklinə malik olur. (10) tənliyi düz xəttin parçalarla tənliyi adlanır.

Burada a və b uyğun olaraq düz xəttin Ox və Oy oxundan ayırdığı

parçaların uzunluğudur.

3.7.Verilmiş nöqtədən keçən və verilmiş vektora perpen-

dikulyar olan düz xətt tənliyi. Düz xəttin ümumi tənliyi və onun

araşdırılması.

Tərif. l düz xəttinə perpendikulyar olan 0n vektoruna bu düz

xəttin normal vektoru deyilir.

Verilmiş ),( 000 yxM nöqtəsindən keçən və );( BAn normal

vektoruna malik düz xəttin tənliyini çıxaraq.

l düz xətti üzərində );( yxM nöqtəsi götürək. Onda MM 0

vektoru n vektoruna perpendikulyar

olacaq, deməli, onların skalyar hasili

sıfra bərabərdir:

00 MMn . (11)

Bu bərabərlikdə koordinatlara

keçsək, alarıq:

0)()( 00 yyBxxA . (12)

Bu tənliyə verilmiş 0M nöqtəsindən keçən və );( BAn

normal vektoruna malik düz xətin tənliyi deyilir.

Düz xəttin bu tənliyindəki A və B əmsalları onun n normal

vektorunun koordinatlarıdır, buna görə onlar eyni zamanda sıfra

bərabər deyillər.

n

O x

y

0M

M l

45

(12) tənliyini müəyyən çevirmələrdən sonra

0 CByAx (13)

şəklində yazmaq olar, burada 00

ByAxC (13) tənliyinin sərbəst

həddidir. Bu tənliyə düz xəttin ümumi tənliyi deyilir.

Düz xəttin ümumi tənliyi x və y dəyişənlərinə nəzərən

xəttidir (birdərəcəli), yəni müstəvidə ixtiyari düz xətt iki dəyişəndən

asılı xətti tənlik kimi verilir. Bunun əksini də isbat etmək olar, yəni

0 CByAx ( 022 BA ) şəklində tənlik birqiymətli olaraq hər

hansı düz xətti təyin edir.

İndi düz xətlərin (13) ümumi tənliyinin ,A B və C

əmsallarının qiymətlərindən asılı olaraq həmin tənliyin təyin etdiyi

düz xətlərin verilmiş koordinat sisteminə görə necə yerləşdiyini tədqiq

edək.

1. bkxyB

Cx

B

AyCBA 0,0,0

(B

Ak ,

B

Cb ).

2. byB

CyCBA 0,0,0 (

B

Cb ).

3. axA

CxCBA 0,0,0 (

A

Ca ).

4. kxyxB

AyCBA 0,0,0 (

B

Ak ).

5. 00,0 xCBA .

6. 00,0 yBCA .

3.8. Düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyəti.

Burada məqsədimiz öz tənlikləri ilə verilmiş iki düz xəttin

qarşılıqlı vəziyyətini:

a) onların kəsişməsini,

b) kəsişən iki düz xətt arasındakı bucağı,

c) düz xətlərin paralel və perpendikulyar olmasını və s. müəyyən

etməkdir.

a) Tutaq ki, müstəvi üzərində

0111 CyBxA , (14)

0222 CyBxA (15)

46

tənlikləri ilə təyin olunan iki düz xətt verilmişdir. Bu düz xətt

tənliklərini birgə həll etməklə onların kəsişməsini və ya

kəsişməməsini müəyyən etmək olar.

Qeyd edək ki, (14) və (15) düz xətlərinin kəsişmə nöqtələrinin

koordinatları bu düz xətlərin hər birinin tənliyini ödəməlidir, yəni

onlar

0

0

222

111

CyBxA

CyBxA

sistemindən tapıla bilər.

İki düz xətt ümumi tənlikləri ilə verildikdə onların qarşılıqlı

vəziyyəti aşağıdakı üç halda ola bilər:

1) 2

1

2

1

B

B

A

A - düz xətlər bir yeganə nöqtəyə malikdirlər,

2) 2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A - düz xətlər paraleldirlər,

3) 2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A - düz xətlər üst-üstə düşürlər, yəni onlar bir

düz xətti ifadə edirlər.

b) Tutaq ki, iki düz xətt bucaq əmsallı tənlikləri vasitəsilə

verilmişdir:

11 bxky , (16)

22 bxky . (17)

Bu düz xətlər arasındakı bucağını tapmaq tələb olunur.

Şəklə görə 12 və ya 12 ,

beləki 11 tgk , 22 tgk . 2

1

,

22

.

Onda

21

1212

1)(

tgtg

tgtgtgtg

və ya

21

12

1 kk

kktg

(18)

alarıq.

Beləki hansı düz xəttin birinci və ya ikinci olmasından asılı

O

47

olmayaraq, əgər düz xətlər arasındakı iti bucağı ölçmək lazım gələrsə,

onda (18) düsturunun sağ tərəfinin modulu götürülür.

c)Əgər (16) və (17) düz xətləri paralel olarsa,onda 0 və

210 kktg . Bu təklifin tərsi də doğrudur.

Əgər düz xətlər perpendikulyardırsa,onda 2

, beləki

0)2/( ctgctg və ya

11

011

212

112

21

kk

kk

kk

kk

tgctg . Bu təklifin tərsi də

doğrudur.

Əgər düz xətlər (14) və (15) ümumi tənlik şəklində verilərsə, onda

bucaq əmsalları 1

11

B

Ak və

2

22

B

Ak olar. Onda düz xətlərin

21 kk paralellik şərti 2

1

2

1

B

B

A

A şəklini, 121 kk perpendikulyarlıq

şərti isə 02121 BBAA şəklini alar.

Qeyd. Düz xətlərin tənlikləri (14) və (15) ümumi tənlik

şəklində verildikdə onları düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi şəklinə

çevirib onlar arasındakı bucağı tg düsturu ilə və ya bu düz xəttlərin

111

, BAn

, 222

, BAn

normalları arasındakı bucaq kimi, yəni

22

22

21

21

2121

21

21,cos

BABA

BBAA

nn

nn

düsturu ilə tapmaq olar.

3.9. Nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafə.

Düz xəttin normal tənliyindən istifadə edərək müstəvinin

verilmiş nöqtəsindən bu düz xəttə qədər olan məsafəni təyin edə

bilərik. Tutaq ki,normal tənliyi

0sincos pyx olan l düz

xətti üzərində yerləşməyən

),( 000 yxM nöqtəsindən bu düz xəttə

qədər olan d məsafəsini tapaq,

burada .pON

0M nöqtəsindən l düz

xəttinə paralel olan 0l düz xətti keçirək. Tutaq ki, 0l ilə n normalının

n

O x

y

0N

N

l

0N

0l

0l

0p

p 0M

48

kəsişmə nöqtəsi 0N və 00 pON olsun.

Əgər N və 0N nöqtələri O nöqtəsindən bir tərəfdə

yerləşərlərsə, onda 0l düz xəttinin normal tənliyi

0sincos 0 pyx

şəklində olar. Beləki 0000 ),( lyxM , onda

sincos0sincos 000000 yxppyx

pyxppd sincos 000 .

Əgər N və 0N nöqtələri O nöqtəsindən müxtəlif tərəflərdə

yerləşərlərsə,

onda 0l düz xəttinin normal tənliyi 0sincos 011 pyx şəklində

olar, burada 1 bucağı -dan qədər fərqlənir. Nəticədə, alarıq:

sincossincos 0010100 yxyxp

pyxpyxppd sincossincos 00000 .

Beləliklə, hər iki halda eyni düstur alırıq.

İndi isə düz xəttin ümumi tənlıyinin normal şəklə gətirilməsi

halına baxaq. Beləki (4) və (13) tənlikləri eyni bir düz xətti müəyyən

etdiklərindən, onda onların əmsalları mütənasib olarlar. (13) tənliyinin

bütün hədlərini ixtiyari 0 ədədinə vuraq:

0 CByAx .

Bu tənliyin normal tənlik olması üçün

cosA , sinB , pC (19)

olmalıdır. vuruğunu tapmaq üçün bu bərabərliklərdən ilk ikisini

kvadrata yüksəldib toplasaq, alarıq:

1sincos)( 22222 BA

22

1

BA . (20)

ədədinə normallaşdırıcı vuruq deyilir.Normallaşdırıcı

vuruğun işarəsi (19) bərabərliklərindən üçüncüsünün köməyi ilə təyin

olunur. Bu bərabərliyə əsasən, 0C olduqda C ədədi mənfidir.

Nəticədə, (20) düsturunda -nün işarəsi C -nin işarəsinin əksinə

götürülür. Əgər 0C olarsa, normallaşdırıcı vuruğun işarəsi ixtiyari

götürülür.

Beləliklə, düz xəttin ümumi tənliyini normal şəklə gətirmək

49

üçün normal vuruğunun qiymətini tapıb, tənliyin bütün hədlərini -

yə vurmaq lazımdır.

(13) tənliyini normal şəklə gətirdikdən sonra 0M nöqtəsindən

həmin düz xəttə qədər olan məsafə

22

00

BA

CByAxd

düsturu ilə hesablanır.

0111 CyBxA və 0

222 CyBxA düz xətlərinin kəsişmə

nöqtəsindən keşən düz xətlər dəstəsinin tənliyi

0222111 CyBxACyBxA

şəklindədir, burada -ədədi vuruqdur ( bu tənlik həm də mərkəzi

00

, yx nöqtəsində olan düz xətlər dəstəsinin tənliyi adlanır).

İkitərtibli əyrilər

x və y dəyişənlərinə nəzərən iki dərəcəli

)0(0222 22222 CBAFEyDxCyBxyAx

şəklində tənliklərlə təyin edilən xətlər ikitərtibli əyrilər adlanır. Bu

tənlik müstəvi üzərində çevrəni, ellipsi, hiperbolanı və ya parabolanı

təyin edir.

3.10.Çevrə. Müstəvi üzərində mərkəz adlanan nöqtədən bərabər

uzaqlıqda yerləşən nöqtələrin həndəsi yeri çevrə adlanır.

Mərkəzi ba, nöqtəsində, radiusu r -ə bərabər olan çevrənin

tənliyi

222rbyax

şəklindədir. Xüsusi halda çevrənin mərkəzi koordinat başlanğıcı ilə

üst-üstə düşürsə, onda onun tənliyi 222 ryx

şəklində olar.

Qeyd edək ki, 0CA və 0B olduqda ikidərəcəli tənlik

çevrəni təyin edir.

Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan çevrə üzərindəki

),( 000 yxM nöqtəsində bu çevrəyə toxunan düz xəttin tənliyi

2

00 ryyxx ,

mərkəzi ),( baC nöqtəsində olan çevrəyə toxunan düz xəttin tənliyi isə

50

200 ))(())(( rbybyaxax

şəklindədir.

Çevrənin parametrik tənlikləri

trytrx

sincos

şəklindədir.

3.11.Ellips. Fokus adlanan 1

F və 2

F nöqtələrindən məsafələri

cəmi sabit kəmiyyət olan nöqtələrin həndəsi yerinə ellips deyilir.

Verilmiş 1

F və 2

F fokus nöqtələrinə görə ellipsin tənliyini

quraq. Bunun üçün düzbucaqlı koordinat sistemini elə seçək ki, Ox

oxu fokus nöqtələrindən keçsin və koordinat başlanğıcı isə 21

FF

parçasını yarıya bölsün. cFF 221 işarə etsək, )0,(

1cF və )0,(

2cF

alarıq. Tutaq ki, ),( yxM ellips üzərində ixtiyari nöqtə olsun. MFr11

və MFr22

məsafələri M nöqtəsinin fokal radiusları adlanır. Tərifə

əsasən yaza bilərik:

arr 221 , (1)

burada a2 sabit kəmiyyətdir.Onda iki nöqtə arasındakı məsafə

düsturuna əsasən ellipsin tənliyini alarıq:

aycxycx 2)()( 2222 .

Müəyyən

çevirmələrdən sonra bu tənlik

12

2

2

2

b

y

a

x

(2)

şəklinə düşər, burada 222 cab ( baca , ) . (2)

tənliyinə ellipsin kanonik

tənliyi deyilir.

(2) kanonik tənliyə

əsasən ellipsin formasını araşdıraq.

1) )0,0(O nöqtəsinin koordinatları (2) tənliyini ödəmir, ona

görə bu tənliklə təyin olunan ellips koordinat başlanğıcından keçmir.

2) Ellipsin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

O

51

axy 0 ,

deməli ellips Ox oxunu )0,(1

aA və )0,(2

aA nöqtələrində kəsir. Eyni

ilə ala bilərik:

byx 0 ,

onda ellipsin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtələri ),0(1

bB və ),0(2

bB olar.

3) Beləki (2) tənliyinə x və y dəyişənləri cüt dərəcədən

daxildirlər, onda ellips koordinat oxlarına və nəticədə koordinat

başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.

4) x və y dəyişənlərinin dəyişmə oblastlarını təyin edək. (2)

tənliyindən

,01)1(2

2

2

222 axaax

a

x

a

xby

bybbyb

y

b

yax 01)1(

2

2

2

2

22

ala bilərik. Beləliklə, ellipsin bütün nöqtələri ,ax ,ax by və

by düz xətləri ilə əhatə olunan düzbucaqlı daxilində yerləşir.

5) (2) tənliyini

22 xaa

by və 22 yb

b

ax

gəklində yazsaq, görərik ki, x kəmiyyəti 0 -da a -ya qədər artarsa, y

kəmiyyəti b -dən 0 -ra qədər azalar, y isə 0 -da b -yə qədər artdıqda

x kəmiyyəti a -dan 0 -ra qədər azalar.

Ellipsin koordinat oxları ilə kəsişdiyi ,1

A ,2

A ,1

B2

B

nöqtələrinə ellipsin təpələri deyilir. aAA 221 və bBB 2

21 parçaları

isə, uyğun olaraq ellipsin böyük və kiçik oxları adlanır. Burada a

ellipsin böyük yarımoxu, b isə kiçik yarımoxu adlanır. Ellips

koordinat oxlarına nəzərən simmetrik əyridir.

Ellipsin ekssentrisiteti fokuslar arasındakı məsafənin c2 böyük

oxa a2 nisbəti şəklində təyin edilir.

Əgər ba -dirsə, onda tərifə görə a

ba

a

c

a

c 22

2

2 , əgər

ba olarsa, onda b

ab

b

c

b

c 22

2

2 olar.

52

a

c ac ( olduqda )1 . Ellipsin fokal radiusları ,1 xar

arrxar 2212 düsturları ilə təyin edilir.

Ellipsin direktrisləri

ax şəklində düz xəttdir.

(1) tənliyi ab (yəni 0 ) olduqda 222 ayx çevrə

tənliyinə çevrilir.

(1) tənliyi ilə verilmiş ellipsin üzərindəki ),( 000 yxM

nöqtəsində bu ellipsə toxunan düz xəttin tənliyi:

12

0

2

0 b

yy

a

xx.

Mərkəzi ),( 00 yx nöqtəsində və oxları koordinat oxlarına

paralel olan ellipsin tənliyi 1)()(

2

2

0

2

2

0

b

yy

a

xx şəklindədir.

Ellipsin parametrik tənlikləri

tby

tax

sin

cos kimidir.

3.12.Hiperbola. Fokus adlanan 1

F və 2

F nöqtələrindən məsafələri

fərqi mütləq qiymətcə sabit kəmiyyət olan nöqtələrin həndəsi yerinə hiperbola deyilir.

Verilən 1

F və 2

F fokus nöqtələrinə görə hiperbola tənliyini quraq.

Bunun üçün düzbucaqlı koordinat sistemini elə seçək ki, Ox oxu

fokus nöqtələrindən keçsin və koordinat başlanğıcı isə 21

FF parçasını

yarıya bölsün. cFF 221 işarə etsək, )0,(

1cF və )0,(

2cF alarıq. Tutaq

ki, ),( yxM hiperbola üzərində ixtiyari nöqtə olsun. MFr11

və

MFr22

məsafələri M

nöqtəsinin fokal radiusları

adlanır. Tərifə əsasən yaza

bilərik:

arr 221 ,

(1) burada a2 sabit kəmiyyətdir

və caca 22 . İki nöqtə arasındakı məsafə

y

x O

);( bB 01

);( 02 cF );( 01 cF

);( bB 02

);( 02 aA );( 01 aA

M

53

düsturundan istifadə etsək, (1)-dən hiperbola tənliyini yaza bilərik:

aycxycx 2)()( 2222 .

Müəyyən çevirmələrdən sonra bu tənlik

12

2

2

2

b

y

a

x (2)

şəklində olar, burada 222 acb . (2) tənliyi hiperbolanın kanonik

tənliyi adlanır. (2) kanonik tənliyinə əsasən hiperbolanın formasını araşdıraq.

1) )0,0(O nöqtəsinin koordinatları (2) tənliyini ödəmir, ona

görə bu tənliklə təyin olunan hiperbola koordinat başlanğıcından keç-

mir.

2) Hiperbolanın koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

axy 0 ,

deməli hiperbola Ox oxunu )0,(1

aA və )0,(2

aA nöqtələrində kəsir.

Eyni ilə ala bilərik: 220 byx . Bu isə

0

12

2

2

2

xb

y

a

x

sisteminin həqiqi həlli olmadığını göstərir. Deməli, hiperbola Oy

oxunu kəsmir. 3) Beləki (2) tənliyinə x və y dəyişənləri cüt dərəcədən

daxildirlər, onda hiperbola koordinat oxlarına və nəticədə koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.

4) x və y dəyişənlərinin dəyişmə oblastlarını təyin edək. (2)

tənliyindən

22 axa

by , (3

22 byb

ax (4)

ala bilərik. (3) bərabərliyindən axax və ya ax alınır. (4)

bərabərliyindən isə y -in istənilən həqiqi ədəd olduğu görsənir.

Beləliklə, hiperbolanın bütün nöqtələri ax düz xəttindən solda və

ax düz xəttindən sağda yerləşir.

5) (3)-dən həm də alınır ki:

54

yx ,

yx .

Bu isə o deməkdir ki, hiperbola iki budaqdan ibarətdir, onlardan biri ax düz xəttindən sağda (sağ budaq), ikincisi isə ax düz xəttindən solda (sol budaq) yerləşir.

Hiperbolanın Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələri olan1

A və 2

A -yə

onun təpələri adlanır. aAA 221 və bBB 2

21 parçaları isə ( ),0(

1bB ,

),0(2

bB ) uyğun olaraq hiperbolanın həqiqi və xəyali oxları adlanır.

Burada a hiperbolanın həqiqi yarımoxu, b isə xəyali yarımoxu

adlanır. Hiperbola koordinat oxlarına nəzərən simmetrik əyridir. Asanlıqla göstərmək olar ki, sağ qanad üçün hiperbolanın fokal radiusları

xarxar 21

, düsturları və sol qanad üçün

xarxar 21

, düsturları ilə təyin edilir.

Göstərmək olar ki, hiperbolanın asimptotları xa

by tənlikləri

ilə ifadə olunur.

Hiperbolanın ekssentrisiteti fokuslar arasındakı məsafənin c2

həqiqi oxa a2 nisbəti şəklində təyin edilir və ilə işarə olunur:

12

2 22

a

ba

a

c

a

c,

direktrisləri isə

ax düsturları ilə təyin olunan düz

xətlərdir. ab olduqda hiperbola tənliyi 222 ayx bərabərtərəfli

hiperbola tənliyinə çevrilir ).2( Bu hiperbolanın asimptotları bir-

birinə perpendikulyar olub, simmetriya oxları arasındakı bucaqları yarıya bölür )( xy .

Tənlikləri

12

2

2

2

b

y

a

x və 1

2

2

2

2

b

y

a

x

olan hiperbolalar qoşma hiperbolalar adlanır. Bu hiperbolaların asimptotları üst-üstə düşməklə bərabər birinin həqiqi oxu digərinin xəyali oxu, xəyali oxu isə həqiqi oxu olur. Hiperbola üzərində yerləşən ),( 000 yxM nöqtəsində bu

hiperbolaya toxunan düz xəttin tənliyi

55

12

0

2

0 b

yy

a

xx

şəklindədir. Mərkəzi ),( 00 yx nöqtəsində və oxları koordinat oxlarına

paralel olan hiperbolanın tənliyi

1)()(

2

2

0

2

2

0

b

yy

a

xx

kimidir.

3.13.Parabola. Fokus adlanan F nöqtəsindən və direktrisa

adlanan düz xətddən (fokus direktrisa üzərində olmadıqda) bərabər

uzaqlıqda olan nöqtələrin həndəsi yerinə parabola deyilir.

Verilmiş F fokus nöqtəsinə və bu nöqtədən keçməyən d direktrisinə

görə

parabolanın tənliyini quraq. Düzbucaqlı koordinat sistemini belə

seçək: Ox oxunu F fokus nöqtəsindən və d direktrisinə

perpendikulyar keçirib, d -dən F -ə istiqamətləndirək, O koordinat

başlanğıcını isə fokus ilə direktris arasında orta nöqtə kimi götürək.

Tərif. F fokus nöqtəsindən d direktrisinə qədər olan

məsafəyə parabolanın parametri deyilir və )0( pp ilə işarə olunur.

Şəkildən görünür ki, FKp , deməli,

onda fokus )0;2

(p

F koordinatlarına, direk-

trisin tənliyi isə

2

px və ya 0

2

px

kimi olar. Tutaq ki ),( yxM parabolanın

ixtiyari nöqtəsi olsun. M nöqtəsini F ilə

birləşdirib və dMN çəkək, onda

2

pxMN ,

iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə

yaza bilərik:

22)2

( yp

xMF .

Parabolanın tərifinə görə MNMF , onda axtarılan

O

F(p/2,0)

N(

p/2

,y)

K

56

parabolanın tənliyi

2

)2

( 22 pxy

px (1)

olar. Buradan

pxy 22 (2)

alarıq. (2) tənliyi parabolanın kanonik tənliyi adlanır.

(2) kanonik tənliyinə əsasən parabolanın formasını araşdıraq.

1) )0,0(O nöqtəsinin koordinatları (2) tənliyini ödəyir, deməli,

parabola koordinat başlanğıcından keçir.

2)Beləki (2) tənliyinə y dəyişəni yalnız cüt dərəcədən

daxildir, onda pxy 22 parabolası absis oxuna nəzərən simmetrikdir.

3)Beləki 0p , onda (2)-dən 0x alınır. Deməli, bu

parabola Oy oxundan sağda yerləşir.

4) x absisi 0 -dan -ğa kimi artdıqda y ordinatı 0 -dan

-ğa kimi dəyişir, yəni parabolanın nöqtələri qeyri-məhdud olaraq

həm Ox və həm də Oy oxundan aralanır.

Ox oxu parabolanın simmetriya oxu adlanır. Parabolanın

simmetriya oxu ilə kəsişdiyi )0,0(O nöqtəsinə onun təpəsi deyilir.

FM parçası M nöqtəsinin fokal radiusu adlanır.

Parabolanın fokal radiusu 2

pxr düsturu ilə hesablanır.

,22 pxy 0x ,

0,22 xpxy tənliklərlə təyin olunan hiperbolalar ordinat oxuna

nəzərən, tənlikləri 022 ypyx və 022 ypyx şəklində

F(-p/2,0)

F(0, p/2)

F(0, -p/2)

57

olan parabola əyrilərinin simmetriya oxları ordinat oxudur və onlar

absis oxuna nəzərən simmetrikdirlər.

pxy 22 parabolasının üzərindəki ),( 000 yxM nöqtəsində bu

parabolaya toxunanın tənliyi )( 00 xxpyy şəklindədir.

Fəzada düz xətt və müstəvi tənlikləri

3.14.Fəzada düz xəttin vektorial və kanonik tənlikləri.

Tutaq ki, fəzada hər hansı l düz

xətti verilmişdir. Müstəvi halında olduğu

kimi, düz xəttə kollinear olan 0a

vektoruna bu düz xəttə yönəldici vektor

deyilir. Aydındır ki, fəzada düz xəttin

vəziyyətini bü düz xətt üzərində olan hər

hansı nöqtə və ixtiyari yönəldici vektorun

verilməsi birqiymətli olaraq təyin edir.

Tutaq ki, lzyxM ),,( 0000 verilmiş

nöq-

tədir. Onda aydındır ki, ),,( zyxM nöqtəsi

yalnız və yalnız o zaman l düz xəttinə aid olur ki, MM 0 və a vektor-

ları kollinear olsunlar, yəni elə skalyar t ədədi tapmaq olar ki,

atMM 0 olsun.

Əgər 0000 ,, zyxr

və zyxr ,,

düz xətt üzərindəki 0000

,, zyxM

və zyxM ,, nöqtələrinin radius vektorları olarsa, onda 00 rrMM

bərabərliyinə əsasən

atrr 0

yaza bilərik. Bu tənliyə 0M nöqtəsindən );;( pnma

vektoru

istiqamətində keçən düz xəttin vektorial tənliyi deyilir.

Bu bərabərliyi koordinatlarla ifadə etsək, düz xəttin parametrik

tənliyini alarıq:

tpzz

tnyy

tmxx

0

0

0

. (*)

0);;( pnma

olduğu üçün bu vektorun heç olmasa bir

z

y O

0M

x

M

0r

r

a

l

58

koordinatı sıfırdan fərqlidir.Bu sistemdən t parametrini yox etsək,belə

bərabərliklər sistemin alarıq:

p

zz

n

yy

m

xx 000

Bu tənliyə fəzada 0000 ,, zyxM nöqtəsindən keçib pnma ,,

vektoruna paralel düz xəttin kanonik tənliyi deyilir. Burada

məxrəclərin birinin sıfra bərabər olması uyğun surətin də sıfra bərabər

olması deməkdir. Əgər kəsrlərin birinin məxrəci, məsələn, m sıfra

bərabərdirsə həmin kəsrin surəti də sıfra bərabərdir. Bu halda düz

xəttin tənliyi

0xx , p

zz

n

yy 00

şəklində yazılır, bu da həmin düz xəttin 0xx müstəvisi üzərində

yerləşdiyini göstərir.

a vektorunun istiqamətləndirici kosinusları l düz xəttinin

istiqamətləndirici kosinusları adlanır və onları

coscoscos

000 zzyyxx

düsturları ilə tapmaq olar. Buradan cos:cos:cos:: pnm

münasibəti alınır. İstiqamətləndirici kosinuslarla mütənasib olan

pnm ,, kəmiyyətlərinə düz xəttin fəzada bucaq əmsalları deyilir.

Burada ,, düz xəttin koordinat oxları ilə əmələ gətirdiyi

bucaqlardır. Düz xəttin yönəldici kosinusları

,cos222 pnm

m

,cos

222 pnm

n

222cos

pnm

p

düsturları ilə tapılır.

Qeyd. Verilmiş 1111

,, zyxM və 2222

,, zyxM nöqtələrindən

keçən düz xəttin tənliyi

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

şəklindədir (yönəldici vektor olaraq );;( 12121221 zzyyxxMM

vektoru qəbul edilmişdir).

59

3.15. Fəzada iki düz xətt arasındakı bucaq.

Kanonik tənlikləri uyğun olaraq

1

1

1

1

1

1

p

zz

n

yy

m

xx

və

2

2

2

2

2

2

p

zz

n

yy

m

xx

olan iki düz xətt arasindakı bucağı onların

yönəldici 111 ,,1

pnma

və 2222 ,, pnma

vektorları arasındakı bucağa bərabərdir:

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121

21

21,

cospnmpnm

ppnnmm

aa

aa

.

Bu düz xətlərin perpendikulyar və

paralel olmasını isə onların yönəldici

vektorlarının ortoqonallıq və kollinearlıq

şərtlərinə əsasən uyğun olaraq belə yaza bilərik:

021221 1 ppnnmm və

2

1

2

1

2

1

p

p

n

n

m

m .

Qeyd. İki düz xəttin bir müstəvi üzərində olması şərti (iki düz

xəttin komplanarlıq şərti):

.0

222

111

121212

pnm

pnm

zzyyxx

3.16. Müstəvinin vektorial və normal tənlikləri.

Tutaq ki, fəzada verilmiş müstəvisinə koordinat başlanğıcından

çəkilmiş perpendikulyarın (normalın)

bu müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsi N ilə

işarə edilib. Bu normal üzərində

yerləşən və istiqaməti O -dan N-ə

doğru olan vahid vektor

)cos,cos,(cos n və pON

olsun. Beləki ),,( zyxM

nöqtəsinin ),,( zyxr radius-vektoru

üçün

prn Pr (1)

münasibəti ödənilir.Bu müstəvi üzərində yerləşən heç bir nöqtənin

2a 1a

2l

1l

z

y O

N

n

x

r

M

60

radius-vektoru (1) bərabərliyini ödəmir. Deməli, (1) bərabərliyi

müstəvisinin tənliyidir.

),(Pr nrrn olduğundan (1) bərabərliyini

pnr ),(

və ya

0),( pnr (2)

şəklində yazmaq olar.

(2) bərabərliyinə müstəvinin vektorial tənliyi deyilir.

Bu bərabərlikdə koordinatlara keçsək, alarıq: .0coscoscos pzyx

Buna müstəvinin normal tənliyi deyilir. Əgər müstəvi

koordinat başlanğıcından keçirsə, onda onun tənliyi 0coscoscos zyx

şəklində olar.

3.17.Verilmiş nöqtə və normal vektora görə müstəvinin tənliyi.

Tərif. Verilən müstəviyə perpendikulyar olan 0N vektoruna bu

müstəviyə normal vektor deyilir.

Müstəvi onun istənilən ),,( 0000 zyxM nöqtəsi və ),,( CBAN

normal vektoru ilə birqiymətli olaraq təyin olunur. Doğrudan da,

),,( zyxM nöqtəsi yalnız və yalnız o zaman müstəvi üzərində olar ki,

MM 0 və n vektorları perpendikulyar olsunlar, yəni 00 nMM . Bu

bərabərlikdə koordinatlara keçsək, alarıq:

0)()()(000 zzCyyBxxA . (1)

Bu tənlik verilmiş ),,( 0000 zyxM nöqtəsindən keçən və verilən

),,( CBAN vektoruna perpendikulyar olan müstəvinin tənliyidir.

Müstəvinin bu tənliyindəki ,A B və C əmsalları onun N normal

vektorunun koordinatlarıdır, buna görə onlar eyni zamanda sıfra

bərabər deyillər.

(1) tənliyini müəyyən çevirmələrdən sonra

0 DCzByAx (2)

şəklində yazmaq olar,burada 000 CzByAxD (2) tənliyinin

sərbəst həddidir. Bu tənliyə müstəvinin ümumi tənliyi deyilir.

Müstəvinin ümumi tənliyi ,x y və z dəyişənlərinə nəzərən

61

xəttidir (bir- dərəcəli), yəni fəzada ixtiyari müstəvi üç dəyişəndən asılı

xətti tənlik kimi verilir. Bunun əksini də isbat etmək olar, yəni

0 DCzByAx ( 0222 CBA ) şəklində tənlik birqiymətli

olaraq hər hansı müstəvini təyin edir.

Müstəvinin ümumi tənliyinin CBA ,, və D əmsallarının

qiymətlərindən asılı olaraq verilmiş koordinat sisteminə nəzərən

vəziyyətini təyin edək:

1. 00 DCzByA olduqda, müstəvi Ox oxuna para-

leldir,

2. 00 DCzAxB olduqda, müstəvi Oy oxuna para-

leldir,

3. 00 DByAxC olduqda, müstəvi Oz oxuna para-

leldir,

4. 00 CzByAxD olduqda, müstəvi koordinat mər-

kəzindən keçir,

5. 00 DCzBA olduqda, müstəvi Oz oxuna per-

pendikulyardır (xOy müstəvisinə paraleldir), 6. 00 DByCA olduqda, müstəvi Oy oxuna per-

pendikulyardır (xOz müstəvisinə paraleldir), 7. 00 DAxCB olduqda, müstəvi Ox oxuna per-pendikulyardır (yOz müstəvisinə paraleldir), 8. 00 CzByDA olduqda, müstəvi Ox oxundan

keçir, 9. 00 CzAxDB olduqda, müstəvi Oy oxundan keçir, 10. 00 ByAxDC olduqda, müstəvi Oz oxundan

keçir, 11. 00 CzDBA olduqda, xOy müstəvisi ilə üst-üstə düşən müstəvi (z=0), 12. 00 ByDCA olduqda, xOz müstəvisi ilə üst-üstə

düşən müstəvi (y=0), 13. 00 AxDCB olduqda, yOz müstəvisi ilə üst-üstə düşən müstəvi (x=0).

Müstəvinin ümumi tənliyinin hər tərəfini

222

1

CBA

62

ədədinə vurmaqla onu normal tənlik şəklinə gətirmək olar. Buna görə də bu kəmiyyətə müstəvi tənliyinin normallaşdırıcı vuruğu deyilir. Burada kök ifadəsi qarşısındakı işarə müstəvinin ümumi tənliyindəki sərbəst həddin işarəsinin əksinə götürülür.

3.18. Verilmiş üç nöqtədən keçən müstəvinin tənliyi.

Tutaq ki, verilmiş üç 1111

,, zyxM , 2222

,, zyxM və

3333

,, zyxM nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini tapmaq tələb

olunur. Əgər müstəvi üzərində yerləşən ixtiyari nöqtəni ),,( zyxM ilə

işarə etsək, onda

),,,( 11111 zzyyxxrMM ),,( 121212221 zzyyxxrMM və

),,( 131313331 zzyyxxrMM vektorları həmin müstəvi üzərində

yerləşər. Bu isə o zaman olar ki, həmin vektorlar komplanar olsun:

0321 rrr

və ya

0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

. (1)

Bu isə üç ,1M 2M və 3M nöqtələrindən keçən mestəvinin

tənliyidir.

Qeyd. Əgər müstəvi ,0,0,1 aM 0,,02 bM və cM ,0,03

nöqtələrindən keçərsə, onda (1) bərabərliyinə əsasən

1c

z

b

y

a

x

münasibətini alarıq. Bu tənliyə müstəvinin parçalarla tənliyi deyilir.

Burada ,a b və c düz xəttin uyğun olaraq ,Ox Oy və Oz oxlarından

ayırdığı parçaların uzunluğudur.

),,( zyxM 1M

2M 3M

1r

2r

3r

63

3.18.İki müstəvi arasındakı bucaq.

01111 DzCyBxA )( 1 ,

02222 DzCyBxA )( 2

müstəviləri arasındakı bucağı ( ),,( 1111 CBAN

və

),,( 2222 CBAN

normal vektorlar arasındakı bucaq)

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121cosCBACBA

CCBBAA

düsturu ilə hesablanır.

Vektorların kollinearlıq və perpendikul-

yarlıq şərtlərini nəzərə alsaq, yaza bilərik:

a) 1 və 2 müstəviləri yalnız və yalnız onda paraleldirlər ki,

onların tənliklərindəki uyğun dəyişənlərin əmsalları mütənasibdirlər

(21 || NN

):

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A .

b) 1 və 2 müstəviləri yalnız və yalnız onda perpendikulyardırlar

ki, ( 0cos,900 )

0212121 CCBBAA

bərabərliyi ödənilsin.

3.19.Fəzada düz xətlə müstəvinin qarşılıqlı vəziyyəti.

I.Qeyd edək ki, düz xətlə

müstəvi arasındakı bucaq iti və kor

ola bilər. Əgər );;( pnma vektoru

l düz xəttinin yönəldici,

);;( CBAN vektoru

müstəvisinin normal

vektoru, ),^( Na isə l və ara-

sındakı bucaq olarsa, onda

)90( 0 . Buradan

cos)90sin(sin 0 , beləki 0sin , onda cossin yaza

bilərik. Ancaq

2N

1N

1

2

a

l

N

64

Na

Na ),(cos

Na

Na ),(sin .

Burada koordinatlara keçsək, alarıq:

222222sin

pnmCBA

CpBnAm

.

Düz xətt və müstəvinin perpendikulyarlıq şərti aN

| | :

.p

C

n

B

m

A

Düz xəttlə müstəvinin paralellik şərti 0sin,0 :

.0 CpBnAm

II. Düz xətlə müstəvinin kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün

müstəvinin ümumi tənliyi ilə düz xəttin parametrik tənliyini birgə həll

etmək lazımdır. Əgər ),,( zyxM nöqtəsi l düz xətti və müstəvisi

üzərində yerləşirsə, onda onun koordinatları l və -nın tənliklərini

ödəyir. Buna görə M nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün (*)

münasibətindəki ,x ,y z -in ifadələrini müstəvinin ümumi tənliyində

nəzərə alsaq, alarıq:

CpBnAm

DCzByAxt

000 .

Burada aşağıdakı hallar mümkündür:

a) əgər 0 CpBnAm olarsa, onda düz xətt müstəvini bir

nöqtədə kəsir,

b)əgər ,0 CpBnAm 0000

DCzByAx , onda | |l ,

c) əgər ,0 DCzByAx ,0000

DCzByAx onda l .

Beləliklə, M nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün t -nin

tapılmış qiymətini l düz xəttinin parametrik tənliyində nəzərə almaq

lazımdır.

III. Fəzada hər bir düz xəttə iki müstəvinin kəsişmə xətti kimi

baxmaq olduğundan, hər bir düz xətti

.0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

kimi təyin etmək olar.

65

3.12.Ikikitərtibli səthlər

1. Ümumi anlayışlar. Oxyz dekart koordinat sistemində

ikidərəcəli

0

222

44342414

231312

2

33

2

22

2

11

azayaxa

yzaxzaxyaxayaxa (1)

tənliklə verilmiş ),,( zyx nöqtələrinin həndəsi yerinə ikitərtibli səth

deyilir, burada 1211 , aa , 3433323123221413 ,,,,,,, aaaaaaaa və 44a

əmsalları verilmiş həqiqi ədədlərdir.

Tərifdən göründüyü kimi, əgər səth (1) tənliyi ilə təyin

olunmuşdursa, onun istənilən nöqtəsinin koordinatları bu tənliyi

ödəyir və səth üzərində olmayan heç bir nöqtənin koordinatları bu

tənliyi ödəmir.

Ümumiyyətlə, Oxyz dekart koordinat sistemində koordinatları

hər hansı

0),,( zyxF

tənliyini ödəyən nöqtələrin həndəsi yeri müəyyən bir səthdir.

Səthlərin bəzi növlərini qeyd edək.

Fəzada verilən düz xəttə paralel olan və verilən L xəttini kəsən

düz xətlər çoxluğunun əmələ gətirdiyi səthə silindrik səth deyilir, L

xətti silindrik səthin yönəldijisi, L xəttini kəsən və verilən düz xəttə

paralel olan hər bir xətt isə silindrik səthin doğuranı adlanır (şək. 1a)

Fəzada verilən ),,( 0000 zyxM nöqtəsindən keçən və verilən L

xəttini kəsən düz xətlər çoxluğunun əmələ gətirdiyi səthə konik səth

deyilir, 0M nöqtəsi konik səthin təpəsi, L xətti onun yönəldijisi və

0M nöqtəsindən keçən və L xəttini kəsən hər bir xətt isə onun

doğrunaı adlanır (şək. 1b).

a)

b)

c)

Şək.1.

66

Fəzada verilən L xəttinin verilən düz xətt ətrafında fırlanmasından

alınan səthə fırlanma səthi deyilir (şək. 1.c-də L xəttinin Ox oxu

ətrafında fırlanmasından alınan səth göstərilmişdir).

İkitərtibli səthlərin (1) ümumi tənliyini koordinatların

çevrilməsi düsturları vasitəsilə kanonik şəklə gətirmək olar.

2. İkitərtibli səthlərin növləri.

1. Ellipsoid (şək. 2) – kanonik tənliyi

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

(2)

şəklindədir. a, b və c ədədlərinə ellipsoidin yarımoxları deyilir.

Yarımoxları müxtəlif olan ellipsoid üçoxlu ellipsoid, iki yarımoxu

eyni olan ellipsoid fırlanma ellipsoidi adlanır. Yarımoxları eyni bir R

ədədinə bərabər olan (2) ellipsoidi ( Rcba ) mərkəzi koordinat

başlanğıjında yerləşən R radiuslu sferadır. 2222 Rzyx .

2.Biroyuqlu hiperboloid (şək. 3) – kanonik tənliyi:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x.

(3)

ca olduqda biroyuqlu hiperboloid Oxy müstəvisində yerləşən

12

2

2

2

b

y

a

x (4)

hiperbolasının Oy oxu ətrafında fırlanmasından alınır.

3. İkioyuqlu hiperboloid (şək. 4) – kanonik tənliyi:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x.

(5)

cb olduqda ikioyuqlu hiperboloid (4) hiperbolasının Ox oxu

ətrafında fırlanmasından alınır.

cba ,, ədədləri hiperboloidin yarımoxları adlanır.

4. Konus (şək. 5) – kanonik tənliyi

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x.

67

(6)

ca olduqda konus xa

by və x

a

by düz xətlərinin Oy oxu

ətrafında fırlanmasından alınır.

(2), (3), (5) və (6) tənliklərindən göründüyü kimi ellipsoid,

biroyuqlu və ikioyuqlu hiperboloid və konus koordinat başlanğıjına və

koordinat müstəvilərinə nəzərən simmetrik səthlərdir ( zyx ,,

dəyişənlərinin işarələrini dəyişdikdə tənlik dəyişmir).

5. Elliptik paraboloid (şək. 6) – kanonik tənliyi

)0,0(222

qpxq

z

p

y. (7)

qp olduqda Oxy müstəvisində yerləşən pxy 22 parabolasının

Ox ətrafında fırlanmasından alınır. Koordinat başlanğıjı (7) elliptik

paraboloidin təpəsi, 0y və 0z onun simmetriya müstəviləridir.

6.Hiperbolik paraboloid (şək. 7) kanonik tənliyi:

)0,0(222

qpxq

z

p

y.

0y və 0z müstəvilərinə nəzərən simmetrikdir.

7.Elliptik silindr (şək. 8) kanonik tənliyi:

12

2

2

2

b

y

a

x.

8.Hiperbolik silindr (şək. 9) kanonik tənliyi:

12

2

2

2

b

y

a

x.

9.Parabolik silindr (şək. 10) kanonik tənliyi:

)0(22 ppxy .

68

Şəkil 2.

Şəkil 3.

Şəkil 4.

Şəkil 5.

69

Şəkil 6.

Şəkil 7.

Şəkil 8. Şəkil 9.

Şəkil 10.

4.Qeyri xətti tənliklərin həll üsulları

4.1.Cəbri və transendent tənliklər.

Praktik məsələlərin həlli zamanı çox zaman tənliklərin həllinə rast

gəlirik. İstənilən bir məchullu tənlikləri

)()( xgx (1)

şəklində ifadə etmək olur, burada )(x və )(xg hər hansı ədədi X

çoxluğunda təyin olunmuş verilən funksiyalardır. X ə tənliyin

mümkün qiymətlər oblastı deyilir.

70

Bir məchullu tənliyi

0)( xf (2)

şəklində yaza bilərik. Doğrudan da, )(xg i (1) tənliyinin sol tərəfinə

keçirsək, bu tənliklə eynigüclü olan 0)()( xgx tənliyini

alarıq.Sonuncu tənliyin sol tərəfini )(xf ilə işarə etsək, (2) tənliyini

alarıq. (1) tənliyini eyniliyə çevirən x dəyişəninin qiymətlər toplusu

bu tənliyin həlli adlanır və x in bu topludan olan hər bir qiyməti

tənliyin kökü adlanır. Tənliyi həll etmək onun bütün kökləri

çoxluğunu tapmaq deməkdir. Bu isə sonlu və ya sonsuz ola bilər.

(1) tənliyinə daxil olan funksiyalardan asılı olaraq bu tənliklər iki

böyük sinfə bölünürlər: cəbri və transendent tənliklər.

Funksiyanın qiymətlərini x in verilən qiymətlərlərinə görə

tapmaq üçün hesab və rasional üstlü qüvvətə yüksəltmə əməli

aparmaq lazımdırsa, onda bu cür funksiya cəbri funksiya adlanır.

Əgər x üzərində yalnız toplama,cıxma, vurma ,bölmə və tam

dərəcəli qüvvətə yüksəltmə əməli aparılarsa, cəbri funksiyaya x

dəyişəninə nəzərən rasional funksiya deyilir.

Əgər rasional funksiyaya x dəyişəni bölmə işarəsi lə daxil deyilsə

və ya ifadəyə bölünən kimi daxil deyilə, onda belə funksiya tam

rasional funksiya adlanır. Tam rasional funksiya bütün ədəd oxunda

təyin olunub.

Məsələn, aşağıdakı funksiyalar tam rasional funksiyalardır:

1) n

nn axaxay ...1

10 ( n - natural ədəd və ya sıfırdır,

naaa ,...,,

10R , beləki 0

0a ),

2) 3

8

4)(

2

xxxf .

Əgər rasional funksiyayada heç olmasa x dəyişəninə bir dəfə

bölmə və ya ifadədə bu dəyişən bölünən kimi daxil olarsa, onda ona

kəsr-rasional funksiya deyilir. Məsələn,

n

nn

m

mm

axaxa

bxbxby

...

...1

10

1

10 ,

burada m natural ədəd və ya sıfırdır, ,Nn Rbbaa ,...,,...,,1010

( 0,000 ba ).

71

Funksiyaların digər böyük sinfi transendent funksiyalardır. Bu

sinfə cəbri olmayan funksiyalar daxildir: üstlü, loqarifmik,

triqonometrik, tərs triqonometrik funksiyalar və s.

Əgər tənlikdə yalnız cəbri funksiyalar iştirak edirsə, onda ona

cəbri tənlik deyilir. Məsələn,

,045 x 0153 234 xxxx .

Cəbri tənliklər

0...1

2

2

1

10

nn

nnn axaxaxaxa (3)

şəklinə salına bilər. naaa ,...,, 10 ədədləri (3) tənliyinin əmsalları

adlanır, onlar həm həqiqi, həm də kompleks ola bilərlər.

Köklərin qiymətlərinin hesablanması üçün hər hansı sadə

düsturlar olduqda, tənliyin köklərinin dəqiq qiymətlərinin tapılması

istisna hallarda ola bilər. Norveç riyaziyyatçısı Abel göstərmişdir ki,

5n olan hallarda hesab əməlləri və kök alma ilə (3) cəbri

tənliklərinin həllini ifadə edən düsturlar yoxdur. Yalnız bəzi xüsusi

hallarda dərəcəsi dörddən böyük olduqda cəbri tənliklərin həll

düsturları ola bilər.

Bundan başqa,bəzi tənliklərin əmsalları təqribi ədədlər olduq-

da,dəqiq köklərin tapılması sualı ümumiyyətlə qoyulmur.

Buna görə də 0)( xf tənliyinin köklərinin təqribi hesablanması

üsulları mühüm əhəmiyyət kəsb edir.

Bir çox praktik məsələlərin həlli zamanı tənliyin dəqiq həlli

həmişə zəruri olmur. Məsələnin köklərinin tapılması o zaman həll

olunmuş sayılır ki, köklər verilmiş dəqiqliklə hesablanmış olsun.

1. Tənliklərin qrafik həll üsulu. Tənliklərin həll üsullarında biri də qrafiki həll üsuludur. Bu cür

həllin dəqiqliyi çox böyük deyildir. Bu həll üsulunun iki yolu vardır.

Birinci yol. Tənliyin bütün hədləri bərabərliyin sol tərəfinə

keçirilir, yəni o 0)( xf şəklində ifadə olunur. Bundan sonra

)(xfy funksiyasının qrafiki qurulur. )(xfy funksiyasının

qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləri tənliyin kökləri

olur, beləki bu nöqtələrdə 0y olur. (şəkil)

İkinci addım. Bu halda tənliyin bütün hədlərini iki qrupa bölürlər,

onlardan birini tənliyin sol tərəfinə, digərini isə sağ tərəfinə yazırlar,

72

yəni onu )()( xxg şəklində ifadə edirlər. Bunda sonra iki

)(xgy və )(xy funksiyalarının qrafikləri qurulur. Bu iki

funksiya qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri verilmiş tənliyin

kökləri olur.

Misal. 01sin xx tənliyinin təqribi olaraq köklərini tapaq.

Həlli. Verilən tənliyi xx sin1 şəklində yazıb, 1 xy düz

xəttinin və xy sin sinusoidinin qrafiklərini quraq. Bu xətlərin

kəsişmə nöqtəsinin absisi 9,1x olur, bunu isə kökün təqribi qiyməti

olaraq qəbul etmək olar.

2. Sistem tənliklərin həllinin qrafik üsulu.

Bir məchullu tənliklərin qrafik üsul ilə həlli o qədər çətin

olmadığını gördük. Lakin bunu sistem tənliklərin qrafik üsulla həlli

barədə demək olmaz. Bəzi hallarda iki məchullu iki tənliklər

sisteminin həlli də çox çətin olur.

Tutaq ki,

0),(

0),(

2

1

yxF

yxF

sistemi verilmişdir.Əgər sistemin hər iki tənliyini iki dəyişəndən

birinə nəzərən həll etmək mümkündürsə, onda sistemin həlli kifayət

qədər sadələşir. Tutaq ki, sistemin birinci tənliyindən )(1 xfy ,

ikinci tənliyindən isə )(2 xfy alırıq. Nəticədə

0)()()( 21 xfxfx alarıq, bunu isə yuxarıdakı addımlardan

biri ilə həll etmək olar.

Köklərin ayrılması

Tənliyin köklərinin təqribi qiymətlərinin tapılması prosesi iki yerə

ayrılır:

1) köklərin ayrılması;

2) verilmiş dəqiqlik dərəcəsinə görə köklərin müəyyənləş-

dirilməsi.(dəqiqləşdirilməsi)

Bu paraqrafda köklərin ayrılması etapına baxacağıq.

0)( xf tənliyinin c kökünün ],[ ba parçasında ayrılması o

deməkdir ki, bu tənliyin verilmiş parçada digər kökləri yoxdur.

73

Kökləri ayırmaq o deməkdir ki, bütün mümkün qiymətlər

oblastını bir kök saxlayan parçalara bölmək lazımdır. Kökləri ayırmaq

üçün iki üsuldan istifadə etmək olar: qrafiki və analitik. (proqram)

Köklərin ayrılmasının qrafiki üsulu. Tənliklərin həllinin qrafiki

yolundan istifadə edərək köklərin ayrılmasının qrafiki yolunda istifadə

olunur.

0)( xf şəklində tənlik üçün )(xfy funksiyasının və ya

)()( xxg şəklində ifadə olunmuş tənlik üçün )(xgy və

)(xy funksiyalarının qrafikləri qurulur.Onda tənliyin həqiqi

köklərinin qiymətləri )(xfy funksiyasının qrafikinin Ox oxu ilə

kəsişmə nöqtələrinin absisləri və ya )(xgy və )(xy funksiya

qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri olur. Buradan isə parçada

olan yalnız bir kök asanlıqla tapılır.

Qeyd. Tutaq ki, )(xfy funksiyasının qrafiki verilmişdir. Əyri

absis oxunu üç dəfə kəsir, deməli, tənlik üç sadə kökə malikdir.

Əgər əyri absis oxuna toxunursa (şəkil), onda tənlik ikiqat kökə

malikdir. Məsələn, 0233 xx tənliyi üç kökə

malikdir: ;21 x 132 xx (şəkli)

Əgər tənlik üçqat həqiqi kökə malikdirsə, onda )(xfy əyrisi

oxla toxunmasında əyilmə nöqtəsinə malik olur. Məsələn,

0133 23 xxx tənliyi vahidə bərabər üçqat kökə malkdir.

Qeyd edək ki, köklərin ayrılmasının qrafiki üsulu çox böyük

dəqiqliyə malik deyildir. O kökün izolə edilmiş intervalının çətinliklə

təyini üçün imkan yaradır. Bundan sonra aşağıdakı üsullardan biri ilə

köklər müəyyənləşdirilir.

Köklərin ayrılmasının analitik üsulu.

0)( xf tənliyinin köklərinin analitik ayrılması üçün

funksiyaların riyazi analiz kursundan bildiyimiz

bəzi xassələrini qeyd edək.

Teorem 1.Əgər )(xf funksiyası ],[ ba parçasında kəsilməz və

bu parçanın uclarında müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda ],[ ba

parçasının daxilində 0)( xf tənliyinin heç olmasa bir kökü vardır.

74

Teorem 2. Əgər )(xf funksiyası ],[ ba parçasında kəsilməz və

monotondursa və parçanın uclarında müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa,

onda 0)( xf tənliyinin ],[ ba parçasında yeganə kökü vardır.

Teorem 3. Əgər )(xf funksiyası ],[ ba parçasında kəsilməz və

bu parçanın uclarında müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa və )(xf

törəməsi parçada sabit işarəyə malikdirsə, onda 0)( xf tənliyinin

],[ ba parçasında yeganə kökü vardır.

İndi isə riyazi analizdən gələcəkdə bizə lazım olan bəzi

məlumatları qeyd edək.

Əgər )(xf funksiyası ],[ ba parçasında kəsilməzdirsə, onda bu

parçada elə nöqtələr vardır ki, bu nöqtələrdə o ən böyük və ən kiçik

qiymətlərini alır. Funksiya bu qiymətləri ya böhran nöqtələrində, ya

da parçanın uclarında alır. Deməli, funksiyanın parçada ən böyük və

ən kiçik qiymətlərini təyin etmək üçün aşağıdakı halları bilmək

lazımdır:

1) funksiyanın böhran nöqtələrini tapmalı;

2) funksiyanın qiymətlərini böhran nöqtələrində və ],[ ba

parçasının uclarında hesablamalı;

3) bu qiymətlərdən ən böyük və ən kiçik qiymətləri ayırmalı.

Bununla əlaqədar olaraq köklərin ayrılmasının analitik üsulu üçün

aşağıdakı kimi hərəkət etmək olar.

1. )(xf törəməsini tapmalı.

2. x i aşağıdakı kimi götürməklə, )(xf funksiyasının qiymətlər

cədvəlini tərtib etməli:

a) törəmənin böhran qiymətlərinə (köklərinə) və ya onlara yaxın;

b) sərhəd qiymətlərinə (məchulun mümkün qiymətlər oblastına

uyğun).

3. Funksiyanın, uclarında əks işarəli qiymətlər aldığı intervalları

müəyyən etməli. Bu intervallar daxilində yalnız və yalnız bir kök

vardır.

Köklərin müyyənləşdirilməsi.Seçmə üsul

75

Tutaq ki, 0)( xf tənliyi verilmişdir, burada )(xf kəsilməz

funksiyadır. Bu tənliyin kökünün ( 0 hər hansı kifayət qədər

kiçik ədəddir) dəqiqliklə tapılması tələb olunur.

kökünün ayrıldığını və ],[ ba parçasında yerləşdiyini fərz edək,

yəni ba bərabərsizliyi doğrudur. a və b ədədləri kökünün

uyğun olaraq əskiyi və artığı ilə götürülmüş təqribi qiymətləridir. Bu

təqribiliyin xətası parçanın ab uzunluğunu aşmır. Əgər ab

olarsa, onda hesablamanın dəqiqliyinin zəruriliyi sona çatıb və

kökünün təqribi qiyməti olaraq ya a , ya da b götürmək olar. Əgər

ab olarsa, onda hesablamanın tələb olunan dəqiqliyinə

çatmamışıq, onda intervalı kökü daxil olana qədər qısaltmaq

lazımdır, yəni elə a və b ədədlərini seçmək lazımdır ki, ba

və abab bərabərsizlikləri ödənilsin.

ab olduqda hesablamanı dayandırmaq lazımdır və kökün

dəqiqliyi ilə təqribi qiyməti olaraq ya a , ya da b götürmək lazımdır.

Qeyd edək ki, kökün qiyməti o vaxt dəqiq olar ki, kökün təqribi

qiyməti olaraq parçanın son a və b ucları deyil,bu parçanın orta

2/)( bac qiyməti götürülsün. Bu halda xəta 2/)( ab

kəmiyyətini aşmır.

Seçmə üsul. Tutaq ki, 0)( xf tənliyi verilmişdir ( )(xf

kəsilməz funksiyadır) və ],[ ba parçasında kökü ayrılmışdır, yəni

0)()( bfaf , beləki ab . kökünün dəqiqliklə

qiymətinin tapılması tələb olunur. (şəkil)

],[ ba parçasında ixtiyari qayda ilə elə 1a nöqtəsi götürək ki, o

parçanı iki ],[ 1aa və ],[ 1 ba parçalarına bölsün. Bu parçalardan

eləsini götürmək lazımdır ki, onun uclarında funksiya əks işarəli

qiymətlər alsın. Bizim misalda 0)()( 1 bfaf olduğu üçün ],[ 1 ba

parçasını götürmək lazımdır. Sonra bu qısaldılmış parçada ixtiyari

qayda ilə 2a nöqtəsi götürək və )()( 21 afaf və )()( 2 bfaf

hasillərinin işarələrini tapaq. Beləki 0)()( 2 bfaf olduğu üçün

],[ 2 ba parçasını seçirik. Bu prosesi o vaxta qədər davam etdiririk ki,

76

kök daxil olan parçanın uzunluğu dan kiçik olsun. kökünü

tapılan parçanın ədədi ortası kimi alarıq, beləki kökün xətası 2/ -ni

aşmır.

Seçmə üsulu belə şərh olunmuş halda kompüterdə tətbiq etmək

olmur, bu üsul yarıya bölmə üsulu adlanan aşağıdakı üsul kimi şərh

olunmalıdır.

2/)( bac nöqtəsi ilə ],[ ba parçasının yarıya bölünməsi

nəticəsində alınan iki bərabər ],[ ca və ],[ bc parçalarına baxaq. Bu

parçaların uzunluğu 2/)( ab -yə bərabərdir. (şəkil) Əgər 0)( cf

olarsa, onda c 0)( xf tənliyinin dəqiq kökü olur. Əgər

0)( cf olarsa, onda ],[ ca və ],[ bc parçalarından funksiyanın əks

işarəli qiymətlər aldığı parçanı götürək və onu ],[ 11 ba ilə işarə edək.

Sonra bu parçanı yenidən yarıya bölək və yuxarıdakı mülahizəni

aparaq. Bu zaman uzunluğu 22/)( ab olan ],[ 22 ba parçasını

alarıq. Parçanı yarıya bölmə prosesini o vaxta kimi aparmaq lazımdır

ki, hər hansı n ci etapda parçanın orta nöqtəsi ya tənliyin kökü

olacaq, ya da elə ],[ nn ba parça alarıq ki, n

nn abab 2/)(

və nn ba olar. na və nb ədədləri 0)( xf tənliyinin

dəqiqliklə kökləridir. Kökün təqribi qiyməti olaraq 2/)( nn ba

götürmək lazımdır, beləki xəta 12/)( nab -i aşmır.

Misal . 0723 xx tənliyini 0,01 dəqiqliklə həll edin.

Həlli. Həqiqi kökün daxil olduğu izolə edilmiş intervalı təyin

etmək üçün 3xy və 72 xy funksiyalarının qrafiklərini

quraq. Qrafiklərin kəsişdiyi yeganə nöqtə )2;1( intervalına daxildir.

Onda ,1a 2b və ;04)1( f 05)2( f . )2,1(

intervalını yarıya bölsək, alarıq:

5,12

21

21

bac .

Onda 0625,0)5,1()( 1 fcf . Nəticədə axtarılan kök )2;5,1(

intervalında olar. 7,12 c qəbul edək, onda

0313,1)7,1()( 2 fcf .

77

Onda axtarılan kök )7,1;5,1( intervalına daxildir. İndi 6,13 c

götürək, onda 0296,0)6,1()( 3 fcf . Nəticədə izolə edilmiş

intervalı qısaltdıq və axtarılan kök )6,1;5,1( intervalına daxil olur.

Bu prosesi davam etdirsək, alarıq:

;55,14 c ;0176,0)55,1()( 4 fcf interval: )6,1;55,1( ;

;57,15 c ;0010,0)57,1()( 5 fcf interva: (1,55;1,57);

;565,17 c ;0037,0)565,1()( 7 fcf interval: )57,1;56,1( ;

;568,18 c 0009,0)568,1()( 8 fcf .

Beləliklə, (1,568;1,57) intervalını almış oluruq. Buradan görünür

ki, axtarılan kök 0,01 dəqiqliklə 57,1x olar.

Vətərlər üsulu

Bu üsul cəbri və transendent tənliklərin həlli üçün ən geniş

yayılmış üsullardan biridir.

Tutaq ki, 0)( xf tənliyi verilmişdir, burada )(xf kəsilməz

funksiyadır və ),( ba intervalında birinci və ikinci tərtib törəməyə

malikdir. Kök ayrılmış hesab olunur və ],[ ba parçasında yerləşir,

yəni 0)()( bfaf .

Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, )(xfy əyrisinin

kifayət qədər çox kiçik ],[ ba aralığındakı qövsü onu birləşdirən

vətərlə əvəz olunur.Kökün təqribi qiyməti olaraq vətərin Ox oxu ilə

kəsişmə nöqtəsi götürülür.

Əvvəlki mövzuda biz birinci və ikinci törəmələrin qiymətlərini

nəzərə almaqla əyri qövsünün yerləşmə hallarına baxmışdıq.

Birinci və ikinci tərtib törəmələrin eyni işarəyə malik olması

halına baxaq, yəni 0)()( xfxf .

Tutaq ki, ,0)( af ,0)( bf ,0)( xf .0)( xf Onda

)()(

))((1

afbf

abafax

,

78

)()(

))((

1

1112

xfbf

xbxfxx

,

........................................

.)()(

))(( 11

n

nnnn

xfbf

xbxfxx

Proses verilmiş dəqiqlik dərəcəsinə görə kökün təqribi qiymətini

alana kimi davam etdirmək lazımdır.

,0)( af ,0)( bf ,0)( xf 0)( xf olan halda da

yuxarıdakı düsturlarla kökləri tapmaq olar.

İndi fərz edək ki, birinci və ikinci tərtib törəmələr müxtəlif

işarəlidirlər, yəni 0)()( xfxf .

Tutaq ki, ,0)( af ,0)( bf ,0)( xf 0)( xf . Onda

)()(

))((1

afbf

abbfbx

,

)()(

))((

1

1112

afxf

axxfxx

,

......................................

)()(

))((1

afxf

axxfxx

n

nnnn

alarıq.

Bu düsturla ,0)( af ,0)( bf ,0)( xf 0)( xf olan

halda da kökləri tapmaq olar.

Təqribiliyin xətasının qiymətləndirilməsi üçün

1 nnn xxx

düsturundan istifadə etmək olar, burada - kökün dəqiq qiyməti, 1nx

və nx isə )1( n və n -ci addımda bu kökün təqribi qiymətləridir.

Beləki bu düstur yalnız kiçik parçalar üçün doğrudur. Bunu

mM 2

olduqda istifadə etmək olar, burada

,)(max],[

xfMba

.)(min],[

xfmba

79

Misal . Vətərlər üsulu ilə 0424 xx tənliyinin 01,0

dəqiqliklə müsbət kökünü tapın.

Həlli. 05)1( f və 0952,0)7,1( f olduğu üçün müsbət

kök )7,1;1( aralığında yerləşir.

Kökün birinci yaxınlaşma qiymətini

588,1)1()7,1(

)1()17,1(11

ff

fx

düsturu ilə tapaq. Beləki 0817,0)588,1( f , onda )7,1;588,1(

aralığına vətərlər üsulunu yenə də tətbiq edək:

639,1)588,1()7,1(

)588,1()588,17,1(588,12

ff

fx .

0051,0)639,1( f olduğu üçün üçüncü yaxınlaşmanı tapaq:

642,1)639,1()7,1(

)639,1()639,17,1(639,13

ff

fx ;

0016,0)642,1( f olduğu üçün dördüncü yaxınlaşmanı

tapaq:

643,1)642,1()7,1(

)642,1()642,17,1(642,14

ff

fx ;

0004,0)643,1( f . Nəticədə, 01,0 dəqiqliklə axtarılan kök 64,1

olar.

Nyuton üsulu (toxunanlar üsulu)

Tutaq ki, 0)( xf tənliyinin kökü ],[ ba parçasında ayrılmışdır,

beləki )(xf və )(xf törəmələri kəsilməzdirlər və bütün ],[ ba

parçasında sabit işarəyə malikdirlər.

Nyuton üsulunun həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, )(xfy

əyrisinin qövsü bu əyriyə toxunanla əvəz olunur ( burada da bu usulun

ikinci adı alınır).

Birinci hal. Tutaq ki, ,0)( af ,0)( bf ,0)( xf

0)( xf və ya ,0)( af ,0)( bf ,0)( xf 0)( xf

olduqda

80

)(

)(1

n

nnn

xf

xfxx

(1)

alarıq. Beləliklə, təqribi qiymətlərin ,...,...,, 21 nxxx ardıcıllığını almış

oluruq,hansı ki, hər bir sonrakı hədd əvvəlkindən kökünə daha

yaxındır.Ancaq bütün nx - lər dəqiq kökündən böyük olur,yəni nx -

kökünün artığı ilə təqribi qiymətidir.

İkinci hal. Tutaq ki, ,0)( af ,0)( bf ,0)( xf 0)( xf

və ya ,0)( af ,0)( bf ,0)( xf 0)( xf olduqda isə

)(

)(1

n

nnn

xf

xfxx

(2)

alarıq. Burada isə nx - kökünün əskiyi ilə təqribi qiymətidir.

Bu düsturları əvvəlki düsturlar ilə müqayisə etsək, görərik ki,

onlar bir-birindən yalnız başlanğıc qiymətin seçilməsi ilə fərqlənirlər,

beləki birinci halda 0x olaraq parçanın son b ucu, ikinci halda isə a

ucu götürülür.

Kökün başlanğıc qiymətinin seçilməsində aşağıdakı qaydanın

götürülməsi zəruridir: başlanğıc nöqtə olaraq ],[ ba parçasının o ucu

götürülür ki, bu zaman funksiyanın işarəsi ilə ikinci tərtib törəmənin

işarəsi üst-üstə düşür.Birinci halda 0)()( xfbf və başlanğıv nöqtə

,0xb ikinci halda 0)()( xfaf və başlanğıc yaxınlaşma olaraq

0xa götürülür.

Xətanın qiymətləndirilməsi üçün ümumi

m

xfx

n

n

)(

düsturundan istifadə etmək olar, burada )(min],[

xfmba

.

Misal . Toxunanlar üsulu ilə 0424 xx tənliyinin 01,0

dəqiqliklə müsbət kökünü tapın.

Həlli. Burada ,42)( 4 xxxf ,24)( 3 xxf .12)( 2xxf

81

Beləki 7,10 x olduqda )(xf və )(xf eyni işarəyə malik olurlar,

yəni 0952,0)7,1( f və 0)7,1( f , onda

)(

)(

0

001

xf

xfxx

düsturunu tətbiq edək,burada 652,1727,14)7,1( 3 f . Onda

646,1652,17

952,07,11 x .

Toxunanlar üsulunu yenə də tətbiq edək. Beləki

)(

)(

1

112

xf

xfxx

,

burada 048,0)646,1()( 1 fxf , 838,15)646,1( f . Onda

643,1838,15

048,0646,12 x .

Analoji olaraq tapırıq:

6427,1740,15

004,0643,1

)(

)(

2

223

xf

xfxx .

Nəticədə, 01,0 dəqiqliklə axtarılan kök 64,1 olar.

İterasiya üsulu (ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu)

Tutaq ki, 0)( xf tənliyi verilmişdir, burada )(xf kəsilməz

funksiyadır. Bu tənliyin ],[ ba parçasında qeyd olunmuş həqiqi

kökünün təyin olunması tələb olunur.

0)( xf tənliyini onunla eynigüclü olan

)(xx (1)

tənliyi ilə əvəz edək. Hər hansı üsul ilə ],[0 bax -ni seçək və onu (1)

tənliyinin sağ tərəfində nəzərə alsaq, )( 01 xx alarıq. Sonra 1x

qiymətini yenə (1) tənliyinin sağ tərəfinə yazsaq, )( 12 xx alarıq.

Bu prosesi davam etdirsək, )( 1 nn xx ədədlər ardıcıllığını almış

olarıq. Burada aşağıdakı iki hala rast gəlmək olur:

82

1) ,...,...,, 10 nxxx ardıcıllığı yığılır, yəni limiti var və bu limit

0)( xf tənliyinin kökü olur;

2) ,...,...,, 10 nxxx ardıcıllığı dağılır, yəni onun limiti yoxdur.

İterasiya prosesinin yığılması prosesinin şərtlərini ifadə edən

aşağıdakı teoremi isbatsız qəbul edək:

Teorem. Tutaq ki, )(xx tənliyi ],[ ba parçasında yeganə

kökə malikdir və bu parçanın bütün nöqtılırində )(xf törəməsi

1)( qx bərabərsizliyini ödəyir. Əgər bu zaman bxa )(

şərti ödənirsə, onda iterasiya prosesi yığılır və sıfırıcı 0x

yaxınlaşması üçün ],[ ba parçasından ixtiyari ədədi götürmək olar.

Axırıncı şərt bütün ,...,...,, 10 nxxx yaxınlaşmalarının ],[ ba

parçasına daxil olduğunu göstərir. )(x ifadəsi nə qədər kiçik

olarsa, iterasiya prosesi bir o qədər yaxşı olar.

Misal . 0lg2 xx tənliyinin 0,001 dəqiqliklə kökünün

təqribi qiymətlərini tapın.

Həlli. Tənliyin həqiqi kökünün izolə edildiyi intervalı tapaq.

Verilən tənliyi 2lg xx şəklində yazaq və xy lg ,

2 xy funksiyalarının qrafiklərini quraq. Bu qrafiklərin

kəsişdiyi M nöqtəsinin absisi ]2,1[ parçasında yerləşir. Onda x -in

başlanğıc qiyməti olaraq 10 x götürək.

Verilən tənliyi xx lg2 kimi yazaq.Burada xx lg2)( ,

x

ex

lg)( , yəni ]2,1[ parçasında 1)( x , deməli iterasiya

üsulunu tətbiq etmək olar. Onda birinci təqribi qiyməti tapaq:

21lg2lg2 01 xx .

Analoji olaraq digər yaxınlaşmaları tapırıq:

6990,13010,02lg2 12 xx ;

7698,12302,026990,1lg23 x ;

7520,12480,027698,1lg24 x ;

7565,12435,027520,1lg25 x ;

83

7555,12445,027565,1lg26 x ;

7556,12444,027555,1lg27 x .

Beləliklə, axtarılan kök 755,1x olar.

3. 05123 xx . 4. 0742 23 xxx .

5. Birdəyişənli funksiyalar

5.1.Ədədi aralıqlar. Elementləri müəyyən həqiqi ədədlərdən təşkil olunmuş çoxluğa ədədi çoxluq deyilir və onun aşağıdakı növlərini qeyd edək:

01 .Parça və ya seqment: bxaxba |],[ . 02 . İnterval: bxaba ),( . 03 . Yarıminterval (yarımparça):

bxaxba |),[ , bxaxba |],( . 04 . Sonsuz interval( sonsuz ədədi aralıq):

xx |),( , xx |],( , xx |),( ,

xx |),[ .

Həndəsi olaraq belə çoxluqlara ədəd oxu üzərindəki şüa kimi baxmaq olar. R həqiqi ədədlər çoxluğu da sonsuz ədədi aralıq adlanır və

),( R kimi yazmaq olar. Qeyd edək ki, yuxarıdakı çoxluqlara

aralıqlar da deyilir.

c nöqtəsini öz daxilinə alan ),( ba intervalına bu nöqtənin

ətrafı deyilir. Xüsusi halda 0 üçün ),( cc intervalına

)( cx c nöqtəsinin -ətrafı deyilir.

Sonsuz uzaqlaşmış nöqtənin, yəni "" -un ətrafı dedikdə, R 0

84

üçün x şərtini ödəyən bütün x həqiqi ədədlər çoxluğunu başa

düşəcəyik. 5.2.Məhdud və qeyri-məhdud ədədi çoxluqlar. Ədədi çoxluğun dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədləri. (d.a.s.;d.y.s.) Tutaq ki,

xA hər hansı ədədi çoxluqdur.

Tərif 1. M (və ya Rm ) varsa ki, A çoxluğuna daxil olan x

ədədi üçün Mx (və ya mx ) bərabərsizliyi ödənilsin, onda A çoxluğuna yuxarıdan məhdud (aşağıdan məhdud) çoxluq deyilir. M ədədinə (m ədədinə) isə A -nın yuxarı sərhədi (aşağı sərhədi) deyilir. Eyni zamanda yuxarıdan və aşağıdan məhdud olan çoxluğa məhdud çoxluq deyilir: Aydındır ki, yuxarı və aşağı sərhədlər sonsuz saydadır. Tərif 2. A çoxluğunun yuxarı sərhədlərinin ən kiçiyinə (aşağı sərhədlərin ən böyüyünə) onun d.y.s. (d.a.s.) deyilir və Asup və ya

xsup ( Ainf və ya xinf ) kimi işarə olunur. ( sup -supremum, inf -

infimum).

Aydındır ki, əgər xM sup* olarsa, onda aşağıdakı şərtlər ödənilər: 01 . Ax üçün *Mx olar, 02 . 0 ədədi üçün, Ax ədədi var ki,

*Mx .

Eyni qayda ilə xm inf* olarsa, onda 01 . Ax üçün *mx olar, 02 . 0 ədədi üçün Ax ədədi var ki,

*mx .

Qeyd edək ki, çoxluğun d.y.s. və ya d.a.s. çoxluğun özünə daxil ola da bilər, olmaya da bilər. Çoxluğun d.y.s.(d.a.s.) özünə daxil olduqda, çoxluğun ən böyük elementi (ən kiçik elementi) olur və xmax

( xmin ) kimi işarə olunur, aydındır ki, bu zaman xx maxsup

( xx mininf ) olur.

Teorem. Yuxarıdan (aşağıdan) məhdud olan hər bir çoxluğun dəqiq yuxarı (aşağı) sərhədi vardır.

5.3.Həqiqi ədədin mütləq qiyməti. x həqiqi ədədinin mütləq qiyməti

(modulu) x kimi işarə olunan və aşağıdakı kimi təyin olunan mənfi

olmayan ədədə deyilir:

85

0,

0,

xx

xxx .

Məsələn, 33 , 55 və s.

Mütləq qiymətin tərifindən çıxır ki, Rx üçün xxx .

Həndəsi olaraq ədədin mütləq qiyməti həmin ədədin ədəd oxunda

başlanğıc nöqtədən olan məsafəsini ifadə edir.

Ryx , və R 0 üçün aşağıdakı xassələr ödənilir:

1. yxyx . 2. yxyx .

3. yxxy . 4.

)0( yy

x

y

x.

5. xx . 6. x x və ya x .

5.4 Birdəyişənli funksiya

Tutaq ki, D və E ixtiyari iki həqiqi ədədlər çoxluğu dur. x -in D -dən

olan hər bir qiymətinə y -in E -dən olan yeganə bir qiymətini qarşı

qoyan qayda məlumdursa, onda deyirlər ki, D çoxluğunda funksiya

verilmişdir.

Funksiyanı ),...(),(),( xyxhyxfy və s. şəklində işarə edirlər.

x -ə sərbəst dəyişən (və ya arqument), y -ə isə asılı dəyişən (və ya

funksiya) deyilir. D -yə bu funksiyanın təyin oblastı, E -yə isə

qiymətlər oblastı deyilir.

Funksiyanın verilmə üsulları: analitik, cədvəl, qrafik,sözlə.

Sözlə verilən aşağıdakı bəzi funksiyaları qeyd edək:

1) Dirixle funksiyası:

olduqdairrasionalx

olduqdarasionalxxD

,0

,1)( .

2) ][xy - x ədədinin tam hissəsi, beləki, ][x ilə x -i aşmayan

86

ən böyük tam ədəd işarə olunur: 2]3,2[ , ][ =-4.

3) xy - x ədədinin kəsr hissəsi adlanır və ][xxxy :

00 , 0...21 n , 37,037,1 , 7,023,13,1 .

Əgər )(tx funksiyası T çoxluğunda təyin olunub və onun

qiymətlər çoxluğu )(xfy funksiyasının təyin oblastına daxildirsə,

onda ))(( tfy funksiyasına t dəyişəninin T çoxluğunda təyin

olunmuş mürəkkəb funksiyası deyilir.

)(xfy funksiyası Dxx 21, üçün 21

xx şərtini ödəyən 1

x və 2

x

ədədləri üçün

))()(,)()(,)()(()()( 21212121 xfxfxfxfxfxfxfxf

şərtini ödəyərsə, onda )(xf -ə D oblastında azalmayan (artan,

artmayan, azalan) funksiyalar deyilir. Bu funksiyalar D -də monoton

funksiyalar adlanır. Artan və azalan funksiyalara ciddi monoton

funksiyalar deyilir.

Əgər elə )(mM ədədi varsa ki, bütün Dx üçün Mxf )(

( mxf )( ) olsun, onda )(xf D çoxluğunda yuxarıdan (aşağıdan)

məhdud funksiya adlanır. Yuxarıdan və aşağıdan məhdud funksiya

çoxluqda məhdud funksiya adlanır. D çoxluğunda hər bir məhdud

)(xf funksiyası üçün elə 0A ədədi tapmaq mümkündür ki, bütün

Dx üçün Axf )( olsun.

Əgər y -in E oblastındakı hər bir qiymətinə D oblastında x -in yalnız

bir qiyməti uyğun gələrsə, bu uyğunluğu ifadə edən )(yx

funksiyasına )(xfy funksiyasının tərs funksiyası deyilir. )(xfy

funksiyası da )(yx funksiyasının tərsidir. Tərs funksiyanı bəzən

)(1 yfx kimi də işarə edirlər

)))((;)((( 11 xxffDxyyffEy . Qarşılıqlı tərs

funksiyaların qrafikləri I və III koordinat rübünün tənböləninə

)( xy nəzərən simmetrikdirlər.

Monoton funksiyanın monoton tərs funksiyası vardır.

Əgər )()( xfxf olarsa, funksiya cüt, )()( xfxf olarsa, tək

adlanır. Cüt funksiyaların qrafikləri ordinat oxuna nəzərən, tək

funksiyaların qrafikləri isə koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik

olur.

87

Əgər elə 0T ədədi varsa ki, )(xf funksiyasının təyin oblastına

daxil olan Tx və Tx qiymətləri üçün )()()( xfTxfTxf

şərti ödənilsin, onda )(xf dövrü funksiya adlanır. T ədədinə onun

dövrü deyilir. Əgər T ədədi f funksiyasının dövrüdürsə, onda aşkardır

ki, kT ədədləri də onun dövrləri olacaq, burada k ədədi 0-dan fərqli

istənilən tam ədəddir. Əgər )(xf T dövrlü funksiyadırsa, onda 0a

olduqda )( baxf funksiyası aT / dövrünə malik olacaqdır.

Dövrü )sin()( xAxf funksiyası, amplitudu A , tezliyi

, başlanğıc fazası olan funksiyadır. Beləki, xsin funksiyasının

dövrü 2 -dir, onda )sin( xA funksiyasının dövrü /2T

olacaqdır.

Aşağıdakı kimi təyin olunan hiperbolik funksiyaları və onların bəzi

xassələrini qeyd edək:

2

xx eeshx

- (hiperbolik sinus),

2

xx eechx

- (hiperbolik

kosinus),

xx

xx

ee

eethx

- (hiperbolik tangens),

xx

xx

ee

eecthx

(hiperbolik kotan-

gens).

122 xshxch , 212121

)( shxchxchxshxxxsh , shxchxxsh 22 ,

212121)( shxshxchxchxxxch , xchxshxch 222 ,

shxxsh )( , chxxch )( , chx

shxthx ,

shx

chxcthx .

1. )1/()1()( xxxf olduqda ,1)(),1(),(),0( xfxfxff ),/1( xf )(/1 xf -

i tapın.

2.

x

xxxf x 0,2

0,1)( olduqda )2(f , ),1(f )1(f , )2(f -ni tapın.

3. cbxaxxf 2)( şəklində elə funksiya tapın ki, 5)0( f , 10)1( f ,

6)1( f olsun. 5)0( f

4. 54

)( xx

xf şərtini ödəyən nöqtələrdə 2

2

16)( x

xxf funksiyasının

qiymətlərini tapın.

88

5. 1)( 3 xxf olduqda, ),1(f ),(af )2(2),1(),1( afafaf - nı tapın.

6. 2/)()( xx aaxf oa olduqda, )()( yxfyxf

)()(2 yfxf olduğunu göstərin.

7. 1)( 3 xxf olduqda, )())/())()(( ababafbf və )2/)(( haf -ni tapın.

8. 15)0( f , 30)2( f , 90)4( f olduqda, xbcaxf )( )0( c

şəklində funksiyanı tapın.

9. xxf )( , 2)( xxg . ?))(( xgf ?))(( xfg

Həlli. xxxgf 2))(( , xxxfg 2)())(( , 0x .

10. 2)( xx , xx 2)( olduqda, ))(( x və ))(( x -i tapın.

11. 6)( 2 xxf , xx 5)( olduqda, )()( xxf tənliyini həll edin.

12. ][1)( xxf üçün )9,0(f , )99,0(f , )999,0(f , )1(f -i tapın.

13. xx sgn)( və xx /1)( olarsa, ))(( x və ))(( x

funksiyasının analitik ifadəsini təyin edin.

14. Hiperbolik funksiyaların qiymətlərini hesablayın:

a) 0sh , b) 0ch , ç) 0th , c) 1sh , d) )2(lnch .

15. )1/()13()( 2 xxxf funksiyasının təyin oblastını tapın.

Həlli. Verilmiş funksiya məxrəcin sıfırdan fərqli qiymətlərində təyin

olunub: 1012 xx .

Deməli, );1()1;1()1;()( fD .

Aşağıdakı funksiyaların təyin oblastlarını tapın:

16. )1/( xxy . 17. )86/()1( 23 xxxy .

18. )/(1 xxy . 19. 3 2 1 xy ,

20.xxy 32 . 21. xxy 61 .

22. 4/)5lg( 2xxy . 23. 5logxy .

24. )sin24/(3arccos xy . 25. xxy /1 .

26. )arcsin(log2

xy . 27. xy 432 logloglog .

28. 1f və 2f funksiyaları aşağıdakı düsturlarla verildikdə 1f , 2f və 21 ff

funksiyalarının təyin oblastlarını tapın:

a) 41 3)( xxf , 1)(2 xxf

89

b) 2

1 1)( xxf , 32

12)(

x

xxf .

29. )(xf funksiyası ]1;0[ parçasında təyin olunub, onda aşağıdakı

funksiyaların təyin oblastını tapın:

a) )3( 2xf , b) )5( xf , c) )(tgxf , d) )(sin xf , e) )32( xf .

Aşağıdakı funksiyaların qiymətlər çoxluqlarını tapın:

30. a) 14)( 2 xxxf . b) 21 x

xy

.

Həlli.a) Beləki, 3)2(14 22 xxx , burada bütün x -lər üçün

0)2( 2 x , onda x üçün 3)( xf , yəni );3[)( fE .

b) x -ə nəzərən həll etsək, alarıq:y

yx

2

411 2 . y funksiyasının

dəyişmə oblastı 041 2 y münasibəti ilə təyin olunur, onda 2/12/1 y .

31. a) xxf cos53)( . b) x

y3cos2

1

.

Həlli. a) ]1;1[)(cos xE , onda ]5;5[)cos5( xE . Beləliklə,

3cos5)( xxf və ]8;2[)( fE .

b) y

yx

123cos

və 13cos1 x olduğundan, onda 1

121

y

y,

buradan , 0y olduğunu nəzərə alsaq, alarıq:

yyy 12 və ya 13/1 y .

32. 2082 xxy . 33. 7sin2 xy .

34. arctgxy )/1( . 35. 4/1 xy .

36. 25 xy . 37. )12/()1( xxy .

Aşağıdakı funksiyaların tək və ya cüt olub olmadıqlarını araşdırın:

38. xxxf 5)( 4 .

Həlli. )(55)()( 44 xfxxxxxf . Funksiya cütdür.

39.24 5)( xxxf . 40. )1/()( 23 xxxf .

41. xxxf cossin)( . 42. )1/()( 26 xxxf , ]1,(x .

90

43. 11)( xxxf , ),( x .

44. 153 2 xxy funksiyasının ən kiçik qiymətini tapın.

45. 53)( 3 xxxf funksiyasının təyin oblastında artan olduğunu

göstərin.

46. xxxf cossin)( funksiyasının artma və azalma aralıqlarını

tapın. ( Göstəriş: )4/cos(2cossin xxx .)

47. xbxaxf sincos)( funksiyasının ən böyük və ən kiçik

qiymətlərini tapın.

Aşağıdakı funksiyaların əsas dövrünü tapın:

48. xxxxf 5sin3/cos2/sin)( .

Həlli. 2/sin x -nin dövrü 4)2/1(:2 -yə, 3/cos x -ün dövrü

6)3/1(:2 -yə, x5sin -in dövrü 5/25:2 -ə bərabərdir. 6,4 və

5/2 ədədlərinin ən kiçik ortaq bölünəni 12 olduğundan )(xf -in dövrü 12

olacaqdır.

49. xtgy 2 . 50. )2/(xctgy . 51. xy 2sin .

52. xx 44 cossin . 53. xy cos . 54. )(tgxarctgy .

55. )3/)cos((2 xy .

56. )3/(2 xy funksiyasının tərsini tapın.

Həlli. Funksiyanın təyin oblastı );3()3;( -dur və o azalandır, deməli

onun tərsi var. Verilən tənliyi x -ə nəzərən həll edib, sonra x və y -in yerlərini

dəyişsək, tərs funksiya 3/2 xy olar.

Aşağıdakı funksiyaların tərsini və onların təyin oblastını tapın:

57. 32 xy . 58. ,2xy 0 x .

59.32 xy . 60.

x

xy

1.

61. xy 1 , yz cos , 21 zv verilmişdir. v -ni x -in funksiyası

kimi ifadə edin. Qeyri-aşkar şəkildə verilmiş y funksiyasını aşkar şəkildə yazın:

62. 52 xy. 63. 4)1lg(lg yx .

64. 0cos)1( 2 xyx . 65. 7xy . 66. 122 yx , 0y .

91

Aşağıdakı parametrik şəkildə verilmiş funksiyalar üçün y dəyişənini

x dəyişəninin funksiyası kimi ifadə edin:

67.

tty

tx

22, ),( t .

68.

tty

tx

73

22

, ),( t .

69.

,

4 246

2

ttty

tx).,( t 70.

sin

cos

by

ax, ),0( t .

5.5. Ədədi ardıcıllıq və onun limiti. Təyin oblastı bütün N natural

ədədlər çoxluğu olan f ədədi funksiyasına ədədi ardıcıllıq deyilir.

Yəni, hər bir natural n ədədinə müəyyən bir nx həqiqi ədədini qarşı

qoyma qaydası məlumdursa, deyirlər ki, ,...,...,, 21 nxxx ədədi ardı-

cıllığı (və ya sadəcə ardıcıllıq) verilmişdir, yəni ardıcıllığı ),( nxn

ədədlər cütünün çoxluğu kimi təyin etmək olar.

Başqa sözlə, ədədi ardıcıllıq natural arqumentli )(nfxn funksiyası

deməkdir.

Ardıcıllığı qısa olaraq }{ nx ; Nnxn , və s.kimi işarə edirlər.

,...,...,, 21 nxxx ədədləri ardıcıllığın uyğun olaraq 1-ci, 2-ci və s. n -ci

(ümumi) hədləri, n,...,2,1 isə nömrələri adlanır.

Ədədi ardıcıllığın verilmə üsulları:

1. Ardıcıllıq, onun n nömrəli həddinə görə n

x qiymətinin

hesablanmasını

göstərən düsturun köməyilə verilə bilər, məsələn, .,5 Nnx n

n

2.Ardıcıllığın ümumi həddinin əvvəlki hədlərə görə hesablamağa

imkan verən düsturun verilməsi (rekurrent üsul), məsələn,

.0,1,2 2121 aaxxx nnn

3.Bəzi hallarda ardıcıllıq sözlə,yəni onun hədlərinin təsviri ilə verilə

bilər.

Bütün hədləri öz aralarında bərabər qiymətlər alan ardıcıllıq

stasionar (sabit) ardıcıllıq adlanır: ;...1;1;1

Nə artan, nə azalan ardıcıllığa rəqs edən ardıcıllıq deyilir:

92

;...1;1;1;1

Ardıcıllıqlar natural arqumentli funksiyalar olduqlarına görə

funksiyalar üçün verilən məhdudluq, monotomluq anlayışları

ardıcıllıqlar üçün də oxşar qayda ilə verilir.

Tərif. M və m sonlu ədəd olmaqla Nn üçün )( mxMx nn

şərti ödənilərsə, nx -ə yuxarıdan məhdud (aşağıdan məhdud)

ardıcıllıq deyilir.

Tərif. Nn üçün Mxm n ödənilərsə, nx -ə məhdud

ardıcıllıq deyilir.

Tutaq ki, MmA ,max . Onda məhdud ardıcıllığı Axn

kimi yazmaq olar.

Tərif. Əgər 0A ədədinə qarşı nx ardıcıllığının nx

elementi varsa ki, Axn (və ya Axn və ya Axn )

bərabərsizliyi ödənsin, onda ona qeyri-məhdud ardıcıllıq deyilir.

Məsələn, Nnn , ardıcıllığı aşağıdan məhdud, yuxarıdan

məhdud deyil, ,...,...,3,2.1 n ardıcıllığı yuxarıdan məhdud,

aşağıdan məhdud deyil,

n

1 ardıcıllığı məhduddur, beləki onun

istənilən elementi 10 nx ( ,0m )1M bərabərsizliyini ödəyir,

,...)1(,...,5,4,3,2,1 nn ardıcıllığı isə qeyri-məhduddur, çünki, bu

ardıcıllığın istənilən A elementi üçün Axn bərabərsizliyi ödənilir.

Tərif. Əgər 0 ədədinə qarşı )( NN nömrəsi varsa

ki, Nn şərtini ödəyən bütün nömrələri üçün }{ nx ardıcıllığının

hədləri axn şərtini ödəsin, onda a ədədinə nx ardıcıllığının

limiti deyilir və

axnn

lim və ya )( naxn

şəklində yazılır.

Bu tərifi məntiqi simvollardan ( - ümumilik kvantoru

(“istənilən” sözü əvəzinə), -varlıq kvantoru (“tapılır ki” sözü

əvəzinə), -ekvivalentlik simvolu) istifadə edərək belə yazmaq

olar:

)lim(:))(()(0( axaxNnNN nn

n

.

93

Məsələn, ardıcıllığın tərifindən istifadə edərək 11

lim n

n

n

olduğunu isbat edək. 0 ədədini götürək.Beləki

1

11

11

nn

nxn , onda 1nx bərabərsizliyini ödəyən n -

in qiymətlərini tapmaq üçün aşağıdakı bərabərsizliyi həll etmək

kifayətdir:

1

1

1n

n .Onda

1N . Beləliklə, bütün Nn üçün 1nx bərabərsizliyi

ödənəcəkdir. Bununla da verilən limitin doğruluğu isbat olunur.

Tərif. Limiti olan ardıcıllıq yığılan, limiti olmayan ardıcıllıq

dağılan ardıcıllıq adlanır

Qeyd1. Tərifdəki axn bərabərsizliyi axa n

bərabərsizliyi ilə ekvivalentdir, yəni nx elementi a nöqtəsinin

ətrafında yerləşir. Beləliklə, əgər nx ardıcıllığı a ədədinə yığılırsa,

onda həndəsi olaraq bu o deməkdir ki, verilmiş ardıcıllığın müəyyən

nömrədən başlayaraq bütün hədləri a nöqtəsinin hər bir -ətrafına

( axa n ) daxildir, yalnız sonlu sayda həddi isə onun xaricində

qalır.

Yığılan ardıcıllığın aşağıdakı xassələri vardır:

X1. Yığılan ardıcıllığın limiti yeganədir.

X2. (zəruri şərt) Yığılan ardıcıllıq məhduddur.

X3. Yığılan ardacıllıqlar üçün aşağıdakı teoremlər doğrudur:

nn

nn

nnn

yxyx

limlim)(lim ,

)(limnn

nyx

nn

nn

yx

limlim ,

nn

nn

n

n

n y

x

y

x

lim

limlim , 0lim

n

ny

n

nn

nxccx

lim)(lim

).( constc X4. Yığılan nx ardıcıllığının bütün hədləri üçün

0nx 0lim

nn

x .

X5. Əgər yığılan nx və ny -nin bütün hədləri üçün nn yx

olarsa, onda nn

nn

yx

limlim olar.

94

X6. Nn üçün nnn zyx və azx nn

nn

limlim aynn

lim .

Tərif. Nn üçün 1 nn xx ( 1 nn xx ) olarsa, nx -ə artan (azalma-

yan), 1 nn xx ( 1 nn xx ) olarsa, onda azalan (artmayan) ardıcıllıq

deyilir.

Bu ardıcıllıqlara monoton, artan və azalan ardıcıllığa isə ciddi

monoton ardıcıllıq deyilir.

Məsələn, n/1 azalan və məhdud,

,.../1,/1,...,3/1,3/1,2/1,2/1,1,1 nn artmayan və məhdud, n artan və

qeyri-məhdud, ,...,,...,,3,3,2,2,1,1 nn azalmayan və qeyri-məhdud,

1n

n isə artan və məhdud ardıcıllıqlardır.

T1. (Veyerştras teoremi(kafi şərt)): Hər bir monoton məhdud

ardıcıllığın limiti var.

T2. Monoton ardıcıllığın yığılan olması üçün onun məhdud

olması zəruri və kafi şərtdir.

n

n)

11( ardıcıllığı sonlu limitə malikdir və onu e ədədi ilə

adlandırırlar:

...828281718,2)1

1(lim

en

n

n

5.6. Funksiyanın limiti

Tutaq ki, )(xfy funksiyası a nöqtəsinin hər hansı ətrafında

təyin olunmuşdur ( a nöqtəsinin özü istisna ola bilər).

Tərif.Əgər verilmiş istənilən qədər kiçik 0 ədədinə qarşı

0)( tapmaq mümkündürsə ki, )(xf funksiyasının təyin oblas-

tındakı ax0 şərtini öləyən istənilən ax üçün Axf )(

bərabərsizliyi ödənilsin, onda Aədədinə ax şərtində )(xf funksi-

yasının limiti deyilir və

Axfax

)(lim və ya Axf )( ( )ax

kimi yazılır.

Məntiqi simvollardan istifadə edərək bu tərifi belə də yaza

bilərik:

Axfaxax )():)(0)()(0(

95

))(lim( Axfax

.

Nöqtədə funksiyanın limitinin həndəsi mənasına baxaq.

Baxdığımız Axf )( bərabərsizliyi AxfA )( ikiqat

bərabərsizliyi ilə ekvivalentdir, qrafikin eni 2 olan sahədə yerləşmiş

hissəsinə uyğundur. Analoji olaraq ax bərabərsizliyi a

nöqtəsinin -ətrafına düşən x nöqtələ-

rinə uyğun axa ikiqat bəra-

bərsizliyi ilə eynigüclüdür.

Əgər Axf )(

bərabərsizliyi ax0

( xa0 ) şərtini ödəyən x -lər

üçün ödənirsə, onda Aədədinə )(xf

funksiyasının ax nöqtəsində sağ

limiti (sol limiti) adlanır :

Aafxfax

)0()(lim0

( Aafxfax

)0()(lim0

).

Sol və sağ limitlər birtərəfli limitlər, adi limit isə bəzən

ikitərəfli adlanır.

Birtərəfli limitləri 0x şərtində öyrəndikdə, sol limiti

sadəcə olaraq )0()(lim0

fxfx

, sağ limiti isə )0()(lim0

fxfx

kimi

yazırlar.

Əgər

Axfax

)(lim (1)

limiti varsa, onda birtərəfli limitlər var və

Aafaf )0()0( . (2)

Bu təklifin tərsi də doğrudur: (2) varsa, onda (1) də var.

Məsələn,

0,

0,)(

xx

xxxxf , Rx funksiyasının 0x olduqda

limitini hesablayaq.

Beləki birtərəfli limitlər 0)(lim)0(0

xfx

, 0lim)0(0

xf

x-dır və

)0()0( ff . Bu isə odeməkdir ki, )(xf funksiyasının sıfır

nöqtəsində limiti var və onların ortaq qiymətinə bərabərdir, yəni

0lim)(lim00

xxfxx

.

2

2

O

96

İndi isə

1,2

1,)(

3

xx

xxxf , Rx funksiyasının 1x nöqtəsində

limiti hesablayaq. Bu funksiyanın birtərəfli limitləri

1)(lim)01( 3

01

xf

x, 3)2(lim)01(

01

xf

x kimidir və

)01()01( ff deməli, verilmiş funksiyanın 1x nöqtəsində limiti

yoxdur.

Tərif. Əgər verilmiş 0 ədədinə qarşı 0)( NN ədədi

varsa ki, Nx şərtini ödəyən bütün x -lər üçün Axf )(

bərabərsizliyi ödənilsin, onda Aədədinə x şərtində funksiyanın

limiti deyilir və

Axfx

)(lim və ya Axf )( ( x )

kimi yazılır.

Məntiqi simvollardan istifadə edərək bu tərifi belə də yaza

bilərik:

))(lim()():)(0)()(0( AxfAxfNxxNNx

.

Tutaq ki, )(xf və )(x funksiyalarının ax ( x )

şərtində limitləri vardır: ,)(lim)(

Axfax

Bxax

)(lim)(

. Limitlər

haqqında əsas teoremləri qeyd edək:

T1. Funksiyanın nöqtədə limiti varsa, bu limit yeganədir.

T2. Funksiyanın nöqtədə limiti varsa, onda həmin nöqtənin

özü müstəsna olmaqla, kifayət qədər yaxın ətrafında funksiya

məhduddur.

T3. (işarənin saxlanması) Axfax

)(lim)(

və )0(0 AA isə,

onda a nöqtəsinin -ətrafı var ki, bu ətrafdan olan bütün x -lər

üçün 0)( xf ( 0)( xf ) olur.

T4.(aralıq funksiyanın limiti) Əgər a nöqtəsinin müəyyən bir -

ətrafında )()()( xxgxf və Axxfaxax

)(lim)(lim)()(

olarsa,

onda Axgax

)(lim)(

.

X1. ccax

)(

lim ( constc ).

X2. cAxcfxx

))((lim)(0

97

BAxxfxxfaxaxax

)(lim)(lim)]()([lim)()()(

;

)(lim)(lim)]()([lim)()()(

xxfxxfaxaxax

AB

;

B

A

x

xf

ax

ax

ax

)(

)(

)( lim

lim

)(

)(lim ( )0B .

Funksiyaların limitlərinin hesablanmasında aşağıdakı

limitlərdən geniş istifadə edilir:

1. 1sin

lim0

x

xx

(birinci görkəmli limit).

Birinci görkəmli limiti isbat etmək üçün mərkəzi O

nöqtəsində və radiusu R olan dairəyə baxaq. Tutaq ki, OB hərəkət

edən radiusu Ox oxu ilə x (2

0

x ) bucağı əmələ gətirir. Onda

şəklə görə yaza bilərik:

AOCAOBsekAOB SSS . ,

burada xRS AOB sin2

1 2 ,

xRS AOBsek

2

.2

1 , ACAOS AOC

2

1

tgxRAOtgxAO 2

2

1)(

2

1 ,

onda

xx

x

cos

1

sin1 və ya 1

sincos

x

xx

yaza bilərik.Beləki xcos və x

xsin funksiyaları cütdür, onda alınmış

bərabərsizlik 02

x olduqda da doğrudur. Beləliklə, aralıq

funksiyaların limitinin varlığına əsasən 0x şərtində birinci

görkəmli limiti alarıq.

2.

x

x x)

11(lim

1

01lim

...71828,2 e (ikinci

görkəmli limit). Funksiyaların limitlərinin hesablanmasında bəzən aşağıdakı

A O

C

x

y

B

x

98

limitlərdən də istifadə etmək səmərəli olur:

ax

xa

x ln

1)1(loglim

0

)10( a ,

ax

a x

xln

1lim

0

( 0a ), m

x

x m

x

1)1(lim

0,

mn

nx

xe

x

m

1lim

0, a

x

ax

x

)1ln(lim

0.

İlk iki düsturda ea qəbul etsək, alarıq:

1)1ln(

lim0

x

x

x , 1

1lim

0

x

ex

x.

Sonlu 0)(lim

Axfax

, Bxax

)(lim limitləri üçün

BABf

ax

axAeef

lnlnlim

lim

münasibəti doğrudur.

Əgər 1)(lim

xfax

və

)(lim xax

olarsa, onda

]1[lim

limf

ax

axef

bərabərliyi doğrudur.

Əgər a nöqtəsinin hər hansı ətrafında 0)(lim

xfax

və

Nx )( olarsa, onda 0)]()([lim

xxfax

olar.

5.7. Sonsuz kiçilən və sonsuz böyüyən funksiyalar

Tərif. 0 ədədi üçün 0)( ədədi varsa ki,

)(0 ax şərtini ödəyən bütün x -lər üçün )(xf olsun,

onda )(xf funksiyası ax şərtində sonsuz kiçilən funksiya adlanır

və simvolik olaraq 0)(lim

xfax

kimi yazılır.

Bu tərifi məntiqi simvollarla belə yaza bilərik:

)():)(0)()(0()0)(lim( 00 xxxxxxfax

.

Analoji olaraq x şərtində sonsuz kiçilən funksiyanın tərifini yaza

99

bilərik:

)():)(0)()(0()0)(lim( xSxxSSxfx

.

Məsələn, xy cos funksiyası 2

x şərtində və

72

3

xy isə x

şərtində sonsuz kiçilən funksiyalar və ya onların limiti sıfra

bərabərdir.

Teorem (sonsuz kiçilən kəmiyyətlə funksiya limiti arasında əlaqə).

Əgər Axx

)(0

lim varsa, onda bu limiti A ədədi ilə 0xx ( x )

şərtində )(x sonsuz kiçilən kəmiyyətinin cəmi şəklində göstərmək

olur:

)()( xAxf . (1)

Bu teoremin tərsi də doğrudur.

Tərif. 0M

ədədi üçün 0)( M ədədi varsa ki, 00 xx

şərtini ödəyən bütün x -lər üçün Mxf )( olsun, onda )(xf

funksiyası 0xx şərtində sonsuz böyüyən funksiya adlanır və

)(lim0

xfxx

kimi işarə olunur.

Bu tərifi məntiqi simvollarla belə yazmaq olar:

(

)(lim0

xfxx

)

MxfxxxxMM )():)(0)()(0( 00 .

Əgər bu tərifdə Mxf )( (və ya Mxf )( ) olarsa, onda

)(lim0

xfxx

( və ya

)(lim0

xfxx

) kimi yazırlar.

Analoji olaraq x şərtində sonsuz böyüyən funksiyanın

tərifini belə yaza bilərik:

))(lim(

xfx

MxfSxxMSSM )():)(0)()(0( .

Məsələn, tgxy funksiyası 2

x şərtində, 75 xy isə

x şərtində sonsuz böyüyəndir.

Sonsuz böyüyən və sonsuz kiçilən funksiyaların bəzi xassələrini qeyd

edək:

X1. Sonsuz böyüyən funksiya ilə məhdud funksiyanın hasili

sonsuz böyüyən funksiyadır.

X2. Sonlu sayda sonsuz böyüyən funksiyaların hasili sonsuz

100

böyüyən funksiyadır.

X3. Sonlu sayda sonsuz kiçilən funksiyaların cəmi də sonsuz

kiçilən funksiyadır.

X4. Sonsuz kiçilən funksiyanın məhdud funksiya ilə hasili

sonsuz kiçilən funksiyadır.

X5. Sonlu sayda sonsuz kiçilən funksiyaların hasili də sonsuz

kiçilən funksiyadır.

X6. Əgər ax şərtində )(xf sonsuz kiçilən funksiyadırsa,

onda )(/1 xf funksiyası sonsuz böyüyəndir.

X7. Əgər ax şərtində )(xf sonsuz böyüyən

funksiyadırsa, onda )(/1 xf funksiyası sonsuz kiçiləndir.

ax şərtində sonsuz kiçilən )(x və )(x funksiyalarınin

müqayisəsi üçün aşağıdakı hallar mümkündür:

.10 0)(/)(lim

xxax

olarsa, )(x -ə )(x -ə nəzərən daha

yüksək tərtibli sonsuz kiçilən deyilir və ))(()( xox şəklində

yazılır və “ )(x bərabərdir o kiçik )(x ” kimi oxunur.

.20

)(

)(lim

x

x

ax olarsa, -ya -ya nəzərən aşağı tərtibdən

sonsuz kiçilən deyilir.

.30 0)(/)(lim

Axxax

olduqda )(x və )(x eyni tərtibli sonsuz

kiçilən funksiyalar adlanır və )( O , )( O kimi işarə edirlər.

.40 0))(/()(lim

Axx m

ax olarsa, )(x -ə )(x -ə nəzərən m

tərtibli sonsuz kiçilən funksiya deyilir. Burada )(x əvəzinə )( ax

sonsuz kiçilənini götürsək, 0)/()(lim

Aaxx m

axolduqda )(x -ə

a nöqtəsundə m -tərtibli sonsuz kiçilən funksiya deyirlər.

.50 Əgər )(

)(lim

x

x

ax

olmazsa, və müqayisə oluna bilməyən sonsuz

kiçilənlər adlanırlar.

.60 1)(/)(lim

xxax

olduqda )(x və )(x eynigüclü (ekvivalent)

sonsuz kiçilənlər adlanırlar və )(~)( xx kimi işarə olunur.

Əgər ax şərtində )(~)(),(~)( xxxx olarsa, onda

101

)(/)(lim xxax

)(/)(lim xxax

bərabərliyi doğrudur.

Əsas ekvivalentlik münasibətləri ( )(0)( axx ):

)(~)(sin xx , )(~)( xxtg ,

)(~)(arcsin xx , )(~)( xxarctg ,

axa x ln)(~1)( ( 0a )

)(~))(1ln( xx ,

)(~1)( xe x ,

2

))((~)(cos1

2xx

,

)(~1))(1( xpx p ,

n

xxn

)(~1)(1

.

Qeyd edək ki, bir neçə müxtəlif

dərəcəli sonsuz kiçilənlərin cəmi dərəcəsi

kiçik olan sonsuz kiçilənlə ekvivalentdir,

məsələn:

~sin3~)5(sin3 3 ;3

;16~6162

sin4 3534

;~~5sin2 42 tgtg

~2/)( 2xx .2/x

Əgər 1)( xu və )(xv olarsa,

onda uvxv exu lnlim)()(lim .

5.8. Funksiyanın kəsilməzliyi. Kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı Funksiyanın kəsilməzliyi anlayışı riyazi analizin əsas anlayışlarından biridir. Tərif 1. Tutaq ki, )(xfy funksiyası

0xx nöqtəsində və onun müəyyən ətra-

fında təyin olunmuşdur. Əgər

y

x O

a)

y

x O -1

1

b)

y

x O

1

c)

y

x O

d)

102

)()(lim0

0

xfxfxx

(1)

şərti ödənərsə, y=f(x) funksiyasına 0

xx nöqtəsində kəsilməz funksiya

deyilir. Bu tərifdən görünür ki, y=f(x) funksiyasının

0x nöqtəsində

kəsilməz olması üçün aşağıdakı şərtlər ödənməlidir: I. y=f(x) funksiyası

0x nöqtəsində təyin olunmalıdır,

II.0

xx nöqtəsində bu funksiyanın sonlu limiti olmalıdır,

III. )()(lim0

0

xfxfxx

olmalıdır.

Məsələn, aşağıdakı funksiyaların 0x nöqtəsində kəsilməz-liyini araşdıraq.

a)x

y1

. Bu funksiya 0x nöqtəsində kəsilməz deyil, beləki

kəsilməzliyin 1) şərti, yəni )0(f -ın varlığı ödənmir.

b)

0,1

0,1

xx

xxy . Bu funksiya 0x nöqtəsində kəsilməz

deyil, beləki kəsilməzliyin 1) şərti ödənilir ( 1)0( f ), 2) şərt isə

ödənmir, yəni )(lim0

xfxx

təyin olunmayıb ( yəni 1)(lim0

xfx

sol və

1)(lim0

xfx

sağ limitlər var, ancaq 0x şərtində ümumi limit

yoxdur).

c)

0,1

0,2

x

xxy . 0x nöqtəsində bu funksiya kəsilməz

deyil, beləki kəsilməzliyin 1)-ci ( 1)0( f ) və 2)-ci (sonlu 0)(lim0

xfx

limiti var) şərti ödənilir, 3)-cü əsas şərt isə ödənmir: )0()(lim0

fxfx

.

d) 2xy . Bu funksiya kəsilməzliyin bütün üç şərti

ödəndiyinə görə ( 0)0()(lim0

fxfx

) 0x nöqtəsində kəsilməzdir.

Beləki 00

lim xxxx

, onda (1) bərabərliyini

)lim()(lim00

xfxfxxxx

şəklində yaza bilərik, yəni kəsilməz funksiya üçün funksiya işarəsi ilə limit işarələrinin yerini dəyişmək olar. Tərif2. (“ dilində”): 0 ədədinə qarşı

0)( ədədini tapmaq olarsa ki, f(x)-in təyin oblastına daxil olan,

103

0

xx şərtini ödəyən bütün x -lər üçün )()(0

xfxf bərabər-

sizliyi ödənilsin, onda f(x) funksiyasına 0

x nöqtəsində kəsilməz

funksiya deyilir. Bu tərifi məntiqi simvollarla yazaq:

)()(:),)(0)(0( 00 xfxfxxXx .

İndi isə tərif 1.-in başqa formatda deyilişini yazaq. Bunun üçün (1) bərabərliyini belə yazaq ( )000 xxxx :

0)]()([lim 00)( 0

xfxfxx

. (2)

Burada 0xx fərqi x arqumenti-

nintinin, )()( 0xfxf fərqi isə

funksiyanın 0x nöqtəsində artımı

adlanır və uyğun olaraq x və

y ilə işarə olunurlar. Beləliklə,

(2) bərabərliyini

0lim0

yx

. (3)

kimi yaza bilərik.(3) münasibəti funksiya kəsilməzliyinin yeni tərifidir: Tərif. Funksiyanın 0x nöqtəsində artımı 0x şərtində

sonsuz kiçilən funksiyadırsa, onda ona bu nöqtədə kəsilməz funksiya deyilir. Əgər

)()(lim0

00

xfxfxx

( )()(lim0

00

xfxfxx

)

bərabərliyi ödənilərsə, onda )(xf funksiyasına 0

x nöqtəsində soldan

(sağdan) kəsilməyən funksiya deyilir. Funksiyanın verilmiş nöqtədə kəsilməyən olması üçün zəruri və kafi şərt, bu funksiyanın həmin nöqtədə həm sağdan, həm də soldan kəsilməz olmasıdır.

)(xf funksiyasının 0x nöqtəsində kəsilməz olması üçün zəruri və

kafi şərt

)0()()0(000 xfxfxf

(4) bərabərliyinin ödənilməsidir.

O

)(0

xfyy

)(00

xfy

104

Nöqtədə kəsilməz funksiyanın xassələri:

1.Əgər )(xf və )(xg funksiyaları 0

x nöqtəsində kəsilməyəndirsə,onda

)()( xgxf , )()( xgxf , )(/)( xgxf , )0)(( 0 xg funksiyaları da 0

x

nöqtəsində kəsilməyəndirlər.

2.Əgər )(xfy funksiyası 0x nöqtəsində kəsilməzdirsə və 0)( 0 xf -

dırsa, onda bu nöqtənin elə ətrafı var ki, 0)( xf .

3.Əgər )(ufy funksiyası 0

x nöqtəsində, )(xu funksiyası

isə )(00

xu nöqtəsində kəsilməzdirsə, onda )]([ xfy mürəkkəb

funksiyası 0

x nöqtəsində kəsilməyəndir.

4. Əsas elementar funksiyalar təyin olunduğu oblastın hər bir nöqtəsində kəsilməzdir. f(x) funksiyasına o zaman [a,b] parçasında kəsilməyən funksiya deyilir ki, o ),( ba intervalında kəsilməyən, a nöqtəsində

sağdan kəsilməyən, b nöqtəsində isə soldan kəsilməyən olsun. Parçada kəsilməyən funksiyanın xassələri: T1 (Veyerştrasın 1-ci teoremi). Parçada kəsilməyən funksiya həmin parçada məhduddur. T2 (Veyerştrasın 2-ci teoremi). Parçada kəsilməz funksiya həmin pa-rçada özünün dəqiq yuxarı və dəqiq aşağı sərhəddini alır.

T3 (Bolsano-Koşi). Parçada kəsilməyən funksiya bu parçanın

uclarında müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda bu funksiya parçanın

daxilindəki ən azı bir nöqtədə sıfra çevrilir.

T4. Əgər y=f(x) funksiyası [a,b] parçasında kəsilməzdirsə, bu parçada

özünün ən böyük və ən kiçik qiymətlərini alır.

f(x) funksiyası üçün 0

x nöqtəsində (1) şərti ödənilmədikdə və

ya kəsilməzliyin I-III şərtlərindən hər hansı biri pozulduqda, 0

x

nöqtəsi f(x)-in kəsilmə nöqtəsi adlanır. Deməli 0

x nöqtəsi f(x)

funksiyasının kəsilmə nöqtəsidirsə, onda (4) münasibətindəki bərabərliklərin heç olmasa biri pozulmalıdır. Kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı aşağıdakı kimidir: 1-ci növ kəsilmə nöqtəsi:

Tərif. Əgər 0

x nöqtəsi f(x) funksiyasının kəsilmə nöqtəsidirsə və bu

nöqtədə funksiyanın sonlu )0( 0 xf və )0( 0 xf sol və sağ limitləri

varsa, onda 0

x nöqtəsinə f(x) funksiyasının birinci növ kəsilmə

105

nöqtəsi deyilir:

a) f(x) funksiyasının 0

x kəsilmə nöqtəsində

)()0()0( 000 xfxfxf

münasibəti ödənildikdə, 0

x nöqtəsinə f(x)-in aradan qaldırıla bilən

kəsilmə nöqtəsi deyilir.

b) Funksiyanın 0

x nöqtəsində

)0()0(00 xfxf

münasibəti ödınildikdə, 0

x nöqtəsinə )(xf -in sonlu sıçrayışlı kəsilmə

nöqtəsi deyilir və

)0()0(00 xfxfd

fərqi f(x)-in 0

x nöqtəsindəki sıçrayışı adlanır. d ədədi, 0

x nöqtəsində

f(x) funksiyasının necə dəyişdiyini xarakterizə edir.

Beləliklə, funksiyanın birinci növ kəsilmə nöqtələri aradan

qaldırıla bilən və sonlu sıçrayışlı kəsilmə nöqtələrindən ibarət olur.

2-ci növ kəsilmə nöqtəsi:

Tərif. Əgər )(xf funksiyasının 0

x kəsilmə nöqtəsində )( 00 xf və

)( 00 xf limitlərinin heç olmasa biri yoxdursa ya da sonsuzluğa

bərabərdirsə, onda 0

x nöqtəsinə )(xf funksiyasının ikinci növ

kəsilmə nöqtəsi deyilir.

6.Kompleks ədədlər

6.1. Комплекс ядяд вя комплекс ядядляр цзяриндя ямялляр.

x вя y həqiqi ядяляри васитясиля тяйин олунан iyxz шякlinдя

ифадяйя комплекс ядяд дейилир, бурада i «хяйали ващид»

адланр вя 12 i kimi təyin edilir. iyxz ядядиня комплекс z

ядядинин жябри шякли дейилир.

x вя y щягиги ядядляри z комплекс ядядинин уйьун

олараг щягиги вя хяйали щиссяси адланыр вя символик олараг

zyzx Im,Re

иля ишаря олунур. Re вя Im ишаряляри реалис (щягиги) вя

имаэинарес (хяйали) латын сюзляринин илк ики щярфиндян

ямяля эялмишдир.

iy0 шяклиндя олан кoмплекс ядядя сырf хяйали ядяд

дейилир.

106

iyxz комплекс ядяди iyxz комплекс ядядиня

гошма комплекс ядяд адланыр.

Aйдындыр ки, zz .

Яэяр 111 iyxz вя 222 iyxz верилмишся, онда

212121 , yyxxzz .

Комплекс ядядляр цзяриндя жябри ямялляр ашаьыдакы

дцстурлар васитясиля апарылыр:

)()()()( 2121221121 yyixxiyxiyxzz ,

)()())(( 12212121221121 yxyxiyyxxiyxiyxzz ,

2221212121

22

21

2

1 )()(

yx

iyxxyyyxx

zz

zz

z

z

.

1. x вя y -ин щансы гиймятляриндя

iiyix 54)12()2(

бярабярлийи юдянилир?

Щялли. Верилмиш тянлийин сол тяряфиндя щягиги вя

хяйали щиссяляри груплашдырсаг, аларыг:

iyxiyx 54)2()2( .

Саь вя сол тяряфдяки щягиги вя хяйали щиссяляри

бярабярляшдирсяк, 52,42 yxyx

аларыг. Бурадан, 1x , 2y .

2. 32

3

i

iz

-ц щесаблайын. zRe вя zIm -и эюстярин.

Щялли. Кясрин сурят вя мяхряжини мяхряжин

гошмасына вураг:

7

5

7

3

34

33232

)32)(32(

)32)(3(i

ii

ii

iiz

,

бурадан 7

3Re z ,

7

5Im z .

3. )25)(1( ii -ни щесаблайын. zRe вя zIm -и эюстярин.

Tənlikləri həll edin:

4. a) iiiziz 71)43)(1()21)(1( b) 02 zz .

107

5. )1(7)1()2()1( 2 iyixixi тянлийиндян x вя y -ин

щягиги гиймятлярини тапын.

Kompleks ədədin həqiqi hissəsini tapın:

6. a) 193)21(

ii

iz

, b)

ii

i

i

iz

1

34

43

52

55

.

Kompleks ədədin xəyali hissəsini tapın:

7. a) )111()2( 3 iiz , b) 6

41

32i

i

iz

.

Kompleks ədədləri tapın:

8. a)i

iiz

71

16

,

b)i

i

i

iz

2

)21(

68

125 2

.

9. i

i

i

i

iz

21

22

1

1

1

2

олдугда zRe вя zIm -и тапын.

10. Эюстярилян ямялляри йериня йетирин:

а) )31)(1( ii ; б) )1(2

iii

; ж) i

i

i

221

1.

11. 2

3

2

1i олдугда, 13 олдуьуну эюстярин.

12. zzz Re2 , zizz Im2 олдуьуну эюстярин.

13. 2121 zzzz олдуьуну эюстярин.

14. Ашаьыдакы комплекс ядядлярин жямини, фяргини,

щасилини вя нисбятини тапын:

а) iziz 3,2 21 ; б) iziz 32,32 21 ;

ж) iziz 21,21 21 .

15. Щесаблайын:

а) )4)(53( ii ; б) )32)(85( ii ; ж)

i

i

85

950

.

16. Щесаблайын:

а) 3i ; б) 4i ; ж) 6i ; д) 32i ; е) 65i .

17. Щесаблайын:

108

а) 2

1

1

i; б)

i21

5

; ж)

i

i

1

32; д)

i

i32 ;

е) 15i ; ф) 20)1( i ; ъ) 3)21( i ; щ) 20)1( i .

18.а) iz 127 ; б) iz 43 ; ж) iz 2 ; д) iz

олдугда 1z -и тaпын.

Verilmiş köklərə əsasən, həqiqi əmsallı çevrilmiş kvadrat tənliyi

qurun:

19. a) i2 , b) i31 , c) 24 i .

20. Щесаблайын:

а) 7)1)(31( ii ; б)

12

2

1

i; ж)

4

8

)1(

)1(

i

i

.

6.2. Комплекс ядядин щяндяси тясвири.

iyxz комплекс ядядини щяндяси олараг Oxy мцстявисии

цзяриндяки ),( yx нюгтяси иля эюстярирляр. Щягиги ядядляр

абsис охунун, сырф хяйали ядяляр ися ординат охунун нюгтяляри

иля эюстярлир. iyxz ядядиня ),( yx нюгтясинин аффикси

дейилир.

Комплекс ядяdlяриn щяндяси олараг təsvir olunduğu

мцстявийя комплекс мцстяви

дейилир.

Гейд едяк ки, z ядядиня

hям дя О координат

башланьыжындан z нюгтясиня

истигамятлянян вектору гаршы

гоймаг олар. Бу векторун

узунлуьу z комплекс ядядинин

модулу адланыр вя || z кими ишаря

олунур, онда:

22|| yxz

Бу векторун Ox охуну мцсбят истигамяти иля ямяля

эятирдийи бужаьы z комплекс ядядинин аргументи адланыр

x 0

y

x

y

z=x+iy

φ

ρ

109

вя zArg иля ишаря олунур. zArg кямиййяти чохгиймятлидир

вя )(2 Zkk щяддиня гядяр дягигликля тяйин олунур. Буна

эюря дя чох вахт zArg -ин “баш гиймяти”ни айырмаг лазым gəlir.

-нин бярабярсизлийини юдяйян гиймятиня онун

баш гиймяти дейилир вя zarg ilə ишаря олунур: z мцсбят

щягиги ядяд )0( xzy оlarsa, onda 0arg z və kArgz 2 ;

əgər мянфи щягиги ядяд оlarsa, onda zarg və

)12(2 kkArgz ; əgər 0z olarsa, onda arqument təyin

olunmayıb.

Гейд едяк ки, )(2arg ZkkzArgz

вя

0,0;2

0;0;2

0,0;

0,0;

0;

arg

yx

yx

yxx

yarctg

yxx

yarctg

xx

yarctg

z .

аргументи цчцн ашаьыдакы мцнасибятляр доьрудур:

x

ytgyx sin,cos .

(1)

iyxz kompleks ədədinin arqumentini təyin etmək üçün

çox vaxt ilk əvvəl x

ytg köməkçi tənliyini ödəyən ən kiçik mənfi

olmayan bucaq tapılır (onu * ilə işarə edək) və iyxz ədədinin

hansı rübdə yerləşməsindən asılı olaraq zarg arqumentinin

qiyməti müəyyən edilir:

110

a) əgər z ədədi birinci rübdə yerləşərsə, onda *arg z ,

b) əgər z ədədi ikinci rübdə yerləşərsə, onda *arg z ,

v) əgər z ədədi üçüncü rübdə yerləşərsə, onda

*arg z ,

c)əgər z ədədi dördüncü rübdə yerləşərsə, onda

*arg z olar.

21.2

3

2

1 iz kompleks ədədinin

modulunu və arqumentini tapın.

Həlli. .14

3

4

1z

Verilmiş kompleks ədəd üçün

köməkçi tənlik 3tg kimidir, onda

3

* . Beləki, z kompleks ədədi üçüncü

rübdə yerləşir, onda zarg

3

4

3

və ya 0240

22. Ашаьыдакы комплекс

ядядляря уйьун нюгтяляри гурун:

-1; и; 2 ; -3и; 2-3и; -4-2и;

3+и.

Тянликляри иля верилмиш хятляри комплекс

мцстявидя тяйин етмяли:

23. а) 1|| z ; б)

3|2| iz .

Щялли. а) Тярифя эюря || z - координат баш-

ланьыжындан z нюгтясиня гядяр олан мясафядир. Верилян

нюгтяляр чохлуьу цчцн бу мясафя ейни, йяни 1-я бярабяр

олмалыдыр, буна эюря ахтарылан хятт мяркязи координат

башланьыжында вя радиусу 1 олан чеврядир.

y

x

0 2

2-i

y

x O

1

111

б) ||21

zz ədədi 1

z вя 2

z нюгтяляри арасындакы мясафяйя

бярабярдир:

221

221

212121

)()(

|)()(|||

yyxx

yyixxzz

,

онда, 3|)2(| iz бярабярлийиня ясасян, верилян хяттин

нюгтяляри i2 нюгтясиндян 3-я бярабяр мясафяйяdə

йерляшибляр, демяли бу хятт мяркязи iz 2 нюгтясиндя вя

радиусу 3-ə bərabər чеврядир.

Ашаьыдакы верилянляря ясасян,

нюгтялярин щяндяси йерини тяйин

едиn:

24. а) 5Re z , б) 22Re az .

Щялли.

a)Тярифя эюря, xz Re , онда тянлийи

5x кими йаза билярик. Бу тянлик

ися, Oy охуна паралел дцз хятти

тяйин едир.

б) xyiyxz 2222 , olduğundan 222Re yxz вя йа 222 ayx . Бу

тянлик ися бярабяртяряфли

щиперболаны тяйин едир.

Ашаьыдакы бярабярсизликляри

юдяйян нюгтяляр чохлуьуну тяйин

един вя онлары мцстяви цзяриндя

гурун:

25. а) 3|| iz ; б) 1|1| z ;

ж) 3|1|1 iz .

y

x O

5

y

x 0 1

a

112

Щялли. а) 3|| iz бярабярсизлийи и нюгтясиндян z

нюгтясиня гядяр олан мясафянин цчдян кичик олмасыны

эюстярир. Бу шярти ися мяркязи и нюгтясиндя, радиусу 3 олан

dairənin daxili nöqtələri çoxluğu юдяйир.

б) 1|1| z бярабярсизлийиндян эюрцнцр ки, -1

нюгтясиндян z нюгтясиня гядяр мясафя 1-дян кичик

олмамалыдыр, буна эюря ахтарылан чохлуг мяркязи -1 вя

радиусу 1 olan dairə xaricində yerləşir. 1|1| z чевряси верилян

чохлуьa дахилдир.

ж) Ахтарылан нюгтяляр чохлуьу ейни заманда ашаьыдакы

ики шярти юдямялидир: |1|1 iz вя 3|1| iz . Бу

шяртlərдян биринжиси мяркязи i1 нюгтясиндя олан ващид

даирянин харижини, икинжи шярт ися мяркязи щямин i1

нюгтясиндя вя радиусу 3-ə bərabər olan dairənin daxili nöqtələri

çoxluğudur. Буна эюря верилян чохлуг, мяркязи i1 нюгтясиндя

вя радиусларı 1 вя 3 олан консентрик чеврялярля мящдуд олан

щəлгəдiр.

y

x -1

y

x

1+i

O

y

x

i

O

a) b) c)

26. Комплекс мцстявидя ашаьыдакы шяртляри юдяйян

областлары тяйин един:

а) 5|| z ; б) 6|| z ; ж) 3|)2(| iz ; д)

7||6 iz .

27. Комплекс 31 iz ядядинин модулуну вя

аргументини тапмaлы.

113

Щялли. 2431)3(1|| 22 z . Онда

2

1cos ,

2

3sin , бурадан

3

. Нятижядя, вя

kz

23

Arg , Zk .

28. 8

cos8

sin

iz комплекс ядядинин модулуну вя

аргументини тапын.

Щялли. Беляки,

08

cos,08

sin

yx ,

онда аргументин баш гиймяти ашаьыдакы шякилдя тапылажаг:

.8

5

8

3

8

3

828arg

tgarctg

tgarctgctgarctgz

Нятижядя,

)(28

5ZkkArgz , 1

8cos

8sin|| 22

z .

29. Oxy мцстявиси цзяриндя 2|2| iz шяртини юдяйян

нюгтяляр чохlуьуну тапын.

Щялли. iyxz оларса, онда

)1()2(2 yixiz .

Комплекс ядядин модулуна ясасян

22 )1()2(|2| yxiz ,

22222 2)1()2(2)1()2( yxyx .

Бу ися Oxy координат мцстявисиндя мяркязи (2;-1) вя

радиусу 2 олан чевря цзяриндя вя дахилиндя олан нюгтяляр

чохлуьудур.

30. Ашаьыдакы комплекс ядялярин модулуну вя

аргументини тапын:

114

а) iz 1 ; б) iz 3 ; ж)

2iz ;

д) 2z ; е) iz ; ф) iz ;

и) 355 iz ; м)5

sin5

cos

iz ;

н) sincos iz

2

3, .

31. Комплекс мцстявидя ашаьыдакы шяртляри юдяйян

комплекс z ядядиня уйьун нюгтяляр чохлуьуну эюстярин:

а) 1|| z ; б) 5|| z ; ж) 2|| z ;

д) 2||1 z ; е) 0arg z ; ф) zarg ;

к) 2

3arg

z ; л)

3arg

z ; м)

4arg

6

z ;

н) 3

1|1| z ; o) 1|| z ; p) || zz .

u) 4||1 z . ü) 2|12| z ; z) 10|||| iz ;

g) |1||1| zz . ö) |||| ziz ; v) 4|1|1 z ;

ş) zizi )1()1( .

32. 4

11Re

z тянлийи иля щансы яйри тяйин олунур?

Щялли. iyxz оларса, онда

4

1,

1Re

2222

yx

x

yx

x

z вя йа 0422 xyx

Бу ися 4)2( 22 yx чеврясидир.

33. Ашаьыдакы тянликлярля щансы яйриляр тяйин

олунур:

а) 2Im 2 z ; б) 1Re 2 z ; ж) 2

11Im

z;

д) 11

Re

z; е) 122 zz ; ф) 2)2()2(2 zizizz ;

е) 4|||| iziz ; к) 2|||| iziz ; л)

0)Re( 2 zz ; м) 02)( zzizz .

Tənlikləri həll edin:

115

34. a) iizz 21 , b) 032 zz ,

c) 022 zz .

35. Sistem tənliyi həll edin:

izz

zz

10593

21.

6.3. Комплекс ядядин тригонометрик вя цстлц шякли.

cosx , siny дцстурларындан истифадя едяряк

кoмплекс ядядин iyxz жябри формасындан онун

тригонометрик шякли адланан

)sin(cos iz (2)

ифадясини ала билярик.

Eyler düsturu adlanan

sincos iei (3)

eyniliyini комплекс ядядин тригонометрик шяклиндя нязяря

алсаг, аларыг: iez .

Бу ися кoмплекс ядядин цстлц şəkli адланыр.

e ədədinin kompleks iyxz qüvvətə yüksəltmə əməli

)sin(cos yiyeee xiyxz

düsturu ilə təyin olunur.

Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində

aşağıdakı əməlləri aparmaq mümkündür:

a) Vurma. Фярз едяк ки, 1

z вя 2

z комплекс ядядляри

тригонометрик шякилдя верилмишляр:

)sin(cos 1111 iz , )sin(cos 2222 iz

Бунларын щасили ашаьыдакы шякилдя тапылыр:

)sin()cos( 21212121 izz ,

(4)

башга сюзля, комплекс ядядлярин щасылы заманы онларын

модуллары вурулур аргументляри ися жямлянир. Doğrudan da,

)sin(cos)sin(cos 22211121 iizz

)sinsincos((cos 212121

))cossinsin(cos 2121i

116

)sin()cos( 212121 i .

Nəticədə yaza bilərik:

|| |||| 212121 zzzz ,

212121 argarg)arg( zzzz .

(4) дцстуру истянилян сонлу сайда щасил цчцн дя

доьрудур, yəni

);sin(cos 1111 iz ),...,sin(cos 2222 iz

)sin(cos nnnn iz olduqda, onda

))...sin()...(cos(...... 21212121 nnnn izzz . (5)

36. ),25sin25(cos2 0031 iz )35sin35(cos4 003

1 iz

olduqda 21zz ni tapmalı.

Həlli. )]3525sin()3525[cos(42 00003321 izz

.32

1

2

32)60sin60(cos2 00 iii

b)Bölmə. Triqonometrik şəkildə verilmiş iки комплекс

)sin(cos 1111 iz вя 0)sin(cos 2222 iz

ядяляринин 2

1

z

z нисбятиni тапaq. )sin(cos

2

1 izz

zilə işarə

edək. Onda

)sin(cos)sin(cos 111

2

1 iiz

z

)sin)(cossin(cos 222 ii

)]sin()[cos()sin(cos 2221111 ii

,; 2121

2

121

onda

)sin()cos( 2121

2

1

2

1

i

z

z,

deməli, triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədləri bölmək

üçün onların modullarını bölmək, arqumentlərini isə çıxmaq lazımdır.

117

c)Kompleks ədədin qüvvətə yüksəldilməsi.Tutaq

ki, )sin(cos irz kompleks ədədinin natural üstlü nz qüvvətini

tapmaq tələb olunur. Bunun üçün (5) bərabərliyində

)sin(cos...21 izzzz n qəbul edək. Oнда

,...21 n n...21 olacaqdır və комплекс z

ядядинин натурал n -жи дяряжядян гцввятi aşağıdakı şəkildə

tapılır:

)...[cos(...)]sin(cos[ nn

nn iz

)sin(cos)]...sin( nini n

n

,

yəni

)sin(cos ninz nn.

(*)

Бу düsturda 1 olduqda

nini n sincos)sin(cos

alınır. Bu dцстур Муавр дцстуру адланыр.

Гейд едяк ки, iez олдугда, innnin eez )(

olar.

37. a)Комплекс 31 iz ядядинин тригонометрик шяклини

йазын.

Щялли. 2)3()1(|| 22 z , 31

3

tg ,

3

4.

Онда

3

4sin

3

4cos231 ii .

b) Kompleks 388 iz ədədini triqonometrik şəkildə yazın.

Həlli. .16)38()8( 2222 yxz

Beləki ,038,08 yx onda

,3

23arg arctg

x

yarctgz

118

)).3

2sin()

3

2(cos(16)sin(cos

iizz

38. Комплекс iz 1 ядядинин цстlц шяклини тапын.

Щялли. 2|| z , 4

arg

z , онда 421

i

eiz .

39. Комплекс 32

i

ez ядядинин жябри шяклини тапын.

Щялли.

312

3

2

12

3sin

3cos22 3 iiiez

i

.

40. 3

2

13

i

ez вя 62

6i

ez комплекс ядядляринин 21

zz

щасилини вя 2

1

z

z нисбятини тапын вя нятижяни тригонометрик

шякилдя йазын.

Щялли.

6

5sin

6

5cos18186363 6

5

63

2

63

2

21 ieeeezz

iiiii

,

2

1sin

2

1cos

2

1

2

1

2

1

6

3263

2

6

3

2

2

1 iee

e

e

z

ziii

i

i

.

41.Kompleks 5)1( iz ədədini üstlü şəkildə yazın.

Həlli.(*) düsturunu nəzərə alsaq, alarıq:

44

15

54

3

5 2424)2()1(

iii

eeei .

42. 30)1( i -у щесаблайын.

Щялли. i1 ядядинин тригонометрик şяклини тапаг.

4sin

4cos21 ii олдуьуна эюря, йаза билярик:

.22

3sin

2

3cos2

4

66sin

4

66cos2

4

30sin

4

30cos2

4sin

4cos2)1(

151515

3030

30

iii

iii

119

43.i

iz

3

1olдугда, || z вя zarg -и тапын вя z -и

тригонометрик шякилдя йазын.

Щесаблайын:

44. а) 7)1( i ; б)

5

3

1

i

i;ж)

20

1

31

i

i; д) 25)1( i .

45.8

sin8

cos1

iz ,

12sin

12cos2

iz ,

24sin

24cos3

iz

verilmişдир. Тапын:

а) 321 zzz ; б) 32

1

zz

z; ж)

3

21

z

zz.

46. sincos1 iz верилмишдир. nz -и щесаблайын вя

онун модул вя агрументиni тапын.

47. Ашаьыдакы комплекс ядядлярин цстлц шяклинi

тапын:

а) i 3 ; б) i1 ; ж) 31 i ;

д) -3; е) 2и; ф) i3 ;

и) 31

22

i

i

.

48. Ашаьыдакы комплекс ядядлярин тригонометрик вя жябри

формасыны тапын:

а) 42i

ez

; б) 24i

ez

; ж) iez 3 ;

д) 6

5

5

ez ; е) iez ; ф) iez 32 .

d) Комплекс ядядин н-жи дяряжядян кюкц.

Комплекс z ядядинин н-жи дяряжядян кюкц мцхтялиф н

дяня гиймятя маликдир вя ашаьыдаkı дцстурла hesablanır:

n

ki

n

kzz nn 2

sin2

cos|| ,

бурада 1,0 nk , zarg .

120

n z -ин гиймятляриня уйьун олан нюгтяляр, мяркязи

координат башланьыжындан радиусу n zR || олан чевря

дахилиня чякилмиш дцзэцн н бужаглынын тяпялярини

характеризя едирляр.

Гейд едяк ки, iez олдугда,

1,0,)2(

nkeez n

ki

nn in .

49. 4 16 -nin bütün qiymətlərini tapın.

Həlli. 16z ədədini triqonometrik şəkildə yazaq:

)sin(cos1616 iz ,

onda

)4

2sin

4

2(cos2

ki

kzk

, 3,2,1,0k .

Nəticədə,

22)4

sin4

(cos20 iiz

,

22)4

3sin

4

3(cos21 iiz

,

22)4

5sin

4

5(cos22 iiz

,

22)4

7sin

4

7(cos23 iiz

.

Şəkildə 4 16 -nın bütün dörd qiymətləri təsvir olunmuşdur.

3210,,, zzzz ədədlərinə uyğun olan nöqtələr mərkəzi 0z nöqtəsində

radiusu 2 olan çevrənin daxilinə çəkilmiş kvadratın təpə nöqtələrində

yerləşir.

50. 4 1 -и щесаблайын.

Щялли. 44 )0sin0(cos11 iuk

2sin

2cos

4

20sin

4

20cos14

ki

kki

k.

3,2,1,0k гябул етсяк,

y

x

z0

O

z3

z1

z2

-2 2

121

10sin0cos0

iu ,

iiu

2

sin2

cos1

,

1sincos2

iu ,

iiu

2

3sin

3

3cos

3.

Щесаблайын:

51. а) 4 i ; б) 3 1 ;

ж) 4 4 ;

д) 5 1 i ; е) 6 322 i ; ф)

4 1 ;

м) i ; н) 3 i ; п) 3 1 i ;

г) i322 ; л) 5

6sin

6cos2

i .

6.4. Ейлер дцстурлары. Йухарыда истифадя етдийимиз

sincos,sincos ieie ii

Ейлер дцстурларыndan asanlıqla (тяряф-тяряфя топламагла вя

чыхмагла)

2sin;

2cos

iiii eeee (6)

дцстурлары алыныр.

(6) дцстурларында явязиня i йазсаг, аларыг:

2sin;

2cos

eei

eei .

Индии ися, zcos вя zsin ядялярини жябри шякилдя

йазмаьа чалышаг. Мялум тригонометрик дцстурлара ясасян,

.2

sin2

cos

sinsincoscos)cos(cos

yyyy eex

eex

iyxiyxiyxz

Бурада

122

2;

2

yyyy eeshy

eechy

щиперболик функсийа ифадяляри нязяря алынарса, онда xshyixchyz sincoscos

охшар гайда иля xshyixchyz cossinsin

олдуьу алынар.

52. a) ?cos i b) ?)sin( i

Щялли.a) 12

cos1

chee

i

.

b) )(2

1)(

2

1)sin( 11)()( iiiiii ee

iee

ii

))sin((cos()sin(cos(2

1)(

2

1 1111 ieiei

eeeei

ii

12

1))01()01((

2

1 1111 ish

ee

iee

i

.

123

ƏDƏBİYYAT

1. Burg-Haf-Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Bd.1,3,4, 5 Teubner-

Stutgart 1992.

2. Meyberg-Vachenauer Höhere Mathematik I,II Springer-Vertag 1993.

3. Meinhold-Wagner Partielle Differentialgleichungen Teubner-Leipzig, 1989.

4. Əliyev Ə.B., Hüseynov A.İ. Riyaziyyat, I hissə, Bakı, 2005.

5. Məmmədov R. Ali riyaziyyat kursu. I hissə, Bakı, 1994.

6. Piskunov N.S. Diferensial və inteqral hesabı. I cild, Moskva, 1985.

7. Berman G.N. Ali riyaziyyatdan məsələlər. Bakı, 1966.

8. Dünyamalıyev M.A., Şıxəliyev N.İ., Məmmədov Ə.Ə., Məmmədov F.O.

Riyaziyyat, Bakı, 2011.

9. Məmmədov Ə.Ə. Diferensial hesabı. Bakı, 2001.

10. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

анализу. М., 1972.

11. Писменный Д.Т. Конспект лекций по высший математики. Ч,1. 2004.

12. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях в задачах.1 часть, М.,1999.

13. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике.

Р.1997.

14. Papula, L: Mathematik für Ingenieure 1, Vieweg Vertag, Braunschweig

1990.

124