Gliederung der Vorlesung Festkörperelektronik
1. Grundlagen der Quantenphysik2. Elektronische Zustände3. Aufbau der Materie4. Elektronen in Kristallen5. Halbleiter6. Quantenstatistik7. Dotierte Halbleiter8. Der pn-Übergang
4.1 Vom Atom zum Molekül zum FestkörperVerallgemeinerung von zwei auf 1023 Atome
Vom Molekül zum Festkörper
Verallgemeinerung von zwei auf 1023 Atome
Potential eines Gitters
Viele Atome mit Abstand a und überlappenden PotentialenEs ergibt sich ein periodisches Gesamtpotential (gestrichelt).
Energiezustände des Gitters
Temperatur = 0 K:
Aufspaltung der Energiezustände
Für N Atome Aufspaltung in N Energiezustände
Diese energetisch nahezusammenliegendenZustände bilden “Bänder” von erlaubten Zuständen.
Komplexes Verhalten durchÜberkreuzungen
Abb.: Schema der Energieniveaus, wenn (fiktiv)aus unabhängigen Si-Atomen durch Verringerung des atomaren Abstandes ein Kristall gemacht wird.
4.2 Halbleiterkristalle
- chemische und physikalische Eigenschaften der Elemente sind durchihre Elektronenkonfiguration im Grundzustand sowie durchnaheliegende angeregte Zustände bestimmt
- z.B. Germanium Ge (32 Elektronen) und Silizium Si (14 Elektronen):- jeweils vier Elektronen in der äußersten Schale
Atome in Festkörpern
- Elektronen in der äußersten Schale gehen Verbindungen mit anderenAtomen ein (kovalente Bindung, teilweise ionisch bei unterschiedlichen Atomen, z.B. GaAs)
- Anordnung der Atome erfolgt so, dass die Gesamtenergie minimal wird
Dies ist oft gegeben, wenn eine Unterschalegefüllt wird.
Jedes Si- oder Ge-Atom geht Verbindungenmit vier weiteren Atomen ein.
Ordnung in FestkörpernJe nach Art der Herstellung können sich die Atome verschieden geordnet zu
Festkörpern zusammenschliessen.Kristalle: Die Atome sind periodisch angeordnet.Polykristalline Festkörper: Kristalline Bereiche, aber keine FernordnungAmorphe Festkörper: nur Nahordnung, keine Periodizität, keine Fernordnung.
kristallin polykristallin amorphSource: Wolfe, Holonyak, Stillman
- Halbleitermikroelektronik wird dominiert durch kristalline Siliziumchips- Halbleiteroptoelektronik wird dominiert durch Verbindungshalbleiter (mehr als ein Element)- polykristalline und amorphe Halbleiter bei großflächiger und kostengünstiger Elektronik
Ordnung in Festkörpern
Kristalliner Wafer Polykristalline Si-Solarzelle
Amorphe Dünnfilmtransistoren
→ Si-Mikroelektronik
3D-Kristallgitter
In 3D wird die Anordnung durch drei Gittervektoren a1, a2 und a3eindeutig beschrieben.
In 3D gibt es 14 verschiedene Kristallgitter.Die Grundeinheit muss nicht ein einzelnes Atom sein.Sie kann auch eine kompliziertere Einheit aus mehreren
Atomen sein.
simple cubiceinfach kubisch
(sc)
body-centered cubic kubisch raumzentriert
(bcc)
face-centered cubickubisch flächenzentriert
(fcc)
Source: B. Van
Zeghbroeck
Verbindungshalbleiter
Verbindungshalbleiter bilden sich ebenfalls nach der Regel, möglichstdie Unterschalen zu füllen.
Dadurch entstehen IV-IV, III-V und II-VI Halbleiter.Halbleiter aus zwei Elementen nennt man binäre Halbleiter.
Halbleiter aus drei Elementen nennt man ternäre Halbleiter.z.B. Al1-xGaxAs
Halbleiter aus vier Elementen nennt man quarternäre Halbleiter.z.B. In1-xGaxAs1-yPy
SiGe
Kristallstruktur von Si und Ge
Si und Ge bilden DiamantgitterDie Diamantstruktur hat ein fcc-Gitter mit einer Einheitszelle, die aus
zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle.
Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren
-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich
Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen
(TS=1415 °C)
Eintauchen eines einkristallinen Keims
einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen
Wachstum von einkristallinen Stäben
Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren
-für gute Transporteigenschaften isteinkristallines Material erforderlich
Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen
(TS=1415 °C)
Eintauchen eines einkristallinen Keims
einkristallines Wachstum unterZieh- und Drehbewegungen
Wachstum von einkristallinen StäbenAbbildung eines einkristallinenSi-Stabes
Methoden der Epitaxie: MBE
Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy, MBE)
Verdampfung der Elemente aus fester Quelle im Ultrahochvakuum (10-10 mbar)
4.3 Periodische Potentiale
Periodische Anordnung von Atomen → Periodisches Potential V(x)
Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers
Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist
Ausbildung von stehenden Wellen
Vom freien Elektron zum Kristallelektron
E
-π/a π/a
a a aeinfallendesElektron
gestreuteTeilwellen
Dispersionsrelation des freien Elektrons
2 2
2kEm
= Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a
oder k=π/a
Vom freien Elektron zum Kristallelektron
c) Ψ*Ψ(x) obere „Bandkante“
b) Ψ*Ψ(x) untere „Bandkante“
-bei einer Wellenlänge zwei qualitativ unterschiedliche Möglichkeiten die stehende Welle im Verhältnis zu den Atomrümpfen zu platzieren.
Dispersionsrelation des Kristallelektrons
Aufspaltung der Parabeläste bei IkI=π/a, Ausbildung von
stehenden Wellen
Vom freien Elektron zum Kristallelektron
Gittervektoren:
n xR na nae= =
„Reziproker“ Gittervektor:
2xK e
aπ
=2
n xK n eaπ
=
Periodische Bandstruktur
Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereichnennt man die erste Brillouin-Zone.
EinfachereDarstellung
Gegenüberstellung freie Elektronen ↔ Bloch-Elektronen
Reduktion auf die erste Brillouin-ZoneFreie Elektronen Bloch-Elektronen
ka
( ) eikrk rΨ =
Klassifizierung nach dem Wellenvektor: Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n:
( ) ( )ikrnk nkr e u rΨ =
( ) ( )nk nku r u r R= +
mit
2
0
( )2kkEm
=
(gitterperiodische Funktion)
Bloch-Elektronen
( ) ( )ikrnk nkr e u rΨ =
http://fermi.la.asu.edu/ccli/applets/kp/kp.html
Richtungsabhängigkeit des Potentials
Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenenRaumrichtungen verschieden ist.
Nehmen wir z.B. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang derX-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung.
Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlaufauch die Energiezustände unterschiedlich sind.
z.B. beim quadratischen Gitter in 2D:
Γ
LX
L: K=(1,1)
Γ: K=(0,0)
X: K=(0,1)
Richtungsabhängigkeit des Potentials
In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezuständerichtungsabhängig sind.
Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt:
XK=(0,1)
ΓK=(0,0)
Lk=K(1,1)
Γ(0,0)
ΓL X
Bandstruktur von Silizium
Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder dieAbhängigkeit von ω (bzw. E) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebeneWellen sondern um komplexeÜberlagerungen.
Die neuen Eigenzustände heissen Blochzustände.
Bandstruktur von Germanium
Bandstruktur von GaAs