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- UNTERSUCHUNG VON REALITÄTSNAHEN PROBLEMEN MIT FUNKTIONEN Christian, Jannik, Stefan...

Date post: 05-Apr-2015
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- UNTERSUCHUNG VON REALITÄTSNAHEN

PROBLEMEN MIT FUNKTIONEN

Christian, Jannik, Stefan

EXTREMWERTPROBLEME

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Übersicht

Realitätsnahe Probleme Textaufgaben Tipps

Extremwertaufgaben Ziel Lösungsstrategie

Beispielaufgabe

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Umgang mit Textaufgaben

Was ist die Aufgabe? Welche Teile sind unwichtig?

Meistens: Namen Orte

Welche Teile sind wichtig? Meistens

Zahlen Operatoren

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Beispielaufgabe

Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei Segelfliegern „saufen“ genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(vw) zu finden, sie ist mit dem

Saufen (vs) über die Funktion verbunden. Wie kommt man

möglichst schnell möglichst weit , ohne dabei an Höhe zu verlieren?

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Beispielaufgabe

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Beispielaufgabe

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Beispielaufgabe

Wie kommt man möglichst schnell ohne

Höhenverlust am Weitesten?

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Extremwertaufgaben

Ziel: Größe extrem groß (maximal) bzw. extrem klein (minimal) zu bekommen

Prozesse optimieren minimalen oder maximalen Aufwand,

Material oder Volumen Schwierigkeit:

Mathematik zur Lösung ist einfach ABER: Extremwertaufgaben sind meistens

Textaufgaben, die zuerst verstanden werden müssen.

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Extremwertaufgaben - Lösungsstrategie Aufgabe: An einer Hauswand soll mit einem

20 m langem Zaun ein möglichst großer, rechteckiger Garten abgesteckt werden. Wie groß ist die Fläche des Gartens?

1) Aufgabensituation, wenn möglich, in einer Skizze darstellen

2) Aufschreiben, was gegeben und was gesucht ist (Namen für Ausgangsgrößen und Unbekannte [a, x, q, A, F, V usw.])

3) Zielfunktion erkennen und als mathematische Funktion formulieren

4) Nebenbedingung erkennen

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Extremwertaufgaben – Lösungsstrategie (II)5) Nebenbedingungen in Zielfunktion

einsetzen1) Zu optimierender Wert steht in Abhängigkeit

von nur einer Variablen2) Maximum oder Minimum bestimmen

6) Interpretation des Ergebnisse Liegt Wert im Definitionsbereich? Gibt es noch weitere Maxima?

7) Übrige relevante Werte berechnen

8) Antwort formulieren

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Eine Firma für Qualitäts-Uhren hat ein Firmengelände von 680 m². In der seit 1985 existierenden Fabrik werden pro Jahr 20 Uhren hergestellt. Der Chef hat in der Jahresbilanz 2007 festgestellt, dass die Nachfrage mit 14 Mitarbeitern und der 450 m² großen Arbeitsfläche nicht mehr gedeckt werden kann. Eine Erweiterung kostet die Firma 5,0 Millionen €. Nach wie viel Jahren rentiert sich der Ausbau aus dem Mehrgewinn, wenn der Gewinn pro Uhr maximal gehalten werden soll? Den Gewinn für eine Uhr in Abhängigkeit von der produzierten Anzahl kann man durch die Funktionen

und s annähern. (Eine Einheit entspricht dabei 1000€.)  

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Lösungsansatz

Zielfunktion suchen Gewinnfunktion

Produktion bei maximalem Gewinn Maximum bestimmen

Berechnung des Mehrgewinns Verteilung auf die Anzahl der Jahre

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Ergebnis - Antwort

Nach 4 Jahren rentiert sich die Vergrößerung des Unternehmens.


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