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Zeitreihenanalyse
6
6.1 Auto- und Kreuzkorrelation
6.2 Filtertechniken
6.3 Harmonische Analyse
6.4 Spektralanalyse
Auto- und Kreuzkorrelation6.1
Zeitreihen sind Datenkollektive, deren Bezugseinheiten Zeitpunkte oder Zeiträume sind:
Eigenschaften von Zeitreihen: - deterministische Abhängigkeit: linearer oder zyklischer Trend, d.h. benachbarte Werte unterscheiden sich um annähernd festen Be- trag (plus geringe Zufallsabweichung) - stochastische Abhängigkeit: benachbarte Wer- te sind ähnlich oder gegensätzlich ähnlich - stochastische Unabhängigkeit: nachfolgender Wert ist unabhängig vom vorherigen Wert
stochastische Abhängigkeiten sind Stör-faktoren in der Korrelationsanalyse und Test-statistik
stochastische Abhängigkeiten sind aber auch ein Kennzeichen des zugrunde liegen-den Prozesses
nX ..1,)(
Auto- und Kreuzkorrelation6.1
in der Natur weisen viel Prozesse stochastische Abhängigkeiten zwischen zeitlich oder räumlich benachbarten Objekten auf: - stochastische Abhängigkeiten in Zeit und Raum - über Transfer von Masse, Energie oder Information - Zustand eines Objektes jedoch nicht exakt aus dem Zustand der Nachbarn zu bestimmen (deterministisch), sondern nur mit gewisser (hoher) Wahrschein- lichkeit (stochastisch) - Wiederholbarkeit eines solchen Prozesses ist nie exakt gegeben
Beispiel Kernspaltung von 235U:
- ein Neutron reicht aus, um bei einer kritischen Masse von Uran eine Ketten- reaktion hervorzurufen, die zur Spaltung aller Atomkerne von 235U führt - Zustand eines U-Atoms abhängig von Zuständen der Nachbarn - Prozess besitzt starke Erhaltungsneigung ohne weitere äußere Einwirkung
radioaktive Strahlung
Auto- und Kreuzkorrelation6.1 exogene Steuerung von stochastischen Prozessen: - externe Faktoren wirken einmalig oder kontinuierlich ein: Forcing - mit Regressionsanalyse statistisch zu beschreiben - z.B. Neutronenbeschuss bei Kernspaltung, Binnenwanderungssaldo und Siedlungsstruktur, …
endogene Steuerung von stochastischen Prozessen: - Entwicklung des Prozesses innerhalb des Systems durch interne system- immanente Wechselwirkungen - z.B. Kettenreaktion bei Kernspaltung, Rückkopplungen im Klimasystem bei erhöhtem CO2-Gehalt
- Tendenzen und Zustände zeitlich oder räumlich benachbarter Objekte setzen sich fort: Erhaltungsneigung - statistische Beschreibung der Erhaltungsneigung ist die stochastische Ab- hängigkeit
Prozesse mit Erhaltungsneigung in der Geographie: - räumlich: Regionalisierungen (z.B. Entwicklungs- vs. Industrieländer) - zeitlich: typische Ausprägungen (z.B. KLINO: Mittelwerte über 30 a) - stochastische Unabhängigkeit: Untersuchungen von Individuen (z.B. Einzel- handelsforschung)
Auto- und Kreuzkorrelation6.1
Grundvoraussetzung für die Zeitreihenanalyse ist Stationariät: - Mittelwerte der Variablen X(ti) sind identisch für alle ti
- Varianzen der Variablen X(ti) sind identisch für alle ti
- in der Praxis schwer zu überprüfen, da meist nur ein Wert pro Zeiteinheit gegeben (Zeitreihendefinition) - graphische Darstellung liefert ersten Hinweis, aber nicht immer eindeutig:
stationäreZeitreihe
instationäreZeitreihe
Erhaltungsneigung kann auch über mehrere Zeitschritte andauern: - i.d.R. singt die Erhaltungsneigung mit Vergrößerung des Zeitschrittes - maximale Zeitschrittweite m mit signifi- kantem Einfluss von x(ti-m) auf x(ti) kenn-
zeichnet die Länge des zeitlichen Ge- dächtnisses
mX1 < mX2
Auto- und Kreuzkorrelation6.1
Autokorrelationsfunktion: - misst Stärke und Art der Erhaltungsneigung für variable Zeitverschiebungen τ - in stationären Zeitreihen ist die Kovarianz zwischen den Variablen X(ti) und
X(ti+k) nur abhängig vom Zeitschritt k und somit ein Maß für die stochastische
Abhängigkeit innerhalb der Zeitreihe - die normierte Kovarianz wird definiert als Autokorrelationsfunktion:
- bei Stationarität der Zeitreihe zu schätzen aus Verschiebung der Zeitreihe gegen sich selbst um Zeitschrittweite k:
- für k = 0 gilt:
k Lag"" zumfizient ationskoefAutokorrel ,)var(
)cov( kk X
k
nk1
k-n1
1
2
1'
tbis tmit Zeitp. Abhängige )(
tbis tmit Zeitp. gige Unabhän ][
:mit
)(
)()(
var
cov
kX
kX
xx
xxxx
(X)
)(X[k],X(k)r n
ii
kn
ikii
k
100 r
k = 0
Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Autokorrelationsfunktion: - in der Praxis sind Mittelwerte und Varianzen der Variablen X[k] und X(k) nicht exakt identisch - deshalb wird rk in Analogie zum Korrelationskoeffizient nach Pearson meist
wie folgt geschätzt:
- unter der Nullhypothese H0 : ρk = 0 , k = 1 .. q ist die folgende Prüfgröße
approximativ standardnormalverteilt bei n–k > 30:
- Standardfehler von rk wird geschätzt durch:
- Länge des Gedächtnisses also definiert durch maximale Schrittweite m mit statistisch signifikantem Autokorrelationskoeffizienten rm
- identische Vorgehensweise für räumliche Autokorrelation, aber 3-dimensional
n
kiik
kn
iikkn
i
kn
ikkiki
kn
ikkiki
k xkn
xxkn
x xxxx
xxxxr
1)(
1][
1 1
2
)(
2
][
1)(][
* 1,
1,
)()(
)()(
kr
kk
rz
ˆ
0: i wobe21
1
1
1
2
r
k
jj
r sn
rs
k
Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Autokorrelationsfunktion: - Beispielzeitreihen:
- Autokorrelationskoeffizienten bis k = 10:
- Signifikanztest für Zeitreihe (d) bis k = 3 (zα=5% = 1,96):
tte) Zeitschri2über s(Gedächtni 2
annehmen 66,122,0
39,0ˆ23,0
50
]513,0)77.0[(21
annehmen 44,221,0
513,0ˆ 21,0
50
)77.0(21
annehmen 50,514,0
77,0ˆ 14,0
50
021
03
22
12
2
11
3
2
1
m
Hzs
Hzs
Hzs
r
r
r
Test wegen Zeitreiheninstationarität nicht aussagekräftig
Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Autokorrelationsfunktion: - Autokorrelationsfunktionen der Beispielzeitreihen
Originalzeitreihen Autokorrelationsfunktionen
a) linearer Trend bewirktdurchweg hohe rk
b) rk zeichnet Periodizitätnach (λ = 12 Zeiteinheiten)
c) stark abfallende rk
d) alternierende rk kenn-zeichnet hochfrequentenZyklus
e) weißes Rauschen weistkeinerlei Erhaltungsneigungauf
Auto- und Kreuzkorrelation6.1
Interpretation der Autokorrelationsfunktion: - Autokorrelationskoeffizienten rk formal auf alle Zeitreihen anzuwenden
- inhaltliche Interpretation als Erhaltungsneigung aber abhängig von der zugrunde liegenden Theorie des Prozesses:
- wegen der sukzessiven Verringerung der Freiheitsgrade mit k werden für rk
nur Schrittweiten bis
betrachtet - insbesondere lineare Trends und Trends höherer Ordnung verzerren die Auto- korrelationsfunktion - wenn diese Trends extrahiert werden (Hochpassfilterung), kommt stocha- stische Abhängigkeit u.U. im Trendresiduum zum Vorschein
hoher rk-Wert aus stündlichen Pegelständen inhaltlich als Erhaltungsneigung zu interpretieren
hoher rk-Wert aus Pegelständen jeweils zum 1. eines Monats keine inhaltliche Interpretation sinnvoll
4
nk
Auto- und Kreuzkorrelation6.1
Bedeutung der Autokorrelationsfunktion für den Zusammenhang zwischen ZVA: - Korrelation zwischen zwei ZVA kann maßgeblich bedingt sein durch gleich- gerichtete (r > 0) oder entgegen gesetzte (r < 0) Instationaritäten, die auf von einander unabhängige Prozesse zurückzuführen sind - 1. Möglichkeit: Trend extrahieren und dann Korrelationskoeffizient berechnen:
- 2. Möglichkeit: beim Test des Korrelationskoeffizienten die durch die Autokorrelation redu- zierte Anzahl der Freiheitsgrade berücksichtigen:
mit:
Orig
inalte
itreihen
linearer T
rend
abg
ezog
en
Natalität und Verstädterung
r = -0,92
r = 0,25
YX
YX
k
kk
kk
r rr
rr
1
1
max:!
krk
Auto- und Kreuzkorrelation6.1
Kreuzkorrelationsfunktion: - Einfluss und Wirkung zwischen Prozessen muss nicht zwangsläufig instantan erfolgen - es sind auch Reaktionszeiten (“Lags“) denkbar, die durch eine Verschiebung der Zeitreihen zweier ZVA X und Y gegeneinander erfasst werden können:
- analog zur Autokorrelation berechnet sich die Kreuzkorrelationsfunktion zu:
- im Gegensatz zur Autokorrelation ist auch die Berücksichtigung von negativen Zeitverschiebungen sinnvoll:
n
kiik
kn
iikkn
i
kn
ikkiki
kn
ikkiki
k ykn
yxkn
x yyxx
yyxxc
1)(
1][
1 1
2
)(
2
][
1)(][
* 1,
1,
)()(
)()(
k > 0 : Einfluss von X auf Yk < 0 : Einfluss von Y auf X }
Kreuzkorrelations-funktion is häufigasymmetrisch
Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Interpretation der Kreuzkorrelationsfunktion: - Interpretation wieder nur sinnvoll, wenn Theorien über den zugrunde liegen- den Prozess vorhanden sind - für k = 0 entspricht ck dem Korrelationskoeffizient nach Pearson
- maximale Zeitverschiebung wieder nur bis:
- Instationaritäten (Trends) bewirken auch Verzerrungen in der Kreuzkorrela- tion, was wieder durch Trendextraktion (Hochpassfilterung) zu verhindern ist:
- bei der Kreuzkorrelation wird nicht gefordert, dass die Variablen X und Y die gleiche räumliche Bezugseinheit besitzen: Telekonnexion - d.h. X und Y können auch die gleiche Variable in unterschiedlichen Raumein- heiten repräsentieren
4
nk
Natalität und Verstädterung:
- bei Originalzeitreihen Kreuz- korrelation nur über Trend- nach Trendextraktion wird Reaktionszeit der Natalität auf Verstädterung von 4-6 Jahren sichtbar- andersherum (k < 0) keine sinnvolle inhaltliche Inter- pretation möglich
Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Interpretation der Kreuzkorrelationsfunktion: - Indikator für positive und negative Rückkopplungen zwischen Systemkompo- nenten:
- entsprechende Kreuzkorrelationsfunktionen mit / ohne Vorzeichenwechsel:
positive Rückkopplung:
Destabilisierung, nichtlineares Fehlerwachstum
negative Rückkopplung:
Stabilisierung,Dämpfung
A+ O+
A-O-
ck
k-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
+1,0
+0,5
-0,5
-1,0
positive Rückkopplung:
ck ohne Vorzeichenwechselfür negative und positive k
negative Rückkopplung:
ck mit Vorzeichenwechselfür negative und positive k
Filtertechniken6.2
Zeitreihen (oder räumliche Daten) setzen sich aus Varianzanteilen mit unterschiedlichen Zeitskalen / Raumskalen (Perioden, Frequenzen) zusam-men: - ausgelöst durch überlagerte Einflussfaktoren (Kenntnis des zugrunde liegen- den Prozesses):
- für manche Fragestellungen interessiert nicht die Gesamtvarianz der Zeit- reihe, sondern nur bestimmter Varianzanteil auf dezidierten Zeitskalen:
TemperaturzeitreiheWürzburg
Tem
per
atu
r
Zeit
Jahresgang der Sonne
Tagesgang der Sonne
CO2-bedingter Erwär-mungstrend
nur lange Zeitskalen (tiefe Frequenzen) : Tiefpassfilterung
nur kurze Zeitskalen (hohe Frequenzen) : Hochpassfilterung
Zeitskalen in einem nach oben und un-ten begrenzten Bereich (Frequenzband) : Bandpassfilterung
Filtertechniken6.2 Filterfunktionen R(f) / R(T):
Filterfunktion im Varianzspektrum: Resultierende Zeitreihe:
alle Frequenzen /Perioden
kommen durch
hohe Frequenzen /kurze Perioden
werden herausge-filtert
tiefe Frequenzen /lange Perioden
werden herausge-filtert
besonders hoheund tiefe Frequenzen /
kurze und lange Periodenwerden herausgefiltert
Originalzeitreihemit kompletterVarianz
tiefpassgefilterteZeitreihe
hochpassgefilterteZeitreihe
bandpassgefilterteZeitreihe
f = FrequenzT = Periode
Filtertechniken6.2
Tiefpassfilterung: - einfachste Form der Tiefpassfilterung ist übergreifende Mittelung (“running mean“, gleitendes Mittel):
- statt des festen Vorfaktors (2∙m+1)-1 können auch Filtergewichte wk in Abhän-
gigkeit von k verwendet werden, die eine geglättete gefilterte Zeitreihe erzeugen:
eFilterweit halbe :
iheten Zeitressgefilterder tiefpa Werte: ~itreiheOriginalzeder Werte:
:mit
,...,1,12
1~
m
a
a
mnmiam
a
i
i
m
mkki
m
i
m
mkk
m
mkkik
m
i
w
mnmiawa
1
:mit
,...,1,~
übergreifende Mittelung
Gaußsche Filterung
Filtertechniken6.2 Tiefpassfilterung: - Gaußsche Filtergewichte:
- eigentlich unendliche viele Gewichte, aber meist Abbruch bei:
- Gaußsche Filtergewichte für unter- schiedliche Perioden T*:
- w0 heißt auch Zentralgewicht
- z.B. Herausfilterung der Varianz unterhalb von 9 Zeitschritten (m=4):
0*)(gilt diefür Periode, :
ungrmaverteilStandardnoder ert Funktionsw :
:mit
*
6
TTRT*
z
Tkzwk
10: 0w
wk k
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
wk 0,0075 0,0361 0,1101 0,2130 0,2666 0,2130 0,1101 0,0361 0,0075
m
mkkw 1
Filtertechniken6.2 Tiefpassfilterung: - statt Gaußschen Filtergewichten auch Binomialkoeffizienten b aus dem Pascalschen Dreieck möglich: Binomialfilterung
- häufig sollen auch nur die Instationaritäten herausgearbeitet werden: Trend- polynom 1. oder höherer Ordnung
Eigenschaften der Tiefpassfilterung: - symmetrische Filtergewichte stellen sicher, dass keine Phasenverschiebun- gen auftreten - Normierung auf 1 erhält die Mittelwerte der Zeitintervalle [i-m, .., i+m] - gefilterte Zeitreihe ist an beiden Seiten um jeweils m Daten verkürzt
wieder auf 1 normieren:
N
i
k
b
bw
1
Filtertechniken6.2
Hochpassfilterung: - einfach durch Subtraktion der tiefpassgefilterten Zeitreihe von der Originalzeit- reihe:
- dabei bleibt allerdings der Mittelwert der Zeitreihe nicht erhalten - falls dies unerwünscht ist, einfach Gesamtmittelwert wieder aufaddieren:
- häufig sollen nur die Instationaritäten der Zeitreihe eliminiert werden: Trend- polynom k-ter Ordnung abziehen:
mnmiaaa m
ii
m
i ,...,1,~
mnmiaaaa m
ii
m
i ,...,1,~
ataaa
mnmiaaaak
j
j
iji
ii
m
i
1
0
,...,1,ˆ
mit:
ti = Zeitpunkte
Filtertechniken6.2
Bandpassfilter: - einfachster Ansatz ist doppelte Tiefpassfilterung und anschließende Subtrak- tion der resultierenden Zeitreihen:
- dabei muss zwingend m1 < m2 gelten,
d.h. m2 bewirkt die stärkere Glättung
- unbefriedigend, da kein spektraler Bereich im Zentrum des herausge- arbeiteten Frequenzbandes unver- ändert bleibt
- bessere Methoden arbeiten mit trigonometrischen Funktionen (s. Schönwiese 1992)
mnmiaaaa m
i
m
i
mm
i ,...,1,~~ 2121 ,ai
ãim1
ai
ãim2
äim1,m2 = ãi
m1 – ãim2 + ā
1.
Sc
hri
tt2
. S
ch
ritt
3.
Sc
hri
tt
Harmonische Analyse6.3
jede stetige, unendliche Zeitreihe a(t) kann durch Superposition von Sinus- und Cosinusfunktionen der Teilperioden Pi reproduziert werden:
- Berechnung der trigonometrischen Funktionen heißt harmonische Analyse, wenn die i natürliche Zahlen sind - bei exakt periodischen Zeitreihen reicht eine endliche Zahl von trigonometri- schen Funktionen:
- bei nicht exakt periodischen Zeitreihen unendliche Reihe bzw. nur annähernd reproduzierbar
Beobachtungsdaten (Punkte) lassen sich in diesem Fall bereitsdurch Superposition von 2 Sinus-funktionen beschreiben
Periode :
)()(
T
Ttata
Prozessesliegenden
zugrunde des Periode : Ti
TPi
Harmonische Analyse6.3 Fourier-Analyse: - Rechenverfahren zur Bestimmung der Sinus- und Cosinusfunktionen heißt Fourier-Analyse - Reihe der Funktionen heißt Fourier-Reihe (im Bogenmaß):
- Ai und Bi sind die Fourier-
Koeffizienten:
Funktionenn ometrischeder trigon Anzahl :
kt Zeitpun:
Frequenz :
Periode :
22
:mit
)cos()sin(2
)(11
0
n
t
f
T
fT
tiBtiAB
tan
ii
n
ii
ttitaT
B
ttitaT
A
T
i
T
i
d)cos()(2
d)sin()(2
0
0
Ai und Bi werden groß, wennsin und cos einen guten Fit anZeitreihe a(t) darstellen
mit größerem i erhöht sichFrequenz der sin/cos-Funktionen:
2π sin(1∙ω∙t)
sin(2∙ω∙t)
Harmonische Analyse6.3 Zeitreihen in den Geowissenschaften: - liegen in diskreter Form vor: aj(tj)
- umfassen endliches Zeitintervall: L=n∙Δt - fast nie exakt periodisch
Fourier-Bessel-Entwicklung: - angenäherte harmonische Analyse - nur auf bekannte deterministische Zyklen anzuwenden: Tagesgang, Jahresgang - Entwicklung für i = 1 .. N Stützwerte der Periode T (im Gradmaß):
- Anzahl der Teilschwingungen Pi von T (“Harmonische“) ist N/2:
2,
2,...,1,
360cos)(
2
0,12
,...,1,360
sin)(2
:mit
360cos
360sin)(
2
21
21
2
1
2
1
N
N
N
kkkki
N
N
kkkki
N
iji
N
ijijj
BB
Niti
Tta
NB
AN
itiT
taN
A
tiT
BtiT
Aata
Pmin = 2 ∙ ΔtPmax = T
fmax = (2 ∙ Δt)-1 : Nyquist-Frequenz
Harmonische Analyse6.3
Fourier-Bessel-Entwicklung: - Bsp. Aufspaltung des Jahresgangs in harmonische Teilschwingungen:
56
45
34
23
12
01
26
5,25
34
43
62
121
gungenTeilschwin62
N
12N
12t12T
Monat1
HT
P
HT
P
HT
P
HT
P
HT
P
HT
P
t
Pmin = 2 MonatePmax = 12 Monatefmax= 0,5
Harmonische Analyse6.3 Fourier-Bessel-Entwicklung: - durch das i-te Glied der Reihe erfasster Varianzanteil der Gesamtvariant s2:
- Ci2 repräsentieren die Amplituden der i-ten Teilschwingung
- Varianzanteile sind von additiver Eigenschaft - Zeitpunkt ti
max, bei der die i-te Teilschwingung ihr Maximum aufweist ist
gegeben durch:
- nur anzuwenden bei deterministisch erzeugten Zeitreihen (Tagesgang, Jahresgang, Gezeiten) - häufig kann deterministische periodische Ursache komplexe Überlagerung von Perioden erzeugen, die nur mit mehreren Harmonischen reproduziert ist - Verfahren der Zerlegung in harmonische Teilschwingungen kann auch als Zeitreihenfilter genutzt werden, indem bei der Rekonstruktion der Zeitreihe eine oder mehrere Teilperiode Pi ausgelassen werden:
222
2
2
,2 iii
i BACs
C
i
ii
B
A
i
Tt arctan
360max
32
3
32
3
360cos
360sin)(
N
iji
N
ijijj ti
TBti
TAata Bandpassfilter
Harmonische Analyse6.3
Fourier-Bessel-Entwicklung: - Problem der Frequenzmissdeutung (“aliasing“): bei diskreten Zeitreihenwerten kann zeitliche Schwankung der wahren Periode T1 als niederfrequentere
Schwankung der Periode T2 > T1 missinterpretiert werden:
- durch geeignete Mittelwertbildung oder Filterung zu verhindern
• : diskrete MesswerteT1 : reale PeriodeT2 : vorgetäuschte Periode
Harmonische Analyse6.3 Fourier-Bessel-Entwicklung: - Bsp. harmonische Analyse eines Temperaturtagesgangs:
...215cos09,0
15cos30,1
...215sin84,0
15sin13,22,38)(
...,09,0,30,1
...,84,0,13,2
24,...,2,1360
cos2
360sin
2
21
*
11
21
*
11
*
*
t
t
t
tta
BBaB
AAaA
i
tiTN
B
tiTN
A
jj
N
jjj
N
jjj
jij
jij
%909,096,32
85,0
2,%7979,0
96,32
50,2
2
96,3
85,009,084,0,50,2)30,1()13,2(
2
2
2
2
2
2
2
1
2
22
2
222
1
2
11
s
C
s
C
s
CBAC
Superposition der 1. und 2.Harmonischen (24h und 12h)erfasst 88% der Gesamtvarianz
24
24
24,...,1,
1
N
T
jt
ht
j
Spektralanalyse6.4
in Geowissenschaften häufig Transformation der Zeitreiheninformation in eine spektrale Darstellung:
- die spektrale Darstellung gibt Aufschluss über die typischen Zeitskalen der Variabilität innerhalb einer Zeitreihe und somit über die zugrunde liegenden Prozesse - Ergebnis ist das sog. Varianzspektrum (“power spectrum“), welches die relativen spektralen Varianzanteile darstellt - im Gegensatz zur harmonischen Analyse für beliebige nicht periodische Zeitreihen - Ausgangspunkt ist, dass sich jede beliebige Zeitfunktion a(t) in einen Aus- druck der spektralen Dichte transformieren lässt (Fourier-Transformation):
nderFrequenzbä :
1
)()(
i
iijj
fT
f
fAta
Einheit imaginäre : 1
d)()( 2
i
tetafg tfiimaginäre Zahl: Produkt aus reeller Zahlund imaginärer Einheit: x∙i , x ≠ 0
komplexe Zahl: Summe aus reeller Zahlund imaginärer Zahl: z = x∙i + y
Spektralanalyse6.4 spektrale Varianzanalyse: - klassisches Verfahren ist eigentlich die Fast-Fourier-Transformation (FFT), aber diese besitzt keinen direkten Bezug zur Varianz und keine Signifikanz- prüfung - diese Nachteile vermeidet die spektrale Varianzanalyse (“power spectrum analysis“ = PSA) - basiert auf der Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion: normier- tes Spektrum:
- Fourier-Transformation einer diskreten endlichen Zeitreihe ist relativ aufwendig - nur mit Tischrechnern oder Großrechnern zu berechnen und je nach Anwen- dungssoftware durchaus markante Unterschiede im Ergebnis - es existiert auch die Möglichkeit, zwei verschiedene ZVA spektral zu verglei- chen: Kreuzspektralanalyse
1)(1d)(1
N
iii fAffd
spektrale Korrelation = Kohärenz
Spektralanalyse6.4
spektrale Varianzanalyse: - Schätzung des Varianzspektrums Sp für Frequenzintervalle h = Δfh = 0,1,…,M
mit der maximalen Zeitverschiebung M (vgl. Autokorrelationsfunktion):
- Filterfunktion D(k) heißt “hamming window“ und ermöglicht erst die Anwen- dung der Fourier-Transformation auf endliche Zeitreihen
tionFilterfunk :
0,0
0,cos12
1)(
nanzfunktioAutokovari : )()(1
1)(
:mit
, )1()()()0(2
1)(
0,cos)()()0(2
1)(
0, )()()0(2
1)0(
1)(][
1
1
22
1
1
22
1
1
22
kMk
MkM
kkD
aaaakn
ks
MhkskDsM
MSp
MhM
khkskDs
MhSp
hkskDsM
Sp
kn
ikkikiA
M
k
k
AA
M
kAA
M
kAA
Spektralanalyse6.4
spektrale Varianzanalyse: - Varianzspektrum Sp(h) , h=0,1,..,M ist eine Schätzfunktion basierend auf einer STP-Zeitreihe und einem erfassten Frequenz- / Periodenbereich - diese Frequenzen (f) / Perioden (T) sind Intervalle als Funktion der sog. Har- monischen h:
- maximale und minimale Frequenzen / Perioden:
- Spektrum ist begrenzt auf höchste auflösbare Frequenz fmax (Nyquist-
Frequenz), so dass die gesamte spektrale Varianz s2a+ nicht mit der Zeit-
reihenvarianz s2a identisch ist:
- die kleinste auflösbare Frequenz ist fmin+ , wobei in fmin= 0 das Residuum der
nicht aufgelösten niederfrequenten Varianz akkumuliert wird - angegeben werden jeweils die mittleren Frequenzen h der Frequenzintervalle fh
h
tMT
tMh
f hh
2,
2
tTtMTTt
ftM
ff
2,2,2
1,
2
1,0
minmaxmax
maxminmin
M
haa shSps
0
22 )(
Spektralanalyse6.4
spektrale Varianzanalyse: - Bsp. Zeitreihe mit 200 Jahresmittelwerten (z.B. Temperatur):
- Sp(h) wird als Rohspektrum be- zeichnet und vor der Interpreta- tion häufig mit einem sog. “hanning window“ geglättet:
Jahre 100
1,Jahre 100
Jahre 2
1,Jahre 2
Jahr 1
504
200
minmax
maxmin
fT
fT
t
nM
n
Varianzspektrum besteht aus 51 Schätzwerten für die Harmonischen h = 0, 1, …, 50
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f ∞ 10,0 5,0 3,0 2,5 2,0 T
CO2-Trend
Ozean
TBO
)()1(2
1)(
)1()0(2
1)(
)1()(2)1(4
1)0(
~
~
~
MSpMSpMSp
SpSphSp
hSphSphSpSp
Spektralanalyse6.4 spektrale Varianzanalyse: - unendliche Zeitreihen der GG und zugehörige Varianzspektren:
Sinusfunktion durch eine Harmonsichereproduzierbar und nur ein Spektral-beitrag
Superposition von 2 Sinusfunktionen äußert sich in zwei Spektralbeiträgen
zyklische Schwankungen mit Zufalls-effekten ist durch breiteren Bereich imVarianzspektrum gekennzeichnet
reine Zufallsdaten enthalten identischeVarianzanteile in allen Frequenzberei-chen: weißes Rauschen / weißes Spektrum
Zufallsdaten mit Autokorrelation (z.B. Trend)haben Varianzanteile zu langen Perioden hinverschoben: rotes Rauschen / rotes Spektrum
Spektralanalyse6.4
spektrale Varianzanalyse: - Varianzspektren Sp(h) sind hingegen Schätzwerte zur Beschreibung von STP über endliche Zeitfenster - Hypothesenprüfung, inwieweit bestimmte Maxima in Sp(h) auf zugrunde liegende Prozesse in der GG zurückzuführen sind:
- Nullhypothese kann ein weißes Rauschen zugrunde legen (einfachster Fall):
- bei Autokorrelation muss Nullhypothese hin- gegen rotes Rauschen zugrunde legen (häufiger Fall in den Geowissenschaften):
H0 : Maxima sind zufälligH1 : Maxima sind nicht zufällig
%5
%5
Spektralanalyse6.4
spektrale Varianzanalyse: - für rotes Rauschen muss das rote Spektrum der GG geschätzt werden: für die GG-Autokorrelation wird sog. Markov-Kette angenommen (Markov-Modell des roten Rauschens):
- für das Markov-Modell berechnet sich das theoretische rote Spektrum zu:
- viele Statistikbücher enthalten Tabellen der Werte des Markov-Spektrums für variable Werte k/M unter unterschiedliche STP-Autokorrelationen
ngVerschiebu maximale :
1k bei STPder fizient ationskoefAutokorrel : )1(
:mit
,...,1,0,)1()(
M
r
Mkrkr
A
k
AA
1
00 1 2 3 4 5 5 6 7
k
rA
.const1
:mit
cos)1(2)1(1
)1(1
2
2
MSp
Mk
rr
rSp
M
kSp
W
AA
AWR
SpR
Spektralanalyse6.4
spektrale Varianzanalyse: - zur Hypothesenprüfung, ob sich ein gegebenes Maximum im STP-Varianz- spektrum nun signifikant vom weißen oder roten Hintergrundrauschen absetzt, kann Konfidenzintervall des Spektrum (weiß / rot) unter H0 über einen χ2-Test
geschätzt werden:
M
Mn
M
kSp
M
kCL WR
22
:mit
2
,/
Bsp. Zentralengland-temperatur 1660-1969:
n = 310M = 100R = SpR
signifikante Zyklen beiα = 5%:
100 Jahre 2,15 Jahre
α = IrrtumsniveauΦ = Freiheitsgrade
“Take-away“
Die Erhaltungsneigung von Daten im Raum oder in der Zeit wird durch die Autokorrelationsfunktion ausgedrückt.
Bei der Bestimmung von Zusammenhängen zwischen zwei ZVA lassen sich bei der Kreuzkorrelation auch Zeitverzögerungen in der Reaktionszeit berücksichtigen.
Die Filtertechniken erlauben die Eliminierung bzw. Betonung bestimmter Varianzanteile in Datenreihen.
Jede Zeitreihe lässt sich in eine endliche (periodisch) oder unendliche (nicht periodisch) Reihe von trigonometrischen Funktionen zerlegen.
Bei der harmonsichen Analyse lässt sich diese Zerlegung in Teil-schwingungen vornehmen, die ganzzahlige Vielfache einer Grundschwin-gung der Periode T sind.
Eine verallgemeinerte Form der spektralen Varianzzerlegung ist durch die spektrale Varianzanalyse gegeben, wobei das resultierende Varianz-spektrum eine Schätzung darstellt, die über eine Markov-Kette zu testen ist.
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