Post on 11-Aug-2019
transcript
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 1
6. Wellen (Waves)
Wellen: - "Schwingungen", welche sich ausbreiten
- erzeugen räumliche und zeitliche Zustandsänderungen
- Energie wird transportiert
Anzahl der
Komponenten
Form Ausbreitung Beispiele
wenige Schwingung ortsfest Pendel
1 Körper Eigenschwingung
'stehende Wellen'
im Körper Stimmgabel, „Hui-Maschine“
viele Wellen Fortpflanzung Schallwellen (Akustik)
Optik (em - Wellen)
Beschreibung:
Schwingung (Oscillation) Welle
Darstellungsarten:
Amplitude an einem Ort zu vielen
Zeitpunkten
Amplitude zu einem Zeitpunkt an
vielen Orten
y
t
y
t
y
1 Ort x
x
1 Zeitpunkt t
Ausbreitungsrichtung
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 2
Wellen in der Mechanik und Akustik:
Deformation eines Mediums greift auf Nachbarbereich über
Fortschreiten der Deformation (z.B. elastische Eigenschaften wie Feder) Welle
Dieser Wellentyp benötigt ein Übertragungsmedium z.B. Luft oder Metall
Bsp.: - Schallwellen, Oberflächenwellen (Wasser)
- Versuch: Stimmgabel Eigenschwingungen Wellen
Wellen in der Elektrotechnik (Funk) und Optik:
Bezeichnung: Elektromagnetische (em) Wellen, „funktionieren“ auch im Vakuum
JAVA Applet: Elektromagnetische Welle
Grundlagen („nur zur Info“ – relevant sind ebene harmonische Wellen)
Wellengleichung
- aus den Maxwellgleichungen
- 3D mit Vektoren
2
2
22
2
td
yd
c
1
xd
yd
(WE - 1)
- c: Ausbreitungsgeschwindigkeit
Problem: Randbedingungen
allgemeine Lösung
ctxy
(WE - 2)
Gesucht: Funktion mit 2. Ableitung nach Zeit proportional zu 2. Ableitung nach Weg x
Einfachster Fall (1D): sin(t kx) bzw. cos(t kx)
Fälle (Wellenformen, s.u.):
- Kugelwellen (freie Ausbreitung, z.B. Böller in Luft)
- Ebene Wellen (z.B. Laserstrahl)
- Wellen in Hohlleitern
- ...
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 3
6.1 Ebene Harmonische Wellen
‘Einfachste’ Welle mit kleiner, sinusmodulierter Amplitude sowie einer Richtung und Frequenz
z.B. Laserpointer
Ebene Harmonische Wellen
allgemein: vektoriell,
hier „genügt“ 1D:
y = yo sin(t kx + )
(WE - 3)
mit
Maximalamplitude yo
Kreisfrequenz T
2 ; f2 ;
f
1T ;
s
1
Periodendauer T ; [T] = s
Wellenzahl
2k
; m
1k
Wellenlänge ; [] = m
Phase (Bogenmaß)
+ : nach links fortschreitend (gem. DIN)
- : nach rechts fortschreitend
Ausbreitung
Polarisation: „hier nicht betrachtet“, zum Weiterlesen
Bestimmung von Werten aus Skizze:
- Wellenlänge = 4 (cm) m
1157
m04,0
2k
- Periodendauer = 4 (s) s
157,1
s4
2
- Amplitude z.B.: yo = 4 cm (Unterschiedliche Einheiten für Mechanik, Akustik, HF, Licht)
- Wellengleichung: x157t57,1sin4)t(y (mit den entsprechenden Einheiten)
y
t x
Wellental -berg
Periodendauer T
Wellenlänge
yo
1
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 4
Frequenz und Wellenlänge sind über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:
Ausbreitungsgeschwindigkeit (velocity of propagation)
[c] = m/s
c = f
(WE - 4)
c hängt ab von - Typ akustische- oder em-Wellen
- Medium (z.B. Luft, Wasser, ...)
- Frequenz (Dispersion, z.B. Spektralzerlegung Prisma)
- Wellenart (s.u.)
Bem.: - c ist Materialgröße
- em Welle im Vakuum oo
o
1c
300.000 km/s
- co entspricht max. Geschwindigkeit gem. Relativitätstheorie
- f bleibt konstant nach E = h , d.h. Wellenlänge 'passt' sich an
Ausbreitungsgeschwindigkeit Beispiele
Akustik (Schallgeschwindigkeit) Luft 330 m/s Eisen 5000 m/s
Elektromagnetische Wellen
(Lichtgeschwindigkeit) Luft 300.000 km/s Glas 200.000 km/s
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 5
6.2 Wellenlänge und Frequenz (c = f )
(alle Angaben ca.-Werte)
6.2.1 Akustik cLuft = 330 m/s
Bezeichnung Frequenzbereich Wellenlänge
Infraschall < 20 Hz > 15 m
Hörbereich 20 - 20.000 Hz 0,015 - 15 m
Ultraschall > 20 kHz < 0,015 m
6.2.2 EM-Wellen cLuft = 300.000 km/s
Bezeichnung Frequenz /Hz Wellenlänge
- Strahlung
1019
3 10-11 m
Röntgenstrahlung
1017
3 nm
UV
1016
30 nm
sichtbares Licht
5 x 1014
600 nm
Infrarot
1013
30 µm
Mikrowellen
1010
3 cm
UKW
108
3 m
KW
107
30 m
MW
106
300 m
LW
105
3 km
sichtbares Licht
Farbe Frequenz /1012Hz Wellenlänge /nm
Blau 630 475
Grün 550 550
Rot 460 650
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 6
6.3 Wellenformen
Kugelwellen Geometrie Ebene Wellen
Welle
(weit weg)
Theorie
Beugung
Welleneigenschaften
berücksichtigen
0
kleine Ab-
messungen
Strahlen (Geometrische Optik)
Wellencharakter vernachlässigt
Bsp.
- Sonne
- China-Böller (in Luft)
- Wasserwelle’
- Spalt
- Laser
- Sonnenlicht auf Erde
- Megaphon
Dies sind nur 2 ideale Fälle, es gibt viele weitere
Formen
Bsp.: Richtfunkantenne
Geometrische Dämpfung bei Kugelwellen
²r
1~)r(I
Quellintensität breitet sich kugelförmig aus
Beispiel : I(x = 1m) = 1 ; I(x = 2m) = 0,25
Antenne
Abstrahl-charakteristik
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 7
Es gibt auch noch andere Arten von Wellen:
Wellenausbreitung nach dem Huygens‘schen Prinzip
Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Eine neue Wellenfront ergibt sich
aus der Überlagerung aller Kugelwellen. Hiermit lassen sich viele Wellenphänomene wie
Reflexion, Brechung und Beugung in einfacher Weise quantitativ beschreiben.
JAVA Applet: OPTIK Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)
Wellen-frontbeisehrvielenKugel-wellen
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 8
6.4 Wellenarten
Longitudinal (Longitudinal) Transversal (Transversal)
Beispiel
Akustik (Schall) (acoustics) - em-Wellen (Funk, Licht)
- Seil-, Wasserwelle
Ausbreitung „Medium erforderlich“ „geht im Vakuum“
Auslenkung /
Fortpflanzungs-
richtung
|| (parallel)
(senkrecht)
1 Zeitpunkt
y = po sin(t + kx) + pN
pN : Normaldruck
Longitudinalwellen breiten sich als
'Deformation' aus, die Amplitude
hat dieselbe Richtung wie die
Ausbreitungsrichtung:
- Stab nach Anschlagen
- Luft mit Druckschwankungen
E-Feld synchron und
senkrecht zu B-Feld
JAVA Applet: Elektrodynamik
Elektromagnetische Welle
Schwingungsrichtung Polarisation
Bsp.: - Polfilter
- H bzw. V-Polarisation
bei SAT-Signalen
y
x
niedriger hoher Druck
p
x
0
Normal-druck
pN
y
t
Seil 2D
y
x
Licht 3Dz
Ausbreitungsrichtung
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 9
6.5 Wichtige Begriffe und Definitionen der Wellenlehre
(hier vereinfacht für Ebene Wellen, Bezeichnungen und Abkürzungen s.o.):
Intensität
Quadrat der Amplitude (immer positiv) in der Optik
I = y²
(WE - 5)
Achtung
Die Frequenz der Intensität ist
wegen des 'Gleichrichteffektes'
scheinbar doppelt so groß wie die
der Welle
Bsp: 230 V-Glühlampe mit 50 Hz.
Hier misst man mit einer
Photodiode 100 Hz.
Superpositionsprinzip
nur kleine Amplituden, sonst nichtlineare Effekte
yr = y1 + y2 + ... = yi
(WE - 6)
Interferenz Phänomene bei der Überlagerung von Wellen (siehe auch Gangunterschied)
Gangunterschied
k2
(WE - 7)
Intensität
-1
-0,5
0
0,5
1
0 2 4 6 8 10
x, t
rel. Wert
sinx
sinx^2
Welle
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 10
Bsp: 2 Wellen gleicher Frequenz und Richtung, 1D
y1 = sin(t - kx)
y2 = sin(t - kx + )
yr = y1 + y2 = ?
Rechenregel:
sin + sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]
yr = 2 cos[/2] x sin(t - kx + /2)
Amplitude x Interferenzterm
( hier 90°)
typische Werte
/° /rad yr
0 0 2 0
90 /2 1,4 /4
180 0 /2
Bei der Überlagerung gelten für Wellen bzgl. Wellenlänge dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für
Schwingungen bzgl. ihrer Phase:
Schwingungen Wellen m = 0, 1, 2, ...
Verstärkung
Gleichphasig
= 0°
konstruktive Interferenz
= m
Auslöschung
Gegenphasig
= 180°
destruktive Interferenz
2
1m2
(WE - 8)
Anwendung: - Beugung
- Interferometrie (Michelson - Morley, Relativitätstheorie)
- Lärmreduktion mit gegenphasiger Schallerzeugung
Beispiel: Bose QuietComfort 15 Acoustic
Noise Cancelling - Kopfhörer
JAVA Applet: Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen
y
x
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 11
Beispiele für Interferenz
Interferenz ebener Wellen
blau : Wellenberge
Interferenz zweier radialer Wellen (Wasser)
Beispiel Überlagerung zweier Wellen
Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene
Ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 2121 kk )
Resultierende Intensität Ir = (y1 + y2)² = y1² + y2² + 2 y1 y2 (binomische Formel)
also nicht die Summe der Einzelquadrate!
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 12
6.5.1 Überlagerung von Wellen (Superposition)
Parallele Überlagerung: Schwebung
JAVA Applet: Schwebungen, Versuch mit zwei Stimmgabeln leicht unterschiedlicher Frequenz
Beachte Einhüllende mit niedrigerer Frequenz
Rundfunkübertragung : - AM : Amplitudenmodulation (s.o.)
- FM : Frequenzmodulation (Sendefrequenz ist amplitudenabhängig)
Vorteil: Signalschwankungen beeinflussen Empfang nicht
Frequenzverhältnis 9:10
t
Amplitude
Frequenzverhältnis 1:10
t
Amplitude
ÜberlagerungSignalfrequenz
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 13
Parallele Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz
Bei senkrechter Überlagerung : Lissajous-Figuren, z.B. Oszi im x-y-Betrieb (Normal y-t)
Gleiche Phase : Maximale Verstärkung
-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20
t
Amplitude
Überlagerung
Phase 180° (gegenphasig) : Auslöschung
-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20
t
Amplitude
Überlagerung
beliebige Phase
-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20
t
Amplitude
Überlagerung
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 14
6.6 Reflexion und Brechung (Reflection and Refraction)
Trifft eine Welle an der Grenze eines Medium auf ein anderes so wird sie völlig (z.B. Licht auf
Spiegel) oder teilweise (Licht auf Wasser) reflektiert; der übrige Teil wird gebrochen; oder alles
wird absorbiert (schwarze Oberfläche). Beispiel aus der Akustik: Echo
Versuche: - Reflexion Laserstrahl Spiegel (gerichtete Reflexion) bzw. Leinwand (diffus)
- Laser auf doppelte Fensterglasscheibe ergibt 4 sichtbare Reflexionen auf Papier
JAVA Applet: - Reflexion und Brechung von Licht
- Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)
Bemerkungen:
- Die nachfolgenden Gesetze gelten für akustische und em-Wellen.
- Intensitätsverteilung Reflexion - Brechung kompliziert!
(z.B. Langkau, Lindström, Scobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg)
Reflexion und Brechung treten auf, wenn eine Welle auf einen Übergang von einem Medium in ein
anderes trifft. Die Intensitätsverteilung zwischen gebrochenem und reflektiertem Anteil ist nur
mittels exakter Rechnung mit em-Wellen zu erhalten. Die räumliche Verteilung des reflektierten
Anteils hängt von dem Material und der Oberfläche ab, wie z.B. bei Glas, Spiegel oder Leinwand.
n2 > n
1
'
Reflexion
Brechung
Bsp.: Luft
Glas
ideal
diffuse Reflexion
n1
Intensitäts-verteilungReflexion
einfallender Strahl
c1
c2
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 15
6.6.1 Reflexion
Gerichtete Reflexion gilt nur Idealfall z.B. für Spiegel :
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
= '
(WE - 9)
(Reflexion nur in einer einzigen Richtung sichtbar)
Problem: Intensitätsverteilung bei Reflexion und Brechung (s.u.)
Anwendung Reflexion: Parabolspiegel
Wellenrichtung umkehrbar
verstärkter Empfang von Wellen (em / akustisch)
z.B. Sat-Schüssel, Vogelstimmen-Mikro
1 m² Antennenfläche 1 cm² Empfängerfläche
Aussenden "gerichteter" Strahlen:
Richtfunk (em), Megaphon,
Autoscheinwerfer, Taschenlampe
Weitere Beispiele: - Nierenlithotripter (Ellipse)
- Funkwellen: Reflexion an oberen Luftschichten
Überreichweiten (‘round the world in 0,1s’)
- Katakaustik bei Reflexion an Kreis, z.B. Kaffeetasse
Beispiel:
Reflexion an Spiegel
Diffuse Reflexion
Tritt bei ‚unebenen‘ Grenzflächen wie z.B. bei
Leinwänden, Papier, Pflanzen, den meisten Baustoffen
etc. auf. Das reflektierte Licht ist von allen Seiten fast
unabhängig von der Blickrichtung sichtbar. Wird auch
zur „Entspiegelung“ bei Displays (matt) verwendet.
Empfänger / Sender
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 16
6.6.2 Brechung
Versuch: Reflexion und Brechung eines Laserstrahls an einem Stapel von Plastikplatten.
Definition der Brechung: Brechung tritt auf bei Übergang von einem Medium in ein anderes
Gilt sinngemäß auch für Reflexion!
Reflexion: = '
n2 > n1 (unten optisch dichter)
c1 > c2 (oben schneller)
Huygenssches Prinzip:
unterschiedlicher zurückgelegter
Weg in oberem und unteren
Medium in derselben Zeit wegen
unterschiedlicher
Ausbreitungsgeschwindigkeit
JAVA Applet: Reflexion und Brechung von Licht
Snelliussches Brechungsgesetz
n: Brechungsindex (Index of Refraction)
Akustik
2
1
Optik
1
2
c
c
n
n
sin
sin
(WE - 10)
n ( : Dielektrizitätskonstante): Zusammenhang Optik - ET / hoch- niedrigfrequent
Wellenlängen- bzw. Frequenzabhängigkeit: Dispersion: n = n() = n(f), z.B. Regenbogen
Dielektrizitätskonstante: r = r(f) in der ET
Bsp: Reflexion: Bild im See, am Fenster, Echo, Reflexion an Fensterglas ca. 4%
Brechung: Stab ins Wasser, "Knick"
n1 c1
n2 c2
Weg und in gleicherZeit zurückgelegtin Medium 1 und 2
Wellenfront
Lot
2
1
s
s1
c
2c1
s2
s
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 17
Medium Brechungsindex für = 600 nm
n = cvakuum / cmedium ; n = n()
Glas 1,5
Luft 1,003 nVakuum = 1
Wasser 1,333
Diamant 2,4
Bsp: Luft Wasser = 30° = 22°
zum Weiterlesen : Doppelbrechung (Birefringence)
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 18
Totalreflexion (Total Reflectance)
- tritt auf bei Übergang von optisch dichterem in optisch dünneres Medium
- bei einem bestimmten Winkel wird der einfallende Strahl nur noch in der Grenzschicht geleitet
- bei größeren Winkeln tritt der Strahl nicht ins dünnere Medium über Totalreflexion
Totalreflexion für alle g
Anwendung: Prisma
Lotwinkel hier 45° > g (38°)
nur Reflexion, keine Brechung, Erklärung: komplexe Wellenoptik
Medium Grenzwinkel zu Luft
Diamant 23°
Glas 38°
Wasser 49°
dichter n1
dünner n2 < n1
Totalreflexion
g
1
2g
n
nsin
45°
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 19
Anwendung der Totalreflexion
Lichtleiter - Glasfaserkabel
kann auch gebogen werden solange
Totalreflexionsbedingung erfüllt bleibt n1
n2 < n1
10 µm
nicht, da Totalreflexion
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 20
6.6.4 Wellenbetrachtung der Reflexion
Festes Ende (mechanisch) bzw. optisch
dichteres Medium
Loses Ende (mechanisch) bzw. optisch
dünneres Medium
Phasensprung um
Wellenknoten
keine Phasensprung
Wellenbauch
Wellenknoten: Amplitude immer Null, auch Schwingungsknoten
Wellenbauch: hier tritt die Maximalamplitude auf, auch Schwingungsbauch genannt
JAVA Applet: Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)
t t
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 21
Zeitlicher Verlauf: Bei T = T/4 ist der Phasensprung um bei festem Ende zu erkennen
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 22
6.7 Wellen in begrenzten Medien / Stehende Wellen
Def: Wellen (hier 2) die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das gleiche Medium
durchlaufen überlagern sich zu einer stehenden Welle.
Voraussetzung: Amplitude, Frequenz konstant und feste Phase
Am häufigsten geschieht dies durch Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzfläche; dies gilt
sowohl an dichteren/festen als auch an dünneren/losem Medium/Ende.
Beispielrechnung:
y1 = sin(t - kx) nach rechts
y2 = sin(t + kx) nach links
yr = y1 + y2 = 2 cos(kx) sin(t) (Mathe: Summenformel Sinus)
Das ist Schwingung mit ortsabhängiger Maximal-Amplitude (k = 2 /) und zeitlicher Modulation.
JAVA Applet:
- Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)
- Stehende Längswellen
Wellenknoten -bauch
x
y
2
2cos(kx) = 0 = 1
sin( t) = 1
sin( t) = 0
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 23
Was passiert, wenn man beispielsweise eine Saite anzupft?
Die Phänomene der Eigenschwingung bei festem und losem Ende können sehr schön mit einem
Stab oder Lineal ausprobiert werden.
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 24
In einem Medium begrenzter Länge L kann sich eine Stehende Welle (zeitlich und örtlich
konstante Überlagerung einer Welle mit sich selbst) nur ausbilden, wenn nachfolgende
Bedingungen erfüllt sind:
'Enden' Eigenschwingung
(Eigen Frequency))
1. Oberwelle
(Second Harmonic)
Wellenlänge
(Wave Length)
2 freie
Bsp.: Leerrohr
2 feste
Bsp.: Gitarrensaite
f2f;L 11
(WE - 14)
n
n
n
cf
1n
L2
n = 0, 1 , 2
Fest + frei
Bsp.: Blasen über
Sprudelflasche
f3f;L3
411
n
n
n
cf
1n2
L4
Siehe auch: JAVA Applet Stehende Längswellen
Obige 'Bilder' erhält man durch Erfüllen der Randbedingungen (fest, lose) unter Berücksichtigung
von Wellenknoten (Intensitätsminimum) und -bäuchen (Intensitätsmaximum) sowie Einpassen der
Wellenlängen bzw. deren Bruchteilen.
Anwendung: - Musikinstrumente (z.B. Orgelpfeifen, Klavier, Gitarre)
- Optik : Resonator, Laser
- Antennen (z.B. UKW : 100 MHz 3 m /4-Antenne l = 75 cm)
Warum singen Männer lieber in der Badewanne (L = 1,8 m) , Frauen im WC (L = 1 m) ?
Resonanz mit 2 festen Enden: Männer haben eine tiefere Stimme größere Wellenlänge
L
cf1 ergibt Stehende Welle für Badewanne mit 180 Hz bzw. WC mit 330 Hz, etc.
A
xL
Wellenbauch -knoten
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 25
Warum kann man Musikinstrumente unterscheiden - auch wenn sie alle
denselben Ton (z.B. Kammerton 440 Hz) spielen? (Nur zur Info)
Die unterschiedliche Verteilung der Oberwellenintensitäten 'macht' den Klang eines
Musikinstrumentes (Skizziert, real keine scharfen Peaks).
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Trompete rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Horn
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Oboe rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Clarinette
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 26
Machscher Kegel / Schallmauer (Sonic Barrier) (Nur zur Info)
Bei schnell fliegenden Flugzeugen entsteht der sog. Machsche Kegel, dessen Spitze beim
Durchbrechen der Schallmauer 'durchstoßen' wird, d.h. „der Schall kommt nicht mehr nach.“
‚Klappt‘ auch im Wasser :
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 27
7. Optik (Optics)
7.1 Anwendungen von Reflexion und Brechung in der Optik
Effekt: Reflexion und Brechung Richtungsumlenkung
Spektralzerlegung durch Dispersion n = n( ):
gilt auch für Linsen und das Auge Unschärfe bei Farbbildern!
weiß
Prisma
spektralzerlegt
Dispersion
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 28
7.1.1 Optische Effekte in der Atmosphäre (zur Info)
Prinzip: wellenlängenabhängige Brechung des Sonnenlichtes (Dispersion)
Himmelsblau
Rayleigh - Streuung
Sonnenauf- / -untergang
(vereinfachende Erklärung)
Regenbogen (Rainbow)
1 Reflexion 2 Reflexionen (intensitätsschwächer)
Erde
weiß
Luftweiß Luft
Erde
weiß
42°
Sonne
Regentropfen
Hauptregenbogen 42° Nebenbogen 52°Farbabfolge umgekehrt
weiß
rotations-
symmetrisch
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 29
Regenbogen
Wie ist dieses Bild entstanden?
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 30
Nur zur Info (diese Seite):
Spektrum des weißen Sonnenlichtes inkl. Treibhausproblematik (CO2)
Spektralzerlegung von weißem Licht
Der rechte und linke Rand (li.) erscheint dunkel, da
das Auge dort relativ unempfindlich ist im
Gegensatz zu Photodioden (re).
Die Spektralzerlegung (d.h. Zerlegung nach 'Frequenzen' - Analogie zur Fouriertransformation)
geht auch mit (optischen) Spalten oder Gittern!
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 31
7.2 Geometrische Optik
Definition / Näherung: - Licht breitet sich strahlenförmig und geradlinig aus,
- 'Licht' besitze keine Welleneigenschaften, d.h. 0
Bsp: Laser und Sonnenlicht erfüllen die Näherung gut
Grenze der Geometrischen Optik:
kleine Abmessungen im Bereich der Wellenlänge, z.B. Spalte
Näherung dicke Linsen (real) dünne Linsen
Prinzip von Linsen (lens):
durch geschickte Formgebung unter
Anwendung der Brechung (s.o.) werden
nutzbare Effekte erzielt!
Wichtigste Linsenformen bikonvex Bikonkav
Symbol
Funktion: (Normalfall)
Umgebung optisch dünner
Sammellinse
Zerstreuungslinse
" " dichter Zerstreuungslinse Sammellinse
Nur zur Info:
Effekte an Linsen Erwünscht Entsteht durch Abhilfe
Brechung +
Reflexion - Vorder- und Rückseite Vergütung
Absorption - molekulare Absorption Spezialglas
Streuung - Verunreinigungen Hochreines Glas
Dispersion - Material Spezialglas
Thermische Ausdehnung - Material Spezialglas
Optimierungsmöglichkeiten meist nicht gleichzeitig realisierbar.
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 32
Beispiel
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 33
Allgemeine Regeln zur Linsenkonstruktion (DIN 1335)
- Lichtrichtung von links nach rechts
- Gegenstandsgröße (von optischer Achse aus):
y (früher G)
- Bildgröße (von optischer Achse aus):
y' (früher B)
- Gegenstandsweite: a (früher g)
- Bildweite: a' (früher b)
- Brennweite: f (positiv bei Sammellinse)
- Brennpunkt: F
- Die y-Achse ist nach oben positiv,
die x-Achse nach rechts
- Der Lichtweg ist umkehrbar
Abbildungsgleichung
z.B. zur Bestimmung der Brennweite
Annahme ist immer „scharfe“ Abbildung.
Abbildungsmaßstab
a
1
'a
1
f
1
(OP - 2)
Achtung: a und y‘ sind hier als Betrag einzusetzen, also ohne das Vorzeichen (Definition)
des Koordinatensystems. Dies geschieht aus praktischen Gründen, da Längen „betragsmäßig
gemessen“ werden
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 34
7.2.1 Sammellinse als Dünne Linse
Kennzeichen: Brennweite f > 0 ; z.B. + 30mm
Konstruktionsprinzip: - Parallelstrahl F' - (Brennpunkts-) Strahl
{auch Gegenstand – Brennpunkt F Lines Parallelstrahl}
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse behält Richtung bei
Fall Konstruktion Bild Beispiel
a < f
virtuell,
vergrößert,
aufrecht
Lupe
f < a < 2f
reell,
vergrößert,
umgekehrt
Projektor
a > 2f
reell,
verkleinert,
umgekehrt
Fernrohr
JAVA Applet: Bilderzeugung durch Sammellinsen
Die Linsen sind mit ihrer Form gezeichnet, die Konstruktion vernachlässigt aber ihre Dicke!
F F'
aa'
f
yy'
optische
Achse
F
f
aa'
y'
yF'
2f
F
f
aa'
y'
yF'
2f
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 35
„Klassische“ Aufgabe aus der Praxis:
Aufnahme eines Gegenstandes mit einer Kamera, z.B. bei der Produktionsüberwachung
- Gegenstand meist größer als Kamerachip verkleinerte Abbildung a > 2f Prinzip „Fernrohr“
- Gerechnet wird üblicherweise in Millimeter
Abbildungsgleichung:
a
1
'a
1
f
1
Abbildungsmaßstab
Löst man den Abbildungsmaßstab nach a‘ (Abstand Linse – Chip, „meist unbekannt“) auf und setzt
dies in die Abbildungsgleichung ein, so erhält man:
(
)
Gesucht wird beispielweise
- Brennweite des Objektivs bei gegebener Gegenstandgröße und –abstand
- Abstand der Kamera vom Gegenstand bei gegebener Brennweite des Objektives
und gegebener Gegenstandgröße
Typische Sensorgröße in der industriellen Bildverarbeitung: ½ ‘‘ mit 6,4 x 4,8 mm² Größe
Industrielle Kameras haben üblicherweise ein Seitenverhältnis (Breite zu Höhe) von 4 : 3.
Insofern ist entweder Breite oder Höhe des Gegenstandes limitierend, je nach Ausrichtung.
ACHTUNG:
Aufgrund der „üblichen“ Zeichnung (s.o.) zur Rechnung nur „halbe“ Längen verwenden.
F
f
aa'
y'
yF'
2f
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 36
Rechenbeispiele:
A) Welche Brennweite ist bei einem 30 cm breiten Gegenstand, welcher die Breite des Chips
fast ganz ausfüllen soll, bei einer Gegenstandsweite von 60 cm erforderlich?
B) Welcher Arbeitsabstand wird benötigt, um mit einer 16 mm Linse an einer 1/2"-Kamera ein
Objektfeld von 100 mm Breite zu erfassen?
(
) (
)
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 37
7.2.2 Zerstreuungslinse (nur zur Info)
Kennzeichen f < 0 ; z.B. - 30 mm
Anwendung z.B. Galileisches Fernrohr
Aufrechtes virtuelles Bild ; verkleinert
Konstruktionsprinzip:
- Parallelstrahl mit Strahl von F (Brennpunkt)
ausgehend
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse
unverändert
weiterer Linsentyp: Fresnel-Linsen (flach, z.B. Overhead-Projektor, Campingbus, Leuchtturm)
Links Strahlengang : Entscheidend für die Wirkung einer Sammellinse ist nicht deren Dicke,
sondern die Oberflächenkrümmung. Im Prinzip stellt die Fresnel-Linse eine konvexe
Sammellinse dar, bei der außerhalb der Mittellinse nur dünne ‚Oberflächenteile‘
verwendet werden
Mitte Draufsicht
Rechts Anwendung bei Leuchttürmen als 360° Linse
F'
y'
F
f
aa'
y
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 38
7.2.3 Linsensysteme (nur zur Information)
Zweck Vergrößerung: Mikroskop, Lupe kleine Gegenstände; Fernrohr kleine Winkel
Limitierung: Beugung (Wellencharakter kann nicht vernachlässigt werden, s.u.)
Lupe (Magnifier)
Vergrößerung der Lupe
f
sv
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Die Lupe ist das einfachste optische Instrument zur Vergrößerung von Gegenständen, die sich
Endlichen befinden. Am einfachsten wird der Gegenstand in der Brennebene einer Sammellinse
positioniert. Diese Lupenlinse verwandelt dann die Lichtstrahlen von allen Gegenstandspunkten zu
Parallelstrahlen, die von der Augenlinse wieder auf ihre bildseitige Brennebene abgebildet werden.
Damit wir dieses Bild scharf sehen, muss die Augenlinse so akkommodiert sein, dass sich diese
Brennebene gerade auf der Ebene der Retina befindet. D.h. wir stellen unser Auge auf das Sehen
von Gegenständen im Unendlichen ein. Die ist die Ruhestellung des Auges und daher am
wenigsten anstrengend.
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 39
Mikroskop (Microscope)
Vergrößerung des Mikroskopes
OkularObjektiv ff
stv
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Das Mikroskop vergrößert den Sehwinkel.
Bei einem Mikroskop (2* Sammellinse) ist ein Gegenstand sehr nahe am Brennpunkt der sog.
Objektivlinse, es wird ein stark vergrößertes Bild erzeugt. Dieses Bild (Zwischenbild) wird in einer
Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Dieses Zwischenbild wird von
der zweiten Linse (Okular) weiterverarbeitet. Das Okular ist so platziert, dass das von der ersten
Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der ersten Linse,
dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie divergent sind. Dies entspricht der Lupen -
Funktion. Das Auge formt wieder ein reelles Bild, das nun aber sehr stark vergrößert ist.
Fernrohr (Telescope)
(Keplersches Fernrohr)
Vergrößerung des Fernrohres
Okular
Objektiv
f
fv
Je größer die Objektivbrennweite und je
kleiner die Okularbrennweite desto
größer die Vergrößerung.
JAVA Applet: Keplersches Fernrohr
Annahme : Gegenstände befinden sich im Unendlichen, d.h. die Lichtstrahlen von diesen
Gegenständen erreichen das Fernrohr als Parallelstrahlen. Die Objektivlinse ist eine Sammellinse,
die ein reelles Bild des Gegenstands in ihrer bildseitigen Brennebene entwirft. Dieses
Zwischenbild liegt in der Brennebene der Okkukarlinse.
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 40
7.3 Beugung (Diffraction)
Geometrische Optik: : Wellenausbreitung mit geradlinigen Strahlen
7.3.1 Prinzip
Versuch: Laser - Licht geradlinig - Geräteachse - kreisrunder Fleck auf Wand -Schirm
Spalt in Strahlengang
Gemäß Geometrischer Optik ist ein kleinerer Fleck aufgrund Abschattung zu erwarten
Aber: Beobachtung bei Verkleinern des Spaltes: Aufweitung mit hellen und dunklen Streifen
Schlussfolgerung:
- Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung an Hindernissen
- Licht als Welle
Die exakte mathematische Behandlung ist komplex und übersteigt das „Vorlesungsniveau“.
Qualitatives Verständnis: Überlagerungs- und Ausbreitungseigenschaften von Wellen mit
- Superpositionsprinzip Überlagerung mehrerer Wellen an einem Ort
analog Überlagerung von Schwingungen
I = I1 + I2 + I3 + ...
-Interferenz: Wechselwirkung einer Welle mit sich selbst
Extremfälle 2 Wellen gleicher Frequenz
- effektiver Gangunterschied = 0 in Phase max. Verstärkung
- Einzelamplituden gegenphasig = /2 : Auslöschung
- Ausbreitung von Lichtwellen - Huygenssches Prinzip:
Bsp: Wasserwellen - hineingeworfener Stein
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 41
Abweichung von Geometrischer Optik
Licht als Welle
optischen Instrumente mit endlichen
Öffnungsweiten: Beugung beschränkt
Auflösungsvermögen
Beugungsart a, b Licht Beschreibung
Fresnel klein divergent Komplex
Fraunhofer
a, b <
parallel
ggf. Sammellinsen
Winkel 'einfach'
7.3.3 Fraunhofersche Beugung
7.3.3.1 Einzelspalt
JAVA Applet:
Beugung von Licht am Einfachspalt
Beugungswinkel
Gangunterschied der Randstrahlen
= BC = d * sin
Näherung: Spaltbreite d << Spaltlänge l
a
Spalt Schirmb
Beugung
geom.
Optik
x
0
xmax
A
B
Cd
einfallendeWellenfront
nicht gebeugte Wellenfront
gebeugteWellenfront
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 42
Erklärung für die dunklen Stellen
Huygenssches Prinzip:
Jeder Punkt im Spalt ist Quelle einer neuen
Elementarwelle. Am Hindernis werden die
Wellen abgelenkt
Oberer und mittlerer sowie mittlerer und
unterer Strahl sind gegenphasig und
löschen sich somit aus !
Auslöschung bei Abstand d/2 BC = d.h. Gangunterschied = /2
BC: = d sinmin = 1. Minimum
Bsp: d = 10 min 6° (typischer Wert = 500 nm)
„Einfache“ Digitalkamera: d = 5 mm = 10.000 : d >>
Geometrische Optik d >> oder 0 Strahlen
weiteren Minima Gangunterschied ganzzahliges Vielfaches von
Minima (dunkel)
Beugungsordnung n = 1, 2, ...
n = d sinmin
(OP - 3)
A
BC
d/2
min
Auslöschung !
Auslöschung !
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 43
Beobachtung Versuch :
Zwischen Minima helle Stellen : Maxima
Superpositionsprinzip: Gangunterschied zwischen max. Verstärkung und Auslöschung /2
Maxima (hell)
Beugungsordnung n = 0, 1, 2, ...
(n + 1/2) = d sinmax
(OP - 4)
Die Intensität der Beugungsmaxima oder der Intensitätsverlauf können rein geometrisch nicht
hergeleitet werden. Zu vermuten ist aber eine geringere Helligkeit des 1. Maximums, da sich die
beiden unteren Strahlen auslöschen!
A
B
Cd/3
max
Verstärkung !
Auslöschung !
32
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 44
Beispiel Chip einer- Digitalkamera
- Chip 8 mm breit = 4.000 Pixel, d.h. ein Pixel ist 2 µm breit
- Linsendurchmesser d = 2 mm (Blende, hier als Spalt angenommen)
- Abstand Linse - CCD : b = 10 mm
- Annahme: Heller Spot in Pixelmitte
- Trifft das 1. Beugungsmaximum ein danebenliegendes Pixel ?
Entspricht der Ort für das erste Maximum (xmax) der Pixelbreite (2 µm) ?
- Geometrie : tan = xmax/b
1. Maximum 1/2 = d sinmax =d tan für kleine Winkel : 1/2 = d xmax / b
grünes Licht : 0,550 µm /2= 5mm xmax / 10mm
xmax = 0,55 µm
d.h. Pixelpitch liegt um einen Faktor von 4 über dem 1. Beugungsmaximum!
Selbst wenn gebeugtes Licht auf ein benachbartes fallen würde, wäre die Intensität
max. 5% des durchgehenden Strahles (s.u.). Dies wird relevant, wenn ein Pixel
100% 'hell' und das benachbarte ganz 'dunkel' sein soll, was üblicherweise nur
bei Testbildern vorkommt.
Beugung von polychromatischem Licht (nur zur Info)
polychromatisch: Licht mit 'vielen' verschiedenen Wellenlängen, z.B. Sonnenlicht
jede Wellenlänge wird an einen anderen Orte gebeugt, d.h. weißes Licht wird ‘farbig’
analog zur Spektralzerlegung durch Dispersion (s.o.)
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 45
Intensität (relevant ist das Ergebnis inkl. Skizze)
winkelabhängiger Intensitätsverlauf nicht ermittelbar aus den bisherigen Überlegungen
Intensitätsverlauf Einzelspalt
hyperbolische Abnahme der Helligkeitsmaxima mit 1/x²
2
x
xsin~I
(OP - 6)
x
I
0 xmax
~ 1
x2
Geometrische Optik
Beugung
5 %
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 46
Nur zur Info:
mathematische Herleitung aus Kirchhoffschen Formeln ist komplex, nachfolgend vereinfacht:
Berechne die in P ankommende Wellen
(auf '1' normierte Amplitude) :
ro : yo = sin(t - kro)
r1 : y1 = sin(t - kr1)
Gangunterschied = z sin
mit z als Koordinate
r1 mit r0 ausgedrückt
r1 = sin(t - k{ro + })
r1 = sin(t - kro – k z sin)
Überlagerung aller Elementarwellen des Spaltes:
- Aufsummieren aller Wellen
- für 'sehr viele' Wellen Übergang Summe - Integral :
(Vgl. Herleitung Integral durch Ober- und Untersummen von Rechtecken)
sin2
kdcossin
2
kdcos
sink
1
sinzkkrtcossink
1dzsinzkkrtsiny
2
d
2
d
o
2
d
2
d
o
Gangunterschied
P
- d/2
+ d/2
r0r1
z
0
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 47
mit cos(-) - cos(+) = 2 sin sin
sind
sin2
kdxmit
x
xsind~y
sin2
kd
sin2
kdsin
dkrtsin
sin2
kdsinkrtsin
sink
2y
o
o
Darauf folgt für I = y²:
sind
x
x
xsin~I
2
x = 0 nach L'Hopitalscher Regel I = 1
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 48
7.3.3.2 Gitter (Grid)
Versuch: Einzelspalt - breite Streifen
Gitter: scharfe Punkte, groß = Hauptmaxima
Verstärkung :Gangunterschied =
analog Minimum Einzelspalt
g >> d : Spaltbreite << Spaltabstand
Spalte = Punktquellen
Hauptmaxima beim Gitter m = 0, 1, 2, ... m = g sinmax (OP - 7)
durchgehender Strahl m = 0 = Hauptmaximum 0. Ordnung
Anwendung : - Messung von
- Strukturuntersuchungen mit Röntgenstrahlung Kristallgitter
Bsp: Gesucht: Beugungswinkel für Maximum 1. Ordnung bzw. Wellenlänge aus Ort
g = 1/500 mm, m = 1 , = 500 nm
= g sinmax
max = arcsin(/g) = arcsin(500 10-9 500 10-3)
= arcsin(0,25) 0,25
max 15°
tanmax = xmax / b und = g sinmax
A
B
Cd
g
max
Verstärkung !
Schirmb
0
xmax
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 49
Beugung ist die begrenzende Größe in der Halbleiter-Industrie bei der Herstellung von ICs:
Die Daten-„Leiterbahnen“ der Maske wirken wie Gitter Beugung
Strategie: Verkleinerung der Belichtungs-Wellenlänge in Richtung UV
Quellen: Wikipedia (oben), www.ixbt.com (unten)
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 50
Zusammenfassung
Fraunhofersche
Beugung
Einzelspalt
Gitter
(viele Spalte / mm)
Intensitätsverlauf
2
x
xsin~I
; ( I(0) 1 )
scharfe, diskrete Maxima
Formel für Maxima
b
xtanarc max
n = 1, 2, 3, ...
b : Abstand Spalt -
Schirm
d2
1nsin
(OP - 2)
d: Spaltbreite
gnsin
(OP - 3)
g: Abstand Gitterlinien
Fouriertransformation als Analogie zur optischen Beugung (zur Info)
mathematische Transformation eines
Rechtecksignales im Zeitbereich
Spaltfunktion im Frequenzbereich
Beugungsbild eines Spaltes entspricht Fouriertransformation eines Rechteckes mit der
Durchlässigkeit (0 1 0)
Die geometrische Optik erzeugt ein schmales und scharfes Rechteck, hier als Linie dargestellt
geometrische Optik
0 xmax x
Beugung
I I
x
geometrische Optik
0 xmax
f
Fouriertransformation
y(t) | F(f) |
t
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 51
Bsp: Beugung an Linsen begrenzt das Auflösungsvermögen
Fernrohr auf 2 dicht benachbarte Sterne (Lichtquellen) gerichtet
Beugung führt zur Verbreiterung der Bilder
im Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-Maxima
nur 1 hellen Fleck; Analoges gilt für das Mikroskop
Beugungsbild zweier
benachbarter Quellen
Überlagerung in einem verbreiterten
'Punkt'
Fernrohr 2 dicht benachbarte Sterne 2 Lichtquellen
Beugung Verbreiterung der Bilder
Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-
Maxima
nur 1 hellen Fleck (Mikroskop analog)
Beugungsbild einer Linse
mit 2 Lichtquellen (z.B. Sterne)
‚Rutschen‘ die Lichtquellen enger
zusammen (unten links und rechts)
können Sie nicht mehr
unterschieden (‚aufgelöst‘) werden!
Linse
Bildebene
Intensität
praktisch nichtunterscheidbar !
ÜberlagerungLicht zweierbenachbarterObjektez.B. Sterne
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 52
Anwendung der Beugung
- Messtechnik
- Röntgenuntersuchung (Werkstoffkunde)
Bsp: DNA (Watson-Crick)
Materialuntersuchungen mit Röntgenstrahlen
Voraussetzung: Beugung am Punktgitter
Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz
muß erfüllt sein:
n = 2 d sin mit n = 1, 2, 3, ...
Laue-Aufnahme von NaCl schwarze Punkte = Interferenzen
d
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 53
Beispiel für Untersuchungen mit Beugung: Muskel
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 54
Übungsblatt Wellen/Optik
1. Berechnen Sie die erhöhte Eingangsleistung eines Parabolspiegels (A = 1m²) für einen 1cm²
großen Empfänger bei parallel einfallender Strahlung. Wie hoch ist der Gewinn (dB) bei 1W
Leistung. Versuchen Sie die geometrischen Verhältnisse mittels Computer nachzubilden (y=x²,
Tangentensteigung - Reflexionsbedingung). 40dB
2. Zeichnen Sie das Reflexionsbild für einen Halbkreis für senkrecht einfallende parallele Strahlen
(Katakaustik). Gut zu erkennen bei seitlich beleuchteter Kaffeetasse.
3. Zeichnen Sie die Winkel für das 1. Maximum eines Einzelspaltes für die Wellenlänge 300nm
500nm und 700nm in Abhängigkeit von der Spaltbreite (0-30mm) auf. Warum wird bei der
Waferbelichtung möglichst kurzwelliges Licht verwendet? Berechnen Sie dies für eine
Leiterbahnbreite = Leiterbahnabstand von 0,5µm und einen „Schirmabstand“ (Masken -
Waferabstand) von 1mm in Abhängigkeit von . Optimierungsmöglichkeiten ?
4. Sie wollen die Wellenlänge von monochromatischem Licht mit einem Gitter bestimmen. Bei
einer Gitterkonstanten von 10000 (Linien/cm) messen Sie im Abstand von 1m hinter dem Gitter
einen Abstand von 0,5m zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Maximum. ? 477nm
5. Vergegenwärtigen Sie sich die Beugungserscheinungen an einem Doppelspalt ausgehend von
dem Huygensschen Prinzip.
6. Skizzieren Sie einzeln die 3 Fälle für die Sammellinse und vergleichen Sie.
7. Welche Extremfälle treten beim Auftreffen von Licht auf eine keilförmige Platte auf
a) monochromatisch
b) polychromatisch
(Beugung und Keilwinkel vernachlässigen)
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 55
Zur Info und zum Weiterlesen
„Spektrum“
Typische Darstellungsweise von Wellen mit mehreren (vielen) Frequenzen: Spektrum
Spektrum :
Energie, Amplitude, Intensität, ... über der Frequenz bzw. Wellenlänge, ggf. logarithmisch
Akustik
Empfindlichkeit des menschlichen Ohres Übertragungskennlinie Lautsprecher
Elektrotechnik / Hochfrequenztechnik
Frequenzgang OP - Tiefpass HF - Spektrum
1E-13
1E-12
1E-11
1E-10
1E-09
1E-08
1E-07
1E-06
1E-05
1E-04
1E-03
1E-02
1E-01
1E+00
1E+01
10 100 1000 10000
Sch
allin
tensit
ät /W
/m²
Frequenz /Hz
Ohr: Kurven gleicher Lautstärke 100
Phon
50 Phon
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 56
Optik
Empfindlichkeit des menschlichen Auges und
Sonnenspektrum
LEDs und Laser
Glühlampe (A) und Normleuchtstoffröhre (D65) LCD-CCFL
Problem des menschlichen Farbsehens: alle 3 Spektren werden als 'weiß' interpretiert!
Das bedeutet: Im Gegensatz zur 'deterministischen' Technik können hier unterschiedliche
Eingangssignale dasselbe Ausgangssignal, nämlich 'weiß' hervorrufen.
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 57
Definitionen bei Spektrallinien, Bandbreiten, ...
Grenzfrequenz Tiefpass (low pass filter)
Definition:
Abfall der Amplitude auf das 2
1 - fache ( 0,7)
bzw. um -3 dB des Maximalwertes
Die zugehörige Frequenz wird als
Grenzfrequenz fg definiert.
Bandbreite (bandwidth) / Güte
Bandbreite B = fgo - fgu
Amplitudenabfall s.o.
'Güte' Q bei Schwingkreisen etc. mit
Resonanzfrequenz fr : B
fQ r
Halbwertsbreite
typisch in der Optik, hier auch Linienbreite
genannt
teilweise auch Definition mit 1/e bzw. halbe
Fläche der Gesamtkurve
f
Ua
fg
Ue
1
0,707
ff gu
1
0,707
fgo
rel. Ua
rf
gu
1
0,5
go
rel. A
m
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 58
Beispiel Überlagerung zweier Wellen
Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene
ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 2121 kk )
Ir = (y1 + y2)² (binomische Formel)
= y1² + y2² + 2 y1 y2
erst quadrieren!
(Erklärung auch mit Pythagoras s.u.)
Phasendifferenz
= (t -kr1) - (t -kr2 +)
= k(r2 - r1) - = Gangunterschied
ztermInterferen
21
y
2
y
1r cosII2III22
21
unterschiedliche Länge von r1 und r2
Erläuterung der Überlagerungsformel mit Pythagoras
I = yr² = {y1 cos(1) + y2 cos(2)}²
+ {y1 sin(1) + y2 sin(2)}²
= y²1 cos²(1) + 2y1 y2 cos(1) cos(2) +y²2 cos²(2)
+ y²1 sin²(1) + 2y1 y2 sin(1) sin(2) +y²2 sin²(2)
mit sin² + cos² = 1 und sin sin und cos cos
= y²1 + y²2 + 2y1 y2 cos(1 - 2)
Q1
Q2
Pr1
r2
1
2
y1 cos(1)
y1 sin(1)
r1
r2
rr
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 59
Anwendung Totalreflexion: Optische Faser
‚Sprung‘ des Brechungsindexes
Innen- typ. 62,5 µm
Achtung: Unterschiedliche Laufzeiten !
‚allmähliche‘ Änderung des Brechungsindexes
typ. 62,5 µm
‚Sprung‘ des Brechungsindexes,
typ. 9 µm, deshalb praktisch kein Reflexionseinfluß
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 60
Intensitätsverteilung
Bsp: Durchgang durch Glas
Absorption durch Eindringen in Material
Intensitätsabnahme bei Ausbreitung in einem
Medium üblicherweise als e-Funktion
Absorption
: Absorptionskoeffizient [] = 1/m
d : Eindringtiefe [d] = m
d
)refeingeb eAAA
(WE - 13)
Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängenabhängig : = ()
Beispiel: Der menschliche Körper ist für sichtbares Licht undurchdringbar, nicht aber für
Röntgenstrahlung !
I
x
Luft Glas Luft
1
einfallend
reflektiert
durch-
tretend
absorbiert
reflektiert
reflektiert
(übertrieben dargestellt)
I
dVakuum absorbierendenMedium
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 61
Reflexion in Abhängigkeit von der Einfallsrichtung
senkrechter Einfall :
22
1'n
1'nrLuftgegenOberfläche
n'n
n'nradflexionsgrRe
typischer Wert Luft - Glas r 0,05 (5%)
schräger Einfall :
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 62
Doppler - Effekt (Doppler Effect)
- tritt auf, wenn sich Wellenerreger (Quelle) und Beobachter relativ zueinander bewegen
- Effekt: Frequenzänderung
JAVA Applet: Doppler-Effekt
Es gibt 2 Fälle
a) Ruhende Quelle, bewegter Beobachter
+ : Beobachter nähert sich der Quelle
- : Beobachter entfernt sich von Quelle
c
v1ff B
QB
Bsp: Zug - Übergangs-Glocke
fQ = 440 Hz (a): vB = 30 m/s , c = 330 m/s
Zug nähert sich: fB = 480 Hz ; Zug entfernt sich: fB = 400 Hz f = 80 Hz Terz
ruh en de Q ue lle
ruh en de r B eo ba ch ter
v
b ewe gte r B eo ba ch te r
T : Z e i t zw is chen 2 W ellenbäuc hen
T =c
T =c + v
0
0,5
1
1,5
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fre
qu
en
z r
ela
tiv z
ur
au
sg
es
an
dte
n
Fre
qu
en
z
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
B entfernt sich
B nähert sich
Doppler Effekt : Ruhende Quelle - Bewegter
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 63
b) Bewegte Quelle, ruhender Beobachter
+ : Quelle entfernt sich vom Beobachter
- : Quelle nähert sich zum Beobachter c
v1
ff
Q
QB
pro Zeiteinheit kommen mehr Wellen an als bei ruhender Quelle
Doppler Effekt bei bewegter Quelle ist nichtlinear :
Bsp: Verkehrs-Radar
fQ = 10 GHz , vQ = 30 m/s , c = 3 108 m/s fB = 10,000001 GHz f = 1 kHz
Beispiel: - Durchbrechen der Schallmauer (s.u.)
- Einsatzfahrzeuge (Martinshorn)
Anwendung: - Geschw. Messung Radar
- Astronomie zur Bestimmung von Planetengeschwindigkeiten („Rotverschiebung“)
be w eg te Q ue lle
ruhender Beobachter
v
0
0,5
1
1,5
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fre
qu
enz r
ela
tiv z
ur au
sg
esand
ten
Fre
qu
enz
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Q entfernt sich
Q nähert sich
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -
0
4
8
12
16
20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fre
qu
en
z re
lati
v z
ur au
sgesan
dte
n
Fre
qu
en
z
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Q entfernt sich
Q nähert sich
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 64
Obige Gesetze für den Doppler Effekt gelten
- für akustische und em-Wellen
- nur Spezialfall : Quelle und Beobachter auf einer Geraden, einer ruht, anderer bewegt sich!
Doppler-Effekt, falls sich Quelle und Empfänger nicht auf einer Geraden bewegen
c
cosv1ff Q
QB
mit als Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor der Quelle und der Verbindungsgeraden Quelle
– Empfänger.
Babinetsches Prinzip
Öffnungen und Hindernisse haben komplementäre Beugungsbilder
Versuch Spalt mit Draht vertauscht
es ergibt sich dasselbe Beugungsbild,
nur ist 'hell' und 'dunkel' vertauscht
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 65
Moiré - Streifen
werden erzeugt durch zwei nicht deckungsgleich aufeinanderliegende Gitter
Teilungsmoiré
Die Gitterkonstanten sind leicht
unterschiedlich - also 'verstimmt'.
Wie bei einer niederfrequenten Schwebung
(s.o.) im Zeitbereich tritt hier eine
'niedrigere' Ortsfrequenz auf.
Moiré-Streifenabstand: 12
12M
gg
gga
Verdrehungsmoiré
entstehen, wenn 2 Gitter mit gleicher
Gitterkonstante um den Winkel
gegeneinander verdreht sind.
Moiré-Streifenabstand:
g
aM
Auftreten der Moiré-Streifen bei Bildschirmen mit 'festen' Pixelraster (= Gitter) und Darstellung von
Bildinhalten mit gitterähnlicher Struktur
- 'Pepita' - Anzüge im Fernsehen
- schlechter Abgleich / Einstellung bei LCD-Videobeamern mit Analogeingang
- Digitale Bildaufnahme (Foto, Scanner [Pixel per Inch]) und Wiedergabe (Pixelraster)
am
am
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 66
Moire bei gedruckten Bildern oder Bildschirmen durch „doppelte“ Rasterung:
Beispiel: Eingescanntes Bild
bei hoher Scan-Auflösung
(links) und bei Scan-
Auflösung im Bereich der
Druckauflösung (rechts)
Raster des Druckes/Bildschirmes und der Kamera (Pixel des Chips) „überlagern“ sich.
Moiré verursacht bei Farbbildern außerdem Farbrauschen
Vergrößert Original
Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik
Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 67
Gegenüberstellung von Fourier-Transformation und Beugung
Details siehe Mathe 3
Fourier / Beugung Zeit- / Ortsbereich Frequenz- / Wellenlängenbereich
Rechtecksignal
Gitter
2 Reckeckimpulse
Doppeltspalt
1 Rechteckpuls
Einzelspalt
Hieraus ist ersichtlich, dass das zugrundeliegende physikalische Prinzip dasselbe ist!
A
t, x
... ...
A
Frequenz, Wellenlänge
A
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
A
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge