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Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006
1
Wir haben gemogelt !
...98
12
2819
56
798
1
27
1)( 12152932 xxxxxf
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Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:
3
2
)(
)(
)(
xxf
xxf
xxf
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3
Untersumme der RechtecksflächenUntersumme der Rechtecksflächen
21
2
22 bb
xxf )(
)1(...212
2
2
2
2
2
nn
b
n
b
n
b )1(...212
2
nn
b
2
)1(2
2 nn
n
b
2
2 )1(
2 n
nnb
2
22
2 n
nnb
n
b 11
2
2
Lässt man die Anzahl der Rechtecke, Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:so gilt:
)1(...21 nn
b
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
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Untersumme der RechtecksflächenUntersumme der Rechtecksflächen
32
6
33 bb
2)( xxf
23
32
3
32
3
3
)1(...21 nn
b
n
b
n
b 2223
3
)1(...21 nn
b
6
)12()1(3
3
nnn
n
b3
3 )12()1(
6 n
nnnb
2
3 )12()1(
6 n
nnb
2
23 132
6 n
nnb
²
132
6
3
nn
b
Lässt man die Anzahl der Rechtecke, Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:so gilt:
22
22
22
)1(...21
n
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006
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Untersumme der RechtecksflächenUntersumme der Rechtecksflächen
41
4
44 bb
3)( xxf
34
43
4
43
4
4
)1(...21 nn
b
n
b
n
b 3334
4
)1(...21 nn
b
4
)1( 22
4
4 nn
n
b
4
224 )12(
4 n
nnnb
²
121
4
4
nn
b
Lässt man die Anzahl der Rechtecke, Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:so gilt:
33
33
33
)1(...21
n
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
n
b
4
2344 2
4 n
nnnb
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Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der
Funktion im Intervall von [0; b] ?
Wir wissen:
Funktionsterm
Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b]
²x ³x
3
³b
4
4b
x
2
²b
Wir vermuten:
4x
5
5b
5x
6
6b
nx
1
1
n
bn
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Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit f = xn im Intervall [0; b] beträgt:
Wir „leiten auf“ !
1
1
n
bn
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Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionenxxf )( ²)( xxg ²)()( xxxgxf
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 2 4 6
3 3 9 12
4 4 16 20
5 5 25 30
x x x² x + x²
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Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionenxxf )( ²)( xxg ²)()( xxxgxf
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 2 4 6
3 3 9 12
4 4 16 20
5 5 25 30
x x x² x + x²
b Fläche unter Gf auf [0;b]
Fläche unter Gg auf [0;b]
Fläche unter
Gf+g auf [0;b]
0 0 0 0
1 0,5 0,33 0,83
2 2 2,67 4,67
3 4,5 9 13,5
4 8 21,33 29,33
5 12,5 41,67 54,17
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Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionen²)( xxf ³)( xxg ³²)()( xxxgxf
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 4 8 12
3 9 27 36
4 16 64 80
5 25 125 150
x x² x³ x² + x³
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Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionen
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 4 8 12
3 9 16 25
4 16 32 48
5 25 64 91
x x² x³ x² + x³
b Fläche unter Gf auf [0;b]
Fläche unter Gg auf [0;b]
Fläche unter
Gf+g auf [0;b]
0 0 0 0
1 0,33 0,25 0,58
2 2,67 4 6,67
3 9 20,25 29,25
4 21,33 64 85,33
5 41,67 156,25 197,92
²)( xxf ³)( xxg ³²)()( xxxgxf
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Beobachtung zur Beobachtung zur Summe von PotenzfunktionenSumme von Potenzfunktionen
Wenn man zwei Potenzfunktionen
addiert, addieren sich die Flächeninhalte
zwischen den Graphen und der x-Achse.
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Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion
xxf )( xxg 3)(
Stelle x f(x) g(x)
0 0 0
1 1 3
2 2 6
3 3 9
4 4 12
5 5 15
x x 3x
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Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion
xxf )( xxg 3)(
Stelle x f(x) g(x)
0 0 0
1 1 3
2 2 6
3 3 9
4 4 12
5 5 15
x x 3x
b Fläche unter Gf auf [0;b]
Fläche unter Gg auf [0;b]
0 0 0
1 0,5 1,5
2 2 6
3 4,5 13,5
4 8 24
5 12,5 37,5
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Beobachtung zum Beobachtung zum Faktor bei PotenzfunktionenFaktor bei Potenzfunktionen
Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor
multipliziert.
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Aufgabe:Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit
im Intervall [0; 6] .
3028²9³)( xxxxf
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Null? - Oups!
Was ist hier passiert?
Wir betrachten den Graphen der Funktion.
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Exact: 41.48Integral: 41.48
x
y
Das IntegralMan versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte .
Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober-halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x-Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen.
+A1
+A3
-A2 -A4
b
a
AAAAdxxf )4()3()2()1()(
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Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet!Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb derx-Achse verläuft.
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PotenzfunktionEs gilt:
b
a
n dxx
a
nb
n dxxdxx00
11
11
n
a
n
b nn
a b
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Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen,
3028²9³)( xxxxf
5,4975,2475,24)()(6
3
3
0
dxxfdxxf
so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.
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Drei Fragen/Aufgaben:
1. Was versteht man unter einem Integral?
2. Formuliere eine „Summen- und Faktorregel“ für die Intergralrechnung.
3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?
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Hausaufgabe:
BASICS:S. 181 – 183 durcharbeiten, ggf. Fragen notierenS. 185 Nr. 6 a - d Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit f(x) = -x²+3x mit der x-Achse einschließt.(Tipp: Mach eine Skizze!)
TOPS:Erläutere bzw. begründe den Begriff des „orientierten Flächeninhalts“