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Seite 1
WIPF‘SCHE FORMELSAMMLUNG
Verfasser: Wipf Mario
Fachbereich: Maschinen-Ingenieurwesen
Fach: Physik
Umfang: Grundstudium
Fassung vom: 04.10.13
Seite 2
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
3 04.10.13 Seite
Schallgeschwindigkeit (bezogen auf ruhende Luft)
Wärmekapazität C
Schmelzwärme Qs
Verdampfungswärme Qv
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich: Physik Wärmelehre
][.:
][:][:
KkgkJitätWärmekapazspezc
kJWärmemengeQkgMassem
⋅mcQ ⋅Δ⋅= ϑ
mcQC ⋅=Δ
=ϑ
mqQ siedev ⋅=][.:
][:][:
kgkJgwärmeVerdampfunspezq
kJgswärmeVerdampfunQkgMassem
v
mschmelzschmelzs cnmqQ ,⋅=⋅=
meSchmelzwärmolareckgkJmeSchmelzwärspezq
kJmeSchmelzwärQkgMassem
s
:
][.:
][:][:
Wärmemenge Q
( )KTKsm
smv 15,2736,06,3310 −⋅
⋅+= T: Temperatur der Luft
v0: effektive Schallgeschwindigkeit
Merke: Bezogen auf das Trägermedium Luft ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schall konstant, das heisst unabhängig von Sender und Empfänger.
Die Schallgeschwindigkeit ist kaum druck- und feuchtigkeitsabhängig
Merke: Wärmekapazität ist die Wärmemenge, die erforderlich ist, um die vorliegende Substanzmenge um 1 Kelvin oder 1°C zu erwärmen.
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡KkJitätWärmekapazC :
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Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich: Physik Wärmelehre
dtdQI =
]WK[standWärmewider:
][differenzTemperatur:][Längeendedurchdringzu:
][Fläche:
][eitleitfähigkspez.Wärme:
][];[Wärmestrom:
2
λ
ϑ
λ
R
Kmx
mAKmW
WsJQI
ΔΔ
⋅
=
totRTI Δ=
AxR⋅Δ=λλ
nparallelG RRRR1...111
21
+++=
nSeriellG RRRR +++= ...21
Wärmeleitung und Konvektion
A
xΔ
ϑΔ)( 21 TT
xA
dxTdA −⋅
Δ⋅=⋅⋅= λλ
Serie-/Parallelschaltungen von Wärmewiderständen
Der Wärmestrom I ist gesucht
Konzept:
1. Einzelwiderstände R1, R2, ... Rn berechnen gemäss folgender Formel:
2. Nun ist der Gesamtwiderstand der Wärmewiderstände zu ermitteln dabei wird unterschieden in: Serieschaltung und Parallelschaltung:
3. Nun ist die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Grenzflächen zu ermitteln um dann gemäss unten stehender Formel den Wärmestrom berechnen zu können:
4. Da der Wärmestrom im stationären Zustand konstant geworden ist, lässt sich über diesen zusammen mit einem der beiden bzw. der n Wärmewiderstände die Temperatur an der, bzw. den Grenzfläche(n) bestimmen:
AxR⋅Δ=λλ
nSeriellG RRRR +++= ...21
nparallelG RRRR1...111
21
+++=
tottot RTT
RTI 12 −=Δ=
einzelRIT ⋅=Δ
Kältebad (T1)
Wärmebad (T2)
1R2R
Wärmestrom I
Merke: Der Wärmestrom verkörpert Energie, welche pro Zeiteinheit fliesst (Im Normalfall pro Sekunde)
Material l : W/(m*K)
Aluminium 237
Beton 0.19-1.3
Blei 353
Eis 0.592
Eisen 80.4
Glas 0.7-0.9
Gold 318
Holz (Eiche) 0.15
Holz (Kiefer) 0.11
Kupfer 401
Luft (27°C) 0.026
Silber 429
Stahl 46
Wasser (26°C) 0.609
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Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich: Physik Wärmelehre
QdtdQI ==
]JsK[];
WK[tandangswidersWärmeüberg:
][differenzTemperatur:][Fläche:
][ientanskoeffizWärmeüberg:
][];[Wärmestrom:
2
2
⋅Δ
⋅
=
α
α
R
KTmA
KmW
WsJQI
Wärmeübergang
TkARTTAQK
K Δ⋅⋅=Δ=Δ⋅⋅=α
ARK ⋅
=α1
Wärmedurchgang (Wärmeleitung und Wärmeübergang in Serie)
Kältebad (T1)
Wärmebad (T2)
innenkRα
Wärmestrom I
aussenkRα
übergangRλ
Wärmestrom I
aussenαinnenαübergangλ
Der Wärmestrom I ist gesucht
Konzept:
1. Die Berechnung für den Wärmestrom erfolgt nach dem selben Schema, wie diejenige aus der Wärmekonvektion
2. Besonderheit des Wärmedurchgang ist die Handhabung der Teilwiderstände so gilt:
3. Es ist üblich diese Beziehung zu in folgender Weise zu notieren
4. Wenn diese Gesamtwiderstände nun wieder Teilelemente eines ganzen Systems sind, so gilt wiederum:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅=++= aussen
kinnenk
aussenk
innenktot
lA
RRRRαλαλ111
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=⋅==
aussenk
innenk
totl
kmitkA
R
αλα11
111
ntottottotSeriellG RRRR +++= ...21
ntottottotparallelG RRRR1...111
21
+++=
Merke: Wärmeübergang von in Serie geschalteten Elementen wird bei der Berechnung vernachlässigt. Es wird nur derjenige vom vordersten und hintersten Wärmewiderstand an das Umfeld berücksichtigt
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Verhalten von Wasser bei Erwärmung
Wärmelehre
KkgkJDampfkapWspezc
kgkJgswVerdampfunQ
KkgkJWasserkapWspezc
kgkJmeSchmelzwärQ
KkgkJEisWärmekapspezc
v
s
⋅=
=
⋅=
=
⋅=
1395..:
2257.:
18,4..:
5,333:
09,2..:
3
2
1
JcalWsNmJEnergieW 1868,41111: ==== 321 cQcQc vs
CC
C
°−°
°
200
100
Physik
Ideale Gasgleichung
TkNVp ⋅⋅=⋅
TRnVp ⋅⋅=⋅
23
23
,
)(281003,61
mN
mJPa
StickstoffgMolekühleMol
=
=⋅=
]103807,1[:
]31441,8[.:
][:][.:
][:][:
:
23
3
KJonstBoltzmannck
KmolJGasconstuniversR
KifferenzTemperaurdTmolMolekühleAnzn
paDruckpmVolumenVhlMolekühlzaN
−⋅
⋅
Wärmestrahlung 4TAePe ⋅⋅⋅= σ
][:106703,5
tan:)10(:
][:][:
][:
][];[:
][];[:
][];[:
max
428
0
2
nmMaximumsdeseWellenlängKmW
teKonsBoltzmannStefanundzwischenradEmissionsge
KemperaturUmgebungstTKTemperaturAbsoluteT
mOberflächeAsJWleistungStrahlungsnettoP
sJWleistungStrahlungseabsorbiertP
sJWleistungStrahlungsemittierteP
Netto
a
e
λσ
σ−−− ⋅⋅⋅=
−−Hinweis: Ein Körper, der die gesamte auftreffende Strahlung absorbiert, nennt man schwarzen Körper. Er ist gleichzeitig ein idealer Strahler (Emissionsgrad=1)
40TAePa ⋅⋅⋅= σ
)( 40
4 TTAePNetto −⋅⋅⋅= σ
TKmm )(898,2
max⋅=λ
Merke: Ist Eis vorhanden, das geschmolzen wird, muss erst überprüft werden, ob die Wärmeenergie ausreicht, um das gesamte Eis zu schmelzen.
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Totalreflexion
Hohe Brechzahl zu tiefer Brechzahl => Brechung vom Lot weg
Licht / Optik
Wellenlänge des Licht‘s in best. Materie
nλλ =' Brechzahln
nmeWellenläng=
][:λ
Brechung
1
2sinnn
k =θ
2211 sinsin θθ ⋅=⋅ nn BrechzahlnnLotvonWinkel
:,:,
21
21 θθ
12: nnwennmöglichnur <
Physik
Anmerkung: Wellenlänge > 780nm (infrarot), WL<380nm (ultraviolett)
Substanz Brechzahl n
Festkörper
Diamant (C) 2.417
Eis (H2O) 1.309
Kochsalz (NaCl) 1.544
Quarz (SiO2) 1.544
Zirkon (ZrSiO4) 1.923
Gläser (typische Werte)
Borat-Flintglas 1.565
Quarzglas 1.458
Silicat-Flintglas 1.612
Silicat-Kronglas 1.503
Substanz Brechzahl n
Flüssigkeiten bei 20°C
Benzol 1.501
Ethanol (C2H5OH) 1.36
Glyzerin 1.473
Wasser (H2O) 1.333
Gase (atomosphärendruck und 0°C)
Wasserstoff 1.0001
Luft 1.0003
Kohledioxid (CO2) 1.0005
Brechzahlen einiger Substanzen, bezogen auf gelbes Natriumlicht ( l = 589 nm)
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Vorzeichenkonvention
o + reeller Gegenstand vor der brechenden Fläche (Einfallsseite)
- virtueller Gegenstand hinter der brechenden Fläche (Transmissionsseite)
i + reelles Bild hinter der brechenden Fläche (Transmissionsseite)
- virtuelles Bild vor der brechenden Fläche (Einfallsseite)
f,r + Krümmungsmittelpunkt auf der Transmissionsseite (converging/konvex)
- Krümmungsmittelpunkt auf Einfallsseite (diverging/konkav)
Bild und Objekthöhe sind positiv oberhalb der optischen Achse und negativ
unterhalb der optischen Achse
Licht / Optik
fio111 =+
Linsen
ioiof+⋅=
fifio
−⋅=
fofoi
−⋅=
masstabAbbildungsmmdistimageimdistobjectomlenghtfocalf
:][.:][.:][:
oim −= fmi ⋅−= )1(
1+=mif
Wenn m negativ, ist Bild umgekehrt
Physik
12 . iabsto −=
2 Linsen hintereinander
2 dicht hintereinander gestellte Linsen
21
111fff
+=21 DDD +=
Brechkraft
]1[:m
BrechkraftD
fD 1=
]1[;][:m
dptBrechkraftD
Zerstreuungslinse: Brennweite negativ => Brechkraft negativ
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Kinematik
2-Dimensionale Bewegung
xva ==][...:
][.:
][.:
][:
][:
0
0
2
mStartptvonDistxsmEndgeschwv
smchwAnfangsgesv
sZeittsmgungBeschleunia
end
002
2)( xtvtatx +⋅+⋅=
Wenn a=const
tavvend ⋅+= 0
V(t)
t
x(t)
tv(t)
ta(t)
t
Fallende Körper im v(t)-Diagramm stets mit negativer Steigung
V0=0
Physik
Der schiefe Wurf α
0=y
ay −=
1x0x
( ) ( )α
αα cos
sincos2 0
0220
2
⋅⋅⋅+
⋅⋅−=
vxv
vxgy
Konzept (auf herkömmliche Weise):
1. Es wird die Fallzeit des Körpers bestimmt. Hierfür betrachtet man nur die Bewegung vertikal und setzt die untenstehende Gleichung an:
2. Nun wird angenommen, dass sich der Körper in horizontaler Richtung mit einem konstanten Geschwindigkeitsbetrag bewegt.Darum wird die zuvor ermittelte Fallzeit in die Formel unten (Bewegung horizontal) eingesetzt:
3. Das Ergebnis ist nun die horizontale Distanz bezüglich der Abwurf stelle x0
002 sin
2)( xtvtatx +⋅⋅+⋅= α
tvtx ⋅⋅= αcos)( 0
Konzept (mit Formel für schiefen Wurf)
1. Für das illustrierte Beispiel (siehe Bild) werden folgende Werte in die Grundformel übernommen:
2. Dieser Ausdruck muss nun nach x1 aufgelöst und berechnet werden. Ergebnis ist ebenfalls, wie in der herkömmlichen Lösungsweise, die horizontale Distanz, welche der Körper zurückgelegt hat.
( ) ( )α
αα cos
sincos2
81.9
0
1022
0
21
⋅⋅⋅+
⋅⋅−=−
vxv
vxa
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Kräfte Physik
Schiefe Ebene
rF
GF
NF
aftReibungskr:
tNormalkraf:
aftGewichtskr:
rF
F
F
N
G
Kräftegleichgewicht orthogonal zur Bewegunsgrichtung:
0.........Re
=⋅=−+=
amF s
Kräftebilanz in Bewegunsgrichtung:
amF s
⋅=−+= .........Re
Der Körper hebt weder ab, noch versinkt er in der Ebene
Merke: Ist zu Berechnen, wie viel Energie durch die Reibungskraft über eine bestimmte Strecke in Wärmeenergie umgewandelt worden ist, so ist es von Vorteil den Satz der Energieerhaltung anzuwenden
Kräfteberechungen
αsin⋅= zvertikal FFαcos⋅= zhorizontal FF
zF
horizontalF
α vertikalF
NF
GF
RF
FR: Reibungskraft [N]
FN: Normalkraft[N]
FG: Gewichtskraft [N]
FZ: Zugkraft[N]
µ⋅= NR FF
Kräftegleichgewicht vertikal:
0Re
=⋅=−−=
amFFFF vertikalNGs
Kräftebilanz in Bewegunsgrichtung:
amFFFFF NZRhorizontals
⋅=⋅−⋅=−= µαcosRe
αsin⋅−⋅=−=⇒ zvertikalGN FgmFFF
)sin(cos αµα ⋅−⋅−⋅=⋅ zZ FgmFam
)sin(cosm
Fgm
Fa zZ αµα ⋅−−⋅=
Achtung:Dringend zu berücksichtigen ist, dass die Zugkraft orthogonal zur Bewegungsrichtung eine Komponente Fvertikal hat, die in der vertikalen Kräftebilanz miteinkalkuliert werden muss ! !
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Kinematik Physik
Impuls
vmp ⋅=
[ ]
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
smkgpulsp
smgkeitGeschwindiv
kgMassem
Im:
:
:
Impulserhaltungsgesetz
'' 22112211 vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅
Energieerhaltungsgesetz
( ) ( ) ( ) ( )2222
112
222
11 '
2'
222vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅⇒
'pp =
'EE =
Energie
2
2vmEkinetisch ⋅= hgmEpotentiell ⋅⋅= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ 2
2
:smkgEnergieE
2211 kinPotkinPotkinPotmech EEEEEEE +=+⇒+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
smkungWechselwirnachGeschwvv
smkungWechselwirvorGeschwvv
.:','
.:,
21
21
Nur gültig wenn: keine Reibung vorhanden ist
Wechselwirkung nicht auf schiefer Ebene stattfindet
inelastischer Stoss
Hinreichende Bedingung: ''' 21 vvv ==
21
221121 '''
mmvmvmvvv
+⋅+⋅===
Es gilt das nur Gesetz der Impulserhaltung 22
221
1
22vmvmEkin ⋅+⋅=
( )2
21
221121221
2'
2' ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅+⋅⋅+=⋅+=mmvmvmmmvmmEkin
kinkinkin EEE −=Δ '
elastischer Stoss Es gilt das Gesetz der Impulserhaltung
Es gilt ebenso das Gesetz der Energieerhaltung 'pp = 'EE =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )212
112
22
22 '' vvmvvm −⋅=−⋅22
221
1
22vmvmEkin ⋅+⋅=
Merke: Aus Sicht der Endgeschwindigkeit, geht ein Teil der Energie verloren
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Kinematik Physik
Kraftstoss (Impulsänderung)
( ) ( )
ptFttF
tPtPdtFp
ss
t
ts
Δ=Δ⋅=−
−==Δ ∫
Re12Re
12Re
)(
2
1
vmdtd
dtdpF s ⋅==Re
Arbeit und Kraft einer Feder
∫=Δ −
2
1
)(21
x
x
dxxFW
∫ ⋅=Δ −
2
1
21
x
x
dxxDW
Ideale Feder ][:,
tan:
][:
21 mPositionenxxmNteFederkonsD
NZugkraftF
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Arbeit
dxamdxFxFdxxFW x
x
xx ⋅Θ⋅⋅=⋅=Δ⋅Θ⋅==Δ ∫ coscos)(
2
1
22
21
21
aekinges mvmvEW −=Δ=
][: 2
2
smkgArbeitW ⋅
Leistung allgemein
vFdtdWP ⋅==
],,[: 3
2
smkg
sJWLeistungP ⋅
dtFpt
ts∫=Δ
2
1
Re
DxFxF ⋅Δ+= 0)(
( ) ( )
tmvmvF
tF
mvmvtPtPdtFpt
ts
Δ⋅−⋅=
Δ⋅=
⋅−⋅=−==Δ ∫
1122
112212Re
2
1
Wechselwirkung Kugel fällt auf Platte:
F
s s2 s1
F2
F1
2
21 xDE FederPotentiell ⋅⋅=
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Kinematik Physik
Gleichförmige Kreisbewegung
amFres ⋅=
( ) ( ) rnrT
rfrrva ⋅⋅⋅=⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⋅⋅⋅=⋅== 2
222
2
222 πππω
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
sDrehzahln
sUmlaufeinenfürUmlaufzeitTs
Frequenzf
sradkeiteschwindigWinke
1:
][:
1:
lg:ω
Newton‘sches Gravitationsgesetz
212
21
rmmGF ⋅⋅=
[ ][ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ −
2
211
12
21
1067,6..:
tan::,
kgNmnsconGravitatiounivG
mdMassenabsrkgMassenmm
2
2
rmRgF sE ⋅⋅=
Spezialfall: Ist eine Masse die Erde so gilt:
Trägheitsmoment 2ii rmJ ⋅= ][:
][tan:][: 2
kgMassemmDrehachsezurdAbsr
mkgomentTrägheitsmJ ⋅
Zweites Newton‘sches Axiom der Drehbewegung
α⋅= JM amF ⋅=⇒][:
][:
]1,[:
2
22
NmDrehmomentMmkgomentTrägheitsmJ
ssradhleungiungWinkelbesc
⋅
α
Θ⋅= dMdW
Θ⋅=Θ⋅=== MdtdMW
dtdWP ω⋅=M
Leistung der Drehbewegung
2amJJ SPZ ⋅+=
ϕωα⋅
=2
2
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Konzept (herkömmlich):
1. Kinetische Energie der Bewegung des Körpers auf der Kreisbahn beträgt:
2. Die kinetische Energie durch die Rotation um die Achse, welche durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft beträgt:
3. Demnach lautet die gesamte kinetische Energie:
Kinematik Physik
Kinetische Energie der Drehbewegung
2
22
. 21
21
rvJJE SpSpSpkin ⋅⋅=⋅= ω
r
Ekin sp
Ekin rel
2
21 vmE Kreisbahnkin ⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=⋅⋅+⋅=+= 2
2
2
22
. 221
21
rJ
mvrvJvmEEE Sp
SpSpkinKreisbahnkintotalkin
Konzept (komplett über Massenträgheitsmoment):
1. Das Massenträgheitsmoment des Körpers bezüglich seiner Rotationsachse durch des Massenschwerpunkt ist für diverse geometrische Formen tabelliert und wird für Folgende Erläuterungen bezeichnet als:
2. Gemäss Satz von Steiner kann das Massenträgheitsmoment eines Körpers, der nicht um die, durch den Schwerpunkt verlaufende Achse, rotiert wie folgt berechnet werden:
3. Nun lässt sich wiederum die kinetische Energie dieses Gebildes errechnen gemäss untenstehender Beziehung:
4. Wird nun die Beziehung von Punkt Zwei im Ergebnis von Punkt Drei angewendet, so erhält man folgendes:
SpJ
2rmJJ SpZ ⋅+=
2
22
21
21
rvJJEkin ⋅=⋅= ω
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=⋅+⋅
⋅=⋅⋅= m
rJvrmJ
rvJ
rvE Sp
SpZkin 2
22
2
2
2
2
2221
222
21
21
iiiikin rmvmE ω== 2
21 ω⋅= J
][:][tan:][: 2
kgMassemmDrehachsezurdAbsr
mkgomentTrägheitsmJ ⋅
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Kinematik Physik
Massenträgheitsmomente
( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++==
+=
−−
−
222
22
31
41
21
lrrmJJ
rrmJ
iazzyy
iaxx
z
z
x
x
y
y arir
l
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +==
⋅=
−−
−
22
2
312
41 lrmJJ
rmJ
zzyy
xx
Hohlzylinder
dünnwandiger
Hohlzylinder
z
z
x
x
y
y ar
l
Vollzylinder
22
2
121
41
21
lmrmJJ
rmJ
zzyy
xx
⋅+⋅==
⋅=
−−
−
dünne Scheibe (l<<r)
2
2
41
21
rmJJ
rmJ
zzyy
xx
⋅==
⋅=
−−
−
Dünner Stab (l>>r) unabhängig von der Form des Querschnitts
2
2
121
21
lmJJ
rmJ
zzyy
xx
⋅==
⋅=
−−
−
z
z
x
x
y
y
l b
h
Quader
( )
( )
( )22
22
22
121121121
blmJ
hlmJ
hbmJ
zz
yy
xx
+=
+=
+=
−
−
−
z
z
x
x
y
y
r Kugel, massiv 2
52 rmJJJ zzyyxx ⋅=== −−−
dünne Kugelschale 2
32 rmJJJ zzyyxx ⋅=== −−−
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Kinematik/Hydrostatik Physik
Vergleich zwischen linearer Bewegung und Drehbewegung
Verschiebung Drehw inkel
Geschw indigkeit Winkelgeschw indigkeit
Beschleunigung Winkelbeschleunigung
Gleichungen für den Fall konstanter Beschleunigung
Gleichungen für den Fall konstanter Winkelbeschleunigung
Masse m Trägheitsmoment JImpuls DrehimpulsKraft F Drehmoment M
kinetische Energie kinetische EnergieLeistung Leistung
2. New tonsches Axiom 2. New tonsches Axiom
lineare Bew egung Drehbew egung
xdtdxv == θθω ==
dtd
θΔxΔ
xdtxdv
dtdva ==== 2
2
θθωωα ==== 2
2
tdd
dtd
200
0
21 tatvxx
tavv
⋅+⋅+=
⋅+=
200
0
21 tt
t
⋅+⋅+=
⋅+=
αωθθ
αωω
vmp ⋅= ω⋅= JL
2
21 vmEkin ⋅= 2
21 ω⋅= JEkin
vFP ⋅= ω⋅=MP
amdtdpF ⋅== α⋅== J
dtdLM
Druck
ApF
⋅=]/[],[)(:
][:
][:
2
2
mNPAskalarDruckpmheBezugsfläcA
NFlächeaufFluidsdesKraftF
kPainchsquareperpoundpsimbarPahPaPabar 895,6)(1;1101;101 25 ≈===
Schweredruck in Flüssigkeiten (Zunahme mit steigender Tiefe) gdhAhFhhF ⋅⋅⋅+=Δ+ ρ)()(
0
0
)(:)(
?)(
phghpAFhgAhF
hFgAdhdF
+⋅⋅=+⋅⋅⋅=
=⋅⋅=
ρρ
ρ
0)( phghp +⋅⋅= ρ
Auftrieb
Spezialfall: Ein Körper schwimmt, wenn:
gVF FlA ⋅⋅= ρ
sg FF Re=
Merke: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit
MediumsnverdrängtedesDichteMediumsnverdrängtedesVolumenV
raftAuftriebskF
Fl
A
:::
ρ
Hinweis: AFp =
Merke: Flüssigkeiten haben keine Formelastizität (ihr Schubmodul ist gleich Null), daher können sie Behälter beliebiger Formen ausfüllen
hp(h)
p0
seine Dichte kleiner oder gleich derjenigen des ihn umgebenden Mediums ist
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
17 04.10.13 Seite
Ideale Gase Physik
Zustandsänderungen idealer Gase
WQU Δ+Δ=ΔArbeitemechanischeverrichtetSystemamWieWärmeenergzugeführteSystemdemQ
EnergieinnerenderÄnderungU
:::
ΔΔΔ
Merke: Wenn dem System mechanische Arbeit entzogen wird, ist die zugeführte mechanische Arbeit negativ.
Verschiebearbeit
dVpdspAdsFsdFdW ⋅−=⋅⋅=⋅=⋅= Für unendlich kleine Verschiebungen gilt (da die Kraft nicht konstant bleibt)
Für grosse Verschiebung um die Strecke s
∫∫∫ ⋅⋅⋅−=⋅−=⋅−=2
1
2
1
2
1
)(),,(V
V
V
V
V
V
dVVVTRndVnVtpdVpW
Isotherme Zustandsänderung VconstpconstTRnVp =⇒=⋅⋅=⋅
21ln
12ln)1ln2(ln
)12
(ln12
1
2
1
ppTRn
VVTRnVVTRn
VV
VTRndVV
TRndVVTRnW
V
V
V
V
⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−=−⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−= ∫∫
V
p
Merke: da T(V), fällt die Verschiebearbeit je nach Randbedingung anders aus
Vconst
Hyperbel
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à 21ln
12ln
ppTRn
VVTRn ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à 21ln
12ln
ppTRn
VVTRn ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
p
V
Isobare Zustandsänderung
VpVVpdVpdVnVTpWV
V
V
V
Δ⋅−=−⋅−=⋅−== ∫∫ )12(),,(2
1
2
1
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à
( )12 VVp −−
( )12 TTcn p −⋅
constp =
Rcc vp +=
DruckconstbeikapWämolarecmVolumenVKTemperaturT
PaDruckpKmol
JGasconstuniversR
p ...:][:][:
][:
]31441,8[.:
3
⋅
V1 < V2
Qauf
V1àV2
Wab
V1àV2
Wab
V1àV2
Qauf
V1àV2
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
18 04.10.13 Seite
Ideale Gase Physik
Adiabatische Zustandsänderung (adiabatisch = ohne Wärmeaustausch)
VdVTRndVpdWdQdWdU ⋅⋅−=⋅−==+=
adiabatisch : dQ = 0
Isochore Zustandsänderung
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à
0
( )12 TTcn v −⋅
cv: molare Wä.kap. bei konstantem Volumen
T: Temperatur [K]
V
p
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à
( )⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−−=
−−
−
1111
1
2
111121122
χ
χχχ VVVpTTnRVpVp
0
constpV =χ
constV =
== Rfcv 2
][:][:exp:3
PaDruckpmVolumenV
onentIsentropenχ
v
p
cc
=χ
Merke: wird eine isochore Zustandsänderung durchgeführt von einem höheren Druckpotential p1 zu einem niedrigeren p2 (p2<p1), so wird Wärmeenergie an die Umgebung abgegeben. Von p2 nach p1 wir jedoch Wärmeenergie aufgenommen
Wirkungsgrad (nach Carnot)
auf
ab
PP=η
Pab: netto geleistete mechanische Arbeit
Pauf: !!!aufgenommene!!! Wärmeenergie
TK: Temp.kaltes Niveau [K],[J]
TH: Temp. heisses/warmes Niveau [K],[J]
Merke: Es ist korrekt, dass die Abwärme nicht berücksichtigt wird, da sie als ein „Abfallprodukt“ für den Prozess verloren ist
Leistungszahl
WQ
cL =
Hinweis: Die Leistungszahl ist im Allgemeinen grösser als 1. Je grösser die Leistungszahl ist, desto effizienter arbeitet die Kältemaschine
W: netto zugeführte mechanische Arbeit
Qk: Wärmeenergie von Tk aufgenommen
Qh: Wärmeenergie an TW abgegeben
Wärmeres Reservoir mit Th
kälteres Reservoir mit TK
Qh
QK
W Wärmekraft-maschine
Wärmeres Reservoir mit Th
kälteres Reservoir mit TK
Qh
QK
W Kältemaschine
H
K
TT−= 1.maxη
Kältemaschine:
WQ
TTTc h
KH
HL =
−=Wärmepumpe:
WQ
TTTc k
KH
KL =
−=
p
V V1=V2
p1
p2
p1àp2
Qab W= 0
p1àp2
Wab
Q=0
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
19 04.10.13 Seite
Kraft zwischen Ladungen (siehe auch unter ET)
221
221
41
rreqq
krr
rqqF
⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅
=επ
Elektrische Ladung
2
2910988,8tan:CNmteKonsk ⋅
k=04
1πε
eNq ⋅= adungenElementarlAnzahlNWsAsCadungElementarlee
LadungenderRichtunginktorEinheitsveremFitätzkonDielektrizVakuim
mLadungenderdAbsrAsLadungqNKraftF
:][;][];[10602,1:,
:
][1086,83610.:.)(
][tan:][:
][:
19
129
0
−
−−
⋅=−+
⋅===
πεε
Merke: Eine Ladung kommt nur als Vielfaches der Elementarladung e vor
Superpositionsprinzip Allg. Def. siehe Superpositionsprizip (ET)
Wenn n Punktladungen q1...qn vorliegen, berechnet sich die Kraft auf eine weitere Punktladung q0 erfahrungsgemäss als:
∑=
⋅⋅⋅=+++=n
i i
in r
rrqqkFFFF
12021 ...
Elektrisches Feld Definition: Richtung und Betrag des E-Feldes ist gleich Richtung und Betrag der Kraft auf die Probeladung dividiert durch die betragliche Grösse der Probeladung:
0
),,(),,(qzyxFzyxE
=
obeladungqmV
CNFeldEzyxE
Pr:
][];[:),,(
0
−
),,(),,( 0 zyxEqzyxF
⋅=
Das E-Feld einer Punktladung im Ursprung
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
⋅=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅==
zyx
zyx
qk
zyx
rqk
qFzyxE
23
2223
0 )(),,(
21
222 )(: zyxrmerke ++=
Das E-Feld von mehreren Punktladungen
∑∑ ⋅⋅==i i
i
i
i
i
i
rr
rqk
qFzyxE
20
),,(
i
i
i
ii
rr
rqk
qFzyxE
⋅⋅== 20
),,(
Homogenes Feld liegt vor: wenn die elektrische Feldstärke in jedem Punkt des betrachteten Raumbereichs den gleichen Betrag und die gleiche Richtung hat.
Merke: Das E-Feld an einem Punkt (x/y/z) wird mittels Coulombgesetz und dem Superpositionsprinzip ermittelt. Probeladung an Stelle (x/y/z) positionieren und mittels Coulomb die von der ersten, zweiten usw. Ladung ausgeübten Kraft ermitteln
E-Feld auf Erdoberfläche i.A. 100 V/m Durchschlag bei el.Feldstärke von 3*106 V/m
!!! Vorzeichenbehaftet !!!
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
20 04.10.13 Seite
Q
Elektrisches Feld zwischen 2 unendlich ausgedehnten, parallelen, ebenen Platten mit der Flächenladungsdichte :
Elektrische Ladung
σ⋅⋅π= k4E
Verschiebearbeit einer Punktladung von A nach B (homogenes Feld)
∫∫ ⋅⋅−=⋅−=B
A
B
AAB sdEqsdFW
0
Elektrische Potenzialdifferenz (Spannung) zwischen A und B
∫ ⋅−==ΔB
A0
ABAB sdE
qWU
Das elektrische Potenzial UB
∫∞
∞ ⋅−==B
0
BB sdE
qWU
][: 2mCungsdichteFlächenladσ
2
2910988,8tan:CNmteKonsk ⋅
sE Δ⋅−=
Q
B
sΔ
xΔ
yΔ
yEq Δ⋅⋅−= 0
F
F
E
ABWs =Δ⋅
Verschiebearbeit im elektrischen Feld einer Punktladung
1P
2P
2r
1r
q
Q
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅⋅=
⋅⋅−=⋅−=−=−= ∫∫∫∫
12
2212
11
1)(2
1
2
1
2
1
2
1
rrkqQ
drr
kqQdrrqQkdrrFdsFW
r
r
r
r
r
r
P
P
Definition: Die elektrische Potentialdifferenz (Spannung) zwischen den Punkten A und B ist die Verschiebearbeit zwischen A und B pro Probeladung.
Anmerkung: Potenzialdifferenz und Arbeit haben entgegengesetzte Vorzeichen.
][];[:CJVifferenzPotentialdU
][];[:mV
CNFeldEE −
Merke: Beim Lösen des Integrals ist das Unendlichzeichen einzusetzen und der entsprechende Term mit einer Grenzwertbetrachtung zu analysieren.
+Qgrossϕ kleinϕB
B
rkQdsF
Q⋅=⋅−= ∫
∞
1
r B: Abstand zwischen Einzelladung und Potentialpunkt
Merke: Elektrische Feldlinien zeigen in Richtung abnehmenden elektrischen Potentials
Merke: Potentiale für Ladungsanordnungen bezüglich eines gemeinsamen Punktes können addiert werden
Merke: Feld homogen und unabhängig vom Plattenabstand
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
21 04.10.13 Seite
Plattenkondensator:
Elektrische Ladung / Magnetismus
][: VPlattenzwischenSpannungUΔ∫−==Δ −
−
2
10
2121 dsE
qWU
akdskdsE ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅== ∫∫ σπσπ 44
2
1
2
1
Senkrechter Abstand
][: 2mCungsdichteFlächenladσ
][:
10988,8tan: 2
29
FKapazitätCCNmteKonsk ⋅
Kondensator (allgemein): UCQ Δ⋅=
][:
][,][:
][:
VSpannungUVCFKapazitätC
AsrKondensatoaufLadungQ
Δ
kaA
UQC
⋅⋅⋅=
Δ=
π4
Kugelkondensator:
∫∞
−− ==Δ
R
dsEqWU
0
2121
RQk ⋅== ...
][: msKugelradiuR
kR
UQC =Δ
=][: FKapazitätC
Lorentzkraft:
( )BvqFB
×⋅=
Lorentkraft des B-Feldes auf die bewegte Ladung [N]
Ladung [C] !!!Vorzeichenbehaftet!!!
Geschwindikeit der Ladung
magnetischen Induktion; magn. Flussdichte; Magnetfeld (vergl. E-Feld) [Tesla, T]
:
:::
B
vqFB
B
v
BF
q
Magnetfeld B:
HHB r ⋅⋅=⋅= 0µµµ
Magnetfeld [Tesla, T]
Feldstärke
relative Permeabilität (Materialspez. meist konstant)
Permeabilität des Vakuums = ::::
0µµ r
HB
mAsV
⋅⋅⋅ −7104π
Das
Merke: Die Lorentzkraft verrichtet keine mechanische Arbeit am beschleunigten Teilchen. Es wird daher höchstens die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, nicht aber dessen Betrag geändert
Lorentzkraft auf Stromdurchflossenen Leiter:
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Das Bild kann nicht angezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffnen, oder das Bild ist beschädigt. Starten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dann erneut die Datei. Wenn weiterhin das rote x angezeigt wird, müssen Sie das Bild möglicherweise löschen und dann erneut einfügen.
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Ladung gewinnt kinetische Energie beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz Das Bild kann nicht angezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffnen, oder das Bild ist beschädigt. Starten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dann erneut die Datei. Wenn weiterhin das rote x
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Zwischenwinkel B und vq
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Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
22 04.10.13 Seite
Elektrische Ladung / Magnetismus
B-Feld von einem Leiter erzeugt :
rIrB⋅⋅⋅=
πµ2
)( 0
r: Abstand von der Leiterachse [m]
magn. Feldkonst. = :0µ mAsV
⋅⋅⋅ −7104π
Achtung: Bei dieser B-Feld Bestimmung handelt es sich um den Spezialfall langer, gerader Leiter
Magnetischer Fluss :
∫ ⋅=Φ
FlächeteaufgespannrdurchLeite
mag dAB
][::
][];[];[.: 2
VSpannunginduzierteUmalenFlächennorderVektordA
VsWbmTFlussmagn
ind
mag ⋅ΦBdA
Θ
dtdIL
dtd
U magind −=
Φ−=
Merke: Für die induzierte Spannung ist es nicht von Belang, wie gross der Magnetische Fluss ist, sondern ob er einer zeitlichen Änderung unterliegt.
t
U(t)
t
)(tΦ
Merke: Kann das Integral soweit vereinfacht werden, dass nur noch skalare Grössen vorliegen, so ist der Zwischenwinkel (zwischen dem B-Feld Vektor und der Flächennormalen) zu bestimmen (def. Skalarprodukt). Θ
.
cos
constBwenn
dAB
↑
⋅⋅Θ= ∫
Generator : (Indutkionsschlaufe dreht sich im homogenen Magnetfeld)
x
y
z dA
B
ω
)(tϕ
tt ⋅=ωϕ )(
AtBdAtBdAtBdABLSLSLS
mag ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=Φ ∫∫∫ )(cos)(cos)(cos ϕϕϕ
LS: Leiterschlaufe
ωωω ⋅−⋅⋅=⋅⋅=Φ
= )sin()cos( tABtdtdAB
dtd
U magind
Selbstinduktivität:
ILmag ⋅=ΦL: Selbstinduktions-Koeffizient [Henry]
Wenn der Strom zeitabhängig ist, wird in der Spule eine Spannung induziert:
dtd
U magind
Φ−=
( ) FeldBimLeiterrbewegte
zlvB
−↑
⋅⋅⋅=
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
23 04.10.13 Seite
Wechselstromkreise
Spannungsquelle: (Definition einer idealen Spannungsquelle)
)cos()( 0 tUtU ⋅⋅= ω
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= tT
UtnUtfU πππ 2cos)2cos()2cos( 000
U0:Spannungsamplitude
: Kreisfrequenz
f: Frequenz
ω
Merke: hierbei handelt es sich um die übliche Definition, es sind aber auch andere Funktionen denkbar, wie z.B. Dreiecks-,Rechtecks-,Sägezahnfunktion
Widerstand:
IRUR ⋅=UR: Spannung über dem Element
I: Strom durch das Element
R: Propotionalitätsfaktor, „Widerstandsbeiwert“
Merke: Im Unterschied zum Gleichspannungsfall, sind die Spannung über dem Widerstand und der Strom durch den Widerstand zeitabhängig.
tiR eUIRU ⋅⋅⋅=⋅= ω
0
Komplexe Betrachtungsweise: (Widerstand in Serie/ parallel zu einer Spannungsquelle)
tieRUtI ⋅⋅⋅= ω0)( t
RUe
RUtI ti ωω cos)Re()( 00 ⋅=⋅= ⋅⋅Gemeint ist damit:
tieUtU ω⋅= 0)(
Komplexe Betrachtungsweise:
)sinRe(cos)Re()( 00 titUeUtU ti ωωω ⋅+⋅=⋅=Gemeint ist damit:
UR(t)
I(t) ti
R eIRtIRtU ⋅⋅⋅⋅=⋅= ω0)()(
Zeigerdiagramm: Die Projektion der einzelnen Zeiger auf die x-Achse gibt den Momentanwert der Spannung bzw. des Stromes an
Zeigerdiagramme:
Im Folgendem werden die Strom Spannungszusammenhänge in Sogenannten „Zeigerdiagrammen“ in der Gaus‘schen Ebene (Im gegen Re ) visualisiert. Hier wird der Strom-Spannungszusammenhang mittels Vektoren in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt. In einer Serieschaltung können, ausgehend von einem Stromvektor (Strom in Serieschaltung durch jedes Element identisch), alle Spannungsvektoren, entsprechend den Nachfolgenden RCL-Zusammenhängen, eingetragen werden und so die Gesamtspannung ermittelt werden. Ebenso Kann in einer Parallelschaltung von einem Spannungsvektor ausgegangen werden, mittels dem Rückschlüsse auf die entsprechenden Stromvektoren gezogen werden können.
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
24 04.10.13 Seite
Wechselstromkreise
Kondensator (Kapazität):
CUCQ ⋅=Q: Ladung auf der einen Platte des Kondensators
UC: Spannung über dem Kondensator
C: Kapazitätswert
XC,RC: Komplexer Widerstand des Kondensators
Kapazitiver Widerstand
IdtdUC
dtdQ C =⋅=
Merke: Wenn Spannung cosinusförmig von der Zeit abhängt, hängt der Strom ebenfalls cosinusförmig von der Zeit ab und eilt der Spannung um Pi/2 voraus.
Spule (Indutkiviät):
dtdILUL ⋅=
UL: Spannung über der Induktivität
I: Strom durch die Spule
L: Induktivitätswert [H]
XL,RC: Komplexer Widerstand der Induktivität Blindwiderstand
Merke: Wenn Spannung cosinusförmig von der Zeit abhängt, hängt der Strom ebenfalls cosinusförmig von der Zeit ab und hinkt der Spannung um Pi/2 nach.
Komplexe Betrachtungsweise:(Kondensator in Serie / parallel zu einer Spannungsquelle)
)(1)( 00 tUR
eUCiCieUtI titi ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅ ωω ωω
U(t)
Komplexe Betrachtungsweise: (Induktivität in Serie / parallel zu einer Spannungsquelle)
)(111)( 000 tU
ReU
LieU
Liie
LUtI tititi ⋅=⋅⋅
⋅−=⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ωωω
ωωω
UL(t)
I(t)
UC(t)
I(t) )()()( tI
Ci
CitItUC ⋅
⋅−=
⋅⋅=
ωω
)()()( tILidttIdLtUL ⋅⋅⋅=⋅= ω
Merke: Steigende Frequenz erhöht den Widerstand der Induktivität. Bei tiefen Frequenzen wird die Spule (Induktivität zum Kurzschluss) Der Blindwiderstand kann in der Netzwerkberechnung wie gewohnt gehandhabt werden
tItL
UtL
UtI ωπωω
ωω
sin2
cossin)( 000 ⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅
⋅=⋅
⋅=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
2cossin)( 00
πωωωω tUCtUCtI
LLiRX CL ⋅=⋅⋅== ωω
CCi
CiRX Cc ⋅
=⋅
−=⋅⋅
==ωωω11
Nichtimaginärschreibweise
Nichtimaginärschreibweise
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
25 04.10.13 Seite
Wechselstromkreise
RCL-Schwingkreise (Serieschaltung von RCL):
CLCL
CL
XX CL
⋅=
⋅=⇒
⋅=⋅
=
11
1
0
00
ω
ωω
LXL ⋅=ω
)(: tIIIIwobeiIRU RCL ===⋅=
XC
I(t)
XL
R
XL-XC Z Z: Impedanz (Scheinwiderstand)
XL: Induktiver Scheinwiderstand
XC: Kapazitiver Scheinwiderstand
R: Ohm‘scher Widerstand
Die Impedanz (Schein- bzw. Gesamtwiderstand) eines Serie RCL-Schwingkreises erreicht ihr Minimum, wenn die betragliche Grösse von XL und XC identisch ist. Es soll nun im Folgendem die Frequenz, bei welcher dieser Sachverhalt gewährleistet ist, eruiert werden:
CXc ⋅
=ω1
Merke: Bei Abweichungen der Frequenz von der optimalen Frequenz hat dies eine Phasenverschiebung der Generatorspannung bezüglich des Stromes zur Folge.
ω 0ω
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
26 04.10.13 Seite
Schwingungen
Schwingungsgleichung Feder-Masse-Oszillator (linear, ungedämpft, harmonisch)
αααα vonWertekleinefürsin:Annahme0sin)( ≈=⋅+bgta
mDwobeixx
xmDx
==⋅+
=⋅+
20
20 :0
0
ωω
Aufgrund der Kräftebilanz erhält man folgende DGL:
Die Lösung dieser Differentialgleichung hat folgende Gestalten:
( ) ( )( )00
0201
sincossin)(
ϕωωω
+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=
tAtCtCtx
Pendel (linear, ungedämpft, harmonisch)
( )( )ngZeiturspruhenwillkürlicaufbezogenerenzPhasendiff
PhaseAmplitude:
SchwingungderuerPeriodenda1
SchwingungderenzEigenfrequ2
SchwingungderenzKreisfrequ:
0
00
0
0
ϕϕω
πω
ω
+⋅
=
=
=
tA
fT
f
mD
Aufgrund der Energiebilanz (mechanische Energie=... und Änderung der mech. Energie =0) erhält man für ein Pendel folgende DGL:
Nun werden die einzelen Koeffizienten der DGL adaptiert auf die Variante des Masse-Feder-Oszillators, um die Lösung der DGL direkt anschreiben zu können:
bg
xx
0ω
αα
Die neu zugewiesenen Koeffizienten können nun in die Lösung übertragen werden:
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅=
+⋅⋅=
0
00
sin
sin)(
ϕ
ϕωα
tbgA
tAt
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
27 04.10.13 Seite
Schwingungen
0
20
2
=⋅+⋅+
⋅
xmDx
mbx
ωρ
Schwingungsgleichung Feder-Masse-Oszillator (linear, gedämpft, harmonisch)
Für die Aufstellung der zugehörigen DGL sind folgende Bestandteile miteinzubeziehen:
- Masse m
- Feder mit Federkonstanten k bzw. D
- Dämpfungskraft, welche proportional zur momentanen Geschwindigkeit ist
Kräftebilanz: (welche Kräfte wirken auf die Masse ?)
1. Gravitationskraft
2. Federkraft
3. Reibungskraft
Bewegungsgleichung:
xmam
xbxDGGFt
s
⋅=⋅=
⋅−⋅−+−=aftReibungskrFederkrafnGravitatio
Re
Bewegungsgleichung in Normalform:
0=⋅+⋅+⋅⇒ xDxbxm
Bewegungsgleichung in Normalform:
02 20 =⋅+⋅+ xxx ωρ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅
=
mbmD
ρ
ω
2
20
Charakteristische Gleichung:
02 20
2 =⋅+⋅+ xωλρλ 02 20
2 =⋅+⋅+ xωλρλEs entsteht folgender Lösungsausdruck (über Lösung einer quadratischen Gleichung) :
20
22/1 ωρρλ −±−=
Fallunterscheidung:
1. Starke Dämpfung
2. Schwache Dämpfung
3. Kritische Dämpfung
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⋅=⇒
>−⋅−−⋅−⋅− ttt eCeCetx20
220
2
21
20
2
)(
0ωρωρρ
ωρ
( ) ( )( )tCtCetx
wobeiit ⋅Ω⋅+⋅Ω⋅=⇒
−=ΩΩ⋅±−=⇒
<−
⋅− cossin)(
:
0
21
220
22/1
20
2
ρ
ρωρλ
ωρ
( )21
20
2
)( CtCetx t +⋅=⇒
=⋅−ρ
ωρ
Physik
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
28 04.10.13 Seite
Spezialfälle Physik
Schwingungsgleichung
)()()( tKxxkgmxm +⋅−+⋅−+⋅=⋅ βonStörfunktiäusseretKteonsDämpfungsk
teFederkonsk
:)(tan:
tan:β
mtKg
mxk
mxx )(⋅=⋅+⋅+⇒
β
)(2 20 tFxxx =⋅+⋅+ ωδ
20;2 ωδβ ==
mk
m
Merke: Lösung der DGL hängt ab von den zwei Koeffizienten ersichtlich durch charakteristische Gleichung
20
22/1 ωδδλ −±−=
Fallschirmspringer 2skgmsm ⋅−⋅=⋅
svsvonSubstituti
=⇒=:
12 ⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅−= v
mkgv
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
29 04.10.13 Seite
Fehlerrechnung
∑=
⋅=N
iixN
x1
1
∑=
−⋅−
=N
iixx
Ns
1
2)(1
1
Nstx ⋅=Δ xumxBereich Δ±
],[ xxxxBereichimplichkeitWahrscheinmitliegt Δ+Δ−µ
nlichkeitswahrscheiSicherheitpParameterabhängigerpundNvont
hungStdtabweicsnumfangStichprobeN
MesswertterixMittelwertx
i
::::::, 1
−µ
nn
xdxdyx
dxdyx
dxdyy Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=Δ ...2
21
1
Partialfehlersumme
Ableiten nach betreffender Variablen und danach mit deren delta-Wert multiplizieren
yF Δ±= Grösstfehlerabschätzung (sehr pessimistisch)
Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:
30 04.10.13 Seite
Fehlerrechnung
Was
sers
toff
H
1
1,0
1
H
eliu
m
He
2
4,0
0
L
ithiu
m
Li
3
6,9
4
Ber
ylliu
m B
e 4
9,0
1
Bor
B
5
10,
81
Koh
lens
toff
C
6
12,
01
Sili
cium
Si
1
4
28,
09
Ger
man
ium
Ge
32
72,
61
A
rsen
A
s 3
3
74,
92
S
elen
Se
3
4
78,
96
Ant
imon
Sb
5
1
121,
76
T
ellu
r Te
5
2
127,
60
A
stat
A
t 8
5
209,
99
Nat
rium
N
a 1
1
22,
99
Mag
nesi
um
Mg
12
24,
31
Alu
min
ium
Al
13
26,
98
K
aliu
m
K
19
39,
10
Cal
cium
C
a 2
0
40,
08
Scan
dium
Sc
2
1
44,
96
Vana
dium
V
2
3
50,
94
C
hrom
C
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