Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 23.11.2006 1 Der Median 50% der Daten...

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Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

23.11.2006

Der Median

50% der Daten sind kleiner oder gleich med

50% der Daten sind größer oder gleich med

Zahlganzen

kfallsxx

Zahlganzen

kfallsx

)()1( nxx

sind geordnete Werte

Definition: Wert für den gilt

23.11.2006

Eigenschaften des Median

• anschaulich• stabil gegenüber monotonen Transformationen• geeignet für ordinale Daten• stabil gegenüber Ausreißern

23.11.2006

Beispiel Median

Statistiken

Hämatokrit80

Gültig

Fehlend

Median

Hämatokrit

3 2,5 3,8 3,8

7 5,8 8,8 12,5

3 2,5 3,8 16,3

9 7,5 11,3 27,5

16 13,3 20,0 47,5

18 15,0 22,5 70,0

12 10,0 15,0 85,0

5 4,2 6,3 91,3

6 5,0 7,5 98,8

1 ,8 1,3 100,0

80 66,7 100,0

40 33,3

120 100,0

Gesamt

Gültig

SystemFehlend

Gesamt

Häufigkeit ProzentGültige

ProzenteKumulierteProzente

23.11.2006

Das Quantil (Perzentil)

Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich xp

Anteil 1-p der Daten sind größer oder gleich xp

Zahlganzenpkfallsxx

nphlkleinsteZakundZahlganzekeinenpfallsx

1 )1()(

Definition: Wert für den gilt

23.11.2006

Fünf-Punkte Zusammenfassung

Minimum, 25%-Quantil, Median,75%-Quantil,Maximum

Statistiken

Hämatokrit80

Gültig

Fehlend

Median

Perzentile

Hämatokrit

3 2,5 3,8 3,8

7 5,8 8,8 12,5

3 2,5 3,8 16,3

9 7,5 11,3 27,5

16 13,3 20,0 47,5

18 15,0 22,5 70,0

12 10,0 15,0 85,0

5 4,2 6,3 91,3

6 5,0 7,5 98,8

1 ,8 1,3 100,0

80 66,7 100,0

40 33,3

120 100,0

Gesamt

Gültig

SystemFehlend

Gesamt

23.11.2006

Der Mittelwert (arithmetisches Mittel)

• bekanntestes Lagemaß

• instabil gegen extreme Werte • geeignet für Intervallskalierte Daten

23.11.2006

Beispiel Mittelwert

Hämatokrit

3 2,5 3,8 3,8

7 5,8 8,8 12,5

3 2,5 3,8 16,3

9 7,5 11,3 27,5

16 13,3 20,0 47,5

18 15,0 22,5 70,0

12 10,0 15,0 85,0

5 4,2 6,3 91,3

6 5,0 7,5 98,8

1 ,8 1,3 100,0

80 66,7 100,0

40 33,3

120 100,0

Gesamt

Gültig

SystemFehlend

Gesamt

Deskriptive Statistik

80 35 44 39,48 2,093

Hämatokrit

Gültige Werte(Listenweise)

N Minimum Maximum MittelwertStandardabweichung

23.11.2006

Die Spannweite (Range)

minmax xxq Definition:

• „Bereich in dem die Daten liegen“ • Wichtig für Datenkontrolle

23.11.2006

Der Quartilsabstand

25,075,0 xxq Definition:

• „Größe des Bereichs in dem die mittlere Hälfte der Daten liegt“• Geeignet für ordinal skalierte Daten• Zentraler 50%-Bereich

23.11.2006

Standardabweichung

Definition:

22 )(1

• „Mittlere Abweichung vom Mittelwert“• Manchmal auch 1/n statt 1/(n-1)• Intervallskala Voraussetzung

23.11.2006

Variationskoeffizient

• Varianz und Streuung sind von der Skala abhängig, auf der gemessen wird

Beispiele:

• Temperatur in °Celsius oder Fahrenheit• Gewicht in mg oder µg

Daher bezieht man die Streuung oftmals auf deren Lage und berechnet den Variationskoeffizienten als Standardabweichung / Mittelwert

• VK ist ein dimensionsloses Maß

• „Standardabweichung in Mittelwertseinheiten“

• Nur sinnvoll für positive

23.11.2006

Lage und Streuung: Zusammenfassung

Lage und Streuung sind die wichtigsten Parameter einer Häufigkeitsverteilung von Daten

Sie sind Bestandteil

JEDER BIOMETRISCHEN AUSWERTUNG

• Ein wichtiges Instrument der Datenbeschreibung ist aber auch die graphische Darstellung

23.11.2006

Datendarstellung

• „Ein Bild sagt mehr als Tausend Worte“• Allgemeine Kriterien:• Wahl der Skala incl. Bereich• Wahl des Prinzips (Längentreue, Flächentreue)• Einbringen von anderen Visualisierungen (Piktogramme etc.)• Angemessene Wahl der Variablen• Wichtige Typen:• Stab-, Balken- und Säulendiagramm• Kreis (Torten)-Diagramm• Histogramm

23.11.2006

Boxplot

Beispiel: Hämatokrit bei Mastenten

Maximum75%-QuantilMedian25%-Quantil

Ausreißer

ExtremwerteMinimum

23.11.2006

Boxplot

1. x0.25 = Anfang der Schachtel (Box)x0.75 = Ende der Schachteld = Länge der Schachtel

2. Der Median wird durch den Strich in der Box markiert3. Zwei Linien („whiskers“) außerhalb der Box gehen bis zu xmin und

Modifizierter BoxplotDie Linien außerhalb der Schachtel werden nur bis zu xmin bzw. xmax gezogen, falls xmin und xmax innerhalb des Bereichs [zu,zo] der Zäune liegen. zu = x0.25 +1.5d ,zo x= x0.75 +1.5d

Ansonsten gehen die Linien nur bis zum kleinsten bzw. größten Wert innerhalb der Zäune, die außerhalb liegenden Werte werden individuell eingezeichnet.

23.11.2006

Beispiele:Gewicht von Ferkeln

am 70. Tag

23.11.2006

Kreisdiagramm, Tortendiagramm

Darstellung der relativen (absoluten) Häufigkeiten als

Fläche eines Kreises

Anwendung: • Nominale Merkmale• Ordinale Merkmale (Problem: Ordnung nicht korrekt

wiedergegeben)• Gruppierte Daten

23.11.2006

Beispiele: Körpertemperaturveränderung bei Ferkeln

8 h nach Zweitimpfung8 h nach Erstimpfung

23.11.2006

Varianten in SPSS

Beispiel: Körpertemperaturveränderung bei Ferkeln 8 h nach

Zweitimpfung

23.11.2006

Säulendiagramm

Darstellung der absoluten oder relativen Häufigkeitenals Höhen (Längen)

x-Achse: Ausprägungen des Merkmalsy-Achse: Absolute / Relative Häufigkeiten

Anwendungen:• Ordinale Merkmale• Metrische Merkmale mit wenigen Ausprägungen• Nominale Merkmale (Problem: Ordnung nicht

vorhanden)

23.11.2006

Beispiele: Mastenten

Anzahl trinkender Tiere beobachtet in 3165 5-Minuten-Intervallen

23.11.2006

Stapeldiagramm

Darstellen der absoluten oder relativen Häufigkeiten als Länge. Die

Abschnitte werden übereinander in verschiedenen Farben gestapelt.

Eindimensionale Darstellung

Anwendungen:

• Ordinale Daten

• Gruppierte Daten

• Metrische Daten mit wenigen Ausprägungen

Besonders geeignet für den Vergleich verschiedener Gruppen durch

Nebeneinander liegende Stapel. Zu beachten ist dann die Unterscheidung

relative Häufigkeit absolute Häufigkeit

23.11.2006

Beispiele:Körpertemperaturveränderung bei Ferkeln 8 h nach Zweitimpfung

23.11.2006

Beispiele:Körpertemperaturveränderung bei Ferkeln 8 h nach Zweitimpfung

23.11.2006

Körpertemperaturveränderung bei Ferkeln 8 h nach Zweitimpfung

Vergleich mit Kreisdiagramm:

23.11.2006

Vergleich mit Kreisdiagramm:

23.11.2006

Das Histogramm

Darstellung der relativen Häufigkeiten durch Flächen

(Prinzip der Flächentreue)

Vorgehen:

1. Aufteilung in Klassen (falls die Daten noch nicht gruppiert sind)

2. Bestimmung der relative Häufigkeiten

3. Bestimmung der Höhen hi , so dass gilt:

wobei bi: Breite der Klasse i.iii fhb

23.11.2006

Beispiel:

Gewicht von Ferkeln am 1. LebenstagGewicht gruppiert in Abständen von 0,5 kg

Tabelle:

Häufigkeit fi bi hi

[0,5 – 1,0] 6 9,7% 10 0,0097

(1,0 – 1,5] 32 51,6% 10 0,0516

(1,5 – 2,0] 18 29,0% 10 0,0290

(2,0 – 2,5] 6 9,7% 10 0,0097

23.11.2006

Gewicht in Abständen von 0,5 kg

23.11.2006

Gewicht in Abständen von 0,250 kg

23.11.2006

Histogramm mit Standardeinstellung aus SPSS

23.11.2006

Histogramm

• Anwendung bei metrischen Daten

• Beachte: Abhängigkeit von der Breite

• Klasse inhaltlich vorgeben

• verschiedene Varianten ansehen

• Vorsicht bei Rändern

23.11.2006

Stamm-Blatt-Diagramm

(English: stem and leaf plot)

Spezielles Histogramm mit:

• Klassen nach Dezimalsystem• Einzeldaten reproduzierbar

23.11.2006

Beispiel:

Temperatur von Ferkeln am 11. Lebenstag

Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

2,00 38 . 88 6,00 39 . 002224 3,00 39 . 567 1,00 40 . 2

Stem width: 1,0Each leaf: 1 case(s)

23.11.2006

Empirische Verteilungsfunktion

Beispiel: Gewicht von

Ferkeln am 70. Lebenstag

genBeobachtunderGesamtzahl

xgenBeobachtunderAnzahlxF

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