Vektorrechnung · Wird ein Vektor a, dessen Betrag größer 0 ist, mit einer reellen Zahl r...

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VektorrechnungRonny Harbich, 2003

Einführung

• Definition• Betrag• Skalarmultiplikation• Nullvektor• Gegenvektor• Einheitsvektor• Addition• Subtraktion• Gesetze

Inhalt

Ein Vektor ist eine Menge von Pfeile, die gleichlang (kongruent), zueinander parallel und gleichgerichtet sind. Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors. Folglich ist eine Vektormenge (und somit auch die Anzahl ihrer Repräsentanten) unendlich groß.

a AB=� ��

Definition

Der Vektor, der von Punkt A nach Punkt B führt, wird mit Vektor AB bezeichnet, wobei A den Anfangs- und B den Endpunkt darstellt. Für einen Vektor benutzt man häufig kleine Buchstaben mit übergesetztem Pfeil (hier: a).

BetragDer Betrag eines Vektors entspricht der Länge des zugehörigen Pfeils. Er ist somit eine nichtnegative reelle Zahl.

{ }0nAB a a a V a += = ∈ ∧ ∈ ∪��

SkalarmultiplikationWird ein Vektor a, dessen Betrag größer 0 ist, mit einer reellen Zahl r multipliziert, so entsteht ein neuer Vektor b, welcher genau r-mal so lang ist wie Vektor a. Wenn r positiv ist, zeichnet sich Vektor b durch dieselbe Richtung wie Vektor a aus, ansonsten verhält sich seine Richtung Vektor a entgegengesetzt. Weiterhin ist Vektor b parallel zu Vektor a.

, , , n

b r a b b r a r a

a b r a b V a b

= ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅

∈ ∧ ∈ ∧

� � � �

� � � ��

b r a= ⋅� �

b r a= ⋅

NullvektorEin Nullvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 0 und unbestimmter Richtung.

Wird ein Vektor a mit 0 skaliert, so ergibt sich immer ein Nullvektor.

� ��

0 a o⋅ =� �

Wird ein Nullvektor mit einer reellen Zahl r skaliert, so ergibt sich wieder ein Nullvektor.

r o o r⋅ = ∈� �

EinheitsvektorEinheitsvektoren sind Vektoren mit dem Betrag 1. Ein Vektor b skaliert mit dem Kehrwert seines Betrages ergibt immer den zugehörigen Einheitsvektor.

b b bb

a V b V o

= ⋅ ⇒ =

∈ ∧ ∈

��

� � �

1 1b =

1b��

GegenvektorGegenvektoren sind Vektoren mit gleichem Betrag und entgegengesetzterRichtung. Der zu einem Vektor a zugehörige Gegenvektor b entspricht der Skalierung von Vektor a mit -1.

b a BA

a b V o

= − ⋅ =

� ��

� � ��

� � �

b a= −� �

AdditionVektoren werden mit einander addiert, indem jeweils der Endpunkt eines Vektors mit dem Anfangspunkt des folgenden Vektors verkettet wird. Der Summen-vektorentspricht nun dem Vektor zwischen Anfangspunkt des ersten und Endpunkt des letzten Vektors.

1 1 21

1 2 2 3 1 1

n i ni

a a a a a

A A A A A A A A

a a AB BA o

a a a V

= = + + +

= + + + =

+ − = + =

∑��

…��

…� � ��

� � �

��

1 2 3 45 a aa a a= + + +��

1a��

2a��

3a��

4a��5a

��1A

SubtraktionVektoren werden mit einander subtrahiert, indem der Gegenvektor des zu subtrahierenden Vektors addiert wird.

( )( ) ( )

= + −

= + − + + −

∑��

�� …

( )13 2a a a= + −��

1a��2a

��

2a−��

13 2a a a= −��

3a��

1,n i na a V+ ∈��

GesetzeKommutativgesetz (Addition):

a b b a

� � � �

� �b�

c a b= +� � �

b� a

�c b a= +� � �

Assoziativgesetz (Addition):

( ) ( ), , n

a b c a b c

a b c V

+ + = + +

� � � � � �

� � �

a b+� �

( )d a b c= + +��

b c+� �

( )d a b c= + +��

Kommutativgesetz (Multiplikation):

r a a r

⋅ = ⋅

∈ ∧ ∈

� �

��

Assoziativgesetz (Multiplikation):

( ) ( ), ,n

b r s a r s a

a b V r s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∈ ∧ ∈

� � �

� ��

s a⋅�

( )s ab r= ⋅ ⋅� �

r a a r⋅ = ⋅� �

r a a r⋅ = ⋅

( )s ab r= ⋅ ⋅� �

r s⋅

Distributivgesetze:

( ) ,nr s a r a s a a V r s+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ∈ ∧ ∈� � � �

( ) , nr a b r a r b a b V r⋅ + = ⋅ + ⋅ ∈ ∧ ∈� � � � � �

a� ( )s ab r= + ⋅

� �

r a⋅�

b r a s a= ⋅ + ⋅��

s a⋅�

c r a r b= ⋅ + ⋅��

r a⋅�

r b⋅�

( )r ac b= ⋅ +� � �

a b+� �

Vektoren im Raum

• Komponentendarstellung• Betrag• Skalarmultiplikation• Addition und Subtraktion• Ortsvektor eines Punkts• Vektor durch zwei Punkte• Skalarprodukt• Anwendung des Skalarprodukts

Inhalt

Komponentendarstellung

Ist { };i j� �

eine in Origo beginnende Basis für die Vektoren einer Ebene und lässt sich

ein Vektor a�

in der Form a a i a jx y= ⋅ + ⋅� � �

darstellen, so bezeichnet man die Faktoren

ax und ay als Koordinaten des Vektors a�

bezüglich der Basis { };i j� �

. Diese Koordinaten werden mit Hilfe einer einspaltigen und zweizeiligen Matrix dargestellt: axay

. Die Ausdrücke a ix ⋅�

und a jy ⋅�

werden als Komponenten von Vektor a�

bezeichnet. Weiterhin gilt die Komponentendarstellung auch für Vektoren in n-dimensionalen Räumen. Im Allgemeinen werden Vektoren für eine Basis gewählt, die folgende Eigenschaften aufweisen: ( )1 ; 90i j i j= = ∧ ∠ = °

� � � �. Sie bildet somit

ein von Origo ausgehendes orthonormiertes Koordinatensystem (Rechtssystem).

Abbildungen zur Komponentendarstellung im zwei- und drei-dimensionalen Raum:

x ya ja a i= ⋅ + ⋅��

i� y

k�m��

x y zb k b l bb m= ⋅ + ⋅ + ⋅� ��

1 1 2 21

x y z y

i i n ni

aa a i a j

bb b k b l b m b

cc c v c v c v c v

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

� � �

� � � ��

� �� … �

Komponentendarstellung für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:

{ } { } { }2 2 3 3, \ , , \ \

, , , , ,n i n

x y x y z i

a V i j V o b V k l m V o c V v V o

a a b b b c

∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈

∧ ∈

� � � � � � � ��

BetragDer Betrag eines Vektor kann mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatz berechnet werden.

y x y z

bb b b b b

= = + +

��

SkalarmultiplikationEin Vektor wird mit einer reellen Zahl skaliert, indem jede Komponente des Vektors mit diesem Skalar multipliziert wird.

r cr c r c v

a V b V c V r

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈

∑� ��

� � ��x

i�a�

xr a⋅

yr a⋅

r ar a i r j

⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

� � �

x y z y

r br b r b k r b l r b m r b

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

� � � ��

Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der eine Vektor durch die Multiplikation mit einem Skalar über den anderen Vektor ausdrücken lässt. Linear unabhängig sind zwei Vektoren genau dann, wenn der genannte Fall nichtzu trifft:a�

und ( ),b a b Vn∈� � �

sind linear abhängig ⇔ es existiert ein r∈� mit r a b⋅ =� �

und ( ),b a b Vn∈� � �

sind linear unabhängig ⇔ r a b⋅ ≠� �

für jedes r∈�

linear abhängig

linear unabhängig

x x y y

b r a a b V rb r ab r a

b r a b r abb

= ⋅ ∈ ∧ ∈

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

≠ ⇒

� � � �� 3,

l. a.yx z

d r c c d V rdd d

= ⋅ ∈ ∧ ∈

= = ⇒

��

f r e e f V ree

= ⋅ ∈ ∧ ∈

= = ⇒

��

Addition und SubtraktionVektoren werden miteinander addiert/subtrahiert, indem die Komponenten der einzelnen Vektoren miteinander addiert/subtrahiert werden.

( ) ( )( ) ( )

x y x y

x x y y

x x x x

y y y y

x x x x

y y y y

a i a j b i b j

a b i a b j

a b a ba b a b

a b a ba b

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= + ⋅ + + ⋅

+ = = + +

− − = = − −

� �

� � � �

� �

i� x

xa i⋅�

ya k⋅�xb i⋅� yb k⋅

y ya k b k⋅ + ⋅� �

x xa j b j⋅ + ⋅� �

a ba b

d ed e d e

f gf g

± ± = ±

± ± = ± ±

± ± = ±

� �

��

Addition und Subtraktion für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:

2 3, , , , na b c V d e V f g V∈ ∧ ∈ ∧ ∈� � � ��

Ortsvektor eines PunktsDer Ortsvektor eines Punkts P ist derjenige, welcher durch Origo (Anfangspunkt) und den Punkt selbst (Endpunkt) verläuft.

xa x y

b x y z y

c i ii

aOP a i a j

bb OP b k b l b m b

cc OP c v

= = ⋅ + ⋅ =

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= = ⋅ =

��

� ��

� �� x

( );a x yP a a

Vektor durch zwei PunkteDer Vektor, durch zwei Punkte verläuft, ergibt sich aus dem Differenzvektor der Ortsvektoren der beiden Punkte.

( ) ( )

1 2 2 1

2 1 2 1

4 32 1

3 4 4 32 1

P Pn n

PP OP OP

x x i y y j

x xx x

b PP y yy y

P Px x

= = −

= − ⋅ + − ⋅

− − = = = − − − −

= = −

��

� �

� ��

i� x

1OP��

( )1 1 1;P x y( )2 2 2;P x y

2OP��

Skalarprodukt

( )( ) { }cos ; , \nr a b a b a b a b V o r= = ⋅ ⋅ ∠ ∈ ∧ ∈� � � � � � � � �i �

Aus dem Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt sich immer eine reelle Zahl:

Das Skalarprodukt ist, geometrisch interpretiert, der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Seite a a=

�und der Länge der senkrechten Projektion von b

�auf a�

( )cosa b a b α= ⋅ ⋅� � � �i

( )cosb α⋅�

0a b a b= ⇔ ⊥� � � �i

Stehen zwei Vektoren a�

und b�

senkrecht zueinander, so ist ( ) ( )cos cos 90 0α °= = und

somit auch das Skalarprodukt 0a b⋅ =� �

Ein Vektor wird mit Hilfe des Skalarprodukts quadriert:

( ) ( )2 2cos 0a a a a a a°= = ⋅ ⋅ =

� � � � � �i

Rechenregeln des Skalarprodukts:

Kommutativgesetz:

a b b a=� � � �i i

Das Skalarprodukt kann auch über Komponenten ausgerechnet werden:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

x y x y

x x x y y x y y

x x y y

a b a i a j b i b j

a b i i a b i j a b j i a b j j

a b a b

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅

� � � � � �i i

� � � � � � � �i i i i

Gemischtes Assoziativgesetz:

( ) ( ) ( )r a b b r a a r b⋅ = ⋅ = ⋅� � � � � �i i i

Distributivgesetz:

( )a b c a b a c+ = +� � � � � � �i i i

x xx x y y

y y x x y y z z

a br a b a b a b

c dr c d c d c d c d c d

e fr e f e f e f

= = = ⋅ + ⋅

= = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = ⋅ + + ⋅

� �i i

� ��i i

� ��i � i � �

Skalarprodukt für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:

{ } { } { }2 3 1 2 3, \ , \ , \ , ,na b V o c d V o e f V o r r r∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈� � � � ��

Anwendung des SkalarproduktsMit dem Skalarprodukt kann der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt werden:

{ } { }

arccos

, \ , \

x x y y

a b a b a b a b

a b a b

c dc da b

a b V o c d V o

= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅

⇒ = ⋅

∈ ∧ ∈

� � � �i

� �

� �� ii � �

� � � � ��

Mit Hilfe des Skalarprodukts ist es möglich den Betrag von Vektoren zu errechnen:

( ) ( )

{ } { } { }

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 21 1

x x y y

x y x y

x y z x y z

a a a a a a a a a

a a a a a a a a

b b b b b b b b b b b

c c c c c c c c c

a V o b V o c V o

°= = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

= = + ⇒ = = +

= = + + ⇒ = = + +

∈ ∧ ∈ ∧ ∈

� � � � �i

� � � �i

� � � � �i

� � � � �� i �

� � � � � �

Geradengleichungen

• Punktrichtungsgleichung• Zweipunktegleichung• Lagebeziehungen

Inhalt

Punktrichtungsgleichung

{ }: , \n ng x OP t a x OP V a V o t= + ⋅ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈� ��

Eine Gerade g, welche durch einen Trägerpunkt P verläuft und durch einen Richtungsvektor a bestimmt wird, kann wie folgt beschrieben werden:

o i�

OP��

( );P x y

1 1 1 1 1 21 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 3

x P ax OP t a t x OP V

x OP t a x P t a x OP V

= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ∈

��

�� 1 1 13 3 3

t a t x OP Vx P a

⋅ ⇒ = + ⋅ ∈

��

Punktrichtungsgleichung für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:

{ } { } { }1 2 2 3 3\ \ \na V o a V o a V o t∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈��

Zweipunktegleichung

{ }1 2 1 2: , \n ng x OP t PP x OP V PP V o t= + ⋅ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈� ��

Eine Gerade g, welche durch einen Trägerpunkt P und zwei weiteren Punkten verläuft, kann wie folgt beschrieben werden:

o i�

1 2PP��

OP��

( );P x y

2OP��

1OP��

( )1 1 1;P x y( )2 2 2;P x y

1 2 2 1

1 11 1

1 1 1 1 1 1 21 1 1 1

2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2

,x x x x

y y y y

x x x x

y y y y

P Px Px OP t P P t x OP V

x P P P

P Px P

x OP t P P x P t P P

x P P P

− = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ∈ −

= + ⋅ ⇒ = + ⋅ − −

��

2 11 1 1 1

3 33 3

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3

n n n n

x OP V

P Px P

x OP t P P t x OP Vx P P P

= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ∈ −

��

Zweipunktegleichung für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:

{ } { } { }1 2 1 2 1 21 1 2 2 2 3 3 3\ \ \nP P V o P P V o P P V o t∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈��

Lagebeziehungen

1 2 1 2

g x OP t a

h x OP r b

b s a a b

x x OP OP V

a b V o

= + ⋅

= ⋅ ⇔

∧ ∈

��

� � � ��

��

� � �

Zwei Geraden g und h liegen parallel zu einander, wenn die Richtungsvektoren der Geraden linear abhängig sind:

o i�

2OP��

1OP��

Zwei Geraden befinden sich in einer Ebene, wenn die beiden Richtungsvektoren und der Differenzvektor der beiden Trägerpunkte komplanar sind:

1 2 1 2

, , Komp.

g x OP s a

h x OP k b

PP t a r b

a b PP

x x OP OP V

a b V o

s k t r

= + ⋅

= ⋅ + ⋅

∧ ∈

��

� � ��

��

� � �

x( )1 1 1;P x y

i� ( )2 2 2;P x y

t a⋅�

r b⋅�

1 2PP��

1 21 1 1 1

P P t a r b

P t a r b

= ⋅ + ⋅

��

Zwei Geraden in einer Ebene liegen für drei- und n-dimensionalen Raum:

{ } { }1 2 1 21 1 1 1 3 2 2 2 2, , \ , , \ ,nP P a b V o P P a b V o t r∈ ∧ ∈ ∧ ∈��

2 2 2 2

P P t a r b

t rP a b

P t a r b

= ⋅ + ⋅

��

� � �

Geraden, welche komplanar und linear unabhängig sind, schneiden sich in genau einem Punkt. Es gibt allerdings auch Geraden, die deckungsgleich(Richtungsvektoren sind dann linear abhängig) sind und somit unendlich viele Schnittpunkte haben:

g x OP t a

h x OP r b

= + ⋅

��

{ }1 2 1 2, ,

x x OP OP V

a b V o

∧ ∈

��

� � �

OP x x

OP OP t a OP r b

= + ⋅ = + ⋅

��

o i�

b� h

1OP��

( );s s sP x y

sOP�� 2OP

��

1 1 1 1 1

1 1 1 1

x x x x

y y y y

OP OP t a OP r b

P t a P r b

= + ⋅ = + ⋅

= + ⋅

= + ⋅ + ⋅ = + ⋅

+ ⋅ = + ⋅

�� Schnittpunkt zweier Geraden für zwei-, drei- und n-dimensionalen Raum:

{ }{ } { }

1 2 1 2

1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 3

2 2 3 3 3 3 3 3

, , , \ , ,

, \ , , , \ ,

OP OP OP V a b V o OP OP OP V

a b V o OP OP OP V a b V o t r

∈ ∧ ∈ ∧ ∈

∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈

��

2 2 2 2 2

2 2 2 2

x x x x

y y y y

z z z z

OP OP t a OP r b

P t a P r b

= + ⋅ = + ⋅

+ ⋅ = + ⋅

��

11 1 21 1

3 3 3 3 3

3 3 3 3

n n n n

OP OP t a OP r b

P t a P r b

= + ⋅ = + ⋅

+ ⋅ = + ⋅

��

Zwei Geraden werden dann als Windschief bezeichnet, wenn die beiden Richtungsvektoren (linear unabhängig) und der Differenzvektor der Trägerpunkte nicht komplanar sind:

g x OP t a

h x OP r b

= + ⋅

��

{ }1 2 1 2 1 2, , , , \ , ,n nx x OP OP V PP a b V o s t r∈ ∧ ∈ ∧ ∈��

1 2 1 2

, , nicht Komp.

PP t a r b a b PP

≠ ⋅ ⇔

≠ ⋅ + ⋅ ⇔

� �

��

Vektorrechnung · Wird ein Vektor a, dessen Betrag größer 0 ist, mit einer reellen Zahl r...

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