Post on 20-Apr-2019
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Vektorrechnung
1. Vektoren im R2,R3
Großen in Physik und Technik:
- skalare Großen: Lange [m], Zeit [sec],
Masse [kg], Energie [Nm],
elektr. Spannung [V ], . . .
gekennzeichnet durch: Maßzahl (∈ R) [Maßeinheit]
- vektorielle Großen: Geschwindigkeit
Kraft
elektr. Feldstarke
gekennzeichnet durch: Maßzahl
[Maßeinheit] ∧ Richtungs-
angabe
D.: Ein Vektor (im R3) ist ein mathematisches
Objekt, das durch Angabe einer nichtnegativen
Maßzahl und einer Richtung im Raum (im R3)
bestimmt ist.
Geometrisches Bild: gerichtete Strecke
Nullvektor ~o : |~o| = 0, Richtung beliebig.
Einheitsvektor ~e : |~e| = 1
1
D.: Gleichheit zweier Vektoren
~a = ~b := ~a und ~b stimmen in Betrag und
Richtung uberein.
“Vektoren, die durch Parallel-
verschiebung ineinander uberfuhrt
werden konnen, werden als gleich
angesehen”.
~v
~v~v
Kartesisches Koordinatensystem: Verschiebe
Vektor ~x so, daß Anfangspunkt im Koordina-
tenursprung liegt. Dann ist ~x allein durch seinen
Endpunkt P festgelegt, d. h. durch die Koordi-
naten von P . Man kann deshalb die Menge aller
Vektoren identifizieren mit
R3 := {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ R}Umgekehrt konnen wir P (x1, x2, x3) als den Vek-
tor ~x ansehen, der vom Ursprung zu P (x1, x2, x3)
fuhrt. Ã ~x heißt Ortsvektor.
D.: Parallele Vektoren := Symbol: ~a‖~bkonnen durch Parallelverschiebung auf dieselbe
Gerade gebracht werden.
Gleichgerichtete Vektoren := ~a ↑↑ ~b
haben gleichen Richtungssinn.
Entgegengesetzte (antiparallele) Vektoren ~a ↑↓ ~b
haben entgegengesetzten Richtungssinn.
2
Komplanare Vektoren := ihre zugehorigen
gerichteten Strecken mit gleichem Anfangspunkt
liegen in einer gemeinsamen Ebene.
D.: Multiplikation eines Vektors mit einem Ska-
lar:
~b = λ~a := |~b| = |λ||~a| ∧~a||~b bzw. ~a ↑↑ ~b falls λ > 0
~a ↓↑ ~b falls λ < 0.
Sei ~a 6= ~o. ~a0 := 1|~a|~a Einheitsvektor zu ~a.
~a0 ↑↑ ~a ∧ |~a0| = 1.
D.: Addition von Vektoren
Fur ~a = (a1, a2, a3) und ~b = (b1, b2, b3) ∈ R3 gilt
~a +~b := (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
Anschaulich: “Geometrische” Addition von Kraften
mit Hilfe des Krafteparallelogramms.
~a
~v~u
~a = λ~u + µ~v
~a
~b~a+~b
3
Rechenregeln:
Folgende Gesetze gelten allgemein fur das Rech-
nen mit Vektoren in n Dimensionen (im soge-
nannten n-dim. Vektorraum Rn, n = 1,2,3, . . .) ÃVektorraumaxiome
~a +~b = ~b + ~a (Kommutativgesetz)
~a + (~b + ~c) = (~a +~b) + ~cr · (s · ~a) = (r · s)~a, r, s ∈ R
}(Assoz.-Ges.)
~o + ~a = ~a + ~o = ~a (neutrales Element)~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~o (inverses Element)
r(~a +~b) = r~a + r~b(r + s)~a = r~a + s~a
}(Distributivgesetze)
0 · ~a = ~a · 0 = ~o1 · ~a = ~a · 1 = ~a
Die Lange |~a| eines Vektors ~a kann man mit Hilfe
des Satzes von Pythagoras aus den Koordinaten
von ~a bestimmen:
|~a| :=√
a21 + a2
2 + a23
Damit gilt: |~a| = 0 ⇔ ~a = ~o
und |λ~a| = |λ||~a|, ∀λ ∈ R.
und ∆-Ungl. |~a +~b| ≤ |~a|+ |~b| (*)
Aus (*) ergibt sich ||~a| − |~b|| ≤ |~a±~b|4
Euklidischer Abstand d(~b,~c) zweier Punkte
B(b1, b2, b3) und C(c1, c2, c3) im R3 mit den Orts-
vektoren ~b = (b1, b2, b3) und ~c = (c1, c2, c3):
d(~b,~c) := |b− c| =
3∑
i=1
(bi − ci)2
1/2
Der Euklidischen Abstand d(~b,~c) hat folgende
allgemeingultige Eigenschaften (~a,~b,~c sind Vek-
toren im Rn):
(M1) d(~b,~c) ≥ 0 und d(~b,~c) = 0 ⇔ ~b = ~c
(M2) d(~b,~c) = d(~c,~b) (Symmetrie)
(M3) d(~b,~c) ≤ d(~b,~a) + d(~a,~c) (∆-Ungl.)
Diese 3 Gesetzmaßigkeiten bilden spater die Axio-
me fur den metrischen Raum.
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Beispiel:
An dem Drehkran aus Abbildung 3
hangt eine Last, die eine Kraft K
bewirkt. Wie groß sind die Zug-
kraft K1 in der Schließe s1 und
die Druckkraft K2 in der Strebe
s2 des Krans?
v2
Ks2
s1
Abbildung 3
α
v1 β
Sind v1 =
(v11
v12
)und v2 =
(v21
v22
)fest gewahlte
Vektoren in Richtung von s1 und s2, so gibt es
µ1, µ2 ∈ R mit Ki = µivi, i = 1,2.
Befindet sich der gemeinsame Angriffspunkt der
Krafte K1, K2 und K in Ruhe, so muß Kraft-
gleichgewicht herrschen:
K = K1 + K2 = µ1v1 + µ2v2.
Komponentenweise geschrieben ist dies ein li-
neares Gleichungssystem
K1 = µ1v11 + µ2v2
1K2 = µ1v1
2 + µ2v22,
(1)
aus dem man µ1, µ2 (und damit K1 und K2)
bestimmen kann.
6
Wenn die eingezeichneten Winkel α und β be-
kannt sind, erhalt man hier direkt mit dem Si-
nussatz fur die Betrage |Kj| der Kraftvektoren
Kj(j = 1,2)
|K1| = |K| sinα
sinβ(2)
|K2| = |K| sin(π − α− β)
sinβ= |K| sin(α + β)
sinβ(3)
¤
Bemerkung: Bei der Zerlegung von Kraften wird
im Ingenieurbereich die Verwendung der trigono-
metrischen Funktionen haufig uberstrapaziert.
Wie Sie sehen, konnen die Krafte aus dem li-
nearen Gleichungssystem (1) berechnet werden,
ohne daß dabei auf die trigonometrischen Funk-
tionen Bezug genommen werden muß. Die bei
zunachst unbekannten Winkeln α und β oft an-
getroffene Losungsvariante aus der Geometrie,
zunachst diese Winkel zu bestimmen und sodann
die Formeln (2) und (3) zu verwenden, lost auch
nur dieses Gleichungssystem.
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D.: Skalarprodukt: Geg.: Vektoren ~a,~b.
Die reelle Zahl 〈~a,~b〉 ≡ ~a · ~b, die nach folgender
Vorschrift erklart wird
〈~a,~b〉 := |~a| · |~b| · cos(^(~a,~b)), ^(~a,~b) ∈ [0, π]
heißt Skalarprodukt oder auch inneres Produkt.
�� ��������
~b
α
~b
~ba ~a
α
~a
|~ba| = |~b| cosα > 0 |~b| cosα < 0
~ba = |~b| · cosα · ~a|~a| =
〈~a,~b〉|~a| · ~a
|~a|
Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes
(i) 〈~a,~b〉 = 0 ⇔ ~a⊥~b
(ii) 〈~a,~b〉 = 〈~b,~a〉 ∀~a,~b ∈ R3
(iii) 〈~a +~b,~c〉 = 〈~a,~c〉+ 〈~b,~c〉 ∀~a,~b,~c ∈ R3
(iv) 〈λ~a,~b〉 = 〈~a, λ~b〉 = λ〈~a,~b〉 ∀~a,~b ∈ R3, ∀λ ∈ R
(v) 〈~a,~a〉 = |~a|2 > 0 ∀~a ∈ R3\{0}
8
Aus diesem Satz laßt sich die “winkelfreie” Be-rechnungsvorschrift fur 〈~a,~b〉 herleiten:Seien ~i = (1,0,0) = ~e1, ~j = (0,1,0) = ~e2, ~k =(0,0,1) = ~e3 und ~a = a1~i+a2~j+a3
~k, ~b = b1~i+. . .Dann gilt
〈~a,~b〉 = 〈3∑
i=1ai~ei,
3∑j=1
bj~ej〉 =3∑
i=1
3∑j=1
aibj〈~ei, ~ej〉
=3∑
i=1aibi, da 〈~ei, ~ej〉 = δij =
{1, i = j0, i 6= j.
⇒ cosα = 〈~a,~b〉|~a||~b| =
3∑i=1
aibi
|~a||~b|Wegen | cosα| ≤ 1 folgt hieraus dieCauchy-Schwarzsche Ungleichung:
|〈~a,~b〉| ≤ |~a| · |~b|∣∣∣∣∣
3∑i=1
aibi
∣∣∣∣∣ ≤(
3∑i=1
a2i
)1/2 (3∑
i=1b2i
)1/2
(wird noch fur bel. Summen “n∑
i=1· · ·” gezeigt!)
Mit dieser Ungleichung erhalt man einen einfa-chen Beweis der ∆-Ungl.:
|~a +~b|2 = 〈~a +~b,~a +~b〉 = 〈~a,~a〉+ 2〈~a,~b〉+ 〈~b,~b〉≤ |~a|2 + 2|~a||~b|+ |~b|2 = (|~a|+ |~b|)2
⇒ |~a +~b| ≤ |~a|+ |~b| .9
Geometrische Anwendungen:
~b~d ~c
~a ~a ~c
~b~a
α
Satz des Thales: Jeder Winkel uber dem Durch-
messer eines Kreises ist ein rechter.
Wegen |~a| = |~d| gilt
〈~b,~c〉 = 〈~a + ~d,−~a + ~d〉 = −〈~a,~a〉+ 〈~a, ~d〉−−〈~d,~a〉+ 〈~d, ~d〉 = −|~a|2 + |~d|2 = 0
Kosinussatz: |~a|2 = 〈~a,~a〉 = 〈~b− ~c,~b− ~c〉 =
= |~b|2 + |~c|2 − 2|~b||~c| cosα.
Bem.: Die Gleichung
〈~a, ~x〉 = p hat unendlich viele
Losungen!~a
~x
~x
P
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Vektorprodukt (außeres Produkt, Kreuzprodukt)
Vektorprodukt ist nur im R3 erklart.
~c := ~a ×~b wird nach folgender Vorschrift gebil-
det:
1) |~c| = |~a| · |~b| · sin(^ (~a,~b)︸ ︷︷ ︸=α
)
(α Winkel zwischen ~a und ~b, 0 ≤ α ≤ π.)
2) ~c⊥ ~a ∧ ~c⊥~b
3) ~a,~b,~c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechts-
system, falls ~c 6= ~o
Geometrische Deutung:
Flache Parallelogramm:
Grundseite |~a| · Hohe h
⇒ |~a| · |~b| · sinα = |~a×~b| h = |~b| · sinα
~a×~b
~b
~a
hα
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Rechenregeln: Fur ~a,~b,~c ∈ R3 und λ ∈ R gilt
(i) ~a×~b = −~b× ~a insbesondere ~a× ~a = ~o
(ii) λ(~a×~b) = (λ~a)×~b = ~a× (λ~b)
(iii) ~a× (~b + ~c) = (~a×~b) + (~a× ~c)
(iv) |~a×~b|2 = |~a|2|~b|2 − 〈~a,~b〉2
(v) Assoziativgesetz gilt nicht
~a× (~b× ~c) 6= (~a×~b)× ~c
(vi) Winkel α zwischen ~a und ~b
sinα = sin(^(~a,~b)) = |~a×~b||~a|·|~b|
B.: Sinussatz
Dreiecksflache
|F | = 12|~b× ~c| = 1
2|~b| · |~c| sinα
b aβ
cα
andererseits: |F | = 12|~a× ~c| = 1
2|~a| · |~c| · sinβ
⇒ |~a| sinβ = |~b| sinα
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Mehrfachprodukte von Vektoren
D.: Unter dem Spatprodukt der Vektoren ~a,~b,~c ∈R3 versteht man die reelle Zahl 〈~a×~b,~c〉.Der Betrag 〈~a × ~b,~c〉 des Spatproduktes ist das
Volumen V des von ~a,~b und ~c aufgespannten
Parallelepipedes oder Spates.
Volumen V = F · h= |~a×~b| · |~c| · cos γ
= 〈~a×~b,~c〉
����
~a×~b
~aF
h γ ~c
~b
〈~a×~b,~c〉 = 0 ⇔ ~a,~b,~c komplanar, d.h. die Vekto-
ren liegen in einer Ebene.
(Spater bei Determinanten:
〈~a×~b,~c〉 = det
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
Entwicklungssatze:
~a× (~b× ~c) = 〈~a,~c〉~b− 〈~a,~b〉~c(~a×~b)× ~c = 〈~a,~c〉~b− 〈~b,~c〉~a
(Es gilt auch hier kein Assoziativgesetz!)
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2. Analytische Geometrie der Geraden
und Ebenen
��
��
0g
P
P1
~r
~r1 ~g
Gerade g ist bestimmt durch
Punkt P1 und Richtung (beschrie-
ben durch Vektor ~g 6= ~o) : g(P1;~g),
KS{o; i, j, k} Ortsvektoren bzgl. o.
P ∈ g : ~r = ~r1 + ~P1P , ~P1P ‖~g,~P1P = t~g, t ∈ R
~r = ~r1 + t~g, t ∈ R Parameterdarstellung von g.
(Punkt-Richtungsform der Geraden), t Parame-
ter.
Falls |~g| = 1, dann ist |t| = Abstand ( ~P1P ).
Sei P2 ∈ g, P2 6= P1. Wahl: ~g = ~r2 − ~r1
⇒ ~r = ~r1 + t(~r2 − ~r1), t ∈ R (Zweipunkteformder Geraden) g
Elimination von t:
(~r − ~r1)× ~g = ~o Parameterfreie Darstellungvon g (Plucker)
UA: Bestimme Abstand Punkt - Gerade: d(P0, g),
mit P0 /∈ g.
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Relative Lage zweier Geraden g1 und g2g1 : r = r1 + t~a
g2 : r = r2 + t~b
1) ~a ‖ ~b ⇔ g1‖g22) g1 ∦ g2 d. h. ~a ∦ ~b
(i) g1 ∩ g2 = ∅, d.h. ∃ Schnittpunkt
(ii) g1∩g2 = ∅, d.h. @ Schnittpunkt: g1 wind-
schief zu g2
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Abstand windschiefer Geraden
����
����
0
g1
F1
g3
P1
!
F2
g2
~r1
~a
~rF2
~r2
~rF1
P2 ~b
~ϑ = d(~a×~b), d ∈ R
g1 : ~r = ~r1 + t~a t ∈ R bel.
g2 : ~r = ~r2 + s~b s ∈ R bel.
}geg.
g3 : Gerade, die g1 und g2 ⊥ schneidet.⇒ ~rF1
= ~r1 + t∗a~rF2
= ~r2 + s∗b~ϑ = ~rF1
− ~rF2⊥ ~a, ⊥ ~b
~rF1− ~rF2
= ~r1 + t∗~a− ~r2− s∗~b = d(~a×~b) | ·(~a×~b)
(~r1−~r2)(~a×~b)+ t∗~a(~a×~b)︸ ︷︷ ︸=0
−s∗~b(~a×~b)︸ ︷︷ ︸=0
= d|~a×~b|2
⇒
d = |~rF1− ~rF2
| = (~r1 − ~r2)(~a×~b)
|~a×~b|2
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Ebenen im R3
Geg.: g(P1, ~g), ~g 6= ~o
D.: Ebene E := Geometr. Ort aller Geraden,
die ⊥ auf ~g stehen und P1 enthalten. ~g Norma-
lenvektor zu E.
������������
����
E
P1
g~n (Normalenvektor)
P
E
0
P1
~r~r1
~r − ~r1
P ∈ E ⇔ ~r − ~r1 ⊥ ~n : 〈~r − ~r1, ~n〉 = 0
(auch 〈~r, ~n〉 = 〈~r1, ~n〉 =: d)
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Parameterfreie Darstellung der Ebene:
〈~r, ~n0〉 = p := d|~n| Hessesche Normalform
����
����~a
0
~r~r1
E
P1
~b
~n
P~r−~r1
Wahl: ~a,~b⊥~n, ~a×~b 6= ~o (nicht par-
allel)
~r − ~r1⊥~n, ~r − ~r1,~a,~b komplanar
(d.h. in einer Ebene liegend)
⇒ ~r − ~r1 = t~a + s~b, (s, t ∈ R beliebig)
⇒ ~r = ~r1 + t~a + s~b s, t ∈ R↑ ↖ ↖ ↗
Ortsvektor
zu einem
be-
liebigen
Punkt der
Ebene S
Ortsvektor
zu einem
festen
Punkt
der
Ebene
Richtungsvek-
toren von
E : ~a ∦ ~b
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Parameterdarstellung der Ebene:
Ebene festgelegt durch 3 Punkte P1, P2, P3, die
nicht auf einer Geraden liegen
P1↗P3↘P2
~g1 := ~r2 − ~r1, ~g2 := ~r3 − ~r1 = ~P1P3, ~n = ~g1 × ~g2
~r = ~r1 + s(~r2 − ~r1) + t(~r3 − ~r1)
(3-Punkte-Form der Ebene)
Relative Lage zweier Ebenen
E1 : 〈~r, ~n1〉 = d1 ~n1 NV zu E1.
E2 : 〈~r, ~n2〉 = d2 ~n2 NV zu E2.
1. Fall: E1 ‖ E2 ⇔ ~n1 ‖ ~n2
Abstand d(E1, E2) = d(E1, P2) mit P2 ∈ E2.
2. Fall: E1 ∦ E2, d. h. ~n1 ∦ ~n2
⇒ E1 ∩ E2 = Gerade (Schnittgerade g)
Richtung von g: ⊥ zu ~n1 und ~n2
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B.: E1 : 2x + 6y − 2z = 2 ~n1 = (2,6,−2)
E2 : 2x + 8y + 4z = 8 ~n2 = (2,8,4)
~n1 ∦ ~n2
g = E1 ∩ E2 Losung des linearen Gleichungssy-
stems
2x + 6y − 2z = 2(E2 − E1) 2y + 6z = 6 ⇒ y = 3− 3z
x = 1− 9++9z + z == −8 + 10z
Lsg.: z = t ∈ R bel. ⇒ y = 3− 3tx = −8 + 10t
Geradengln.: g : ~r =
xyz
=
−8 + 10t3− 3t
t
=
=
−830
+ t
10−31
t ∈ R.
Parameterfreie Darstellung (Plucker):
x + 8y − 3
z
×
10−31
= ~o ⇔
y + 3z = 3−x + 10z = 83x + 10y = 6
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Bsp.: 1) E : P1 = (1,0,0), ~a = (1,0,1),~b = (0,1,1)
⇒ ~r = (1,0,0) + s(1,0,1) + t(0,1,1), s, t ∈ R
Normalenvektor: ~n =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k1 0 10 1 1
∣∣∣∣∣∣∣= (−1,−1,1)
Parameterfreie Gln.: ~r ·(−1,−1,1) = ~r1 ·n = −1 .
Mit ~r = (x, y, z)) lautet die Gleichung:
(x, y, z)(−1,−1,1) = −x− y + z = −1
Hessesche NF: ~r · ~n0 = p mit p = d|~n|
Da |~n| = √3 folgt
~r · 1√3(−1,−1,1) = −1√
3= d
2) E : ~r(1,2,1) = 4 ⇒ x + 2y + z = 4,
Normalenvektor n = (1,2,1)
Parametergln. von E: y = s, z = t bel. ⇒x = −2s− t + 4 = 4− 2s− t
~r =
xyz
=
4− 2s− t
st
=
400
+ s
−210
+ t
−101
21
Abstand Punkt P1 - Ebene E: d(P1, E)
P1 : ~r1 = ~OP1E : ~r · n = d
}geg.
g: Gerade durch P1⊥E
g: ~r = ~r1 + t~n
����
���������� ��
������
0
F~r1
~rFE
g
~nP1
t∗~n
F : Fußpunkt des Lotes von P1 auf E = Schnitt-
punkt von g und E.
~rF = ~r1 + t∗~n, ~rF · ~n = d ⇒~rF · ~n = (~r1 + t∗~n)~n = ~r1~n + t∗|~n|2 = d
⇒ t∗ = d−~r1~n|~n|2 .
d(P1, E) := |~rF − ~r1| = |t∗~n| = |t∗||~n| = |d−~r1~n||~n|2 |~n|
⇒ d(P1, E) =|d− ~r1~n||~n|
d(O, E) =|d||~n|
(d(P1, E): Abstand des Punktes P1 von der Ebe-
ne E, d(O, E): Abstand der Ebene vom Ursprung.)
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