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transcript
Strömungslehre
Teil II - Strömungsmaschinen -
WS 2005/2006
Grundlagen der Turbinen, Kompressoren und
Kreiselpumpen
PROF. DR.-ING. KNUT KAUDER FAKULTÄT MASCHINENBAU FLUIDENERGIEMASCHINEN UNIVERSITÄT DORTMUND
Vorwort
An der Universität Dorhnund wird im Rahmen einer Gemeinschaftsveranstaltung für die
Studenten der Fakultät Maschinenbau eme einsemestrige Vorlesung über
Fluidenergiemaschinen im 5. Semester gehalten und durch Übungen sowie Laborversuche
ergänzt. Die Vorlesung Strömungslehre behandelt die Strömungsmaschinen, die Energie
durch Drehimpulsänderung wandeln. In der Veranstaltung Fluidenergiemaschinen II werden
im Rahmen der Vertiefungsvorlesung Maschinentechnik die Verdrängermaschinen, deren
Arbeitsweise auf eine zyklische Volumenänderung des energiewandelnden Arbeitsraumes
beruht, dargestellt. Beiden Maschinengruppen ist die Energiewandlung der verarbeiteten
Fluide eigentümlich. In die Reihe der Vertiefungsvorlesungen gehören weiter die Vorlesungen
Dampfturbinen sowie Gasturbinen- und Gasmotoranlagen.
Die teilweise noch benutzten Begriffe Kraft- und Arbeitsmaschinen sind inhaltlich weder
präzise gefaßt, noch beschreiben sie vom darstellenden Umfang her den Bereich der
Strömungs- und Verdrängermaschinen. Deshalb wird auf die nur historisch zu rechtfertigende
Begriffsbezeichnung vollständig verzichtet.
Die Vorlesung macht den Hörer mit den grundlegenden, gememsamen physikalischen
Gesetzen des Energieumsatzes in Fluidenergiemaschinen vertraut, behandelt den Aufbau, die
Wirkungsweise und das betriebliche V erhalten solcher Maschinen. Dabei werden
Grundkenntnisse in der begleitenden Vorlesung Strömungsmechanik und in der
Thermodynamik vorausgesetzt. Bewußt werden konstruktive Gesichtspunkte zugunsten der
Diskussion von Kennfeldparametern in den Hintergrund gestellt.
Das voliegende Skriptum, für den internen Gebrauch bestimmt, soll dem Hörer das
Mitschreiben erleichtern und das Mitzeichnen ersparen, es soll keine vollständige Stoff- und
Rezeptsammlung sein, sondern die einfachsten und wichtigsten Grundlagen der
Strömungsmaschinen beinhalten.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Dipl.-Ing. B. Kliem für die Überarbeitung der Reinschrift.
Außerdem danke ich Herrn P. Goeken für die Erstellung der Zeichnungen sowie Frau J.
Schmitt für die Anfertigung der Reinschrift.
(Prof. Dr.-Ing. K. Kauder)
Dortmund, im Herbst 2003
1.
1.1.
1.1.1.
1.2.
1.2.1.
1.2.1.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
3.
3.1.
3.1.1.
3.1.2.
3.2.
3.3.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Inhalt
Vorwmi
Einleitung
Verzeichnis der wichtigsten Symbole
Allgemeine Grundlagen
Grundbegriffe und Aufbau
Historische Entwicldung
Energiewandhmg
Der stationäre Fließprozeß
Der Fließprozeß fiir kompressible Fluide
Der instationäre Fließprozeß
Stationäre Strömungsprozesse
Energiewandlung in Strömungsmaschinen
Zustände von Gasen und Dämpfen
Strömung im rotierenden System
Kinematik der Axialmaschine
Kinematik der Radialmaschine
Zirkulation im Laufrad, Momentensatz
Eulerscher Momentensatz
Radarbeit tmd Radleistung (Hauptgleichung)
Strömung im rotierenden, radialen Schaufelgitter (reversibler Fließprozeß)
Strömung im rotierenden Schaufelgitter bei irreversiblem Fließprozeß
Energiewandlung in der Maschinenstufe
Die Turbinenstufe
Energiefluß
Darstellung der Gefalle
Die Pumpen- bzw. Kompressorstufe
Definition der Wirkungsgrade (Wirld(ette)
Aktions- und Reaktionswirkung
Gleichdruckturbinen
Überdruckturbinen
Reaktionsgrad (allgemein)
Vergleich der Arbeitsverfahren
5.
5.1.
5.2.
5.3.
6.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
7.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
8.
8.1.
8.1.1.
9.
9.1.
9.1.1.
9.1.2.
9.1.3.
9.2.
9.2.1.
9.2.2.
9.3.
9.3.1.
9.3.2.
9.3.3.
9.3.4.
9.3.5.
9.3.6.
10.
Axiales Laufgitter und Einzelflügel
Tragflügeltheorie
Anwendtmg der Tragflügeltheorie auf das axiale Laufrad
Das Schaufelprofil
Maschinenkennzallien
Äluliichkeit
Kem12ahlen
Anwendtmg der Kennzalllen auf die Maschinenauslegung
Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit
Baureihenbildm1g
Dissipation in Strömungsmaschinen
Dissipation an Welle und Laufrad
Dissipation infolge Spaltströmung
Dissipation im Gitter
Dissipation durch Stoß
Dissipation durch partielle Beaufschlagung
Konstrulctive Besonderheiten
Axialschub
Ausgleich oder Teilausgleich des Axialschubes
Betrieb von Strömungsmaschinen
Kemliinien, Kemlfelder
Pumpenlcennlinien
Genauere Betrachnmg des Strömungswinkels ß2
Kemlfelder von Ptnnpen und Kompressoren
Betriebsgrenzen von Strömungsmaschinen
Kavitation im Kreiselpumpenbetrieb
Überschallgefalrr im Turbokompressorbetrieb
Maschinenkennlinien bei Einzel- und Mehrfachanordnung
Kennlinienumreclmung
Reihenschalttmg
Parallelschaltung
Passive Anlagenteile
Ermittlung von Arbeitspunlcten
Instabile Arbeitspunlcte "Pumpen" und "Pumpgrenze"
Literatl1r- und Sachwortverzeichnis
Einleitung
Die gnmdlegenden physikalischen Gesetze der Energiewandhmg sind bei allen
Fluidenergiemaschinen gleich.
Lediglich findet sich für den Eulerschen Momentensatz keine Anwendung im Bereich der
Verdrängermaschinen, wohl aber für verschiedene "Hybride Maschinentypen".
Für die Darstellung der physikalischen Zusammenhänge werden Größen tmd
Größengleichungen benutzt (DIN 1313). Physikalische Größen sind meßbare Eigenschaften
von Objekten, Vorgängen und Zuständen, die - in Gleichtmgen benutzt - von der Wahl der
Einheiten unabhängige Größengleichungen ergeben.
Unter einer Einheit wird eine aus der Menge gleichaliiger Größen ausgewählte und festgelegte
Größe verstallden. Die in Beispielen allgegebenen Zahlenwe1ie von physikalischen Größen
entstehen aus dem Verhältnis Größe --- = Zahlenwert · Einheit '
dabei ist die benutzte Größe invariant gegenüber dem Wechsel der Einheiten.
In dem vorliegenden Skripttun wird das internationale Einheitensystem - MJSAKC - benutzt
mit den Grundeinheiten:
Meter m für die Länge
Kilogramm kg für die Masse
Sekunde s für die Zeit
Ampere A für die Stromstärke
Kelvin K für die Temperatt1r
Cal1dela cd für die Lichtstärke .
Die wichtigsten, daraus abgeleiteten, kohärenten Einheiten sind:
Kraft IN (Newton) 1 kgms-2
Druck 1 Pa (Pascal) 1 Nm-2 1 kgm-Is-2
Arbeit 1 J (Joule) lNm 1 kgm2 s-2
Leisttmg lW (Watt) 1 Js-1 1 kgm2 s-3.
Die im Skriprum allgegebenen Kapitel, Gleichtmgen und Bilder sind abschnittweise 1.1.,
1.2., ... muneriert.
Definitionsgleichtmgen werden mit dem Definitionszeichen := gekennzeichnet.
Symbol
A
a
a
a
b
b
c
D
d
e
F
Fr
g
H
h
i L
1
Mct m
n
n
nq
ii p
p
Q q
Verzeichnis der wichtigsten Symbole
Dimension
e 12 f1
lt-2
lt-1
er2
lt-1
lt-1
12 r2 r1
m 12 f 2
er2
m 1 f 2
lt-2
mer2
fr2
m 1 f 2
mer1
m
r1
f1
1
mer3
mr1 f 2
mff2
er2
mit den Grunddimensionen m Masse l Länge T Temperatur t = Zeit
Bedeutung
Fläche
materielles Vektorfeld
Beschleunigung
Schallgeschwindigkeit
Breite (Laufrad-),
spez. Anergie
Geschwindigkeit
Auftreffgeschwindigkeit von Kavitationsblasen
spezifische Wärme
Beiwe1i (Auftriebs-, - Widerstand-)
Außendurchmesser
Im1endurchmesser
hydraulischer Durchmesser
Energie, Exergie
spezifische Energie
Kraft
Froude Zahl
Fallbeschleunigung
Enthalpie
spezifische Enthalpie
Impulsstrom
Drehimpuls
Länge
Drehmoment
Masse
Drehzahl
Polytropenexponent
spezifische Drehzahl
äußerer Normaleinheitsvektor
Leistung
Druck
Wärme
massebezogene Wärme
Symbol
R
Re
r
r
s s
T
t
u
u
V
V
w w
w
w"'
X
X
~YH
y
z
a
a
ß ßr ßp 8
r 8
s 11
Verzeichnis der wichtigsten Symbole
Dimension
1
me f 2 T 1
er2 T 1
T
t
er2
lt-1
13
13 m-1
ml2 f 2
lt-1
er2
lt-1
1
1
er2
1
1
(rad)
mf3 T 1
(rad)
1 t2 m-1
r1
(rad)
e f 1
mr1 f 1
mit den Grunddimensionen m Masse l Länge T Temperatur t = Zeit
Bedeutung
Radius
Reynolds Zahl
Radius, Kurbelradius
Reaktionsgrad
Entropie
spezifische Entropie
thermodynamische Temperatur
Zeit
spezifische innere Energie
Umfangsgeschwindigkeit
Volumen
spezifisches Volmnen
Arbeit
Relativgeschwindigkeit
spezifische Arbeit
Anströmgeschwindigkeit
Stromlinienkoordinate
kartesische Koordinate
spezifische Halteenergie
kcuiesische Koordinate
ka1iesische Koordinate
Winkel der Absolutströmung (ü ~ c)
Wärmeübergangskoeffizient
Winkel der Relativströmung (-ü ~ w)
isothermer Kompressibilitätskoeffizient
iso ba1·er Wärmeausdehnm1gskoeffizient
Anstellwinkel
Zirkulation
Durchmesser
Widerstandszahl, Verlustziffer
dynan1ische Zähigkeit
Symbol
K
V
p
Ci
Ci
\jfs
\[!K
(J)
Verzeichnis der wichtigsten Symbole
Dimension
m r2 r 1
m f 2 r1
mer2
er2
(rad)
mit den Grunddimensionen m Masse I Länge T Temperatur t = Zeit
Bedeutung
Wirkungsgrad c
Verhältnis der spezifischen Wärmen ( K := _P )
Widerstandszahl der Rohrströmtmg
Längenmaßstab
Reibtmgswinkel
Wärmeleitfähigkeit
Leistungszahl, Energiebeiwert
kinematische Zähigkeit
Dichte
Laufzahl
Spanmmg (Normal)
Spannung (Schub, Schenmg)
Zeitmaßstab
Dissipationsenergie
spezifische Dissipationsenergie
Drehwinkel, Zylinderkoordinate
Volumenstromzahl
Druckzahl
Enthalpiezahl
Kavitationszahl
Winkelgeschwindigkeit
cv
Eindeutige vektorielle Zusammenhänge werden olme~ benutzt.
Indices
A Austritt, Anlage, Auftrieb
a angesaugt, atmosphärisch, Beschleunigung
B Behälter
D Dmchsatz, Dampfdruck
E Eintritt
e effektiv
Fl Fluid
f _Eörder-, Gefälle-,
G Gegengewicht, Gebläse
g gesamt
h hydraulisch
indiziert, i-te Stufe, innen
id ideal
m irreversibel
K Kompressor (Tmboverdichter)
k kinematisch
La Laufrad
Le Leitrad
m Meridian-Komponente
m Mittelwert, auch dmch Querstrich oben ausgedrückt (z.B. c =mittlere Geschwindigkeit)
NP Nennpunkt
n Nutz, normal
ö öffnen
P Pumpe
pol polytrop
R Rad, Resultierende, Reibung
RR Radseitemaum
RT Triebwerlaeibung
red reduziert
rev reversibel
S Schwerpunkt
Sch Schaufel
SD Sicherheitsabstand
s isentrop, synchron
Sp Spalt
St Stoß
T Tmbine
Indices
t total
th isotherm, theoretisch
tr trocken
u Umfang
v volumetrisch
W Widerstand
z Zylinder
Mittelwert
auf die Zeiteinheit bezogenes Symbol
1 Ort der geringsten Dmckenergie ( Saugseite)
2 Laufrad, Ein- bzw. Austritt
3 Leitrad, Ein- bzw. Austritt
4 Ort höchster Dmckenergie (Dmckseite)
1.
1.1.
Allgemeine Grundlagen
Grundbegriffe und Aufbau
1.1
Strömungsmaschinen wandeln durch Drehimpulsänderung den Energieinhalt eines zu ver
arbeitenden Fluids. Allgemein soll unter dem Sammelnamen F 1 u i d fließfähige Materie, also
Flüssigkeiten1), Gase und Dämpfe verstanden werden.
Zu den Strömungsmaschinen gehören:
Turbinen,
Turbokompressoren (Kompressoren),
Kreiselpumpen,
Propeller,
Strömungsgetriebe und Strömungskupplungen.
Turbinen sind Energiewandler, die einem Fluid Energie entziehen und diese Energie m
mechanisch nutzbare Arbeit an die Maschinenwelle in Fonn eines Drehmomentes abgeben.
Turbokompressoren, Kreiselpumpen und Propellern wird mechanisch nutzbare Arbeit als
Wellenarbeit zugeführt und an das Fluid in Form von potentieller und/oder kinetischer
Energie übertragen.
Strömungsgetriebe zählen zu den hydrodynamischen Wandlern, die die Eigenschaften der
ersten zwei Gruppen in sich vereinigen.
Bei den Turbinen unterscheidet man nach der Art des Arbeitsfluids Dampfturbinen, Wasser
turbinen und Windturbinen. Eine wirtschaftliche Erzeugung elektrischer Energie ist heute
ohne den Einsatz von Turbinen kaum vorstellbar.
Kreiselpumpen gehören zu den verbreitetsten Energiewandlern in der modernen Technik,
heute gibt es kaum eine Anlage oder ein V erfahren, bei dem nicht Flüssigkeiten zu fördern
sind.
Das gemeinsame Kennzeichen aller Strömungsmaschinen ist ein rotierendes Laufrad, Bild
1.1. Dieses Laufrad ist mit Schaufeln (Laufschaufeln) am Umfang besetzt. Häufig findet sich
im Gehäuse ein feststehendes Leitrad.
l) Flüssigkeit im allgemeinen Sinn ist ein Stoff, der einer scherenden Beanspruchung unbegrenzt nachgibt. Die hier behandelten Maschinen wandeln den Energieinhalt von newtonscheu Fluiden, d.h., die Schubspannung ist eine lineare Funktion der Schergeschwindigkeit (Newton'sches Fluidreibungsgesetz).
1.2
Strömungsmaschinen besitzen offene Kanäle, in denen die Energiewandlung stattfindet.
a) Leitrad ( Le} fest
Spalt
Laufrad (La}
b)
+t
Le
Bild 1.1:
Aufbau von Strömungsmaschinen
a) Axial- oder Meridianschnitt
b) abgewickelter Zylinderschnitt
(Schnitt A-B)
Turbine
Pumpe, Kompressor
Schaufeln sind nicht im Schnitt sondern
zirkular projiziert dargestellt.
Im Gegensatz dazu ist das gemeinsame Kem12eichen aller Verdrängennaschirren ein gekapsel
ter, also geschlossener Arbeitsraum, dessen Größe sich während eines Arbeitsspieles zyklisch
verändert. Der Arbeitsraum ist, wie der offene Strömungskanal, mit Fluiden gefüllt.
Bei der Umströmung der Laufschaufeln entstehen durch die träge Masse des Fluids
Strömungskräfte und damit eine nach außen wirkende Arbeit pro Zeiteinheit. Diese Trägheits
kräfte werden durch Richtungsänderungen und damit Dralländerungen bzw. durch
Beschleunigungen der Strömung verursacht.
LeUschaufeln haben die Aufgabe der besseren Energienutzung durch Strömungsrichtungs
änderung und sollen darüber hinaus Druckenergie in Geschwindigkeitsenergie (Turbine) bzw.
Geschwindigkeitsenergie in Druckenergie (Pumpe, Kompressor) umsetzen. Dabei bleibt aber
im Gegensatz zum Laufrad der Gesamtenergieinhalt unverändert. Dem Laufrad und damit den
Laufschaufeln wird ein Drehmoment von außen zugeführt (Pumpe, Kompressor) oder ent
zogen (Turbine).
1.3
Für die Darstellung emer Strömungsmaschinenstufe (Laufrad plus Leitrad) werden die
Schaufeln in der Drehachse geschnitten, Bild l.l.a. Diese Meridianschnitte ergeben bei
zirkularer Projektion durch ein Hineindrehen der Teilschnitte in die Zeichenebene die
Schaufel umrisse.
Ein Zylinderschnitt A-B ergibt abgewickelt, Bild l.l.b, das Lauf- und Leitradgitter, allgemein
das Schaufelgitter.
Je nach Durchflußrichtung dieses Schaufelgitters wechselt die Energiewandlungsrichtung,
d.h., die Strömungsmaschine arbeitet entweder als Turbine (ausgezogener Pfeil) oder als
Pumpe bzw. Kompressor (gestrichelter Pfeil), damit ändert sich auch die Drehrichtung der
Welle. Turbinen sind also die Umkehrung der Pumpen bzw. Kompressoren.
Strömungsmaschinen, die abwechselnd antreiben und nach Änderung der Dreh- und Durch
flußrichtung angetrieben werden, heißen Pumpenturbinen (Pumpspeicherwerke). Für alle re
versiblen Vorgänge ergibt sich die Umkehrung unmittelbar. Reale Strömungen verlaufen aber
irreversibel, d.h., unter Entropieerzeugung. Diese Irreversibilität ist abhängig von der Durch
strömrichtung der Maschine.
Die notwendig verzögerte Pumpen- bzw. Kompressorströmung erzeugt vorwiegend durch
Grenzschichteinflüsse einen höheren dissipativen Anteil bei der Energiewandlung als die be
schleunigte Turbinenströmung. Bestimmte konstruktive Maßnahmen, die dann zu
differenzierter Bauweise führen, können diese negativen Einflüsse mildern. Kanäle zur
Verzögerung einer Strömung werden Diffusoren, solche zur Beschleunigung werden Düsen
genannt.
Zur Beschreibung der Laufradbauarten dient das Strömungsfeld2) . Es ist hauptsächlich von
der Form der Laufradkanäle abhängig. Beim Durchfluß des Fluids können die Stromflächen3)
nicht beliebig verlaufen. Die Schaufelflächen sind als Begrenzungsflächen zu betrachten, weil
diese mit den Stromflächen ein kongruentes System bilden sollen.
Aus den Stromflächen, Bild 1.2., sind die Laufradbauarten in Bild 1.3. abzuleiten.
Aus den Laufradbauarten ergeben sich spezifische Maschinenbaufonnen, Bild 1.4.
Bild 1.5, Bild 1.6 und Bild 1. 7 zeigen ausgeführte Maschinen.
2) Strömungsfeld: Hier die Beschreibung eines zeitunabhängigen Richtungsfeldes von Elementarvolumina 3) Stromfläche entsteht durch Rotation einer mittleren Stromlinie um die Maschinendrehachse.
Stromlinie:= Integralkurve eines Richtungsfeldes, d.h., diejenigen Linien, deren Tangenten zu einem Zeitpunkt t mit der Strömungsrichtung übereinstimmen.
1.4
Bild 1.2: Stromflächen zur Beschreibung von Laufrädern
A - radial
A.
8.
c.
B, C - diagonal (halbaxial) D - axial
Bild 1.3: Laufradbauarten
A - radial
B - diagonal (halbaxial)
C - axial
Kaplan- Turbine (axial durchströmt)
1.5
Froncis -Turbine
(diagonal durchströmt)
Bild 1.4: Bauformprinzipien nach den Laufradbauarten
radial
1
Bild 1.5: Radiale Kreiselpumpe
(Die Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist radial)
Froncis-Turbine
(radial durchströmt)
Laufrad
Dichtung Saugstutzen ...
Bild 1.6:
1.6
halbaxial
~
Halbaxiale Kreiselpumpe (Diagonalrad) mit Spiralgehäuse
(Die Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist halbaxial)
1.7
axial
Bild 1.7: Axiale Kreiselpumpe (Propellerpumpe)
(Die An- und Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist axial)
1.8
1.1.1. Historische Entwicklung
Auszug aus: Die praktischen Beziehungen der
KINEMATIK zu GEOMETRIE und MECHANIK
von
Prof. Dr. F. REULEUX, Braunschweig 1900
Flud-Krafträder
Langsam musste man sich zu dieser Klärung durcharbeiten. Das sieht man noch an der Ausführung, die der
kenntnisreiche und e1jinderische Oberbergrath Althans d. Aelt. in der Jugendzeit der Turbinen dem
Segner'schen Wasserrade gab4), indem er das zu schnell abfliessende Wasser ein zweites Rad treiben liess, statt
die Uebersetzungszahl entsprechend zu ändern.
Pettonräder werden jetzt auch bei uns gebaut, und zwar von Briegleb, Hansen & cie in Höchst a. M und von
Ganz & cie in Pest. Die ersteren haben u.a. durch Bremsversuche an einem 76pferdigen Rade 84-88/100
Wirkungsgrad ermittelt; dieser zeigt sich stark abhängig von der Düsenweite. J.J. Rieter & cie ermittelten an
einem Breuer'schen Rade 81/100 als Wirkungsgrad, Ganz & cie fanden 81-88/100. Kleinere, schwächere Räder
haben nicht so günstige Zahlen geliefert, als stärkere. In Amerika hat Cazin5) versucht, durch besonders feine
Ausbildung der Schaufelfonn und enge Schaufelstellung den Wirkungsgrad des Rades noch etwas zu steigern,
Fig435.
4) S. Weisbach, Ing. u. Masch.-Mechanik, III. Aufl., 1859, Bd. II, SDD. 595; ebenda IV. Aufl. S. 636 5) Von der American lmpulse-Wheel Company in Newyork
1.9
Durchweg zeigen die Versuche von drüben wie von hüben, dass das Rad vorzüglich brauchbar ist, entgegen den
Zweifeln, die gleich nach dem Erscheinen meines angeführten Vortrages an der Veröffentlichungsstelle geäußert
wurden.
DieLava l s c h e Da m p fm a s c hin e, Fig. 436, hat man wohl auch eine Dampfturbine genannt; das ist
aber nicht glücklich, man muss sie nach dem Besprochenen ein , Dampfi·ad nennen. Denn die Lava! sehen
rinnenformigen Schaufeln werden gerade so vom Fludstrom getroffen und gedrückt, der Strom wird gerade so
wieder abgeleitet, wie bei den zu Z\Veien vereinigten Schaufeln des Peltonrades; nur ist der Austrittswinkel nicht
so günstig wie dort. Ausgeführt wird bei uns das Rad in vorzüglicher Weise durch die Maschinenbauanstalt
Humboldt in Kalle. Das in Fig. 436 dargestellte Rad ist einer 30pferdigen Maschine entnommen; es hat 198 mm
mittleren Durchmesser und läuft 15 OOOmal in der Minute um;
Zahnräderübersetzung setzt die Umlaufzahl zunächst auf den zehnten Theil herab. Die Schmifelhöhlung ist
Ja·eisbogenformig und umfasst 120. Ein 100pferdiges Rad aus derselben Anstalt macht 13000, ein 50pferdiges
16400 Umläufe in der Minute.
Unsere Untersuchung klärt auch bestimmt auf, wodurch sich die Laval'sche Dampfmaschine von der
Parsons'schen, die ziemlich im selben Lmif der Jahre erfunden worden ist, unterscheidet. Erstere ist ein
Drucla·ad, letztere eine wirkliche echte, und zwar melufache Turbine, ein Strahlrad, das aus dem Schraubentrieb
(s2F)i gemäß den Ausführungen in§ 55 allgemein, und S. 389 insbesondere abgeleitet ist. Diefolgende Figur
stellt sie dar.
Der Fluidschraubentrieb ist hier in einer grossen Anzahl von St4en wirksam, nach deren jeder der Fludstrang
wieder von Drehung befi·eit wird. Insbesondere hat Parsans hier Zwiselschraubentrieb benutzt, um Längsdruck
auf die Lager zu vermeiden; die Längspressungen mif die 38 Schaufella·änze heben sich gegenseitig mif6) .
6) S. die engl. Patentschriften 6735/1884, 5512/1887 und 1120/1890; ausserdem den 1897 von Parsans in der Inst. ofCivil Engineers gehaltenen Vortrag über: "Vor- und Nachthele der rotirenden und hin- und hergehenden Dampfmaschinen für Schiffs betrieb", wiedergegeben im Engineering vom 4./6.1897, sowie eine fernere Mittheilung im Engineering vom 2./7. 1897.
1.10
Die wichtigste Anwendung der Turbine hat Parsans selbst auf dem Dampferehen Turbinia gemacht. Dieses
kleine Schiff, 100' lang, 9' breit und 3' tief gehend, 44 1/2 Tonnen verdrängend, ist mit 3 Parsons'schen
Dampfturbinen der oben dargestellten Bauart ausgerüstet, einer Hoch-, einer Mittel- und einer Niederdruck
turbine, die im Verbund arbeiten und die Dampfspannung stufenweis von 170 II oder 11 1/3 at auf 1 II I~
oder 2/15 at herabsetzen; mit dieser letzteren Spannung fliesst der Dampf in den Kondensator. Jede der drei
Turbinen, von denen die mit Niederdruck arbeitende die grösste ist, und zwar 3' im Durchmesser hat, trägt auf
dem äusseren Fortsatz ihrer leicht geneigten Welle 3 Triebschrauben, sodass deren im Ganzen 9 Stück das Schiff
fortbewegen; bei ganzer Kraft machen sie 2200 Runden minutlich und geben dem Schiff eine Fahrt von 32 3/4
Knoten. Arbeitsstärke insgesammt 2100 PS ind., Dampfverbrauch nach P's-Angabe 14,5 II oder 6,68 kg aufdie
PS. Parsans erwähnte Patente sindjüngst um sieben Jahre verlängert worden.
Die Parsons-Turbine hat inzwischen schon ihren Weg in den allgemeinen Maschinenbau gefimden. Drei Stück
von je 500 PS ....
1.2. Energiewandlung
Das Arbeitsvennögen eines Systems wird vom Energiegefälle bestimmt. Ein System entsteht
durch Abgrenzung eines Gebietes durch Kontrollraumgrenzen. An den Kontrollraumgrenzen
soll der erste Hauptsatz der Thermodynamik, das Prinzip von der Erhaltung der Energie, an
gewendet werden. Energie kann in verschiedenen Formen auftreten, als mechanische Energie,
Wärme, elektromagnetische Energie, Kernenergie usw.
hn Wandlungsfalle stehen alle Energiefonneu in bestitmnten Äquivalenzverhältnissen.
Die Kontrollraumgrenzen sollen für Energie und für die Arbeitsfluide durchlässig sein.
In Fluidenergiemaschinen wird kontinuierlich Leistung zu- bzw. abgeführt, weil ein dauernd
neu zufließender Fluidstrom das verarbeitete Fluid ersetzt. Man nennt daher die ablaufenden
Prozesse
1.11
stationäre Fließprozesse oder allgemein
offene Systeme.
Stationär bedeutet hier, daß an den Systemgrenzen die Zustandsgrößen zeitlich konstant sind.
1.2.1. Der stationäre Fließprozeß
Für die Formulierung des Energieerhaltungssatzes beim stationären Fließprozeß muß eme
Vorzeichenvereinbarung getroffen werden:
11 Alle zugeführten Energieströme werden positiv,
die abgeführten Energieströme negativ gezählt! 11
Aus Kontinuitätsgründen muß der Massenstrom am Eintritt (Index E) genau so groß wie am
Austritt (Index A) sein, wenn keine Fluidmasse durch Quellen oder Senken in den Kontroll
raum zuströmen noch ihn verlassen kann, Bild 1.8.
~-----
1 I I I I I
• I QEA I
.. I I I I I I I I L ___ _
®
-----, I I I I Systemgrenze
V I I I
I ~ I~ I I I _____ I
pEJE,CE,ZE,mE;i f(t)
Bild 1.8:
Kontrollraum einer Fluidenergie
maschine
= Wärmestrom
= effektive Kupplungsleistung
p, T, c, z = Zustandsgrößen an der
Kontrollraumgrenze
Die aus den Leistungen und Wärmeströmen folgenden Arbeiten und Wärmen sind Prozeß
und keine Zustandsgrößen, d.h., sie können je nach Prozeßführung verschiedene Werte
annehmen. Die von einem stationären Fließprozeß ·in der Zeiteinheit abgegebene oder
aufgenommene Arbeit wird als effektive oder Kupplungsleistung P e bezeichnet, wobei das
1.12
Triebwerk inhärenter Bestandteil des Systems sein soll, also sich innerhalb der Systemgrenze befindet. Mit dem zeitlich konstanten Massenstrom rh ergibt sich zwischen Leistung und
spezifischer Arbeit die Beziehung
GI. (1.2.-1).
Die Zustandsänderung des Massenstromes zwischen den Gleichgewichtszuständen E und A,
also innerhalb des Kontrollraumes, ist für die Betrachtung der Energien an der Systemgrenze
belanglos. Man bezeichnet mit QEA die während des Prozesses zu- oder abgeführte Wänne
und mit QEA den Wärmestrom, der für beliebig große Zeitintervalle gilt, da voraussetzungs-
gemäß der Prozeß stationär sein soll.
Die Leistungsbilanz (Leistung= Energie pro Zeiteinheit) für den stationären Fließprozeß nach
Bild 1.8. liefert:
GI. (1.2.-2).
Schreibt man die Leistung und den Wännestrom auf die eine Seite der Gleichung, so steht auf
der anderen Seite die aus- bzw. eintretende Energie des Massenstromes. Abkürzend führt man
noch den Begriff der spezifischen Enthalpie
h=u+pv
ein. So entsteht der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse:
GI. (1.2.-3).
Bezieht man diese Gleichung auf den Massenstrom rh, so stehen in der Gleichung nur spezifi
sche Größen:
GI. (1.2.-4).
Die Differenz der Enthalpien, Geschwindigkeits- und Lageenergien zwischen Ein- und
Austritt bestimmt also die Größe der ausgetauschten Wärme und Arbeit.
1.13
Aufgrund des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik liefert die Definition der Entropie die Be
ziehung für die Enthalpiedifferenz
J dh = J vdp + J Tds GI. (1.2.-5)
oder für den Sonderfall eines inkompressiblen Mediums mit p = const. wird
GI. (1.2.-6).
Bei den Gleichungen GI. (1.2.-5) und GI. (1.2.-6) ist zu beachten, daß J Tds die gesamte, auf
den Massenstrom bezogene Energieänderung durch Entropieänderung ist, d.h., im Falle eines
realen, irreversiblen Prozesses mit Reibung
J Tds = J TdsQ + J Tds;,.,. GI. (1.2.-7)
gilt, worin J Tdsirr die durch Reibung im Inneren des Systems entstehende Energieänderung
bedeutet, das J TdsQ die übertragene Wärme.
Die Energieänderung durch Entropieänderung teilt sich also auf in
GI. (1.2.-8a),
mit
GI. (1.2.-8b ).
Somit gilt:
fA c~ - ci [ ] JA we + q EA = vdp + + g z A - z E + Tds
E 2 E
GI. (1.2.-9).
1.14
1.2.1.1. Der Fließprozeß für kompressible Fluide
In den meisten Fällen kann man die Änderung der Lage- und der Geschwindigkeitsenergie
eines Gases vernachlässigen, weil diese Energieanteile sehr klein gegenüber den übrigen
Energien sind.
Der 1. Hauptsatz vereinfacht sich zu
GI. (1.2.-10).
Bei nicht zu hohen Drücken lassen sich bei thermodynamischen Berechnungen der Fluid
energiemaschinenreale Gase durch die Zustandsgleichung idealer Gase (bzw. Gemische von
idealen Gasen)
pV = mRT GI. (1.2.-11)
beschreiben. Die Enthalpie h soll dann nur eine Funktion der Temperatur sein. Demnach gilt
dh = cP (T) dT GI. (1.2.-12)
mit der spezifischen Wännekapazität bei konstantem Druck cp: = (8h I 8T)p, die durch die Be
ziehung
c P ( T) - c" ( T) = R GI. (1.2.-13)
mit der Gaskonstanten R verknüpft ist, dabei soll cv: = (8u I 8T)v sein.
Der Ersatz der spezifischen Wänne cp durch den Isentropenexponenten k
GI. (1.2.-14)
führt zu einer Gleichung, die bei der Beschreibung von Zustandsänderungen oft benutzt wird
1.15
Aus Gleichung (1.2.-5) folgt auch
Tds = dh- vdp
oder
Tds = du- pdv. Gl. (1.2.-16)
Für den stationären Fließprozeß mit quasi stationärer Zustandsänderung im Kontrollraum von
E nach A gilt daher
A A
f Tds = hA -hE-J vdp Gl. (1.2.-17). E E
Aus Gleichung (1.2.-17) und Gleichung (1.2.-1 0) des 1. Hauptsatzes folgt
A A
we +qEA = f Tds+ f vdp Gl. (1.2.-18). E E
A
Das Integral J Tds stellt für reversible Prozesse die Energie dar, die einem System in Fonn E
einer Wärmeübertragung zu- bzw. abgeführt wird. Bei reversiblen Prozessen gilt:
A
qEA = fTds=(qEA)rev E
Im Falle des irreversiblen Prozesses kann man die als Wänne übertragene Energie nicht mehr
umnittelbar als Integral über die Temperatur und die Entropieänderung des Systems aus
drücken. Deshalb teilt man die Energieänderung durch Entropieänderung in zwei Anteile auf:
A A A
frds= frdsQ + frds;,.,. Gl. (1.2.-19) E E E
entprechend Gl. (1.2.-7) mit
A A
qEA =J TdsQ und rpEA = J Tds;,.,. Gl. (1.2.-20) E E
entsprechend Gl. (1.2.-9).
1.16
Dabei bedeutet <pEA die im System erzeugte Entropie, die bei irreversiblen Prozessen auftritt,
so daß stets
rpEA > 0 sein muß.
Für die Dissipationsterme legen die Integrationsgrenzen E und A lediglich den Systeminhalt
fest, in dem Entropie erzeugt wird.
Treten bei der Berechnung unterschiedliche Entropieerzeugungsmechanismen auf, so müssen
diese daher aufintegriert werden.
Die spezifische Energie läßt sich nun mit Gleichung (1.2.-18) und Gleichung (1.2.-19) für
adiabate stationäre Fließprozesse nach der Beziehung
"'0 "'0 A 1 ,----------A--- ~ f vdprev =We-CfJEA--(c~-c~;)-g(zA-zE) E 2
GI. (1.2.-21)
berechnen.
Die von einer Strömungsmaschine dem Fluid entzogene oder ihm übertragene spezifische
reversible Arbeit ist
GI. (1.2.-22).
Aus Gleichung (1.2.-21) geht hervor, daß Arbeit We aus einem Fluid nur gewonnen werden
kann, wenn dieses seinen Druck, seine Geschwindigkeit oder seine geodätische Höhe beim
Durchströmen durch einen Kontrollraum ändert.
Die tatsächlichen Vorgänge werden zu ihrer Beurteilung meist mit einfachen Zustands
änderungen verglichen. Dazu definiert man eine allgemeine Gleichung für die polytrope Zu
standsänderung. Aus ihr werden die speziellen Zustandsänderungen abgeleitet
vdp pol =-n pdv
n := -~(:) P pol
GI. (1.2.-23).
Danach lassen sich folgende spezielle Zustandsänderungen festlegen:
n 0 ~ p const Isobare
n 00 ~ V const Isochore
n 1 ~ pv const Isotherme
n k ~ s const Isotrope.
1.17
Die Darstellung der verschiedenen Polytropen im p, V- und T,s-Diagramm zeigt Bild 1.9.
(ideales Gas).
p
+-1/)
c 0 u II > 8 II c
T
n=O (p=const)
V
,, 1/)
\ \
\ --;.. \~ \''f
\ \
' \ ' ' ' ' ' '
5
Bild 1.9: Darstellung spezieller Zustandsänderungen im p, V- und T,s- Diagramm
Der Polytropenexponent n ist während einer realen Zustandsänderung häufig nicht konstant.
Man bildet für Überschlagsrechnungen deshalb den mittleren Polytropenexponenten und
kennzeichnet ihn mit einem Querstrich, n.
Die spezifische Energie nach Gleichung (1.2.-21) läßt sich für eine polytrope Zustands
änderung eines idealen Gases mit p v11 schreiben als:
weiter gilt
daraus folgt für die spezifische Energie
GI. (1.2.-24).
1.18
1.2.2. Der instationäre Fließprozeß
Die Beschreibung von instationären Energiewandlungsprozessen mit dem vollständigen ersten
Hauptsatz muß die jetzt zeitabhängigen Prozeß- und Zustandsgrößen sowie die unterschied
lichen Massenströme an Aus- und Eintrittsseite berücksichtigen. Für instationär ablaufende
Vorgänge (Anlaufen, Lastwechsel o.ä.) tritt eine zeitabhängige Differenz zwischen ein- und
austretenden Massen auf; es gilt für das Zeitintervall ~t
Damit ist die Einführung von massenstrombezogenen spezifischen Größen nicht mehr
möglich. Zusätzlich muß der jetzt nicht konstante Energieinhalt des Systems E (t)
c2 E (t) ·- J ( u + 2 + g z) dm
m(l)
Gl. (1.2.-25)
in die Energiewandlung zwischen den Kontrollraumgrenzen mit aufgenommen werden.
Die Energiewandlung für das instationäre adiabate Fließsystem lautet deshalb in differentieller
Schreibweise
wobei die Zustands- und Prozeßgrößen jeweils eine Funktion der Zeit t sind. Die Energie
wandlung für ein Zeitintervall ~t = t2 - t 1 ist durch Integration dieser Gleichung zu ermitteln.
Es gilt:
lll,j (12)
E (t2)- E (tl) + f lilA (II)
Gl. (1.2.-27).
Für den Sonderfall der stationären Fließprozesse geht diese Gleichung mit
E (t2) = E (tl)
dm = dmA = dmE
über in die bekrumte Form
1.19
CÄ - CE . . [
? ? ]
~ = m hA - hE + 2
+ g (zA - zE) , vergleiche Gleichung (1.2.-4).
1.2.3. Stationäre Strömungsprozesse
Strömungsprozesse stellen eine Sonderform der Fließprozesse dar. Strömungsprozesse ent
halten vereinbarungsgemäß keine Einrichtung zur Zufuhr bzw. Entnahme von Arbeit, also nur
passive Bauelemente (Rohrleitungen, Einbauten, Apparate). Für adiabate Systeme gilt, weil
dq =0
nach Gleichung (1.2.-25).
In differentieller Schreibweise ist auch
c2 0 = dh1 = dh + d - + g dz
2
und mit dem 2. Hauptsatz wird
dh = dhrev + dhirr
also
Eingesetzt erhält man:
0 = dhs + d ( ~) + g dz + drp
Gl.(1.2.-28),
Gl. (1.2.-29).
Gl.(1.2.-30).
Für den Strömungsprozeß ergeben sich nun drei wichtige Möglichkeiten (Änderungen der Ge
schwindigkeit infolge von Temperatureinflüssen werden vernachlässigt):
1.
E
2.
A
3.
--·-·+-...
E A
1.20
Die beschleunigte Strömung: (cA > cE) ergibt sich nach
J( C: )~dh, -~ •ObdG~"
d hs = vdp
d ( ~) = - vdp - d rp GI. (1.2.-31)
durch eine Enthalpieabnahme, d.h., durch eine Drucksenkung
dp, in Strömungsrichtung. Die Entropieerzeugung Tdsirr = d<p,
also ds > 0, vermindert die Beschleunigungsenergie.
Für die verzögerte Strömung: (cE > cA ) wird analog durch
Wandlung der Geschwindigkeits- in Druckenergie
GI. (1.2.-32).
Eine Druckumsetzung tritt im irreversiblen Fall de1m1ach erst ? c
auf, wenn- d- ~ drp wird. 2
2
Bei der Rohrströmung wird c A = cE und damit d ~ = 0 also 2
0 = dhs- drp
drp = - dhs 1
drp = - vdp und fiir v =- = const
dp drp =--
p
p
GI. (1.2.-33)
d.h., bei konstanter Geschwindigkeit kommt es in der Rohr
strömung zu einem dissipativen Druckabfall längs des
Strömungsweges.
Die h,s-Diagrmmne der Strömungsprozesse verdeutlichen die
Energiewandlung in passiven Bauteilen von Fluidenergie
maschinen und Anlagen.
1.21
htE= h1A ? ?
c;A -Cf: = - (hsA - hE)
2 hE c2 ?
A - C}; -(hA-hE)
t 2 ? ?
c;A -Cf: - (hA- hE) + rpEA h 2
~--L----L-- hA
_.___J__~--1-----1.=------ hsA (h A - hE)- <pEA = (hsA - h E)
SE SA Gl. (1.2.-34).
Bild 1.10: Umwandlung von Druck- in Geschwindigkeitsenergie in einer Düse für
isentrope und polytrope Zustandsänderungen
(Annahme: p A = const)
2 ? csA -Cf;;
(hsA- hE) 2
2 ?
hA CA -Cf;;
(hA- hE) 2
t hsA 2 ? , ~ csA -Cf;;
(hA- hE)- (/JEA h
2 2
Gl. (1.2.-35)
Bild 1.11: Energiewandlung von Geschwindigkeits- in Druckenergie in einem Diffusor
für isentrope und polytrope Zustandsänderungen (Annahme: PA• PE und cE = const, real bewirken die Verluste q>EA gerade einen geringeren Austrittsdruck PA)
1.22
1----------.------7"':__---htE=htA - drp = vdp
- rpEA = hsA - hA
I h
GI. (1.2.-36)
s ....
Bild 1.12: Energietransport in der Rohrströmung
1.2.4. Energiewandlung in Strömungsmaschinen
Erweitert man die Vorstellung des Strömungsprozesses auf die zuvor ausgeschlossene Ein
richtung zur Zufuhr bzw. Entnahme von Arbeit, so wird die Energiewandlung in Strömungs
maschinen sofort verständlich. Über die Kontrollraumgrenzen wird jetzt auch Arbeit in Form
eines Arbeitsstromes als mechanische Leistung transportiert. Die im Folgenden getroffene An
nahme einer adiabaten Prozeßführung folgt den realen Bedingungen weitestgehend. Auch bei
thermischen Turbomaschinen krum der Wännestrom über die Kontrollraumgrenze, bedingt
durch die Maschinenisolierung, vernachlässigt werden. Wenn keine adiabaten Zustands
änderungen angenommen werden können, z.B. bei Turbokompressoren mit Zwischenkühlung,
wird die getroffene Vereinbarung nur auf die Maschine und nicht auf die Anlage bezogen.
Drunit lautet die den Arbeitsprozeß beschreibende Energiegleichung, in differentieller und auf
die Masseneinheit der Fluide bezogener Schreibweise
GI. (1.2.-3 7)
Für den reversiblen stationären Prozeß wird
1.23
(dwe) = dhs + d (c2
) + g dz rev 2 Gl. (1.2.-38).
Das ist die Energie, die z.B. einer Turbine angeboten wird, bzw. jene, die bei einer Pumpe
nutzbar an das Fluid übergegangen ist. Sie wird daher als spez. Fall- bzw. Förderenergie be
zeichnet.
Also
dw := (dw) 7) f e rev Gl. (1.2.-39)
dw 1 = vdp + d ( ~) + g dz Gl. (1.2.-40).
1.2.5. Zustände von Gasen und Dämpfen
Die bekannten thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen beschreiben die Zustands
zusammenhänge idealer Gase, d.h., Gase, deren Moleküle kein Eigenvolumen haben und
deren spezifische Wärmen cp und Cv nicht von der Temperatur abhängen, also konstant sind.
Wirkliche Gase sind zwar ebenfalls mit der thermischen Zustandsgleichung
pv = RT
zu beschreiben, ihre spez. Wännen sind aber von der Temperatur abhängig.
Dämpfe unterscheiden sich von den Gasen lediglich dadurch, daß sie sich leicht verflüssigen
lassen. Die thermische Zustandsgleichung gilt bei Dämpfen nur bei kleinem Druck und hoher
Temperatur.
Die Dampfdruckkurve (Bild 1.13) gibt die Abhängigkeit der Sättigungstemperatur vom Druck
an.
7) wrwird in der Literatur häufig als" Stutzenarbeit Y st" bezeichnet
1.24
t t T h
Bild 1.13: T, s- und h,s- Diagramm für Wasserdampf
Überhitzter Dampf ist Dampf, dessen Temperatur höher als die Sättigungstemperatur ist.
Naßdampf ist ein Gemisch aus Flüssigkeit und Dampf (spezifischer Dampfgehalt x).
Sattdampf ist Dampfbei Sättigungstemperatur (x = 1 ).
t p
Bild 1.14: Zustandsfläche des Wasserdampfes
2.1
2. Strömung im rotierenden System (Laufrad)
Die Beschreibung der Vorgänge im Laufradkanal (Schaufelkanal) wird durch Kenntnis der
Strömungskinematik erleichtert. Dazu betrachtet man die Bewegung eines Fluidteilchens ent
lang einer Stromlinie im Laufradkanal, weil aus seiner Bewegung seine Drehimpulsänderung
und damit seine Energiewandlung unter bestimmten Voraussetzungen berechnet werden kann.
Die Änderung des Fluid-Drehimpulses entspricht dem Laufraddrehmoment
Für den "feststehenden (absoluten) Beobachter" sind die Laufschaufeln emes mit der
Winkelgeschwindigkeit ro drehenden Laufrades nicht sichtbar. Er sieht das Fluid am -)
gesamten Laufradumfang mit der Absolutgeschwindigkeit c ein- bzw. ausströmen. Der
"mitbewegte (relative) Beobachter" dagegen nitmnt die Bewegung des Fluids im -)
Schaufelkanal, z.B. entlang einer mittleren Stromlinie, mit der Relativgeschwindigkeit w
wahr, die zunächst schaufelkongruent angenommen werden soll. Mit der -)
Umfangsgeschwindigkeit (Führungsgeschwindigkeit) u lautet die vektorielle Summe der
Geschwindigkeiten:
Ferner werden die dazu gehörigen Winkel festgelegt:
a
ß
-)
Winkel der Absolutströmung, gemessen zwischen c und der posi-
tiven Umfangsgeschwindigkeitsrichtung -)
Winkel der Relativströmung, gemessen zwischen w und der nega-
tiven Umfangsgeschwindigkeitsrichtung.
Geschwindigkeitsvektoren am Austritt eines radialen
Laufrades
Von wesentlicher Bedeutung für die Drehimpulsänderung sind die Geschwindigkeiten am
Ein- und Austritt des Schaufelkanalkontrollraumes. Für die Gesamtenergiewandlung müssen
die Geschwindigkeiten an den Kontrollraumgrenzen bekannt sein.
2.2
Mit der nachfolgenden Indexkennzeichnung werden Strömungsgrößen an bestimmten Orten
gekennzeichnet.
Radialmaschine Axialmaschine
Pumpe; Eintritt -- mittlerer Stromfaden Stelle
Kompressor, Austritt -- _" _ 4 ___ ..._,.
Eintritt -- mittlerer Stromfaden Stelle 4
Turbine: Aus tritt -- _,4_ 1 -Bild 2.1: Indexkennzeichnung der Strömungsgrößen
Pumpen bzw. Kompressoren unterscheiden sich von den Turbinen prinzipiell nur durch die
Durchströmungsrichtung und den Leistungsfluß an der Kupplung. Daher wird eine
gemeinsame Indizierung verwendet, bei der 1 immer dem Ort der geringsten Druckenergie am
Laufrad - "Saugseite" - und 4 dem der höchsten Druckenergie am Leitrad - "Druckseite" -
zugeordnet sind. Die Zahlen sind also nach dem Grad der Energieheiadung geordnet.
Für einstufige Maschinen folgt daraus die Bindung an die Indizierung des Fließsystems mit
den Kontrollraumgrenzen EintrittE und Austritt A:
Pumpe, Kompressor
Turbine
E~1~2~3~4~A
E~4~3~2~1~A
für n-stufige Maschinen wird die Indizierung 1 ... .4 n-fach wiederholt und ggfls. mit der
Stufen-Nr. zusätzlich gekennzeichnet.
2.3
2.1. Kinematik der Axialmaschine
Die Kinematik des Laufradgitters der Axialmaschine ergibt sich aus der Abwicklung des
Zylinderschnittes A, B in Bild 1.1.. Die Schaufeln haben den Abstand t = Teilung. Das Gitter
eines Leitrades steht, das eines Laufrades verschiebt sich mit der Umfangsgeschwindigkeit u,
Bild 2.2.
Bild 2.2: Das gerade ebene Gitter ist die Abwicklung eines koaxialen Zylinderschittes
eines Laufrades in der Ebene (vgl. S. 1.3)
In einer Turbinenströmung, Bild 2.3. wird das mit der Geschwindigkeit c4 zuströmende Fluid ---t
im Leitgitter auf eine Austrittsgeschwindigkeit c3 unter entsprechendem Druckabfall be----t ! ---t
schleunigt. Es tritt mit c2 = c3 in das Laufradgitter ein und durchläuft seine Absolutbahn, auf ---t •• ---t ---t
der es mit der Geschwindigkeit c1 austritt. Aus der Anderung von c2 auf c1 wird später die
Drehimpulsänderung abgeleitet. Das Laufradgitter dreht mit der Winkelgeschwindigkeit co,
d.h., der Punkt mit dem Radius Rx rotiert mit der Umfangsgeschwindigkeit ux = w Rx
Ein auf gleichem Radius und auf der Absolutbahn zwischen 2 und 1 mit der Geschwindigkeit ---t ---t
c x strömendes Fluidelement hat gegenüber dem Gitter die Relativgeschwindigkeit w x.
Die eindimensionale Theorie der Strömungsmaschinen setzt den Durchfluß entlang der Mittel
linie des Schaufelkanals voraus, so daß die mittlere Geschwindigkeit über die Kanalbreite den ---t ---t ---t ---t
Charakter eines Vektors c hat. Vereinbart wird die Schreibweise c = c, u = u , w = w.
2.4
Laufschaufeln
0
4 Leitrad 3 2 Laufrad
Bild 2.3: Kinematik der Axialmaschine
links: Meridianschnitt
rechts: abgewickelter Zylinderschnitt
2.2. Kinematik der Radialmaschine
Bei Radialmaschinen liegen Ein- und Austritt des Laufrades auf unterschiedlichen Radien,
d.h., es herrschen dort auch unterschiedliche Umfangsgeschwindigkeiten. Das Bild 2.4 zeigt
den
Bild 2.4: Absolute (E, A') und relative (E, A) Bahn eines Flüssigkeitsteilchens
2.5
Achsnormalschnitt eines radialen Laufrades einer Pumpe. Für den Laufradein- und austritt
sind die Geschwindigkeitspläne angegeben. Unter der Almahme schaufelkongruenter
Strömung entspricht der Verlauf der Laufschaufel E-A dem relativen Weg, den ein
Flüssigkeitsteilchen im Laufrad zurücklegt. Die von diesem Flüssigkeitsteilchen
zurückgelegte absolute Bahn E-A ist gestrichelt eingezeichnet. Während des Zeitintervalls L1
tEA dreht sich das Laufrad um den Winkel <!> von A nach A'.
2.3. Zirkulation im Laufrad, Momentensatz
Bild 2.5: Zirkulation im Laufrad einer Kreiselpumpe
r := fcds
Der Zirkulationsbegriff erlaubt die Beurteilung der Energiewandlung in einem abgegrenzten
durchströmten Bereich. Das Laufrad einer Kreiselpumpe rotiere mit konstanter Winkel
geschwindigkeit ro. Die Zylinderflächen am Eintritt des Fluids werden mit rl> die am Austritt
mit r2 gebildet. Entlang dieser Zylinderflächen, die gleichzeitig auch Kontrollraumgrenzen
sein sollen, wird die Zirkulation gebildet
Gl. (2.3.-1)
und
Gl. (2.3.-2),
2.6
dabei ist cu die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit
Die Drehimpulse der Umfangskomponenten, bezogen auf den Massenstrom sind:
1] clu = _G_ 27r
und
r2 c2u r2 27r
Die Drehimpulsdifferenz gibt direkt das übertragbare Laufradmoment an
oder
m MR = - er? - rl)
27r -
Gl. (2.3.-3)
Gl. (2.3.-4).
Gl. (2.3.-5)
Gl. (2.3.-6).
Gl. (2.3.-6) wurde 1756 von Leonhard EDLER, allerdings unter Anwendung des Drehimpuls
satzes, erstmals angegeben. Im Gegensatz zur eindimensionalen axialsymmetrischen
Strömungstheorie, die nicht ohne die Annahme von unendlich vielen Schaufeln zur
Strömungsführung auskommt, liefert die auf die Zirkulation gestützte Theorie auch ein
Ergebnis bei der Annahme von endlich vielen Schaufeln.
2.4. EDLERSCHER Momentensatz
Das Fluid im Laufrad sei von einem Kontrollraum umschlossen, der durch zwei konzentrische
Zylinderflächen der Radbreite b begrenzt ist, dabei soll die eine Fläche dicht vor den Saug
kanten und die andere dicht hinter den Druckkanten der Laufschaufeln liegen. Es wird ange
nommen, daß das Geschwindigkeitsfeld des Fluids unabhängig vom Drehwinkel <j> ist.
Das im Kontrollraum eingeschlossene Fluid besitzt den aufR = 0 bezogenen Drehimpuls
-+ f-+-+ La := p r x c d V Gl. (2.4.-1 ).
V
Nach dem Drehimpulssatz ist die zeitliche Änderung des Drehimpulsvektors gleich dem auf 0
bezogenen Momentenvektor aller auf das Fluid einwirkenden Kräfte:
-t dL -t -t __ o = Mo=MR
dt
2.7
Bild 2.6: Strömung durch einen Pumpenkontrollraum
In der Strömungsmechanik wurde bewiesen, daß
d ---+ t3 ---+ ---+ ---+---+ -fpadV=f-(pa)dV+fpa (c·n)dA dty y ct A
gilt.
GI. (2.4.-2).
GI. (2.4.-3)
Dabei ist ä ein beliebiges materielles Vektorfeld, A die Oberfläche des Kontrollvolumens und
ii der äußere Nonnaleneinheitsvektor eines Flächenelementes von A. Mit
---+ ---+ ---+ a := r x c GI. (2.4.-4)
und der Annahme, daß die Bewegung des Fluids durch das Laufrad stationär ist, wird
MR = f p; X;(;.~) dA GI. (2.4.-5). A
2.8
Dieses Integral zerfällt in zwei Integrale über die Zylinderflächen r = r1 und r = r2 :
Gl. (2.4.-6).
-t -t
= - p lj C1u ez C1r 2TC lj b + p r2 C2u ez c 2r 2TC r2 b
Mit dem Massenstrom durch die Kontrollraumzylinderflächen
p C2111 2TC 12. b = p C1111 2TC lj b = rn Gl. (2.4.-7)
erhält man für das vom Rad auf das Fluid wirkende Moment, siehe auch Gl. (2.3.-6),
-t -t
MR = m (r2 c2u - lj cl.J ez Gl. (2.4.-8).
Für alle passiven Bauelemente dagegen bleibt für die wirbelfreie kreisende Bewegung eines
reibungsfreien Fluids der Drall für alle Flüssigkeitsteilchen konstant.
Bild 2.7: a)Schaufelkanal eines Radialpumpenrades
b)Kontrollraum um diesen Schaufelkanal mit den Impulsströmen j 1 undj2
der Wirkrichtungen von c2 und eh KR-Kontrollraum
P2 Überdruck am KR bei r2 steht _Lauf der Umfangsfläche
Pt Überdruck am KR bei r1 steht _L auf der Umfangsfläche
rilz Massenstrom durch den Kontrollraum, Schaufelkanal z
2.9
hn Gegensatz zu den V erdrängennaschinen wirkt der Druck an den Kontrollraumgrenzen sich
nicht unmittelbar auf das übertragbare Drehmoment M0 = z Moz aus (z =Anzahl Schaufel
kanäle). Der Drehimpulssatz liefert zu dem Bezugspunkt 0 für einen Schaufelkanal
also
undmit
j = m c SOWie R = r cos a wird z '
also
schaufelkongruente Strömung vorausgesetzt.
2.5. Radarbeit und Radleistung
(Hauptgleichung der Strömungsmaschinen)
Aus Gl. (2.3.-6) kann unmittelbar die Radleistung gebildet werden zu
Gl. (2.4.-9)
Gl. (2.4.-1 0)
Gl. (2.4.-11)
Gl. (2.4.-12),
Gl. (2.5.-1).
Entsprechend der getroffenen Vorzeichenregelung, nach der alle zugeführten Prozeßgrößen
positiv und alle abgeführten negativ zu zählen sind, folgt für:
Turbinen
~ =- OJR MR
Pumpen und Kompressoren
~ = + OJR MR
Gl. (2.5.-2),
Gl. (2.5.-3).
2.10
Da die Radleistung nur vom Massenstrom übertragen werden kann und die darin enthaltene
spezifische Radarbeit wR analog Gl. (1.2.-1)
(rn = Massenstrom durch das Laufrad) Gl. (2.5.-4)
ist, kann man auch schreiben
Gl. (2.5.-5)
bzw. Gl. (2.5.-6).
Mit Gl. (2.3.-6) wird
Gl. (2.5.-7),
Gl. (2.5.-8).
Führt man die Umfangsgeschwindigkeit u = r mein, folgt aus Gl. (2.5.-8) die
Hauptgleichung der Strömungsmaschinen
Gl. (2.5.-9).
Ein negatives Vorzeichen der Enthalpiedifferenz charakterisiert den Turbinenbetrieb, ein
positives den Pumpen- bzw. Kompressorbetrieb, d.h., hier wird Energie über die Kontroll
raumgrenzen zugeführt.
Betrachtet man die Masseteilchen auf emer Stromlinie bei ihrem Weg durch den
Kontrollraum, lassen sich Beziehungen zwischen der Umfangs-, Absolut- und
Relativgeschwindigkeit angeben, die es gestatten, die Radarbeit einer weitergehenden
Betrachtung zu unterziehen.
2.11
Der Cosinussatz
GI. (2.5.-10)
liefert mit
C11
= c cosa
2
In GI. (2.5.-9) eingesetzt ergibt sich die "Relative Form" der Hauptgleichung der Strömungs
maschinen.
-Turbine
+ Pumpe, Kompressor
Der Anteil
und
GI. (2.5.-11).
beinhaltet den dynamischen Anteil der totalen Enthalpie
differenz aus der Betrachtung der Fließprozesse,
steht demnach für den statischen Anteil, d.h., für die
Druckänderung irrfolge Umfangsgeschwindigkeits- und
Relativgeschwindigkeitsänderung im SchaufelkanaL
2.6. Strömung im rotierenden, radialen Schaufelgitter
(reversibler Fließprozeß)
Die eindimensionale Theorie der Strömungsmaschinen liefert eme gleichförmige
Geschwindigkeitsverteilung in den Zylinderschnitten der Schaufelkanäle.
Die wirkliche Verteilung ist ungleichfönnig. Die Durchströmung im Schaufelkanal kmm als
eine Überlagerung einer Verdrängungsströmung (Wirbelbewegung) und einer Durchfluß
strömung mit gleichförmiger Geschwindigkeitsvt:rteilung angesehen werden. Bild 2.8. veran-
2.12
schaulicht den Verlauf der relativen Drehbewegung eines Flüssigkeitsteilchens bei der
Strömung durch einen rotierenden SchaufelkanaL Ein kugelfonniges Teilchen, dessen Lage
im Raum durch einen Pfeil gekennzeichnet ist, dreht gegen die Drehrichtung des Rades. Da
voraussetzungsgemäß keine Reibungskräfte vorhanden sein sollen, behält das Teilchen im
Verlauf der Drehung seine absolute Richtung bei. Oben ist der Pfeil nach außen gerichtet,
unten dagegen radial nach innen; d.h., in dem Relativsystem dreht sich das Teilchen mit -ffi,
im Absolutsystem dagegen bleibt es drehungsfrei
Einen solchen "freien" Strömungszustand der Kreisbewegung nennen wir einen Potential
wirbel, für den r cu = const. ist. Die erwähnte Relativbewegung dieses "Wirbels" wird
besonders deutlich in einem geschlossenen Schaufelkanal, also ohne Durchfluß. Es entsteht
ein relativer Kanalwirbel Im durchflossenen Kanal sind die Geschwindigkeiten des
relativen Kanalwirbels auf der Vorderseite der Schaufel entgegengesetzt zur
Strömungsrichtung, auf der Rückseite aber in Strömungsrichtung. Dadurch ergeben sich
Geschwindigkeitsdifferenzen, also niedrige Geschwindigkeiten und hoher Druck auf der
Vorderseite und hohe Geschwindigkeiten und niederer Druck auf der Rückseite der Schaufel.
Im rotierenden radialen Schaufelgitter wird durch den relativen Kanalwirbel also der
Schaufeldruck geändert.
Bild 2.8: Kanalwirbel und theoretische Geschwindigkeitsverteilung im reversiblen
Fließprozeß
Im Gegensatz dazu kennen wir die erzwungene Kreisströmung von Teilchen, sog. reine
Wirbel. In reinen Wirbeln drehen sich die Fluidteilchen infolge Reibung, bis sie die Winkel
geschwindigkeit des antreibenden Körpers (z.B. Rotationshohlraum) angenommen haben; das
Fluid dreht sich also wie ein starrer Körper mit cu = r OJ •
2.13
drehungsfrei
Potentialwirbel ey·r= canst
~einer c;= r· w Wirbel
Bild 2.9: Potentialwirbel und reiner Wirbel
2. 7. Strömung im rotierenden Schaufelgitter bei irreversiblem Fließprozeß
Eine gemessene Verteilung der Relativgeschwindigkeit am Austritt eines radialen Pumpen
laufrades zeigt Bild 2.10. So können sich im Gegensatz zum bisher Gesagten am Schaufelaus
tritt im Bereich der Schaufelvorderseite viel höhere Geschwindigkeiten als im Bereich der
Schaufelrückseite ergeben. Ursache ist die Irreversibilität realer Strömungsprozesse, d.h., die
Existenz von Reibungskräften.
Die Verhältnisse in einem feststehenden Krümmer, Bild 2.11.a, erleichtern die Vorstellung.
Neben Schubspannungen wirken im Krümmer auch Zentrifugalbeschleunigungen, dadurch
wächst der Druck mit dem Krümmungsradius in Zentrifugalrichtung (Druckseite) und verur
sacht eine Sekundärströmung. Nach einer Anlaufstrecke ist die Geschwindigkeit in der
Kanalmitte vor der Richtungsänderung stets größer als in W andnähe. Diese größere
Strömungsgeschwindigkeit verursacht jedoch bei der erzwungenen Richtungsänderung auch
größere Zentrifugalbeschleunigungen, die die Fluidteilchen aus der Kanalmitte zu der
Kanalwanddruckseite hin befördern. An den seitlichen Kanalbegrenzungsflächen werden
Fluidteilchen hingegen von der Druckseite verdrängt und fließen zu kleineren Krümmungs
radien hin ab.
Die Folge dieser Sekundärströmung sind steigende Strömungsgeschwindigkeiten hin zur
druckseitigen Kanalwand.
An diesen Verhältnissen ändert sich grundsätzlich nichts, wem1 man einen rotierenden Kanal,
Bild 2.1l.b, betrachtet, in dem durch die Relativgeschwindigkeitsverteilung diesmal größere
Corioliskräfte in der Kanalmitte hervorgerufen werden.
2.14
b
Schaufelvorderseite (Druckseite)
Bild 2.10: Gesamtdruck- (a) und Geschwindigkeitsfeld (b) im rotierenden Laufrad
kanal einer Kreiselpumpe [ 6]
a b
2.15
I
I I I
t w I
--+--
Bild 2.11: Sekundärströmung im Krümmer (a) und im rotierenden geraden Kanal (b)
3.1
3. Energiewandlung in der Maschinenstufe
Die quantitative Beschreibung der Energiewandlung dient zur Beurteilung der Maschine
hinsichtlich ihrer Wirkung nach außen und ihrer Verluste an mechanisch nutzbarer
Energie. Für diese grundsätzlichen Betrachtungen reicht eine Maschinenstufe aus. Diese
Betrachtungsweise erlaubt alle wesentlichen Begriffe der technischen Maschinen
strömung im realen Zusmmnenhang zu erkennen. Vereinbarungsgemäß sollen nur
innere Leckströme auftreten, die hier betrachtete einstufige Maschine soll ansonsten
nach außen hin dicht sein.
3.1 Die Turbinenstufe
3.1.1 Energiefluß
Mit der in Bild 2.1 festgelegten Indizierung soll das in Bild 3.1 dargestellte Energiefluß
schema der Strömungsmaschine verdeutlicht werden.
Die Energiewandlung der Stufe findet im Lauf- und Leitrad sowie in Dichtungsspalten
statt. Die Leistungsverzweigung erfolgt in jedem in Bild 3.1 dargestellten Knoten des
abstrahierten Stufemnodells. Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge werden im
folgenden nur die Beträge der Energieströme, z.B. IP el, betrachtet. Aufgrund der ge
troffenen Vorzeichenvereinbarung sind die einzelnen Energieströme der Turbine, da sie
abgeführt werden, negativ zu zählen. Man beachte darüberhinaus, daß die spezfischen
Größen ilmner auf den mit der Energiewandlung verbundenen Massenstrom bezogen
werden.
Die von dem Fluid bei der Energiewandlung der Maschinenstufe, bilanziert zwischen
Eintritt in und Austritt aus der Stufe, zur Verfügung gestellte Gesamtleistung, die Ge
fälleleistung P f beträgt:
Gl. (3.1.-1).
Der bei der Energiewandlung im Leitrad auftretende Dissipationsstrom wird mit <i> 43 be
zeichnet. Die hinter dem Leitrad also vor dem Laufrad zur Verfügung stehende Leistung
ist die Umfangsleistung p u,LE
Gl. (3.1.-2),
die Vorzeichenregel angewendet wird P,t,LE = -m · ( h 12 - h tls.).
8) Die Indices ls' und ls sind aus Bild 3.5 zu entnehmen, dazu analog werden 4s' und 4s bei der Kompressorstufe gebildet.
3.2
~RR
. !12RT
Bild 3.1: Funktions- und Energieflußschema einer Turbine
und
IP,,,LE I= IIJ·I- <i> 43
<i> 43 rp43 =-.
m
Gl. (3 .1.-3)
Gl. (3.1.-4).
3.3
Der Spaltmassenstrom rnsp fließt bezogen auf die Kontinuität in einem Bypass am Lauf
rad vorbei und nimmt damit nicht an der Energiewandlung im Laufrad teil. Der im Laufrad verarbeitbare Massenstrom beträgt daher nur m -rnsp .
Definiert man die Dissipationsströme aufgrund der Spaltverluste <i> Sp ;:::: 0
mit
wird
<!> Sp rpSp :=-.
mSp
Gl. (3.1.-5)
Gl. (3.1.-6)
Gl. (3.1.-7).
Aufgrund des Spaltmassenstroms rnsp wird dem Laufrad eine Umfangsleistung
die Vorzeichenregel angewendet wird ~l,LA = -( nz- msp). ( h t2- ht!s')'
zur Energiewandlung angeboten.
Die spezifischen Arbeiten wu,LE
I I·= ~~,,LEI Wu,LE' .
m
und wuLA '
Gl. (3 .1.-8),
Gl. (3 .1.-9),
Gl. (3.1.-10)
Gl. (3.1.-11)
werden, da sie gleich groß sind, ohne zusätzliche Leit- bzw- Laufrad-Indizierung mit
Gl. (3.1.-12)
3.4
bezeichnet.
Mit Hilfe des "Eulerschen Momentensatzes" wurde die spezifische Radarbeit wR, also
die spezifische Arbeit, die dem Rad zur Wandlung angeboten wird, berechnet.
Es gilt:
GI. (3.1.-13),
die Vorzeichenregel angewendet wird wR = -(h,2 -h,1),
GI. (3.1.-14).
hn Laufrad wird die Radleistung PR abgeführt. Sie entspricht der Umfangsleistung am
Laufrad vermindert um den Dissipationsstrom des Laufrades cD 21
GI. (3.1.-15)
und
rp21 = ( 0 0 ) m-m Sp
<1>21 GI. (3.1-16).
Die Innenleistung Pi ergibt sich aus der Radleistung PR und dem bei der Energiewand
lung im Rad auftretenden Dissipationsstrom der "ümeren Verlustleistung <i> RR "9) .
Dieser entsteht durch Reibung an den Scheibenoberflächen, sowie durch
Verwirbelungsverluste am nicht beaufschlagten Teil des Laufgitters
(V entilationsverluste)
GI. (3.1.-17).
Die Umfangsleistung am Leitrad läßt sich damit auch mit
1-P.,,LE I= IPR I+ <i> Sp + <i>21 = (m -lnsp )(h,2 - h,l) + msp (h,2 - htls') + <i>21
GI. (3.1.-18)
bzw. GI. (3.1.-19).
beschreiben.
9) Index RR ~ Reibung .ßad
3.5
Entsprechend gilt für die am Laufrad angebotene Umfangsleistung
GI. (3 .1.-20).
Die Kupplungsleistung P e ergibt sich aufgrund des !.Hauptsatzes zu:
GI. (3.1.-21),
die Vorzeichenregel angewendet wird~= -rh(h,E -h,A).
Die Triebwerksverlustleistung <i> RT , die nach Definition vollständig auf das Arbeitsfluid
übertragen wird, stellt den Zusammenhang zwischen Innen- und Kupplungsleistung dar:
GI. (3.1-22).
Die spezifische Gesamtdissipation zwischen Ein- und Austritt <rEA läßt sich schreiben
als: GI. (3.1.-23).
3.1.2. Darstellung der Gefälle
Neben dem Energieflußbild, Bild 3.2., liefert das h, s- Diagramm, Bild 3.5., eine über
sichtliche Darstellung des Energiewandlungsverlaufs. Bei der Strömung von Gasen bzw.
Gasgemischen soll die Änderung der Lageenergie vernachlässigbar sein, also
g·Az=O
und deshalb wird
c2 h =h+-
1 2 geschrieben.
Im Leitrad (4-3) der Strömungsmaschine Turbine (Entspannung in einer Düse) bleibt die
Totalenthalpie ht konstant, weil die Masseteilchen beim Durchströmen des
feststehenden Leitrades (ruhendes Koordinatensystem) keine Arbeit vom
Leitradkräftefeld empfangen können, eine Einrichtung wie etwa eine Weile, em
rotierendes System zur Übertragung von mechanisch nutzbarer Energie über die
Systemgrenze fehlt:
3.6
t----- rh· htE -------1 ////////,/"//////~ t-----· ~ = ffi. wf-------~
(m- rhsp) Wu = Pu,LA
Bild 3.2.: Energieflußbild einer Turbine, dargestellt werden nur die Beträge der
Energieströme, z.B. I~ I = I PR 1- <±> RR
bzw.
Gl. (3.1.-24)
Für die beschleunigte aber stationäre Strömung in einem Turbinenleitrad gilt dann
folgende Darstellung im h, s- Diagramm mit rp43 2::0
Gl. (3.1.-25).
3.7
P4 ht4=ht3=ht2
cl 2
h4
t 2
C3s P3
2 h flh43
(flhds
h3=h 2 =h1
h3,s
s _______..
Bild 3.3.: h, s- Diagramm eines Turbinen-Leitrades (vgl. Bild 1.10)
Im Laufrad dagegen findet eine Drehimpulsänderung im rotierenden System statt.
Aus der Hauptgleichung der Strömungsmaschinen folgt für die Energieumsetzung im
Laufrad 2---+ 1, nach Gl. (2.5.-5) sowie Gl. (2.5.-11).
Gl. (3.1.-26)
und daraus
7 ? ? ?
h, + Wz- - Uz- = h + wl- - ul-
- 2 2 I 2 2 Gl. (3 .1.-27)
d.h. analog zu der Konstanz der Totalenthalpie bei der Leitraddurchströmung 2
(ht = h +~ = const) gilt für das bewegte System Laufrad 2
wz uz h+---= const
2 2
Hieraus folgt die Darstellung der Gefälle in Bild 3.4.
Gl. (3 .1.-28).
Setzt man voraus , daß die Punlde 2 und 3 identisch, also die physikalischen Werte dort
nach Betrag und Richtung gleich groß sind, so kann man das h, s - Diagramm der
Turbinenstufe lwRI = (h14 - hn) angeben.
3.8
t h
5___..
Bild 3.4.: h, s- Diagramm eines Turbinen- Laufrades
i h
~~~~--~------~-----+----~-h3=h2
o------."c--..-----------1-- h t 1
s ....
Bild 3.5: h,s-Diagramm einer Turbinenstufe
3.1.3. Defmition der Wirkungsgrade (Wirkkette)
Wirkungsgrade kennzeichnen quantitativ die irreversible Energiewandlung. Mit den im
vorhergehenden Abschnitt angegebenen Verlusten lassen sich die Wirkungsgrade von
Turbinen definieren:
3.9
_ der äußere mechanische Wirkungsgrad 'llma
- der innere mechanische Wirkungsgrad 'llmi
-der Umfangswirkungsgrad des Laufrades 'llu,LA
IPRI 77u,LA := -~p I
u,LA
-der volumetrische Wirkungsgrad 'llv
IPu,LAI 77 ·= --
V. IPu,LEI
-der Umfangswirkungsgrad des Leitrades 'llu,LE
77u LE := I I · , Pu,LA + <l>sp
IPu,LAI
GI. (3.1.-29)
GI. (3 .1.-30)
GI. (3.1.-31)
GI. (3.1.-32)
3.10
77u,LE = I I · Pu,LE + <D 43
Gl. (3.1.-33).
Aus diesen Wirkungsgraden lassen sich der. Itmenwirkungsgrad lli und der effektive
Gesamtwirkungsgrad lle angeben zu:
- der Itmenwirkungsgrad lli
IPil 77i := frl
7li = T7u,LE T7v T7u,LA 7lmi
- der effektive Gesamtwirkungsgrad lle
IPel TJe := frl
TJe = 77ma 77u,LE T7v T7u,LA 7lmi
Gl. (3.1.-34)
Gl. (3.1.-35)
Gl. (3 .1.-36)
Gl. (3.1.-37)
Gl. (3.1.-38)
Mit den angegebenen Wirkungsgraden kann eine Wirkkette für Turbinen aufgestellt
werden.
p 1Ji = t = 11u,I.E ·7Jv ·7Ju,LA ·7Jmi
f
p 7Je = pe = 71u,I.E • 11v ·7Ju,LA ·7Jmi ·7Jma
f
Bild 3.6.: Wirkkette für Turbinen
3.11
3.2 Die Pumpen- bzw. Kompressorstufe
3.2.1 Energiefluß
Für eine Pumpe bzw. einen Kompressor mit nachgeschaltetem Leitrad kann mit dem in
Bild 3. 7 beispielhaft für einen einstufigen Radialkompressor dargestellten Energiefluß
schema analog zur Herleitung der Gleichungen für die Turbine die Energiewandlung be
schrieben werden.
Bild 3.7: Funktions- und Energieflußschema einer Pumpe bzw. eines Kom
pressors
An Hand der in Bild 2.1 festgelegten Indizierung wird die in jedem dargestellten Knoten
des abstrahierten Stufemnodells erfolgende Leistungsverzweigung vom Eintritt in bis
zum Austritt aus der Stufe angegeben. Die einzelnen Energieströme werden verein
barungsgemäß positiv gezählt.
Die der Maschine an der Antriebswelle zur Verfügung gestellte effektive Leistung P e
GI. (3.2.-1)
wird aufgrund der an den Lager- und Dichtsitzen auftretenden Triebwerksverlustleistung
c:i> RT verringert. Die Innenleistung Pi ergibt sich zu:
GI. (3.2.-2).
3.12
Durch die Verlustleistung aus der Radreibung <i> RR reduziert sich diese auf die am Lauf
rad zur Verfügung stehende Radleistung PR
GI. (3.2.-3).
Die im Rad aufgebaute Druckdifferenz bewirkt, daß ein Teilstrom rhsp aus dem Förder
strom als Spaltstrom rhsp durch die Spalte wieder in den Saugraum zurückströmt. Die
Teilstromleistung <i> sp dissipiert in den Spalten. Das Laufrad wird von dem
Massenstrom rh + rhsp durchströmt.
Für die Radleistung gilt daher:
GI. (3.2.-4).
Die am Laufrad vorhandene Umfangsleistung Pu LA läßt sich aus der Radleistung PR und '
dem Dissipationsstrom des Laufrades <i> 12 bestimmen.
GI. (3.2.-5)
und
GI. (3.2.-6),
GI. (3 .2.-7).
Entsprechend gilt für die Umfangsleistung des von dem Massenstrom rh durchströmten
Leitrades p u,LE:
GI. (3.2.-8),
wobei der Spaltdissipationsstrom <D Sp den Zusammenhang zwischen den Umfangs
leistungen von Lauf- und Leitrad P u,LA bzw. P u,LE herstellt:
GI. (3.2.-9).
Die an das Fluid übertragene Förderleistung P f ergibt sich schließlich aus der um den im
Leitrad auftretenden Dissipationsstrom <±>34 reduzierten Umfangsleistung des Leitrades
puLE: '
GI. (3.2.-10)
und
<1>34 cp34 = -.-.
m
PJ = m. wr = n-z[ ( htA t -htE]
3.13
GI. (3.2.-11).
Die spezifische Gesamtdissipation zwischen Ein- und Austritt <pEA läßt sich schreiben
als: GI. (3.2.-12).
3.2.2 Darstellung der Gefalle
Ergänzend zur Beschreibung des Energieflußes sind in Bild 3.8 das h,s-Diagramm der
Stufe und in Bild 3.9 das Energieflußbild des Kompressors angegeben.
t h
s--....
Bild 3.8.: h, s- Diagramm einer Kompressorstufe
Diese Darstellung als spezifische Größen enthält nicht alle Verluste
( cD RT' cD Sp ' · .. )
Die h,s-Diagramme von Turbine und Kompressor sind direkt vergleichbar, Bild 3.5 und
Bild 3.8, wenn man den Kontrollraumeintritt (Turbine 4, Kompressor 1), also den
Energiewandlungsbeginn (Durchflußrichtung) beachtet.
\
'
3.14
'-r----------~----~~
a..-
Bild 3.9: Energieflußbild eines Kompressors
3.2.3. Deimition der Wirkungsgrade (Wirkkette)
Entsprechend den im vorhergehenden Abschnitt für Turbinen definierten Wirkungs
graden lassen sich mit den zuvor beschriebenen Verlusten die Wirkungsgrade von
Pumpen und Kompressoren definieren:
- der äußere mechanische Wirkungsgrad 'llma
3.15
( <D RT) 'fl,w = 1-p
e
GI. (3.2.-13)
- der innere mechanische Wirkungsgrad llmi
'flni:= ( ;) I
GI. (3.2.-14)
-der Umfangswirkungsgrad des Laufrades llu,LA
(P,,LA)
"l,,LA : = PR
GI. (3.2.-15)
-der volumetrische Wirkungsgrad llv
TJv:= (P,,,LEJ P,,,LA
( <Dsp J ( in J 17, = 1-- = v P,I,LA fn + fnSp
GI. (3.2.-16)
-der Umfangswirkungsgrad des Leitrades llu,LE
'fl,,LE: = ( :f J 11,LE
( <1>34 J -1--"l,,LE- p
11,LE GI. (3.2.-17).
Aus diesen Wirkungsgraden lassen sich der Innenwirkungsgrad lli und der effektive Ge
samtwirkungsgrad lle angeben zu:
- der Innenwirkungsgrad lli
"l:=(;) I
GI. (3.2.-18)
'li = 'lu,LE 'lv 'lu,LA 'lmi GI. (3.2.-19)
3.16
der effektive Gesamtwirkungsgrad 'lle
Gl. (3.2.-20)
Gl. (3.2.-21)
Gl. (3.2.-22).
Mit den angegebenen Wirkungsgraden kann ebenso wie für die Turbinen eine Wirkkette
für Pumpen und Kompressoren aufgestellt werden.
Man beachte dabei die Indizierung des Strömungsweges, z.B. wird aus
<p43 <p34 usw.
__!]_ R _ Pu,LA _PR p. = =...JUI - I
pf llu,LE Pu,LE PLtLE ~V Pu, LA 'D.LA
'luLÄ PR R 'lmi-~ p 11ma -p;-Pe
=L ~34 ~S[! -1 ~12 R •
=L <i>RT =1_ ~RR I
=1_ Pu,LE Pu,LA
----PR ~ pe
Bild 3.10.: Wirkkette für Pumpen und Kompressoren
4.1
4. Aktions- und Reaktionswirkung
Die Wandlung der Fluidenergie in mechanische Energie oder umgekehrt innerhalb der
Schaufelgitter kann durch zwei verschiedene Arbeitsverfahren erfolgen: einmal durch das
Gleichdruckverfahren, die Aktionswirkung, und zum anderen durch das
Überdruckverfahren, die Reaktionswirkung. In einer Maschine werden oft beide V erfahren
angewendet.
Dieser Unterschied tritt besonders anschaulich bei Turbinen auf, deshalb soll er am Beispiel
der Turbinen erläutert werden.
Man unterscheidet bei den Turbinen die
Hauptgruppen
-Gleichdruckturbinen (Aktionsmaschinen)
- Überdruckturbinen (Reaktionsmaschinen).
4.1. Gleichdruckturbinen (Aktionsmaschinen)
Bei dem Gleichdruckverfahren wird das ganze Druckgefälle einer Stufe im Leitrad (hier als Düse ausgebildet) in kinetische Energie umgewandelt. Der mit der Geschwindigkeit c3 aus-
tretende Fluidstrahl wird in den folgenden Laufschaufelkanälen bei gleichem Druck so umge
lenkt, daß er die Stufe möglichst drallfrei verläßt. Die dabei entstehende Dralländerung
bewirkt nach GI. (2.5.-7) u.a. die Energiewandlung im Laufrad.
Die Laufschaufelkanäle haben emen gleichbleibenden Querschnitt, d.h., der
Eintrittsquerschnitt ist gleich dem Austrittsquerschnitt; im Laufschaufelkanal findet keine
Entspannung des Fluids statt, beim Gleichdruckverfahren herrscht vor und hinter dem Laufrad
gleicher Druck. (Mit dem Gleichdruckverfahren lassen sich in jeder Stufe verhältnismäßig
hohe Enthalpiegefälle verarbeiten, so daß sich für eine Gleichdruckturbine nur eine relativ
geringe Stufenzahl ergibt.)
Bild 4.2. zeigt den Strömungsverlauf in einer Gleichdruckstufe. Die gesamte Eintrittsdruck
energie wird im Leitrad (LE) in Geschwindigkeitsenergie gewandelt, d.h., cmax = c3 • Aus dem
Verlauf der Relativgeschwindigkeit, lw2 1 = lw11, kann die notwendige Laufschaufelfenn leicht
abgelesen werden (Hakenschaufel). Um keine Relativgeschwindigkeitsänderung zuzulassen,
müssen die Kanalquerschnitte konstant bleiben.
4.2
a. b c d
---·--·-€""""""· )
Bild 4.1: Gleichdruckstufe mit einem einkränzigen Gleichdrucklaufrad a) Dampfzuführung b) Düse c) Laufrad d) Dampf e) Wellendichtung f) aufgeschrumpfte Radscheibe
LE LA 4 2
t p,c
c, \
Wv' \ \ I..--, ,w
1 u
I ' ' \ I I \ \ I I :a&\
I I "\
p---q I \ C
I \ ! I \ I \
\ \ \
4 3 2 ,___. \
\
Bild 4.2: Druck- und Strömungsverlauf in einer Gleichdruckstufe, r = 0
4.3
Wasserturbinen verfügen häufig über freie Schaufeloberflächen, die die Forderung nach einem
unveränderten Kanalquerschnitt von selbst erfüllen. Gleichzeitig werden die Reibungsverluste
<l>R.R. vermindert.
Da am Ein- und Austritt der Schaufel gleicher Druck herrscht, können Aktionsmaschinen auf
Teilen des Laufradumfangs, also partiell, vom Fluid beaufschlagt werden. Man macht von
dieser Möglichkeit bei Teillast-Massenströmen und großer spezifischer Arbeit Gebrauch.
4.2. Überdruckturbine (Reaktionsmaschinen)
Beim Überdruckverfahren wird das Druckgefälle sowohl im feststehenden Leitschaufelkanal
als auch im Laufschaufelkanal umgesetzt. Die Entspannung des Fluids erfolgt häufig im
Verhältnis 1: 1. Der Druck p3 = p2 an der Laufschaufeleintrittsseite ist hier größer als der
Druck PI an der Austrittsseite. Bei Überdruckturbinen erhält demnach c3 = c2 nicht den
Größtwert, weil im Leitrad eine geringere (im Vergleich zu Gleichdruckturbinen)
Druckenergie in Geschwindigkeitsenergie gewandelt wird.
LE LA 4
u
-- \ .......... \
'\ ,, \\
\ \ \
\ W,'
u
Bild 4.3: Druck- und Strömungsverlauf in einer Überdruckstufe, r = 0,5
Bei Überdruckturbinen ist eine partielle Beaufschlagung nicht zulässig, da bei Überdruck
und partieller Beaufschlagung durch die nicht beaufschlagten Laufschaufelkanäle ein
Druckausgleich zwischen den Drücken p3 und PI entstehen würde.
4.4
Im Schaufelkanal muß die Relativgeschwindigkeit von w2 auf w1 beschleunigt werden, um
eine Druckenergieabnahme zu erreichen.
4.3. Reaktionsgrad
Der Reaktionsgradbegriff kennzeiclmet die Quantität der Energiewandlung im rotierenden
System, also im Laufgitter. Nur im rotierenden System ist es möglich, Energie in das System
Strömungsmaschine einzubringen (Pumpe, Kompressor) oder, wie bei der Turbinenströmung,
ihm zu entziehen.
Der Grad der Reaktion- d.h., die erzielbare bzw. abbaubare Druckenergie im Laufrad bezogen
auf das gesamte Energiegefälle dieser Stufe (Leitrad plus Laufrad) - wird in einen Zahlenwert
zwischen 0 und meist < 1 gefaßt
Gl. (2.5.-11) erlaubt die Unterteilung der gewandelten Energie im rotierenden System, in
emen
dynamischen und in einen
statischen Anteil, der bei Axialmaschinen aus der Relativgeschwindigkeitsänderung
entsteht, er wird häufig als spezifische Spaltdruckenergie im Kreiselpumpenbau be
zeichnet (s.a. relative Fonn der Hauptgleichung).
Aus Gl. (2.5.-11) folgt die Aufteilung der Energiewandlungsanteile (oberes Vorzeichen für
Pumpen und Kompressoren)
2
WR,stat = ± (/~ - hl) = ± f vdp + rp12
1
mit rp12 ;:::: 0
Dies ist der als Druckenergie vorliegende Anteil an der Radarbeit
Gl. (4.3.-1).
Der Begriff "Reaktionsgrad" kennzeichnet den Anteil der spezifischen Druckarbeit an der ge
samten spezifischen Radarbeit Es ist:
vVR,stat Gl. ( 4.3 .-2).
Setzt man in Gl. (4.3.-2) den statischen Anteil der Gl. (2.5.-11) ein, so wird
r ~-w;+u;-u;
2 (~ c21l - t~ c;ll)
4.5
GI. (4.3.-3)
und mit den häufig verwirklichten Annahmen konstanter Meridiangeschwindigkeiten im
Schaufelkanal (c1m = c2m) sowie drallfreier Zu- (Pumpe) bzw. Abströmung (Turbine) zum
bzw. vom Schaufelkanal (a1 = 90°, c1u = 0) kann man schreiben:
GI. (4.3.-4).
Für Axialmaschinen ist eine modifizierte Fonnulierung des Reaktionsgrades wegen u1 = u2 =
u gebräuchlich.
Aus den Geschwindigkeitsplänen nach Bild 4.4., mit GI. (4.3.-3) sowie w111 ,c111 = const. wird:
[ W111 - w2.J [will + vv2,J
2u [ w11l - w2.J 2u
wenn w"'ll := ~ (w111 + w2J, Bild 4.4., gilt also:
r = lwooul u
GI. ( 4.3 .-5).
Gleich- und Überdruckschaufelfonn, wie in Bild 4.2. und 4.3. gezeigt, sollen noch eimnal fiir
verschiedene Reaktionsgrade von Turbinen- und Pumpen bzw. Kompressoren zusammen
gestellt werden, Bild 4.5. und Bild 4.6.
Mit GI. (4.3.-4) folgt fiir die Radarbeit eine Reaktionsgradabhängigkeit Für eine drallfreie
Laufradabströmung (c1u = 0) vereinfacht sich die Hauptgleichung zu:
und daraus
I w R = ( 1 - r) 2 ui I GI. (4.3.-6).
4.6
u
Bild 4.4: Geschwindigkeiten am Laufrad einer Axialmaschine (c1m = c2m)
4l~4
h i l j
1 p1=p2=p3 s
11 h~i4
I P2=p3
! p1 s
( (
;:::=,) }~: hl y.·p, -ss: L2:: s
Bild 4.5: Geschwindigkeitspläne, Schaufelformen von Lauf- und Leitrad mit dem zu
gehörigen h,s-Diagramm für verschiedene Reaktionsgrade von Axialturbinen
4.7
Die Umfangsgeschwindigkeit kann heute bei hoch beanspruchten Maschinen nur noch durch
höherwertige Werkstoffe gesteigert werden. Somit steigt bei fallendem kinematischen Reak
tionsgrad die spezifische Radarbeit des Gitters. Daraus folgt fiir Gleichdruckmaschinen eine
geringere notwendige Stufenzahl bei vorgegebenem Gefälle, als bei Maschinen mit Reak
tionswirkung. Konstruktive und regelungstechnische Gesichtspunkte bei mehrstufigen Tur
binenanlagen fiihren meist zur Anwendung von Gleich- und Überdruckstufen in einem Tur
binengehäuse.
h ~' 2 3
4 s
h p, e~,
s w""'
u
(:?=:v' r=0,85 h
s
s
r=l.3 h
s
Bild 4.6: Geschwindigkeitspläne, Schaufelformen von Lauf- und Leitrad mit dem zu
gehörigem h,s-Diagramm für verschiedene Reaktionsgrade von Axial
kompressoren
4.8
Für die Auswahl der Pumpen- und Kompressorengitter muß berücksichtigt werden, daß die
Verzögerung der Strömung im rotierenden System weniger dissipativ erfolgt, als im fest
stehenden Leitkanal. Deshalb werden Reaktionsgrade < 0,5 nur selten ausgeführt. Eine ge
nauere Betrachtung der Verhältnisse soll am Beispiel eines Kreiselpumpenradialrades
erfolgen.
Dazu trägt man über dem Geschwindigkeitsverhältnis c2u /u2 (einen Wert, der mit u; multipli
ziert gerade die Radarbeit bei drallfreiem Eintritt ergibt) die mit u; I 2 dimensionslos
gemachte Radarbeit auf. GI. (4.3.-6) umgestellt ergibt die Darstellung:
WR = 4 (1- r) ui
GI. ( 4.3 .-7),
2
so daß Geschwindigkeitspläne, spezifische Radarbeiten und die Reaktionsgrade gemeinsam
als Funktion der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit c2u untersucht werden
können.
KellllZeichen der Geschwindigkeitspläne ist der Strömungswinkel ß2 (Austrittswinkel,
Schaufelwinkel bei schaufelkongruenter Strömung).
Mit sinkendem Austrittswinkel ß2 (E ~ F ~ G ~ H), Bild 4.7., sinkt die wandelbare spezifi
sche Radarbeit, danach wäre r = 0 ein erstrebenswertes Ziel. Dieser scheinbare Vorteil läßt
sich im Pumpenbaujedoch nicht nutzen. Das zeigt die folgende Betrachtung:
Die Radarbeit beinhaltet, wie in GI. (2.5.-11) angegeben, einen dynamischen und einen stati
schen Energieanteil in der relativen Fonn der Hauptgleichung.
- - + c2 - cl wl - w2 u2 - ul [
2 2 [ 2 2 2 2)] WR - WR,dyn + WR,stat - -
2 +
2 +
2
für den statischen Anteilläßt sich hier schreiben
wR,stat = r wR und mitGl. (4.3.-7) wird
2wR,stat = 4 r (1 - r) ui
GI. ( 4.3 .-8).
GI. (4.3.-8) in Bild 4.7. eingezeichnet ergibt eine Parabelform mit den Nulldurchgängen
c2u /u2 = 0 und c2u /u2 = 2, sowie ein Maximum bei r = 0,5 und ß = 90°.
t r
4.9
~-------------------c~=2u~2 ------------------~ ~---------c2~u~2--------~~~
~---------uz-r--------~
0
G F E
~
-·[·-·-·-·-·-·-·-·-·-·]·-·· -~--
E
i I I I I I I 2WR I I~ I 4 2
I I
+3 I I .l.2 I I I
t1 I
Bild 4.7: Zuordnung von Reaktionsgrad, Radarbeit und Schaufelform bei drallfreier
An- bzw. Abströmung (clu = 0)
Die Radarbeit bei r = 0 bedeutet wR = wR,dyn und damit ist keine Druckwandlung im Laufrad
möglich, die Hakenschaufeln kennzeichnen diese Gleichdruckwirkung. Der Druckaufbau in
der Maschinenstufe geschieht somit nur durch die Verzögerung der Absolutgeschwindigkeit
4.10
im Leitrad. Aufgrund des festliegenden maximalen Diffusoröffnungswinkels sind sehr groß
bauende Maschinen die direkte Folge. Im Verhältnis zur insgesamt wandelbaren Arbeit wR er
geben erst Austrittswinkel ß2 ~ 90° (rückwärts gekrümmte Schaufeln) einen hinreichend
hohen statischen Energiewandlungsanteil wR stat im Laufgitter, so daß im Pumpenbau Werte '
von
0,5 < r< 0,85
ausgeführt werden.
4.4. Vergleich der Arbeitsverfahren
Zur Übersicht sollen von den beiden Arbeitsverfahren die unterschiedlichen Merkmale aufge
zählt und gegenübergestellt werden.
Gleichdruckverfahren Überdruckverfahren
Inden Düsen bzw. im Leitrad wird das ganze In den Düsen bzw. dem Leitrad wird nur ein
Energiegefälle einer Stufe in Geschwindig- Teil des Stufengefälles in Geschwindigkeits-
keitsenergie umgesetzt. energieumgesetzt (der Rest im Laufrad).
Vor und hinter emer Laufschaufelreihe Vor emer Laufschaufelreihe herrscht em
herrscht gleicher Druck. größerer Druck als dahinter.
Kein Axialschub. Axialschub vorhanden, Ausgleich notwendig.
Teilweise Beaufschlagung möglich. Volle Beaufschlagung erforderlich.
In den Laufschaufeln wird der Fluidstrahl nur In den Laufschaufeln wird der Fluidstrahl
umgelenkt. umgelenkt und ein Teil des Stufengefälles in
Geschwindigkeitsenergie umgesetzt.
Verarbeitung eines großen Enthalpiegefälles Je nach Stufe kann nur ein kleines Enthalpie-
je nach Stufe möglich, daher geringe Stufen- gefälle verarbeitet werden, daher große
zahl. Stufenzahl
Weniger guter Umsetzungswirkungsgrad. Guter Umsetzungswirkungsgrad.
Gleichdruckschaufeln sind stark profiliert. Überdruckschaufeln sind schwach profiliert.
Der Schaufelkanal besitzt einen etwa gleich- Der Schaufelkanal ist zum Dampfaustritt hin
bleibenden Querschnitt. verengt (Düsenwirkung).
Kammerbauweise, Zwischenböden und Trommelbauweise, Laufschaufeln, keine
Düsen. Zwischenböden.
5.1
5. Axiales Laufgitter und Einzelflügel
5.1. Tragflügeltheorie
Die bisherigen Berechnungen gingen von einem Schaufelgitter mit unendlich enger Teilung
aus. Die theoretischen Überlegungen sind nur dann auf die reale Strömung übertragbar, wenn
die Schaufeln tatsächlich sehr eng beieinanderstehen (vgl. "Einfluß der endlichen
Schaufelzahl"). Axialräder mit hohem Reaktionsgrad implizieren auch hohe
Relativgeschwindigkeiten (Bild 5.1.), d.h., die Kanalreibung wächst an. Deshalb ist man
genötigt, mit weniger Schaufeln am Radkranz auszukmmnen, so daß sich die Schaufeln häufig
nicht mehr überdecken und der Schaufelkranz in axialer Richtung "durchsichtig" wird. Da
nun keine eigentlichen Schaufelkanäle mehr vorliegen, kann die Energieübertragung dann
sicherer durch die Tragflügeltheorie beschrieben werden.
Wird ein Tragflügel von einem reibungsbehafteten, inkompressiblen Medium mit der Relativ
geschwindigkeit w 00 an geströmt, wirken auf ihn zwei Kräfte verschiedener Qualität.
Die Auftriebskraft (Querkraft)
Gl. (5.1.-1)
nach dem Satz von Kutta-Joukowsky senkrecht zur Strömungsrichtung und die m
Strömungsrichtung wirkende
Widerstandskraft
Hierbei sind
Ps der Staudruck
A die Fläche
p 2 Ps = - Woo
2
A=bl
Gl. (5.1.-2).
c A und cw zwei Beiwerte, deren Größe durch Versuche zu e1mitteln ist. Sie sind bei vorgege
benem Profil außer von dem Anstellwinkel auch von der Reynold-Zahl
Re w ·1 = _oo_ Gl. (5.1.-3)
V
abhängig.
5.2
Saugseite = Unterdruck
Bild 5.1: Strömungskräfte und Druckverteilung an einem Tragflügel
Der Auftrieb ist an das Vorhandensein einer Zirkulation gebunden. Die Zirkulation entsteht
auf folgende Weise:
Ist die Strömung in Ruhe, ist die Zirkulation um den Flügel identisch Null. W e1m sich
der Tragflügel in Bewegung setzt, entsteht im ersten Moment die zirkulationsfreie Um
strömung. Dabei liegt der hintere Staupunkt Sh z. B.auf der Flügeloberseite in der Nähe
der Hinterkante K. Diese wird scharfumströmt.
5.3
Nach der Bemoullischen Gleichung entsprechen diese hohen Übergeschwindigkeiten
einem niedrigen Druck bei der scharfen Hinterkante K. Von Sh CPmax ) nach K (Pmin)
kommt es zu einem hohen Druckgradienten. Das führt in kurzer Zeit nach Ausbildung
der Grenzschicht zur Strömungsablösung (Grenzschichtablösung) mit Rückströmen,
d.h., zur Ausbildung einer instabilen Unstetigkeitsfläche, die sich zu einem Wirbel
aufrollt.
Dieser Wirbel, der nach den Wirbelsätzen an das Fluid gebunden ist, bleibt stehen,
während sich der Tragflügel entfernt. Man nennt ihn den Anfahrwirbel (- I'); seine
Stärke wird durch die Abflußbedingungen an der Hinterkante des Flügels bestimmt IO).
Nach dem Satz von Thomson muß sich als Kompensation für-rein entgegengesetzt
ausgerichteter, gleich großer gebundener Wirbel r um den Tragflügel bilden. Das ist
aber der "tragende" Wirbel, der die Tragflügelzirkulation hervorbringt, Bild 5.2.
Danach ist ein Auftrieb nur möglich, wenn um den tragenden Körper, den Tragflügel, eine
Zirkulation und gleichzeitig eine parallele Allströmung mit der Geschwindigkeit w 00
vorhanden ist.
Gl. (5.1.-4)
Gl. (5.1.-5).
Da die Zirkulationsströmung auf der Oberseite, Bild 5.2. mit der Parallelströmung und auf der
Unterseite in der Gegenrichtung (- w 00 ) verläuft, entstehen an der Oberseite größere Ge
schwindigkeiten, d.h., nach der Bemoullischen Gleichung (reversibler Fall) oder nach der
10) Nach Thomson (Lord Kelvin) ist in einem Fluid die Zirkulation r = f c d s längs einer geschlosse
nen Linie zeitlich konstant, wenn auf das Fluid nur Massenkräfte wirken, die sich von einem Potential ableiten lassen (konservative Kräfte).
5.4
Energiegleichung für Strömungsprozesse (irreversibler Fall) herrschen auf der Unterseite
Überdrücke und auf der Oberseite Unterdrücke.
Bild 5.2: Umströmung eines Tragflügels
Zur Berechnung der resultierenden Strömungskraft F ist die Kenntnis der Beiwerte cA und
cw notwendig. Beide Werte sind von der Prof1lform und der Stellung des Profils zur
Anströmrichtung w 00 , dem Allströmwinkel 8, abhängig.
Das Polarendiagramm, Bild 5.3, macht die Zusammenhänge deutlich.
Trägt man cw als Abzisse, c A als Ordinate auf, erhält man eine von Lilienthai stammende
Darstellung, die den Vorteil hat, daß die Verbindung eines Kurvenpunktes mit dem Nullpunkt
immer die Richtung der Resultierenden angibt.
Der Winkel dieser Verbindungslinie gegen die c A - Achse ist 'A und die Gleitzahl E ist durch
c R & := tanA- = _Tf_ = _.!!::_ Gl.(S.l.-6)
CA FA
definiert. Unter diesem Winkel gleitet em motorloses Flugzeug zu Boden ('A =
"Reibungswinkel"). Die Tangente von 0 aus an die Polare ergibt (E)min. Für den reversiblen
Fall ist E = 0.
5.5
Auftrieb und Widerstand ändern sich mit dem Anstellwinkel 8, Bild 5.3., cw nimmt mit 8
etwa quadratisch zu.
w..,
a) b) Amin
t 1,2 1,2
t t Q8 CA Ö=Ü 0
cw CA ö=-4°
Q4
Bild 5.3: a) Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte eines Prof"Ils b) "Polarendiagramm"
Das deutliche Absinken des Gradienden dc A für 8 ~ 8° zeigt das beginnende Abreißen der dcw
Strömung an.
In Bild 5.4 sind das Kräftegleichgewicht beim Gleitflug und Flugzustände eines Flugzeuges
bei Vollgas- und Leerlaufzustand dargestellt. Die Polaren sind abhängig von der Reynolds
Zahl.
5.6
t + c"
- c,.
1
Kurvenflug Landung
--~ ....... ' ' '\ (\
Reiseflug ( Sparflugl(fA-) 'fl fii:IX
Bild 5.4: Kräftegleichgewicht beim Gleitflug und Flugzustände eines Flugzeuges bei Vollgas- und Leerlaufzustand, [11]
5.2. Anwendung der Tragflügeltheorie auf das axiale Laufrad
Im Gegensatz zum Tragflügel mit W00
ändert sich bei der Duchströmung des Gitters die
Richtung und Größe der Relativgeschwindigkeit Man kann aber die Kräfte auf das Gitter
näherungsweise durch Einführen von
1 (- - ) ·-- w1 + w7 2 - GI. (5.2.-1)
nach der Tragflügeltheorie bestimmen, Bild 5.6., was durch Messungen bestätigt wird. Es ist
aber durch die gegenseitige Nachbarschaft der Profile eine Änderung der Zirkulation und
somit der c A- Beiwerte zu erwarten. Aus der Parallelströmung ist ja eine durch das Gitter um
gelenkte Strömung geworden.
Für den einfachen Fall eines Gitters aus ebenen und oo-dünnen Platten, die unter 8 angestellt
sind, konnten die Auftriebsbeiwerte abhängig von der Gitterdichte, d.h. der Teilung t/1, ge
funden werden, Bild 5.5.
Werte von cA /cAl < 1 (cAl =Beiwerte der Einzelplatte) ergeben eine negative Wirkung durch
die Nachbarplatte, Werte cA /cAl > 1 eine positive.
1 CA
CA1
2.5
2.0
1,5
1.0,
0.5
o~----._----~----~--~ 2 3
_t ----i ... ~ l
5.7
u
~c
-~~~~~
Bild 5.5: Auftriebsbeiwerte eines Gitters, abhängig vom Anstellwinkel und der Teilung [8]
--2
Bild 5.6: Strömungskräfte im Gitterverband
Demnach bewirken Anstellwinkel 8 < 40° bei cA /cAl > 1 eine erhebliche Vergrößerung des
Auftriebes. Dieses Ergebnis wird in der realen Turbinenströmung bestätigt.
5.8
Die von der Strömung auf die Schaufel des Gitters ausgeübte Kraft ist die Resultierende F aus FA und Fw, also
Die Kräfte FA und F schließen den "Reibungswinkel"/.., ein. Die Resultierende F wird nun
der Gitterlaufrichtung entsprechend in eine Nonnal- und eine Umfangskomponente zerlegt.
Offenbar gilt für die Axial- oder Normalkomponente bei einer Schaufel
F,, = FA cos ßoo + F;v sin ßoo = ~ cos Cßoo ± A) COSA
(das obere Vorzeichen gilt für die Pmnpe, das untere für die Turbine).
Bild 5.7: Kräfte auf die Schaufeln bei Turbine (a) und Pumpe (b)
F F,, = F COS (ßoo ± A) = _A_ COS (ßoo ± A) COSA
_ P 2 b l COS (ßoo ± A) - CA Woo
2 cos -1
und folglich für die Druckdifferenz P2- PI
F,, F,, p 2 f COS (ßoo ± A) P2 - PI = - = - = c A - w -
A b t 2 oo t cos A,
Gl. (5.2.-2)
Gl. (5.2.-3)
Gl. (5.2.-4).
5.9
Die Umfangskomponente errechnet sich analog zu Fn aus
F,, = FA sin ßoo ± Fw COS ßoo = _!A_ sin Cßoo ± /L) cos /L
F,, = F sin (ßoo ± /L) = _!A_ sin (ßoo ± /L) cos /L
= CA P w~ b l sin (ßoo ± /L) 2 cos /L
GI. (5.2.-5)
GI. (5.2.-6).
Bei der Anwendung dieser Gleichung auf beschaufeite Laufräder muß beachtet werden, daß
sich nicht nur eine Schaufel in einer ungestörten Strömung befindet, sondern mehrere
Schaufeln, die jede einzeln einen Einfluß auf die Umströmung der anderen ausübt, d.h., cA
muß korrigiert werden, entsprechend den Verhältnissen des ebenen, oo- dü1men Gitters (nach
Bild 5.5.).
Berechnet man die Umfangskomponente Fu über die Differenz der Impulsströme
F,, = jltt - j2tt
= rh w1 cos ß1 - 1n w2 cos ß2
= ri1 (w1"- w2") = p V (w1"- w2")
= pb t W 111 (w1"- W2")
= p b t C111 ( c2" - c1")
so ergibt sich für die Radarbeit mit GI. (5.2.-7) und wR = u (c2u- clu)
und mit GI. (5.2.-6)
u c A w~ l sin (ßoo ± A) WR = ± ---'-'------=---_:_:___:::------'---
2 C111
t cos /L
5.3. Das Schaufelprom
GI. (5.2.-7),
Gl.(5.2.-8)
GI. (5.2.-9).
Die Schaufelkontur beeinflußt die Beschleunigung des Fluids beim Eintritt in das Schaufel
gitter. Wann ist eine Pro:filierung lohnend? Der Strömungsmaschinenbau kann die
5.10
Erkenntnisse einer vorteilhaften Schaufelprofilierung nicht in jedem Fall nutzen, weil hier
kleine Re-Zahlen auftreten.
Die Tragflügelströmung reißt bei Überschreitung gewisser Anstellwinkel an der Saugseite
(Unterdruck, oben) ab. Dann gelten die abgeleiteten Beziehungen nicht mehr.
Beispiel
Ab Re-Zahlen < 1 os verhält sich die gewölbte Schaufel besser als die profilierte, Bild 5.8.
Grund:
Bei der gewölbten Schaufel bildet sich sofort eine turbulente Grenzschicht aus, die einen
steileren Druckanstieg als eine laminare vertragen kann.
ebene Platte
417a
Emin
0 60 80 100 120 140 160 180 ·1if Re
Bild 5.8: Gleitzahlen von Profilen und einer ebenen Platte [3]
Beschleunigungen (Turbinen) und Verzögerungen (Pumpen) werden bei der
Gitterprofilierung ohne Ablösung und somit verlustann erreicht. Bild 5.9. zeigt die
Veränderung einer gleichmäßig angenmmnenen Relativ-Geschwindigkeit w 0 entlang eines
mittleren Stromfadens. Bei dem nicht profilierten Gitter kommt es zu ungewollten
erheblichen Verzögerungen im Ein- und Austrittsbereich des Schaufelkanals von a bis d.
5.11
.-·-........ ./"'" . "-.._
Wm=const . Wm"/-Const
' Bild 5.9: Prolilierung der Schaufelgitter für verlustarme Strömung [4]
links: ohne Proitlierung
rechts: mit Proitlierung
6.1
6. Maschinenkennzahlen
6.1. Ähnlichkeit
Komplexe Strömungszusammenhänge lassen sich äußerst selten geschlossen mathematisch
behandeln. Dazu kommt, daß halbempirisch gefundene Maschinenkonstruktionen mit hohen
Wirkungsgraden nicht strömungstechnisch beschreibbar, sondern primär nachbaubar sein
sollen, z.B. in anderen Leistungsbereichen. Maschinen großer Leistungen sollten zunächst in
Modellgröße untersucht und entwickelt werden, um dann sicher in die Großausführung umge
setzt werden zu können. Solche Maschinen müssen geometrisch ähnlich sein, um die
gewonnenen Ergebnisse übertragbar zu machen. Die Übertragbarkeit soll mit Kennzahlen
erreicht werden, die unabhängig von der Maschinengröße ilmner denselben Wert haben.
Solche Kennzahlen müssen bestimmten Forderungen genügen, um die so beschriebenen
physikalischen Vorgänge gleich bleiben zu lassen. Zusätzlich sollen die Kennzahlen eine
Einordnung der Strömungsmaschinen ermöglichen.
Jede physikalische Größe ist durch die Angabe von einer Maßeinheit (Einheit) und einer Maß
zahl (Zahlenwert) festzulegen. Die Maßeinheit erlaubt eine Aussage über die Art (Dimension)
dieser Größe im physikalischen Sinne.
Die Dimensionslehre zeigt, daß sich alle physikalischen Größen auf wenige Grundgrößen
zurückführen lassen. In der Mechanik kommt man mit den Angaben von Massen (m), Längen
(1) und Zeiten (t) aus. Alle anderen physikalischen Größen (z.B. Flächen, Spannungen,
Formänderungsenergien, Geschwindigkeiten, Dehnungen) lassen sich daraus ableiten; sie
heißen abgeleitete Größen, wie z.B. Geschwindigkeit (1 t-1 ).
Zustände oder Vorgänge sind einander physikalisch ähnlich, wenn die Verhältnisse ihrer be
schreibenden Größejeweils paarweise übereinstilmnen. Voraussetzung ist, daß die Größen für
beide Fälle in einander entsprechender Weise definiert sind, insbesondere, daß Otisangaben
auf analoge charakteristische Längen und Zeitangaben auf analoge charakteristische Zeiten be
zogen sind.
Am Beispiel eines Schaufelgitters soll das Geforderte für die Mittenschnittsrechnung erläutert
werden.
Die Hauptgleichung der Strömungsmaschinen stellt die Energiewandlung (physikalischer Vor
gang) in einen Strömungsgeschwindigkeitszusammenhang (1 t-), der durch Geschwindigkeits
pläne dargestellt werden kann.
6.2
Bei drallfreier Saugseite (c1u = 0) ist
xk=
I ,.__ ___ c2u -----..1
Diese Geschwindigkeiten u2 und c2u , wie alle übrigen, kö1men als Geschwindigkeits
verhältnisse ausgedrückt werden, die dann unverändert bleiben, wenn man die Geschwindig
keiten um den gleichen Maßstabsfaktor verändert. Das in Bild 4.7. angegebene Verhältnis c2u
/u2 bleibt beispielweise unverändert, wenn man bildet:
C?, =kc? u11d u2' =ku2 -" -11
Gl. (6.1.-1).
Für die spezifische Radarbeit wird so
Gl. ( 6.1.-2).
Durch solche Maßstabsfaktoren bleiben die Geschwindigkeitspläne kinematisch ähnlich, d.h.,
es bleiben auch die Winkel der Absolutströmung a = a' und der Relativströmung ß = ß' kon
stant.
Strömungsvorgänge in ein und derselben Maschine oder in zwei geometrisch ähnlichen
Maschinen sind kinematisch ähnlich, wenn die Geschwindigkeitsfelder der beiden
Strömungen geometrisch ähnlich sind.
So läßt sich mit der kinematischen Ähnlichkeitsbedingung von zwei Strömungen die geo
metrische Ähnlichkeit der beiden Strömungszustände bzw. Geschwindigkeitsfelder erzielen.
6.3
Beim Übergang zu einem anderen geometrisch ähnlichen Strömungszustand in der Maschine
gehorchen die auftretenden Irreversibilitäten des Fließprozesses etwa gleichen Gesetzmäßig
keiten, d.h., alle die Dissipation beschreibenden Größen werden in erster Näherung als kon
stant angenommen. Solche Vorgänge nem1t man deshalb unvollständig ähnlich, weil die
noch abzuleitenden KeilllZahlen nicht vollständig übereinstilmnen. Bei der Umrechnung vom
Modell auf die Großausführung spielt die unvollständige Ähnlichkeit eine Rolle, sie wird
durch sog. "Aufwertungsfonneln" berücksichtigt.
Beim Wechsel des Betriebszustandes wird häufig ein unverändert auftretender Verlustbeiwert
vorausgesetzt, also
mit s:.::::: const.
Daraus aber folgt die eingeschränkte Konstanz der Wirkungsgrade. So wird z.B. analog Gl.
(6.1.-2)
Der Geschwindigkeitsmaßstabsfaktor
c' u' w' k:=-=-=-
c u w
erlaubt seine Aufteilung in einen Längenmaßstabsfaktor
L' /1,:=-
L
und einen Zeitmaßstabsfaktor
t' r:=
t
Mit u = rc D n kam1 man nun schreiben:
u' k =
u
Gl. (6.1.-3).
Gl. (6.1.-4)
Gl. (6.1-5)
Gl. (6.1.-6).
Gl. (6.1.-7).
6.4
Das Verhältnis aus dem Längemnaßstabsfaktor, hier ein Durchmessermaßstab, und dem Zeit
maßstabsfaktor, hier ein Drehzahlmaßstab ergibt den Geschwindigkeitsmaßstab k = 'Al T. In
ganz analoger Weise können andere Grundgrößen und abgeleitete Größen beschrieben
werden, z.B.:
Flächen A' = /1} A
Volumen
Volumenströme
spezifische Radarbeit
spezifische Förderarbeil bzw. w; ~ ( ~ )' w1 mit~"~.~const. spezifische Gefällearbeit
Leistungen (bei p = const)
6.2. Kennzahlen
GI. (6.1.-8)
GI. (6.1.-9)
GI. (6.1.-1 0)
GI. (6.1.-11)
GI. (6.1.-12)
GI. (6.1.-13).
Kennzahlen werden zur Charakterisierung des Betriebsverhaltens und für die Bauart von
Strömungsmaschinen verwendet. Allgemein gültig können Kennzahlen nur werden, wenn es
gelingt, maschinenbeschreibende physikalische Größen dimensionslos, also unabhängig von
Massenströmen, Enthalpien, Drücken, Leistungen etc. einzelner Maschinen, darzustellen.
Die Wahl, welche charakteristischen Größen zur Kennzahlbildung herangezogen werden, ist
weitgehend willkürlich. Im Verlauf der Strömungsmaschinenentwicklung haben sich einige
Kennzahlen jedoch als besonders zweckmäßig für eine allgemeine Beschreibung des Betriebs
verhaltens der Bauarten erwiesen.
6.2.1. Maschinenbetriebbeschreibende Kennzahlen
Aus GI. (1.2.-52)
(dw.Jm ~ dh, + d [ ~] + gdz
6.5
und Gl. (1.2.-54)
bezogen auf den Staudruck der Umfangsgeschwindigkeit p t1; definiert man die 2 -
Druckzahl 1f1 : = I wr I u3;_ I 2
häufig auch als Enthalpiezahl bezeichnet.
Gl. (6.2.-1),
Durch die Kreisfläche TC I 4 Di des Laufrades ströme fiktiv das zu verarbeitende Fll!id mit
einer Geschwindigkeit u2 , man erhält so den "Bezugsvolumenstrom"
V .• _ 1CD2 - ~ ? - 4 -
mit dem die
V Volumenstromzahl rjJ := ---
TC D2 Uz 4 2
definiert ist.
Die
Gl. (6.2.-2)
Gl. (6.2.-3)
entsteht aus der V erknüpfung von spezifischer Arbeit und Massenstrom p V = m
P ·1 I +1 e = m wf 'le .
Diese drei Kennzahlen beschreiben hauptsächlich das Betriebsverhalten der Strömungs
maschine.
6.6
6.2.2. Strömungsbeschreibende Kennzahlen (Näheres in der Strömungsmechanik)
Wenn es gelingt, die Strömung in Fluidenergiemaschinen vollständig mit Differential
gleichungen zu beschreiben und eindeutige Lösungen anzugeben, so bilden diese Gleichungen
mit dimensionslosen Variablen die Ähnlichkeitsbeziehungen der Strömung. Häufig können
aber unter den in der Maschine herrschenden Rand- und Anfangsbedingungen keine
eindeutigen Lösungen der Differentialgleichungen angegeben werden.
Die Methode der gleichartigen Größen11) (Fractional Analysis) bietet die Möglichkeit,
physikalische Vorgänge durch voneinander unabhängige Kraftverhältnisse in Keimgrößen
auszudrücken.
Für den Bereich der Strömungsmechanik sind dies besonders häufig die
Trägheitskraft,
Reibungskraft,
Feldkraft,
Druckkraft.
Solche Kräfte lassen sich nun entsprechend ihrer Ursache und Wirkung üruner
durch Grundgrößen ausdrücken, wie
Masse, Länge, Zeit, aber auch
durch abgeleitete Größen wie
Geschwindigkeit
undDruck
oder Stoffeigenschaften
wie Dichte
kinematische Viskosität
oder Feldeigenschaften
wie Gravitationskonstante
c (It-1)
p (ml-1 t-2)
p (ml-3) und
V (}2 t-1),
g (It-2).
II) Zierep, J.: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. G. Braun, Karlsruhe (1972)
6.7
Für die genannten Kräfte ergeben sich die folgenden Proportionalitäten:
?
Trägheitskraft: c-
FT 1
Dimension (It-2)
F ~ vc
Reibungskraft rp 12 Dimension (It-2)
Feldkraft Fg ~ g Dimension (It-2)
Druckkraft FP p
p1 Dimension (It-2)
Von diesen, die Strömungsmechanik wesentlich bestimmenden Kräften können voneinander
unabhängige dimensionslose Verhältnisse angegeben werden:
Trägheitskraft ~ I Re = cvl I I Reibungskraft '-· _____ ...J.._R_eyn_o_ld_s_-z_ah_l _______ ___.J GI. (6.2.-4),
Trägheitskraft I c2 I I
Feldkraft ~ '-F_r_=_g_z __ -...L_Fr_o_u_de_-_z_al_ll ________ ___.J GI. (6.2.-5),
Druckkraft
Trägheitskraft I Euler-Zahl
6.2.3. Bauartbeschreibende Kennzahlen
I Gl. (6.2.-6) .
Zur Charak:terisierung der Bauart zieht man zwei weitere Kennzahlen nämlich die Laufzahl
und die Durchmesserzahl heran.
Zur Herleitung dieser Kennzahlen benutzen wir die 1m hydraulischen
Strömungsmaschinenbau gebräuchlichen Einheitswerte.
Dazu wird eine Einheitsmaschine (Index 11) definiert, die die Eigenschaften
tjJ = 1 und lf/ = 1
bei dem Volumenstrom V und der spezifischen Förderarbeit Wf des wirklichen Laufrades
6.8
haben soll.
Mit einer solchen Festlegung kann nun die
v Einheitsvolumenstromzahl f/JI I = --
Jr 7
~I4 DI-I
und die
Einheitsdruckzahl lf/I I
erhalten werden.
GI. ( 6.2.-7)
GI. (6.2.-8)
Bezieht man nun die Kennzahlen ~ und \jf auf die zugehörigen Einheitskennzahlen, ergibt sich
GI. (6.2.-9)
und
Elimination des Umfangsgeschwindigkeitsverhältnisses führt auf:
GI. 6.2.-1 0)
undmit
f/J11 = lj/11 = 1 sow1e D
= 8
erhalten wir die von Cordier 1953 vorgeschlagene
6.9
I . 4
Durchmesserzahl5 = lf/ 1 GI. (6.2.-11),
(p
die angibt, wievielmal der Radaußendurchmesser D größer ist als der des Vergleichsrades D 11 mit ~ = \jf = 1.
Aus GL (6.2.-8) und dem Umfangsgeschwindigkeitsverhältnis von Maschine und Einheits
maschine
u :rcDn D n ------- GI. (6.2.-12)
kann die zur Bauartbeschreibung wichtige Laufzahl a = nln 11 angegeben werden. Wegen
1
n 1 1 t/J 2 1 a:=- a =--~ =-1 -~
n 5 - -11 lf/2 lf/4 lf/2
GI. (6.2.-13)
gilt
GI. ( 6.2.-14). I~
Laufzahl a= t/J: =-.:._--?-3
2)
-lf/4
[ 2 ~7~~r
In älteren Literaturstellen wird noch die spezifische Drehzahl nq zur Kennzeichnung der
Bauart benutzt, sie ist eine dimensionsbehaftete Größe und kann mit a = nq in min-1/157,8
umgerechnet werden.
Cordier hat die Wirkungsgradkurven verschiedener Lüfter und Gebläsebauarten in einem
doppeltlogarithmischen cr, 8-Diagramm aufgetragen. Er stellte dabei fest, daß sich die jeweils
besten Wirkungsgrade aller Maschinen durch eine einzige Kurve verbinden lassen, Bild 6.1:
Cordier-Diagramm.
Diese so benannte Cordier-Kurve ist eine wesentliche Hilfe bei der Auswahl der Optimal
werte von Laufraddurchmesser D und Drehzahl n einer Maschine, für eine durch Volumen
strom V und spezifische Förderarbeit Wf gegebene Aufgabenstellung.
2) Laufzahl - häufig auch Schnellaufzahl genannt
1 0
:E "' N -::J
"' --'
10
B
6
4
3
2
1 0,8
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1 0,08
0,05
6.10
ll=65%
:n_K ~wo ~~ ~'\\\ ~ ~~~ ~
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" ' ~ " ~'-../ ~.5 "' +
~+
"" +-~t1-'* ~ " ++~
~ N ~~-....
~+ "~ l\.,.1 0
~0"" + 0,5 0,8 1 2 3 4 6 8 10
Durchmesserzahl 5--Bild 6.1 Cordier-Diagramm
20
Bei einem gegebenen Arbeitspunkt (Wertepaar, V, Wf) ist es theoretisch vollständig offen,
welcher Maschinentyp, gekennzeichnet durch das Wertepaar Laufzahl a und Durchmesserzahl
8, zu wählen ist. Allerdings wird die Wahl des Maschinentyps dadurch eingeengt, daß weder
die Drehzahl noch der Laufrad-Durchmesser extreme Werte mmehmen sollten, um Nachteile
in der Energiewm1dlung zu vermeiden. So würde z.B. bei einem Betriebspunkt, der durch
einen großen Volumenstrom und eine geringe Förderarbeit gekem1zeichnet ist, die
Verwendung einer Radialmaschine zu einem sehr großen Durchmesser und einer extrem
niedrigen Drehzahl dieses Bautyps führen.
Zum Verständnis der Zusarmnenhänge zwischen Drehzahl- und Durchmesseränderungen von
jeweils auf der Cordier-Kurve liegenden Maschinen diene folgendes Beispiel:
Ausgewählt werden zwei auf der Cordier-Kurve liegende Maschinen (V, Wf = const) mit den
Wertepaaren cr1 = 0,1; 81 = 10 bzw. cr2 = 0,5; 82 = 2.
6.11
Für den Fall, daß die Drehzahl der Maschine 1 n1 = 3000 min-1 beträgt, ergibt sich über die
Gleichungen Oj = !!l und 51 = D1 ein Durchmesser der Maschine 2 von D2 = 1/5 D1 und
o-2 ~ 52 D2
eine 5 mal höhere Drehzahl n2 = 5 n 1 .
a a,
I I I I I
--r------1 I I I
für V= const
und w1 = const,
z.B. ein gegebene Anwendung
Eine andere, aus der Sicht des Wirkungsgrades und der Lebensdauer, ebenfalls ungünstige
Auswahl wäre die Verwendung einer Axialmaschine, we1m ein relativ kleiner Volumenstrom
bei einer relativ großen Förderarbeit verlangt wird. Die ausgewählte Maschine axialer Bauart
besäße einen extrem kleinen Durchmesser bei einer sehr hohen Drehzahl.
Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Laufzahl cr, Durchmesserzahl 8, Um
fangsgeschwindigkeit u und effektivem Wirkungsgrad lle hat B. Eck [7] für einen gegebenen
Betriebspunkt zusätzlich zur Cordier-Kurve die jeweiligen Laufradtypen maßstäblich mit ein
gezeichnet, Bild 6.2. Alle Laufräder verarbeiten gleiche Fördervolumina und erreichen gleiche
Förderarbei ten.
Wie man diesem Diagramm entnimmt, hat das Hochdruckradialrad einen um den Faktor 9,7
größeren Durchmesser als das links im Bild befindliche Axialrad, dreht dafür aber nur mit ca.
1/20 der Drehzahl des Axialrades.
Der Wirkungsgradabfall bei hohen Laufzahlen erklärt sich durch die zunehmenden Schaufel
verluste, weil die Führung der Strömung und die Randverluste3) infolge der abnehmenden
Schaufellängen ungünstiger werden.
Der Wirkungsgradabfall der langsamlaufenden Bauarten ist hauptsächlich durch die Rad
reibung bedingt, die mit der 5.ten Potenz des Radaußendurchmessers zunimmt. Hinzu
kommen u.a. die aufgrund der langen, engen Kanäle auftretenden großen Schaufelverluste.
3) Randverluste wurden bisher nicht erwähnt
6.12
Das Vergleichsrad cr = 1, 8 = 1 der Einheitsmaschine ist, da es die cr, 8- Kurve nicht erreicht,
kein optimal ausgelegtes Rad. Diese Aussage bleibt allerdings unerheblich, da es lediglich zur
Kennzahlentwicklung diente.
10
9
8
7
4
3
2
0
~ 11\ --1\ --- --
.......... ---- -----/)(/
IL::v - \ / ~ 5
""""1
~ 1-- - ~ u /---
"'>"'
~~--------· r------ -- ·- ~~nheitsgebliise f--.
I ~ if, J lit, ~ ~1 ' ~r~ if {?, ~ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1, 5
o-
1 ,0
0,9
0,8
0,7
0,6 1 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
F
Bild 6.2: Maximal erreichbare Wirkungsgrade 'lle, Durchmesserzahl 8 und Umfangs
geschwindigkeit u für Ventilatoren verschiedener Laufzahlen, [3]
6.3. Anwendung der Kennzahlen auf die Maschinenauslegung
Das Cordier-Diagramm (Bild 6.1.) vermittelt dem Konstrukteur die Kem1tnis des Laufradtyps
bei festgelegtem Druck und Volumenstrom, wobei ein optimaler Wirkungsgrad des Rades nur
bei Beachtung der Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit (Abschnitt 6.4.) zu erreichen ist.
Bild 6.3. verdeutlicht noch einmal die Zuordnung des Laufradtyps zur LaufzahL
Aus Gl. (4.3.-7) und Gl. (6.2.-1) folgt der Zusammenhang
Gl. (6.3.-1)
zwischen Druckzahl und Reaktionsgrad. Eingesetzt in Gl. (6.2.-15) findet man
6.13
I
fjJ2 (J = ----'----------,-3 GI. (6.3.-2)
[4(1-r) 77,~ti
die Abhängigkeit der Laufzahl vom Reaktionsgrad.
Q - 0,06 < d < 0,30
b ·- 0,20 < d < 0;50
c Q4o < d < r.o
d ·- 0, 7 < d < 2,0 •-~ (bis< 3,0)
Bild 6.3: Übliche Laufzahlbereiche verschiedener Laufradbauformen
a) Radialrad b), c) Diagonalrad d) Propellerrad
1,2
1,0
0,4
0,2 0
0,9
....
.....
-
r--t 0,8
llu 0,7
6.14
I I I ~ I . I I
/obere Grenzkurve: ß2 gron~Reakt1onsgrad
'klein~ Laufräder kavitationsgefährdet , t I I I I I I
" I I · I I I I I ........ "" untere Grenzkurve: ß2 klein~
' ' [)\ Reaktionsgrad gron, Laufräder
~ ~ ~ ~ht kavitationsgefährdet
r ..... -
' l'
~ ~ ~I
1 ' ~ ~ ~ I " " ~ "' ' ~
~ " ~ "' "" ~ """" i"oo...
I ~"' ........... ~
I r---... I
"' I ~ I """"-
0,2 0,4 O,E5 0.~ 1,0 1,2 0 ...
.,.._.... sehr grone Pumpen ,.".. -----~ ...
~ "..- ",..,...- ............ ~ ""'!'"-.'""" ~~ """"""'" ......... i"oo.. ........ """ "- r-·- ~V
r---.. --o -r--1---- ..... ~~~ - ,.. ........... 0<·6.:; -~ r--o · s
~ " ~V i"""'"' ~-Qo< (J--l' ~
~ ~ ",..,..- - o.o ~6 I>'\ ",
~ / I ~~ ~ ~,
~"f"" '.',~ , oo€>3 .~ / ~ ~~ ~o. I I !
~ O,E5 0,05 0,07 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1,0 1,2
0 _ __. ....
Bild 6.4: Zuordnung der Kennzahlen zu erreichbaren Umfangswirkungsgraden von
einstufigen Kreiselpumpen mit Rücksicht auf die Kavitationsempfindlichkeit
6.15
Aus Gl. (6.3.-2) folgen bei unveränderter Volumenstromzahl und niedrigen Laufzahlen
(Radialräder) auch niedrige Reaktionsgrade. Umgekehrt steigt die Laufzahl mit zunehmendem
Reaktionsgrad.
Langsamläufer, Radialrad
kleiner Volumenstrom, 0,06 < Cl < 0,30
große Schaufelarbeit
Mittelläufer, Radialrad 0,20 < Cl< 0,50
mittleres V, mittleres wR
Schnelläufer, Halbaxialrad 0,40 <Cl< 1,0
großes V, kleines wR
Expressläufer, Axialrad 0,70 < cr < 2,0 (bis< 3,0)
größtes V, kleinstes wR
Die Wirkungsgrade ausgeführter Pumpen bewegen sich in weiten Grenzen, sie sind im Nenn
betriebspunkt hauptsächlich von der in der Maschine auftretenden Dissipation im Gitter
(Abschnitt 7.3.) abhängig.
a) a 6
// '/ / :-. .L - ..
4
2
. ~ . ; """ ..
~\V !--'-:- >--- +·---·-/ -:/ // 7'><
/_ .. / -'/' K /
'/ / ~ L .· K .. '/
l 0.6
0.4
0.2
tV cf>
0.1
0.06
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' ' ' .. 'r'· -":,I'
0.02 ... rr. [.":: l'-.... 7 '· ' '
0.01 ··I'-' 6 10 20 ~ 40 60 100
I I I I, I I, I J lllj I 0,1 U2 Q3 OS
C1 .....
,4
0.6
0.8
1.0
1,4
1,8
2,2
2,6
T'h
l tV <P
1.5
1.0
0,6
0.4
0.2
0,1
006
0,04
002
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b) /: ·.·· ~~~ 1-8 5.
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//' /. - V, ~"i!. ~ ~ // 'P,; .;. ~ ··:< \~ ·' Q.
' (',~ ;('\ ·, -
' ~ 0t/ ~~ Xi'i' '/A
'[} i/l'l / ,. II" ,, •. [II', \ xvv ~~ ·" \:/.
<~I' '// ~ V -· 'j. :-...' ~~ ~ V/' (...." - /
V ~ 20
I 40 60 100 1 200 600 OOJ 2000 miri1
I 111 J lf\i.Tti H l I I I 0.51 2345 ll
CF ~~Po
Bild 6.5: Auslegungsdiagramm für Turbinen (a) und Pumpen (b)
[c111 = ~2lwrl , (} = nq lmin-1
1 I 157,8 J
6.16
Mit Rücksicht auf einen optimalen Wirkungsgrad zeigt Bild 6.5. Auslegungsdiagramme von
Turbinen und Pumpen.
In Bild 6.6. sind in Abhängigkeit von der Druck- und Volumenstromzahl die mit optimalem
Wirkungsgrad einsetzbaren Laufradtypen dargestellt. Dem Reaktionsgrad r = 0 sind nach Gl.
(6.3.-2) wieder kleine Laufzahlen zugeordnet.
Bild 6.6: Einteilung der hydraulischen Turbinenarten
6.17
6.4. Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit
Mehrstufigkeit, also das V erarbeiten der Energiedifferenz in mehreren Stufen hintereinander
und Mehrflutigkeit, d.h., das Verzweigen des zu verarbeitenden Massenstromes in mehrere
parallele Fluten, sind Mittel, Maschinen bei optimalen Wirkungsgraden und zulässigen Um
fangsgeschwindigkeiten betreiben zu können.
Sind V Wf und n einer Strömungsmaschine gegeben, so ist auch die Laufzahl der einstufigen
einflutigen Maschine vorgeschrieben:
• TC ?
[ ]
-1
V -D;u? 4 - -Gl. (6.4.-1 ).
Lassen sich mit Hilfe der numnehr bekannten Auslegungskriterien keine Radformen finden,
die einen hinreichend hohen Wirkungsgrad versprechen, müssen Mehrstufen- oder
Mehrflutenanordnungen gewählt werden.
6.5.
Die Mehrstufigkeit ist ein Mittel, durch Verringerung der spezifischen Arbeit w f auf
eine brauchbare, hinreichend hohe Laufzahl a zu kommen.
Bei i-Stufen werden die gegebenen Werte geändert in V lwr/i und
1
n. Die Laufzahl der 3 3 3 - - -
Einzelstufe steigt dabei auf i4 , also von a auf a · i4 ; d.h. cri =cr1 i 4
•
Die Mehrflutigkeit dient der Verringerung des Massenstromes meist auf zwei (j = 2) parallel arbeitende Gitter. Hier ist bei halbem V die Laufzahl des Einzelrades
im Verhältnis 1:,/2 verringert, Bild 8.5; d.h+·, =<T1 ~I·
Baureihenbildung
Produktionsprogramme von Strömungsmaschinen werden wirtschaftlich so ausgelegt, daß
z.B. eine Ventilatorenbaureihe möglichst große Bereiche von V, Wf und n mit hinreichend
hohem Wirkungsgrad der Einzelmaschine überdeckt.
6.18
Aus den Kennfeldern der Einzelmaschine entnelnnen wir den möglichen Umfang von V und
Wf bei vorgegebener Variation der AntriebsdrehzahL Die Annalnne einer maximal zulässigen
Abweichung des Wirkungsgrades vom Auslegungsoptimalpunkt (z.B. ± 5%) ergibt die dann
zulässige Volumenstromspreizung, also die n und D-Variation.
Soll eine Bautype zur Baureihenbildung herangezogen werden, gelten der Zeit- (Drehzahl-)
und Längenmaßstab (Durclnnessennaßstab) und somit die Umreclnmngsbeziehungen für den
Auslegungspunkt der Ausgangsbautype (Aufwertung).
;e . =-v;
T
Für den zu variierenden Volumenstrom ergibt sich aus der Newtonsehen Ähnlichkeit mit
D2 /D1 = II,= constGl. (6.5.-1)
Soll die Förderarbeit (Gefällearbeit) geändert werden, folgt aus GI. (6.1.-12)
A? = -? w,.I r .
Für die aufgenommene Leistung wird:
P, ~ [~J [~:J P,
GI. (6.5.-2)
GI. (6.5.-3).
7.
7.1.
7.1
Dissipation in Strömungsmaschinen
Dissipation an Welle und Laufrad
Bei der Rotation von Weilen und Laufrädern in den zugehörigen Lagerungen, Abdichtungen,
umschließenden Gehäusen u.a. treten Reibkräfte auf, zu deren Überwindung eine Leistung
PRT + PRR bereitgestellt werden muß:
. . . ~T + p RR = <l) Lager + <l) Dichtung + <l) Radreibung Gl. (7.1.-1).
Da bei einer meßtechnischen Erfassung die Dissipationsleistungen <i>Lager und <])Dichtung nur
schwer voneinander zu trennen sind, werden sie hier in <i>RT zusammengefaßt. Wie in Ab
schnitt Energiewandlung dargestellt, werden die entstehenden irreversiblen Wännen direkt
an die Umgebung abgeben (<i>RT > 0 für Turbinen, Pumpen und Kompressoren). Sie haben
vereinbarungsgemäß keinen Einfluß auf die Zustandsänderung des Arbeitsmediums an der
Kontrollraumgrenze.
Die Rad- oder Scheibenreibung ist eine Flüssigkeitsreibung. Aufgrund der Oberflächen-Haft
bedingung rotiert das Fluid an der Radscheibe mit deren Winkelgeschwindigkeit, während sie
zur feststehenden Gehäusewand auf den Wert Null zurückgeht. Das Fluid überträgt Schub
spannungen von der Radscheibe auf die Gehäusewand, die sich über die Flächen zu gleich
großen, entgegengesetzt angreifenden Drehmomenten aufsummieren (s. auch "Couette
Strömung").
Das Rad-Reibungsmoment MRR bzw. der Dissipationsstrom <i>RR hängt vom Strömungs
verlauf im Radseitenraum ab. In den meisten technischen Anwendungsfällen ist diese
Strömung turbulent. Bild 7.1. zeigt den typischen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit über
der Radseitenraum-Breite bei konstantem Radius.
Auf das Fluid wirken außer den Zähigkeitskräften auch Druck- und Massenkräfte. Für den
radialen Druckanstieg sind Fliehkräfte infolge der Rotation verantwortlich. Es kann eine mitt
lere Winkelgeschwindigkeit OJ angegeben werden, die für den radialen Druckanstieg
repräsentativ ist. Da in der Nähe der Wand die örtliche Winkelgeschwindigkeit kleiner ist als
OJ und der statische Druck bei konstantem Radius nicht vom Wandabstand abhängt,
überwiegt in der Einflußzone der feststehenden Wand das Druckfeld. Dadurch wird eine
radiale Sekundärströmung erzeugt, die an der Radscheibe nach außen und an der Wand nach
innen gerichtet ist. Die Begrenzungswände von Gehäuse und Weile erzwingen die
Umlenkung der Strömung, so daß eine in sich geschlossene Sekundärströmung entsteht, die
auch Komponenten in axialer Richtung besitzt.
7.2
Die Hauptströmung in Umfangsrichtung und die Sekundärströmung stehen in einem engen
inneren Zusammenhang. Aus ihrer Wechselwirkung ergibt sich das Gesamtbild der
Strömung. Die radiale Verteilung des statischen Druckes (Axialkraft!) und der
Schubspannung m Umfangsrichtung (Rad-Reibungsmoment!) hängen von der
repräsentativen Winkelgeschwindigkeit OJ ab, deren Abhängigkeit vom Radius bei Kenntnis
einiger weiterer Parameter berechnet werden kann.
Bild 7.1: Verlauf der Winkelgeschwindigkeit des Fluids über der Radseitenraum
breite; r = const.
Zusätzliche der Radseitenraumströmung überlagerte Leckströme - in der Praxis häufig vor
kommend - haben ebenfalls Einfluß auf den Druckverlauf und das Rad-Reibungsmoment
Leckströme, vom Außendurchmesser zur Nabe verlaufend, erhöhen die -Winkelgeschwindig
keit OJ. Bei umgekehrter Richtung ist auch die Wirkung entgegengesetzt.
Die gerraue Berechnung ist aufwendig und soll hier nicht weiter dargestellt werden.
Bild 7.3. gibt den prozentualen Anteil der Teildissipationsströme an der Radleistung an.
7.2. Dissipation infolge Spaltströmung
Durch die konstruktiv unvenneidlichen Spalte, z.B. zwischen Laufschaufelenden und
Gehäuse, treten ungewollt Massenströme auf, die in Größe und Richtung abhängig von der
jeweils vorhandenen Druckdifferenz sind. Folglich wird ein Teil des Arbeitsmediums an den
Leit- und Laufkränzen vorbeiströmen, ohne am Energiewandlungsprozeß teilzunehmen.
7.3
Bild 7.2: Geschwindigkeitsverteilung im Radseitenraum, in Komponenten zerlegt,
Labor für Fluidenergiemaschinen, Universität Dortmund
10
[%]
8
\
6 \ \ \ \
4 \ \
\.
0 20 40 50 80 100 120 140
Bild 7.3. Prozentualer Anteil ~sp und ~RR bzw. ~Rr von der Radleistung in
Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl
7.4
Mit dem Durchflußkoeffizienten und der Spaltfläche Asp kann dieser Leckstrom mit guter
Näherung berechnet werden zu
Gl. (7.2.-1).
Die verwickelten Vorgänge bei der Spaltströmung sowie deren Rückwirkung auf den Arbeits
prozeß sollen hier nicht näher betrachtet werden (vgl. hierzu Traupel: Thennische Turbo
maschinen I).
Man versucht, diese Verluste an mechanisch nutzbarer Energie dadurch gering zu halten, daß
man den Spalt auf möglichst kleinem Durchmesser anordnet (Asp ~ Dsp) und den Durchfluß
koeffizienten minimiert durch lange Spalte mit hoher Widerstandszahl (Einbau von
künstlichen Widerständen im Drosselspalt, vgl. hierzu Trutnovsky:" Berührungsdichtungen"
und "Berührungsfreie Dichtungen"). - Axialmaschinen erhalten deshalb oft Deckbänder mit
sog. "Labyrinthprofilierung", Bild 7.4. und Bild 7.5.
Man beachte, daß Leckströme auch in
Gleichdruckmaschinen auftreten, da durch
die Umlenkung des Massenstromes bei
hohen Geschwindigkeiten Impulsänderungen
und somit z.B. bei der Umströmung von
Laufschaufelenden Zentrifugaldrücke ent
stehen.
In emer Turbinen- oder Kompressorstufe
kann folglich nur der um die Dissipations
energie ~Sp venninderte Anteil der spezifi
schen Arbeit in mechanisch nutzbare Arbeit
umgesetzt werden.
Einfache
Spitzendichtung
Labyrinth
Spitzendichtung
7.5
1'--~/$;/////J ----p/r~##//#4 ..
Dsp Glatter
I Spalt
Unterbrochener
Ringspalt
Bild 7.4: Berührungslose Dichtungen in Strömungsmaschinen
- Ringspalte und Spitzendichtungen -
axiale Abdichtung
axiale Abdichtung
axiale Abdichtung
axiale und radiale Abdichtung
Bild 7.5: Berührungslose Dichtungen in Strömungsmaschinen
- Labyrinthdichtungen -
7.6
7.3. Dissipation im Gitter
Bei der Durchströmung von Leit- und Laufrädern treten Verluste auf, die auf Kosten der
mechanischen Energie die innere Energie des Fluids erhöhen. Die aus dem Abschnitt
Energiewandlung bekannten Dissipationsenergien <p43 und <p21 in den Turbinen, bzw. <p 12 und
<p34 in Pumpen und Kompressoren entstehen durch:
1. Reibung an den Kanalwänden und im strömenden Medium,
2. Ablösung und Verwirbelung infolge
2.1 Strömungsumlenkung und
2.2 Verzögerung der Strömung.
Voraussetzung dabei ist jedoch eine passende Allströmrichtung des Schaufelkanals, also eine
Übereinstimmung von Anströ1michtung und Schaufeleintritt (Nennbetrieb ). Bei bekannter
Zustandsänderung kompressibler Fluide läßt sich die Summe dieser Verluste aus dem h, s -
Diagramm ermitteln, sie erhöhen Entropie und Enthalpie.
Für inkompressible Fluide wird für die unter Punkt 1. und 2.1 genannten Verluste ein von
der Strömung der Krümmer her bekmmter pauschaler Ansatz mit den Beiwerten SI (Strömungsumlenkung) und sn (Strömungsverzögerung) gemacht und zwar beim Leitrad
-2
[qJ Reib +qJ AblöslLe =t;I,Le ~
und beim Laufrad
-2
[qJReib +qJ AblöslLa =t;l,La ~ Gl. (7.3.-1).
Für die Berechnung der Verzögerungsverluste kann eine im Diffusorenbau übliche Beziehung
verwendet werden.
qJVerz,Le = \ci - ci\
~J,Le 2
qJVerz,La = \wi- w~\
~I ,La -'---2--'- Gl. (7.3.-2).
7.7
Für die Summe an Dissipationsenergie gilt dann
für Turbinen
Gl. (7.3.-3)
bzw. für Pumpen und Kompressoren entsprechend
Gl. (7.3.-4)
und somit für das Leitrad
in Turbinen
c- c.; - c; [
-? I ? ?I] (jJ43 = ~,Le 2 + ~J,Le 2 Gl. (7.3.-5)
bzw. in Pumpen und Kompressoren
c c3 - c4
[ -2 I 2 2IJ
(jJ34 = ~.Le 2 + ~J,Le 2 Gl. (7.3.-6)
und für das Laufrad
in Turbinen
w- + w2 - W]
[ -? I 2 ?I]
~,La 2 ~!,La 2 Gl. (7.3-7)
bzw. in Pumpen und Kompressoren
Gl. (7.3-8).
7.8
7.4. Dissipation durch Stoß
Wird ein Schaufelgitter mit einem Winkel ß'2 angeströmt, der nicht mit dem Schaufelwinkel
ß2 übereinstimmt, so wird die Strömung mit einem Stoß in die Richtung der Schaufel
umgelenkt, Bild 7.6.
Der Stoß stimmt weitgehend mit dem Vorgang überein, der sich beim Allströmen eines Trag
flügels mit zu großem Anstellwinkel abspielt. Er beruht auf einem Abreißen der Strömung,
hat also in diesem Zusammenhang nichts mit dem Aufeinanderstoßen zweier Körper zu tun. -
Der sog. Eintrittsstoß tritt immer dann auf, wenn die Richtung der Allströmgeschwindigkeit
w'2 nicht mit der Schaufelrichtung übereinstimmt. Die Übereinstnmnung kennzeichnet den
N ennbetriebspunkt.
Stonkomponente Wst
Bild 7.6: Entstehung der Stoßkomponente am geraden Schaufelgitter
a) Totwassergebiet
aus [4]
b) Staupunkt
Dieser Stoß verursacht einen Verlust, der hauptsächlich auf das Abreißen der Strömung und
die damit verbundene Totraumbildung zurückzufUhren ist:
7.9
(in Turbinen) Gl. (7.4.-1)
bzw.
(in Pumpen und Kompressoren) Gl. (7.4.-2).
Die Stoßkomponente w81 ist aus der vektoriellen Differenz der tatsächlichen Zuström
geschwindigkeit w'2 und der optimalen stoßfreien Zuströmung mit w2 zu bestimmen:
Gl. (7.4.-3).
Der Erfahrungswert sst hängt außer von der Schaufelfonn auch davon ab, ob ein
Beschleunigungsstoß (w'2 < w2 ; Sst ~ 0,5) oder aber ein
Verzögerungsstoß (w'2 > w2 ; Sst ~ 0, 7) stattfindet, Bild 7.7 und Bild 7.8.
~
:=z==z=z==u ~
Bild 7.7: Stoßkomponenten am Turbinengitter bei verschiedenen Volumenströmen
7.10
c,
Bild 7.8: Stoßkomponenten am Pumpengitter bei verschiedenen Volumenströmen
Teillast Nennlast Überlast
V ..
Bild 7.9: Kennlinie einer Kreiselpumpe
Wf spezifische Förderarbeit
'lle effektiver Gesamtwirkungsgrad
7.11
7.5. Dissipation durch partielle Beaufschlagung
Wird ein Gleichdruck-Turbinenrad nicht auf dem gesamten Umfang vom Arbeitsfluid beauf
schlagt, sondern nur an einigen Stellen aus z.B. feststehenden Düsen angeströmt (sog. Teilbe
aufschlagung), so entsteht im nichtbeaufschlagten Leitkranzbereich eine ungeordnete Wirbel
bewegung. Die dadurch erzeugten "Ventilationsverluste" <i>vent werden rechnerisch oft durch einen Ansatz ähnlich dem der Radreibungsverluste erfaßt und den Spaltverlusten <i> sp zuge-
schlagen.
8.1
8. Konstruktive Besonderheiten
8.1. Axialkraft
Die Axialkraft einer Strömungsmaschine, z.B. einer axialen Turbinenstufe, wird berechnet,
indem man um den Schaufelkanal einen Kontrollraum legt und dort den Impulssatz für die
stationäre Strömung formuliert. Es wird angenmmnen, daß das Geschwindigkeitsfeld vom
Drehwinkel unabhängig ist.
Fp(r)2
Fax
+ .. Bild 8.1: Kontrollraum des axialen Turbinenlaufrades
a =außen i =innen N =Nabe ax = axiale Richtung
Die zeitliche Änderung des Impulses, also der Impulsstrom
. d J =- (mc)
dt
8.2
ist gleich der Resultierenden aller äußeren Kräfte (Druckkräfte, Wandkräfte, Widerstands
kräfte). Hier sollen nur die Druckkräfte als äußere Kräfte berücksichtigt werden.
~ F~ + 2n [I p2 (r) rdr +I p2 rdr + Ip2 (r) rdr
-,.r p1
(r) rdr- 'Jp1
rdr l ~"!,i ~"!,N J
Gl. (8.1.-1 ).
Als Reaktionskraft muß Fax mit negativem Vorzeichen geschrieben werden. Aus der Addition
der Reaktionskräfte der einzelnen Stufen ergibt sich der gesamte Axialschub der Maschine.
Dabei wurden die Drücke in den Strömungsquerschnitten p1 und p2 über dem Radius als un
verändert und die Widerstandskraft gleich Null angenommen. Bei radialen Strömungs
maschinen, z.B. langsamläufigen Kreiselpumpen, wird mit Pl = P2 = p
2Jr p [rr ci,ax rdr- rr c~,ax rdr ] ~"N ~"N
=27r['"J p 1 (r)rdr+'Yp0 rdr- '"Jp, (r)rdr l-F~ I"J,a r N r N J
Gl. (8.1.-2)
bei radialem Austritt c2 ax = 0 sowie Co ax ::;:j clm folgt: ' '
Gl. (8.1.-3).
Man erkennt, daß für jeden Laufradtyp Fax gesondert berechnet werden muß.
Fpo .
r1,a Jo
rN
8.3
I ..,I
I 01
... I I
.... + Fax ..... ~--------
Bild 8.2: Kontrollraum des radialen Pumpenlaufrades
ax = axiale Richtung
Fp!rl2
r2a I
Die Druckverteilung p(r) entsteht dadurch, daß die reale Flüssigkeit, angetrieben durch das
Laufrad, in den Radseitenräumen mit coFl (r) mitrotiert (vergl. 7.1.). Irrfolge der Fliehkräfte
muß nun der statische Druck zu kleineren Radien hin abnehmen. Nimmt man p3 - Po als Be
zugsdruck, ergibt sich die Druckminderung ~paus
I'?
11p = p f OJ~1 (r) rdr und für p (r) gilt dann: r
I'? Gl. (8.1.-4).
p (r) = (p3 - p 0 ) -11p (r) = (p3 - p 0)- p f OJ~1 (r) rdr r
Für OJFl = const würde ~p parabolisch verlaufen. Die Winkelgeschwindigkeit OJFl der
Flüssigkeit hängt jedoch von zahlreichen Einflußgrößen ab (Rauhigkeit Laufradgehäuse,
Leckstrom durch Dichtspalte, Geometrie der Radseitenräume, des Laufrades, Zähigkeit der
Flüssigkeit), so daß eine gerraue Berechnung des Axialschubes praktisch noch nicht möglich
ist. Im Bild 8.3. ist die Axialkraft als Funktion des bezogenen Volumenstromes für verschiedene Spaltweiten s dargestellt. Mit s steigt ri"sP und damit mFl im saugseitigen Radseitenraum,
8.4
~"2a
damit sinkt der Integralwert r f p (r) rdr an der vorderen Deckscheibe und die Axialkraft l,a
Fax steigt an.
a) b}
V ---t•~
5000
N
t 4500
4000 ><
"' LL
+-
~ 3500 ~
rn X
<{ 3000
V >VNP 2000~--~----~~~~--~-r.~
0 0,01 0,02. V 0,03 0,04 m~s 0,05
V
Bild 8.3: a) Kennlinie einer radialen Kreiselpumpe
b) Axialkraft einer radialen Kreiselpumpe
n = 42,5 s-1, r = 100 mm, [9]
8.1.1. Ausgleich oder Teilausgleich der Axialkraft
Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, den Axialschub ganz oder teilweise auszugleichen,
Bild 8.4.
Flache radial gerichtete Rippen (sog. Rückenschaufeln) auf der hinteren Deckscheibe
erhöhen die Winkelgeschwindigkeit der Flüssigkeit im hinteren Radseitenraum und
vermindern dadurch die Druckkraft r 2a
2TC f p (r) rdr
'iv
auf die hintere Deckscheibe.
Allerdings steigt Fax beim Hochfahren der Pumpe, also während des Anlaufvorgang es,
über (F ax)Nenn an, weil das Fluid in den Radseitenräumen durch <PRR erst als Funktion
der Zeit in Drehung versetzt werden kann.
8.5
Eine weitere, oft angewendete Möglichkeit zeigt Bild 8.5. Hier wird auf dem gleichen
Radius wie an der Saugseite ein Drosselspalt angebracht. Der Ringraum zwischen
Welle und Drosselspalt wird durch mehrere Bohrungen durch die hintere Deckscheibe
druckentlastet Die Drücke in beiden Radseitenräumen wirken nun auf gleichgroße
Flächen, wodurch Fax vermindert wird.
Beide Konstruktionen ergeben etwa gleich große Verminderungen des Gesamt
wirkungsgrades. Bei Rückenschaufeln erhöht sich die Radseitenreibung <PRR, d.h., llmi
wird kleiner; bei Drosselspalt und Ausgleichsbohrung wird llv kleiner, da ein größerer Spaltstrom msp umläuft.
Durch das Gegeneinanderschalten von Laufrädern (mehrflutige Pumpen, Bild 8.6.) wird der
Axialschub beider Räderpaare kompensiert. Der Bauaufwand steigt.
Bild 8.4:
A konstruktiv A 1 2-flutig
B mechanisch [ hydraulisch
A2 2-stufig
durch Axiatlager [1 Druckausgleich
[2 Rückenschaufeln
[3 Ausgleichsflächen
Ausgleich oder Teilausgleich der Axialkraft
•
8.6
Bei mehrstufigen Pumpen (Kesselspeisepumpen, Bild 8.8.) verzichtet man auch wegen
der großen Spaltmassenströme durch die Ausgleichsbohrungen oft auf eine Einzel
entlastung der Laufräder. Die gesamte Axialkraft wird von einem hydrostatischen
Drucklager (sog. Ausgleichsscheibe) aufgenommen.
Ein zusätzliches Axiallager entfällt. Verschiebt sich nun der Läufer irrfolge der Axial
kraftänderung (Bild 8.7.), ändert sich die axiale Spaltweite derart, daß ein Kräftegleich
gewicht durch Druckänderung im Ausgleichsraum geschaffen wird. Diese Druck
änderung ist eine Funktion der variablen Axialspaltweite.
Bild 8.5: Einstufe Kreiselpumpe
Axialkraftentlastung durch Drosselspalt a und Bohrungen b
8.7
.r-1 / I j
/ I. _..,.--- I / I i
. i / .
' _,... . ..J
-, i I
'· I ......... . .......... ,!!
''l.J
Bild 8.6: Einstufe, zweiflutige Kreiselpumpe, Achsschubausgleich durch Gegenan
ordnung der Laufräder
V. = 4000 m3 h-1 z = 70 m n = 980 min-1 , ,
n)
b) An saugdruck
. ersten Stufe
8.8
strom p = f (s •• l
~--h
Bild 8.7: Axialkraftausgleich durch Ausgleichsscheibe
a: Prinzipbild b: Ausführung
Ausgleichsscheibe
Spaltdruck der letzten Stute
Ausgleichsraum
Radialspolt s,= const
axial verschiebbare Welle
9.1
9. Betrieb von Strömungsmaschinen
Nicht immer können Strömungsmaschinen in Nennbetriebspunkten betrieben werden, d.h.,
die Nenndaten allein reichen dem Planungsingenieur und Betreiber dann nicht aus. Die Frage
nach dem Betriebsverhalten von Strömungsmaschinen ist damit eine Frage nach dem Verlauf
der Kenngrößen, die Frage nach dem Kennfeld der Maschine.
Das Betriebsverhalten stellt somit die Reaktion der Maschine bei Ändemng der Betriebspara
meter dar, z.B. n, Md, V, Llht, P e ... Diese Änderung geschieht nicht willkürlich, sondern nach
den Kennlinien, nach dem Kennfeld der Maschine.
9.1. Kennlinien, Kennfeld
Allgemein gültige Aussagen über die Verknüpfung von Betriebsparametern gibt es nicht. Je
nach Betriebsweise sind verschiedene Aussagen möglich und sitmvoll. Die charakteristische
Form der Kennlinien hängt primär von der Maschinenbauart ab. Zu allgemeineren Aussagen
gelangt man, wenn Kenngrößen in Kennfeldern dargestellt werden können.
9.1.1. Pumpenkennlinien
Die charakteristische Kennlinie zum Kreiselpumpenbetrieb ist die sog. Drosselkurve; diese
stellt die Förderarbeit Wfals Funktion des Förderstromes V bei konstanter Drehzahl dar, also
w = f (V), n = konst.
Setzt man zunächst einen reversiblen Fließprozeß (2: <p = 0) und eine drallfreie Laufradzu
strömung (c1u = 0) voraus, ist
Gl. (9.1.-1).
Für einen Teillastvolumenstrom V
' V. _ T7 c 2m - rNP Gl. (9 .1.-2).
c2m
folgt aus dem Geschwindigkeitsplan
9.2
und mit Gl. (9.1.-2)
v = u2 - v c2m,s cot Cß2,s)
NP
c2ms
Gl. (9.1.-3).
Bild 9.1: Isentroper Geschwindigkeitsplan für die Winkel, Arbeiten bei Nenn- und
Teillastbetrieb (bei Geschwindigkeiten Index ', v ohne zusätzliche Kenn
zeichnung)
In Gl. (9 .1.-1) eingesetzt ergibt sich
Gl. (9.1.-4).
Die im Zusammenhang mit dem Reaktionsgrad beschriebene Abhängigkeit der spezifischen
Radarbeit vom Strömungswinkel bestimmt hier den Verlauf der Kennlinie, Bild 9.2.
Bei
ß? = 90° -,S wird die spez. Radarbeit unabhängig vom Volumenstrom. Winkel
( vorwärtsgekrümmt Schaufel, r < 0,5) ergeben mit V steigende, Winkel
(rückwärtsgekrümmte Schaufeln, r > 0,5) ergeben fallende Geraden.
Im Pumpenbau werden entsprechend der Forderung, einen hohen statischen Anteil der Rad
arbeit (r > 0,5) bereits im Laufgitter zu wandeln, in der Regel Winkel ß2,s < 90°gewählt.
9.3
w~.J
VNP V--·
Bild 9.2: Radarbeit als Funktion des Volumenstromes
9.1.2. Genauere Betrachtung des Strömungswinkels ß?
Bisher wurden ausschließlich Strömungswinkel ß2 s betrachtet, die sich dann einstellen, wenn
ein Laufrad mit endlicher Schaufelzahl isentrop durchströmt wird. Insbesondere bei Pumpen
und Kompressoren entspricht dieser Strömungswinkel nicht dem konstruktiv vorgegebenen Schaufelwinkel ß2,scH Eine schaufelkongruente Strömung würde sich nur dann einstellen,
wenn das Laufrad mit unendlich vielen und unendlich dünnen Schaufeln bestückt wäre, dann
gilt
also
ß2,SCH =: ß2s, 00
w =w R,s- R,s,oo
Das Stromlinienbild 9.3. verdeutlicht die Verhältnisse fiir die Potentialströmung bei endlicher SchaufelzahL Man entnimmt dem Bild 9.3. ß2,scH > ß2 bzw. ß2,scH > ß2,s.
Weitere theoretisch nicht erfaßbare Einflüsse (wie z.B. auch die Änderung der
Meridiangeschwindigkeit abhängig von der Schaufeldicke) lassen eine Berechnung der
spezifischen Radarbeit bei unendlicher Schaufelzahl WRoo meist nicht zu. Die
"Minderleistung" wR,oo - WR,s wird häufig über Näherungsverfahren bestimmt. Bei einem
häufig verwendeten Verfahren nach Pfleiderer läßt sich wR s über eine "Minderleistungszahl" , p nach Gl. (9.1.-5) berechnen
1 w ---w
R,s - 1+ p R,s,oo Gl. (9.1.-5)
mit
Die Minderleistungszahl kann fiir Radialräder mit Hilfe der Bezeichnung
9.4
p
mit dem Minderleistungsbeiwert lf/'
ermittelt werden.
w1.s
Bild 9.3: Strombild der idealen Flüssigkeit im axialen Schaufelkanal mit
ß2,SCH = ß2,s,oo und ß2.s < ß2,SCH' daraus folgt W R,S < W R,s,oo
-.:.:::::;:::;=::::;:- t----- Pi -
Pe=rillhtA-htel-
)//////~//////,
Bild 9.4: Energiefluß einer Pumpe
9.5
Häufig wird \j/1 = const. angenommen, so daß sich der in Bild 9.5 . angegebene Verlauf von
wR,s ergibt.
Empirisch ermittelte Abhängigkeiten ermöglichen es, aus dem Verlaufvon wR 8 den qualitati-, ven Verlauf der F örderarbeit w f abzuschätzen.
Die spezifische Radarbeit Wf wird um die dissipativen Prozesse in der Stufe ( tp 14 ) ver
mindert, Bild 9.4., Wf = wR- lfJ14·
Hierbei gilt für die Summe lfJ14·
Gl. (9.1.-6).
Man beachte, daß bei der Darstellung des Energieumsatzes im h, s - Diagramm s3 = s2 gesetzt
wurde, d.h., cp23 = 0, dies trifft aber nur für den Auslegungspunkt zu.
Mit Gl. (7.4.-2)
Wst [ 2] fPstoß = c;St 2
ergibt sich der Kurvenverlauf einer quadratischen Parabel, deren Scheitel bei V = VNP liegt.
Die Reibungsverluste in den Schaufelkanälen des Leit- und Laufrades sind entsprechend Gl.
(7.3.-8) und Gl. (7.3.-6)
lpl2 [ w'
= c;J,La 2 + c;JJ,La lwi; will
[ _, Iei; eil]. c-lp34 = c;I,Le 2 + c;II,Le
Die Widerstandsbeiwerte SSt, SI, und sn sind nicht exakt vorherbestimmbar, so daß eine
rechnerische Vorabbestimmung der Pumpenkennlinien kaum möglich ist. Die Abhängigkeit
der spezifischen Förderarbeit Wfvom Volumenstrom wird deshalb aus Versuchen ermittelt.
Mit den Gleichungen (7.4.-2), (7.3.-6) und (7.3.-8) kann jedoch der qualitative Verlauf der
Kennlinien abgeschätzt werden.
Aus
rpStq(J - (V - VNP )2
rpl2 + rp34 - v2
ergibt sich die Darstellung im Bild 9.5.
r
u2 2
1+p
9.6
ß2s.oo
Bild 9.5: Entstehung der "Drosselkurve" einer Radialkreiselpumpe mit L: cp > 0
Im Bild 9.6. sind die gemessenen Bet1iebskennlinien einer Radialkreiselpumpe angegeben.
Ergänzend zu der Drosselkurve wurden zur Beurteilung der Maschine die Werte der erforder
lichen Antriebsleistung P e sowie die des effektiven Wirkungsgrades lle mit erlaßt und als
Funktion des Volumenstromes aufgetragen.
Wenn die Widerstandsbeiwe1ie vom Volumenstrom unabhängig sind, kann die Drosselkenn
linie als Funktion zweiten Grades angegeben werden. Da diese Voraussetzung im allgemeinen nicht zutrifft, ist eine mathematische E1fassung der w1 = f (V) - Kennlinie nur näherungs-
weise möglich.
9.7
300
100
50 v---1 .....
5 10
Bild 9.6: Kennlinien einer radialen Kreiselpumpe
Labor für Fluidenergiemaschinen, Universität Dortmund
6, I I
o = spez. F örderarbeit o = Antriebsleistung • = Wirkungsgrad
1le [%]
80
40
20
20
Die Form der Drosselkurve ist vom jeweiligen Pumpentyp und damit von der Laufzahl ab
hängig. Bezieht man die Betriebswerte Wf und V auf die Daten des jeweiligen Auslegungs
punktes WfNP und V NP' so kötmen für verschiedene Laufzahlen charakteristische Drossel-'
kennlinienangegeben werden, Bild 9.7.
In das Bild mit aufgenommen wurden die Wirkungsgradverläufe sowie die bezogene
Leistungsaufi1ahme P e /P e NP· Aus der Leistungskurve sind Rückschlüsse auf z.B. die Anfahr-, bedingungen einer Pumpenanlage zu entnehmen. Axialradpumpen sind hiernach bei
geöffuetem Drosselschieber, Radialradpumpen dagegen bei geschlossenem Drosselschieber
anzufahren, wenn eine Überlastung des antreibenden Motors verhindert werden soll
(P e Anfahren< P e NP!). , ,
Für die Förderung von Fluiden mit vernachlässigbarer Dichteänderung (z.B. Gebläse) gelten
analoge Aussagen wie für die bisher betrachteten Pumpen. Hat die Dichteänderung, z.B. bei
Kompressoren, einen merklichen Einfluß auf das Betriebsverhalten, so können allgemein
gültige Aussagen über die Kennlinien nur noch in stark eingeschränktem Umfang gemacht
werden. Es sind Einflüsse des Allsaugzustandes (Druck und Temperatur), der Art des Gases
(beschrieben z.B. mit dem Adiabatenexponenten) sowie der MACH-Zahl zu berücksichtigen;
vgl. hierzu die Literatur im Anhang.
9.8
0 = 0,12 0 = 0, 50
( Radialrad J ( Halbaxialrad)
f 1,0
t to I
Pe I
I (PeJNP I
I I .
t 10
1le ( 1le) NP
1.0 1.0
...
Bild 9. 7: Charakteristische Pumpenkennlinie
Parameter: Laufzahl cr
9.1.3. Kennfelder von Pumpen und Kompressoren
0 = 1, 20
( Axialrad)
1.0
Sehr häufig müssen in der Praxis die Kennlinien von Pumpen und Kompressoren den
vorgegebenen Betriebsbedingungen augepaßt werden. Zu unterscheiden sind Anlagen mit
konstanten Verbrauchswerten, hier erfolgt eine einmalige Auslegung bzw. Anpassung der
Maschine, und Anlagen mit veränderlichen Verbraucherwerten, die bei gleichzeitiger
Forderung nach einem möglichst hohen Wirkungsgrad mit im Betrieb anpaßbaren
Strömungsmaschinen auszurüsten sind. - Die Darstellung der vom Einstellparameter
9.9
abhängigen Drosselkurven m emem Diagramm ergibt dann das Kennfeld der
Strömungsmaschine, das häufig noch durch die Linien konstanten Wirkungsgrades ergänzt
wird.
Bei Drehzahl-Variation sind aus den Ähnlichkeitsgesetzen die Beziehungen zwischen den Be
triebskennlinien abzuleiten. Entsprechend
liegen alle Punkte ähnlichen Betriebszustandes auf Parabeln mit dem Ursprung als Scheitel.
Diese Ähnlichkeitsparabeln sind theoretisch auch Kurven konstanten Wirkungsgrades. Wie
jedoch das gemessene Keimfeld einer Kreiselpumpe zeigt (Bild 9.8.), wird dieser theoretische
Ansatz nur tendenziell bestätigt. - Die Uimechnung von Drosselkurven über die
Ähnlichkeitsbeziehung gibt offenbar das zu erwartende Betriebsverhalten nur näherungsweise
wieder.
Eine weitere Möglichkeit der Betriebsanpassung axialer Strömungsmaschinen stellt die kon
struktiv recht aufwendige Laufschaufel-Verstellung dar, Bild 9.9. Sie ermöglicht das
Anpassen von Pumpen und Gebläsen bei unterschiedlichen geforderten Volumenströmen.
Entsprechend dem für den Laufradaustritt geltenden Geschwindigkeitsplan würde für
Volumenströme V< VNP eine Verdrehung der Laufschaufeln um den Winkel (ß;- ß2 ) eine
weiterhin stoßfreie Zuströmung in das nachgeschaltete Leitrad gewährleisten. Gleichzeitig
sinkt die Radarbeit wR (Annahme: vernachlässigbarer Eintrittsdrall auf der Saugseite.) - Ein
V erstellen der Laufschaufeln in entgegengesetzter Richtung (p;· > ß7 ) bedeutet ein Ansteigen
von Volumenstrom und Radarbeit
Bild 9.10. zeigt das dementsprechende Kennfeld einer Axialpumpe.
Außerdem kann durch eine Leitrad-Verstellung die Maschinenkeimlinie verändert werden.
Verstellbare Pumpen- bzw. Gebläseleiträder werden meist auf der Saugseite angeordnet
(Vorleiträder), da nur so die erforderliche Beeinflussung des Energieumsatzes möglich ist.
Nach dem Geschwindigkeitsplan des Laufradeintritts gilt für den Bereich mit Gleichdrall
' ' W R =U2 C2u +Ul Clu
und für den Bereich mit Gegendrall
9.10
Offenbar kann mit dem Vorleitrad, Bild 9.13., der Energieumsatz von Pumpen und Kom
pressoren nachhaltig beein:flußt werden.
Die Gegendralleinstellung bewirkt eine Zunahme von Radarbeit und Volumenstrom, die
Gleichdralleinstellung ein Absinken von Radarbeit und Volumenstrom.
m2 s2
j---Nennbetrieb
200r--+=-~~~~-+-+~~~--~~--~
t 150r-~~++r-~#-~~~~~~--~ wt
50 I I
I I /
/ /
0 /_ .......
0 5 10
Bild 9.8: Kennfeld einer Kreiselpumpe
Parameter: Drehzahl, [4]
15 20 m3 25
V ~ s
9.11
Verstellstange
Schnitt A-0
Verstellhebel
Bild 9.9: Propellerkopf mit Schaufelverstellrichtung
Beschreibung:
en
Die mit der Antriebswelle rotierende Verstellstange wird von außen über einen Verstellhebel
und ein Verstellager axial bewegt. Diese translatorische Bewegung wird im Propellerkopf
über die in den Verstellplatten laufenden Gleitsteine in eine rotatorisehe Bewegung der
Verstellhebel und damit der Schaufeln umgesetzt.
Probleme der Verstellung:
1 Platzprobleme zwingen zu großen Verstellkräften, da die Verstellhebel - abhängig
von der Schaufelzahl- nur kurz sein können.
2 Die Lage des Drehpunktes der Schaufel soll so gewählt werden, daß
a) die Zirkulation nicht über längere Betriebszeiten Null ist- klappern!
b) die Zirkulation und damit das Hebelmoment nicht zu groß wird (in den Ein
stellungen) und
c) die Schaufeln sich nicht gegenseitig berühren- klemmen.
9.12
300
[%]
250
200 r--.......
I 150
100 P/PNP
50
1-r-.. ~ ~ - ..........
~ ~ r--..
~ 1'---.. ~ '+90 -- ~ ...........
~ ........_.___
1-- ~ I'-~ 1'-. !'-..... oo +40
1--- r:_w ~ "'-.. -40
-9o
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
[%]
I· Teillast Überlast
NP
170 [%]
160
150
140
I 130
120
110
gZ/gZNP 100
90
80
I 70
60
50
Y]f11NP 40
30
20
10
--..
\ ..--!'.. - ""-~
""" l'v ZJZ,.,p
\ \ \ \ \ 1\ \
!'\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \
\ \ \ \ \ \
\ ~ / ~ A> \
" ['.. \ ""-\ / ~ / \ ~ \ ~ K \ ~ / YJ/YJNP
\ V / '( \9o / '!\ \ \ \ ""'
\ \j \ \ \ \ 1\ \ \ \ 1\ [\+9o
I I~ \ \ \-4°\ oo \ \ \ + 40
I \\ 14° \ \ \ \ \' / l\+9o
1/ \\ \ \ \ \ I \I \ \ \o
\ + 40
I \ ~ 40 I
-14° _19o
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
[%]
Bild 9.10: Kennfeld der Propellerpumpe nach Bild 9.9
9.13
9
-7}-SB
7
r 6
5
wf II
3
2
1
0 20 180 200 220 m3/s -Bild 9.11: Kennfeld eines Axialgebläses mit Laufschaufelverstellung
' \ ' c;· \
c" 1m
. \. c,
\ 180°-a;·
~~~--~~~----------~~~---L--~-u,
Gegendrall Gleichdrall
260
Bild 9.12: Energieumsatz bei Drehimpulsänderung am Laufradeintritt (Vordrall)
9.14
0 60 80 100 1?0 1'10 160 180 V _. [%]
Bild 9.13: Gebläsekennfeld bei Eintrittsdrallregelung (nach Schicht)
n = const
9.15
9.2. Betriebsgrenzen von Strömungsmaschinen
Pumpen und Kompressoren wandeln mechanische Energie in hydraulische, sie erhöhen das
Energiepotential des durchströmenden Fluids. Diese Energieübertragung ist notwendig, um in
Verbrauchernetzwerken die vorgegebenen geodätischen Höhendifferenzen bzw. Druckunter
schiede und die in den passiven Bauelementen vorhandenen Strömungswiderstände
(Dissipation in Rohrleitung, Ventilen etc.) zu überwinden.
Bei einem geplanten Einsatz von Pumpen und Kompressoren in Wasser- oder Luftversor
gungsanlagen ist zu überprüfen, ob die zu beschaffende Maschine die Anforderungen erfüllt.
Hierzu werden von den Herstellern Kennlinien zur Verfügung gestellt, aus denen das
Betriebsverhalten zu entnehmen ist. Diese Kennlinien gelten nur für stationäre
Betriebszustände, d.h., Ein- und Ausschaltvorgänge sowie nichtstabile Arbeitspunkte werden
nicht berücksichtigt. Darüber hinaus enthalten Kennlinien und Kem1felder keine Aussagen
über die Betriebsgrenze der Maschinen. Kavitation und Überschallgefahr keilllZeichnen die
Grenzen für den Betrieb von Pumpen und Kompressoren.
9.2.1. Kavitation im Kreiselpumpenbetrieb
Der durch Kavitation jährlich verursachte Weit-Gesamtschaden wurde schon 1956, übrigens
recht zurückhaltend, auf 25 Millionen DM geschätzt. In dieser Summe nicht enthalten sind
die indirekten Schäden, die durch Unterbrechung des Arbeitsablaufes, z.B. in Kraft- oder
Wasserwerken entstehen. Leonhard Euler schrieb im Jahre 1754 folgenden Satz:" Aber wenn
es sich ereignen sollte, daß an irgendeiner Stelle des Rohres diese Größe (gemeint war der ab
solute Druck) negativ wird, so würde das Wasser die Rohrwandung verlassen und dort einen
leeren Raum lassen; man muß sich davor hüten, da alsdam1 die Wirklichkeit gänzlich von der
Theorie abweichen würde."
Viktor Kaplan hatte sich 1918 beim Bau seiner ersten großen Turbine nicht "gehütet", er hatte
eine Drucksenkung an den Schaufeln bis hin zum Dampfdruck zugelassen. Die
"Wirklichkeit", die Kavitation oder Hohlraumbildung, war eine Katastrophe, die ihn
geschäftlich fast ruinierte.
Die Ursache der Hohlraumbildung liegt in der Eigenschaft von Flüssigkeiten zu verdampfen.
An dieser Eigenschaft ändert sich auch nichts, wenn sich z.B. Wasser in rotierender Be
wegung befindet, Bild 9.14. Das Wasser verdampft, wenn der örtliche statische Druck gleich
oder kleiner als der zugehörige Dampfdruck wird. Dam1 bilden sich plötzlich örtlich scharf
begrenzte und mit Wasserdampf gefüllte Hohlräume - sog. Kavitationsblasen. Ebenso
9.16
plötzlich wie sich diese Wasserdampfblasen bilden, implodieren sie an Stellen höheren
Druckes. Hier liegen also Ursache und Wirkung nicht nur zeitlich, sondern auch örtlich
auseinander.
Bild 9.14: Kavitationsversuche an einer einstufigen radialen Kreiselpumpe mit offenem
Laufrad, cr = 0,19 und nachgeschaltetem, verstellbarem Leitrad mit
Spiralgehäuse
Universität Dortmund, Labor für Fluidenergiemaschinen
Die einzelne Kavitationsblase stürzt gleichsam im Schlagschatten von der Entstehungsstelle
zusammen. Bei Kreiselpumpen sind, wie noch an anderer Stelle zu zeigen sein wird, die am
meisten gefährdeten Stellen die Schaufeln, an denen die größten örtlichen Übergeschwindig
keiten auftreten, die nach der Energiegleichung zu den kleinsten Drücken führen. Wird dabei
der Dampfdruck erreicht, kommt es zur Hohlraumbildung.
Folgen der Hohlraumbildung: Einschnürung, Abfall des Volumenstromes und des
Wirkungsgrades.
Die Hohlräume verkleinem den möglichen Volumenstrom durch eme Einschnürung des
Kanalquerschnittes. Sie können sogar bei kleineren Rädern den gesamten Quersclmitt
ausfüllen und damit den Durchfluß vollständig verhindern, Bild 9.15.
9.17
Bild 9.15: Voll ausgebildete Kavitation im Laufradkanal einer radialen Kreiselpumpe
n =50 s-1, a= 0,19; Kennlinie nach Bild 9.16
300
100
50
Universität Dortmund, Labor für Fluidenergiemaschinen
v----... ~ 5 10
6, I I
o = spez. Förderarbeil o = Antriebsleistung • = Wirkungsgrad
20
1Je (%]
80
40
20
Bild 9.16: Kennlinien einer einstufigen Spiralgehäusepumpe nach Bild 9.14
Am Beispiel einer Radialkreiselpumpe, Bild 9.14., soll die Wirkung der Kanaleinschnürung
verdeutlicht werden. Die gemessenen Verläufe der spezifischen Förderarbeit Wf, des Ge
samtwirkungsgrades lle und der Antriebsleistung P e• Bild 9.16. kennzeiclmen das Betriebs
verhalten der Pumpe nach außen; Wf ,lle und P e sind wie üblich über V aufgetragen.
9.18
Bei voll ausgebildeter Kavitation, hier bei einem Volumenstrom von 15,5 dm3 /s, bricht die
spezifische Förderarbeit fast vollständig zusammen. Die unvollständige Wiederumsetzung der
durch die Kanaleinschnürung hervorgerufenen Übergeschwindigkeiten in Druck führt auch
zum häftigen Absinkendes Wirkungsgrades und der Nutzleistung.
Bei vollständig ausgebildeter Kavitation übertragen die Laufradschaufeln nur noch Bruchteile
der möglichen Energie an die Flüssigkeit, weil die energieaufnehmende Flüssigkeit die Lauf
schaufeln auf einer immer ldeineren, von Kavitationsblasen noch freien Oberfläche berührt.
Der Laufradendruck fällt im Spalt zwischen den kavitierenden Lauf- und Leiträdern mit
wachsenden Geschwindigkeiten immer steiler ab. Das Leitrad vermag selbst geringe Lauf
radendrücke nicht mehr zu err-eichen und von einer zusätzlichen Drucksteigerung durch Um
wandlung von Geschwindigkeits- in Druckenergie, der eigentlichen Aufgabe eines Leitrades,
kann keine Rede mehr sein.
Örtliche Drucksteigerungen
Die gebildeten Hohlräume oder Kaviationsblasen verursachen beim Zusammenstürzen z.T.
erhebliche Drucksteigerungen, die nach Untersuchungen von Föttinger bis zu 100 MPa
betragen können.
Anhand von Hochgeschwindigkeitsaufnahmen konnte 1963 erstmals der Implosionsvorgang
einer Kavitationsblase gezeigt werden. Die zunächst kugelförmige Gestalt der Blase dellt sich
während des Einsturzvorganges so ein, daß es dort zu einem Wasserschlag von voreilenden
Wasserteilchen, dem sog. "jet-impact" kommt.
Der dadurch hervorgerufene Stoßdruck wird als Ursache der auftretenden Werkstoffzer
störung angesehen. Für den Grad des Werkstoffangriffes spielt daher neben dem Werkstoff
selbst (auf den soll hier nicht näher eingegangen werden) die Auftreffgeschwindigkeit der im
plodierenden Blasen eine entscheidende Rolle. Bei großen Auftreffgeschwindigkeiten können
Pumpenlauf-und Pumpenleiträder in wenigen Stunden vollständig zerstört werden, Bild 9.17.
9.19
Bild 9.17: Durch Kavitation zerstörtes radiales Pumpenlaufrad
Theoretische Beziehungen bei eintretender Kavitation
Dem Ingenieur müssen deshalb die theoretischen Beziehungen bei eintretender Kavitation be
kannt sein, um daraus konstruktive, planende und betriebstechnische Konsequenzen zu
ziehen.
Arbeitsfähigkeit der Flüssigkeit in der saugseitigen Pumpenanlage
Die Kavitationsgefahr in einer Kreiselpumpe, Bild 9.18., wird sowohl durch die im Saug
stutzen vorhandenen Arbeitsfahigkeit, d.h., durch die Energieheiadung der Flüssigkeit als
auch durch die Strömungsverhältnisse in der Pumpe selbst bestimmt. Die spez. Arbeitsenergie
der Flüssigkeit im Saugstutzen liefert die auf die Ortsebene bezogene Energie-Konstante ey
für die stationäre Strömung. Sie ist gleich der Surmne der Druckenergie und der
Geschwindigkeitsenergie im Saugstutzen. Der Index 1,0 bezeichnet den Zustand umnittelbar
vor der Schaufeleintrittskante
GI. (9.2.-1).
Diese Energie wird hier dem atmosphärischen Luftdruck entnormnen. Sie wird verringert
durch die geod. Saughöhe der Pumpe und durch die auftretenden Verluste an mechanisch
nutzbarer Energie, also an Dissipation, in der Saugleitung, im Saugkorb und im FußventiL
9.20
Demnach ist:
Pat ey = -- gzs- CfJEJ,O p
GI. (9.2.-2).
Bild 9.18: Saugseitige Pumpenanlage
Um Kavitation im Saugmund zu venneiden, darf der statische Druck p1 den Dampfdruck PD
nicht erreichen, d.h., die spez. Arbeitsfahigkeit der Flüssigkeit im Saugstutzen kann nicht
vollständig ausgenutzt werden.
Verfügbar ist demnach nur der um die Energie des Dampfdruckes venninderte Wert der
Energie-Konstanten.
oder
e _ Pn y p
P P c2 1,0 - D + __!_,2._
p 2
Pat - Pn _ gz _ m s 't'El,O p
GI. (9.2.-3)
Gl. (9.2.-4).
In der Gleichung sind nur Größen enthalten, die von der Pumpenanlage und nicht von der
Pumpe selbst abhängen.
Von der Pumpe wird aber eme bestimmte Energiereserve - die sog. Halteenergie LlyH
benötigt, die von der verfügbaren Energie im Saugstutzen ( ey)verf mindestens bereitgestellt
werden muß, um Kavitation in der Pumpe auszuschließen.
9.21
Man kann also schreiben:
Gl. (9.2.-5).
Diese Halteenergie ist notwendig, um die im Laufschaufelkanal herrschende Strömungs
geschwindigkeit c1 zu erbringen und um zusätzlich alle statischen Drucksenkungen zu
decken, die
durch Reibungsverluste im Saugmund,
durch den Schaufeldruck,
durch die endliche Schaufeldicke,
durch die Richtungsänderung der Strömung vor der Schaufeleintrittskante (bei Radial
rädern) und
durch die Spaltkavitation (vor allem bei Axialrädern)
entstehen.
Die Frage nach der Vermeidung der Kavitation fällt immer mit der Frage nach der größten zu
lässigen Saughöhe zusammen. Für die Saughöhe wird
( ) 1 [Pat - Pn ~ ] zs max = g p - (jJEI,O - JlH GI. (9.2.-6).
Für den Planer und Betreiber einer Pumpenanlage ist damit eine Beziehung hergeleitet, die
bei gegebener Pumpe und damit bekannter Halteenergie eine Reihe Aussagen zuläßt, die zur
größtmöglichen Saughöhe führen, Bild 9.19.
Die Größe der erreichbaren Saughöhe wird zunächst durch den Atmosphärendruck be
stimmt. Die Energie im Saugstutzen muß dem Atmosphärendruck entnommen werden;
damit ergibt sich ein Verlust an Saughöhe, wenn Pumpen in größerer Höhe aufgestellt
werden müssen oder aus einem geschlossenen Gefäß saugen, in dem ein entsprechend
niedriger Absolutdruck herrscht.
Eine weitere Schwierigkeit tritt bei Flüssigkeiten mit hohem Dampfdruck auf, z.B.
beim Pumpen von Kondensaten, Flüssiggasen und heißem Wasser, weil dann oft
negative Saughöhen, also Zulaufhöhen zur Pumpe notwendig werden.
Um die erreichbare Saughöhe möglichst wenig zu vermindern, muß die saugseitige
Pumpenanlage so geplant werden, daß die Strömungswiderstände gering sind. Für das
Saugrohr heißt dies: große lichte Weite, geringe Länge, Vermeidung scharfer
Krümmungen und großer Durchmesser für den Saugkorb und das FußventiL
9.22
Dem Konstrukteur verbleibt nur eine, dafiir aber eine besonders reizvolle Aufgabe, die
Saugfähigkeit der Pumpenanlage zu optimieren.
Er muß die auftretenden Drucksenkungen in der Pumpe selbst so klein wie möglich halten,
d.h. er muß die Halteenergie so weit wie möglich senken. Meist schreibt die Pumpenanlage
die spez. Energie (pat- PD) /p vor. Durch eine zu große notwendige Halteenergie erhält man
häufig eine negative Saughöhe, Zulaufhöhe, d.h., der Saugbehälter muß über der Pumpe, mit
zum Teil erheblichen Mehrkosten, installiert werden. Für den Fall, daß die verfiigbare
Energie im Saugstutzen größer ist als die Halteenergie ~YH, besteht noch ein
Sicherheitsabstand zum Eintreten der Kavitation, der Sicherheitsdampfdruckabstand ~PsD , p
Bild 9.19.
pso p--
AYH= (NPSHlp
' lpE1,0
t-
Bild 9.19: Darstellung der verschiedenen Energieterme
Halteenergie der Pumpe
Die rechnerische Vorausbestimmung der Halteenergie stößt heute noch auf große Schwierig
keiten. Der Ansatz von Pfleiderer
? ?
/L Wl,o + /L Cl,o I 2 2 2
GI. (9.2.-7)
bringt eine erste Abschätzung.
Das erste Glied auf der rechten Seite berücksichtigt die Abnahme der spez. Arbeitsfähigkeit
durch das Anwachsen der Relativgeschwindigkeit w0 beim Eintritt der Flüssigkeit in die
9.23
Saugkanäle, während das zweite Glied die Abnahme der spez. Arbeitsfähigkeit infolge
Erzeugung der Absolutgeschwindigkeit c0 einschl. der schon erwähnten Drucksenkung durch
Reibung darstellt. A1 und A2 sind Erfahrungszahlen. Bei einer hinsichtlich der Saugfähigkeit
idealen Kreiselpumpe, bei der keine Verluste auftreten, die Laufschaufeln unendlich düm1
sind und eine gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung vorliegt, wäre A1 = 0 und A2 = 1, die ?
Halteenergie also (~YH )min = Cl,o . Dabei muß stationäre und drallfreie Strömung im Saugrohr 2
vorausgesetzt werden.
Einfluß der konstruktiven Auslegung der Pumpe auf die Halteenergie
Die Halteenergie einer Pumpe läßt sich durch geeignete konstruktive Maßnahmen reduzieren.
Insbesondere der Umlenkradius an der vorderen Deckscheibe, die Stellung der Schaufel
vorderkante, die Schaufeldicke und die Oberflächenrauhigkeit sowie die symmetrische Zu
schärfung der Schaufelkontur beeinflussen die Halteenergie der ausgefiihrten Pumpen
konstruktion.
Die Ergebnisse aus verschiedenen hierzu durchgefiihrten Untersuchungen machen die Zu
smenhänge zwischen einzelnen Konstruktionsparametern und der davon abhängigen Halte
energie der Pumpe deutlich.
Um diese Abhängigkeiten besser vergleichen zu können, ist die Halteenergie ~YH bezogen auf
ui" I 2 als spezifische Halteenergie bei voll ausgebildeter Kavitation über dem Geschwindig-
keitsverhältnis c1 /u1 jeweils beispielhaft fiir verschiedene Parameterwerte dargestellt.
Bild 9.21 zeigt die spezifische Halteenergie von Radialrädern mit verschiedenen
Umlenkradien Ru an der vorderen Laufraddeckscheibe bei gleichen Werten von Schaufelzahl
z, Schaufeldicke s und Eintrittswinkel ß 1 sowie vergleichbarer Stellung der
Schaufeleintrittskante, Bild 9.20. Das Geschwindigkeitsverhältnis, bei dem V=~~ , d.h.,
stoßfreie Zuströmung vorliegt, ist in Bild 9.21 gekeill1Zeichnet.
Der Einfluß der Stellung der Schaufelvorderkante von Radialpumpen, Bild 9.22, auf die
spezifische Halteenergie ist in Bild 9.23 dargestellt. Schaufelzahl z, Schaufeldickes und Ein
trittswinkel ß1 entsprechen den Daten der in Bild 9.20 gezeigten Radialräder.
9.24
R,.=6mm R,.=12.mm Ru=20mm R :35mm
Oie Erstreckung der Schaufeln in Umfangsrichtung lag bei allen ~ier Rädern zwischen ~ =10L0 und 110° Schaufelzahl z = 8 } Schaufeldicke s =. 2mm für alle Röcier konstant Eintrittswinkel p1 = 2l,SD
Bild 9.20: Radialräder mit verschiedenen Umlenkradien an der vorderen Laufraddeck
scheibe
0.5 AyH
uf/2
O.L
0.3
0.2
0.1
0 0 Q.1 Q.4 •• .=i o.s
Ut
,. Ru=6mm
A Ru =12mm
o Ru =20mm
+ R., =35mm
Bild 9.21: Einfluß des Umlenkradius an der vorderen Deckscheibe auf die spezifische
Halteenergie bei voll ausgebildeter Kaviatation
Aus dem Vergleich der Bilder 9.21 und 9.23 für V= V;,1 wird der bezogen auf die Wahl des
Umlenkradius größere Einfluß der Stellung der Schaufelvorderkante auf die Höhe der spezifi
schen Halteenergie, ersichtlich. Die Bedeutung der Stellung der Schaufelvorderkante wird in
Bild 9.24 anhand der Darstellung der Orte der Dampfblasenbildung bei voll ausgebildeter
Kavitation im Punkt stoßfreier Zuströmung für die 0°-Kante und die 90°-Kante verdeutlicht.
9.25
Die Abhängigkeit der spezifischen Halteenergie von der Schaufeldicke ist in Bild 9.25 bei
gleicher Schaufelzahl z, gleichem Eintrittswinkel ß 1 und gleicher Oberflächenrauhigkeit dar
gestellt. Zum Vergleich ist die Schaufel mit der Dicke Null gestrichelt eingezeichnet.
Radbezeichnung: 0°- Kante 30°- Kante 600- Kante 90°- Kante
Die Erstreckung der Schaufeln in Umfangsrichtung lag bei allen vier Rädern zwischen ~, = 104° und 1100 Schautetzahl z = B J Schauteldicke s"' 2mm für alle vier Räder l<onstant Eintrittswinket flt = 2l6°
Bild 9.22: Radialräder mit unterschiedlicher Stellung der Schaufeleintrittskante
. A •oo _ """'' Oh~----~------~------~~~~--+-~ ~ o.s,------,r----....,..---..--+rr---lrr------,
l.YH
u2/2
0.3t-----+----+--~'-ilr7"--+---+-----1 c :&J.soo- Kant•
a &'J 30"- Kant•
• J!L 0'- Kant• 0o~------~~1~----~02~------Q3~--~--o~~---.-=-~--~~5 ~J U1
Bild 9.23: Einfluß der Stellung der Schaufeleintrittskante auf die spezifische
Halteenergie bei voll ausgebildeter Kavitation
Der Einfluß der Oberflächenrauhigkeit auf die Höhe der spezifischen Halteenergie der
Pumpe ist Bild 9.26 zu entnehmen.
9.26
Dampf blasen
90°-Konte
Bild 9.24: Einfluß der veränderten Stellung der Schaufelvorderkante auf die voll aus
gebildete Kavitation im Punkt stoßfreier Umströmung
~ :z [ 0 l ! -I
23,6 e
· --- s=O --0 o~--._~o~.1 __ _. __ ~~~2~~--~o~.3--~--~o~.4--.~c-,~o.s ··-u,
s [mm)
0,61 c 1,22 0
1.99 I>
3.00 "
Bild 9.25: Einfluß der Schaufeldicke s auf die spezifische Halteenergie bei voll ausge
bildeter Kavitation
Bild 9.27 zeigt den Einfluß der symmetrischen Zuschärfung der Schaufelkontur auf die
spezifische Halteenergie beispielhaft für drei verschiedene Schaufelkonturen. Die
Zuschärfung wird durch den Parameter 1/s, dem Verhältnis der auf der Konturlinie
gemessenen Profillänge zur Schaufellänge charakterisiert. Ergänzend wird die Auswirkung
der Schaufelkontur auf die Druckverteilung in Bild 9.28. für zwei verschiedene
Konturausbildungen verdeutlicht. Die Druckabnahme ist bezogen auf c~ ·p/2 über der
Schaufellänge schematisch eingezeichnet.
0,5
0,3
0.2
0,1
0.1
9.27
.Jf /0 ' /~ ~ 12%
x" ~ t
.. # ~
pr v -:--=1 -,., 'Ist
Q.2 Q.J 0,1. ., • .!:1 o.s u,
x -sandgestrahlt R1 :1l.ll-m
o -geschliffen R, = 7,5Jl.m
• -poliert Rt: 2.51lm
Bild 9.26: Einfluß der Oberflächenrauhigkeit auf die spezifische Halteenergie bei voll
ausgebildeter Kavitation
0.6 äYJ.t u2/2 1
0,5
0.4
0,3
0,2
0,1
0 0
l~ j...,._
0.1
./ ~~ 6 ~ V
0,2
/
~
i J /.&
~ r ......
0,4 ., • ..:t. 0.5 u,
Pt= 23.6 z = 6 S·: 3 mm
l/s
€ o.s " -E~ 1.35 ~
2.2 0
Bild 9.27: Einfluß der symmetrischen Zuschärfung der Schaufelkontur auf die spezifi
sche Halteenergie bei voll ausgebildeter Kavitation
Einfluß der Kavitation auf die Schnelläufigkeit
Die Kavitation verursacht, wie anfangs festgestellt, ein Absink:en der spez. Förderarbeit und
des Wirkungsgrades von den Normalwerten.
Dieses Absink:en tritt bei Pumpen verschiedener Schnelläufigkeit in verschiedenen Formen
auf. Die Schnellaufzahl cr kennzeichnet verschiedene Radformen. Jeder Laufradform ist,
unabhängig von ihren Abmessungen, eine andere Schnellaufzahl eigentümlich.
1 05-
-0,5
9.28
kavitationsgafähn:tate Stelle diiS Schautalontangs
s
Bild 9.28: Druckverteilung für zwei verschiedene Ausbildungen einer Schaufelkontur,
1/s = 2
Hochdruck- oder Radialräder liefern vorwiegend Druckenergie bei kleinen Volumenströmen,
Propellerräder fördern große Volumenströme mit geringer Druckenergie. Den Übergang
bilden Niederdruck- und Diagonalräder, Bild 9.29.
A.
B.
c.
Bild 9.29:
Bauformen von Kreiselpumpenlauf
rädern
a) Radialrad oder Hochdruckrad
b) Diagonal- oder Halbaxialrad
c) Propeller- oder Axialrad
9.29
Hochdruckrad
Bei Pumpen mit Hochdruckrädem fällt die Kurve der spez. Förderarbeit mit der Wirkungs
gradkurve plötzlich steil ab, wenn der Volumenstrom, bei dem die Kavitation voll
ausgebildet ist, erreicht wird, Bild 9 .16.
Unmittelbare Beobachtungen der Strömung zeigen, daß der Kavitationsbeginn schon einsetzt,
bevor die Drosselkurve durch die Einschnürung des Kanalquerschnittes beeinträchtigt wird.
Die Strömungsaufnahmen wurden bei n =50 s-1 gleichzeitig mit der Drosselkurve der Pumpe
nach Bild 9.16. bei der Leitradstellung 1/1 aufgenommen. Die Reihenfolge der Aufnahmen
stimmt mit der Zahlenfolge an der Wirkungsgradkurve, Bild 9 .16., überein.
Im Auslegungspunkt, der Stelle optimalen Wirkungsgrades, sind keinerlei Kavitationsblasen
zu beobachten. Erst im Überlastbereich im Punkt 2 treten sie vereinzelt, im Punkt 3 häufiger
auf. Wird der Volumenstrom weiter erhöht, Punkt 4, füllen sich die Radkanäle deutlich mit
Kavitationsblasen und schnüren den Durchflußquerschnitt ein, bis endlich bei voll
ausgebildeter Kavitation im Punkt 5 der Volumenstrom erreicht ist, bei dem die Drossel- und
Wirkungsgradkurve steil abfallen. Bei voll geöffnetem Leitrad kavitiert, bedingt durch den
großen Überlaststoß, nahezu der gesamte LeitradkanaL Zur Venneidung aller
Kavitationsblasen, z.B. im Punkt 3, müßten demnach wirtschaftlich nicht mehr vertretbare
Dampfdruckabstände bzw. Zulaufhöhen, also Energiereserven, bei der Berechnung von
Radialpumpen zugrundegelegt werden. Bei Pumpen höherer Laufzahl sinken die
charakteristischen Kurven im ganzen Volumenstrombereich langsamer vom Nonnalwert ab,
bevor der Punkt des plötzlichen Abbrechens erreicht ist.
Niederdruckrad und Diagonalrad
Der Grad der Abnahme von Drosselkurve und Wirkungsgradkurve richtet sich nach der Lauf
zahl und der Saughöhe. Er ist umso geringer, je höher die Schnellaufzahl und je kleiner der
Druck auf der Saugseite der Pumpe wird. Bei Pumpen mit Laufzahlen cr > 1, also bei Pro
pellerpumpen, tritt kein Bereich auf, in dem die Drosselkurve plötzlich auf Null absinkt.
Stattdessen fallen die Kurven kontinuierlich im ganzen Arbeitsbereich.
Das unterschiedliche V erhalten von Pumpen verschiedener Schnelläufigkeit rührt von den
Unterschieden in der Laufradkonstruktion her. Räder mit niedriger Laufzahl, Bild 9.30. a,
haben regelrechte Kanäle. Wenn der Druck am Laufradeintritt den Dampfdruck erreicht, dann
kann sich bei voll ausgebildeter Kavitation der gesamte Kanalquerschnitt mit einem Zwei
phasengemischaus Wasser und Dampf füllen. Die Drosselkurve bricht dann plötzlich ab.
9.30
Bei Pumpen mittlerer Laufzahl, Bild 9.30. b, ist der Kanal zwischen den Schaufeln breiter
und kürzer. Hier wird eine größere Abnahme der spezifischen Förderarbeit und eine
Zunahme des Volumenstromes benötigt, um die Zone der Drucksenkung auf den
Dampfdruck über den ganzen Kanalquerschnitt auszudehnen. Deshalb dehnt sich der Bereich
möglicher Volumenströme, indem die Drosselkurve unter ihren Nonnalwert abfällt, weiter als
bei den Radialrädern aus, bevor sie plötzlich steil abbricht.
a) b) c)
--. D ~ ---;;r·-·-·7-.~/~.-- -~z;:".~-·--
a niedrig a mittel a hoch
Bild 9.30: Laufräder unterschiedlicher Kanalbreite und Kanallänge
(Gebiete erhöhter Drucksenkung schraffiert)
a) a niedrig b) a mittel c) a hoch
Propellerrad
Bei Propellerpumpen, Bild 9.30. c, überdecken sich die Schaufeln nicht. Deshalb bleibt
immer, auch bei Ausweitung der Zone niedrigen Druckes, ein Teil des Kanals
flüssigkeitsgefiillt, so daß sich der Volumenstrom stetig vergrößert, auch wenn die Kavitation
schon voll ausgebildet ist.
Kavitation im Betrieb
Kavitationsintensität
Für den Grad der auftretenden Werkstoffzerstörung spielt, wie eingangs erwälmt, bei gegebe
nem Werkstoff die Auftreffgeschwindigkeit der implodierenden Blasen eine entscheidende
Rolle.
Am Einsturzvorgang sind nun wesentlich Druckkräfte und Reibungskräfte beteiligt /5/.
9.31
Bildet man das Verhältnis der Reibungskräfte zu den Druckkräften im Zeitpunkt t = 0, dem
Anfangszeitpunkt des Implosionsvorganges, dann kann man eine Kavitationszahl \JfK definie
ren, die, wenn sie kleine Werte annimmt, große Druckkräfte und bei großen Werten
kleine Druckkräfte beschreibt.
~K .- [~] rurt~o Gl. (9.2.-8).
Mit \JfK lassen sich demnach bei bekannten Randbedingungen ähnliche Kavitationszustände
beschreiben. Trägt man nun für verschiedene \JfK-W e1ie die zugehörige
Auftreffgeschwindigkeit auf, können Aussagen über die Intensität des Druckstoßes gemacht
werden.
In Bild 9.31. ist die mit der Zuströmgeschwindigkeit c0 dimensionslos gemachte Auftreff
geschwindigkeit Ce über die Kavitationszahl \JfK aufgetragen.
1.4
1,3
1,2
1.1
Ce 1,0
Co 0,9
Hochlage
I
1
0,8
0,7
0,6
-r--
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
4 6 8 1Ö1
2
r---.. r--... "--.
...... , ........
.......... ....... ~
........... ...... .,....._ Tief!a~e
4 6 8101
2 ---4Jk
4 5
Bild 9.31: Abhängigkeit der Auftreffgeschwindigkeit Ce der kavitierenden Blase von der
Kavitationszahl \JfK, [5]
Der Kurvenverlauf zeigt, daß mit steigender Kavitationszahl, also mit wachsender Reibung,
das Geschwindigkeitsverhältnis Ce /c0 und damit der Druckstoß aus einer "Hochlage" in eine
"Tieflage" Ce /c0 -t 0 übergeht.
Im Bereich der "Hochlage" schlägt die Wassennasse bei großen Massenkräften mit Ce = 0,9 c0
als Endgeschwindigkeit gegen die Oberfläche. Der dämpfende Einfluß beträgt hier etwa 10%.
9.32
Die Kavitationsblasen sind klein und führen zu harten Dmckstößen mit großem Gradienten
dp/dt.
In der Übergangszone zur "Tieflage" wachsen die Blasen an. Durch die zunehmenden
Reibungskräfte nimmt die erreichbare Endgeschwindigkeit Ce weiter ab. Der Dmckstoß wird
durch die während der Wachstums- und Zerfallzeit der Blase in sie hineindiffundierende
größere Dampfmenge gedämpft. Die hier kleinen Dmckstöße fallen weiter mit steigender
Temperatur ab, weil einerseits mit der Temperatur die Dampfdichte in der Blase ansteigt tmd
andererseits die gleichzeitig ansteigende Kondensationswärme in der kurzen Implosionszeit
nicht mehr vollständig abgeführt werden kann.
9.2.2. Überschallgefahr im Turbokompressorbetrieb
Im Kompressor liegt wie in der Kreiselpumpe in den Schaufelkanälen von Lauf- und Leitrad
eine verzögerte Strömung vor. Ist nun die im Laufschaufelkanal zu verzögernde Relativ
geschwindigkeit bzw. die Absolutgeschwindigkeit im Leitschaufelkanal eine Überschall
geschwindigkeit, so treten bei der Verzögerung auf Unterschallgeschwindigkeit Ver
dichtungsstöBe auf. Erhebliche Wirkungsgradvermindemng ist die Folge. Darum soll die
Relativgeschwindigkeit im Laufrad und die Absolutgeschwindigkeit im Leitrad unter der
Schallgeschwindigkeit bleiben. Bei inkompressiblen Fluiden liegen diese Geschwindigkeiten
um Größenordnungen unter der Schallgeschwindigkeit
GI. (9.2.-9).
In GI. (9.2.-9) ist p der örtliche statische Dmck, v das (auf die Masse bezogene) örtliche
spezifische Volumen.
Für trockene Luft mit R = 0,287 kJ/kg Kund K = 1,4 ergibt sich a in m/s zu
a = 20,04 .JT mit Tin [K] .
Im Einlauf eines Turbokompressors sind die Temperaturen und damit die Schallgeschwindig
keit klein. Nun tritt außerdem beim Einlaufen in die Laufschaufelkanäle eine hohe Relativ
geschwindigkeit auf, um dann im weiteren Stromlinienverlauf verzögert zu werden. Deshalb
sind in einem Kompressor die Orte der Überschallgeschwindigkeit vergleichbar mit den der
Kavitationsgefahr bei Kreiselpumpen.
9.33
Im Abschnitt 9.2.1. wurde festgestellt, daß bei Kreiselpumpen die Kavitationsgefahr steigt,
wenn beim Einlauf in den Laufschaufelkanal bei hohen statischen Drucksenkungen hohe
Relativgeschwindigkeiten auftreten. Bei Kompressoren wird die Überschallgefahr groß, wenn
beim Einlauf in die Laufschaufelkanäle bei kleiner Gastemperatur hohe Relativgeschwin
digkeiten gefahren werden. Im Kompressorschaufelkanal steigt die Temperatur (wie der stati
sche Druck einer Kreiselpumpe) und die Relativgeschwindigkeiten werden verzögert, d.h.
Überschall- und Kavitationsgefahren sinken.
9.3.
9.3.1.
Maschinenkennlinien bei Einzel- und Mehrfachanordnungen
Kennlinienumrechnung
Die Maschinenkennlinien liegen in grafischer Form vor, sie gelten jeweils nur für eine Dreh
zahl, Bild 9.32., und geben die Energiedifferenz zwischen Saug- und Druckstutzen in Ab
hängigkeit vom durchgesetzten Volumenstrom an (Kontrollraumgrenzen).
Bild 9.32:
Kennlinien von Kreiselpumpen
n=cor I
Wird eine Pumpe (Kompressor) mit einer z.B. verminderten Drehzahl angetrieben, kam1 bei
gültigen Ähnlichkeitsbeziehungen die neue Maschinenkem1linie näherungsweise12) aus der
ursprünglichen errechnet werden (Kongruenzgesetz). Sind die Wirkungsgrade als konstant
anzusehen, so gilt:
w1 ~ uc11
2 w1 ~ n
v~n
12) unvollständige Ähnlichkeit '7 = f CV)
GI. (9.3.-1),
GI. (9.3.-2).
9.34
Bei einer Drehzahlvariation folgt die Kennlinien-Umrechnung dann gemäß:
GI. (9.3.-3).
9.3.2. Reihenschaltung
Bei in Reihe geschalteten Pumpen fordert jede denselben Volumenstrom, damit wird die Ge
samtkennlinie durch die Addition der übertragenen Energie ermittelt, hier soll die Dissipation
in den Verbindungsleitungen vernachlässigt werden.
In Bild 9.33. sind drei Maschinen mit derselben Kennlinie hintereinandergeschaltet; bei
unterschiedlichen Kennlinien erfolgt die Addition in analoger Weise.
t
w; ------;----. i Wf I II III = f(V)i
' ' I I
9.3.3. Parallelschaltung
3w;
2wi
Bild 9.33:
Reihenschaltung von Kreisel
pumpen
Bei parallelgeschalteten Pumpen ergibt sich eine Gesamtkennlinie, die aus der Addition der
Einzelvolumenströme zu ermitteln ist. Wird vereinfacht wiederum eine verlustfreie Durch
strömung der Verbindungsleitungen angenommen, gilt für z.B. drei identische Pumpen die
Darstellung gemäß Bild 9 .34.
9.35
t Wt
w, r,n,m= t(V)
y' 2'i/'
Bild 9.34: Parallelschaltung von Kreiselpumpen
9.3.4. Passive Anlagenelemente
Das betriebliche Verhalten der in Netzwerken vorhandenen passiven Anlagenelemente ist
durch Kennlinien übersichtlich darstellbar. Jedes Element hat eine charakteristische
Kennlinie, die durch vereinfachende Annahmen das wesentliche V erbraucherverhalten
beschreibt.
Rohrleitung
9.3.5.
Bei angenommener konstanter Widerstands
zahl ist der durch Dissipation entstehende
Druckverlust L\pRL z c2
L\pRL =PA--d 2
somit wird für eine unveränderte Rohrgeome-
trie
Gl. (9.3.-4)
rpRL ~ v2 a1. (9.3.-s) .
Die "Verbraucherkennlinie" ist eme
quadratische Parabel mit dem Scheitel im
Koordinatenursprung; sie wird durch nur ein
Wertepaar ( rp~ , V') vollständig beschrieben.
Ermittlung von Arbeitspunkten
Die Ermittlung des Arbeitspunktes in einem bekannten Netzwerk geht von der Überlegung
aus, daß die von den Pumpen dem Fluid übertragene Druck- und Geschwindigkeitsenergie zur
9.36
Überwindung von Strömungswiderständen in Rohrleitungen und Ventilen bereitgestellt
werden muß (vollständige Dissipierung) oder in Hochbehältern bzw. Kesseln gespeichert
wird (rückgewinnbar). - Zu beachten ist, daß beim Ansaugen des Fluids aus einem
Vorratsbehälter eine Beschleunigungsenergie c2 /2 aufgebracht werden muß, die in üblichen
Anlagen nicht zurückgewonnen wird.
Energiegleichgewicht
e =e verfügbar Verbraucher
"' e f b = es · h + eD. · · ver Ug ar pe1c er 1SS1pat10n l
Bild 9.35: Energiegleichgewicht in einem Netzwerk
Für komplexe Netzwerke (Absicherung mit Rückschlagventil !) ist die Zusmmnenfassung
mehrerer Kennlinien sümvoll (man spricht dann von einer Reduzierung).
Im Beispiel nach Bild 9.36. erscheint die Reduzierung auf den Punkt 1 geeignet.
HB 1
Bild 9.36: Schematische Darstellung eines Versorgungsnetzes
9.37
Verbraucher (passives Anlagenelement, z.B. Rohrleitung) [ ~ « rp"] .
t <t>RL g-z
v .. Bild 9.37: Reduzierung von Verbraucherkennlinien
Versorger (aktives Anlagenelement, z.B. Pumpe)
i
V .,.. Bild 9.38: Reduzierung von Pumpenkennlinien
RL 1
r;; I •
RL2
~!-I
9.38
Netzwerk (Zusammenarbeit aktiver und passiver Anlagenelemente)
i "\.
'J\e~\tr$J - &~~ ............. \)et'Ot,.. --- ,,...
-- -Zusammenarbeit inj....-,.. .......... ,r ........... ----~"------......
V---~ .. ~
Bild 9.39: Ermittlung des Arbeitspunktes mit reduzierten Kennlinien
9.3.6. Instabile Arbeitspunkte
"Pumpen" und Pumpgrenze
Die Ermittlung von Arbeitspunkten anhand der statischen V ersorger- und Verbraucher
kennlinie setzt voraus, daß sich stabile Arbeitspunkte ergeben. Eine Störung des Gleich
gewichtszustandes wird dann selbsttätig wieder abgebaut. Im Gegensatz dazu sind instabile
bzw. labile Arbeitspunkte durch ein "Weglaufen" der Betriebszustände charakterisiert.
Obwohl diese zeitlichen Vorgänge nicht mit den statischen Kennlinien dargestellt werden,
sind aus den Steigungen der Kennlinien im Arbeitspunkt die Bedingungen für labile und
instabile Gleichgewichtszustände abzulesen, Bild 9.40.
Ein stabiler Arbeitspunkt liegt dann vor, wenn die Steigung der Verbraucherkennlinie im
Arbeitspunkt größer als die der Pumpenkennlinie ist.
Die Zusammenarbeit von Pumpen mit im Arbeitsbereich fallender Kennlinie und Anlagen,
deren Kennlinie durch Reibungswiderstände mitbestimmt werden und folglich immer eine
"positive" Steigung haben, ist dann immer durch stabile Arbeitspunkte gekennzeichnet.
9.39
v---~ .. ~ v----. .. ~ - Beschleunigung -Verzögerung l>Pv < l>pp
STABILER ARBEITSPUNKT -Verzögerung-- Beschleunigung
LABILER ARBEITSPUNKT
Bild 9.40: Stabiler bzw. labiler Arbeitspunkt bei der Zusammenarbeit Pumpe Ver
braucher
Bei radialen Kreiselpumpen und Kompressoren kann entsprechend Bild 9.6. die Nullförder
arbeit kleiner als die maximale Förderarbeit sein, Bild 9.41.
Wenn eine solche Pumpe in einer Anlage mit überwiegend statischen Druckanteilen
(Hochbehälter) eingesetzt wird, sind die Arbeitspunkte auf dem rechten Ast der Pumpenkenn
linie 1-2 stabil. hn Bereich 2-3 dagegen sind die Arbeitspunkte instabil, eine Störung des
Gleichgewichtszustandes wird nicht abgebaut.
t
n= const
0
Bild 9.41: Vollständige Kennlinie
Pumpgrenze
v---~ .. ~
Wf2;; Wr.max
w13 : w10
9.40
Bei Verbrauchernetzen, die eme Speicherfähigkeit besitzen (Hochbehälter bei Wasser
förderung, elastische Rohrleitungen, Druckluftnetze o.ä.) kann es im Bereich links von der
sog. Pumpgrenze, das ist der Punkt 2 in Bild 9.41., zum "Pumpen" in der Anlage kommen.
Die Förderung z.B. in einen Hochbehälter mit einer geodätischen Höhe zHB
bedeutet, wenn dem Hochbehälter kein Wasser entnommen wird, daß nach einer gewissen
Zeit die maximale geodätische Höhe zHB max = Wf21g erreicht wird. Die Pumpe kann nun
nicht weiter fördern, da die von ihr maximal erzeugbare Druckdifferenz gleich bzw. kleiner
als der Druck der Wassersäule wird. Die Folge ist ein Abbremsen des Förderstromes und- da
der Bereich 2-3 labil ist- nach dem Erreichen des Nullförderpunktes 3 den Übergang in den
Bereich 3-5 mit "negativer Förderung". Der Behälter entleert sich jetzt, der Wasserspiegel
und damit der Druck sinken ab, so daß die Pumpe schlagartig wieder zu fördern beginnt. Der
Betriebspunkt liegtjetzt wieder auf dem positiven Zweig der Pumpenkennlinie. Damit steigt
der Wasserspiegel im Hochbehälter wieder an und der ganze Vorgang beginnt von neuem.
Dieser als "Pumpen einer Anlage" bezeichnete Vorgang beeinträchtigt den Betrieb und u.U.
die Lebensdauer der Anlagenteile die durch die Schwingungserscheinungen stark gemindert
wird. Abhilfe bei vorhandenen Anlagen kann durch den Einbau von Drosselorganen in die
Druckleitung geschaffen werden, so daß sich stabile Arbeitspunkte auch im Bereich 2-3 der
Pumpenkennlinie ergeben. Ansonsten sind bei der Projektierung von Anlagen, in denen das
"Pumpen" als möglich erscheint, Pumpen oder Kompressoren auszuwählen, deren Kennlinie
im Bereich kleinerer Volumenströme nicht abfällt. Die Nullförderarbeit muß dann gleich der
maximalen Förderarbeit sein, sonst sind Pumpverhütungsregelungen vorzusehen. So kann ein
Teil des von Kompressoren geförderten Fluids abgeblasen werden, so daß der Volumenstrom
stets größer als der "Pumpvolumenstrom" bleibt.
10. Literaturverzeichnis
[ 1] Al bring, Wem er
[2] Kauder, Knut
[3] Eck, Bruno
[ 4] Pfleiderer/Petermann
[ 5] Lehmann, Willlied
[6] Lewinsky-Kesslitz
[7] Eck, B.
[8] Weinig, F.
[9] Stache, A.
[10] Schöneberg, W.
Augewandte Strömungslehre. 4. Aufl., Dresden: Th. Steinkopff 1970
Strömungs- und Widerstandsverhalten in gewellten Rohren. Dissertation Hannover 1971
Technische Strömungslehre. 7. Aufl., Berlin/Heidelberg/N ew Y ork: Springer 1972
Strömungsmaschinen. 4. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York: Springer 1972
Arbeitsvorgänge von Rohrströmungen - Ein Beitrag zur Modellvorstellung der Kavitation. Dissertation Hannover 1971
Dissertation TH Graz 1959
Ventilatoren. 5. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York: Springer 1972
Strömung von Schaufeln von Turbomaschinen. Leipzig, 193 5
Dissertation TU Braunschweig 1969
Untersuchungen über Kavitation an radialen Kreiselpumpen. Dissertation Universität Darmstadt 1966
Ergänzende Literatur
(1)
(2)
(3)
(4)
Truckenbrodt, E.
Schlichting, H.
Traupel, W.
Gersten, K. Herwig, H.
Fluidmechanik Bd. 1, 1. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York: Springer 1980
Grenzschichttheorie. 5. Aufl., Karlsruhe: G. Braun 1965
Thennische Turbomaschinen. Bd. 1, 2. Aufl., Berlin/Heidelberg/N ew Y ork: Springer 1966
Strömungsmechanik Braunschweig/Wiesbaden, Vieweg 1992
Sachwortverzeichnis
A Absolutbahn 2.3 Absolutgeschwindigkeit 2.1. Absolutsystem 2.12 Ähnlichkeit 6.1, 6.3 Ähnlichkeitsbeziehung 9.3 3 Ähnlichkeitsparabel9.9 Aktionswirkung 4.1 Anfahrbedingung 9. 7 Anfahrwirbel 5.3 Anlagenelemente 9.35 Anstellwinkel5.5, 5.6, 5.7, 5.10 Allströmwinkel 5.4 Arbeitsfähigkeit, spez. 1.13, 1.15, 1.19 Arbeitspunkte 9.36 -, istabile 9.39 Arbeitsverfahren 4.10 Auftrieb 5.2 Auftriebsbeiwert 5.5, 5.7 Auftriebskraft 5.1 Aufwertungsformeln 6.3 Ausgleichsraum 8.6 Ausgleichsscheibe 8.5, 8.7, 8.8 Auslegungspunkt 6.18, 9.7 Austrittswinkel4.8, 4.10 Axialkraft 8.1 Axialmaschine 1.2, 2.2, 4.5 Axialschub 4.10, 8.2
B Bemoullische Gleichung 1.21, 5.3 Beschleunigungsstoß 7. 9 Bezugsvolumenstrom 6.5 Blasius, Rohrwiderstandszahl 1.30
c Colebrook 1.26 Colebrooksche Gleichungen 1.27 Cordier 6.8 Cordier-Kurve 6.9 Corioliskräfte 2.13 Cosinussatz 2.11
D Dampfdruck 9.15 ff Deckscheibe 8.4 Diagonalrad 9.29 Dissipationsstrom 3.3
Dralländerung 4.1 Drehimpuls 2.6 D Drehzahlvariation 9.33 Drosselkurve 9.1, 9.6, 9.7, 9.29 Druckkraft 6. 7 Druckstoß 9.32 Druckverteilung 8.3 Druckzahl6.5, 6.12 Durchflußkoeffizient 7.4 Durchflußströmung 2.11 Durchmesserzahl 6.9
E Einheitsdruckzahl 6.8 Einheitsmaschine 6.7 Einheitsvolumenstromzahl 6.8 Einheitswerte 6.7 Eintrittsstoß 7.8 Einzelmaschine 6.17 Energiefluß 3.1 Energiewandlung 1.1 0 -, instationär 1.22 Energiewandlungsverlauf 3.5 Enthalpiezahl 6.5 Enthalpie-Entropie-Diagramm -Düse 1.23 - Diffusor 1.23 - Rohrleitung 1.24 -Turbine 3.6, 3.7, 3.8 - Kompressor 3 .13
E Feldeigenschaft 6.6 Feldkraft 6.7 Fließprozeß 1.11, 2.13 Fluid 1.1 Förderenergie 1.31 Froude-Zahl 6. 7
G Gegendrall 9.1 0 Geschwindigkeitsmaßstabsfaktor 6.3 Geschwindigkeitsplan 2.5, 4.6, 4.7 Gitter 5.1, 5.6 Gitterdichte 5.6 Gleichdrall 9.10 Gleichdruckturbine 4.1
Gleichdruckverfahren 4.1 ff, 4.10 Gleitzahlen 5.4, 5.10 Grenzschicht 5.3, 5.10
G Großausführung 6.3 Grundgröße 6.6
H Hagen-Poiseuille, Rohrwiderstandszahl1.30 Hakenschaufeln 4.9 Halteenergie 9.20 ff Hauptgleichung der Strömungsmaschinen 2.11 Hochdruckrad 9.28, 9.29 Hohlraumbildung 9.16
I Impulssatz 5.9, 8.1 Impulsstrom 8.2 Innenleistung 3.4 Isentropenexponent 1.14
I Jet-impact 9.18
K Kanaleinschnürung 9.18 Kanalwirbel 2.12 Kannarm v., Rohrwiderstandszahl 1.30 Kauder, Rohrwiderstandszahl 1.30 Kavitation 9.15 ff Kavitationsblasen 9.15 Kavitationsgefahr 9.15 Kavitationsintensität 9.30 Kavitationszahl 9.31 Kennfeld 9.1 ff Kennlinie 9.1 ff, 9.8 Kennzahlen 6.4 ff Kompressorstufe 3 .11 Kreisströmung 2.12 Kupplungsleistung 3.5 Kutta-Joukowsky, Satz von 5.1
1 Labyrinthprofilierung 7.4 Längenmaßstabsfaktor 6.3 Langsamläufer 6.15 Laufrad 1.1, 2.3, 2.5, 9.5 Laufradbauarten 1.4, 1.5, 1.6, 9.24, 9.25 ff
Laufradgitter 2.3 Laufschaufel 1.2 Laufschaufelverstellung 9.10 Laufzahl 6.9, 6.13 Leistungsbilanz 1.12 Leistungszahl 6. 5
1 Leitrad 1.1, 2.3, 3.7, 9.5 Leitradverstellung 9.10 Lilienthai 5.4
M Maschinenkennzahlen 6.1 Maschinenströmung 3.1 Mehrflutigkeit 6.12, 6.17 Mehrstufigkeit 6.12, 6.17 Mittelläufer 6.15 Momentensatz 2.5, 2.6, 3.4
N Naßdampf 1.32 Niederdruckrad 9.29 Nikuradse 1.26 Nullfürderarbeit 9.40
r_ Parallelschaltung 9.35 Polarendiagrmmn 5.5 Polytropenexponent 1.1 7 Potentialströmung 2.12 Potentialwirbel 2.12 Prandtl, Rohrwiderstandszahl 1.30 Profilfonn 5.4 Profilierung 5.10 Pumpendrehzahl9.33 Pumpenstufe 3 .11 Pumpenturbine 1.3 Pumpenvolumenstrom 9.41
R Radarbeit 2.9, 4.4 -, dynmnische 2.11, 4.4 -,spezifische 3.4, 3.12, 5.9, 6.2, 6.4, 9.2 -, statische 4.4 Radialmaschine 2.2, 2.4 Radleistung 2.9 Radreibung 3 .12, 7.1 Radseitenraum 8.5 Rauhigkeitssystematik 1.29 Reaktionsgrad 4.4 ff, 6.12, 6.13, 6.16
Reaktionsmaschine 4.1, 4.3 Reaktionswirkung 4.1 Reibungskraft 6. 7 Reibungswinkel5.4 Reihenschaltung 9.34 Relativgeschwindigkeit 2.1, 2.3 Relativsystem 2.12 Reynoldszah11.26 ff, 6. 7 R Rückenschaufeln 8.4
s_ Saughöhe 9.21 Schallgeschwindigkeit 9.32 Sankey-Diagramm 3.6, 3.14 Schaufelgitter 1.3, 6.1, 7.8 Schaufelkanal 2. 8 Schaufelkontur 5.9 Schaufelkraft 5.8, 5.9 Schaufelprofil 5.9 Schaufelverluste 6.11 Schaufelverstellung 9.10 Schnelläufer 6.15 Sekundärströmung 2.13, 2.15, 7.2 Spaltkavitation 9.21 Spaltstrom 3.3, 3.12 Spaltverluste 3.3, 7.11 Staudruck 5.1, 6.5 Staupunkt 5.2 Stoffeigenschaften 6.6 Stoß 7.8 Stoßdruck 9.18 Stromlinienbild 9.3, 9.4 Stromfaden 5.10 Stromflächen 1.3 Strömung 5.3 Strömungsfeld 1.3 Strömungsform 1.28 Strömungsprozesse 1.22 Strömungswinkel 2.1, 2.3 ff
T Teilbeaufschlagung 7.11 Thomson, Satz von 5.3 Totalenthalpie 3.5 Tragflügel5.6 Tragirugeltheorie 5.1 ff Trägheitskraft 6. 7 Turbinenstufe 3.1
u Überdruckturbine 4.3 ff Überdruckverfahren 4.1 Überschallgefahr 9.32 Umfangsgeschwindigkeit 2.1, 4.7 Umfangsleistung 3.1, 3.3, 3.4, 3.12
V Ventilationsverluste 3 .4, 7.11 Verbraucherkennlinie 9.36 V Verdichtungsstoß 9.32 Verdrängungsströmung 2.11, 7.6 Vergleichsrad 6.9, 6.11 Verlustleistung 3.4 Verzögerungsstoß 7.9 Verzögerungsverluste 7. 6 Volumenstromzahl6.5 Vorzeichenvereinbarung 1.11
w Werkstoffzerstörung 9.30 Widerstandsbeiwert 5.1 Widerstandskraft 5.1 Widerstandszah11.26, 1.27 Wirbel5.3 Wirkkette 3.8, 3.10, 3.14, 3.15, 6.11, 6.12, 9.7 Wirkungsgrad 3.9, 3.10, 3.14, 3.15, 6.11, 6.12, 9.7
z. Zeitmaßstabsfaktor 6.3 Zentrifugalbeschleunigung 2.13 Zirkulation 2.5 ff, 5.2 ff Zustandsfläche von Dampf 1.33 Zylinderschnitt 2.3