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Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Qualität von Netzen
• Definition von Qualität
• Präzision
• Zuverlässigkeit
• Beispiel Datumsfestlegung – Qualität
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Was ist Qualität?
Vier Bedingungen für Qualitätskriterien:– allgemein anerkannt– nachvollziehbar– objektiv– adäquat
Qualität oft wertend: „gute Qualität“
Hängt oft von der Aufgabe ab
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Anerkannte Definition
„Grad, in dem ein Satz inheränter Merkmale Anforderungen erfüllt“ (ISO 9000)
Immer im Kontext mit AnforderungenGeographische Daten (Guptill & Morrison 1995):
– Vollständigkeit– Positions- und Attributsgenauigkeit– Aktualität– Auflösung bzw. Maßstab– Konsistenz (Abwesenheit von Widersprüchen)– Herkunft
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Qualität in der Geodäsie?
Gezielt gesetzt Schwerpunkte
Unterscheidung zwischen
– Präzision
– Zuverlässigkeit
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Präzision
Mit wie vielen signifikanten Stellen wurde ein Wert bestimmt?
Statistische Verteilung der Realisierungen
Nur korrekt, wenn funktionales Modell und a priori Annahmen über Standardabweichung und Korrelation korrekt
Qualität des Entwurfes
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zuverlässigkeit
Kontrollmöglichkeiten im Ausgleichsmodell
Kriterien für Kontrollierbarkeit von Beobachtungen
Abschätzung des Einflusses nicht auf-deckbarer Fehler auf die Unbekannten
Qualität der Realisierung
Aussagen über den Schutz vor groben Fehlern
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Beurteilung der Präzision
Beurteilung von erforderlicher bzw. erreichter Präzision notwendig
Maße für die Präzision eines Punktes sollte geometrisch anschaulich sein
Es gibt noch Maße für die Präzision von Funktionen und des gesamten Netzes (globale Kriterien für die Präzision)
Maße für die Präzision sind meist datums-abhängig
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Präzision von Netzpunkten
Maßgeblich ist die Kovarianzmatrix
Zu beachten: ist nur Schätzwert für die Gewichtseinheit - umso genauer je höher die Anzahl der Freiheitsgrade nf
Bei a-priori-Ausgleichung:
f
T
xxxx nss
PvvQC 2
020 mit
20s
20
xxxx Q20
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Konfidenzhyperellipsoid, Eigenwertkriterien, Hauptkomponentenanalyse etc.
ypypypxpypyypxypyypxypyypx
xpypxpxpxpyxpxxpyxpxxpyxpx
ypyxpyyyxyyyxyyyxy
ypxxpxyxxxyxxxyxxx
ypyxpyyyxyyyxyyyxy
ypxxpxyxxxyxxxyxxx
ypyxpyyyxyyyxyyyxy
ypxxpxyxxxyxxxyxxx
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqq
332211
332211
11333323231313
11333323231313
11323222221212
11323222221212
11313121211111
11313121211111
Standardabweichung der Koordinaten oder mittlere Präzision der KoordinatenFehler- und Konfidenzellipse und PunktlagefehlerRelative Fehler- und Konfidenzellipsen
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lokale Kriterien für die Präzision
• Präzision einzelner Beobachtungen
• Präzision einzelner Unbekannter
• Präzision von Funktionen der Unbekannten
• Helmertsche Fehlerellipse
• Präzision eines Koordinatenpaares
• relative Fehlerellipse
• (relative) Konfidenzellipse
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Präzision einzelner Beobachtungen
A priori- Präzision der Beobachtungen in ll - stochastisches Modell der Ausgleichung
• A posteri- Präzision :
• Kofaktoren/Kovarianzen der Verbesserungen:
TxxllAAQQ ˆˆ
llllvv ˆˆQQQ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Präzision einzelner Unbekannter
• Varianz x2, y
2, z2 (h
2)
• Standardabweichung x, y, z (h)
Direkt abgelesen aus Kofaktormatrix Qxx
Abhängig von der Lage des Koordinaten-systems eher selten verwendet
• Konfidenzintervall (siehe A1)
iiiiii yyyxxx qssqss 00 bzw.
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Präzision von Funktionen der Unbekannten
Gegeben: Beliebige Funktion =fTx und die Kovarianzmatrix xx der Unbekannten x
Gesucht: Varianz der Funktion Kovarianzfortpflanzungsgesetz (siehe A1):
ff xxT2
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Helmert‘sche Fehlerellipse
Gegeben: sx und sy
Gesucht: Mittlerer Fehler des Punktes in einer beliebigen Richtung
Ergebnis: Fußpunktskurve mit den Halb-achsen A und B
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Herleitung (1)
Konfiguration:– Punkt P mit Koordinaten x und y,
Standardabweichungen sx und sy
– Punkt P mit Koordinaten und ist fehlerfrei gegeben
– Punkt P rotiert auf Kreisbahn um Punkt P
Bestimmung des Streckenfehlers PP über Fehlerfortpflanzungsgesetz
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Herleitung (2)
Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert
Einsetzen von liefert
Fußpunktskurve einer Ellipse mit sx, sy
dyydxxdrr
yxr
222
222
22
22
2yxr s
r
ys
r
xs
sin,cos
r
y
r
x
22222 sincos yxr sss
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Fußpunktskurve
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Fehlerellipse
Ellipse der Fußpunktskurve heißt mittlere Fehlerellipse nach Helmert oder Standard–Ellipse
Bei P auf x- oder y-Achse: = 0 / = /2, sr fällt mit Halbachsen sx bzw. sy der Ellipse zusammen
Voraussetzung für diesen Weg: sx und sy unabhängig voneinander, also sxy = 0
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Lösung (1)
Transformation
Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert aus der Kofaktorenmatrix Qxx die Kofaktorenmatrix im gedrehten System
cossin
sincos
yxu
yxt
22
22
22
sincossincos
coscossin2sin
sincossin2cos
xyxxyytu
yyxyxxuu
yyxyxxtt
qqqq
qqqq
qqqq
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Lösung (2)
Suche der Extremwerte und der zuge-hörigen Richtungen: Ableitung nach
Als Extremwertaufgabe gleich Null gesetzt
Vergleich mit Kofaktoren im gedrehten System: Bei qtu=0 Drehwinkel gleich Richtung der max. Varianz
coscossin2sincos2cossin2 22yyxyxx
tt qqqd
dq
2cos
22
2sin
sincos2cossin20 xyyyxx qqq
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Lösung (3)
Wenn also gleich der Richtung der max. Varianz, dann qtt und quu unabhängig mit extremen Werten
2tan:2
2tan maxmin,yyxx
xy
q
22 4
2
2tan1
2tan2sin
xyyyxx
xyextr
qqq
q
2cos121sin
2cos121cos
2
2
22 42tan1
12cos
xyyyxx
yyxxextr
qqq
qqqqqqqQ xyyyxxyyxxtt ,42
1
2
1 22maxmin,,
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Allgemeine Lösung (4)
Netzbilder: Meist Ellipse gezeichnet
Beziehungen:
Richtungswinkel der großen Halbachse:
22222
222
222
4
2
12
1
xyyx
yxF
yxF
sssw
wssB
wssA
22
2atan2
1
yx
xyF ss
s
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Wahre Punktlage vs. Helmert‘sche Fehlerellipse
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Fehler-ellipse die wahre Punktlage überdeckt: ~29-39%(abhängig vom Freiheitsgrad)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Berechnung über Spektralzerlegung
Zerlegung des entsprechenden Ausschnittes Qii der Kofaktormatrix Qxx in
Spektralmatrix D mit Eigenwerten 1 und 2
Modalmatrix S mit Eigenvektoren s1 und s2
mit den Kenngrößen
T
TTiiiii
2
1
2
121 0
0
s
sssSDSQ
y
xF
FF
s
s
sBsA
1
1
220
21
20
2
tan
,
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Genauigkeit eines Koordinatenpaares (1)
• Punktlagefehler (siehe A1)• Helmertscher (mittlerer) Punktlagefehler
Längenmaß, auch SpurkriteriumKeine Wahrscheinlichkeitsaussage möglich
• Werkmeisterscher Punktlagefehler
Flächenmaß, daher auch Flächenkriterium oder Volumenkriterium (bei 3D)
2221
20
20
222 tr FFiiyxH BAsssss Q
2120
20
2222 det ssssss iixyyxW Q
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Genauigkeit eines Koordinatenpaares (2)
Punkte mit unterschiedlicher Fehlerellipse können denselben Punktlagefehler haben
Werkmeisterschem Punktlagefehler: Extreme Achslängen der Fehlerellipse werden nicht erkannt! Tritt beim Helmertschen Punktlagefehler nicht auf
Kleines Problem bei Helmert: Wert ist größer als große Halbachse der Fehlerellipse „totaler“ mittlerer Punktfehler nach Friedrich
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Relative Fehlerellipse (1)
Relativpräzision zwischen zwei Punkten Pi und Pk
Präzision des Mittelpunktes der Ver-bindungsgeraden
Zunächst Kovarianzmatrix der Koordi-natendifferenzen: kiikkkii
ik
222222
222222
4mit2
atan2
1
2
1,
2
1
yxyxRyx
yxR
RyxFRyxF
ssswss
s
wssBwssA
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Relative Fehlerellipse (2)
Graphische Darstellung der relativen Fehlerellipse meist in der Mitte der Verbindungsgeraden
Existiert auch für zwei Punkte mit Abstand Null (z.B. mittlerer Durchschlagsfehler eines Tunnels)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Konfidenzellipse (1)
Bereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 1- die wahre Punktlage überdeckt
Kenngrößen aus entsprechenden Elementen der Helmertschen Fehlerellipse durch Multiplikation mit– bei theoretischem Wert für– bei empirischem Wert für
90%: doppelte Achslänge99%: über dreifache Achslänge
Fläche: mehr als 10x so groß!
21,2
20201,,22 fF
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Konfidenzellipse (2)
bzw.
Relative Konfidenzellipse entsprechend
FKFKFK BBAA ,, 221,2
2221,2
2
FKFfKFfK BFBAFA ,2,2 21,,2
221,,2
2
RRKRfRKRfRK BFBAFA ,2,2 21,,2
221,,2
2
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Globale Maße der Präzision
Gesamte Kovarianzmatrix wird zur Berechnung herangezogen
Insbesondere bei Netzoptimierung verwendet
Arten– Konfidenzhyperellipsoid– Rayleigh-Relation– Homogenität/Isotropie– Hauptkomponentenanalyse– Kriteriummatrix
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Konfidenzhyperellipsoid
Verallgemeinerung der Betrachtungen zur Fehlerellipse führt zu
Eigenwerte größenmäßig absteigend angeordnet
Halbachsen des Konfidenzhyperellipsoides:
Tu
T
T
uxx
s
s
s
sssQ
2
1
1
1
1
21
0
0
21,
20
2 uii sA
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Gütekriterien (1)
Volumen des Konfidenzhyperellipsoides
Das führt zu
Ist eine Verallgemeinerung des Werkmeisterschen Punktfehlers
Analogon zum Helmertschen Punktfehler: Spur- oder Varianzkriterium
mindet1
20
202
201
20
20
u
iiuxx sssss Q
mintr1
20
202
201
20
20
u
iiuxx sssss Q
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Gütekriterien (2)
Durchschnittlicher Eigenwert oder mittlere Koordinatengenauigkeit
Durchschnittlicher (Helmertscher) Punktfehler
Auch Eigenwerte der Kofaktormatrix zur Berechnung verwendbar
u
s ixx 20u
trQ
20
20
222
u
2trs
uss ixx
H Q
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Rayleigh-Relation
Beschränkung der resultierenden Präzision für beliebige Funktionen der Unbekannten
Rayleigh-Quotient wird eingeschränkt:
Sinnvolle Präzisionsforderung:
maxmin
ff
ffT
xxT
minmax
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Homogenität/Isotropie
• Homogen: Kein Punkt unterscheidet sich von einem anderen Punkt in irgendeiner Weise
• Isotrop: Es gibt keine ausgezeichnete Richtung
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Homogenität/Isotropie bei geodätischen Netzen
• Homogenes Netz: Die lokalen Kriterien der Präzision (z.B. Helmertsche Fehler-ellipsen) zeigen in allen Punkten dieselbe Tendenz
• Isotropes Netz: Die Präzision ist in allen Richtungen gleich groß (die Helmertschen Fehlerellipsen sind Kreise)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Beurteilung von Homogenität
Minimaler und maximaler Eigenwert
Immer nur näherungsweise erfüllt!
Homogenität und Isotropie nehmen zu je näher die Differenz bei Null bzw. der Quotient bei Eins liegt
Homogene und isotrope Situationen sind nicht immer optimal (z.B. Tunnelvortrieb)
minmaxmin
max bzw
.
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Hauptkomponentenanalyse
Erste Hauptkomponentemit dem maximalen Eigenwert 1 und dem zugehörigen normierten Eigenvektor s1
Deckt Schwachstellen auf (Richtungen, die am schlechtesten bestimmt sind)
Extreme Netzsituationen: größter EW bis zu 40-60% der Gesamtvarianz wesentlicher Eigenvektor
111 sp
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kriteriummatrix
Auch Kriterion-Matrix
Spiegelt die vollständige Struktur der Kovarianzmatrix wider, hat aber eine geänderte Struktur
Hat sich noch nicht durchgesetzt
Siehe Grafarend (1979)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Optimierung
• A-Optimalität: minimale Spur von xx
• D-Optimalität: minimale Determinante v. ist die aus den nicht-verschwindenden Eigenwerten von xx gebildete Diagonal-matrix, also
• E-Optimalität: minimaler Wert von max
• S-Optimalität: minimale Differenz max-min
rxx
rxx
min ri
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Beurteilung der Zuverlässigkeit
Geodätische Arbeitsweise: Durchgreifende Kontrollen
Einfache Kontrolle: Wiederholung der Messung – nicht immer durchgreifend– Refraktion gleich– Automatische Korrekturparameter falsch– Gerät nicht genau aufgestellt– …
Notwendig daher: Geometrisch anders wirkende Kontrolle
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Beispiel
Neupunktsbestimmungfür Punkt N
Mögliche Messgrößen:Strecken, Winkel
Eindeutige Lösung: Beliebige Kombination zweier Beobachtungen – Genauigkeit möglicherweise erreicht aber:
Keine Kontrolle!3. Beobachtung: Kontrolle, bei Fehler Bestimmung
von N immer noch möglich
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Definition Zuverlässigkeit
Ein geodätisches Netz ist zuverlässig, wenn allfällige Modellfehler entdeckt und eliminiert werden können
Zuverlässigkeitskriterien beantworten die Fragen– Gibt es grobe Fehler?– Ist eine Beobachtung genügend kontrolliert?– Wo liegt die Grenze nicht erkennbarer Fehler?– Welchen Einfluss auf das Ergebnis hat dieser
Grenzwertfehler?
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Beantwortung?
Statistische TestverfahrenOft genaue Berechnung nicht notwendig, da nur
relative Angaben für Entscheidung zwischen Varianten nötig
• Innere Zuverlässigkeit– Standardisierte Verbesserungen– Redundanzanteil– Maximal aufdeckbare Ausreißer
• Äußere Zuverlässigkeit– Durchschnittl. Einfluss eines Beobachtungsfehlers
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Standardisierte Verbesserungen
Verbesserungen aus Ausgleichung sind normal verteilt mit Mittelwert Null und Standardabweichung
Standardisierte Verbesserung: Division durch Standardabweichung (vgl. normierte Normalverteilung), also
Beobachtungen mit großem wi werden näher untersucht und eventuell eliminiert (z.B. 3-Regel)
)(0
iivvv qs
i
iv
ii
vw
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (1)
Statistischer Test: Mit Redundanz nf=n-u (n-n0 bei bedingter Ausgleichung) wird die Streuung der wahren Fehlergeschätzt über
Nullhypothese:
Aussage: Stichprobe gehört der Grund-gesamtheit an, also nur zufällige Fehler
)(2 pE
f
T
ns
Pvv2
fT nsHEs 2
022
0 |oder Pvv
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (2)
Alternativhypothese oder
Einführung von v für die Differenz der Verbesserungen bei Null- und Alternativ-hypothese, also v=v|Ha-v|H0
Gemischte Glieder verschwinden
022
2
||
|
Hs
EHs
E
nsHE
T
a
T
faT
PvvPvv
Pvv
vPv TE20
1
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (3)
Parameter hat also zwei Bedeutungen:– Fiktive Erweiterung der Redundanz– Normierte Differenz der quadratischen Form vTPv von Null- und Alternativhypothese
Betrachten wir die Macht des Tests: Wahrscheinlichkeit für Annahme einer falschen Hypothese: 1- und somit
anm HF
sP |1 ,,12
2
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (4)
Testgröße F1-,m,n ist Fisher-verteilt mit Redundanzen m und n bei Berechnung von s2 bzw. 2
geht über in =(,,m=nf,n=∞)
Parameter kann ausgedrückt werden als mit m=nf und n=∞
nmF
nm nmdFFf,,1
),,()( ,,
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (5)
Übergang von Erwartungswerten auf konkrete Werte liefert
Prüfung dieser Beziehung benötigt Untersuchung des Zusammenhanges zwischen v und l
lPPQlvPv vvTT
22
11
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (6)
x in v eingesetzt gibt
Zusätzlich bekannt
lAxv PlAPAAx TT 1 lIPAANv T1
llllvv
T
ll
xx
ll
ˆˆ
1ˆˆ
1
1
QQQ
AANQ
NQ
PQ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (7)
Einsetzen für Qvv gibt
Multiplikation von rechts mit –l gibt
Und somit
vvQllll ˆˆQQ 111 PPAANP T 11 PPAANI T T
ll AANQ 1 11 PIPAAN T llT QIPAAN 1
IPAANQQ Tllvv
11
vlIPAANlQQ Tllvv
11
lQQv 1 llvv
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (8)
Zum Ausdruckkommen wir, indem wir v=Ax-l in vTPv einsetzen:
Herausheben von –lTP gibt
Wir setzen nun den gerade berechneten Ausdruck für v ein und erhalten
lPPQlvPv vvTT
22
11
lAxPlAxPvv TTTT
PllPAxlPvv TTT
PvllAxPlPvv TTT
PlPQlPvv vvTT
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (9)
Übergang auf Differenzen liefert
Uns interessiert nun im Vektor l genau die Komponente , welche die Ver-schiebung bewirkt. Wir setzen also
Und erhalten
lPPQlvPv vvTT
il
0000 iT ll
iivvil PPQ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (10)
Der Nenner ergibt sich zu
Und mit P=I erhalten wir
Nenner: Steigerung der Präzision der Beobachtung durch die Ausgleichung
bestimmt mit konkreten Werten für 0 (klein), 0 (groß), nf=1 (1 konkrete Beob.) und n=∞
PAPAAPAPPPQ TTvv
1
iiTTilAAAAI1
0
0
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (11)
Je größer , desto größer kann der entsprechende Fehler bei gleicher Auswirkung sein.
Grober Fehler fällt nur auf, wenn er größer als ist.
Normale Ausgleichsgeometrien: Grober Fehler schlägt sich hauptsächlich in
der Verbesserung dieser Beobachtung nieder
il
il
1llvvQQWerte in Hauptdiagonale von sind größer als die übrigen Werte
einer Zeile
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Redundanzanteil (12)
Grober Fehler
Auswirkung auf entsprechende Verbes-serung:
Verbesserung vorhanden, welche diesen Grenzwert überschreitet: Kann als grob falsch angesehen werden
Parameter ri … Redundanzanteil der i-ten Beobachtung
il
iiiiillvvi lrlv 1QQ
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Aussage der Redundanzanteile
Zunehmender Betrag von ri zunehmende Kontrolle
• ri = 0: vollkommen unkontrolliert
• ri < 0,3 : geringe Kontrolle – Aufdeckung grober Fehler kaum möglich
• 0,3 < ri < 0,7 : gute Kontrollierbarkeit
• ri > 0,7 : sehr gute Kontrolle, Notwendigkeit?
• ri = 1 : vollständig kontrolliert überflüssig
ri ist gleich der Gesamtredundanz
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Optimales Netz
• Alle Beobachtungen kontrolliert
• Alle Redundanzanteile etwa gleich groß
Reduktion der Beobachtungen möglich, wenn häufig Redundanzanteile von 70% und mehr
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Lokale Zuverlässigkeit
Bestimmt aus Quotient der entsprechenden Diagonalenglieder
Summe im Allgemeinen größer als Gesamtredundanz außer unkorrelierte Beobachtungen
)(
)(
iill
iivv
i q
qz
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kleinster aufdeckbarer Ausreißer
Innere Zuverlässigkeit beschreibt Kontrollierbarkeit der Beobachtungen innerhalb des Netzes
Bisher: Angaben über die innere Zuverlässigkeit
Weiteres Maß: GrenzwertGrober Fehler gerade noch aufdeckbar
Nichtzentralitätsparameter 0 üblicherweise gesetzt zu 4,13 (0=0,1% und 0=80%)
00
i
li
rl i
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Äußere Zuverlässigkeit
Auswirkungen unentdeckter Beobachtungsfehler auf die Unbekannten
Für Nutzer oft wesentlich wichtiger!
Oft verwendetes Maß: Durchschnittlicher Einfluss eines Beobachtungsfehlers
Möglichst klein ( 0)
Ist datumsinvariant
00
1
i
i
r
ri
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Bemerkungen
• Optimieren von Netzen verlangt Fingerspitzen-gefühl (wie genau messe ich tatsächlich?)
• Erforderliche Qualität variiert mit der Anwendung– Landesvermessung: möglichst homogen und isotrop– Tunnel: Querrichtung wichtiger als Längsrichtung
• Unsere Qualitätsangaben sind in der Praxis oft problematisch: Juristen denken in absoluten Zahlen (Twaroch 2005), Baunormen verwenden maximal erlaubte Toleranzen (Peters 1974)
• Projekte: Qualität oft vorgegeben (ENV 13005: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Qualitätskriterien
Präzision Zuverlässigkeit
innere P. äußere P.
a-priori P. lokale P. globale P.
innere Z. äußere Z.
a-posteriori PräzisionPunktfehler
FehlerellipseKonfidenzellipse
relative Fehlerellipserelative Konfidenzellipse
KonfidenzhyperellipsoidHauptkomponentenanalyse
HomogenitätIsotropie
Redundanz
Statistische Tests
Nabla-Operator
Einfluss eines Fehlersauf die Unbekannten
Einfluss eines Messwertesauf die Punktlage
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Kap. 5: Beispiel Streckennetz
• Zusammenhang Datum – Qualitätsmaße• Langgestrecktes Netz (Trasse, Tunnel, …)• A priori- Präzision 2mm+1ppm• 22 Punkte, 45 Unbekannte, 102 Strecken• Datumsdefekt d = 4
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zwangsfreie Ausgleichung (1)
• Datumsfestlegung: 4 Koordinaten (2 Punkte) festgehalten Redundanz 61 (102 - 41)
• Bei jeder Datumsfestlegung andere Fehlerellipsen
• Gerechnete Varianten: Festgehalten sind– Linke Eckpunkte– Obere Eckpunkte– Mittlere Punkte
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zwangsfreie Ausgleichung (2)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zwangsfreie Ausgleichung (3)
• Redundanzen für 1. Fall (Festhalten 1 und 12) zwischen 50 und 65%
• Strecke 1 nach 12 (beides Festpunkte) hat nicht 100%!
• Ursache: Maßstab!
von nach ri [%] von nach ri [%]
1 2 56 2 13 61
1 12 56 2 14 63
1 13 63 3 2 56
2 1 56 3 4 56
2 3 56 3 13 63
2 12 63 3 14 61
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Gezwängte Ausgleichung
• 4 Eckpunkte für Datum 37 Unbekannte, Freiheitsgrad 65
• Kleinere Fehlerellipsen
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Teilspurminimierung
• Eckpunkte als Passpunkte
• Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte
• Freiheitsgrad 61 = 102-45+4 (Lagerungs-bedingungen)
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Gesamtspurminimierung
• Alle Punkte als Passpunkte
• Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte
• Freiheitsgrad 61
• Beachte Lage der kleinsten Fehlerellipsen!