Post on 02-Jan-2016
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Problemlösen im Mathematikunterricht
Michael Rüsing
B. M. V. – Schule
Bardelebenstraße 9
45147 Essen
michael@ruesing-essen.de
Voraussetzungen
• Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen
• Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im Mathematikunterricht sein
• Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematik erfahren und eingeübt werden
• Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten
Abgrenzung Problemlösen - Modellieren
Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten
Problemlösen: Arbeiten in innermathematischen Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist
(so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen)
Klasse 6:
- wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an- übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme, Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme)
Klasse 8:- überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen
- wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung- nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung
Klasse 10:- zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme
- nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
- Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
- Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
- Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
- Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl
Darstellung des Weges: • Polygonzug• Codierung u-r-r-r-u-r-u
Problem der Eindeutigkeit der Lösung
7 5 0 0 0
7 0 5 0 0
7 0 0 5 0
7 0 0 0 5
0 7 5 0 0
0 7 0 5 0
0 7 0 0 5
0 0 7 5 0
0 0 7 0 5
0 0 0 7 5
5 7 0 0 0
5 0 7 0 0
5 0 0 7 0
5 0 0 0 7
0 5 7 0 0
0 5 0 7 0
0 5 0 0 7
0 0 5 7 0
0 0 5 0 7
0 0 0 5 7
7 5 0 0 0
7 0 5 0 0
7 0 0 5 0
7 0 0 0 5
0 7 5 0 0
0 7 0 5 0
0 7 0 0 5
0 0 7 5 0
0 0 7 0 5
0 0 0 7 5
Strategie „Durchschieben“4
7 5 0 0 0
7 5 0 0 0
7 0 5 0 0
7 0 0 5 0
7 0 0 0 5
0 7 5 0 0
0 7 0 5 0
0 7 0 0 5
0 0 7 5 0
0 0 7 0 5
0 0 0 7 5
Strategie „Durchschieben“4
3
2
1
7 5 0 0 0
7 5 0 0 0
Ergänzende Problemstellung:
Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?
Ergänzende Problemstellung:
Wie viele unterschiedliche Wege gibt es von A nach E?
Wende die Strategie „Durchschieben“ an
7 Buchstaben: 4 x r und 3 x u
u u u r r r r 5 Positionen
u r u u r r r 4 Positionen
u r r u u r r 3 Positionen
u r r r u u r 2 Positionen
u r r r r u u 1 Position
r u u u r r r 4+3+2+1 Pos
r r u u u r r 3+2+1 Pos
r r r u u u r 2+1 Pos
r r r r u u u 1 Pos
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
- Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
- Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
(2) K > L; F > L
(3) F > N; F an Position 1; N an Position 2
F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
(2) K > L; F > L
(3) F > N; F an Position 1; N an Position 2
Weitere Fragestellungen:
Welche Aussage war überflüssig?
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
(2) K > L; F > L
(3) F > N; F an Position 1; N an Position 2
Weitere Fragestellungen:
Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“
F < L
Lehrling in einer Stunde
Maler in einer Stunde
Arbeit am Vormittag
5. Stunde
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
- Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
- Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
n3 = 3² + 2 · 3
n3 = 3² + 2 · 3 n3 = 4² - 1
n100 = 100² + 2 ·100 n100 = 101² - 1
Ergänzung: Bestimme Umfang und Flächeninhalt der Figur im 100. Schritt
Flächeninhalt: 1 2 3 4+1 +1 +1
Rechteckmuster mit Anfangswert 1 und Additionszahl 1
Umfang: 4 6 8 10+2 +2 +2
Rechteckmuster mit Anfangswert 4 und Additionszahl 2
Verschiedene Zählweisen für die 4. Figur
2 · 5
2 · 4 + 2
5 · 2
100. Figur
2 · 101
2 · 100 + 2
101 · 2
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m
Argumentations-schritt
Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte
Vorsprung
0 0 0 10 10
1 1 10 15 5
2 1,5 15 17,5 2,5
3 1,75 17,5 18,75 1,25
4 1,875 18,75 19,375 0,625
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m
Argumentations-schritt
Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte
Vorsprung
0 0 0 10 10
1 1 10 15 5
2 1,5 15 17,5 2,5
3 1,75 17,5 18,75 1,25
4 1,875 18,75 19,375 0,625
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m
Argumentations-schritt
Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte
Vorsprung
0 0 0 10 10
1 1 10 15 5
2 1,5 15 17,5 2,5
3 1,75 17,5 18,75 1,25
4 1,875 18,75 19,375 0,625
= 10 · 1
= 10 · 1,5
= 10 · 1,75
= 10 · 1,875
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen: Geschwindigkeit Achill 10 m/sGeschwindigkeit Schildkröte 5 m/sVorsprung 10 m
Argumentations-schritt
Zeitpunkt Ort von Achill Ort der Schildkröte
Vorsprung
0 0 0 10 10
1 1 10 15 5
2 1,5 15 17,5 2,5
3 1,75 17,5 18,75 1,25
4 1,875 18,75 19,375 0,625
= 10 · 1
= 10 · 1,5
= 10 · 1,75
= 10 · 3/2
= 10 · 7/4
12
1210
n
n
= 10 · 1,875 = 10 · 15/8
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
- Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
- Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
E 6.4 Eine Klassenfahrt wird geplant
Die Klasse 6c will eine Wanderfahrt machen. Es soll ins 165 km entfernte Waldbach gehen. Dort wollen die 32 Schülerinnen und Schüler mit zwei Begleitern 5 Tage lang in der Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist die Besichtigung der nahe gelegenen Burg ‚Schreckenstein’ mit einer Führung geplant.
Nun unterhalten sich die Schülerinnen und Schüler darüber, wie viel jeder einzelne bezahlen muss.
a) Ergänze die unvollständigen Sprechblasen und setze das Gespräch fort.
b) Die 1. Sprechblase kann in die Sprache der Mathematik übersetzt werden:Einzelkosten = Gesamtkosten : Schülerzahl
c) Übersetze die weiteren Sprechblasen und auch deine Fortsetzung des Gespräches in die Sprache der Mathematik.
d) Vergleiche die Reihenfolge, in der du schließlich rechnen kannst mit der Reihenfolge des Sprechblasen.
e) Die gesamte Abfolge kann in einem Lösungsplan übersichtlich zusammengestellt werden. Der Anfang ist hier schon vorgemacht.
=
Gesamtkosten : SchülerzahlEinzelkosten =
Gesamtkosten = Fahrkosten + +
=
f) Welche Informationen aus den Angeboten werden zum Lösen der Aufgabe nicht benötigt?
Busse Reisen, 57823 Neustadt
Angebot
Auf Ihre Anfrage vom 13.5. machen wir folgendes Angebot:
Bus mit 38 Plätzen Waldbach (165 km) hin und zurück zum Gesamtpreis von 800 €.
Wir würden uns freuen, Ihre Klasse zu fahren.
Jugendherberge Waldbach
Wir danken für Ihre Anfrage und teilen Ihnen hiermit unsere Preise mit:
Tagessatz einschließlich Verpflegung 26,00 € pro Person.Bei Gruppen von mehr als 25 Personen gewähren wir zwei Freiplätze.
Wir freuen uns auf Ihren Aufenthalt in unserer Herberge
Burg Schreckenstein – die Attraktion von Waldbach
Öffnungszeiten täglich von 10.00 Uhr bis 18.00 Uhr
Eintritt: Kinder bis 14 Jahre 1,50 € Jugendliche / Erwachsene 2,50 € Gruppen ab 10 Personen 1,20 € pro Person
Für Gruppen bieten wir qualifizierte Führungen zum historischen Hintergrund an. Preis für die gesamte Gruppe 40,00 €
Fazit
In modernen Schulbüchern lassen sich Aufgaben zur Problemlösekompetenz finden
In vielen dieser Aufgaben steckt weiteres Potential
Ergänzungen der vorgegebenen Aufgaben sind oft sinnvoll
Wir müssen unseren Blick für Problemlöseaufgaben schärfen