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Heute: - Wiederholung: Drehbewegungen - Drehimpuls & Anwendungen - Einschub: „Drehmomentsmessungen an biologischen Molekülen“ - Fluide & deformierbare Körper: Druck und Auftrieb
Physik 1 für Chemiker und Biologen 8. Vorlesung – 11.12.2017
Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de
http://xkcd.com/1184/
1
2
3
Drehachse
1 m
36 kg
2 m 9 kg
3 m 4 kg
Wiederholungs-/Einstiegsfrage: Abstimmen unter pingo.upb.de, # 156658 Die Skizze zeigt drei Kugeln (1, 2, 3), die sich um eine senkrecht Achse drehen. Ordnen Sie die Kugeln nach ihrem Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse, beginnend mit dem größten Wert. A) 1 > 2 > 3 B) 3 > 2 > 1 C) 2 > 1 > 3 D) 1 = 2 = 3
Wiederholung: Drehbewegungen • Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus Translation und Rotation zusammensetzten
11.12.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 2
• Bewegungsgleichungen für Drehbewegung: Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung
d~� ~! =d~�
dt~↵ =
d~!
dt=
d2~�
dt2
• Trägheitsmoment:
Einheit: [I] = kg·m2
I =X
i
mir2i =
Zr2dm =
Zr2⇢ dV
• Steinerscher Satz: (über parallele Achsen)
Ia0 = Ia +Md2
• Rotationsenergie: Erot
=1
2I!2
Schwungräder als Energiespeicher
04.12.17 Prof. Dr. Jan Lipfert 3
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwungrad
Carbon Fiber Composite Flywheel
- Drehung mit bis zu 80 000 rpm - Erot ~ 350 kWh ~ 109 J - Vakuum um Verluste durch Luftreibung zu minimieren - Anwendung: schnelle Notstromversorgung
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwungrad
Gleichgewichtsbedingung des starren Körpers
04.12.17 Prof. Dr. Jan Lipfert 5
• Translation:
• Rotation:
Experiment: Hebel mit Kraftmesser Experiment: Drehmomentscheibe
Hebelgesetz:
Archimedes von Syrakus
(287-212 v. Chr.)
https://de.wikipedia.org/wiki/Zahl
Erinnerung: ~F = m · ~a
Änderung des Drehimpuls
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~L =X
i
mi(~ri ⇥ ~vi)
• Wenn keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant! • Wenn äußere Drehmomente wirken, ändern sie den Gesamtdrehimpuls gemäß:
~̇L =X
i
~ri ⇥ ~Fi = ~TGesamt
Anwendungen der Drehimpulserhaltung • Der Drehimpuls in einem
abgeschlossen System ist konstant!
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Film: https://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0
http://denkwerkstatt-physik.de/denkwerkstatt-physik/files/mechanik/gestoerte_nachtruhe/pirouetteneffekt1.html
Experiment: Drehstuhl mit Hanteln
https://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%BCrostuhl https://en.wikipedia.org/wiki/Dumbbell#/media/File:TwoDumbbells.JPG
• Betrag des Drehimpulses:
|~L| = mr2! = I!~L =
X
i
~Li(t) = const.
„Die rotierende Studentin“
Eine furchtlose Studentin setzt sich auf einen (ruhenden) Drehstuhl. Sie hält einen Kreisel, der sich gegen den Uhrzeigersinn um eine vertikale Drehachse dreht. Jetzt dreht sie den Kreisel um 180º, so dass er sich im Uhrzeigersinn dreht.
Was passiert mit der Studentin auf dem Drehstuhl? Abstimmen unter pingo.upb.de! A) Sie bleibt in Ruhe. B) Sie beginnt sich im Uhrzeigersinn zu drehen. C) Sie beginnt sich gegen den Uhrzeigersinn zu drehen.
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Experiment: Drehstuhl mit Felge https://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%BCrostuhl
Anwendungen des Drehimpulssatzes: Präzession des Kreisels
~̇L =X
i
~ri ⇥ ~Fi = ~TGesamt
Experiment: Gyroskop Experiment: Kreisel
Die Richtung der Drehimpulsänderung steht senkrecht zur Kraft bzw. zum Drehmoment!
1. Schwungrad dreht sich nicht
2. Schwungrad dreht sich
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Drehbewegungen in Molekülen und Atomen
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Elektronen und viele Atomkerne haben einen besonderen Drehimpuls - den Spin Grundlage für ESR, NMR, MR-Bildgebung
http://chemwiki.ucdavis.edu/Physical_Chemistry/Quantum_Mechanics/09._The_Hydrogen_Atom/Atomic_Theory/Electrons_in_Atoms/Electron_Spin
Rotations-Spektroskopie Gasmoleküle mit Trägheits- und elektr. Dipolmoment können zur Rotation angeregt werden. Aus den Spektren kann auf die Bindungslängen geschlossen werden.
Vibration-Rotation-Linienspektrum von Kohlenstoffmonoxid
https://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_vibrational_spectroscopy Wassermoleküle werden im Mikrowellenherd zu (gehinderten) Rotationen angeregt. Dies führt zur Erwärmung der wasser-haltigen Speisen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Microwave_oven
Lineare vs. Drehbewegungen
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Weg, Verschiebung
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Masse
Impuls
Kraft
Kinetische Energie
Drehung
Drehwinkel
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Trägheitsmoment
Drehimpuls
Drehmoment
Rotationsenergie
LineareBewegung
http://de.wulffplag.wikia.com/wiki/Datei:Kettenkarussell.jpg
Drehung
http://sportsnscience.utah.edu/2012/09/04/skiing-friction-basic/
Lineare Bewegung
Zu jeder Größe der linearen Bewegung gibt es eine korrespondierende Größe der Drehbewegung. Die Gleichungen für beide Bewegungsformen sind formal gleich!
Beispiel aus der aktuellen Forschung:
Drehmomentsmessungen auf der molekularen Skala
( 11.12.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 13
Drehmomente in der Molekularbiologie (1/2)
Sowa & Berry, Quat. Rev. Biophys (2008)
Klassisches Beispiel: Bakterielle Flagellen
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Schwimmende E. coli Bakterien (Flagellen sind fluoreszierend gefärbt)
Quelle: Howard Berg Lab @ Harvard http://www.rowland.harvard.edu/labs/bacteria/movies/
Animation des flagellaren Motors https://www.youtube.com/watch?v=xEVq7jCT4kw
Drehmomente in der Molekularbiologie (2/2)
Die Helizität der DNA hat wichtige Auswirkungen für ihre Transkription und Replikation:
Liu & Wang, PNAS (1987) Koster, Crut, et al., Cell (2010) 11.12.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 15
Länge: ~0,3 nm pro Basenpaar
Radius: ~1 nm
Figure 1-2d,e Molecular Biology of the Cell, Fifth Edition (© Garland Science 2008)
Unsere genetische Information ist in der Form von doppelsträngiger DNA gespeichert
Einzelmolekülmessungen mit magnetischen Pinzetten
Vilfan, Lipfert, Koster, Lemay & Dekker, Springer Handbook of Single-‐Molecule Biophysics (2009)
Verfolge die Kugel-Position in (x,y,z) mit ~ 1 nm Auflösung
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Elastisches Regime: Bestimme die Drehpersistenzlänge C
“Buckling” Übergang bei einem kritischen Drehmoment; Unterhalb ~ 1 pN symmetrisch
Für F > 1 pN, schmilzt die DNA bei einem Schmelzdrehmoment von ca. -11 pN·nm
Für F > 5 pN, ändert die DNA ihre Konformation zu P-DNA bei Überdrehung
MTT
eMTT
Kra$: F = 0.5, 1, 3, 6 pN Lipfert, et al., PNAS (2014)
Drehmomentsmessungen an DNA
Drehmomentsmessungen an E. coli
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E. coli Zellen werden an einer Oberfläche immoblisiert und magnetische Kugeln spezifisch an den flagellaren Motorkomplex gekoppelt:
Van Oene, et al., Scientific Reports (2017)
Mechanik von Flüssigkeiten und
deformierbaren Festkörpern 11.12.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 21
https://de.wikipedia.org/wiki/Welle
Bisher:
1) Massenpunkte (nur Translation)
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Massenpunkte starre Körper – reale Körper
2) Starre Körper (Translation und Rotation) Ändern Form unter äußeren Einflüssen (Kräfte, Drehmomente) nicht
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreisel https://de.wikipedia.org/wiki/Kartoffel
https://de.wikipedia.org/wiki/Baseball
Jetzt:
dm1
dm2
3) Deformierbare Körper Mögliches Vorgehen: • Einteilung im Massenelemente dm • Kräfte zwischen diesen dm • Integration
Besser: Neue Größen https://de.wikipedia.org/wiki/Badeschwamm
Deformierbare Körper Ve
rfor
mba
rkei
t
Ord
nung
Kristalliner Festkörper
Flüssigkeiten Volumenelastisch bzw. nicht
kompressibel, aber nicht formelastisch
Gase füllen das Volumen aus; keine Form-,
geringe Volumen-Elastizität – sind kompressibel
Amorpher Festkörper
Form- und volumenelastisch (Behalten ihre Form und ihr
Volumen, in gewissen Grenzen)
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https://de.wikipedia.org/wiki/Diamant https://de.wikipedia.org/wiki/ Kristallstruktur
https://de.wikipedia.org/wiki/Wasser
https://de.wikipedia.org/wiki/Korken https://de.wikipedia.org/wiki/Kork
https://de.wikipedia.org/wiki/Trinkglas
https://de.wikipedia.org/wiki/Gas https://de.wikipedia.org/wiki/Gasflasche
Dichte
Typische Werte
Weltall Luft Wasser Aluminium Quecksilber Neutronen-stern
11.12.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 24
https://de.wikipedia.org/wiki/Kartoffel
Druck
bar atm psi (pounds per square inch)
Torr (mm Hg)
105 Pa 1,01325 ·105 Pa 6894,757 Pa 133,322 Pa
Ein paar gebräuchliche Druck-Einheiten:
Blaise Pascal (1623 - 1662)
11.12.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 25
https://en.wikipedia.org/wiki/Pressure_measurement
https://als.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
Hydrostatischer Druck
Hydraulische Presse
11.12.2017 Prof. Dr. Jan Lipfert 26
https://de.wikipedia.org/wiki/Hydraulik