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Optimale Steuerung
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht
13. Dezember 2012
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
1 Einleitung
2 Problemstellung
3 Lösungsverfahren
4 Raketenauto
5 Details zur Programmierung
6 ErgebnisseBang-Bang-SteuerungBerücksichtigung der SteuerungMinimierung des Steueraufwandes
7 Ausblick
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Einleitung
Ende des 17. JahrhundertsVariationsrechnung (Brachistochrone)
Ab ca. 1950Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- undRaumfahrt sowie dem Militär
Verallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischenSteuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird
Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer Prozesse
Optimierung von UnternehmensprozessenProduktionsprozesse in der Industrie...
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Einleitung
Ende des 17. JahrhundertsVariationsrechnung (Brachistochrone)
Ab ca. 1950Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- undRaumfahrt sowie dem MilitärVerallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischenSteuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird
Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer ProzesseOptimierung von Unternehmensprozessen
Produktionsprozesse in der Industrie...
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Einleitung
Ende des 17. JahrhundertsVariationsrechnung (Brachistochrone)
Ab ca. 1950Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- undRaumfahrt sowie dem MilitärVerallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischenSteuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird
Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer ProzesseOptimierung von UnternehmensprozessenProduktionsprozesse in der Industrie
...
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Einleitung
Ende des 17. JahrhundertsVariationsrechnung (Brachistochrone)
Ab ca. 1950Motivation entstammte Anfangs hauptsächlich der Luft- undRaumfahrt sowie dem MilitärVerallgemeinerung der Variationsprobleme, indem zwischenSteuerungs- und Zustandsvariablen unterschieden wird
Heute Anwendung in diversen BereichenHochpräzisionssteuerung technischer ProzesseOptimierung von UnternehmensprozessenProduktionsprozesse in der Industrie...
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Problemstellung
Minimiere
J = ϕ(x(t0), x(tf )) +
∫ tf
t0
f0(t, x(t), u(t))dt
unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen
x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,
den Steuer- und Zustandsbeschränkungen
u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,
x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,
den Randbedingungen
x(t0) = x0, x(tf ) = xe
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Problemstellung
Minimiere
J = ϕ(x(t0), x(tf )) +
∫ tf
t0
f0(t, x(t), u(t))dt
unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen
x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,
den Steuer- und Zustandsbeschränkungen
u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,
x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,
den Randbedingungen
x(t0) = x0, x(tf ) = xe
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Problemstellung
Minimiere
J = ϕ(x(t0), x(tf )) +
∫ tf
t0
f0(t, x(t), u(t))dt
unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen
x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,
den Steuer- und Zustandsbeschränkungen
u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,
x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,
den Randbedingungen
x(t0) = x0, x(tf ) = xe
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Problemstellung
Minimiere
J = ϕ(x(t0), x(tf )) +
∫ tf
t0
f0(t, x(t), u(t))dt
unter den Differentialgleichungsnebenbedingungen
x(t) = f (t, x(t), u(t)), t0 ≤ t ≤ tf ,
den Steuer- und Zustandsbeschränkungen
u(t) ∈ [ua, ub] t0 ≤ t ≤ tf ,
x(t) ∈ [xa, xb] t0 ≤ t ≤ tf ,
den Randbedingungen
x(t0) = x0, x(tf ) = xe
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
Allgemeine Lösungsverfahren
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Direktes VerfahrenDiskrete Optimalsteuerungsprobleme
Dynamik eines Prozesses in diskreter Form
Beeinflussung nur an endlich vielen Stellen
GitterZustandsgitterfunktionSteuergitterfunktion
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Direktes VerfahrenDiskrete Optimalsteuerungsprobleme
Dynamik eines Prozesses in diskreter FormBeeinflussung nur an endlich vielen Stellen
GitterZustandsgitterfunktionSteuergitterfunktion
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Direktes VerfahrenDiskrete Optimalsteuerungsprobleme
Dynamik eines Prozesses in diskreter FormBeeinflussung nur an endlich vielen Stellen
GitterZustandsgitterfunktionSteuergitterfunktion
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Direktes VerfahrenDiskrete Optimalsteuerungsprobleme
Dynamik eines Prozesses in diskreter FormBeeinflussung nur an endlich vielen Stellen
Gitter
ZustandsgitterfunktionSteuergitterfunktion
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Direktes VerfahrenDiskrete Optimalsteuerungsprobleme
Dynamik eines Prozesses in diskreter FormBeeinflussung nur an endlich vielen Stellen
GitterZustandsgitterfunktion
Steuergitterfunktion
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Direktes VerfahrenDiskrete Optimalsteuerungsprobleme
Dynamik eines Prozesses in diskreter FormBeeinflussung nur an endlich vielen Stellen
GitterZustandsgitterfunktionSteuergitterfunktion
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
Diskrete Optimalsteuerungsprobleme
Diskrete Optimalsteuerungsprobleme
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Diskrete Optimalsteuerung am Beispiel des Raketenautos
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Es bezeichnet Zeit t ∈ [0, tf ]
x(t) Position des Wagens zum Zeitpunkt tv(t) Geschwindigkeit des Wagens zum Zeitpunkt tu(t) Beschleunigung des Wagens zum Zeitpunkt t,
SteuerungDynamik des Systems ist gegeben durch
x(t) = v(t)
v(t) = u(t)
mit x0, xe , v0, ve ∈ R
gewünschte Anfangs- und Endbedingungen:
x(0) = x0, x(tf ) = xev(0) = v0, v(tf ) = ve
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Ziel: Der Wagen soll an der vorgegebenen Endposition xemit der Geschwindigkeit ve ankommen.
Unterschiedliche Forderungen an das SystemAbhängig von diesen Forderungen unterschiedlichesZielfunktional J(u)
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Mathematische Formulierung der Problemstellung
minu(t)
J(u)
unter den Nebenbedingungen
x(0) = x0, x(tf ) = xe
v(0) = v0, v(tf ) = ve
und den Steuerbeschränkung Ub, d.h.
−Ub ≤ u(t) ≤ Ub
Je nach Forderungen an das System werden sich x(t), v(t) undu(t) unterschiedlich verhalten.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Mathematische Formulierung der Problemstellung
minu(t)
J(u)
unter den Nebenbedingungen
x(0) = x0, x(tf ) = xe
v(0) = v0, v(tf ) = ve
und den Steuerbeschränkung Ub, d.h.
−Ub ≤ u(t) ≤ Ub
Je nach Forderungen an das System werden sich x(t), v(t) undu(t) unterschiedlich verhalten.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Mathematische Formulierung der Problemstellung
minu(t)
J(u)
unter den Nebenbedingungen
x(0) = x0, x(tf ) = xe
v(0) = v0, v(tf ) = ve
und den Steuerbeschränkung Ub, d.h.
−Ub ≤ u(t) ≤ Ub
Je nach Forderungen an das System werden sich x(t), v(t) undu(t) unterschiedlich verhalten.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Mathematische Formulierung der Problemstellung
minu(t)
J(u)
unter den Nebenbedingungen
x(0) = x0, x(tf ) = xe
v(0) = v0, v(tf ) = ve
und den Steuerbeschränkung Ub, d.h.
−Ub ≤ u(t) ≤ Ub
Je nach Forderungen an das System werden sich x(t), v(t) undu(t) unterschiedlich verhalten.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Mathematische Formulierung der Problemstellung
minu(t)
J(u)
unter den Nebenbedingungen
x(0) = x0, x(tf ) = xe
v(0) = v0, v(tf ) = ve
und den Steuerbeschränkung Ub, d.h.
−Ub ≤ u(t) ≤ Ub
Je nach Forderungen an das System werden sich x(t), v(t) undu(t) unterschiedlich verhalten.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
In Matlab verwendete Funktionen
Trapez-Regel zur Zeitintegration
Euler-Verfahren zum Lösen von AnfangswertproblemenRunge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahrenfmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
In Matlab verwendete Funktionen
Trapez-Regel zur ZeitintegrationEuler-Verfahren zum Lösen von Anfangswertproblemen
Runge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahrenfmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
In Matlab verwendete Funktionen
Trapez-Regel zur ZeitintegrationEuler-Verfahren zum Lösen von AnfangswertproblemenRunge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahren
fmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
In Matlab verwendete Funktionen
Trapez-Regel zur ZeitintegrationEuler-Verfahren zum Lösen von AnfangswertproblemenRunge-Kutta Stufe 4 als Alternative zum Euler-Verfahrenfmincon aus der Optimization-Toolbox zur Minimierung vonJ(u) unter Berücksichtigung von Beschränkungen an u.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Bang-Bang-SteuerungBerücksichtigung der SteuerungMinimierung des Steueraufwandes
Ausschließliche Berücksichtigung der Position und Geschwindigkeit
J =
tf∫0
(x(t)− xe)2 + (v(t)− ve)
2 dt (1)
J wird minimal, wenn das Ziel möglichst schnell erreicht wird. Esergibt sich die „Bang-Bang-Steuerung“.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
0 1 2 3 4 5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 7, tf = 5,−1 ≤ u ≤ 1Bang-Bang-Steuerung:
Steuerung bis zum Ziel stetsan ihren Grenzen
0 2 4 6 8 10−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 2 4 6 8 10−1
0
1
2
3
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 7, tf = 10,−1 ≤ u ≤ 1Bang-Bang-Steuerung:
Steuerung bis zum Ziel stetsan ihren Grenzen
0 2 4 6 8 10
−2
−1
0
1
2
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 7, tf = 10,−2 ≤ u ≤ 2Steuerung bis zum Ziel stetsan ihren GrenzenZiel wird schnell, aber mitgroßem Steuerungsaufwanderreicht
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Bang-Bang-SteuerungBerücksichtigung der SteuerungMinimierung des Steueraufwandes
Zusätzlich kann der Steuerungsaufwand berücksichtigt werden:
J =
tf∫0
(x(t)− xe)2 + (v(t)− ve)
2 + λu2(t)dt (2)
Im Auto-Beispiel bedeutet das: Vollgas führt zu hohemSpritverbrauch.Wie hoch die Kosten tatsächlich sind und wie viel Geld fürZeitersparnis gezahlt werden soll, lässt sich durch λ einstellen.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
0 2 4 6 8 10−10
0
10
20
30
40
50
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 2 4 6 8 10−2
0
2
4
6
8
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 10, tf = 10−10 ≤ u ≤ 1000, λ = 0, 1
Starke Steuerung wirdweitgehend vermieden.
0 2 4 6 8 10−50
0
50
100
150
200
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 2 4 6 8 10−5
0
5
10
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 2 4 6 8 100
5
10
15
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 10, tf = 10−10 ≤ u ≤ 1000, λ = 0, 001
Starke Steuerung wirdweitgehend vermieden.Mit erhöhtemSteueraufwand wird das Zielschneller erreicht.
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Bang-Bang-SteuerungBerücksichtigung der SteuerungMinimierung des Steueraufwandes
Nur die Endposition und -geschwindigkeit wird Berücksichtigt:
J = (x(tf )− xe)2 + (v(tf )− ve)
2 + λ
tf∫0
u2(t)dt (3)
Die benötigte Zeit geht nicht mehr ein.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
0 10 20 30 40 50−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 10 20 30 40 500
100
200
300
400
500
600
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 500, tf = 50−2 ≤ u ≤ 2Minimierung der Steuerung:
Zeit wird voll ausgeschöpft
Steuerung wird minimal
0 10 20 30 40 50−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 10 20 30 40 500
100
200
300
400
500
600
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 500, tf = 50−2 ≤ u ≤ 2Minimierung der Steuerung:
Zeit wird voll ausgeschöpftSteuerung wird minimal
0 20 40 60 80 100−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
Steuerung zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ste
ue
run
g
0 20 40 60 80 1000
2
4
6
8
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Ge
sch
win
dig
ke
it
0 20 40 60 80 1000
100
200
300
400
500
Position zum Zeitpunkt
Zeit[s]
Po
sitio
n
xe − x0 = 500, tf = 100−2 ≤ u ≤ 2Minimierung der Steuerung:
Zeit wird voll ausgeschöpftSteuerung wird minimal
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Endbedingungen
Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeit
Endbedingungen bisher mit im ZielfunktionalProblem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Endbedingungen
Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeitEndbedingungen bisher mit im Zielfunktional
Problem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Endbedingungen
Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeitEndbedingungen bisher mit im ZielfunktionalProblem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.
Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Endbedingungen
Bewegungsgleichung 2. Ordnung lässt nur zweiRandbedingungen zu: Anfangsposition und -geschwindigkeitEndbedingungen bisher mit im ZielfunktionalProblem: Von diesen Bedingungen kann die optimaleSteuerung bei ungünstiger Gewichtung zugunsten der anderenSummanden abweichen.Lösung: Übergabe der Endbedingung als feste Bedingung anfmnincon.
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Indirekter Zugang
Bisher: Diskretisierung von Anfang an
Alternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale SteuerungAnalytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wirdStichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Indirekter Zugang
Bisher: Diskretisierung von Anfang anAlternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale Steuerung
Analytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wirdStichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
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Ausblick
Indirekter Zugang
Bisher: Diskretisierung von Anfang anAlternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale SteuerungAnalytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wird
Stichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand
Karoline Pelka, Christian Schmidt, Christoph Große Kracht Optimale Steuerung
EinleitungProblemstellung
LösungsverfahrenRaketenauto
Details zur ProgrammierungErgebnisse
Ausblick
Indirekter Zugang
Bisher: Diskretisierung von Anfang anAlternative Indirekter Zugang: Suche nach Bedingungen an dieoptimale SteuerungAnalytische Herleitung eines Gleichungssystems, dasanschließend numerisch gelöst wirdStichworte: Hamilton-Funktion, adjungierter Zustand
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