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Simulation der Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer
Reynoldszahl von 200
Numerische Berechnung der Kármánschen Wirbelstraße
Veröffentlichung der Tintschl BioEnergie und Strömungstechnik AG
Christoph Lodes
Dr.-Ing. Rolf Sieber
April 2017
Kurzfassung
Vor dem Hintergrund der langjährigen Erfahrung in der Strömungsmechanik, möchte die Tintschl
BioEnergie und Strömungstechnik die Simulation des bekannten Strömungsmechanik-Phänomens
der Kármánschen Wirbelstraße aufzeigen. Dazu wird die Strömung um einen zylindrischen Störkörper
mit Hilfe des OpenSource Tools OpenFOAM numerisch berechnet und visuell aufbereitet. Da es sich
bei der periodischen Wirbelablösung der Kármánschen Wirbelstraße um eine totale Instabilität1
handelt, ist für die Betrachtung eine zeitabhängige Berechnung nötig. Die zugehörigen Videos dazu
sind unter https://www.youtube.com/channel/UC6MtUdYun1-Xv0fSpyC_Hmg zu finden.
Hintergrund
Eine sehr bekannte Beobachtung in
der Strömungsmechanik ist die
periodische Wirbelablösung nach der
Umströmung eines zylindrischen
Stör- oder Stolperkörpers, welche
durch Theodore von Kármán
entdeckt wurde.
Wird ein Zylinder umströmt, löst die
Strömung an den Kannten des
umströmten Körpers ab und es
entstehen dort Wirbel. Die Wirbel
treten dabei paarweise auf2, es entsteht eine regelmäßige Folge von abwechselnd rechts- und
linksläufigen Wirbeln3
4, welche so einen Strömungsvorgang erzeugen, der als Kármánsche
Wirbelstraße bezeichnet wird5.
Die Wirbel entstehen dabei im Nachlauf des Störkörpers, wachsen, werden zu groß und lösen sich
dann auf6. Wird der Vorgang ausgehend vom Ruhezustand betrachtet, tritt erst eine
Einschwingphase auf und im Anschluss wird die Kármánsche Wirbelstraße gebildet7. Auf Grund der
inhärenten absoluten Instabilität der Kármánsche Wirbelstraße8 ist eine zeitliche Betrachtung der
Strömung unumgänglich.
1 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 33
2 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288
3 Guicking, Schwingungen, 2016, S. 186
4 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 40
5 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288
6 Guicking, Schwingungen, 2016, S. 186
7 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 33
8 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 33
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Die Eigenschaften dieser periodisch alternierende Strukturen9 an einem Zylinder finden unter
anderem bei der Volumenstrommesstechnik und der akustische Messtechnik10
Anwendung.
Simulation der Kármánschen Wirbelstraße
Mit den vielfältigen bekannten Abbildungen von Wirbelablösungen, beispielsweise von Van Dyke11
lag der Fokus dieser Untersuchung auf der Simulation eines umströmten Zylinders. Die Simulationen
wurden für einen 2D-Ausschnitt für eine Reynoldszahl von 200, und damit im laminaren Bereich, und
mit einer Anströmgeschwindigkeit von 1 m/s durchgeführt (und einer daraus resultierenden
Viskosität). Die Anströmung des Störkörpers erfolgte dazu gleichmäßig über die Höhe.
Die Simulationen wurden alle mit dem OpenSource-Tool OpenFOAM durchgeführt. Auf Grund der
beschriebenen Instationarität wurden die Berechnungen zeitabhängig durchgeführt. Des Weiteren
wurde jeweils der Anfahrzustand betrachtet, scilicet ausgehend von einem Ruhezustand gerechnet.
Diese Wahl als Ausgangszustand war zum einen dem Interesse an der Wirbelentstehung und zum
anderen der Tatsache, dass jede stationäre Startlösung eine Verfälschung des transienten
Ergebnisses nach sich zieht, geschuldet. Die zentrale Einstellgröße bei der zeitabhängigen Rechnung
ist die Zeitschrittwahl, da die Zeitschritte direkt mit der Wirbelfrequenz und damit der Courant-Zahl
korrelieren.
Auswertung der Strouhalzahl
Neben einer graphischen Auswertung der Ergebnisse, welche sich diesem Abschnitt anschließt, ist für
die Betrachtung der Kármánschen Wirbelstraße die Auswertung der Strouhalzahl von Interesse. Diese
setzt sich aus der Anströmgeschwindigkeit c, der Ablösefrequenz f und Zylinderdicke d zusammen
und ergibt sich zu
�� ��∙�
�
12,
wobei zudem eine Proportionalität der Wirbelablösefrequenz zur Strömungsgeschwindigkeit 13
besteht. Die Strouhalzahl ergibt sich zu �� � 0.2 für einen Reynoldszahlbereich zwischen 100 und
2*10^514
15
.
Für die Bestimmung der Wirbelfrequenz der Berechnungsergebnisse wurden die
Druckschwankungen im Abstromgebiet des Störkörpers aufgenommen und in der nachfolgenden
Abbildung visualisiert. Daraus lässt sich die Wirbelfrequenz direkt ablesen und folglich die
Strouhalzahl berechnen. Zusätzlich zeigt die folgende Abbildung sehr deutlich die Entstehung der
ablösenden Wirbel zu Beginn der Simulation.
9 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 85
10 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288
11 Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.57
12 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.289
13 Reik et al., Flow rate measurement in a pipe flow by vortex shedding, 2010, S. 79
14 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288
15 Reik et al., Flow rate measurement in a pipe flow by vortex shedding, 2010, S. 79
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Druckverlauf über dem zeitlichen Verlauf im Nachlauf des Störkörpers (Zylinder)
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Abhängigkeit der Ergebnisse von der Gittergröße
Um den Einfluss der Gittergröße auf das Simulationsergebnis zu untersuchen, wurden drei
unterschiedliche numerische Gitter betrachtet und hinsichtlich Ablösefrequenz und Strömungsbild
untersucht. Bei der Betrachtung des Strömungsbildes sind keine Unterschiede zu erkennen,
wohingegen sich die Strouhalzahlen unterscheiden.
Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das grobe Gitter
� � 6.0
�� � 0.180
Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das mittlere Gitter
� � 6.917
�� � 0.208
Grobes Gitter für die Zylinderumströmung
Mittleres Gitter für die Zylinderumströmung
Strömungsbild der Zylinderumströmung für das grobe Gitter
Strömungsbild der Zylinderumströmung für das feine Gitter
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Durch eine weitere Verfeinerung des numerischen Gitters konnte keine Veränderung des
Strömungsbildes beobachtet werden und auch die Strouhalzahlen verbleiben fast identisch.
Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das grobe Gitter
� � 6.917
�� � 0.208
Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das feine Gitter
� � 6.951
�� � 0.209
Grobes Gitter für die Zylinderumströmung
Feines Gitter für die Zylinderumströmung
Strömungsbild der Zylinderumströmung für das grobe Gitter
Strömungsbild der Zylinderumströmung für das feine Gitter
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Einfärbung der Strömung mit einer zusätzlichen Variablen
Druckverlauf über dem zeitlichen Verlauf im Nachlauf des Störkörpers (Zylinder), Vergleich zweier numerischer Gitter
Visualisierung der Strömung mit Hilfe einer zusätzlichen Variablen
Im Rahmen dieser Untersuchung lag
der Schwerpunkt der Betrachtung
nicht nur auf der Auswertung der
Wirbelablösungen mittels
Kennzahlen, sondern auch auf der
graphischen Aufbereitung. Hierzu
wurde eine zusätzliche Variable
eingeführt, welche der Strömung
folgt und somit eine Art Marker
darstellt. Für die Verwendung dieser
zusätzlichen Variablen wurde der
bisherige Solver modifiziert und der seitliche Einlass aufgeteilt, sodass zwar überall eine homogene
Einlassgeschwindigkeit vorliegt, jedoch nur bestimmte Bereiche eine Färbung durch die zusätzliche
Variable erfahren.
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Für eine optimale Darstellung mittels zusätzlicher Variable zeigte sich, dass im Einlauf ein
ausreichend feines Gitter nötig ist, da bei einem zu groben Gitter (auch bei Einstellung eines geringen
Queraustausches) die zusätzliche Variable sehr schnell verschmiert.
Additional Variable, unstrukturiertes, grobes
Gitter, Einlassbereich
Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,
Einlassbereich
Additional Variable, unstrukturiertes, grobes
Gitter, Einlassbereich
Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,
Einlassbereich
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Mit dem Ziel, auch die Umströmung des Störkörpers, die Ablösung und die Wirbelbildung
ausreichend aufzulösen, war eine deutliche Verfeinerung des numerischen Gitters nötig.
Additional Variable, unstrukturiertes, grobes
Gitter, Körperumströmung
Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,
Körperumströmung
Additional Variable, unstrukturiertes, grobes
Gitter, Körperumströmung
Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,
Körperumströmung
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Einfärbung der Strömung mit Hilfe von Partikeln
Visualisierung der Strömung mit Hilfe von Partikeln
Auf Grund der Anforderungen an
ein hochwertiges Simulationsgitter
bei der gezeigten Visualisierung der
Strömung mit Hilfe einer
zusätzlichen Variablen, wurde als
Alternative die Visualisierung mit
Hilfe von Partikeln realisiert. Dazu
können an beliebigen Punkten
Partikel in die Strömung aufgegeben
und verfolgt werden. Die
Eigenschaften der Partikel wurden
so gewählt, dass sie der Strömung
folgen.
Der Einsatz der Partikel ist hierbei unabhängig vom numerischen Gitter; es tritt kein Verschmieren
auf. Darüber hinaus ist der Einsatz verschiedener Partikel leicht umsetzbar, mit erweiterten
Möglichkeiten bei der Visualisierung. Die erweiterten Visualisierungsmöglichkeiten der Partikel
entstehen zudem bei der freien Wahl der Startpunkte.
Partikel, alle vom gleichen Typ
Partikel, verschiedene Typen
Partikel, Start am Einlass
Partikel, Start vor dem umströmten Körper
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Vergleich
Mit der Einführung der zusätzlichen Variablen, in Kombination mit der Findung des idealen
numerischen Gitters, und der Integration von Partikeln wurden zwei sehr gute Methoden für die
Visualisierung von Simulationsergebnissen der Kármánschen Wirbelstraße aufgezeigt. Im Folgenden
sind zunächst zwei Fotographien der Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer
Reynoldszahl von 10516
und 14017
, welche eine Wasserströmung mit kolloidalem Rauch darstellen, zu
sehen. Im Anschluss daran sind Simulationsbilder der Kármánschen Wirbelstraße, zum einen mit
Partikeln und zum anderen mit einer zusätzlichen Variablen, hinter einem Zylinder und einem Würfel
für eine Reynoldszahl von 200 zu sehen. Sowohl die Darstellung mit Hilfe mit Partikeln, als auch mit
der zusätzlichen Variablen liefern aussagekräftige Ergebnisse.
Vertiefte Einblicke in die Entstehung und das Verhalten der Kármánschen Wirbelstraße liefert der
youtube-Kanal der Tintschl BioeEnergie und Strömuzngstechnik AG
(https://www.youtube.com/channel/UC6MtUdYun1-Xv0fSpyC_Hmg).
Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer Reynoldszahl von 105, Wasserströmung
mit kolloidalem Rauch18
16
Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.57 17
Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.56 18
Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.57
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Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer Reynoldszahl von 140, Wasserströmung
mit kolloidalem Rauch19
Simulation der Kármánschen Wirbelstraße mit Hilfe von Partikeln, hinter einem Zylinder bei einer
Reynoldszahl von 200
19
Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.56
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Simulation der Kármánschen Wirbelstraße mit Hilfe einer zusätzlichen Variablen, hinter einem
Zylinder bei einer Reynoldszahl von 200
Simulation der Kármánschen Wirbelstraße mit Hilfe einer zusätzlichen Variablen, hinter einem Würfel
bei einer Reynoldszahl von 200
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Literaturhinweise
Dominik Surek, "Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung”, Handbuch
Maschinenbau, Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik, 23., überarbeitete
Auflage, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden, 2017
Jinn Gong, "Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung ”, Springer
Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden, 2016
Dieter Guicking, "Schwingungen - Theorie und Anwendungen in Mechanik, Akustik, Elektrik und
Optik”, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden, 2016
M. Reik/ R. Höcker/C. Bruzzese/M. Hollmach/O. Koudal/T. Schenkel/H. Oertel, "Flow rate
measurement in a pipe flow by vortex shedding”, Forschung Ingenieurwesen (2010) 74: 77–86,
SpringerVerlag, Karlsruhe, 2010
Milton Van Dyke, "An Album of Fluid Motion”, The Parabolic Press, Stanford, 1982