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Mittelschule / Realschule / Gymnasium
Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 1
- Lösungen -
GM_LU055 1 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de
Hinweis:Die jeweilige Längeneinheit (z.B. mm) wird beim Rechnen nicht angegeben und erst demErgebnis hinzugefügt.Die Zeichnungen sind NICHT maßstäblich.
1. Pythagoras:∋ (2 2 2
2 2
45 21 52 x
x 66 52x 40,64 mm
∗ < ∗
< ,
<
2. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und s definiert:55 46a 4,5 mm2
b 70 16 54 mm
,< <
< , <
Pythagoras:2 2 2
2 2 2
s a b
s 4,5 54
s 2936,25s 54,19 mm
< ∗
< ∗
<
<
3. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:d1 da 2,5 mm ; c 6 mm2 2< < < <
Pythagoras:2 2 2 2 2 2
2 2 2
c a b b c a
b 6 2,5
b 36 6,25 29,75b 5,45 mm
< ∗ ⇑ < ,
< ,
< , <
<
h 6 b 6 5,45h 0,55 mm
< , < ,
<
- Lösungen -
GM_LU055 2 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de
4. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:d 60b 45 30 15 mm ; c 30 mm2 2< , < < < <
Pythagoras:2 2 2 2 2 2
2 2 2
c a b a c b
a 30 15
a 900 225 675a 25,98 mm
< ∗ ⇑ < ,
< ,
< , <
<
x 2ax 51,96 mm
<
<
5. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:42 mm 50 mmda ; b 21mm ; c 25 mm2 2 2< < < < <
Pythagoras:2 2 2 2 2 2
2 2 2
c a b a c b
a 25 21
a 625 441 184a 13,56 mm
< ∗ ⇑ < ,
< ,
< , <
<
d 2ad 27,13 mm
<
<
6. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:a 38 12 26 mm ; b 78 12 66 mm< , < < , <
Pythagoras:2 2 2
2 2 2
c a b
c 26 66
c 676 4356 5032c 70,94 mm
< ∗
< ∗
< , <
<
Kontrollmaß x:10 14x 70,94 2 2
x 58,94 mm
< , ,
<
- Lösungen -
GM_LU055 3 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de
7. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, x und c definiert:a R16 16 mm ; c R30 30 mm< < < <
Pythagoras:2 2 2 2 2 2
2 2 2
c a x x c a
x 30 16
x 900 256 644x 25,38 mm
< ∗ ⇑ < ,
< ,
< , <
<
8. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen x, 45 und 90 definiert:Pythagoras:∋ (2 2 2
2 2 2
45 45 45 x
x 90 45
x 8100 2025 6075x 77,94 mm
∗ < ∗
< ,
< , <
<
Gesamthöhe h:h x 2r 77,94 2 45h 167,94 mm
< ∗ < ∗ √
<
9. Berechnung von h – Pythagoras:
∋ (22 2
2 2 2
11 4 6 h
h 11 10
h 121 100 21h 4,58 cm
< ∗ ∗
< ,
< , <
<
Berechnung von x – Pythagoras:2 2 2
2 2
x 4 h
x 4 21
x 16 21 37x 6,08 cm
< ∗
< ∗
< ∗ <
<
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10. Berechnung von s (allgemein) – Pythagoras:
∋ (
∋ (
2 2 2
2 2
2 2 2
2
h r r s
s h r r
s h 2hr r r
s h 2hr
∗ < ∗
< ∗ ,
< ∗ ∗ ,
< ∗
Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte:2s 12 2 12 380
s 9264s 96,25 cm
< ∗ √ √
<
<
11. Konstruktionsbeschreibung:∂ p q AB 6 cm∗ < < antragen.
∂ Thaleskreis um AB .∂ Senkrechte durch den Berührpunkt D schneidet den Thaleskreis in C.∂ A mit C und B mit C verbinden ergibt ABCΧ ,
Berechnung der Dreieckshöhe h Dreiecksfläche:Höhensatz:
2h p q
h 3,5 2,5 8,75h 2,96 cm
< √
< √ <
<
12. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:12 20b 6 mm ; c 10 mm2 2
⊕< < < <
Pythagoras:2 2 2 2 2 2
2 2 2
c a b a c b
a 10 6
a 100 36 64a 8 mm
< ∗ ⇑ < ,
< ,
< , <
<
Länge x:
2
1A AB h21A 6 cm 2,96 cm2
A 8,88 cm
Χ
Χ
Χ
< √ √
< √ √
<
x 50 ax 42 mm
< ,
<
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13. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und r definiert:da 24 cm ; r 25 cm2< < <
Pythagoras:2 2 2 2 2 2
2 2 2
r a b b r a
b 25 24
b 625 576 49b 7 cm
< ∗ ⇑ < ,
< ,
< , <
<
Länge x:
14. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck MBP mit den Maßen a, b und rdefiniert:
1,5rDBb 0,75 r2 2< < <
Pythagoras:
∋ (
2 2 2 2 2 2
22 2
2 2 2
2 2
r a b a r b
a r 0,75r
a r 0,5625 r
a 0,4375 r
a 0,66 r
< ∗ ⇑ < ,
< ,
< , √
< √
<
15. a) Dreieckseite BC - Flächenformel für das ABCΧ :
ABC a
2ABC
a
1A BC h22 A 2 38 cmBC h 8 cm
BC 9,5 cm
Χ
Χ
< √ √
√ √< <
<
Teilstrecke HM - Pythagoras im AMHΧ : Teilstrecke CH :2 2 2
2 2
2 2
AM AH HM
HM AM AH
HM 8,5 8 8,25
HM 2,87 cm
< ∗
< ,
< , <
<
CH CM HM
BCCH HM 4,75 2,872CH 1,88 cm
< ,
< , < ,
<
x r b 25 7x 18 cm
< , < ,
<
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Dreieckseite AC - Pythagoras im AHCΧ :2 2 2
2 2
AC AH CH
AC 8 1,88 67,5344
AC 8,22 cm
< ∗
< ∗ <
<
b) Teilstrecke FC - Kathetensatz im AHCΧ :2
2 2
CH AC FC
1,88CHFC 8,22ACFC 0,43 cm
< √
< <
<
Teilstrecke AF : Senkrechte (Lot) auf AC - Höhensatz im AHCΧ :
AF AC FC
AF 8,22 0,43
AF 7,79 cm
< ,
< ,
<
2FH FC AF
FH 0,43 7,79
FH 1,83 cm
< √
< √
<
16. Berechnung von h – Pythagoras:2 2 2
2 2
2 2
a q h
h a q
h 8 6 28h 5,29 cm
< ∗
< ,
< , <
<
Berechnung von p – Pythagoras:2 2 2
2 2 2 2 2 2
c a b(q p) a b (1) b h p (2)
< ∗
∗ < ∗ < ∗
(2) in (1):2 2 2 2
2 2 2
2 2
(q p) a h p
(6 p) 8 28 p
36 12p p 92 p12p 56
p 4,67 cm
∗ < ∗ ∗
∗ < ∗ ∗
∗ ∗ < ∗
<
<
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Berechnung von b – Pythagoras: Berechnung von c:2 2 2
2 2
b h p
b 5,29 4,67b 7,06 cm
< ∗
< ∗
<
Berechnung von s – Pythagoras:2 2 2
2 2 2
r b s (1)(a s) c r (2)
< ∗
∗ < ∗
(1) in (2):2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
(a s) c b s
a 2as s c b s
2as c b a b h p einsetzen
c h p as2a
10,67 5,29 4,67 8s2 8
s 6,23 cm
∗ < ∗ ∗
∗ ∗ < ∗ ∗
< ∗ , < ∗
∗ ∗ ,<
∗ ∗ ,<
√<
17. Berechnung von r – Pythagoras im MPQΧ :
∋ ( ∋ (
∋ (
222
22 2 2 2
2
2
ar a r2
ar a 2ar r r45 40 a 2ar4 5
80 a ar58 80 a a r a 0 oder a r 05 5
8a r55r a8
< ∗ ,
< ∗ , ∗ ,
< , √
< ,
< , ⇑ < , <
<
<
Berechnung von x: Berechnung von s – Pythagoras im ABCΧ :
∋ (x a 2 a r
x a 2a 2rx 2r a
< , ,
< , ∗
< ,
∋ (∋ ( ∋ (
22 2
222
as x 2
as 2r a 2
< ∗
< , ∗
c q pc 6 4,67c 10,67 cm
< ∗
< ∗
<
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Berechnung von s (Fortsetzung):
∋ (
22 2 2
2 2 2
22 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
as 4r 4ar a 45 5s 4r 4ar a r a4 8
5 5 5s 4 a 4a a a8 8 4100 10 5s a a a64 4 425 5 25 20s a a a a16 4 16 165s a16as 54
< , ∗ ∗
< , ∗ <
< √ , √ ∗
< , ∗
< , < ,
<
<
18. Berechnung von c Berechnung von p und qPythagoras im ABCΧ : Kathetensatz:
2 2 2
2 2 2
c a b
c 7 24
c 625c 25 cm
< ∗
< ∗
<
<
2 2
2 2
a c p (oder b c q)
a 7p c 25p 1,96 cm q c p
q 23,04 cm
< √ < √
< <
< ⇑ < ,
<
Berechnung von Ch Eine alternative Berechnungsmethode mitHöhensatz im ABCΧ Hilfe des Flächeninhalts des ABCΧ :
2C
2C
C
C
h p q
h 1,96 23,04
h 45,1584
h 6,72 cm
< √
< √
<
<
19. Länge u – Pythagoras im CDEΧ :2 2 2
2 2 2
2 2
d u e
u d e
u 12 9,6 51,84
u 7,20 cm
< ∗
< ,
< , <
<
ABC C
C
C
C
1 1A c h a b2 2c h a b
a b 7 24h c 25h 6,72 cm
Χ < √ √ < √ √
√ < √
√ √< <
<
- Lösungen -
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Länge f – Höhensatz im DBCΧ : Länge r – Kathetensatz im DBCΧ :2
22
u e f
7,2uf e 9,6
f 5,4 cm CB e f 15 cm
< √
< <
< ⇑ < ∗ <
∋ (2r f e f
r 5,4 15 81r 9 cm
< √ ∗
< √ <
<
Länge s – Pythagoras im ADCΧ : Länge v – Flächenformel für das ADCΧ :2 2 2
2 2 2
2 2
b s d
s b d
s 13 12 25s 5 cm
< ∗
< ,
< , <
<
20. Länge AD – Pythagoras im AFDΧ :2 2 2
2 2 2
AD u v
AD 3 4
AD 25
AD 5 cm
< ∗
< ∗
<
<
Länge FB – Höhensatz im ABDΧ :2
2 2
v u FB
v 4FB u 3FB 5,33 cm AB u FB
AB 8,33 cm
< √
< <
< ⇑ < ∗
<
Länge EC – Höhensatz im ADCΧ : Länge BC – Pythagoras im ABCΧ :2
2 2
u v EC
u 3EC v 4EC 2,25 cm AC v EC
AC 6,25 cm
< √
< <
< ⇑ < ∗
<
Dreiecksumfang: Dreiecksfläche:U AB AC BC 8,33 6,25 10,42U 25 cm
< ∗ ∗ < ∗ ∗
<
ADC1 1A s d b v2 2
s d b vs d 5 12v b 13
v 4,62 cm
Χ < √ √ < √ √
√ < √
√ √< <
<
2 2 2
2 2
BC AB AC
BC 8,33 6,25 108,4514
BC 10,42 cm
< ∗
< ∗ <
<
ABC
2ABC
1 1A AB AC 8,33 6,252 2A 26,03 cm
Χ
Χ
< √ √ < √ √
<
- Lösungen -
GM_LU055 10 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de
21. Der Schnittpunkt D liegt auf dem Thaleskreis über [BC].Daraus folgt:
BDC 90< ↓Ρ undBD ist Höhe im ABCΧ
Strecke AC - Kathetensatz im ABCΧ :2
2 2
AB AD AC
AB 12AC 9ADAC 16 cm
< √
< <
<
Strecke BC - Pythagoras im ABCΧ :2 2 2
2 2 2
2 2
AC AB BC
BC AC AB
BC 16 12 112
BC 10,58 cm
< ∗
< ,
< , <
<
BCRadius r 2r 5,29 cm
<
<
22. Jeweils Pythagoras in den Dreiecken I und II:
∋ (
2 2 2
22 2
a 50 x (I)
a 40 60 x (II)
(I) (II) :
< ∗
< ∗ ,
<
∋ (22 2 2
2 2 2
50 x 40 60 x
2500 x 1600 3600 120x x x
2500 5200 120x120x 2700
x 22,5 m
∗ < ∗ ,
∗ < ∗ , ∗ ,
< ,
<
<
Der Brunnen ist vom höheren Turm 22,5 m und vom niedrigeren Turm 37,5 mentfernt.
23. Das A4-Blatt hat folgende Abmessungen: a 297 mm, b 210 mm< <Der Berührpunkt B und ein Kreismittelpunkt M sind zwei Punkte eines gedachtenrechtwinkligen Dreiecks (siehe Seite 11).
Die längere Kathete hat das Maß a r2 , ; die kürzere Kathete hat das Maß b r2 ,
Daraus folgt nun für das Dreieck:
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Pythagoras:
∋ ( ∋ (
∋ ( ∋ (
∋ ( ∋ (
∋ ( ∋ (
∋ (
2 22
2 22 2 2
2 22 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
1/2
1/2
a br r r2 2
a br ar r br r4 4a br 2r ar br4 410 a b r r a b4
10 r r a b a b4a 297; b 210
10 r r 297 210 297 21040 r 507 r 33077,25
507 507 4 1 33077,25r 2 1
1r 253,5 257049 132302
< , ∗ ,
< , ∗ ∗ , ∗
< ∗ ∗ , ,
< ∗ ∗ , ∗
< , ∗ ∗ ∗
< <
< , ∗ ∗ ∗
< , √ ∗
° , , √ √<
√
< ° ,
∋ (1/2
1 2
9
1r 253,5 1247402r 76,91 r 430,1 keine Lösung
< °
< <
Kreisdurchmesser: d 153,8 mm<
24. Pythagoras: Axialschnitt des Kegels
∋ (∋ (
22 2
22 2
2 2 2
ds h 2
dh s 2
h 18 11
h 203h 14,25 cm
< ∗
< ,
< ,
<
<
- Lösungen -
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25. Flächendiagonale d:2 2 2d b< ∗κ
Raumdiagonale D:2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
D d h
D b h
D 42 28 16 2804D 52,95 cm
< ∗
< ∗ ∗
< ∗ ∗ <
<
κ
26. Das Dreieck EBG ist gleichseitig, denn BE BG EG< < sind jeweils Flächen-diagonalen des Würfels.Für die Länge dieser Diagonalen gilt: Höhe h – Pythagoras:
2 2 2
2 2 2
BE AB AE
BE 8 8
BE 128
BE 8 2 cm
< ∗
< ∗
<
<
∋ ( ∋ (2 22
2
h 8 2 4 2
h 128 32
h 96
h 4 6 cm
< ,
< ,
<
<
Flächeninhalt EBGΧ :
27. a) Zunächst sind die Längen der Dreieckseiten zu bestimmen: (Zeichnung siehe Seite 13)
∋ ( ∋ ( ∋ ( ∋ (
∋ ( ∋ ( ∋ ( ∋ (
∋ ( ∋ ( ∋ ( ∋ (
2 2 2 2B A B A
2 2 2 2C A C A
2 2 2 2B C C B
AB x x y y 19 2 9 3 325 5 13 LE
AC x x y y 11 2 15 3 225 15 LE
BC x x y y 19 11 15 9 100 10 LE
< , ∗ , < , ∗ , < <
< , ∗ , < , ∗ , < <
< , ∗ , < , ∗ , < <
EBG
EBG
EBG
2EBG
1A EB h21A 8 2 4 62
A 16 12
A 32 3 cm
Χ
Χ
Χ
Χ
< √ √
< √ √
<
<
- Lösungen -
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Zur Überprüfung des Dreiecks ABC auf Rechtwinkligkeit wird der Satz desPythagoras angewendet. Ist bei einem Dreieck die Aussage 2 2 2c a b< ∗ wahr,dann ist dieses Dreieck rechtwinklig. Für unser gegebenes Dreieck gilt:
∋ (
2 2 2
22 2
AB AC BC
5 13 15 10
325 325 wahr
< ∗
< ∗
<
Für die Zeichnung: Längeneinheit 0,5 cm
b) Der senkrechte Abstand des Punktes C auf [AB] entspricht der Höhe hC imDreieck ABC. Man kann die Höhe hC über den Flächeninhalt des Dreiecksbestimmen:
ABC C
C
C
C
1 1A BC AC AB h2 2BC AC AB h
BC AC 10 15 30h LEAB 5 13 13
h 8,32 LE
Χ < √ √ < √ √
√ < √
√ √< < <
<
- Lösungen -
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28. Höhe der Wand = Leiterlänge xNebenstehende Skizze zeigt, dass im rechtwinkligenDreieck die Leiterlänge x (Hypotenuse) mit Hilfe desSatzes von Pythagoras berechnet werden kann:
∋ (
2 2 2
22 2
2 2
c a b Pythagoras allgemein
x 1,2 x 0,2
x 1,44 x 0,4x 0,040,4x 1,48
x 3,7 m
< ∗
< ∗ ,
< ∗ , ∗
<
<
29. Das Dreieck 1 2M M Q wird durch diehalbe Sehne x in zwei rechtwinkligeTeildreiecke zerlegt:
1M PQΧ und 2PM QΧ
Lösungsansatz
1M PQΧ - Pythagoras:2 2 2
1 1
2 2 2
M Q q x M Q 4 cm
x 4 q (1)
< ∗ <
< ,
2PM QΧ - Pythagoras:2 2 2
2 2
2 2 2
M Q p x M Q 6 cm
x 6 p (2)
< ∗ <
< ,
p q 8 cmp 8 q (3)
∗ <
< ,
(1) (2) (3) :< ∗
∋ (
2 2 2 2
22 2 2
2 2
4 q 6 p
4 q 6 8 q
16 q 36 64 16q q16q 44
q 2,75 cm
, < ,
, < , ,
, < , ∗ ∗
<
<
q 2,75 cm< einsetzen in (1):2 2 2x 4 2,75
x 8,4375x 2,905 cm
< ,
<
<
Länge der Sehne: 2x 5,81cm< <κ
- Lösungen -
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30. Die Strecken (Lote) 1M P und 2M Qstehen senkrecht auf der Tangente t. Verschiebt man die Tangente parallel bis sie durch 1M verläuft, ergibt sich das farbig markierte rechtwinkligeDreieck in der nebenstehendenZeichnung.Nach Pythagoras erhält man:
∋ (∋ (
∋ ( ∋ (
∋ ( ∋ (
22 2
1 2 2 1
22 2
1 2 2 1
2 2
1 2 2 1
2 2
M M PQ r r
PQ M M r r
PQ r r r r
PQ 2 6 6 2 64 16 48
PQ 6,93 cm
< ∗ ,
< , ,
< ∗ , ,
< ∗ , , < , <
<
31. Nach dem Satz des Pythagoras gilt im:
∋ ( ∋ (
2 2 2
2 22
AED : s a x (1)
EBF : s a x a x (2)
Χ < ∗
Χ < , ∗ ,
(1) (2) :< ∋ ( ∋ (2 22 2a x a x a x∗ < , ∗ ,
∋ (
∋ (
22 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
1/2
1/2
1/2
1 2
a x 2 a x
a x 2a 4ax 2x
x 4ax a 0
( 4a) 16a 4 1 a 4a 12a 4a 2a 3x 2 1 2 2x 2a a 3 a 10
x 20 10 3
x 20 10 3 x 20 10 3 keine Lösung
x 2,68 cm
∗ < ,
∗ < , ∗
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√
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< °
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Seitenlänge s des Dreiecks:2 2 2
2 2 2 2
s a x
s a x 10 2,68s 10,35 cm
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- Lösungen -
GM_LU055 16 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de
32. Die Tangente t steht senkrecht auf dem Kreis kmit Radius MC r< .Der Schnittpunkt D auf der Sekante AB liegt aufdem Thaleskreis über [BC]. Damit ist dasDreieck BCD bei D senkrecht.
Strecke BC - Kathetensatz im Dreieck ABC:
∋ (∋ ( ∋ (
2
2
2
2
2
BC BD AB
BC AB AD AB
2r 14 4 14
4r 140
r 35r 5,92 cm
< √
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Flächeninhalt ABCΧ : Nebenrechnung:
ABC
ABC
2ABC
1A AB CD21A 14 6,322
A 44,24 cm
Χ
Χ
Χ
< √ √
< √ √
<
∋ (
2 2 2
2 2 2 2
CD BC BD
CD 2r 10 11,83 10 40
CD 6,32 cm
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