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21.04.2009
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• Messwiederholungen und abhängige Messungen
• t‐Tests und Varianzanalysen für Messwiederholungen
• Kovarianzanalyse
Thomas Schäfer | SS 2009 1
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• Bei einer Messwiederholung (repeated mesurement) handelt es sich um ein Untersuchungsdesign, das eine Stichprobe verwendet, bei der wiederholt die gleiche abhängige Variable gemessen wird. Dieselben
Messwiederholungen und abhängige Messungen
g g g gPersonen durchlaufen dabei alle Untersuchungsbedingungen. Eine solche Untersuchungsform wird auch als Innersubjekt‐Design (between‐subjects) bezeichnet.
• Bei einem Design mit gepaarten Stichproben (matched samples) wird jeder Untersuchungsteilnehmer der einen Stichprobe einem Teilnehmer der anderen Stichprobe anhand eines Merkmals zugeordnet. Aus den
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Prozess des Matching resultiert immer ein Paar von Versuchspersonen, die hinsichtlich eines spezifischen Merkmals äquivalent sind.
(nach Pospeschill, 2006)
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• Beispiele für Matching: Alter, IQ, Geschlecht• Ziel des Matching: sich dem Design einer Messwiederholung so gut wie
möglich anzunähern
Messwiederholungen und abhängige Messungen
• Messwiederholungsdesigns sind perfekt gematcht (parallelisiert)• Messwiederholungsdesigns und gepaarte Stichproben liefern immer
abhängige (verbundene) Messungen
• Vorteile abhängiger Stichproben:– weniger Versuchspersonen nötig– Veränderungen über die Zeit besser messbar (z.B. bei
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Wirksamkeitsstudien)– Fehlervarianz (hier: die Varianz zwischen den Personen) wird reduziert
• Nachteile: Sequenz‐ und Lerneffekte
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
t‐Test für abhängige Stichproben
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für jedes Messwertepaar geht nur die Differenz der Werte in die Berechnung
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Mes
swer
t
Differenz der Werte in die Berechnung ein, nicht die Rohwerte!
Die unterschiedlichen Niveaus der Personen werden nicht berücksichtigt
Minimierung der Fehlerstreuung
der Durchschnitt aller Differenzen wird gegen 0 getestet (wie beim
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Messung A Messung B
wird gegen 0 getestet (wie beim Einstichprobenfall)
n entspricht daher nur der Anzahl der Messwertpaare, nicht der Anzahl der Messwerte!
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t‐Test für abhängige Stichproben
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Messung A
Messung B
Differenz
35 32 3
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27
28
29
30
31
32
33
Mes
swer
t
35 31 4
33 30 3
32 29 3
30 25 5
27 24 3
5,3=X diff
Varianz der Differenzen
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Messung A Messung B
ndiff
diff
X diff
diffAS
XXt σσ ˆˆ== ( )
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ˆ −=∑ −=
n
diffdiff in
idiffσ
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• Durch die Reduzierung der Fehlervarianz wird der t‐Wert für abhängige Stichproben immer größer als der t‐Wert für unabhängige Stichproben
t‐Test für abhängige Stichproben
unabhängige Stichproben
Effektgrößen
• Aus Rohwerten: σ̂ diff
diffXg =
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• Aus dem t‐Wert:
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dfttroder
ng t AS
+==
²²
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
t‐Tests im Vergleich
Empirischer vs. theoretischer Mittelwert (Einstichprobenfall)
Zwei empirische Mittelwerte (unabhängige Messungen)
Abhängige Messungen
σ
μ∧−
=X
Xtσ∧
−
−=
XX
BA
BA
XXt
(Einstichprobenfall) Messungen)
difft
diffσ∧
=
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σσσ∧∧∧
−+=
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XXXX BABAnX
∧∧ =
σσ
(bei nA = nB)ndiff
diff
σσ
∧
=∧
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Varianzanalyse mit Messwiederholung(Repeated measures ANOVA)
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(aus Pospeschill, 2006)
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Messung A Messung B
Mes
swer
t
Messung C
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Varianzanalyse mit Messwiederholung
Varianz über (k) abhängige Messungen; statt „UV“ steht oft „treat“
dfQSdfQS
F
res
res
UV
UV
residual
UV ==σσˆ
ˆ2
2
Varianz, die nicht durch Treatment oder Personen erklärt wird
dfres = (k‐1)(n‐1)
dfUV = k‐1
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QS: Quadratsummen: Anzahl der wiederholt gemessenen Merkmalsträger (Personen)
(QSgesamt = QSzwischen Personen + QSUV + QSres)
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Varianzanalyse mit Messwiederholung
( )∑ ∑=k n
XXQS2 i: Laufvariable für Spalten
( )[ ]∑ −==
k
iiUV XXnQS
1
2
( )∑ −==
n
jjPers XXkQS
1
2
( )∑ ∑ −== =i j
ijgesamt XXQS1 1
QSres = QSgesamt ‐ QSUV‐ QSPers
i: Laufvariable für Spalten (Messwiederholungen)
j: Laufvariable für Merkmalsträger (Personen)
k: Anzahl der Messungen
n: Anzahl der wiederholt gemessenen Merkmalsträger
: GesamtmittelwertX
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Beispiel: Lordoseverhalten bei Hamstern
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Beispiel: Lordoseverhalten bei Hamstern
Männchen A
Männchen B
Männchen C
Mittel
H t 1 30 14 4 16Hamster 1 30 14 4 16
Hamster 2 28 16 6 16,7
Hamster 3 27 16 5 16
Hamster 4 34 18 9 20,3
Mittel 30 16 6 17,3
die unterschiedlichen Niveaus der Merkmalsträger sind wieder nicht von Bedeutung
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entscheidend ist, wie die Mittelwerte über die Messwiederholungen hinweg variieren
diese Variation spiegelt den Effekt der Messwiederholung wieder
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• Populations‐Effektgröße (partielles Eta‐Quadrat):
Effektgrößen und Power
UVP
QS=2η
• zur Poweranalyse: Vorgehen analog zur ANOVA bei unabhängigen Stichproben
• Effektgrößen generell größer als bei unabhängigen Gruppen!
• will man Effektgrößen aus ANOVAs mit abhängigen und unabhängigen Stichproben direkt vergleichen kann man eine
resUVP QSQS +
η
Thomas Schäfer | SS 2009
unabhängigen Stichproben direkt vergleichen, kann man eine korrigierte Variante der Effektgröße berechnen:
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resPersUV
UV
QSQSQSQS
++=η2
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Poweranalyse mit G‐Power
Test auswählen Design auswählenArt der Analyse auswählen(a priori, post hoc)
Effektgröße eintragen (hier ausrechnen)
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Alpha eintragenPower eintragen
Anzahl der Messwiederholungenbzw. Versuchsgruppen
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Poweranalyse mit G‐Power ‐ Ergebnis
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Ergebnis: erforderliches N
Plot anzeigen lassen für N gegen Power
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• zur Analyse der Differenzen einzelner Faktorstufen: Vorgehen analog zur ANOVA bei unabhängigen Stichproben
l h ffé f
Post‐hoc Tests (Einzelvergleiche)
• also z.B. Scheffé‐Test, Bonferroni‐Test usw.
Männchen A
Männchen B
Männchen C
Mittel
Hamster 1 30 14 4 16
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Hamster 2 28 16 6 16,7
Hamster 3 27 16 5 16
Hamster 4 34 18 9 20,3
Mittel 30 16 6 17,3
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• bei faktoriellen Designs können gleichzeitig abhängige und unabhängige Messungen vorkommen
bh b k f k
Gemischte Designs (mixed models)
• in SPSS: abhängige Messungen = Innersubjektfaktoren, unabhängige Messungen = Zwischensubjektfaktoren
Sitzung A Sitzung B Sitzung C
Faktor A: Messwiederholung in 3 Stufen
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g g g
Patienten ohne Medikament
Patienten mit Medikament
Faktor B: 2 unabhängige Gruppen
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Gemischte Designs – Beispiele
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aus Gerrig & Zimbardo, 2008
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• Problemstellung: was passiert, wenn sich Versuchsgruppen (Faktorstufen) nicht nur durch das Treatment unterscheiden, sondern außerdem durch den Einfluss von Störvariablen? (häufig: Alter, Geschlecht, Intelligenz…)
Kovarianzanalyse (Analysis of Covariance, ANCOVA)
( g , , g )
• die eigentliche Lösung: Ausschalten der Störvariablen durch experimentelle Kontrolle
• wenn das nicht möglich ist (z.B. unvorhersehbare Störungen, Quasiexperimente), müssen die Störvariablen statistisch kontrolliert werden
• dafür müssen die Störvariablen in jedem Fall dokumentiert werden!
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Placebo Einfache D. Doppelte D.
18 17 25
18 9 24
20 16 16
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• die Störvariable erhöht die Fehlervarianz bei der ANOVA, weil ihr Einfluss nicht durch die UV erklärt werden kann
• damit sinkt die Power der berechneten Tests
Kovarianzanalyse
damit sinkt die Power der berechneten TestsWie kann man den Effekt der Störvariablen ausschalten?
Statistische Kontrolle einer Störvariablen, die möglicherweise die Daten der Untersuchung beeinflusst haben könnte:
• Frage: Wie sähen die Ergebnisse aus, wenn man den Einfluss dieser Variablen konstant gehalten hätte?
h
Thomas Schäfer | SS 2009
• Vorgehen:– 1. Die Störvariable wird zusätzlich erhoben– 2. Ihr Einfluss wird mit einer Kovarianzanalyse „neutralisiert“
(herausgerechnet)
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Die Regressionsanalyse „entfernt“ die auf das Kovariatzurückgehende Varianz aus der abhängigen Variablen (AV)
h h f
Kovarianzanalyse ‐ Vorgehen
• dies geschieht, in dem eine Regression der AV auf die Kovariate berechnet wird
• die Regressionsresiduen beschreiben den Anteil der AV, der nicht durch die Kovariate erklärt werden kann
• diese Residuen werden als neue AV in eine Varianzanalyse gegeben
Thomas Schäfer | SS 2009
• es wird versucht, die nach der Regressionsanalyse verbleibende (nicht erklärbare) Varianz mit der Hilfe einer ANOVA zu erklären
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Kovarianzanalyse ‐ Vorgehen
Placebo Einfache D. Doppelte D.
18 17 25
18 9 24
20 16 16
möglicherweise ruft ein Unterschied im Alter zwischen den Gruppen Varianz in der Befindlichkeit der Patienten hervor, die nichts mit der UV zu tun hat
AV
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zunächst Regression von Befindlichkeit auf Alter
Alter
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methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
Kovarianzanalyse ‐ Vorgehen
Residuen
die verbleibenden Residuen sind nun um den Einfluss des Kovariates
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bereinigt
sie werden als neue AV in die ANOVA gegebenliefert die ANOVA nun immer noch einen Unterschied zwischen den
Gruppen, so kann dieser nichtmehr durch das Kovariat bedingt sein
methodenlehre ll – Abhängige Messungen | Kovarianzanalyse
• die Kovariate müssen intervallskaliert sein
• nominalskalierte Störvariablen werden einfach als Faktoren f
Kovarianzanalyse ‐ Vorgehen
mit in die ANOVA aufgenommen
– ihr Einfluss wird dann von der Gesamtquadratsumme abgezogen
– sie erhalten einen eigenen F‐Wert
• Output‐Tabellen von Kovarianzanalysen sehen so aus wie die von ANOVAs, aber jedes Kovariat erhält eine eigene Zeile, in
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, j g ,der der Effekt angegeben ist
Fazit: Kovarianzanalyse als Alternative zur ANOVA, wenn Störvariablen statistisch kontrolliert werden sollen
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