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Mathematische Modellierung
CAU@Kiel, Vorlesung SS 2012
WInf-BAppE: Selected Topics in Business Application Engineering (WInf-BAppE) (080001)
Part IV
SS 2012
Bernhard ThalheimDr. rer.nat.habil.
Prof. @ Christian Albrechts University at Kiel, GermanyDepartment of Computer Science
Information Systems Engineering Group(∗) Kolmogorov Professor h.c. @ Lomonossov University Moscov, Russia
1
MathematicalModellingSS 2012
B. Thalheim
Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Mathematische
ModellierungVersion 11. Januar 2011
Zweck
Lösung realer
Fragestellungen mit
mathematischen
Mitteln (carrier)
Problemdefinition
mit Problemklasse
mit Definitionsrahmennach Polya
nach ß
Lösungsdefinition
mit Definitionsrahmen
mit Rückschlußrahmen
mit Qualitätscharakterisitik
Annahmen
implizite
generelle Gesetze
Dichotomy von Original und Modellim Rückschlußverfahren
durch Original vorgegeben
umfaßt
Funktion,
Aufgaben,
Bestimmung
Funktionen von Modellen
Analyse
KonstruktionEmbedded systems
Business systems
Kommunikationsfunktion
Prüfungsfunktion
Dokumentation
Klassifikation
mathematischer
Modelle
nach
Durchsichtigkeit
Black-box-Modelle
ohne Kenntnisder innerenWirkmechanismen
Bsp. Eutrophierung von Gewässern
hinreichende genaue Reproduktion des Verhaltens
Systemidentifikation anhand von Meßdaten
Training des Modelles
White-box- Modelle mit Kenntnis der inneren Wirkmechanismen
Grey-box-Modelle
mit partieller Kenntnisbzw. mittelbarenParametern
Spielwiese desModellierers
Erklärungsansätze,-konzepte Ökonomie der Nutzung
nach
eingesetzer
Mathematik
statische oder dynamische Modelle Abstraktion vom Zeitaspekt
deterministische versus stochastische durch Zufall bestimmt
kontinuierliche versus diskreteDiskretisierung mit Vergröberung oder Abtastung
kontinuierlich zur Vereinfachung
mikroskopische versus makroskopische
approximative versus exakte Modelle mit Fehlermodell
nach
Problemkreisen
Planungsprobleme
Erklärung phänomenologischer Zusammenhänge
Separationin gute und schlechte Lösungen Optimierungsprobleme
...
Wechselwirkungsmodelle
nach Grad der
Detailisierung
Mikro(skopische) Modelle
Makro(skopische) Modelle
Mikro-Makro-Link der hierarchischen Modell-Suiten
Kriterien
Zulässigkeit
Kriteriumlogisch ohne Widersprüche
auf eindeutige Art formuliert
Richtigkeit
Validierung
an Erfahrungen überprüfen
Kriterium kein Widerspruch zu Tatsachen
Zweckmäßigkeit
Ökonomie keine weiteren überflüssigen Bestandteile
Bewertung eines Modelles
Annahmen
Datenwoher
wie repräsentativ
vernachlässigte Strukturen
Wirkungsmechanismus
Adäquatheit
Ähnlichkeit: Original Modell
Regelhaftigkeit: exakte Gebrauchsregeln
Fruchbarkeit: möglichst viele generelle Aussagen
Einfachheit: so einfach wie möglich
daraus resultierende Einsatzverbote
Modellierungs-
prozeß,
-kreislauf
was ist
die Kunst
der math.
Modellierung
Modellierungs-rezepte
Modellierungs-kreislauf
Bildung: reales Problem -> mathematisches
Analyse, Simulation: mathProbl -> mathLösung
Interpretation: mathLösung -> reale Lösung
Überprüfung: reale Lösung -> reales Problem
andere Modellierungsabläufe
Modellierungsinstrumente
I. Modell-
entwicklung
präzise Bestimmung desrealen Problems
wesentlich
Ziele
Annahmen zur Vereinfachung der Problemstellung
(vereinfachende) Modellannahmen, resultierende Modellgrenzen
Zulässigkeitskriterien, Gütekriterien, Nebenbedingungen
Gesetzmäßigkeitenbestimmende
Substanzwissenschaft
Übertragung aus anderen Modellen
benötigte, überflüssige Informationen
Modellvariablen, -parameter, Entdimensionalisierung
eindeutige Formulierung des mathematischen Problemes
Ableitung der Zielparameter anhand des Modellzweckes mit Bewertung der Umsetzbarkeit
Metaentwicklung
Einfachheit
Bewußtheit des eigenen Vorgehens
explizites Fehlermodell
Randbedingungen, Annahmen, Reduktion der Modelle auf essentielle Elemente, Grenzen
II. Analyse
und Simulation
reales Problem als Leitfaden
analytische Lösungen und qualitatives Verhalten
Spezialfälle, Vereinfachungen, Modellreduktion
Computersimulation und Parameterstudien
III. Interpretation
und Validierung
des Modelles
Redimensionalisierung
Interpretierbarkeit von Ergebnissen
Visualisierung der Ergebnisse
Vergleich mit Beobachtungsdaten und Experimenten
Glättung, Abstraktion von Lösungen
Modellierungs-
pattern
Funktionen
1. Erkenntnis: neue Informationen über das Original
2. Erklärung, Demonstration: z.B. Lernen
3. Indikation: am Modell Eigenschaften sichtbar, meßbar
4. Variation und Optimierung: quantitative Optimierung des Originals
5. Verifikation: vorhandene Konstruktion oder Hypothese überprüft
6. Steuerung: Anleitung zum Handeln, Führungsgröße
7. Projektierung, Konstruktion: zweckmäßige, rationelle, realisierbare Variante
8. Ersatzfunktion: anstelle des Originals
BeispielMathematischeModellierung mitGleichungen etc.
1. Darstellung des realen Problemes (ggf. mit mathematischen Mitteln)
2. Formulierung des mathematischen Modells
3. Analyse des mathematischen Modelles (Vereinfachungen, qualitatives Lösungsverhalten)
4. Lösung des Modells (analytisch, numerisch, ...)
5. Interpretation der Ergebnisse und Vergleich mit dem Ausgangsproblem
6. evt. Verfeinerung des Modells
Separationvon überlagerten Modellen
wesentliche, unwesentliche, treibende, ..., konstante Parameter
Kompositionaus Einzelmodellen
nach Wechselwirkungs-, Integrations-, Austauschmodell
Nebenbedingungen
DatenSchätzungen, Zählungen, Prognose
Granularität, Präzision
Kontext
systematische, systemische, zufällige Fehler
Quellen
vorläufige Version: Abgleich mit speziellen Modellen der Gruppen B, C, D, E nach 2. Runde
ModellierungMathematik.mmap - 03.05.2011 - Bernhard Thalheim
Achtung: Version 2011 ( 6= Version 2012)
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Zweck: Losung realer Fragestellungen mitmathematischen Mitteln (carrier)
• Problemdefinition
mit Problemklasse mit Definitionsrahmen
• Losungsdefinition
mit Definitionsrahmen
mit Ruckschlußrahmen
mit Qualitatscharakterisitik
• Annahmen
implizite z.B. generelle Gesetze
Dichotomy von Original und Modellim Ruckschlußverfahren
durch Original vorgegebenZweck & Ziel durch Anwendung determiniert
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Liga
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Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
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Information
c©B. Thalheim
Funktion, Aufgaben, Gebrauch aus Zweckheraus
Gebrauchsspiel (Funktionen) von Modellen (analog zu den Funktionen der Sprache)
• Analyse Domanenmodellierung (Probleme, Losung, Prozesse, Strukturen), Embedded,
Business, Risikobeurteilung
• Konstruktion von Systemen business: datenintensiv embedded: berechnungsintensiv
• Kommunikationsfunktion siehe auch Searle und Hausser zur Pragmatik der Sprachbenutzung,
multiple stakeholder Modelle zur Kommunikation
• Ziel: Werbung; Aufwandseinschatzung (Budget/Ressourcen); Entwicklungsvorbereitung; Entwurfsentschei-
dung; Koordination in der Entwicklung; Wissensweitergabe und Bewahrung ...• Eigenschaften: je nach Zweck und Ziel; Veranschaulichung; Durchgangigkeit; einheitliche Begriffswelt
(Glossar); Einfachheit (bzgl. Partner)(Freihandtauglichkeit; spontan erstellbar, wenige Symbole, wenige
Konzepte); beispielhaft; Prazision; Angemessenheit; Asthetik; secondary notation (Layout, Graphische Mu-
ster (Farbcodierung))• Eigene Rolle: Dolmetscher, Botschafter• Partnerrolle: Nutzer, Betreiber; Experten; Entwickelr; Zulieferer; Management (Auftragnehmer, -geber);
Support• Modelltypen: fur Prozesse; fur Objekte und Verhalten; fur Architekturen; preskriptiv und deskriptiv
• ...
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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Funktion, Aufgaben, Gebrauch aus Zweckheraus
Gebrauchsspiel (Funktionen) von Modellen (analog zu den Funktionen der Sprache)
• ...
• Prufungsfunktion Verifikation, Implementierung; Reasoning functions; Entscheidung machen, begrunden;
Vollstandigkeit; Relevanz; weitere Qualitatskriterien; Hermangoras von Temnos;
• Dokumentation z.B. von Entwurfsentscheidungen - alternative, verwendete und abgelehnte Konzepte, Vari-
anten, zugrundegelegte Modelle, Paradigmen, Referenzentscheidungen, Referenzmodelle, Dokumentation des
modelling gaps
Ein Problem ist gut, wenn uns seine Losung zu neuen Einsichten, Methoden oder gar einer neuen Theorie fuhrt.
Matousek und Nesetril
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Content
Information
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Klassifikation mathematischer Modelle
nach Durchsichtigkeit
• Black-box- Modelle: ohne Kenntnis der inneren Wirkmechanismen; hinrei-
chende genaue Reproduktion des Verhaltens; Systemidentifikation anhand
von Meßdaten; Training des Modelles
• White-box- Modelle mit Kenntnis der inneren Wirkmechanismen
• Grey-box-Modelle mit partieller Kenntnis bzw. mittelbaren Parametern;
Spielwiese des Modellierers; Erklarungsansatze, -konzepte; Okonomie der
Nutzung
nach eingesetzter Mathematik
• statische oder dynamische Modelle: Abstraktion vom Zeitaspekt
• deterministische versus stochastische: durch Zufall bestimmt
• kontinuierliche versus diskrete: Diskretisierung mit Vergroberung oder Ab-
tastung kontinuierlich zur Vereinfachung
• mikroskopische versus makroskopische
• approximative versus exakte Modelle mit Fehlermodell
..
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
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Content
Information
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Klassifikation mathematischer Modelle
...
nach Problemkreisen
• Planungsprobleme
• Erklarung phanomenologischer Zusammenhange
• Separation in gute und schlechte Losungen z.B. Optimierungsprobleme
• ...
• Wechselwirkungsmodelle
nach Grad der Detailisierung
• Mikro(skopische) Modelle
• Makro(skopische) Modelle
• Mikro-Makro-Link der hierarchischen Modell-Suiten
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Liga
Route
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Warmzeiten
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Concept Topic
Content
Information
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Kriterien fur die mathematischeModellierung
(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige
Art formuliert)
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Wider-
spruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie ( keine weiteren uberflußigen Be-
standteile)
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie re-
prasentativ); vernachlassigte Strukturen; Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exak-
te Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit (moglichst viele generelle Aus-
sagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
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Uberbuchunng
Warmzeiten
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Concept Topic
Content
Information
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Kunst der math. ModellierungModellierungsrezepte
Modellierungskreislauf
(1) Bildung: reales Problem y mathematisches Problem
(2) Analyse, Simulation: math. Probl y math. Losung
(3) Interpretation: math. Losung y reale Losung
(4) Uberprufung: reale Losung y reales Problem
andere Modellierungsablaufe auch moglich, aber selten anders
Ausnahme: Systemtheorie, Steuerungssysteme¨§
¥¦Mit entsprechenden Modellierungsinstrumenten!!!
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Ausbreitung
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Warmzeiten
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Concept Topic
Content
Information
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Modellierungsprozeß, -kreislauf,-gebrauchsspiel
Modellentwicklung: prazise Bestimmung des realen Problems; wesentliche; Zie-
le
Annahmen zur Vereinfachung der Problemstellung, (vereinfachende) Modell-
annahmen, resultierende Modellgrenzen; Zulassigkeitskriterien, Gutekriterien,
Nebenbedingungen
Gesetzmaßigkeiten: bestimmende Substanzwissenschaft
Ubertragung aus anderen Modellen
benotigte, uberflussige Informationen
Modellvariable, -parameter, Entdimensionalisierung
eindeutige Formulierung des mathematischen Problems
Ableitung der Zielparameter anhand des Modellzweckes mit Bewertung der
Umsetzbarkeit
Metaentwicklung: Einfachheit; Bewußtheit des eigenen Vorgehens; explizites
Fehlermodell; Randbedingungen, Annahmen, Reduktion der Modelle auf es-
sentielle Elemente, Grenzen
..
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Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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Modellierungsprozeß, -kreislauf,-gebrauchsspiel
...
II. Analyse und Simulationreales Problem als Leitfaden
analytische Losungen und qualitatives Verhalten
Spezialfalle, Vereinfachungen, Modellreduktion
Computersimulation und Parameterstudien
III. Interpretation und Validierung des ModellesRedimensionalisierung
Interpretierbarkeit von Ergebnissen
Visualisierung der Ergebnisse
Vergleich mit Beobachtungsdaten und Experimenten
Glattung, Abstraktion von Losungen
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Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
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Warmzeiten
Verkehr II
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Concept Topic
Content
Information
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Mathematical Problem Solving Cycle
ResultsApplying results
- ¾
¾
Model validation
Computer model
Modelverification
Model checking
?
Formalmodel
Programming
?
Empiricaldata
Data spaceformation /formalisation
-
Conceptionalmodel
Formalisation/Algorithmisation(generalising abstraction)?
Real-life system
Problem and goal formulation
Structure and function analysisSystem definition
(isolating abstraction)?
?
?
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Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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Vergleiche mit Prozeßmodell desKnowledge Discovery
Fokussieren: Beschaffung der Daten; Sauberung von
Inkonsistenzen und Rauschen; Verwaltung (Fi-
le/DB); Selektion relevanter Daten
Vorverarbeitung: Integration von Daten aus un-
terschiedlichen Quellen; Vervollstandigung; Konsi-
stenzprufung
Transformation: Diskretisierung numerischer Merk-
male; Ableitung neuer Merkmale; Selektion rele-
vanter Merkmale
Data Mining: Generierung der Muster bzw. Modelle
Evaluation: Bewertung der Interessantheit durch den
Benutzer; Validierung: Statistische Prufung der
Modelle
Informationsvisualisierung in unterschiedlichen
Prasentationsformaten je nach Rezeptionsmuster
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Liga
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Content
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Kombination zu einem allgemeinerenVerfahren
Applicationdomain
understanding -
¾Founding concepts,
meta-model,purpose & goal
?
Model suitedevelopment
?
6
Problem solvingproblem through
mathematics
¾Transformingsolutions
& evaluation
6
*
Deploymentwithin theapplication
-
?¾
6
Application
model
evolution
cycle
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Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Concept Topic
Content
Information
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Modellierungspattern
Funktionen des Modells im Gebrauchsspiel
(1) Erkenntnis: neue Informationen uber das Original
(2) Erklarung, Demonstration: z.B. Lernen
(3) Indikation: am Modell Eigenschaften sichtbar, meßbar
(4) Variation und Optimierung: quantitative Optimierung des Originals
(5) Verifikation: vorhandene Konstruktion oder Hypothese uberpruft
(6) Steuerung: Anleitung zum Handeln, Fuhrungsgroße
(7) Projektierung, Konstruktion: zweckmaßige, rationelle, realisierbare Variante
(8) Ersatzfunktion: anstelle des Originals
Beispiel Mathematische Modellierung mit Gleichungen etc.
(1) Darstellung des realen Problemes (ggf. mit mathematischen Mitteln)
(2) Formulierung des mathematischen Modells
(3) Analyse des mathematischen Modelles (Vereinfachungen, qualitatives Losungsverhalten)
(4) Losung des Modells (analytisch, numerisch, ...)
(5) Interpretation der Ergebnisse und Vergleich mit dem Ausgangsproblem
(6) evt. Verfeinerung des Modells
...
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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Modellierungspattern..
Separation von uberlagerten Modellen
wesentliche, unwesentliche, treibende, ..., konstante Parameter
Komposition aus Einzelmodellen nach Wechselwirkungs-, Integrations-, Austauschmodell
NebenbedingungenDaten: Schatzungen, Zahlungen, Prognose, Granularitat, Prazision
Kontext
systematische, systemische, zufallige Fehler
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Wachstum
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Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Information
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Diversity of Variables used for Modelling¨§
¥¦e.g., static, deterministic, discrete, complex, intertwined
• Kind of system and its equations
• Predictability of behaviour
• Value domain
• Complexity of model
• Correlation within model
static dynamic
Evolution of the system
deterministic stochastic
Behaviour of variables
discrete continuous
Values for variables
one-dimensional complex, many-dimensional
Dimension of variables
independent correlated
Dependence among variables
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Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Information
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Mathematical Models of Systemsproblem-oriented mathematical
description of the coherence and correlation
of states at input, control and output
of a system or process
with its input values, parameters,
and initial conditions and states
Z, z0, p
Input vectorx
Control flow vectoru
-Output vector
y -
Model formulationM : Φ(X, Z, Y, U, z0, p) ?
Z State vectorz0 Initial state
p Parameter vectorΦ Coherence equation
?Abstraction
Real object suite withmanifold of- elements- properties
- inner and outerefficacious correlation
-Environment Environment
-
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Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Information
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Klassen mathematischer ModelleUnterscheidung nach
• Determiertheit
(deterministische oder stochastische)
• Zeitbezug
(dynamische oder statische)
• Wertetyp
(stetige oder diskrete)
Problemstellung
=⇒problembezogene mathematische Beschreibung
2 Phasen:
• Modellentwicklung (analytische, algorithmische, ...)
• Modellanalyse (je nach Losung analytisch, durch Simulation, ...)
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Warmzeiten
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Verfahrensklassen der Modellauswertung
Analytische Modelle: funktionale Beschreibungen des Originals
durch Gleichungen (algebraische, Differential-, Integral-)
Transformation in algorithmische Modelle oder
analytische Losung (geschlossen oder approximativ)
Bestimmen allgemeingultiger Losungsformeln
Algorithmische Modelle: operationale Beschreibungen von Pro-
zessen (ablauforientierte Modelle)
erhalten direkt oder aus Transformation analytischer Modelle (ge-
ordnete Dgl., algorithmische Prozeßbeschreibung)
Losung durch Simulationsverfahren
rechnerische (numerische oder numerisch-statische) Nachbildung
des Prozesses (ausgehend von Anfangszustand)
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Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
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Modellierung und Simulationhochgradig komplexe Anwendungen erfordern Methoden, mit denen
die vielfaltigen Wechselwirkungen im Zusammenhang erfaßt werden
konnen
mathematische Modelle + computerunterstutzte Analyse
Modelle sind notwendig, da Experimente am Originalsystem
• zu teuer (z.B. Storung des laufenden Betriebs),
• nicht moglich (z.B. humanitare Grunde) oder
• zu langwierig (z.B. langsam ablaufende Prrozesse) sind.
Original-system
Ersatz-system
(Modell)
ModelliererExperimentator
ExperimenteValidierung
(Modellierung)
Abbildung-
I µ
ª
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Liga
Route
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Uberbuchunng
Warmzeiten
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Modellierung und Simulation
• Auswahl und Entwicklung eines Modells
• Manipulation und Analyse des Modellverhaltens
• Ubertragung der Erkenntnisse auf das Originalsystem
Modelle:
• Physische Modelle
• Biologische Modelle (Tierversuch,...)
• Technische Modelle (Windkanal,...)
• Formale Modelle
• Graphische Modelle (technische Zeichnung,...)
• Mathematische Modelle
• ...
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Statische Modelle: Erstellung vonLigaplanen
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Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Statische Modelle: Routenplanung:Gegenstand
Struktur, Funktion: (gewichteter) Graph G = (V,E) fur Stadtplan
Funktion: Algorithmus zur Losung
Ziel, Zweck, Gebrauch: Finden eines “optimalen” Planes entweder
fur Besuch aller Knoten, aller Kanten oder fur Weg-Ziel
Community of Practice: Postulierer, Mathematiker, Anwender fur
Resultat
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Statische Modelle: Routenplanung:Algorithmen fur Wegeplanung
• Dijkstra Algorithmus: Vom Startpunkt aus werden die Alternativen schrittweise
durchgerechnet, also vom Punkt S zum Punkt a und b. Dann von a und b zu allen
nachstmoglichen Zielen, hier c und d. Falls man einen Punkt durch mehrere Wege
erreicht, wird der kurzere gewahlt. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis S in Z liegt.
Die Route und die Distanz werden berechnet.
Dieses Verfahren kann nur auf Graphen mit ausschließlich positiven
Bogengewichten angewandt werden.
sehr gut geeignet fur Bordcomputer oder andere Navigationssysteme
• Kruskal-Algorithmus: Erstellung eines Spannbaumes
hilfreich fur die Planung von Netzwerken aller Art uber großere Entfernungen
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
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Warmzeiten
Verkehr II
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Statische Modelle: Routenplanung:Algorithmen fur Wegeplanung
Travelling Salesman with 15112 node (current record)
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Warmzeiten
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Information
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Central Property: Invariance of Purpose¨§
¥¦Deep Understanding of the Purpose
application origin model 1 model 2
application do-
main with problem
city Konigsberg
with bridges
rough topographical model with
nodes (area) and edges (bridges)
graph with degree
of incidence
application do-
main with problem
city Konigsberg
with bridges
rough topographical model with
nodes (area) and edges (bridges)
QPPPPPPR tree scan-
ning /
c©B. Mahr
¨
§
¥
¦Model 2A: an Euler path exists iff card({n | degree(n) is odd}) ≤ 2
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Konigsberg Bridge Problem: Model 2B
B... C... D...
A B≈C
B/
D
C
C/ B/
D
A
D/
C B/
A
D/
B/
A
C
D
B
A/ D/
B
A
B/
A D/
B
D
C
B/ C/
A
B
A/
B
A
C
D
A
C/
D/
B/ C/
A
B
A
B/
B/ D/
A
C D/
A
B
D
C
A... B... C...
D
all
¨§
¥¦And what about the general case? Write a program and verify!!!
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Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
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Warmzeiten
Verkehr II
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Concept Topic
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Routenplanung: Algorithmus furEulergraphen, -wege
Satz von Euler: Fur jeden bis auf isolierte Knoten zusammenhangenden Graphen G = (V,E) gilt:
(a) Es existiert genau dann ein Eulerweg in G, wenn hochstens zwei Knoten in V ungeraden Grad besitzen.
(b) Es existiert genau dann ein Eulerkreis in G, wenn alle Knoten in V geraden Grad haben.
Die Punkte mit ungerader Gradzahl mussen also ofters besucht werden. Dazu muß die Tour Sonderfahrten machen, also manche
Kanten ofters abfahren. Es ergeben sich z.B. Sonderfahrten (rot).
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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Routenplanung: Eulerweg-ErzwingungAlgorithmus zum Chinesischen-Postboten-Problem
Input: Gewichteter Graph G = (V,E)
Output: Geschlossener Weg minimaler Lange, der jede Kante von G enthalt
1. Bestimme die Menge V’ der Knoten ungeraden Grads in G
2. Bestimme die Lange der kurzesten Wege zwischen je zwei Knoten aus V
3. Bestimme ein bezuglich dieser Abstande optimales Matching M
im vollstandigen Graphen G’ auf den Knoten in V’
4. Konstruiere aus G und den zu den Kanten des Matchings M
gehorenden Wegen von G den Multigraphen G”
5. Bestimme einen Eulerkreis in G
30
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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Routenplanung: Algorithmus furEulergraphen, -wege
Zwiebelschalen-Algorithmus: schalt den Graphen Schicht um Schicht
(1) Wahle einen beliebigen Knoten als Startknoten. Markiere ihn.
(2) Gehe entlang einer Kante zum nachsten Knoten. Markiere die besuchten Kan-
ten und Knoten. Wiederhole dies solange, bis du wieder am Startknoten an-
kommst.
(3) Gehe nun entlang dem eben konstruierten Kreis, bis du einen Knoten triffst, in
den noch unmarkierte Kanten munden. Nimm diesen Knoten als neuen Start-
knoten und wiederhole 2. und 3. Gibt es in dem eben konstruierten Kreis keinen
Knoten mit noch unmarkierten Kanten, so gehe zur¨uck in den vorherigen Kreis
und wiederhole 3.
Pragmatismus: Nimm fur jede Wiederholung von 2. und 3. eine neue Farbe.
Sackgassen konnen wegabstrahiert werden.
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Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
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Routenplanung: EulergraphenFleurys AlgorithmusBrucke: Kante in einem Graphen, bei deren Wegnahme der Graph in zwei Komponenten
zerfallen wurde.
1. Schritt: beginne mit beliebiger Kante.
2. Schritt: wahle nachste Kante so, daß sie im Restgraphen keine Brucke bildet.
Hauschen erweitert Kreis 1Kreis 2
R
soweit so gut
R
verbotene Brucke erlaubt: 1
ª
erlaubt: 2
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Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
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c©B. Thalheim
Routenplanungsmodell: HintergrundSatz: In jedem Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade.
Satz: Die Summe aller Knotengrade eines Graphen = doppelte Anzahl der Kanten,
(da jede Kante die Summe aller Knotengrade genau um 2 erhoht (Anfangs- und
Endknoten))
³ Aus jedem Graph laßt sich Eulergraph entwickeln.
Abstraktionstheorie: wovon wird abstrahiert, welche Bestandteile des Originals
determinieren nicht die Problemstellung, was ist Strukturhomomophie, es wird
keine Verhaltens homomorpie benotigt, Begradigungen ohne Auswirkung, ...
Resultierende Aussagen uber Invarianz: Original - Problem - Losung
Problemlosung verandert nicht Realitat (keine second-order cybernetics)
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Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Routenplanungsmodell: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
Entfernungen, Optimalitat, themengebundene Wanderungen
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
Sackgassen, Wendehammer, Reduktion
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
Einbahnstraßen und -einmundungen, T-Einmundungen in hoher Anzahl
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen; Wir-
kungsmechanismus
Postboten-Problem? analog zu Zweiseitenbedienung, Einbahnstraßen, Durch-fahrtzeiten, Bearbeitungszeit, Mittelstreifen, Schatzung
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende Einsatz-
verbote
Eindeutigkeit, Minimalitat der Erweiterung bei Ungeradheit, Nebenbedingun-gen (Reihenfolge der Entsorgung)
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Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Concept Topic
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Information
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Routenplanungsmodelle: SWOT
Strengths: leichte Abbildbarkeit, Verstandlichkeit, wenige Begriffe, Begriffe aus
der Anschauung oder Handeln, Anwendungsbezug, Modularitat, Anpassung an
Fokus und Modellniveau, Experimentieren, Abstraktion von Geometrie, Beibe-
haltung der Topologie
Weaknesses: Ubervereinfachung, viele Sonderfalle, Induktion ohne Kontext, Op-
timalitat, Abbild der Realitat, Algorithmik ggf. undurchsichtig, keine Algebra
Opportunities: relativ einfache Losung
Threats: Nebenbedingungen, NP, Argumentieren, Beweisduftigkeit, Froschper-
spektive und Lochblende (Behebung: Knopfgraph), siehe auch Kritik Petri-
Netze, Zooming und Abstraktion, Erweiterungen resultieren oft in kombinato-
rischer Explosion
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
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Information
c©B. Thalheim
Routenplanung: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme: Raumbesuch (Visite), symmetri-
sche Routen
andere Kontexte: Hintergrund, Kultur, CoP, empirischer Hinter-
grund, Gesetzmaßigkeiten, gleiche Art von Hintergrundtheorien
Ubertragung des Modellierens: Abbildung, Eingrenzung,
Losung, Art der Abstraktion, Sprache der Graphentheorie
Ubertragung der Modellierung: Herangehensweise, Systematik,
Art der Abstraktion, Paradigmen, Status und Rolle in der Anwen-
dung, Paradigmennutzung, Fokusierung, Beschrankung auf spezi-
fischen Zweck, Abstaktionsniveau, Skalierung, Kunst der lokalen
Betrachtung, Analogiebeziehung, Kargo, empirische Gultigkeit
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Concept Topic
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Information
c©B. Thalheim
Dynamische Modelle:Bevolkerungswachstum unter
Berucksichtigung der Altersstruktur:Gegenstand
Struktur, Funktion: Entwicklungsgleichungen fur Populationen
(partielle) Differentialgleichungen, Gleichungssysteme, Matrizen-
theorie, math. Software
Ziel, Zweck, Gebrauch: Prognose zukunftiger Entwicklung ausge-
hend
eigentlich: Herleitung von Indikatoren/Kennzeichen fur Status quo
Community of Practice: Anwender z.B. Demographen, Census,
Beratungsgremien, Numeriker
“Die Deutschen sterben aus!!’
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
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c©B. Thalheim
Bevolkerungswachstum: Modell
Bestandsfunktion fur Wachstum w = x bzw. w = x(t∆t)−x(t)∆t
x(t + ∆t) = x(t) + px(t) = (1 + p(t))x(t)~x(t + 1) = A~x(t) + ~u(t) d.h. x(t) = Ax(t) + u(t)
exponentielle Wachstumsrate α = lim∆t→∞p(∆t)∆t
mittlere Poulationsgroße:
Leslie-Prozeß: Alterklassen (0, 1], (1, 2], ...(89, 90], (90,∞) bzw. 1...n
Anzahl der Frauen und Manner in der Altersklasse xi(t), yi(t)Anteil der Frauen/Manner vom Alter i, die das Alter i + 1 erreicht ui(t), vi(t)Anzahl lebendgeborener Tochter/Sohne je Frau der Altersklasse i ai, bi
Gleichungen x1(t + 1) = a1x1(t) + ... + anxn(t),xi(t + 1) = ui−1xi−1(t), ~x(t + 1) = a~x(t)y1(t + 1) = b1x1(t) + ... + bnxn(t), yi(t + 1) = vi−1yi−1(t),~y(t + 1) = B~x(t) + C~y(t)
Losung als Eigenwertaufgabe ~x(t) = ~λtw = α1~λt
1 + ... + αn~λt
n
Approximation mit großten Eigenwerten z.B. α1~λt
1 + ... + αk~λt
k
limt→∞~x(t)~λt
1= α1 ~w1 mit λ als langfristiger Wachstumsfaktor und w als lang-
fristige Altersverteilung
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Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
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c©B. Thalheim
Prognosen
Faktor 0.1
c©
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Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
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c©B. Thalheim
Prognosen
c©Bevolkerungsprognose fur Mecklenburg-Vorpommern auf Kreisebene bis zum Jahr 2030
Rembrandt Scholz, Felix Roßger, Daniel Kreft, Juliane Steinberg und Gabriele Doblhammer-Reiter
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Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
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c©B. Thalheim
Bevolkerungswachstum: Annahmen
• Sterbe- und Geburtenrate konstant.
• Kein Migration, weder Einwanderung, noch Auswanderung.
• Zahl der Geburten nur von Frauen abhangig. Keine Geburtenverweigerung.
• linearer Zusammenhang
• Populationen homogen
• Schatzungen fur Modellparameter xi, yi, ai, bi, ui, vi
• konstante Zuwachse uber die Zeit ai = ai(t) ∀t
• Geburtenraten im Mittel
• Auswirkungen von Fordermaßnahmen
• Kontext wie z.B. medizinische Weiterentwicklung
• Limitationen wie z.B. Mensch selbst
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
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c©B. Thalheim
Bevolkerungswachstum: Hintergrund
Entwicklungstheorien: homogene und gleichverhaltende Entwicklungsprozes-
se, Evolutionstheorien, Wanderungsbewegungen, optimale Population (statt
Uber- und Unterbevolkerung)
Bevolkerungstheorien: Struktur, Entwicklung der Bevolkerung,
Abhangigkeiten, Parametrisierung, Fertilitat, Sterberaten, Haushaltstheorien,
Familienentwicklung, Singles, Partnerschaft, Bindungstheorien (Auflosung der
Familien), sozialer und Wertewandel, Geschlechterrollen, Erwerbstatigkeit,
Renten und Arbeitsintegration, Lebenserwartung
Approximationstheorien: Approximation durch Mittelwert, Wahrscheinlich-
keitsverteilung
Bewußter Mißbrauch durch verschiedene CoP, Tannenbaum als ideale Struk-
tur, Macht- und Pateienpolitik, Besteuerung, Propaganda, KKK-Erzwingung,
Mythenbildung
Wechselwirkungsmodelle: kausales Zusammenwirken, koharente Modelle
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Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
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c©B. Thalheim
Bevolkerungswachstum: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
fur einfache Anfangsuntersuchungen
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
Populationsdynamik hangt von absoluter Große der Bevolkerung ab u.a. kriti-sche Annahmen, Geburts- und Sterberaten andern sich nicht, keine Migration
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)√
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen; Wir-
kungsmechanismus
Inhomogenitat, Qualitat stark von Annahmen, deterministisches Modell,Wachstum/Verkleinerung verandert Faktoren (erganzen um Logistik), fehlendeWirkungszusammenhange, Wanderungsbewegungen
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende Einsatz-
verbote
nur fur Anfangsdiagnosen, kein Rauber-Beute oder Migrationsverhalten, ohneRandbedingungen
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
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Bevolkerungswachstum: SWOT
Strengths: leichte Nachvollfurbarkeit, Anschaulichkeit, Visualisierung, empirische
und statistische Erhebungen (z.B. altersabhangige Sterberaten, Geburtenraten)
integriert, weitere Eigenwerte fuhren zu großerer Genauigkeit
Weaknesses: Ubervereinfachung, viele Sonderfalle, Ursachen unberucksichtigt,
Unvollstandigkeit, basiert auf den Stand der aktuellen Statistiken, systemati-
sche und systemische Fehler schlagen durch, Parameter basieren auf Mittelwert
(ohne Wahrscheinlichkeitsverteilung), Zufall nicht berucksichtigt, Dynamik von
Geburt und Tod nicht erfaßt
Opportunities: relativ einfache Losung, Visualisierung, Vermittelbarkeit
Threats: Nebenbedingungen, keine Darstellung der Ursachen, Variablenspiele,
Vorhersagegenauigkeit nimmt schrittweise ab, unbeschranktes Wachstum oder
Verkleinerung, Meßwert- und Statistik-Abhangigkeit
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Bevolkerungswachstum: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme: Populationen mit analogen An-
nahmen, Stoffaustausch, Ladung-Entladung von Kondensatoren,
Stoffkonzentration (z.B. in Seen), Temperaturentwicklung
andere Kontexte:
Ubertragung des Modellierens:
Ubertragung der Modellierung:
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Dynamische Modelle: Ausbreitung:Gegenstand
Struktur, Funktion: Ausbreitungsmodell als diskretes Modell mit-
einander in Wechselwirkung stehender Parameter mit konstanter
Anderungsrate
Ziel, Zweck, Gebrauch: Simulation von Verlaufen
Community of Practice: Mediziner
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Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
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Diskretes ModellMasernausbreitung
vereinfachende Annahmen:
Inkubationszeit und infektiose Zeit sind jeweils eine Woche.Ansteckung erfolgt nur am Wochenende, im Verlauf der Woche bleiben
die nachfolgend betrachteten Anzahlen unverandert.Konstante Geburtenzahl pro Woche.Jedes infektiose Kind steckt einen konstanten Bruchteil
aller empfanglichen Kinder an.
• In: Anzahl infektioser Kinder am n-ten Wochenende
• Sn: Anzahl der empfanglichen Kinder am n-ten Wochenende
• B: Anzahl Geburten pro Woche
Rekursionsgleichungen:
Sn = Sn−1 − f · Sn−1 · In−1 + B
In = f · Sn−1 · In−1
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
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c©B. Thalheim
Einfluß der Geburtenzahl am Verlauf derMasernepidemie
f = 0.3 · 10−4, B = 120, I0 = 20, S0 = 30000B = 360
t/S
t/I
B = 120
t/S
t/I
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Dynamische Modelle: Ausbreitung:Gegenstand
Struktur, Funktion: kontinuierliches Modell (SIR - susceptible; in-
fectious, recovered) der Anfalligkeit, Erkrankungen und Gesundun-
gen; Anzahl der Geburten B pro Zeiteinheit; Anteil der immunen
Gesunden nach Infektion a
S ′ = B − f · S · II ′ = f · S · I − a · I
R′ = a · I
z.B. B = 0 Ã mit S0 = S(0) > 0, I0 = I(0) > 0, R0 ≥ 0
dann auch S +I +R = S0 +I0 +R0 =: N0 wegen (S +I +R)′ = 0
⇒ limt→∞ S(t) = S∞ , limt→∞ R(t) = S∞ auch limt→∞ I(t) =
0
S(t) ist streng monoton fallend
somit dIdS
= I′S′ = −1 + a
fS
man erhalt damit Imax = af(ln a
fS0− 1) + I0 + S0
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Ausbreitungsmodelle: Hintergrund
Medizin: Masern werden durch Viren ubertragen und sind sehr infektios.
Es werden z.B. in den USA alle 2-3 Jahre Epidemiewellen festgestellt.
Die Epidemiewellen treten in Entwicklungslandern haufiger auf.
Betroffen sind vorwiegend Kinder. Empfanglich sind noch nicht infizierte Kinder.
Nach Infektion besteht eine etwa einwochige Inkubationszeit, in der man nicht
infektios ist. In der zweiten Woche ist man infektios.
Im Anschluss an die zweite Woche besteht lebenslange Immunitat vor.
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Ausbreitungsmodelle: ResultatPhasenportrait fur f = 0.3 · 10−4, B = 360, y0 = 20, x0 = 30000mit (D(x))(t) = 360 − 0.3 · 10−4 x(t) y(t), t = 0...1000 und (D(y))(t) =0.3 · 10−4 x(t) y(t) − .4 y(t)
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Ausbreitungsmodelle: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
Sterberate geht nicht ein, periodischer Verlauf
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
Schwingungskurven
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;
Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Ausbreitungsmodelle: SWOT
Strengths: Darstellung des zyklischen Verhaltens; Parameter zur Anpassung des
Modells; mathematische einfachheit; Testfallcharakter
Weaknesses: kleine Storungen fuhren in der Regel zu qualitativ anderem Verlauf,
ggf. auch Verlust der Periodizitat; ggf. auch Gleichungssystem mit komplexem
Eigenwert; anfallig fur Sattigungseffekte; derzeit Wochenrhythmus
Opportunities:
Threats: Zweidimensionalitat bringt komplexes dynamisches Verhalten (Abhilfe
durch Richtungsfeld), Storungsgroßen; Flattern bei zu kleiner Ansteckungsrate
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Ausbreitungsmodelle: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme: Gruppen-Screening, begrenzbare
Entwicklungen, Transportprozesse (z.B. Blei im Korper), nichtlinea-
re Szenarien (Rauber-Beute z.B.), makroparasitare Erkrankungen,
(biologische) Invasionen
andere Kontexte: Masseninteraktion, Wettbewerb, Zerfallsprozesse
Ubertragung des Modellierens: Wahl kontinuierlicher Modelle
bei Stetigkeitsannahmen; Einfuhrung von Gleichungen
Ubertragung der Modellierung: Approximation
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Dynamische Modelle: Verkehrsfluß:Gegenstand
Struktur, Funktion:
Ziel, Zweck, Gebrauch:
Community of Practice:
55
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Verkehrsflußmodell: Hintergrund
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Verkehrsflußmodell: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;
Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Dynamische Modelle: Uberbuchunng:Gegenstand
Struktur, Funktion:
Ziel, Zweck, Gebrauch:
Community of Practice:
58
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Uberbuchunng: Hintergrund
59
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Uberbuchunng: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;
Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
60
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
: SWOT
Strengths:
Weaknesses:
Opportunities:
Threats:
61
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme:
andere Kontexte:
Ubertragung des Modellierens:
Ubertragung der Modellierung:
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Dynamische Modelle: Verkehrsfluß:Gegenstand
Struktur, Funktion:
Ziel, Zweck, Gebrauch:
Community of Practice:
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Warmzeiten: Hintergrund
64
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Warmzeiten: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;
Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
65
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
: SWOT
Strengths:
Weaknesses:
Opportunities:
Threats:
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Overview
Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme:
andere Kontexte:
Ubertragung des Modellierens:
Ubertragung der Modellierung:
67
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Dynamische Modelle: Verkehrsfluß(mikroskopisch): Gegenstand
Struktur, Funktion:
Ziel, Zweck, Gebrauch:
Community of Practice:
68
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
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Verkehrsfluß (mikroskopisch): Hintergrund
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
Content
Information
c©B. Thalheim
Verkehrsfluß (mikroskopisch): Bewertung
(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;
Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
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Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
Concept Topic
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c©B. Thalheim
: SWOT
Strengths:
Weaknesses:
Opportunities:
Threats:
71
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Liga
Route
Wachstum
Ausbreitung
Verkehr I
Uberbuchunng
Warmzeiten
Verkehr II
Platzierung
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: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme:
andere Kontexte:
Ubertragung des Modellierens:
Ubertragung der Modellierung:
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Verkehr II
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Statische Modelle: Plazierung: Gegenstand
Struktur, Funktion:
Ziel, Zweck, Gebrauch:
Community of Practice:
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Plazierung: Hintergrund
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Plazierung: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;
Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
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: SWOT
Strengths:
Weaknesses:
Opportunities:
Threats:
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: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme:
andere Kontexte:
Ubertragung des Modellierens:
Ubertragung der Modellierung:
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: SWOT
Strengths:
Weaknesses:
Opportunities:
Threats:
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: Ubertragbarkeit
andere Anwendungsprobleme:
andere Kontexte:
Ubertragung des Modellierens:
Ubertragung der Modellierung:
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Dynamische Modelle: ???: Gegenstand
Struktur, Funktion:
Ziel, Zweck, Gebrauch:
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???: Hintergrund
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???: Bewertung(1) Zulassigkeit (Kriterium: logisch ohne Widerspruche, auf eindeutige Art formuliert)
(2) Richtigkeit
Validierung: an Erfahrungen uberprufen (Kriterium: kein Widerspruch zu Tatsachen)
(3) Zweckmaßigkeit z.B. Okonomie (keine weiteren uberflußigen Bestandteile)
(4) Bewertung eines Modelles: Annahmen; Daten (woher, wie reprasentativ); vernachlassigte Strukturen;
Wirkungsmechanismus
(5) Adaquatheit: Ahnlichkeit (Original Modell) Regelhaftigkeit (exakte Gebrauchsregeln); Fruchtbarkeit
(moglichst viele generelle Aussagen); Einfachheit (so einfach wie moglich); daraus resultierende
Einsatzverbote
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83
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GERSHENFELD, N: The nature of mathematical modeling, Cambridge 1999
HERTZ, H.: Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Einleitung, 1894,
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HILBERT, D.: Die Hilbertschen Probleme. Vortrag Mathematische Probleme, gehalten auf dem
2. Internationalen Mathematikerkongreß Paris 1900,, 4. Aufl., Thun 1998
KANT, I.: Kritik der reinen Vernunft, 1781, 2. Auflage 1787, Nachdruck, Hamburg 1990
KANT, I.: Metaphysische Anfangsgrunde der Naturwissenschaft, 1786, Kants Werke auf CD-
ROM, Berlin 1996
KOYRE, A.: Leonardo, Galilei, Pascal. Die Anfange der neuzeitlichen Naturwissenschaft, Frankfurt
1998
LUENBERGER, D. G.: Introduction to dynamic systems. Theory, models, and applications, New
York 1979
MANKIV, N. G.: Grundzuge der Volkswirtschaftslehre, Stuttgart 1999
MEHRTENS, H.: Moderne - Sprache - Mathematik, Frankfurt 1990
MOONEY, D. / SWIFT, R.: A course in mathematical modeling, Mathematical Association of
America 1999
NEWTON, I.: Philosophia naturalis principia mathematica, 1687, Ubersetzung von E. Dellian,
Hamburg 1988
NOBAUER, W. / TIMISCHL, W.: Mathematische Modelle in der Biologie, Braunschweig 1979
ORTLIEB, C. P. / V. DRESKY, C. / GASSER, I. / GUNZEL, S.: Mathematische Modellierung.
Eine Einfuhrung in zwolf Fallstudien, Wiesbaden 2009
PEIFFER, J. / DAHAN-DALMEDICO, A.: Wege und Irrwege - Eine Geschichte der Mathematik,
Basel 1994
PEITGEN, H.-O. / JURGENS, H. / SAUPE, D.: Chaos - Bausteine der Ordnung, Berlin 1994
ROBERTS, F. F.: Discrete Mathematical Models, Englewood Cliffs 1976
RAPOPORT, A.: Mathematische Methoden in den Sozialwissenschaften, Wurzburg 1980
SERRES, M. (Hrsg.): Elemente einer Geschichte der Wissenschaften, Frankfurt 1998
STENGERS, I.: Die Galilei-Affaren, in SERRES 1998, 395 - 443
WALDMANN, K.-H. / STOCKER, U.M.: Stochastische Modelle, Berlin - Heidelberg - New York
2004
WISSEL, C.: Theoretische Okologie, Berlin 1989
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