Post on 17-Feb-2022
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Maria Goeppert-Mayer
Kernmodelle und die
magischen Zahlen
Nobelpreis 1963
Dr. Frank Morherr Justus-Liebig-Universität Giessen
Inhalt
• Tröpfchenmodell
• Bethe-Weizsäcker-Formel
• Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns
• Was sind magische Zahlen?
• Schalenmodell des Atomkerns ohne Spin-Bahn-Kopplung
• Maria Goeppert-Mayer
• Erinnerung: Spin-Bahn-Kopplung
• Schalenmodell des Atomkerns mit Spin-Bahn-Kopplung
• Erklärung der magischen Zahlen
• Fazit: Spin-Bahn-Kopplung im Kern
• Diskussion der empirischen Daten
Kernmodelle • Kerne sind komplexe Vielteilchensysteme von wechselwirkenden
Nukleonen
• eine universelle, alle Kerneigenschaften beschreibende Theorie gibt es
bisher nicht
• Entwicklung phänomenologischer Modelle für bestimmte Eigenschaften
Tröpfchenmodell:
Kern in enger Analogie zu geladenem Flüssigkeitstropfen (quasi-
klassisch), Nukleonen bewegen sich stark korreliert in
inkompressibler Flüssigkeit
Fermigasmodell:
Nukleonen bewegen sich unabhängig voneinander in einem resultierenden
Kernpotential, Potentialtiefe aus der Quantenstatistik eines Fermigases
Schalenmodell:
Nukleonen bewegen sich voll quantenmechanisch (Schrödinger-Gleichung)
Potential mit starkem Spin-Bahn-Term, →magische Zahlen, Spin, Parität
Tröpfchenmodell des Atomkerns • Große Zahl von Nukleonen in schweren Kernen begründen
Vorstellung, dass zusammengesetzter Kern sich ähnlich verhält
wie Flüssigkeitstropfen, in dem Wassermoleküle zwar
zusammengehalten werden, aber doch Bewegungen ausführen.
• Bindungsenergien werden auf die Nukleonenzahl bezogen
• Werte lassen sich als Funktion der Massenzahl darstellen
Tröpfchenmodell des Atomkerns
• Bindungsenergie pro Nukleon erreicht ihren größten Wert um 8
MeV/u im Massenbereich 55-60 u.
• Verhalten stellt Sättigung der Kernkräfte dar. Anziehende Kraft
reicht nicht weiter raus, als zu den nächsten Nachbarnukleonen
• Erstes Modell, dass Sachverhalt beschreibt, stammt von Albrecht
Bethe und Carl Friedrich von Weizsäcker (1935):
Nicht alle Nukleonen im Kern erfahren die gleichen Kräfte, denn die
Teilchen an der Oberfläche haben weniger Nachbarn. Bindung dort ist
gelockerter
abstoßende Wirkung der Coulomb-Kraft zwischen
Protonen lockert Bindung
Asymmetrie in der Zahl der Protonen und Neutronen
mindert die Bindungsenergie, macht sich vor allem bei
schweren Kernen bemerkbar
Paarungskräfte zwischen gleichartigen Nukleonen
können Bindung geringfügig verstärken
Bethe-Weizsäcker-Formel
Bethe-Weizsäcker-Formel Ableitung von ac aus Elektrostatik:
5
2
3/123/22/
),( BA
AZaAZaAaAaAZB
ACSV
Tröpfchenmodell kann die Elementhäufigkeiten und die magischen
Zahlen nicht erklären → Schalenmodell
Übliche Darstellung der Bethe-Weizsäcker-Formel:
Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns • Das Tröpfchen-Modell ist empirisch und gewährt kaum Einblicke in die
Struktur des Atomkerns → zum Verständnis der Eigenschaften von Kernen sind
andere physikalische Modelle erforderlich.
• Im Fermigas-Modell heben sich die Kräfte aller umgebenden Nukleonen
praktisch auf, so dass sich die Protonen und Neutronen quasi frei in einer Kugel
mit Radius a/2 bewegen.
• Wegen der Unabhängigkeit beider Teilchenarten (Isospin) setzt man zwei
Potentialtöpfe an, die sich in der Tiefe unterscheiden, weil die Protonen sich
untereinander abstoßen.
• Jeder Topf wird bis zur Fermi-Energie aufgefüllt:
• Die Fermi-Energien hängen nur von
der Dichte der Neutronen bzw.
Protonen im Kern ab
(Herleitung unten)
Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns
Fermi-
Verteilung der
Ladungsdichte
Radiale
Ladungs-Verteilung
einiger Atomkerne
Massenformel in erweiterter Form berücksichtigt Dicke der Oberflächenschicht des Kerns
Fermi-Gas-Modell Konsequenzen
• schwere Kerne müssen eine höhere
Zustandsdichte bzw. kleinere Abstände der
Energie-Niveaus besitzen
• der Neutronen-Topf ist tiefer als der
Protonentopf, da Protonen sich gegenseitig
abstoßen → bei gleicher Fermi-Energie ist
• der relative Unterschied (N-Z)/A wird bei
schweren Kernen größer, weil die
zunehmende Coulomb-Abstoßung den Abstand anwachsen lässt
Was sind magische Zahlen? • Magische Zahlen sind in der Kernphysik bestimmte
Neutronen- und Protonenzahlen in Atomkernen, bei
denen im Grundzustand des Kerns eine höhere
Stabilität als bei benachbarten Nukliden beobachtet
wird. →magische Kerne bezeichnet
• Magische Kerne besitzen eine besonders hohe
Separationsenergie für ein einzelnes Nukleon
• magischen Zahlen durch Schalenmodell der
Kernphysik erklärbar. (Analogie: Atomhülle mit ihren
Schalenabschlüssen)
• Inseln der Stabilität bei Ordnungszahlen oberhalb
natürlich vorkommender Elemente vorhergesagt.
Hinweise auf die Schalenstruktur des Kerns
Schalenmodell des Atomkerns ohne
Spin-Bahn-Kopplung
• Kerne mit magischer Protonenzahl Z oder
Neutronenzahl N sind besonders stabil
• In der Umgebung dieser magischen Protonen- oder
Neutronenzahlen gibt es besonders viele
Isotope/Isotone
Beispiele: Es gibt 6 (stabile) Kerne mit N=50 und 7
Kerne mit N=82 Es gibt 10 natürlich vorkommende
Isotope von Sn (Z=50)
• Doppelt magische Kerne (Z und N magisch) sind
außergewöhnlich stabiler als vergleichbare:
Beispiele:
• Jedes Nukleon bewegt sich als freies Spin-1/2 Teilchen in einem
mittleren sphärischen Potentialfeld U(r) , das durch die
Wechselwirkung mit allen anderen Nukleonen erzeugt wird
Schalenmodell - Hypothese
• Die Besetzung der diskreten Quantenzustände (Orbitale) im Schalen-
modell-Potential erfolgt nach den Regeln des PAULI-Prinzips
• Ansatz: Potential U(r) proportional zur Dichte ρ(r) der Nukleonen
Hamiltonoperator des Kerns im Schalenmodell
• Ausgangspunkt: Kern-Hamiltonoperator
• Mittleres Einteilchen-Schalenmodell-Potenzial U:
Schalenmodell-Hamiltonoperator
Restwechselwirkung: klein
• Optimierung des Schalenmodell-Potentials: Hartree-Fock-Verfahren
• Schrödinger-Gleichung
Hartree-Fock
ji
jiji
i0
2
e
2
ii rrV
rεπ4
eZ
m2
pH
irV Bewegung im mittleren
Potential der übrigen
Elektronen
Coulombfeld
des Atomkerns
Wellenfunktion
• Isospin-Symmetrie: Proton und Neutron als Isospin-Dublett
• Pauli-Prinzip:
Wellenfunktion total antisymmetrisch unter Vertauschung zweier
Nukleonen
• Lösungen der Einteilchen-Schrödingergleichung
• Antisymmetrisierte Produktwellenfunktion des Kerns:
(Slater-Determinante)
• Energie
Schrödinger Gleichung in Kugelkoordinaten
Lösung durch den Produktansatz:
Gleichung für die Radialfunktion R(r)
• 3-dimensionaler harmonischer Oszillator
Phänomenologische Kernpotentiale im Schalenmodell
• Energie-Eigenwerte:
• Woods-Saxon-Potential:
(typische Parameter-
Werte)
Entartungsgrad:
• Spektrum der Einteilchen-Orbitale:
• Spektroskopische Notation
Hauptquantenzahl
Bahndrehimpulsquantenzahl
• Rechnungen mit harmonischem
Oszillator-Potential reproduzieren
nur die magischen Zahlen bis 20
• Auch Modellrechnungen mit
Rechteck- und Woods-Saxon-
Potential können die magischen
Zahlen größer 20 nicht
reproduzieren
Problem des Schalenmodells
Verbesserung des Modells: Kopplung von Bahndrehimpuls und Spin
(1949: Maria Goeppert-Mayer, Hans D. Jensen → Nobelpreis für
Physik 1963)
Aufspaltung der Energie-Niveaus entspricht der Feinstruktur-
Aufspaltung für die Elektronenzustände in der Atomhülle, ist aber
erheblich stärker infolge der Kernkräfte
Aufspaltung kann größer werden, als die Energiedifferenz zwischen
zwei Schalen
• Richtige Schalenabschlüsse 1949 unabhängig voneinander Haxel,
Jensen, Suess und andererseits von Maria Goeppert-Mayer gefunden
• Kernkräfte bewirken Spin-Bahn-Wechselwirkung von solcher
Stärke, dass Sie Termfolge entscheidend bestimmt
• Im Gegensatz zur Atomhülle ist bei Kernen die Spin-Bahn-
Kopplungsenergie in der gleichen Größenordnung wie die
Termabstände
Sowohl
Kastenpotential, als
auch harmonischer
Oszillator mit
Parabelpotential als
auch Rechnung mit
Woods-Saxon Potential
liefert falsche Sequenz
Fazit: • Lösungen der Schrödingergleichung ergeben Energieniveaus, die nur
die magischen Zahlen 2, 8, 20 als Schalenabschlüsse erklären
können.
• Bei größerer Zahl von Nukleonen im Kern ergeben sich andere als
die magischen Zahlen.
• Das Oszillatorpotential liefert für alle Niveaus konstante Abstände
• Die richtigen Schalenabschlüsse wurden 1949 unabhängig von Hans
Jensen und Maria Goeppert-Mayer gefunden
• Entscheidender Gedanke:
Analogie zur Atomhülle, in der auf elektromagnetischer
Wechselwirkung beruhende Spin-Bahn-Kopplung des Elektrons
Rolle spielt → Spektrallinienaufspaltung (Feinstruktur)
Einführung einer ebensolchen Spin-Bahn-Kopplung für die starke
Wechselwirkung der Nukleonen
Maria Goeppert-Mayer
1906 Maria Goeppert wird am 28.6. in Kattowitz geboren
1909 Zieht mit ihren Eltern nach Göttingen, Hochburg der
Mathematik und Physik, Nachbar David Hilbert
1921 Maria beendet die Volkschule
1923 Maria legt als Externe an einer Knabenschule in Hannover das
Abitur ab
1924 Schreibt sich an Universität ein, zunächst für Mathematik
1930 Maria heiratet im Frühjahr den Amerikaner Joseph Mayer
1930 Maria schreibt mit Max Born als Doktorvater ihre Dissertation
1930 Maria forscht selbständig auf unterschiedlichen Gebieten weiter
1941 Maria erhält eine halbe Stelle als naturwissenschaftliche
Lehrkraft am College in Bronxville
1943 – 46 Sie wird angeworben, hochspaltbares Uran-235 von dem
stabileren Uran-238 zu trennen (Manhatten-Projekt)
1946 Das Ehepaar Mayer zieht nach Chicago um
1950 Ab April beginnt sie in der theoretischen Physik auf dem Gebiet
der Atomkerne zu forschen
1963 Hans Jensen und Maria Goeppert-Mayer werden für ihre
„Entdeckung der Schalenstruktur des Kerns“ mit dem
Nobelpreis für Physik geehrt, als erste Frau in theoretischer
Physik und als zweite Frau nach Marie Curie überhaupt
1972 Am 20. Februar stirbt sie an den Folgen eines Schlaganfalls
Erinnerung: Spin-Bahn-Kopplung • Klassische Sichtweise: Elektron bewegt sich um Kern, dadurch ändert
sich aus Sicht des Elektronenspins s die relative Position des Kerns
• Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfeld, also sieht Spin des
Elektrons inneres Magnetfeld, zu dem es zwei
Ausrichtungsmöglichkeiten gibt
• Klassische und genaue quantenmechanische Betrachtung liefert
• D
• Mögliche Ausrichtungen von zueinander werden bestimmt
aus Regel zur Berechnung der Quantenzahl j aus den Quantenzahlen
Das für die Kopplungsenergie
wichtige Skalarprodukt
berechnet sich zu
• Zur Erinnerung: Spin-Bahn-Potential in der Atomphysik
(Thomas-Präzession)
• Spin-Bahn-Potential in der Kernphysik
• Versuch mit analogem Ansatz
Falsches Vorzeichen und viel zu klein(um ca. Faktor 20)
Schalenmodell des Atomkerns mit Spin-Bahn-Kopplung
Problem: Nukleonen haben eine vergleichbare Größe wie der Kern
selbst. Wie entstehen wohldefinierte Bahnen ohne Nukleon-
Nukleon-Stöße?
• Antwort: Wenn Energie in einem Stoß übertragen wird, müssen die
Nukleonen andere Orbitale (höhere und tiefere) besetzen. Alle nahen
tief liegenden Zustände sind jedoch besetzt. Die Nukleonen im
Grundzustand müssen sich deshalb kollisionsfrei innerhalb des
Kerns bewegen. Spin-Bahn-Wechselwirkung im effektiven Potential
Erwartungswert
Schalenmodell des Atomkerns mit Spin-
Bahn-Kopplung • Wichtige Erweiterung des Schalenmodell-Potentials
• Gesamtdrehimpuls eines Nukleons im Kern:
• Eigenwerte des Spin-Bahn-Operators:
• Spin-Bahn-Aufspaltung der Einteilchenenergien:
• Einteilchen-Wellenfunktion mit Spin-Bahn-Kopplung:
Goeppert-Mayer und Jensen (beide Nobelpreis 1963)
Das Spin-Bahn-Potential im Kern
• Es erweist sich, dass genau wie negativ ist, daher liegen Zustände
für energetisch höher als die mit .
• Anzahl erlaubter Kombinationen von n,l zu festem j ergibt maximale Zahl der
Nukleonen im Zustand .
• Zu jedem Wert von j gibt es wie in der Atomhülle 2j+1 mögliche energieent-
artete Richtungseinstellungen, man erhält die unten angegebenen
Nukleonenzahlen
• Energetische Reihenfolge und Absolutenergien der Niveaus ergeben sich
erst aus umfangreicher Rechnung mit den oben angegebenen
Wellenfunktionen.
Erklärung der magischen Zahlen
• Spin-Bahn-Potential in
der Kernphysik ist
ungewöhnlich hoch
• Erklärung der
empirisch
beobachteten
magischen Zahlen
• Insbesondere:
magische Zahl 28 nur
mit starker Spin-
Bahn-Kopplung
möglich
Erklärung der magischen Zahlen • die Verwendung des Wood-Saxon-
Potentials liefert eine Verschiebung und
Aufspaltung der Terme des Oszillator-
Potentials
• die Berücksichtigung der Spin-Bahn-
Kopplung liefert eine weitere
Aufspaltung und erzeugt Lücken im
Termschema passend zu den magischen
Zahlen.
• die Spins und Bahndrehimpulse der
Nukleonen in einer vollgefüllten Schale
koppeln zu Null. Drehimpuls und
magnetisches Moment des Kerns werden
dann einzig vom Leuchtnukleon (bzw.
vom Nukleon-Loch) bestimmt.
• Auftragen der sich ergebenden Niveaufolge mit Besetzungszahlen
ergibt experimentell gefundene magische Zahlen als Summe aller
Protonen bzw. Neutronenzahlen, die alle Niveaus bis zu
besetzen können, bei dem besonders große Energielücke zum
nächst höheren Niveau auftritt (Energielücken schraffiert)
• Vollständig besetzte Schale
(d.h. Zustand mit Teilchen
vorgegebener Gesamtdreh-
impulsquantenzahl j ) hat
Kernspin=Gesamtdrehimpuls
, da alle 2j+1 Unterzustände mit
besetzt sind
Kerne mit abgeschlossenen Schalen müssen kugelsymmetrisch sein,
den Kernspin I=0 haben und können kein Quadrupolmoment besitzen
→Abweichung bei schwereren Kernen
Hans Suess 1909-1993 Hans Jensen 1907-1973
Maria Goeppert-Mayer Otto Haxel 1909-1998
Fazit: Spin-Bahn-Kopplung im Kern
• Ansatz beinhaltet die Annahme, dass Spin-Bahn-Potential an der
Kernoberfläche dominant ist
• Starke Spin-Bahn-Kopplung (Kopplung des Spins eines Nukleons
mit seinem eigenen Bahndrehimpuls aufgrund des Kernpotentials)
– selektive Verschiebung von Energieniveaus zu höheren oder niedrigeren
Werten
– Lücken im Energieniveauschema, die genau an den Stellen auftreten, die den
magischen Zahlen entsprechen
• Zustände mit höherem Gesamtdrehimpuls j liegen energetisch
niedriger als die mit kleinem Gesamtdrehimpuls, d.h.
– P3/2-Zustände liegen tiefer als die P1/2-Zustände, entgegengesetzt zur
Atomhülle
– Bei Aufbau der Kerne werden diejenigen Zustände mit höherem Drehimpuls
zuerst besetzt
– Magnetische Momente werden jeweils durch ungepaarte Nukleonen bestimmt
Experimente zeigen, das spezielle
Zahlen von Nukleonen
(2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 , . . .)
stabiler gebunden sind.
Ein Zentralpotential kann das
nicht erklären.
Ergänzt man ein Spin-Bahn-
Potential, dann liefert dies eine
Erklärung
Das Spin-Bahn-Potential spaltet die j=l+1/2
Konfiguration von der l-1/2 Konfiguration ab
Durch Anpassen der Stärke der
Störung durch die Spin-Bahn-
Kopplung waren Mayer und
Jensen in der Lage, die magischen
Zahlen zu erklären
• Beispiel:
Durch Streuphasenzerlegung für Streuung von Neutronen an
erschließt sich, dass energetisch tiefster Streuzustand Drehimpuls 3/2 und
nächsthöherer Drehimpuls ½ hat
Da 1s-Schale in abgeschlossen ist, muss Neutron an p-Zustand mit
l=1 gestreut werden. Durch Spin-Bahn-Wechselwirkung wird l=1
Zustand in energetisch tieferen mit j=1+1/2=3/2 und einen höheren mit
j=1-1/2=1/2 aufspaltet.
Experiment zeigt,
dass Termfolge genau
umgekehrt wie bei
Feinstrukturaufspaltung
der Atomhülle ist
Nachweise
Verschiedene Werte von N und Z
(Grundzustände von Kernen)
Diskussion der empirischen
Daten für Kerne mit ungeradem
A=N+Z
N oder Z ungerade
zwischen 2 und 8
p-Zustand ist gefüllt
Aufgrund starker Spin-
Bahn Kopplung ist der P3/2
Zustand niedriger
Für N oder Z=3 und 5
Grundzustandsspin und
magnetisches Moment
korrespondieren zu P3/2 , für
N oder Z=7 zu P1/2
(→magische Zahl 8)
N oder Z ungerade =1
- Der uu-Kern des
Deuteriums hat magnetisches
Moment von 0.85761,
unterscheidet sich um 2,5%
vom magnetischen Moment
des Protons und des Neutrons.
Erklärt durch Vermischen
eines d-Zustands mit s-
Zustand (→magische Zahl 2)
Zustände in dieser
Schale sind in der
Reihenfolge d5/2 , s1/2,
d3/2
Z oder N=13 mit 5p
oder 5n oder einem
Loch im d5/2 Zustand
ist, findet man als
möglichen Zustand
nur d5/2
Das positive
Quadrupolmoment
des zeigt, dass
die Schale mehr als
halb gefüllt ist
Bei 15 wird der s1/2-
Zustand für ungerade
Protonenanzahl
gefüllt
N oder Z ungerade
zwischen 8 und 20
N oder Z ungerade
zwischen 8 und 20
N oder Z ungerade
zwischen 20 und 28
Einziger Zustand
dieser Region ist f7/2
N oder Z ungerade
zwischen 28 und 50
bei 28 geht die
Spin-Bahn-Kopplung
entscheidend ein.
Die Zustände füllen
sich in der Reihenfolge
p3/2, f5/2, p1/2, g9/2
N oder Z ungerade
zwischen 28 und 50
N oder Z ungerade
zwischen 50 und 82
Bis jetzt verhielten
sich die Kerne mit
ungeradem Z und
ungeradem N gleich,
dies wird jetzt anders
Neutronen haben wir
Besetzungsreihenfolge
Protonen haben die
Besetzungsreihenfolge
Barium mit N=81,
A=137, dagegen
Thallium mit Z=81,
A=203 und 205
Coulombenergie spielt
entscheidende Rolle
N oder Z ungerade
zwischen 50 und 82
N oder Z ungerade
zwischen 50 und 82
N oder Z ungerade
zwischen 82 und 126
N oder Z ungerade
zwischen 82 und 126
Vergleich der Abweichung der
magnetischen Momente für Kerne mit N
und Z ungerade
“This was wonderful. I liked the mathematics in it… Mathematics began to seem too much like puzzle solving… Physics is puzzle solving, too, but of puzzles created by nature, not by the mind of man… Physics was the challenge.”
Maria Goeppert-Mayer
Literaturverzeichnis
• Maria Goeppert-Mayer, H. Jensen: Elementary Theory of Nuclear
Shell Strukture, Wiley New York 1955
• W. Demtröder: Experimentalphysik 4, Springer 1998
• K. Bethge, G. Walter, B. Wiedemann: Kernphysik, Springer 2008
• T. Mayer-Kuckuk: Kernphysik, Teubner 1994
• gmf-lectures5: Nucleons and Nuclei
• Grace Ross: Mary Goeppert Mayer, Interdisciplinary Symposium