Post on 12-Sep-2019
transcript
Lieblingsfach
Hor
rorf
ach
HILFSW
ISSEN
SCH
AFT
Qu
ers
ch
nit
ts-
wis
sen
sch
aft
SCHLÜSSEL-
TECHNOLOGIE
Geheim
wissenschaft
Sch
önge
istig
es au
f ab
strak
tem N
iveau
Sprache der Natur-
wissenschaften
Königin der
Wissenschaften
M A T H E M A T I K
redderationem
Aktion T
ransp
aren
terLehrs
tuhl
Ma
rtin
Rh
ein
län
der
, Fac
hber
eich
Mat
hem
atik
& S
tatistik
Univ
ersi
tät K
onst
anz
Wasmachen Mathematiker?
Diese
Frage läßt sich
nicht wirklich b
eantworten, ohne im a
llzu V
agen u
nd U
nko
nkreten z
u b
leiben. Wie
andere W
isse
nschaften so fäch
ert sich auch
die M
athematik in viele U
nterdisziplin
en und Teilg
ebiete auf. Aus
der Versch
iedenartigke
it vo
n Fragestellu
ngen innerhalb der Mathematik
resu
ltieren ganz
untersch
iedliche
Tätig
keite
n der Menschen, die M
athematik betreiben. Daher ist die
Frage spezielle
r zu
stelle
n, zu
m Beispiel:
Was m
achen wir am Lehrstuhl für Numerik in Konstanz?
Insb
eso
ndere im Jahr der Mathematik2008möch
ten w
ir einen E
inblick in die A
rbeit unse
res noch
jungen
Lehrstuhls erm
öglichen. Neben etlich
en V
orträgen des Lehrstuhlin
habers P
rof. M
. Ju
nk und w
eite
ren S
onder-
aktionen wie ein Laptop-G
arten m
it mathematisch
en E
xperimenten zum S
elbstausp
robieren w
urden/werden
dazu
auch
einige Berich
te aus Forsch
ung und Lehre vorbereite
t:
●Was lernt man in einerNumerikvorlesung?
Verfahren zum Löse
nlinearer Gleichungssysteme gehören zu den wichtig
sten G
rundbausteinen vieler Softwareanwendungen für wisse
n-
schaftliche und tech
nisch
e Berech
nungen. Neben einer Einführung in
das mathematisch
e Problem
und se
iner wese
ntlich
en Lösu
ngsa
n-
sätze werden m
ehrere Tests und ein Anwendungsb
eispiel vorgestellt,wie sie in
den Übungen zur Vorlesu
ng disku
tiert werden.
●Politik trifft Mathematik –Ein fiktives Gespräch
Ein M
athematiker berich
tet einem Politiker über den “Dschungel d
er Differentia
lgleichungen”. Dank der Übereinstim
mung bzw
. Ähnlichke
it mathematisch
er Fach
ausd
rücke m
it Begriffen der (politisch
en) Alltagssprach
e kann der Politiker auch
ohne einschlägige Vorbildung den
Ausführungen folgen.
●Zwischen Anschauung und Abstraktion –Computer-Simulationenen mit bol(t)zendenTeilchen.
Eine allgemeinve
rständliche Darstellung über ein abgeschlossenes Disse
rtatio
nsp
rojekt erläutert beispielhaft, wo und wie sich
forsch
ungsreleva
nte Fragen ergeben und auf welche W
eise sie sichbeantworten la
ssen.
Weite
re Infos unter:
www.m
ath.uni-ko
nstanz.de/numerik
oder
Numerik Konstanz
Was lernt man in einer Numerikvorlesung?
Kostprobe:Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme
Martin R
heinländer
Die m
eisten dürftenaus der Sch
ule m
it Gleichungen der Art 7x = 3
vertraut se
in. Die Lösu
ng x = 3/7
ergibt
sich
form
al,
indem man die Ausg
angsg
leichung mit
1/7 = 7—1≈
0,14286
durchmultipliziert. Unzä
hlige
Anwendungsp
robleme führen auf mehrere lineare Gleichungen mit
entsprech
end vielen Unbeka
nnten.
Solche G
leichungssysteme können in e
iner einzigen M
atrixgleichung
der Form
Mx = b
zusa
mmengefaßt
werden.
Ähnlich w
ie m
it gewöhnlichen Zahlen läßt sich
auch
mit Matrizen (M) und Vektoren (x,b) rech
nen. Allerdings
handelt es sich
um etwas ko
mplexe
re O
bjekte, wesh
alb sich nicht alle R
ech
enregeln übertragen lassen. So
besitzen zum B
eispiel viele M
atrizen kein multiplikatives InversesM
—1(m
an beach
te, daßsich
auch
zu der
Zahl 0 kein Inve
rses widerspruch
sfrei defin
ieren läßt). In solchen Fällen kann die M
atrixgleichung entweder
nicht eindeutig
gelöst werden oder sie hat gar ke
ine Lösu
ng.
Doch
selbst w
ennM
—1existiert und sich die M
atrixgleichung damit analog zum obigen Zahlenbeispiel leicht
theoretisch
löse
n läßt, kann die konkrete B
erech
nung von M
—1bzw
. der Lösu
ng M
—1bse
hr schwer se
in, vo
r allem
bei
großen
Gleichungss
ystemen
mit
hunderttause
nden
von
Unbeka
nnten,
wie
sie
in
Ingenieursrech
nungen üblicherw
eise auftreten.
Natürlich lassen sich
derartige Probleme nicht
ohne
Computer löse
n; doch
diese
können nur dann helfe
n, wenn m
an ihnen genau sagt, w
as sie tun sollen. Die
Entwicklung von programmierbaren V
erfahren zur (näherungsw
eisen) Lösu
ng großer Gleichungss
ysteme ist
ein klassisch
es Aufgabenfeld dernumerischenMathematik (Numerik).
Oftmals w
erden numerische V
erfahren reze
ptartig abgehandelt und einschlägige F
ach
büch
er lese
n sich so
spannend wie Koch
büch
er. Doch
das
wird dem Stoff k
einesw
egs
gerech
t. W
er sich
für das Warum &
Weshalb
interessiert, wird entdecken, welcher Ideenreichtum sich entfalte
t, um das Ausg
angsp
roblem stets
anders zu form
ulieren und es aus ve
ränderter P
erspektive e
rneut anzu
greife
n. Hier mündet die E
leganz
mathematisch
en Denke
ns in etlich
e Verfahren (Algorithmen) mit jeweils speziellen Eigenschaften. Dabei z
ählt
nicht nur die theoretisch
e Verifizierbarkeit der Algorithmen sondern auch
ihre R
obustheit im
Einsa
tz unter
den nicht idealen G
egebenheite
n der Praxis, w
ie z.B. Rundungsfehler oder begrenzte A
rbeitssp
eicher. A
uf
der näch
sten Seite
werden vier Grundideen zum Löse
n linearer Gleichungss
ysteme kurz vorgestellt:
1)Eliminationsverfahren:Ist N
eine w
eite
re invertierbare M
atrix,dann
ist Mx = b
äquivalentzu
NMx = N
b, d.h. beide G
leichungen besitzen
diese
lbe L
ösu
ng. Die Idee b
esteht nun d
arin, die A
usg
angsg
leichung
solange m
it Matrizen N
1, N2, N3, ...zu
multiplizieren, bis die resu
ltierende
Produktmatrix ... N
3N2N1M
auf der linke
n Seite
ganz leicht zu
inve
rtieren
ist. D
as Elim
inatio
nsv
erfahren besc
hreibt, w
ie sich eine derartigeFolge
von M
atrizen systematisch
und einfach
konstruieren läßt. D
abei wird die
Matrix als quadratis
ches
Zahlensc
hema zu
näch
st auf Dreiecksgestalt
dann auf Diagonalgestaltgebrach
t, d.h. die E
inträge der Produktmatrix
abse
its ih
rer Diagonalen w
erden sukzessivezu
Nullelim
iniert.
2)
Klassische Iterationsverfahren:
Man
zerlegt M
in zwei additive
Bestandteile
M = P + Q, wobei P
möglichst einfach
inve
rtierbar
sein so
ll. Dann istMx = b
äquivalent zu
Px = --Qx + b bzw
. zu
x = P—1(b --
Qx).
Nun bedarf es
eines
kühnen Sch
rittes, denn diese
so
genannte
Fixpunktgleichung
läßt sich
oftmals iterativ
löse
n. Dazu
wählt
man einen Startwert x0
und berech
net dann
x1= P—1(b --
Qx0).
Entsprech
end läßt sich
x2aus x1berech
nen
usw
.. D
erart w
ird eine Folgeerzeugt, w
elche
gegen d
ie L
ösu
ng konvergiert, d.h. sich
ihr
immer
bess
er
annähert.
Ech
te
Iteratio
nsverfahren liefern im U
ntersch
ied zu
Elim
inatio
nsv
erfahren
auch
nach
belibig
vielen S
chritten n
iemals d
ie e
xakte L
ösu
ng,
sie kommen ih
r aber belie
big nahe.
3) Gradientenverfahren:Lineare G
leichungss
ysteme können
in
Minimierungsprobleme
verw
andelt
werden.
Das
Gleichungss
ystem wird dann dadurch gelöst, daß
man den
Tiefpunkt einer geeigneten trich
ter-bzw
. kraterförm
igen Fläch
e
bestim
mt. Wie aber
läßt
sich
im
Gelände ein Tiefpunkt
ansteuern, wenn m
annicht weiß, wo er lie
gt?
Eine M
öglichke
it besteht darin, im
mer dem s
teilsten A
bstieg
d.h.
dem negativen Gradienten
zu
folgen.
Außer
in
kreisförm
igen K
ratern gelangt man auf diese
Weise zwar nicht
direkt zum Tiefpunkt,so
ndern m
ußeinige H
ake
n sch
lagen; der
Vorteil
besteht jedoch
darin, daß
dies
sozu
sagen auch
mit
verbundenen
Augen
funktioniert,
d.h.
es
genügt
alle
in
Inform
atio
n über das lokale Gefälle
.
4) Mehrgitterverfahren:
Viele Probleme lassen
sich
ähnlich
wie
Bilder
„rastern“.
Wenig
Rasterpunkte bedeuten eine grobe, viele eine feine
Auflö
sung.
In analoger
Weise kö
nnen gewisse
Ausg
angsp
robleme in mehr oder weniger große
Gleichungss
ysteme überführt werden.
Je mehr
Genauigke
it gewünscht
ist, desto größer
die
Gleichungss
ysteme a
ber desto a
ufwendiger auch
deren Lösu
ng. K
ombiniert m
an geschickt kleinere
Gleichungss
ysteme,
welche eine sc
hnelle
aber
ungenaue Lösu
ng erlauben,
mit
größeren und
großen
Gleichungss
ystemen,
so
lass
en
sich
letztere weit effizienterlöse
n als wenn man sie
isoliert betrach
tet. Durch diese
Kopplung großer
Gleichungss
ysteme mit
einer Hierarchie
kleinerer
aber
„ähnlicher“
Gleichungss
ysteme
werden
enorm
e Rech
enbesc
hleunigungen erzielt. Im
Detail handelt es sich
jedoch
um rech
t ko
mplizierte
Algorithmen, die a
uch
den E
insa
tz v
on z
u 1
), 2
) oder 3) zä
hlenden Verfahren erfordern.
Ein Problem
Mx = b
VieleIdeen
„In Aktion“
Um die Funktionsw
eise vo
n Iteratio
ns-
und
Gradientenve
rfahren zu
illustrieren, betrach
ten
wir als
Beispielein
2x2
System,d.h. ein S
ystem
mit
zwei Gleichungen und zw
ei Unbeka
nnten.
Zwar ist es in diese
m sim
plen Fall wederratsam
auf das
eine noch
auf das
andere Verfahren
zurück
zugreife
n –
eine e
infach
e L
ösu
ngsform
el
leistet hier
weit
bessere Dienste –
aber
die
Wirk
ungsw
eise b
eider Verfahren läßt s
ich
so
optim
al ve
ranschaulichen.
Die
Lösu
ng unse
res Testproblems ist durch zwei
Zahlen gegeben. Diese
legen einen P
unkt in der
Zahlenebene fest, welcher sich
hier jeweils in
der
Mitte der
rech
teckigen Aussch
nitte befin
det.
Beide Verfahren basieren auf einem ite
rativen
Ansa
tz, d.h. auf dem wiederholte
n Ausw
erten
einer Rech
envo
rsch
rift.
DasJacobi Verfahren stellt das
ein-
fach
ste klassisch
es
Iteratio
nsverfahren
dar.
Das
Gradientenverfahren fußt auf der
anschaulichen
Methode
des
steilsten
Abstiegs.
Dazu
gibt man sich
als S
tartwert e
in Z
ahlenpaar (P
unkt) vo
r und
erzeugt dann n
ach
der jeweiligen V
orsch
rift e
ine F
olge von Z
ahlenpaaren
(Punkten). Aus theoretisch
en Ü
berlegungen geht hervor, daßdie so erzeugten Folgen unter rech
t allgemeinen V
oraussetzungengegen die Lösu
ng
konve
rgieren m
üssen. Einige resu
ltierende P
unktfolgen sind als w
eiße, zick
zack
artige Linien dargestellt. Es ist deutlich
zu erkennen, daßsich
die
Folgen abhängig von der Wahl des Startwerts in größeren oder kleineren S
chritten und m
it mehr oder weniger deutlich
en R
ichtungsw
ech
seln der
Lösu
ng nähern.
Da jeder Punkt als Startwert w
ählbar ist, kann m
an sich fragen, in w
elchen Bereichen der Zahlenebene günstige Startwerte liegen, die eine sch
nelle
Konve
rgenz bewirke
n. Diese
Frage w
ird durch die Farbschattierung
beantwortet. D
er Farbwert in
jedem Punkt gibt an, wieviele Iteratio
nen (Sch
ritte)
benötig
t werden, um die Lösu
ng m
it einem m
aximalen A
bstand (Fehler) von 10—10=0.0000000001zu
erreichen, wenn der betreffende P
unkt als
Startwert eingese
tzt wird. Es ergeben sich folgende Beobach
tungen: Die Iteratio
nsfunktion(Anza
hl benötig
ter Iteratio
nen) ist beim
Ja
cobiVerfahren
unabhängig vo
n der
Richtung des
Startwerts
(isotrop)
und im
wese
ntlich
en
nur
durch den Abstand bestim
mt. Dagegen ist sie beim
Gradientenve
rfahren stark
rich
tungsh
abhängig (anisotrop). Im
Mittel konve
rgiert das Gradientenve
rfahren deutlich
sch
neller als das Ja
cobi V
erfahren.
Es wurde bereits erw
ähnt, daßdas Gradientenve
rfahren eine Funktion m
inim
iert; diese
wird durch die Ellipse
nschar dargestellt (siehe rech
ts), welche
den H
öhenlin
ien auf topographisch
en Landka
rten bzw
. den Iso
linien auf Wetterkarten entsprech
en. Die Ellipse
n sind um den Tiefpunkt –
die Lösu
ng
–ze
ntriert. D
as Gradientenve
rfahren b
zw. die M
ethode d
es steilsten A
bstiegs funktioniert n
un so: Man b
estim
mt am a
ktuellen S
tandpunkt die
Richtung des
steilsten Gefälles. Diese
r folgt man bis es
nicht weite
r bergab geht und führt so
dann eine Kursänderung durch. In unse
rem
zweidim
ensionalen Fall stellt sich heraus, daßman gerade einen R
ichtungssch
wenk um 90 G
rad vollziehen m
uß. Auf diese
Weise nähert m
an sich
automatisch
dem Tiefpunkt.
Die O
rientie
rung der Ellipse
n w
ird durch die S
ystemmatrix bestim
mt, deren E
igenve
ktoren in R
ichtung der Hauptach
sen zeigen. Auch
beim
Jaco
bi
Verfahren sch
einen die Ellipse
n eine R
olle zu spielen, wenn auch
eine w
eniger offenku
ndige. Man beobach
tet fürStartwerte auf der längeren bzw
. kü
rzeren Hauptach
se ein
Verhalte
n m
inim
aler bzw
. maximaler Oszillatio
n.
„Im
Wettstreit“
Das
Gradientenve
rfahren (Abkü
rzung SD
=
steepest descent, steilster
Abstieg)
kann als
Ausg
angsp
unkt
für
deutlich
leistungsfähigere
Algorithmen wie das
CG Verfahren (Verfahren
der
konjugierten Gradienten)angese
hen wer-
den. Die
Idee d
es
steilsten A
bstiegs
wird h
ier
verknüpft
mit
speziellen
Orthogonalitäts-
relationenso
wie m
it derTatsach
e, daß
sich
die
Inve
rse e
iner Matrix
polynomialdarstellen läßt,
d.h. als sp
ezielle Summe endlich vieler ihrer
Potenze
n (siehe Satz von Cayley-Hamilton).
Beide Verfahren kö
nnen jedoch
nur auf eine
bestim
mte Klasse vo
n Matrizen angewendet
werden (positiv definite, symmetrische Matrizen).
Im obigen D
iagramm tritt das Gradientenve
rfahren (blau) gegen das CG V
erfahren (rot)
an. Zur besseren Darstellung se
hr kleiner Zahlen, ist der Logarithmus
des
Fehlers
gegen d
ie A
nza
hl der Iteratio
nen a
ufgetragen, d.h. die B
eschriftung 2
, 0, –
2, ... der
vertikalen Ach
se entsprich
t 102 = 100, 100 = 1, 10-2= 0.01,... .
Als
Beispiel dienteine 40x4
0 M
atrix (d.h. ein
Gleichungssystem m
it 40 U
nbeka
nnten),
welche aus Zufallsza
hlen generiert wurde.
Während d
as CG V
erfahren b
ereits n
ach
40 Iteratio
nen
konve
rgiert ist --ein F
ehler
kleiner
als
10—14
kann
aufgrund
Computer
interner
Rech
enungenauigke
iten
(Rundungsfehler) nicht untersch
ritten werden --
bleibtdas
Gradientenve
rfahren mit
einem Fehlervo
n ungefähr 0.1
nach
der gleichen A
nza
hl vo
n Iteratio
nen hoffnungslos
abgeschlagen. Die cya
n-und m
agentafarbene Linienstellen Fehlerabschätzungen dar,
welche sich aus der Theorieergeben. Offensich
tlich
erw
eisen sich beideVerfahren in
der Praxis
als weit
besser, denn ihre Fehlerkurven liegen deutlich
unterhalb der
jeweiligen Vorhersage.
Bei der Diskretisierung partieller Differentia
lgleichungen (siehe Anwendungsb
eispiel)
entstehen zw
arrisiege Gleichungssysteme mit
Tause
nden vo
n Unbeka
nnten, jede
Einze
lgleichung setzt aber nur wenige (<10) Unbeka
nnte mite
inander in B
eziehung.
Dies führt zu sogenannten dünnbesetzten
Matrizen. W
ie sich d
as CG V
erfahren in
diese
m Fall ve
rhält, ist rech
ts oben zu sehen. Die Konstruktion des Verfahrens erzwingt
stets einen m
onoton fallenden Fehler, w
elcher hier bezü
glich untersch
iedlicher Norm
en
(Abstandsm
aße) geplottet ist (rote bzw
. blaue Kurve).
Das
Residuum
(sch
warz)
muß
als
Fehlerm
aß
verw
endet werden, wenn keine
exa
kte Lösu
ng bzw
. Vergleichslösu
ng w
ie in
diese
m Test zur Verfügung steht.
Gradientenverfahren contra CG Verfahren
Die
Tech
nik
der
Vorkonditionierung
erm
öglicht eine Reduktion der benötig
ten
Iteratio
nen (in d
iese
m F
all auf weniger als
ein D
rittel). Je
doch
ist d
ann jede Iteratio
n
mit (etwas) m
ehr Aufwand verbunden.
Man stelle sich dasnebenstehende R
ech
teck
als einePlatin
e vormiteiner S-förm
igen Leite
rbahn.
Genauer
besitze die Platin
e eine Beschichtung,
welche entsprech
end der
Farbskala in den
roten(blauen) Bereichen über eine hohe(niedrige) elektrische Leitfähigkeitσ
verfüge. Wie sieht der
elektrische Stromflußj aus, w
enn m
an an die linke
bzw
. rech
te Seite
ein elektrisches Potentia
l vo
n 3
Einheite
n bzw
. 1 Einheit, d.h. eine Potentia
ldifferenz(Spannung) vo
n 2 Einheite
n, anlegt?
Da der Strom keine Ladungen anhäuft, wird er durch ein divergenzfreies Vektorfeld beschrieben, also
div
j = 0.Diese
Gleichung le
gtjjedoch
nicht eindeutig
fest.Durch R
ückgriff auf das Ohmsche Gesetz
und d
ie D
arstellung d
er elektrischen Feldstärke
verm
öge d
es Gradienten e
iner Potentialfunktionu
gelangt man zu derGleichungdiv
(σgradu) = 0,in w
elcher σ
als gegebene K
oeffizientenfunktion
und u
als U
nbeka
nnte fungieren. Die G
leichung besitzt eine eindeutig
e Lösu
ng u, wenn sie d
urch
geeignete Randbedingungen ergänzt wird.
Physikalisch
motiviert sind homogene Neumann
Bedingungen an den horizo
ntalen S
eite
n (ke
in seitlicher Stromabflu
ß) so
wie D
irichlet Bedingungen
mit den W
erten 3 (links
) bzw
. 1 (rech
ts) anden vertikalen Seite
n,wo die Spannung angelegt wird.
Mittels finiter
Differenzen
läßt
sich
das
Randwertproblem
zu
der
obigen
partielle
n
Differentia
lgleichung in ein lineares
Gleichungssystem ve
rwandeln,
dessen Lösu
ng
eine
näherungsw
eise Lösu
ng
des
physikalisch
en Ausg
angsp
roblems
liefert. Die dreidim
ensionale
Graphik, unterlegt mit einem C
ontour-Plot in der Grundebene, ve
ranschaulicht das Potentia
lfeld u,
welches sich
beim
Anlegen der Spannung auf der Platin
e einstellt.uist dabeia
ufeinem 140x1
20
Gitter als Lösu
ng eines Gleichungssystems mit 16800 U
nbeka
nntenberech
net worden.Deutlich
sind die beiden R
änder zu
erkennen, in denen u
die vorgeschriebenen konstanten W
erte 3 bzw
. 1
annim
mt.
Die F
läch
e erinnert a
n zwei Haarnadelkurven w
ie m
an sie von S
erpentin
enke
nnt oder an e
in
Treppenhaus mit zw
ei P
odesten, wobei d
ie dritte Treppe nicht unter der ersten liegt --eine solche
Fläch
e kann übrigens nichtals Funktion dargestellt w
erden --so
ndern seitlich versetzt ist. E
s ist
zu beach
ten, daßke
ine P
unkte m
it horizo
ntaler Tangentia
lebene vorhanden sind;überall ist ein
Gefälle vorhanden (Maximumsprinzip).
Aus dem Potentia
l uund der Leitfähigke
itσläßt sich
die Stromdichte
jgemäßder Form
elj= σ
gradu
berech
nen. Im
Gegensa
tz zu u
und
σistjein Vektor, denn der Strom besitzt neben seiner Fließstärke
auch
eine Fließrich
tung. Die nebenstehende Abbildung verdeutlich
t erstere durchdie Farbschattierung,
letztere durch die pfeilbehafteten Linien. Im
Untersch
ied zu ähnlichen A
bbildungen ist die D
ichte der
Linien gleichmäßig gewählt
und erlaubt ke
ine Rücksc
hlüsse auf die Stromstärke. Es
ist klar zu
erkennen, daßdas Gros des Stromes wie erw
artet der Leite
rbahn folgt. Allerdings sind auch
außerhalb
der Leite
rbahn s
chwach
e Stromstärken anzu
treffen. Ein scharfer Blick
enthüllt, daß
der Strom d
ie
Kurven der Leite
rbahn nicht gleichmäßig durchfließt. Stattdessen weisen die Innenku
rven höhere
Stromstärken auf als die blasser ersch
einenden Außenku
rven. Diese
Beobach
tung ka
nn man als
„Kurven-Sch
nibbeln“interpretie
ren. Der Strom wählt
immer den W
eg des
geringsten W
iderstands,
welcher innerhalb der Leite
rbahn durch die k
ürzere Innenku
rve a
ls d
urch d
ie längere A
ußenku
rve
gegeben ist. Abschließend
sei darauf hingewiese
n, daß
es
sich
bei den Beobach
tungen um die
Konse
quenze
n eines
mathematisch
en Modells handelt, welches
das
physikalisch
e Phänomen des
elektrischen Stromes gut beschreibt aber niemals vollends erfassen kann.
Anwendungsbeispiel:Auch der elektrische Strom schnibbelt Kurven.
Politik trifft Mathematik –Ein fiktives Interview
Vom Dschungel d
er Differentia
lgleichungen
Martin R
heinländer
Auf einer interdisziplinären T
agung verw
icke
lt ein P
olitikereinen M
athematikerin e
in a
ufsch
lußreiches
Gesp
räch
.
Die allgemeine Ratlosigkeit der Politik angesichts aktueller Probleme wird bedauerlicherweise immer
offensichtlicher. D
a w
äre es höchst interessant, verehrter Professor, zu erfahren, wie in der Mathematik
Probleme gemeistert werden. Vielleicht können wir von Ihnen lernen.Neulich erfuhr ich von schlim
men
Gesellen, die im Dschungel der Differentialgleichungen ihr Unwesen treiben sollen und dort Unruhe stiften.
Von Separatisten und Autonomen wardie Rede.
()
enK
oef
fzie
nt
abhän
gig
eze
it
1)
('
0)
()
()
('
0)
()
()
('
enK
oef
fize
nt
ige
zeitab
hän
g
0'
2)'
sin(
''' :
Auto
nom
er"
"Ein
2
12
1
un
erung
Autonomisi
=
=+
⇔
=+
=−
+
tx
tx
tx
at
x
tx
ta
tx
xxx
x
Dasklingt in der Tat durchaus bedrohlich; aber die Forsch
ungsfront
rückt unaufhaltsam weite
r. Viele unsich
ere und ve
runsich
ernde
Existenze
n sind bereits zur Beruhigung aller Beteiligten eindeutig
im
festen Griff. Die Lösu
ngsversuch
e ve
rlaufen zw
ar
nicht im
mer
einmütig
, aber bei m
aßvo
ller Beschränku
ng aller Seite
n --ich m
eine
hier vo
r allem auch
die Rech
te --
läßtsich
im
mer genau eine
Lösu
ng finden.
Das klingt fast so, als ob von Links weniger zu befürchten wäre.
Naja, es
gibt auch
Autonome,wie Sie vo
rhin schon se
lbst erw
ähnten. Wir
Mathematiker haben ihre A
utonomiebestrebungen näher beleuch
tet und dabei
schnell festgestellt, daßsie im
wese
ntlich
en nach
ihren eigenen G
ese
tzen le
ben
wollen. Dies
ist ja
die Bedeutung vo
n autonom.Vorallem lehnen sie die
Aufprägung äußerer, ze
itlich bedingter
Zwänge und Einflü
sse ab.
Diese
Forderung wird oft mit
dem Slogan Invarianz
unter
Zeitverschiebungen
beze
ichnet. Eigentlich
eine sehr sinnvo
lle Idee, fin
den Sie nicht?
() )
(,
)('
tx
tF
tx
=
()
eindeu
tig!
ist
Sch
ranke
eine
geb
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0
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+−
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∀∈
∀>
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x
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L
Lip
sch
itz
1C
Allg. Form
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er e
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zite
n D
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nung (
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tx
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ba
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+−
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∈∀
⇒×
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δδ
δC
C
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er E
xiste
nzs
atz
für Lösu
ng d
es A
WPs:
Lokal
er E
xiste
nz
& E
indeu
tigkei
tssa
tz (
Pic
ard
-Lin
del
öf):
Ich m
ußgestehen, mich dem R
eiz dieses Gedankens nicht verschließen zu können. D
ie Schnellebigkeit
unserer Zeit kommt den Grenzen des Menschen-Erträglichen bedenklich nahe, ganz zu schweigen von den
ständig wechselnden Trends.
Aus
diese
m Grunde gibt es
in der
Mathematik bereits ein simples
Verfahren, welches
bei Bedarf
die Autonomisierung beliebiger Differentia
lgleichungen erlaubt.
Man hat also den Geächteten eine Tugend abgewinnen können, die Vorbildcharakter zu haben scheint. W
ie
steht es aber mit den Separatisten. Ist man hier Herr der Lage.
Abso
lut. E
igentlich
handelt es sich
bereits um ein K
apite
l aus
dem G
eschichtsbuch
, pardon, aus dem Lehrbuch
. Trotz ihres
manch
mal wilden A
ussehens
lassen s
ie s
ich leicht zä
hmen,
wenn m
an ihren separtistisch
en Tendenze
n zunäch
st nach
gibt.
Beka
nntlich
so
llte man Streith
ähne erst
einmal
ause
in-
andernehmen. So nach
Variablen getrennt lassen sich
die
Term
e relativ leicht integrieren, anschließend w
erden sie durch
umkehrabbildendeMaßnahmen zu einer die G
leichung sowohl
befriedenden wie befriedigenden Lösu
ng wiedervereinigt.
Wirklich
eine
äußerst
effektive
Methode
der
Konflikt-
bewältigung. Ich denke, unser Außenminister sollte davon
schleunigst Kenntnis erhalten.
Übrigens, ich ve
rgaß
anzu
merken,
daß
die heute geläufig
e Namensg
ebung die entsch
ärfte Lage
berücksich
tigt. Desh
alb sp
rech
en wir nicht
mehr
von se
paratistisch
en
sondern vo
n separablen
Differentia
lgleichungen bzw
. vo
n Differentia
lgleichungen m
it getrennten Veränderlichen.
Welchen Stand hat denn die allgemeine Gleichberechtigung erreicht?
Nun, Gleichberech
tigung ist im Z
usa
mmenhang m
it Gleichungen e
ine
naheliegende F
rage. In s
ozialer
Hinsich
t sind dank des Reduktionsverfahrens die einstmaligen K
lassengrenze
n niedergerissen. Es ist ein
allseits anerkanntes und le
icht beweisbares Faktum, daßsich
hinter jeder Gleichung höherer Ordnungstets
ein System erster Ordnnung
verbirgt.
Somit
sind heute vo
m Standpunkt der
Ordnung sä
mtlich
e
Differentia
lgleichungen zumindest form
al g
leichgestellt.
()
()
() (
)
()
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()
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(
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d )(
d
d )(
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00
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00
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tF
tF
Gt
x
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tF
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fx
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txt
xg
xt
xt
xg
tf
tx
t t
tx x
t t
t t
+−
=
−=
−
===
==
−∫∫
∫∫
ττ
ττ
ττ
τ
Ein
„Sep
ara
tist
“:(
)2
4)
(1
42
3d
dt
xt
tt
x+
+−
=Form
ale
Lösu
ng s
epa
rab
lerD
GLn:
Was die K
enntnis von Lösu
ngen anbetrifft, w
aren bis in die M
itte des
letzten Ja
hrhunderts
hinein große Untersch
iede vo
rhanden,
da
analytisch
e M
ethoden nur für rech
t sp
ezielle G
leichungen vorbehalte
n
bleiben.
Das
Computerzeita
lter
und die stürm
isch
e Entwicklung
numerischer
Verfahren erm
öglichen jedoch
endlich die prinzipielle
Berech
nung von Lösu
ngen x-beliebiger Differentia
lgleichungen.
Ihre sozialen Errungenschaften klingen wirklich famos. Aber eine
Diskussion bezüglich Homos und Heteros etc., wird die unter den
Differentialgleichungen auch in ähnlicher Weise geführt wie bei uns?
Selbstve
rständlich w
ird diese
r Konflikt nicht ausg
eklammert. Sind
alle Term
e insb
eso
ndere bei einer linearen Gleichung in dem
Sinne „gleichartig“, daßsie die U
nbeka
nnte enthalte
n, so
sprich
t man v
on e
iner homogenen
andernfalls von e
iner inhomogenen
Gleichung. Tatsäch
lich treten d
ie Inhomogenen in w
eit größerer
Vielfa
lt auf und poch
en auf die Variation der Konstanten, während
die Homogenen am Fundamentalsystem
festhalte
n. D
aneben gibt
es noch
die S
ekte der Euler-homogenenDifferentia
lgleichungen,
welche Abtreibungen –
Verzeihung, ich meinte Ableitu
ngen –
aussch
ließlich bei begleite
nder Applikatio
n geeigneter Potenz-
mittel zu
r Art-, pardon G
raderhaltu
ng,akzeptie
ren. Tja, auch
die
Differentia
lgleichungen sind e
in sehr heterogenes Völkch
en, wie
Sie sehen.
Ich sollte darauf hinweisen, daßeine präzise
Klassifika
tion der Differentia
lgleichungen die m
athematis
che
Version e
iner politisch
korrekten A
usd
rucksw
eise ist, welche insb
eso
ndere von d
en N
ovize
n, unse
ren
Studierenden, erw
artet wird. Korrekte N
amensb
eze
ichnungen s
ind n
icht nur eine F
rage d
es
Anstands
sondern unterstützen das
strukturelle Denke
n. Mitu
nter
ist es
sogar
wie bei einer
Fahndung der
Kriminalpolizei --
da zählt jede Inform
atio
n und N
amen helfe
n oft w
eite
r. S
ie können vor allem nützliche
Indikatoren sein, was den Einsa
tz bestim
mter Lösu
ngsm
ethoden anbelangt.
Wenn m
ir auch die m
athematische Fachbildung fehlt, um Ihnen vollends zu folgen, so klingt Ihre Analogie
durchaus plausibel.
()
()
nn
nn
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Ft
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ua
v
v
vu
tx
v
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+
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nung
1.
Syst
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rdnung
2.
G
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verfahren
Reduktions
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erEule
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Lösu
ngsa
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AW
P s
inhom
ogen
e
lmat
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AW
P
hom
ogen
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0
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+=
=∧
=⇒
=
=
+
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=
+
=
∑
∫
∫
=
−
−
−
k
kk
n
k
k
t t
t t
dtx
dt
a
qX
tX
yt
Xt
y
qX
yt
c
tq
tX
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yt
ct
ct
Xt
y
tq
ty
tA
ty
yt
y
X
tX
tA
tX
It
X
ττ
τττ
τ
Vom S
tandpunkt der Mathematik ist der Begriff Stabilität vo
n zentralerer Bedeutung. Diese
r sp
ielt bei der
Beurteilung vo
n Modellgleichungen, Lösu
ngsverfahren usw
. eine wichtig
e Rolle und wird ausg
iebig
untersuch
t. Gleichungen,
Verfahren usw
. zu
stabilisieren ist
Aufgabe und Herausforderung vieler
Mathematiker.
Was
das
Thema Arbeit
anbetrifft, so
gibt
es
unter
den beka
nnten Differentia
lgleichungen fast
Vollbeschäftigung. Man m
ußnur bereit se
in, sie einzu
setzen bzw
. sich
mit ihnen intensiv zu
beschäftigen.
Viele kommen in F
orsch
ung und Lehre zum E
insa
tz. Bei weite
m am nutzbringendsten erw
eisen sie sich,
wenn m
an sie auch
außerhalb der Mathematik arbeite
n lä
ßt. Ingenieure und N
aturw
isse
nschaftler aber auch
Öko
nomen sch
ätzen sie als gute M
itarbeite
r. Fast überall wo heutzutage ernsthaft gerech
net wird, sind sie
mit vo
n der Partie.
Ichbin wirklich zutiefst beeindruckt und danke Ihnen fürdie Einblicke, die Sie m
ir gewährenkonnten. Bei
Gelegenheit werde ich im
Bundestagdezent auf Ihre Äußerungenhinweisen.
ImLaufe der Konferenz ergab sicheine Fortse
tzung diese
s Austauschs, und beide w
urden sich sogar eines
gemeinsa
men P
rinzips
bewußt. K
onkrete
Veränderungen e
benso
wie konkrete
Berech
nungen e
rfordern
oftmals ein sehr diskretesVorgehen sei e
s im
diplomatisch
en oder mathematisch
en Sinne.
Zum
Erstaunen des Politikers
hatte der Mathematiker noch
mehrzu
erzählen;vo
n konservativen Feldern,
Potentialen, integrierenden Faktoren, Propagandisten aliasPropagatoren undRadikalen. Auch
wußte er vo
n
Fraktionen,Gruppen, Verbänden und anderen Körpersch
aften zu berich
ten.Doch
wollen w
ir es fürheute
hierm
itbewenden la
ssen.
Wach
stum ist auch
in der Mathematik von Interesse. So w
erden
Lösu
ngen
von
Differentia
lgleichungen
auf
ihre
Wach
s-tumse
igenschaften
hin
analysiert.
Man
klassifiziert
z.B.
asymptotisch
beschränktes,
lineares,
polynomiales
und
exponentielles
Wach
stum. Doch
bereits e
in h
arm
los
wirke
nder
quadratisch
er Reaktionsterm
im
pliziert eine L
ösu
ng, welche in
endlicher Zeit
unendlich w
äch
st. Übersch
nelles
Wach
stum h
at
damit ein exp
losionsa
rtiges, jä
hes Ende zur Folge.
tt
tx
tx
tx
x
−=
−=
⇒
=
=
2
41
)(
)(
)('
2)
0(
4121
2
41
Gestatten Sie eine letzte Frage mit Blick auf das stagnierende W
irtschaftsw
achstum bzw
. die konstant hohe
Arbeitslosenquote. W
o setzen S
ie Ihre S
chwerpunkte und w
elche H
inweise hätten S
ie ggf. für unsere
Wirtschafts-und Arbeitsminister parat.
Zwischen Anschauung und Abstraktion
Computer-Sim
ulationen m
it bol(t)zenden Teilchen
Martin R
heinländer
Gebannt starrte ich
auf den B
ildsc
hirm, während eine bohrende F
rage d
urch m
einen K
opf
jagte: „W
ürde es
diesm
al klappen?“
Beinahe unmerklich ve
ränderte sich
nach
jedem
Tastendruck
das Diagramm auf dem M
onito
r. W
ie erhofft rutsch
te die F
ehlerkurve langsa
m
abfla
chend nach
rech
ts. Ich spürte, wie ein A
nflu
g von Jubel in m
ir aufsteigen w
ollte, allein
der
Verstand weigerte sich
, diese
m nach
zugeben.
Unwillkü
rlich erhöhte sich
meine
Klickfrequenz, bis ich
die Eingabetaste dauerhaft niederdrück
te. In rasa
ntem Tempo durchlie
f der Computer jetzt die Z
eits
chritte. Nur ku
rz flack
erten die zugehörigen D
iagramme auf, so
daß
die F
ehlerkurve w
ie e
in sch
wingendes Seil zu
tanze
n b
egann. Ein
plötzliches Zuck
en
meiner Hand ließden Iteratio
nszähler zu
m S
tillstand kommen. Eine kleine U
nebenheit in der
Kurve war rake
tenhaft emporgesc
hoss
en und hatte ein ch
aotis
ches
Geza
ppel ausg
elöst.
Einen kurzen M
oment hielt ich inne. Ein P
rogrammierfehler war ausg
esc
hloss
en. Folglich
blieb nur die niedersch
lagende Erkenntnis, daßsich
das so
eben getestete Programm nicht in
der gewünsc
hten W
eise verhielt. W
o lag bloßdie U
rsach
e für se
in instabiles Verhalte
n? D
ie
zugrunde lie
gende Idee sc
hien ke
inesw
egs
abwegig, basierte sie doch
auf plausiblen
Analogiesc
hlüssen. Während der folgenden Tage keim
te ein kritis
ches Hinterfragen. Hatte ic
h
wirklich verstanden, was mein A
lgorithmus im
Verborgenen trieb? Tatsäch
lich entpuppt sich
Verständnis -die oftmals eingebildete G
ewißheit über bestim
mte Zusa
mmenhänge -
als eine
sehr relativ
e A
ngelegenheit. Frei nach
Sokrates fängt wahres Verständnis damit an, deutlich
abzu
grenze
n, was man nicht ve
rsteht.
Doch
worum geht es ko
nkret? B
evo
r ich zu m
einem P
roblem zurück
kehre, ist es notwendig,
etwas ausz
uholen, um den K
ontext zu erläutern. Betrach
ten w
ir zunäch
st als illustrierendes
Beispiel die U
mströmung eines Flugze
ugs. H
ierbei handelt es sich
um einen physikalisch
en
Vorgang, der für den notwendigen A
uftrieb sorgt, jedoch
bei weite
m m
ehr Komplexität birgt,
wenn m
an a
n V
erw
irbelungen u
nd T
urbulenze
n d
enkt. Wie läßt sich
ein solcher Proze
ss
berech
nen und simulie
ren, um ihn bess
er zu
ve
rstehen oder gar zu
kontrollieren? Eine
generelle
Strategie z
um D
urchdringen e
iner ko
mplizierten S
truktur besteht darin, diese
in
übersch
aubarere Teilstrukturen zu zerlegen.
Um diese
r Vorgehensw
eise zu folgen, se
i daran erinnnert, daß
Luft m
ikrosk
opisch
gese
hen
aus herumsc
hwirrenden M
olekü
len besteht. Da hier alle
in m
ech
anisch
e W
ech
selwirku
ngen im
Vordergrund stehen,
ist
es
ausreichend,
sich
die Molekü
le als winzige Kügelchen
vorzustellen. Demnach
läßt sich
die Umströmung als ein dreidim
ensionales
Billardsp
iel
begreife
n, bei dem das Flugze
ug als refle
ktierende B
ande für die m
iteinander ko
llidierenden
Luftteilchen fungiert. Die A
uftriebsk
raft kommt dadurch zustande, daß
die T
ragflä
chen eine
beso
ndere Strömung erzwingen, welche die Teilchen stärker gegen ihre U
nter-
als O
berseite
prass
eln lä
ßt. D
er Knack
punkt, warum nur eine spezielle Form
gebung der Flügel d
ie Teilchen
veranlaßt, gerade in
diese
r Weise zu strömen, bleibt damit unbeantwortet.
Trotzdem haben wir eine wertvo
lle Einsich
t gewonnen. Der ko
mplizierte Umströmungs-
proze
ss e
rgibt sich
als S
umme u
ngleich e
infach
erer Proze
sse, bestehend a
us Stößen d
er
Teilchen und ihrem Abpralle
n an der Flugze
ugwand. Da Computer sp
ielend mit
großen
Datenmengen umgehen können, wie sie bei d
er Vielzahl d
er Teilchen anfalle
n, sc
heint es, als
ob w
ir u
nse
r Problem zur endgültigen L
ösu
ng n
ur in sie h
ineinzu
füttern b
räuch
ten. Leider
mach
t uns hier die N
atur einen S
trich durch die R
ech
nung. Nicht,daß
es unmöglich w
äre,
Computer genau zu instruieren, wie sie d
ie T
eilchenstöße im D
etail zu
berech
nen h
aben,
nein, es
sind einfach
zu
viele Teilchen im
Spiel,
vor deren sc
hierer Unmenge se
lbst
Höch
stleistungsrech
ner ka
pitu
lieren m
üss
en.
Daßunse
r Lösu
ngsa
nsa
tz so prompt sc
heite
rt, ist nicht ve
rwunderlich. Sch
ließlich sch
ickten
wir uns an, weit mehr Inform
atio
n zu berech
nen als jedes praktisch
e Interess
e benötig
t. W
en
kümmert das
genaue Verhalte
n vo
n Teilchen XY? Die gigantisch
e Anza
hl der Teilchen
degradiert jedes einze
lne zur Belanglosigke
it. T
atsäch
lich können w
ir u
nse
re S
ituatio
n m
it einer Bevö
lkerungsu
mfrage ve
rgleichen. Dabei interess
ieren letztendlich ke
ine Einze
lmei-
nungen sondern statis
tisch
e M
ittelwerte. Außerdem ist es gar nicht notwendig, wirklich jeden
Bürger zu
befragen; es genügt eine repräse
ntativ
e S
tichprobe. Aus ve
rgleichsw
eise w
enigen
Umfragen ergibt sich
sch
ließlich die M
einung von O
tto N
orm
alverbrauch
er, einer nicht-realen
Person m
it starker Auss
agekraft.
Ganz ähnlich lä
ßt sich
die Anza
hl d
er Teilchen drastisch
reduzieren, ohne einen w
ese
ntlich
en
Inform
atio
nsv
erlust hinnehmen zu
müss
en. Eine weite
re radikale Vereinfach
ung besteht
darin, die n
unmehr fik
tiven T
eilchen e
iner ebenfalls k
ünstlichen D
ynamik z
u u
nterw
erfen.
Durch die R
eduktion auf wenige zulässige B
ewegungsrichtungen m
it fester Gesc
hwindigke
it,
erreicht man, daß
sich
die Teilchen auf einem dreidim
ensionalen Gitter bewegen. Nach
bestim
mten R
egeln ereignen sich die Stöße immer gleichze
itig in den K
reuzu
ngsp
unkten der
Gitterlinien bzw
. in ih
ren Sch
nittpunkten m
it der Außenwand des umströmten O
bjekts.
Die getaktete Abfolge sim
ulta
ner Stoß-und Flugphase
n, wie eben angedeutet, entsprich
t der
prinzipiellen Funktionsw
eise einer
ganze
n Klass
e numerisc
her
Verfahren, welche dazu
eingese
tzt werden, Probleme d
er Strömungsm
ech
anik n
äherungsw
eise m
it Computern z
u
löse
n. Obwohl die Grundidee auf den im
19. Ja
hrhundert wirke
nden Physiker Ludwig
Boltz
mann zurück
geht, daher der Name G
itter-Boltz
mann M
ethoden, sind die Verfahren noch
nicht einmal 20 Jahre alt. Somit sind sie deutlich
jünger als vergleichbare Standardve
rfahren,
die auf ganz
anderen Ansä
tzen beruhen. Zunehmender Beliebtheit
erfreuen sich
Gitter-
Boltz
mann M
ethoden vor alle
m ob ihrer guten softwaretech
nisch
en U
mse
tzbarkeit und einer
scheinbar weniger mathematis
ch als ansc
haulich verw
urzelte
n Herleitu
ng.
Worin bestand nun m
ein eingangs erw
ähntes Problem? R
eka
pitu
lieren w
ir dazu
die obigen
Betrach
tungen auf einer abstrakteren E
bene. Unse
r Ziel ist es, das Verhalte
n eines realen
Systems
A,
wie der
Strömung vo
n Fluiden,
zu berech
nen.
Ausg
ehend vo
n dem
physikalisch
en T
eilchenmodell, d
as für eine d
irekte B
erech
nung u
nbrauch
bar ist, sind n
un
schrittweise
Vereinfach
ungen
zu
vollziehen.
Dabei
durchläuft
man
in
etlich
en
Zwisch
enetappen w
eite
re M
odelle höch
st untersch
iedlicher mathematis
cher Natur, bis m
an
bei einem S
ystem B
anlangt, dem G
itter-Boltz
mann V
erfahren. Diese
s numerisc
he S
chema
ist nun so besc
haffen, daßes auf einem Computer im
plementie
rt w
erden kann.
Der Weg von A
nach
B und B
selbst sind keinesw
egs zw
ingend. Beim
Übergang m
ußman
sich
vo
r alle
m vo
n Intuition insp
irieren lass
en. Trotz der angestrebten möglichst starken
Parallelen zwisch
en A
und B
, entfalte
t das fik
tive S
ystem B
sein
Eigenleben. Die G
renze
zw
isch
en gleich-und andersartigem V
erhalte
n ist oftmals sch
wer zu
überblicke
n. Versuch
t man B
zu m
odifizieren, wie ich
es
tat, u
m b
estim
mte E
igensc
haften z
u v
erbess
ern o
der
zusä
tzlich e
inzu
bauen, kö
nnen u
nerw
artete w
ie u
nerw
ünsc
hte R
eaktionen d
ie F
olge sein,
wenn m
an sich dabei vo
r alle
m an dem physikalisch
en A
usg
angssystem A
orientie
rt. Genau
an diese
r Stelle lag m
ein V
erständnisproblem; ich handelte
in B
, dach
te aber in A
. Intuition
und Analogiedenke
n dienen je
doch
nur als Leitfaden, und dürfen nicht überdehnt werden.
Während man bereitw
illig löch
rige Erklärungen akz
eptie
rt,
solange Erw
artungen nicht
enttäusc
ht werden, weck
en g
egenteilige E
rfahrungen F
ragen. So b
egründet die H
erleitu
ng
der Gitter-Boltz
mann Verfahren keinesfalls in
einem m
athematis
ch präzise
n Sinne, warum sie
funktionieren. Ein tieferes Verständnis erreicht man alle
rdings nicht, indem m
an versuch
t, die
intuitive
n S
chritte der Herleitu
ng krampfhaft zu rech
tfertigen. Der sp
ringende P
unkt besteht
darin, die Sichtweise umzu
drehen, Gitter-Boltz
mann Verfahren aus
ihrem ursprünglichen
Umfeld herausz
ulöse
n und sie als eigenständige Systeme m
athematis
ch zu analysieren.
Diese
r Aufgabe ist m
eine D
isse
rtatio
n gewidmet. D
azu
habe ich
spezielle G
itter-Boltz
mann
Verfahren ausg
ewählt, die einerseits
hinreichend elementar sind, um sie mathematis
ch
vollständig zu durchdringen, andererseits
charakteristisch
e M
erkmale anwendungsreleva
nter
Gitter-Boltz
mann
Verfahren
enthalte
n.
Unter
anderem
lass
en
sich
so
genannte
Konve
rgenza
ussagen beweisen. Darunter ve
rsteht man mathematis
che
Sätze, die g
enau
spezifizieren,
unter
welchen Umständen und in welcher
Weise die Verfahren der
physikalisch
en Realität nahe ko
mmen, wobei das
schwammige Wörtch
en Realität einer
vorausg
ehenden, strengen P
räzisierung zu unterziehen ist. Die w
eniger gewünsc
hten a
ber
teilw
eise unve
rmeidbaren Eigenarten der
Gitter-Boltz
mann Verfahren äußern sich
im
Diskretis
ierungsfehler, in Anfangs-
und Randsc
hichten so
wie Instabilitäten und treten als
numerisc
he Störeffekte bei Sim
ulatio
nen auf. Hierzu habe ich ebenfalls Untersuch
ungen
durchgeführt und Werkze
uge entwicke
lt, mittels derer das
Verhalte
n d
er Modellverfahren
theoretis
ch vorhergesa
gt werden kann.
Nunmehr ve
rtraut mit
der Andersartigke
it der Gitter-Boltz
mann Welt
und ausg
erüstet mit
erprobten W
erkze
ugen zur systematis
chen A
nalyse
, ist es Zeit, d
er Intuition w
ieder freien
Lauf zu
lass
en, jenem zunäch
st unsc
harfen D
enke
n, dem sich viele w
eite
rbringende Ideen
verdanke
n. Folgearbeite
n zu
r Verbess
erung der Gitter-Boltz
mann Verfahren sind bereits
abgesc
hloss
en bzw
. noch
im G
ange. Ob bei g
enaueren Anfangs-
und R
andbedingungen oder
Gitterkopplungen, in vielen F
ällen sind ähnliche P
robleme zu m
eistern. So lass
en sich aus
den Parametern der
fiktiv
en Teilchen eindeutig
die physikalisch
releva
nten Größen
berech
nen, umgeke
hrt aber ist die Eindeutig
keit
verloren. Dies
jedoch
ist eine andere
Gesc
hichte.