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Lineare Algebra: Schwerpunkt: Basisbegriff, Abbildungen
mit MuPAD und GeoGebra
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006
Es werden drei Bereiche angesprochen:
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006
Grundlagen, Vektorräume, Begriffszugänge, Gesetze, Lineare Unabhängigkeit
Der Basis-Begriff in Funktions-Vektorräumen Lagrange- und Newton-Interpolationspolynome Bernsteinpolynome und Bezier-Splines DGLn und Störfunktions-Ansatz
Affine Abbildungen im 2D-Anschauungsraum Schulabbildungen in Matrizen-Schreibweise Allgemeine affine Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren
AssoziativgesetzMuPAD
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DistributivgesetzMuPAD
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Lineare UnabhängigkeitGeoGebra
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r a sb t c u
:Ziel u o
Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006
Gegeben sind Datenpunkte
Gesucht ist das Interpolationspolynom
Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte
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1. Basispolynom
Gesucht ist das Interpolationspolynom
1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006
1. Basispolynom
Gesucht ist das Interpolationspolynom
1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2. Basispolynom
2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006
1. 2. und 3. Basispolynom
Gesucht ist das Interpolationspolynom
1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
3 1 2 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006
1. 2. 3. und 4. Basispolynom
1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
3 1 2 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
4 1 2 3( ) ( )( )( )L x x x x x x x
Die Lagrange-Basispolynome sind linear unabhängig.
Der Vektorraum der Polynome bis zum 3. Grad hat die Dimension 4.
Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006
1. 2. 3. und 4. Basispolynom
Und daraus entsteht das Interpolationspolynom
1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
3 1 2 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x
4 1 2 3( ) ( )( )( )L x x x x x x x
als Linearkombination
Polynombasis nach NewtonDatenpunkte
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1. 2. 3. und 4. Basispolynom
Und daraus entsteht das Interpolationspolynom
1( ) 1N x
3 1 2( ) ( )( )N x x x x x 2 1( ) ( )N x x x
4 1 2 3( ) ( )( )( )N x x x x x x x
als Linearkombination
Bézier-SplinesDatenpunkte und Steuerpunkte
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Notenbogen in Capella Kurvenwerkzeug im Malprogramm Hilfsmittel der Schriftdesigner ..........
Teilungspunkt an der t-Stelle
Bézier-Splines
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Vektorieller Ansatz
Datenpunkte und Steuerpunkte
Der Ort von P ist die Bézierkurve
Bézier-Splines
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Beweis
Bézier-Splines
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.....Beweis
Sortieren nach A, B, C und D.
Die Faktoren sind Polynome in t und zwar:
Bézier-Splines
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Vier Bernsteinpolynome
Und daraus entsteht das Interpolationspolynomin Parameterdarstellung als Linearkombination
30
21
22
33
( ) (1 )
( ) 3 (1 )
( ) 3 (1 )
( )
B t t
B t t t
B t t t
B t t
mit Bernsteinpolynomen
-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
Bézier-Splines
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Vier Bernsteinpolynome
Und daraus entsteht das Interpolationspolynomin Parameterdarstellung als Linearkombination
30
21
22
33
( ) (1 )
( ) 3 (1 )
( ) 3 (1 )
( )
B t t
B t t t
B t t t
B t t
mit Bernsteinpolynomen
DifferenzialgleichungenBasis im Raum der Störfunktion
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'' ' ( )y k y m y g x 2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) sin(2 ) ( ) sin(2 ) cos(2 )
g x x G x a b x
g x x G x a b x c x
g x x G x a x b x
So ergiebig sind die Begriffe Basis und Dimension
Affine Abbildungen im R2
Schulabbildungen in Matrizenschreibweise
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Affine Abbildungen im R2
Schulabbildungen in Matrizenschreibweise
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cos( ) sin( )'
sin( ) cos( )p p
����������������������������
arctan( )gw m
Iterierte Drehungen u.a.Trick mit Urbild Bild und Translation
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3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2
'p Ap t
������������������������������������������
Ersatz für t
Eigenwerte und EigenvektorenAnschaulich
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Lineare Algebra: Schwerpunkt: Basisbegriff, Abbildungen
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Vielen Dank für Ihre Aufmerkamkeit
Und alles stehtim Internet
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