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08.11.2015
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Stochastik
Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de
Folie 1
Laplace‐Würfel ?Laplacian dices?
Bei welchen Zufallsgeräten sind alleElementar‐Ereignisse gleichwahrscheinlich?
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Folie 2In what cases are elementary results equiprobable?
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Laplace‐WürfelLaplacian dices
Die Elementar‐Ereignisse sindgleichwahrscheinlich.
For Laplacian dices elementary resuts are equiprobable.
Ereignis = eine Menge von Elementar Ereignissen
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Folie 3
Ereignis = eine Menge von Elementar-Ereignissen
A={5,6} B=„ich würfele ein Primzahl“
An event is a set of elementary results.
I roll a prime number
Laplace‐GesetzLaplcian law
Sind alle Elementar‐Ereignisse gleich‐wahrscheinlich,dann ist die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses E :
( )for E good cases
possiblecasesZahl der für E günstigen Fälle
P EZahl der möglichen Fälle
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Folie 4
P=Wahrscheinlichkeit, probabitity
2 1( ) ({1,2}) 0.33... 33%
6 3P A P beim Kubus-Würfel:
with a cube dice
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Geometrische Wahrscheinlichkeit als Zurückführung auf das Laplace‐Gesetz
Wenn jede Zeigerstellung die gleiche
Geometric probability as affiliation of the Laplacian law
90 1( ) 0.25... 25%
360 4P rot
j g g gWahrscheinlichkeit hat, dann gilt:
120 1( ) 0.33... 33%P grün
each needle positionhas the same probability
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Folie 5
( )360 3
g
360 90 120 150 5( ) 0.4166... 42%
360 360 12P blau
p y
Und hier ??????Suhle,Seite, Haxe,Schnauze
Astragali, römische Würfeldices of the romans
What can we do here?
What shall bethe concept of probability?
Wahrscheinlichkeitsbegriff ???
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Folie 7
Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserieist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?
p p y
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Und hier ??????
ZirkuläreWhat can we do here?
Wahrscheinlichkeitsbegriff ???
Begriffsbildung
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Folie 8
Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserieist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?
Circular concepts does‘nt work!
The relative frequency probably goes to the probability?
Zufallswege, random walks
Wir sehen uns an, wie sich die relative Häufigkeit bei langen Wurfserien verhält.
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( )
numberof caseamong n rolls
Zahl der Einsenh n
unter n Würfen
random walks
theoretischer Wert 16 16,6...%
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Folie 9
n
grün=+/- 0.5%-Streifen rot=1-sigma-Streifen stripes
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Zufallswege, random walksEmpirisches Gesetz der großen Zahl:Die relative Häufigkeit stabilisiert sich.
relative frequency become stable
Weitere Fälle interaktiv oder auf dieser pdf-Seite
Empirisches Gesetz der großen Zahl
law of large numbers
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Folie 10
Abb. 10.6Abb. 20(-)
Es wird für immer größere n immer unwahrscheinlicher, das ein vorgegebener Streifen wieder verlassen wird.
For growing up n it become less probable that the observedrelative frequency leave a given stripe.
Plan Stochastik Kapitel 10Stochastik 1• Zufallswege,• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,• Zufallsgröße deren
Stochastik 2• Hypothesentest bei Bernoulliversuchen auf
der Grundlage der Binomialverteilung,• Signifikanz, • n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung• Schätzen, Konfidenzintervalle.
• Zufallsgröße, deren • Verteilung und Erwartungswert,• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.
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,
Stochastik 3• Normalverteilung,• Standardabweichung, Messwerte,• Wurzel(n)-Gesetz• Hypothesentest bei Messwerten,• Irrtumswahrscheinlichkeit, P-Wert. Folie 11
Stochastik 4• Überblick über Vorgehensweisen der Stochastik:• Elemente der beschreibenden Statistik,• Regression, Korrelation• Weitere Verteilungen, • Empirisches Forschen
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Axiomezur Grundlegung einer Theorie
Forderungen an ein Axiomensystem:foundation
Forderungen an ein Axiomensystem:1. effizient2. widerspruchsfrei consistant3. valide
so wenige Axiome wie möglich
passend zu dem Gebiet, für das es entworfen wird
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für das es entworfen wird
Euklid: Axiome der Geometrie vor 2300 Jahren
Newtonsche Axiome der Mechanik, um 1680
Axiome der Algebra, 19. Jh.Folie 12
WahrscheinlichkeitstheorieAxiome von Kolmogorow 1933
1 ( ) 0 2 ( ) 1P A P 3 A B
theory of probability
1. ( ) 0 2. ( ) 1P A P 3.
( ) ( ) ( )
A B
P A B P A P B
Ereignisraum
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Folie 13
Ereignisraumsample space
Elementarereignisseelementary events
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3 rote und 2 grüne Socken in der Schubladezweimal hineingreifen ohne zurückzulegen
urn model, pullingwithout putting back
Mehrstufige Zufallsversuchemulti-level random experiments
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbigeSocken an? P(different colors)?
Folie 14
Mehrstufige Zufallsversuche
3 rote und 5 grüne Socken in der Schublade
zweimal hineingreifen ohne zurückzulegenBaumdiagramm
als Sparbaum eco-tree
multi-level random experiments
als Sparbaumkurze Strecken=Äste
vom Start bis unten=Pfade
branches
pathes
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbigeSocken an? P(different colors)? Folie 15
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Die Äste werden mit Wahrscheinlichkeiten beschriftet.
Von einen Knoten abgehende Äste habenimmer zusammen Wahrscheinlichkeit 1
Mehrstufige Zufallsversuchemulti-level random experiments
Pfadregeln:Die W. eines Pfades ist das Produkt der Ast‐Wahrscheinlichkeiten.
immer zusammen Wahrscheinlichkeit 1.
path-laws
Oft braucht man nur Teile des Baumes,man nimmt einen Sparbaum (eco-tree)
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige Socken an?
Tragen mehrere Pfade zu einem Ereignis bei,
sind die Pfad‐Wahrscheinlichkeiten zu addieren.
Folie 16
Wahrscheinlichkeits‐Verteilung probabitity distribution
Es wird angegeben,wie die Gesamtwahrscheinlichkeit 1bei dem Zufallsexperiment
Abb.10.9
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bei dem Zufallsexperiment auf die Ausgänge
verteilt ist.
Folie 17
outcomes
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Gleichverteilung rectangular (equal) distribution
150n 1
6p
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Erwartungswert Folie 18
1150 25
6n p
expectation value
Baumdiagramm und Verteilung
tree diagramm and distibutionand distibution
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Folie 19
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Baumdiagramm und Verteilung
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Folie 20
Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilungrandom variable, expectation value and distibution
Eine Zufallsgröße ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt.
„Größe“ im Sinne der Physik: reelle Zahl, ggf. mit einer „Einheit“
Jedem Ereignis wirdein Wert der Zufalls‐größe zugeordnet.
Die für das Ereignis
like „dimension“ in physics: real number, if need so with an unit
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Die für das Ereignis gültige Wahrscheinlichkeitwird als W. für diesen Wert
genommen.
Folie 21
The event E is a set of elementary outcomes. k is the value which is related to E.The the probability of k ist defined as the probability of the event E.
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Krüge für den HandwerkermarktVerteilung | X mal P
crocks for the craftsmen market
Entstehung von Formfehlern und Glasurfehlern als zweistufiger Zufallsversuch.
Merkmale: 1. und 2.Wahl, Ausschuss
Zufallsgröße: X= Einnahme in €
failours in form and glazeas a 2-level random
experiment1. and 2. selection
and waste
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g
( )iP X XListeErwartungswert E(X)= 1
( )n
i iiX P X X
Folie 22
Multipliziere die Liste der Werte von X mit der Liste der Wahrscheinlichkeitenund bilde die Summe der neuen Spalte.
Multiply the X-values with the probabilities in a new column and add all.
Jakob I. Bernoulli, etwa 1700
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Folie 23
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Bernoulli‐Versuch, Bernoulli‐KetteJakob I. Bernoulli, 1655-1705 Basel
Bernoulliversuch: 1. klare Ja/Nein Entscheidung2. Wahrscheinlichkeit für Ja ist p
processtrial, experiment
yes/no
2. Wahrscheinlichkeit für Ja ist p
Bernoulli‐Kette: n Bernoulliversuche mit konstantem pZufallsgröße : X = Zahl der „ja“ in der Kette random variable
counts the number ofsuccesses under n
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Folie 24
Bernoulli‐Kette führt zur Binomialverteilung
Galton Brettbritischer Naturforscher Sir Francis Galton (1822-1911)
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Folie 25
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Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist
binomialverteilt, binomially distributed
Binomial‐Verteilung, Binomial distibution
( ) (1 )k n knP X k
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( ) (1 )k n kP X k p pk
Taschenrechner Binom Pdf
Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)(n , p),k)
Folie 26
Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist
binomialverteilt
Binomial‐Verteilung
( ) (1 )k n knP X k p p
k
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Folie 27
The binomial distribution is used to model the number of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. It must be n<<N
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Binomial‐Koeffizienten
2 2 2( ) 2a b a ab b
binomial coefficient
( ) 2a b a ab b
3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b
4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4a b a a b a b ab b
Höh Bi i h F l
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Höhere Binomische Formeln
Folie 30
( 1)...( 1)
1 2 3 ( 1)
n n n n k
k k k
Schreibe unten das Produkt bis k und oben genauso viele Faktoren
Binomial‐Koeffizientenbinomial coefficient
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Taschenrechner nCr(n,k)
binomial coefficient Folie 31
www.wolframalpha.com
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Binomial‐Koeffizientenbinomial coefficient
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Taschenrechner nCr(n,k)
binomial coefficient Folie 32
www.wolframalpha.com
Binomial‐Verteilung( ) (1 )k n kn
P X k p pk
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Taschenrechner Binom Pdf
Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)(n , p),k)
Folie 33
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Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist
binomialverteilt
Binomial‐Verteilung
( ) (1 )k n knP X k p p
k
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Taschenrechner Binom Pdf
Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)(n , p),k)
Folie 34
Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist
binomialverteilt
Parameter der Binomial‐Verteilung
( ) (1 )k n knP X k p p
k
The random variable X is binomial distibuted.
Parameter n und p
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Folie 35
The binomial distribution is used to model the number X of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N.The probabiltiy of one single success is p. The parameters are n and p.
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Kenngrößen measures der Binomial‐Verteilung
( ) (1 )k n knP X k p p
k
Fläche für den Balken k.Area of the bar with number k.
Erwartungswertt ti l
n p dort steht der höchste Balken
expectation value
it is the position of the highest bar
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Folie 36
2 n p q
n p q
Varianz
Standardabweichung
variancestandard deviation
sigma
Binomial‐ und NormalverteilungW.-Rechner
1-sigma-Abstandliegt bei den Wendepunkten
Ergebnisse außerhalb sehr ungewöhnlich
dennoch
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gdes 2-sigma-Bereichs heißen „ungewöhnlich“,sie treten mit 5% W. auf.
dennoch mit 0.3% W
Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikantFolie 37
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Fixe Überlegungen quick thinking
Folie 39
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Fixe Überlegungen quick thinking
Folie 41
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Kenngrößen der Binomialverteilung
Erwartungswert der Zufallsgröße X = Anz. der „ja“
in der Kette n, p
Oh je!
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( )E X n p Klein Fritzchen‐Wert
Folie 42
Kenngrößen der BinomialverteilungVarianz = Erwartungswert die Abweichungsquadrate
vom Mittelwert 2k 2( ) ( )Var P X k k noch
schlimmer!
2
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Standard‐abweichung
2( ) (1 )
(1 )
Var X np p
n p p
Folie 43
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Seminarplan Stochastik 1
W.-RechnerDas war Stochastik 1 W. RechnerDas war Stochastik 1• Zufallswege,• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,• Zufallsgröße, deren • Verteilung und Erwartungswert,
ß
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www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.deFolie 44
• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.
Beurteilende Statistik inferential statistics
Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit
schließende Statistikinferentielle Statistik
Die Aufgabe ist:The issue is:
t ti ti l i f f th l t th l ti
Testen:Hypothesentest
Schätzen:Konfidenzintervall
zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it
statistical inference from the sample to the population
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hypothesis testing estimationconfidence interval
Folie 45
Wir wollen die Hypothese H1 durch eine Stichprobe statistisch stützenBisher galt (unsere Geger meinen) H0
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Beurteilende Statistik inferential statistics
Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit
schließende Statistikinferentielle Statistik
Die Aufgabe ist:The issue is:
t ti ti l i f f th l t th l ti
Testen:Hypothesentest
Schätzen:Konfidenzintervall
zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it
statistical inference from the sample to the population
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hypothesis testing estimationconfidence interval
Folie 46
Ziel: Forschungshypothese H1durch Stichprobe stützen.Intention: the sample shall support H1
Wir haben noch kein Wissen.Die Stichprobe soll Auskunft geben.We are nescient, the sample shall inform us
Forderungen an die Stichprobedemands on the sample
Generelle Voraussetzung: General conditionDie Stichprobe muss „repräsentativ“ sein. Am besten man verwirklicht : Jedes Element der Grundgesamtheit muss dieselbe Chancehaben, in die Stichprobe zu kommen, wie jedes andere.
The sample has to be representativ. The best way to do this is:Any element of the population must have the same chance to
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Any element of the population must have the same chance to come into the sample.
Folie 47
Es gibt verschiedene Wege, zu repräsentativen Stichproben zu kommen und die werden in speziellen Büchern oder dickem Statistik-Büchern vorgestellt.Andreas Quatember ISBN 978-3-642-39605-2 ISBN 978-3-642-39606-9 (eBook) (verständlich)
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Hypothesentest hypothesis testing
1 : 0 3H p
Experiment: Biolix put a lot of cardboard pices on the ground :30% round and 70% triangels
The scientists observed that newly hatched chicks soon start picking only round grains ra-ther than angular ones. They assume this behavior is hereditary, research hypothesis H1.
deutsch in meinem Buch 10.7.1
Man hat eine Vermutung, die wird zur „Forschungshypothese“ H1.
Das logische Gegenteil
1 : 0.3H p
0 : 0.3H p
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g gwird zur „Nullhypothese“H0.
Folie 48
Die Nullhypothese kann man niemals beweisen oder unterstützen oder (nach dem Test) für wahr halten. Sie bildet die stets die Rechengrundlage.
The null hypothesis H0 must be the logical contrary of H1. Ist is never possible to proof or support H0. All computation will based on H0.
Hypothesentest hypothesis testing
0 : 0.3H p Bernoulli trial rund/ eckig round or trianglemehr Attrappen als im Bild, more dummies then the picture shows
konstant0.3p Biolix watched one just sliped chick. It picked 5 times, among that 3 round forms.
He prepared the demonstration
Nein, keine Aussage möglich!!!No conclusion ist possible!!!
He prepared the demonstration for the scientists.
not significant
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Signifikanztest: Das Versuchsergebnis legt das „kritische Gebiet“ fest.
Dieser Versuch zeigt kein signifikantes Egebnis. 5% ?
Folie 49
citical region
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Hypothesentest als Signifikanztest
W.-Rechner
6 3
10 5
k
n
12 3
20 5
k
n Biolix zuerst
3
5
significant high significant
Die Aussagekraft steigt –bei gleichen Verhältnissen-mit dem Stichprobenumfang n.
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Hier ist es ein einseitiger Test, weil man vorher wusste, dass eher mehr runde Körner gepickt werden.
Folie 50
the same ratio but more power
The knowlege at the begin give the permission
for the one-sided test.
Sprechweisen beim HypothesentestHow to speak in hypothesis testing
W.-Rechner
1. Bei n=10 haben die Küken signifikant ( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war.
2. Bei n=20 haben die Küken hochsignifikant( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war
5%
1%
W. Rechner
1. By n=10 the chicks picked significantly more round grains than we expected.
runde Körner gepickt als zu erwarten war.
3. Wir nehmen daher unsere Forschungshypothese an: „Küken haben eine angeborene Vorliebe für runde Körner“ (Signifikanzniveau unter 5%)
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Folie 51
2. By n=20 the chicks picked high significantly (alpha < 1%) more ….
3. We accept our research hypothesis: „Chicks have a hereditary preferenz forround grains.“ (level of significance less than 5%)
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Hypothesentest
5%
W.-Rechner
Weitere Redeweisen:4. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als behaupten wir, dass Küken eine genetische Prägung auf runde Körner haben.
5. Wir konnten die Hypothese, Küken lernten erst allmählich, dass nur runde Körner essbar sind, auf einem Signifikanzniveau von unter 5% ablehnen.
5%
More modes of speaking:4. With an error probability of less than 5% we suggest thatChicks have a genetic imprinting for round grains
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Hypothesen gelten ganz oder gar nicht, sie haben keinerlei Wahrscheinlichkeit.
Folie 52
Chicks have a genetic imprinting for round grains.5. We could disclaim the hypothesis that chicks are learning day by day that onlyround grains are eatable with a 5%-level of significance.
english sentencefollows next
HypothesentestW.-Rechner
Falsche Redeweisen:6. Die Hypothese, dass das Picken auf runde Körner angeboren ist, gilt mit 95%Wahrscheinlichkeit.7. Nur 5% der Küken müssen das Picken auf runde Körner erst lernen.8. 95% des Pickverhaltens kann man mit der Genetik erklären.
6. The hypothesis that picking round grains is hereditary is valid with aprobability of 95%
Wrong modes of speaking:
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Folie 53
probability of 95%.7. Only 5% of the chicks have to lern to pink better round grains.8. 95% of the picking-behavior can be explained with genetics.
Correct is: No hypothesis has any probability. A hypothesis is total correct or total incorrect.
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25
Hypothesentest durchführen ‐1‐• Entscheide, welche Verteilung zu deinem Experiment passt.• Entscheide, ob es ein einseitiger oder zweiseitiger Test sein soll. Für „einseitig“ muss man vor der Durchführung Gründe für eine Richtung nennen • Nimm als Forschungshypothese Hypothese H1 die Behauptung, die
du mit dem Versuch absichern möchtest.• Die Nullhypothese H0 ist das logische Gegenteil.• Alle Rechnungen erfolgen mit den Parametern von H0. Diese sind die
Basis für deine potentiellen Gegner.• Nun gibt es zwei Wege weiterzumachen:
Erstens: Das Signifikanzniveau ergibt sich aus dem Test. Du kennst das Gesetz alpha<=5%
Zweitens: : Das Signifikanzniveau wird vorgegeben. Du nimmst den
Verlust wichtiger Information in Kauf
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de
Folie 54
Du kennst das Gesetz alpha<=5%. Verlust wichtiger Information in Kauf.
Der erste Weg reagiert darauf, dass es heute einfach ist, die Werte von zu berechnen. Z.B. ist beim links-einseitigen Test:
( )P X k
Der zweite Weg ist der ältere. Man wähltdas Niveau aus einer Liste aus.Z.B. gehört zu den 2-sigma-Grenzen das Niveau zweiseitig.
( )P X k 5%
Hypothesentest durchführen ‐2‐Erstens: „Signifikanztest“:• Führe die Schritte der vorigen Seite durch..• Führe den statistischen Versuch durch, das Ergebnis sei k.• k (inklusive) bildet die Grenze des kritischen Gebietes. Das ist der Teil der
x-Achse mit den Ergebnissen, die für die Hypothese H1 noch besser sind als k.
• Berechne auf der Basis von H0 • Für ist nichts entschieden. Das Ergebnis k ist verträglich mit H0,
du weißt nicht, ob H0 gilt oder nicht, du weißt nicht, ob H1 gilt oder nicht, .• Für kannst du H1 annehmen und H0 verwerfen. Das Ergebnis
k ist signifikant auf dem Niveau . Darüberhinaus ist die Wahrschein-lichkeit für den Fehler 1 Art also H1 anzunehmen obwohl H0 gilt
( )P X kritischem Gebiet 5%
5%
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Die Befürworter des zweiten Weges befürchten, man könnte das berechnete nehmen, auch wenn es größer als 5% ist. Aber das tut man nicht!!
Folie 55
lichkeit für den Fehler 1. Art, also H1 anzunehmen, obwohl H0 gilt.
Zweitens: Das kritische Gebiet folgt bei diesem Weg aus der Vorgabe von
Aber in einem zweiten Schritt wird bei diesem Weg der (genauere) Wert aus demersten Weg berechnet und man nennt ihn den P-Wert oder p-Wert.(Aus didaktischem Grund ist dieses ungeschickt, da p oft eine ganz andere Bedeutung hat.)
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How to do Hypothesis testing ‐1‐• Decide which type of distribution suits your experiment.• Decide, whether you take a one or a two sided test? For choosing „one
sided“ you would need reasons before you do the test.• Take as reseach hypothesis H1 the assumption you wish to proove.• The null hypothesis H0 is the logical contrary.• Any computation works on the values of H0. That is the basis for your
potential opponents.• There are two ways to proceed now:
First: level of significanceis result of testing. You accept the law alpha< 5%
Second: level of significancealpha is predefined. You accept
that important information is lost
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Folie 56
You accept the law alpha<=5% that important information is lost.
The first way is a modern approach, where the values of
are easy to compute.I.e. for a left sided test is( )P X k
The second way is the former type.You choose the level out of a list.I.e. with the 2-sigma-bounds youhave level two sided.( )P X k 5%
How to do Hypothesis testing ‐2‐First way: „significance testing“:
• Do the steps on the previous page.• Do the experiment. The result shall be k.• k (incusive) is the bound of the critical region. This is the part of the
x-axis, where the results are which are better than k for thehypothesis H1.
• Compute with the values of H0 • If nothing is decided. The result k is compatible with H0,
you don‘t know if H0 is valid or not, you don‘t know if H1 is valid ar not.• If you can accept H1 and reject H0. The result k is
significant on level . Furthermore is the probability for the error ofthe 1 kind that is the error to accept H1 while H0 is correct
( )P X critical region 5%
5%
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The promotors of the second way are afraid, that one could take the computedwithout respecting the less 5%-law. But this fear for good scientists is unrealistic.
Folie 57
the 1. kind, that is the error to accept H1 while H0 is correct.
Second way: The citical region comes here from the chosen . But in a second step the value from the first way will be computed und is called P-valueor p-value. (For didactical reasons it is no so good, because has an other meaning).
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Konfidenzintervalle intervals of confidence
KonfidenzKonfidenz
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Folie 58
n=40 k=12
Konfidenzintervalle intervals of confidence
Die Grenzen des Konfidenzintervalles sind die Erwartungswerte der Verteilungen, mit denen
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g ,die Zählung gerade noch verträglich auf dem Niveau ist.1
Folie 60
english follows
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The bounds of the confidence interval are the expectation values of the distibutions which are just compatible with the data on the level .1
Konfidenzintervalle intervals of confidence
1
approx minimumexact miniumdata….
2 1 Wi h 2 fü
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Folie 61
Wir nehmen z=2 fürNiveau 95%.Genauer wäre z=1.96.Der Unterschied ist unerheblich.
Fixe Überlegungen quick thinkingBeobachtung:observation:
k=23 von 184 Feldern mit Kohl haben den Schädlingk=23 of 184 fields with cabbage have the pest
23 1hPunktschätzungpoint estimation
23 1184 8 0.125 12.5%h
relative Häufigkeit, relative frequency
Es passt die Binomialverteilung n=184, p=hThe binomial distibution suits. yes/no pest/not pest
Konfindezintervall näherungsweise auf dem 95%-Niveau= Verträglichkeitsbereich für die Punktschätzung
Folie 62
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Confidence interaval approximative at the 95%-level = compatibility region of the point estimation
Wir erwarten zwischen 7,6% und 17,4% Felder mit Schädlingen. We expect …… fields with pest.
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Fixe Überlegungen quick thinkingEine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.
25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt,die Weihnachten zu den Eltern fahrendie Weihnachten zu den Eltern fahren.
Folie 63
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One group of the starting week can be considered as random selction.
25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.Give the 95%-confidence interval an, for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents.
Fixe Überlegungen quick thinkingEine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.
25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt,die Weihnachten zu den Eltern fahrendie Weihnachten zu den Eltern fahren.
Unsere kleine Umfrage hat ergeben, dass zwischen 73% und 97% unsere Erstis Weihnachten zu den Eltern fahren.Die Wahrscheinlich für die Richtigkeit dieserAussage ist etwa 95%.
Folie 64
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One group of the starting week can be considered as random selction.
25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.Give the 95%-confidence interval for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents.
Our result says: between 73% and 97% travel at christmas to the Parents.
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Seminarplan Stochastik 2Das war Stochastik 2• n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung
H th t t b i B lli h f• Hypothesentest bei Bernoulliversuchen aufder Grundlage derBinomialverteilung,
• Signifikanz, • Schätzen, Konfidenzintervalle.
Folien sind kein Lesebuch!
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Folie 65
Folien sind kein Lesebuch!Sides don‘t be a book for reading it!
Ohne Lesen kein Studium!No studies without reading!