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KurvendiskussionGebrochenrationale Funktion
Aufgaben und Lösungenhttp://www.fersch.de
©Klemens Fersch
24. August 2019
Inhaltsverzeichnis1 Gebrochenrationale Funktion 2
2 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad 62.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad 1013.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad 1674.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1
Gebrochenrationale Funktion
1 Gebrochenrationale Funktion
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
2
4
6f1 (x) =
1
x + 2
x = −2
y = 0
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
2
4
6f2 (x) = x2+2x+1
x2−4
x = −2
x = 2
y = 1
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
2
4
6f3 (x) = x2−4
x−1 12
y = x+ 1 12
x = 1, 5
Formen der gebrochenrationalen Funktion
Summendarstellung der gebrochenrationale Funktion:f(x) =
Z(x)
N(x)
=anx
n + an−1xn−1 + an−2x
n−2...+ a2x2 + a1x
1 + a0bmxm + bm−1xm−1 + bm−2xm−2...+ b2x2 + b1x1 + b0
Zählerpolynom vom Grad n:Z(x) = anx
n + an−1xn−1 + an−2x
n−2...+ a2x2 + a1x
1 + a0
Nennerpolynom vom Grad m:N(x) = bmxm+ bm−1x
m−1+ bm−2xm−2...+ b2x
2+ b1x1+ b0
Produktdarstellung (faktorisierte Form) der gebrochenra-tionale Funktion:f(x) = a
(x− z1)(x− z2)(x− z3)...
(x− n1)(x− n2)(x− n3)...z1, z2, z3... Nullstellen des Zählersn1, n2, n3... Nullstellen des Nenners
f2 (x) =x2 + 2x+ 1
x2 − 4Zählerpolynom:Z(x) = x2 + 2x+ 1 Zählergrad:2Nennerpolynom:N(x) = x2 − 4 Nennergrad:2Faktorisierte Form:f2(x) =
(x+1)2
(x+2)(x−2)
f3 (x) =x2 − 4
x− 1 12
Funktion nach der Polynomdivision:f3 (x) = x+ 1 1
2+
−1 34
x−1 12
Definitions- und Wertebereich
Definitionsbereich:Nullstellen des Nennerpolynoms ausschließen.Nennerpolynom: N(x) = 0
n1, n2, n3... Nullstellen des Nenners (Definitionslücken)D = R \ {n0, n1, n2..}(siehe Algebra - Gleichungen)Wertebereich:Bestimmung nur nach Kurvendiskussion möglich.
f1 (x) =1
(x+ 2)D = R \ {−2}
f2 (x) =x2 + 2x+ 1
x2 − 4Nenner Null setzenx2 − 4 = 0x2 − 4 = 0 / + 4
x = ±√4
x1 = 2 x2 = −2D = R \ {−2; 2}
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Gebrochenrationale Funktion
Symmetrie
Punktsymmetrie zum Ursprung:f (−x) = −f (x)
Achsensymmetrie zur y-Achse:f (−x) = f (x)
Schnittpunkte mit der x-Achse - Nullstellen
Zählerpolynom gleich Null setzen.Zählerpolynom: Z(x) = 0
z1, z2, z3... Nullstellen des Zählers(siehe Algebra - Gleichungen)
f2 (x) =x2 + 2x+ 1
x2 − 4Zählerpolynom gleich Null setzen:x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 2-fache Nullstelle
Verhalten im Unendlichen - Grenzwert - Asymptoten
• Zählergrad>Nennergradlimx→∞
f(x) = ±∞ limx→−∞
f(x) = ±∞Das Vorzeichen der Glieder mit der höchsten Potenzenund der Grad der höchsten Exponenten, bestimmen dasVorzeichen des Grenzwerts.Grenzwert gegen plus Unendlichlimx→∞
an
bm· (∞)n
(∞)m = ±∞
Grenzwert gegen minus Unendlichlim
x→−∞an
bm· (−∞)n
(−∞)m = ±∞
• Zählergrad=Nennergrad+1lim
x→±∞f (x) = ±∞
Polynomdivision - schiefe Asymptote• Zählergrad=Nennergrad
limx→±∞
f (x) =anbm
horizontale Asymptote: y =anbm
• Zählergrad<Nennergradlim
x→±∞f (x) = 0
horizontale Asymptote: y = 0
Zählergrad < Nennergradlim
x→±∞
1
x+ 2= 0
Horizontale Asymptote: y = 0Zählergrad = Nennergrad
limx→±∞
1x2 + 2x+ 1
1x2 − 4= 1
1= 1
Horizontale Asymptote: y = 1
Zählergrad = Nennergrad+1
f3 (x) =x2 − 4
x− 1 12
limx→∞
11· (∞)2
(∞)1= ∞
limx→−∞
11· (−∞)2
(−∞)1= −∞
oder
limx→∞
x2(1− 4
x2)
x(1−1 12
x)
= ∞
limx→−∞
x2(1− 4
x2)
x(1−1 12
x)
= −∞
Polynomdivision :(x2 −4 ) : (x− 1 1
2) = x+ 1 1
2
−(x2 −1 12x)
1 12x −4
−(1 12x −2 1
4)
−1 34
f3 (x) = x+ 1 12+
−1 34
x−1 12
Schiefe Asymptote: y = x+ 1 12
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Gebrochenrationale Funktion
Verhalten an den Definitionslücken - Grenzwert - Asymptoten
D = R \ {x0, x1..}x0, x1.. sind Definitionslücken von f(x)lim
x→x0
f(x) = ∞ ⇒Vertikale Asymptote: x = x0
limx→−2+
1
(x+ 2)= ∞
limx→−2−
1
(x+ 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
limx→−2+
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= −∞
limx→−2−
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
limx→2+
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= ∞
limx→2−
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 2
Ableitung
Die Ableitungen bildet man durch die Quotientenregel:f ′(x) =
Z ′(x) ·N(x)− Z(x) ·N ′(x)
(N(x))2
Die erste Ableitung f ′ (x) gibt die Steigung der Funktionan der Stelle x an.Die zweite Ableitung f ′′ (x) gibt die Krümmung der Funk-tion an der Stelle x an.
f ′1 (x) =
0·(x+2)−1·1(x+2)2
= 0−1(x+2)2
= −1(x+2)2
= −1(x+2)2
f ′′ (x) = 0·(x2+4x+4)−(−1)·(2x+4)
(x2+4x+4)2
= 0−(−2x−4)
(x2+4x+4)2
= 2x+4(x2+4x+4)2
= 2x+4(x2+4x+4)2
=2(x+ 2)
(x+ 2)4
=2
(x+ 2)3
f2 (x) =x2+2x+1
x2−4
f ′ (x) = (2x+2)·(x2−4)−(x2+2x+1)·2x(x2−4)2
= (2x3+2x2−8x−8)−(2x3+4x2+2x)
(x2−4)2
= −2x2−10x−8(x2−4)2
Extremwerte und die 2. Ableitung
In den Extremwerten hat f(x) eine horizontale Tangente(HT).• f ′(x) = 0 (Notwendige Bedingung)Die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen (x0, x1..).In diesen Nullstellen (x0, x1..) kann die Funktion einenHochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt)besitzen.Einsetzen der Nullstellen x0, x1.. in die 2. Ableitung (Hin-reichende Bedingung)• f ′′ (x0) > 0(LK) ⇒ Tiefpunkt (Minimum) bei x0
• f ′′ (x0) < 0(RK) ⇒ Hochpunkt (Maximum) bei x0
• f ′′ (x0) = 0 ∧ f ′′′ (x0) ̸= 0 ⇒ Terrassenpunkt
f ′2(x) =
−2x2 − 10x− 8
x4 − 8x2 + 16= 0
−2x2 − 10x− 8 = 0
x1/2 =+10±
√(−10)2 − 4 · (−2) · (−8)
2 · (−2)
x1/2 =+10±
√36
−4
x1/2 =10± 6
−4
x1 =10 + 6
−4x2 =
10− 6
−4x1 = −4 x2 = −1f ′′(−4) = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt: (−4/ 3
4)
f ′′(−1) = −6f ′′(−1) < 0 ⇒ Hochpunkt: (−1/0)
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Gebrochenrationale Funktion
Extremwerte und das Monotonieverhalten
Extremwerte sind Hochpunkte (Maxima) bzw. Tiefpunkte(Minima) der Funktion. In den Extremwerten hat f(x) einehorizontale Tangente (HT).• f ′(x) = 0 (Notwendige Bedingung)Die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen (x0, x1..).In diesen Nullstellen (x0, x1..) kann die Funktion einenHochpunkt, Tiefpunkt oder Terrassenpunkt (Sattelpunkt)besitzen.Zur Unterscheidung werden die Nullstellen in die Vorzei-chentabelle eintragen. Einen Wert kleiner bzw. größer alsdie Nullstelle wählen und das Vorzeichen von f ′(x) in dieTabelle eintragen. (Hinreichende Bedingung)• Hochpunkt (HP)Monotonoieverhalten ändert sich von streng monotonsteigend (sms) nach streng monoton fallend (smf).Vorzeichenwechsel (VZW) der 1. Ableitung f ′(x) von Plusnach Minus.
x < x1 < x
f ′(x) + 0 −Graph sms HP smf
• Tiefpunkt (TP)Monotonoieverhalten ändert sich von streng monotonfallend (smf) nach streng monoton steigend (sms).Vorzeichenwechsel (VZW) der 1. Ableitung f ′(x) von Minusnach Plus.
x < x1 < x
f ′(x) − 0 +
Graph smf TP sms
• Terrassenpunkt (TEP)Monotonoieverhalten ändert sich nicht. Kein Vorzeichen-wechsel (VZW) der 1. Ableitung.
x < x1 < x
f ′(x) + 0 +
Graph sms TEP sms
x < x1 < x
f ′(x) − 0 −Graph smf TEP smf
Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken)müssen in die Tabelle mit eingetragen werden.
f ′1 (x) =
−1(x+2)2
Zähler = 0keine Lösung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < x
f ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2;∞[f ′(x) < 0 smf
Wendepunkt und die 3. Ableitung
Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungs-verhalten gleich Null.• f ′′(x) = 0 (Notwendige Bedingung)Die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen (x0, x1..).Einsetzen der Nullstellen x0, x1.. in die 3. Ableitung (Hin-reichende Bedingung)• f ′′′ (x0) ̸= 0 ⇒ Wendepunkt
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad
Wendepunkte und das Krümmungsverhalten
Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsver-halten gleich Null.• f ′′(x) = 0 (Notwendige Bedingung)Die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen (x0, x1..). ZurUnterscheidung zwischen Wendepunkt und Flachpunkt wer-den die Nullstellen in die Vorzeichentabelle eintragen. (Hin-reichende Bedingung) Einen Wert kleiner bzw. größer als dieNullstelle wählen und das Vorzeichen von f ′′(x) in die Ta-belle eintragen.• Wendepunkt (WP)Das Krümmungsverhalten ändert sich von rechtsgekrümmt(RK) nach linksgekrümmt (LK) oder von linksgekrümmtnach rechtsgekrümmt.Vorzeichenwechsel (VZW) der 2. Ableitung f ′′(x) von Plusnach Minus oder von Minus nach Plus.
x < x1 < x
f ′′(x) + 0 −Graph LK WP RK
x < x1 < x
f ′′(x) − 0 +
Graph RK WP LK• Flachpunkt (FP)Krümmungsverhalten ändert sich nicht.Kein Vorzeichenwechsel (VZW) der 2. Ableitung
x < x1 < x
f ′′(x) + 0 +
Graph LK FP LK
x < x1 < x
f ′′(x) − 0 −Graph RK FP RK
Die Ränder des Definitionsbereichs (Definitionslücken) müs-sen in die Tabelle mit eingetragen werden.
•Krümmungf ′′ (x) =
2
(x+ 2)3
Zhler = 0keine Lösung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < x
f ′′(x) − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
2 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad2.1 Aufgaben
(1) f (x) =1
x
(2) f (x) =−1
x
(3) f (x) =1
x+ 2
(4) f (x) =−1
x− 2
(5) f (x) =− 1
3
− 23x− 1
2
(6) f (x) =1
x2
(7) f (x) =−1
x2
(8) f (x) =3
x2 + 4
(9) f (x) =−4
x2 − 4
(10) f (x) =15
x2 + 2x+ 1
(11) f (x) =−1 1
2
x2 − 6x+ 9
(12) f (x) =9x
x2 + 3
(13) f (x) =x
x2
(14) f (x) =−3x+ 3
2x2 + 4x+ 2
(15) f (x) =12x+ 112x
2 + 14
(16) f (x) =−x+ 3
x2 − 9
(17) f (x) =2x+ 1
x2
(18) f (x) =3x− 1
x2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Aufgaben
(19) f (x) =−4x+ 1
2
x2 + 4
(20) f (x) =2x− 1
4
x2 − 4
(21) f (x) =15x
x2 + 2x+ 1
(22) f (x) =−1 1
2x+ 2
x2 − 6x+ 9
(23) f (x) =1
x3 + 3x2 + 3x+ 1
(24) f (x) =x2 + 2x+ 1
x3 + 3x2 + 3x+ 1
(25) f (x) =x2 − 1
x3 + 3x2 + 3x+ 1
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2.2 LösungenAufgabe (1)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
1
xNenner faktorisieren:x = 0x = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
1
x
• Definitionsbereich: D = R \ {0}f (x) =
1
x
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
0 · x− 1 · 1(x)2
=0− 1
(x)2
=−1
(x)2
=−1
(x)2
f ′′ (x) =0 · x2 − (−1) · 2x
(x2)2
=0− (−2x)
(x2)2
=2x
(x2)2
=2x
(x2)2
=2x
x4
=2
x3
=2
x3
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < 0 < x
f(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
1
x(1)= 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→0+
1
x= ∞
limx→0−
1
x= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−1
x2= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−1
x2
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
2
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞; 0[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1)(1·x)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 1
7 − 149 −0, 00583
−6 12 − 2
13 −0, 0237 −0, 00728−6 − 1
6 − 136 − 1
108
−5 12 − 2
11 − 4121 −0, 012
−5 − 15 − 1
25 − 2125
−4 12 − 2
9 − 481 −0, 0219
−4 − 14 −0, 0625 − 1
32
−3 12 − 2
7 −0, 0816 −0, 0466−3 − 1
3 −0, 111 −0, 0741−2 1
2 − 25 −0, 16 −0, 128
−2 − 12 −0, 25 −0, 25
−1 12 − 2
3 −0, 445 −0, 593−1 −1 −1 −2− 1
2 −2 −4 −160 ∞ 3265 15
49 −∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 ∞ 3265 15
49 −∞12 2 −4 161 1 −1 21 12
23 −0, 445 0, 593
2 12 −0, 25 0, 25
2 12
25 −0, 16 0, 128
3 13 −0, 111 0, 0741
3 12
27 −0, 0816 0, 0466
4 14 −0, 0625 1
32
4 12
29 − 4
81 0, 02195 1
5 − 125
2125
5 12
211 − 4
121 0, 0126 1
6 − 136
1108
6 12
213 −0, 0237 0, 00728
7 17 − 1
49 0, 00583
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (2)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−1
xNenner faktorisieren:x = 0x = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−1
x
• Definitionsbereich: D = R \ {0}f (x) =
−1
x
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
0 · x− (−1) · 1(x)2
=0− (−1)
(x)2
=1
(x)2
=1
(x)2
f ′′ (x) =0 · x2 − 1 · 2x
(x2)2
=0− 2x
(x2)2
=−2x
(x2)2
=−2x
(x2)2
=−2x
x4
=−2
x3
=−2
x3
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 1 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < 0 < x
f(x) + 0 −
x ∈]−∞; 0[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]0;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
(−1)
x(1)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
limx→0+
−1
x= −∞
limx→0−
−1
x= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
1
x2= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
1
x2
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′(x) + 0 +
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−2
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) + 0 −
x ∈]−∞; 0[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]0;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1)(1·x)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1
7149 0, 00583
−6 12
213 0, 0237 0, 00728
−6 16
136
1108
−5 12
211
4121 0, 012
−5 15
125
2125
−4 12
29
481 0, 0219
−4 14 0, 0625 1
32
−3 12
27 0, 0816 0, 0466
−3 13 0, 111 0, 0741
−2 12
25 0, 16 0, 128
−2 12 0, 25 0, 25
−1 12
23 0, 445 0, 593
−1 1 1 2− 1
2 2 4 160 −∞ −3265 15
49 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ −3265 15
49 ∞12 −2 4 −161 −1 1 −21 12 − 2
3 0, 445 −0, 5932 − 1
2 0, 25 −0, 252 12 − 2
5 0, 16 −0, 1283 − 1
3 0, 111 −0, 07413 12 − 2
7 0, 0816 −0, 04664 − 1
4 0, 0625 − 132
4 12 − 2
9481 −0, 0219
5 − 15
125 − 2
125
5 12 − 2
114
121 −0, 0126 − 1
6136 − 1
108
6 12 − 2
13 0, 0237 −0, 007287 − 1
7149 −0, 00583
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (3)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
1
x+ 2Nenner faktorisieren:x+ 2 = 0
x+ 2 = 0 /− 2x = −2x1 = −2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
1
(x+ 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2}f (x) =
1
x+ 2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
0 · (x+ 2)− 1 · 1(x+ 2)2
=0− 1
(x+ 2)2
=−1
(x+ 2)2
=−1
(x+ 2)2
f ′′ (x) =0 · (x2 + 4x+ 4)− (−1) · (2x+ 4)
(x2 + 4x+ 4)2
=0− (−2x− 4)
(x2 + 4x+ 4)2
=2x+ 4
(x2 + 4x+ 4)2
=2x+ 4
(x2 + 4x+ 4)2
=2(x+ 2)
(x+ 2)4
=2
(x+ 2)3
=2
x3 + 6x2 + 12x+ 8
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x
f(x) − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
limx→±∞
1
x(1 +2
x)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−2+
1
(x+ 2)= ∞
limx→−2−
1
(x+ 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−1
x2 + 4x+ 4= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−1
x2 + 4x+ 4Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
2
x3 + 6x2 + 12x+ 8Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1)(1·x+2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 1
5 − 125 − 2
125
−6 12 − 2
9 − 481 −0, 0219
−6 − 14 −0, 0625 − 1
32
−5 12 − 2
7 −0, 0816 −0, 0466−5 − 1
3 −0, 111 −0, 0741−4 1
2 − 25 −0, 16 −0, 128
−4 − 12 −0, 25 −0, 25
−3 12 − 2
3 −0, 445 −0, 593−3 −1 −1 −2−2 1
2 −2 −4 −16−2 ∞ 3265 15
49 −∞−1 1
2 2 −4 16−1 1 −1 2− 1
223 −0, 445 0, 593
0 12 −0, 25 0, 25
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
2 −0, 25 0, 2512
25 −0, 16 0, 128
1 13 −0, 111 0, 0741
1 12
27 −0, 0816 0, 0466
2 14 −0, 0625 1
32
2 12
29 − 4
81 0, 02193 1
5 − 125
2125
3 12
211 − 4
121 0, 0124 1
6 − 136
1108
4 12
213 −0, 0237 0, 00728
5 17 − 1
49 0, 005835 12
215 −0, 0178 0, 00474
6 18 − 1
64 0, 003916 12
217 −0, 0138 0, 00326
7 19 − 1
81 0, 00274
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (4)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−1
x− 2Nenner faktorisieren:x− 2 = 0
x− 2 = 0 / + 2x = 2x1 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−1
(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {2}f (x) =
−1
x− 2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
0 · (x− 2)− (−1) · 1(x− 2)2
=0− (−1)
(x− 2)2
=1
(x− 2)2
=1
(x− 2)2
f ′′ (x) =0 · (x2 − 4x+ 4)− 1 · (2x− 4)
(x2 − 4x+ 4)2
=0− (2x− 4)
(x2 − 4x+ 4)2
=−2x+ 4
(x2 − 4x+ 4)2
=−2x+ 4
(x2 − 4x+ 4)2
=−2(x− 2)
(x− 2)4
=−2
(x− 2)3
=−2
x3 − 6x2 + 12x− 8
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 1 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < 2 < x
f(x) + 0 −
x ∈]−∞; 2[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]2;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
limx→±∞
(−1)
x(1− 2
x)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→2+
−1
(x− 2)= −∞
limx→2−
−1
(x− 2)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
1
x2 − 4x+ 4= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
1
x2 − 4x+ 4Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = 2; 1-fache Nullstelle
x < 2 < xf ′(x) + 0 +
x ∈]−∞; 2[ ∪ ]2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−2
x3 − 6x2 + 12x− 8Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = 2; 1-fache Nullstelle
x < 2 < xf ′′(x) + 0 −
x ∈]−∞; 2[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]2;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1)(1·x−2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1
9181 0, 00274
−6 12
217 0, 0138 0, 00326
−6 18
164 0, 00391
−5 12
215 0, 0178 0, 00474
−5 17
149 0, 00583
−4 12
213 0, 0237 0, 00728
−4 16
136
1108
−3 12
211
4121 0, 012
−3 15
125
2125
−2 12
29
481 0, 0219
−2 14 0, 0625 1
32
−1 12
27 0, 0816 0, 0466
−1 13 0, 111 0, 0741
− 12
25 0, 16 0, 128
0 12 0, 25 0, 25
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
2 0, 25 0, 2512
23 0, 445 0, 593
1 1 1 21 12 2 4 162 −∞ −3265 15
49 ∞2 12 −2 4 −163 −1 1 −23 12 − 2
3 0, 445 −0, 5934 − 1
2 0, 25 −0, 254 12 − 2
5 0, 16 −0, 1285 − 1
3 0, 111 −0, 07415 12 − 2
7 0, 0816 −0, 04666 − 1
4 0, 0625 − 132
6 12 − 2
9481 −0, 0219
7 − 15
125 − 2
125
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (5)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =− 1
3
− 23x− 1
2Nenner faktorisieren:− 2
3x− 1
2= 0
− 2
3x− 1
2= 0 / +
1
2
− 2
3x =
1
2/ :
(−2
3
)x =
12
− 23
x = −3
4
x1 = −3
4; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
− 13
− 23 (x+ 3
4 )
• Definitionsbereich: D = R \{−3
4
}f (x) =
− 13
− 23x− 1
2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · (− 2
3x− 12 )− (− 1
3 ) · (−23 )
(− 23x− 1
2 )2
=0− 2
9
(− 23x− 1
2 )2
=− 2
9
(− 23x− 1
2 )2
=− 2
9
(− 23x− 1
2 )2
f ′′ (x) =0 · ( 49x
2 + 23x+ 1
4 )− (− 29 ) · (
89x+ 2
3 )
( 49x2 + 2
3x+ 14 )
2
=0− (− 16
81x− 427 )
( 49x2 + 2
3x+ 14 )
2
=1681x+ 4
27
( 49x2 + 2
3x+ 14 )
2
=1681x+ 4
27
( 49x2 + 2
3x+ 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 1
3= 0
keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < − 3
4 < xf(x) − 0 +
x ∈]− 3
4;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x ∈]−∞;−3
4[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
(− 13 )
x(− 23 −
12
x)
= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→− 3
4+
− 13
− 23 (x+ 3
4 )= ∞
limx→− 3
4−
− 13
− 23 (x+ 3
4 )= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −3
4
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =− 2
949x
2 + 23x+ 1
4
= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =− 2
949x
2 + 23x+ 1
4Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = −3
4; 1-fache Nullstelle
x < − 34 < x
f ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−3
4[ ∪ ]− 3
4;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =1681x+ 4
271681x
4 + 1627x
3 + 23x
2 + 13x+ 1
16Zaehler = 0
16
81x+
4
27= 0 /− 4
2716
81x = − 4
27/ :
16
81
x =− 4
271681
x = −3
4
x3 = −3
4; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −3
4; 1-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x < − 34 < x < − 3
4 < xf ′′(x) − 0 − 0 +
x ∈]− 3
4;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−3
4[ ∪ ]− 3
4;−3
4[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =(− 1
3 )
(− 23 ·x−
12 )
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 2
25 −0, 0128 −0, 0041−6 1
2 − 223 −0, 0151 −0, 00526
−6 − 221 −0, 0181 −0, 00691
−5 12 − 2
19 −0, 0222 −0, 00933−5 − 2
17 −0, 0277 −0, 013−4 1
2 − 215 −0, 0356 −0, 019
−4 − 213 −0, 0473 −0, 0291
−3 12 − 2
11 −0, 0661 −0, 0481−3 − 2
9 −0, 0988 −0, 0878−2 1
2 − 27 −0, 163 −0, 187
−2 − 25 −0, 32 −0, 512
−1 12 − 2
3 −0, 889 −2, 37−1 −2 −8, 04 −64, 3− 1
2 2 −8, 04 64, 30 2
3 −0, 889 2, 37
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 2
3 −0, 889 2, 3712
25 −0, 32 0, 512
1 27 −0, 163 0, 187
1 12
29 −0, 0988 0, 0878
2 211 −0, 0661 0, 0481
2 12
213 −0, 0473 0, 0291
3 215 −0, 0356 0, 019
3 12
217 −0, 0277 0, 013
4 219 −0, 0222 0, 00933
4 12
221 −0, 0181 0, 00691
5 223 −0, 0151 0, 00526
5 12
225 −0, 0128 0, 0041
6 227 −0, 011 0, 00325
6 12
229 −0, 00951 0, 00262
7 231 −0, 00832 0, 00215
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (6)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
1
x2
Nenner faktorisieren:x2 = 0x2 = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
1
x2
• Definitionsbereich: D = R \ {0}f (x) =
1
x2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · x2 − 1 · 2x
(x2)2
=0− 2x
(x2)2
=−2x
(x2)2
=−2x
(x2)2
=−2x
x4
=−2
x3
=−2
x3
f ′′ (x) =0 · x3 − (−2) · 3x2
(x3)2
=0− (−6x2)
(x3)2
=6x2
(x3)2
=6x2
(x3)2
=6x2
x6
=6
x4
=6
x4
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < 0 < x
f(x) + 0 +
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
limx→±∞
1
x2(1)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→0+
1
x2= ∞
limx→0−
1
x2= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−2
x3= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−2
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′(x) + 0 −
x ∈]−∞; 0[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]0;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
6
x4
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) + 0 +
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1)(1·x2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1
49 0, 00583 0, 0025−6 1
2 0, 0237 0, 00728 0, 00336−6 1
361
108 0, 00463−5 1
24
121 0, 012 0, 00656−5 1
252
125 0, 0096−4 1
2481 0, 0219 0, 0146
−4 116 0, 0313 0, 0234
−3 12
449 0, 0466 0, 04
−3 19 0, 0741 0, 0741
−2 12
425 0, 128 0, 154
−2 14 0, 25 0, 375
−1 12
49 0, 593 1, 19
−1 1 2 6− 1
2 4 16 96, 20 ∞ 0 −∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 ∞ 0 −∞12 4 −16 96, 21 1 −2 61 12
49 −0, 593 1, 19
2 14 −0, 25 0, 375
2 12
425 −0, 128 0, 154
3 19 −0, 0741 0, 0741
3 12
449 −0, 0466 0, 04
4 116 −0, 0313 0, 0234
4 12
481 −0, 0219 0, 0146
5 125 − 2
125 0, 00965 12
4121 −0, 012 0, 00656
6 136 − 1
108 0, 004636 12 0, 0237 −0, 00728 0, 003367 1
49 −0, 00583 0, 0025
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (7)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−1
x2
Nenner faktorisieren:x2 = 0x2 = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−1
x2
• Definitionsbereich: D = R \ {0}f (x) =
−1
x2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · x2 − (−1) · 2x
(x2)2
=0− (−2x)
(x2)2
=2x
(x2)2
=2x
(x2)2
=2x
x4
=2
x3
=2
x3
f ′′ (x) =0 · x3 − 2 · 3x2
(x3)2
=0− 6x2
(x3)2
=−6x2
(x3)2
=−6x2
(x3)2
=−6x2
x6
=−6
x4
=−6
x4
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 1 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < 0 < x
f(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
limx→±∞
(−1)
x2(1)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→0+
−1
x2= −∞
limx→0−
−1
x2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
2
x3= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
2
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞; 0[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−6
x4
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1)(1·x2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 1
49 −0, 00583 −0, 0025−6 1
2 −0, 0237 −0, 00728 −0, 00336−6 − 1
36 − 1108 −0, 00463
−5 12 − 4
121 −0, 012 −0, 00656−5 − 1
25 − 2125 −0, 0096
−4 12 − 4
81 −0, 0219 −0, 0146−4 − 1
16 −0, 0313 −0, 0234−3 1
2 − 449 −0, 0466 −0, 04
−3 − 19 −0, 0741 −0, 0741
−2 12 − 4
25 −0, 128 −0, 154−2 − 1
4 −0, 25 −0, 375−1 1
2 − 49 −0, 593 −1, 19
−1 −1 −2 −6− 1
2 −4 −16 −96, 20 −∞ 0 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ 0 ∞12 −4 16 −96, 21 −1 2 −61 12 − 4
9 0, 593 −1, 192 − 1
4 0, 25 −0, 3752 12 − 4
25 0, 128 −0, 1543 − 1
9 0, 0741 −0, 07413 12 − 4
49 0, 0466 −0, 044 − 1
16 0, 0313 −0, 02344 12 − 4
81 0, 0219 −0, 01465 − 1
252
125 −0, 00965 12 − 4
121 0, 012 −0, 006566 − 1
361
108 −0, 004636 12 −0, 0237 0, 00728 −0, 003367 − 1
49 0, 00583 −0, 0025
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (8)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
3
x2 + 4Nenner faktorisieren:x2 + 4 = 0
1x2 + 4 = 0 /− 41x2 = −4 / : 1
x2 =−4
1keine Lösung
Faktorisierter Term:f (x) =
3
(x2 + 4)
• Definitionsbereich: D = Rf (x) =
3
x2 + 4
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · (x2 + 4)− 3 · 2x
(x2 + 4)2
=0− 6x
(x2 + 4)2
=−6x
(x2 + 4)2
=−6x
(x2 + 4)2
f ′′ (x) =(−6) · (x4 + 8x2 + 16)− (−6x) · (4x3 + 16x)
(x4 + 8x2 + 16)2
=(−6x4 − 48x2 − 96)− (−24x4 − 96x2)
(x4 + 8x2 + 16)2
=18x4 + 48x2 − 96
(x4 + 8x2 + 16)2
=18x4 + 48x2 − 96
(x4 + 8x2 + 16)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 03 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:kein Vorzeichenwechselx ∈ R f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
3
x2(1 +4
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
f ′(x) =−6x
x4 + 8x2 + 16= 0
x = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 1-fache Nullstelle
f ′′(0) = −3
8
f ′′(0) < 0 ⇒ Hochpunkt:(0/34)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−6x
x4 + 8x2 + 16Zaehler = 0x2 = 0; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
x < 0 < xf ′(x) + 0 −
x ∈]−∞; 0[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]0;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =18x4 + 48x2 − 96
x8 + 16x6 + 96x4 + 256x2 + 256Zaehler = 0
u = x2 u2 = x4
18u2 + 48u− 96 = 0
u1/2 =−48±
√482 − 4 · 18 · (−96)
2 · 18
u1/2 =−48±
√9, 22 · 10336
u1/2 =−48± 96
36
u1 =−48 + 96
36u2 =
−48− 96
36
u1 = 11
3u2 = −4
x2 = 11
3
x = ±√11
3x1 = 1, 15 x2 = −1, 15x2 = −4x = ±
√−4
Diskriminante negativ keine Lösungx3 = −1, 15; 1-fache Nullstellex4 = 1, 15; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx < −1, 15 < x < 1, 15 < x
f ′′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1, 15[ ∪ ]1, 15;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x ∈]− 1, 15; 1, 15[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (3)(1·x2+4)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 3
53 0, 015 0, 00576−6 1
2 0, 0649 0, 0182 0, 00744−6 3
40 0, 0225 0, 00975−5 1
2 0, 0876 0, 0281 0, 013−5 3
29 0, 0357 0, 0175−4 1
21297 0, 0459 0, 0239
−4 320 0, 06 0, 033
−3 12
1265 0, 0795 0, 0458
−3 313 0, 107 0, 0628
−2 12
1241 0, 143 0, 0822
−2 38
316 0, 0937
−1 12
1225 0, 23 0, 0676
−1 35 0, 24 −0, 048
− 12
1217 0, 166 −0, 254
0 34 0 −0, 375
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 3
4 0 −0, 37512
1217 −0, 166 −0, 254
1 35 −0, 24 −0, 048
1 12
1225 −0, 23 0, 0676
2 38 − 3
16 0, 09372 12
1241 −0, 143 0, 0822
3 313 −0, 107 0, 0628
3 12
1265 −0, 0795 0, 0458
4 320 −0, 06 0, 033
4 12
1297 −0, 0459 0, 0239
5 329 −0, 0357 0, 0175
5 12 0, 0876 −0, 0281 0, 0136 3
40 −0, 0225 0, 009756 12 0, 0649 −0, 0182 0, 007447 3
53 −0, 015 0, 00576
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (9)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−4
x2 − 4Nenner faktorisieren:x2 − 4 = 0
1x2 − 4 = 0 / + 41x2 = 4 / : 1
x2 =4
1x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−4
(x+ 2)(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2; 2}f (x) =
−4
x2 − 4
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · (x2 − 4)− (−4) · 2x
(x2 − 4)2
=0− (−8x)
(x2 − 4)2
=8x
(x2 − 4)2
=8x
(x2 − 4)2
f ′′ (x) =8 · (x4 − 8x2 + 16)− 8x · (4x3 − 16x)
(x4 − 8x2 + 16)2
=(8x4 − 64x2 + 128)− (32x4 − 128x2)
(x4 − 8x2 + 16)2
=−24x4 + 64x2 + 128
(x4 − 8x2 + 16)2
=−24x4 + 64x2 + 128
(x4 − 8x2 + 16)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 4 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < 2 < x
f(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 2; 2[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]2;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
limx→±∞
(−4)
x2(1− 4
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−2+
−4
(x+ 2)(x− 2)= ∞
limx→−2−
−4
(x+ 2)(x− 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
limx→2+
−4
(x+ 2)(x− 2)= −∞
limx→2−
−4
(x+ 2)(x− 2)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
8x
x4 − 8x2 + 16= 0
x = 0 ⇒ x = 0x3 = 0; 1-fache Nullstelle
f ′′(0) =1
2> 0 ⇒ Tiefpunkt:(0/1)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
8x
x4 − 8x2 + 16Zaehler = 0x4 = 0; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx5 = −2; 1-fache Nullstellex6 = 2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < x < 0 < x < 2 < xf ′(x) − 0 − 0 + 0 +
x ∈]0; 2[ ∪ ]2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2; 0[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−24x4 + 64x2 + 128
x8 − 16x6 + 96x4 − 256x2 + 256Zaehler = 0
u = x2 u2 = x4
− 24u2 + 64u+ 128 = 0
u1/2 =−64±
√642 − 4 · (−24) · 1282 · (−24)
u1/2 =−64±
√1, 64 · 104
−48
u1/2 =−64± 128
−48
u1 =−64 + 128
−48u2 =
−64− 128
−48
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
u1 = −11
3u2 = 4
x2 = −11
3x = ±
√−1
1
3Diskriminante negativ keine Lösungx2 = 4x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x7 = −2; 1-fache Nullstellex8 = 2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = −2; 1-fache Nullstellex10 = 2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < x < 2 < xf ′′(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 2; 2[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]2;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−4)(1·x2−4)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 4
45 −0, 0277 −0, 0133−6 1
2 −0, 105 −0, 0355 − 2107
−6 − 18 −0, 0469 −0, 0273
−5 12 − 16
105 −0, 0639 −0, 0419−5 − 4
21 −0, 0907 −0, 0682−4 1
2 − 1665 −0, 136 −0, 121
−4 − 13 −0, 222 −0, 241
−3 12 − 16
33 −0, 411 −0, 581−3 − 4
5 −0, 96 −1, 98−2 1
2 −1 79 −3, 96 −16
−2 −∞ 3, 27 · 103 ∞−1 1
2 2 27 −3, 92 16, 1
−1 1 13 −0, 889 2, 07
− 12 1 1
15 −0, 284 0, 7210 1 0 0, 5
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 0 0, 512 1 1
15 0, 284 0, 7211 1 1
3 0, 889 2, 071 12 2 2
7 3, 92 16, 12 −∞ −3, 27 · 103 ∞2 12 −1 7
9 3, 96 −163 − 4
5 0, 96 −1, 983 12 − 16
33 0, 411 −0, 5814 − 1
3 0, 222 −0, 2414 12 − 16
65 0, 136 −0, 1215 − 4
21 0, 0907 −0, 06825 12 − 16
105 0, 0639 −0, 04196 − 1
8 0, 0469 −0, 02736 12 −0, 105 0, 0355 − 2
107
7 − 445 0, 0277 −0, 0133
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (10)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =15
x2 + 2x+ 1Nenner faktorisieren:x2 + 2x+ 1 = 0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
15
(x+ 1)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}
f (x) =15
x2 + 2x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · (x2 + 2x+ 1)− 1
5 · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=0− ( 25x+ 2
5 )
(x2 + 2x+ 1)2
=− 2
5x− 25
(x2 + 2x+ 1)2
=− 2
5x− 25
(x2 + 2x+ 1)2
=− 2
5 (x+ 1)
(x+ 1)4
=− 2
5
(x+ 1)3
=− 2
5
x3 + 3x2 + 3x+ 1
f ′′ (x) =0 · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− (− 2
5 ) · (3x2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=0− (−1 1
5x2 − 2 2
5x− 1 15 )
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=1 15x
2 + 2 25x+ 1 1
5
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=1 15x
2 + 2 25x+ 1 1
5
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01
5= 0
keine Loesung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x
f(x) + 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
15
x2(1 +2
x+
1
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−1+
15
(x+ 1)2= ∞
limx→−1−
15
(x+ 1)2= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =− 2
5
x3 + 3x2 + 3x+ 1= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =− 2
5
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′(x) + 0 −
x ∈]−∞;−1[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 1;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =1 15x
2 + 2 25x+ 1 1
5
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0
11
5x2 + 2
2
5x+ 1
1
5= 0
x1/2 =−2 2
5 ±√(
2 25
)2 − 4 · 1 15 · 1 1
5
2 · 1 15
x1/2 =−2 2
5 ±√0
2 25
x1/2 =−2 2
5 ± 0
2 25
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x1 =−2 2
5 + 0
2 25
x2 =−2 2
5 − 0
2 25
x1 = −1 x2 = −1x3 = −1; 2-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′′(x) + 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =( 15 )
(1·x2+2·x+1)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 0, 00556 0, 00185 0, 000926−6 1
2 0, 00661 0, 0024 0, 00131−6 1
125 0, 0032 0, 00192−5 1
2 0, 00988 0, 00439 0, 00293−5 1
80 0, 00625 0, 00469−4 1
2 0, 0163 0, 00933 0, 008−4 1
45 0, 0148 0, 0148−3 1
24
125 0, 0256 0, 0307−3 1
20 0, 05 0, 075−2 1
2445 0, 119 0, 237
−2 15 0, 4 1, 2
−1 12
45 3, 21 19, 2
−1 ∞ 0 −∞− 1
245 −3, 21 19, 2
0 15 −0, 4 1, 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
5 −0, 4 1, 212
445 −0, 119 0, 237
1 120 −0, 05 0, 075
1 12
4125 −0, 0256 0, 0307
2 145 −0, 0148 0, 0148
2 12 0, 0163 −0, 00933 0, 0083 1
80 −0, 00625 0, 004693 12 0, 00988 −0, 00439 0, 002934 1
125 −0, 0032 0, 001924 12 0, 00661 −0, 0024 0, 001315 0, 00556 −0, 00185 0, 0009265 12 0, 00473 −0, 00146 0, 0006726 0, 00408 −0, 00117 0, 00056 12 0, 00356 −0, 000948 0, 0003797 0, 00313 −0, 000781 0, 000293
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (11)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =−1 1
2
x2 − 6x+ 9Nenner faktorisieren:x2 − 6x+ 9 = 0
1x2 − 6x+ 9 = 0
x1/2 =+6±
√(−6)
2 − 4 · 1 · 92 · 1
x1/2 =+6±
√0
2
x1/2 =6± 0
2
x1 =6 + 0
2x2 =
6− 0
2x1 = 3 x2 = 3x1 = 3; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−1 12
(x− 3)2
• Definitionsbereich: D = R \ {3}
f (x) =−1 1
2
x2 − 6x+ 9
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · (x2 − 6x+ 9)− (−1 1
2 ) · (2x− 6)
(x2 − 6x+ 9)2
=0− (−3x+ 9)
(x2 − 6x+ 9)2
=3x− 9
(x2 − 6x+ 9)2
=3x− 9
(x2 − 6x+ 9)2
=3(x− 3)
(x− 3)4
=3
(x− 3)3
=3
x3 − 9x2 + 27x− 27
f ′′ (x) =0 · (x3 − 9x2 + 27x− 27)− 3 · (3x2 − 18x+ 27)
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
=0− (9x2 − 54x+ 81)
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
=−9x2 + 54x− 81
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
=−9x2 + 54x− 81
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 11
2= 0
keine Loesung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
• Vorzeichentabelle:x < 3 < x
f(x) − 0 −
x ∈]−∞; 3[ ∪ ]3;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
(−1 12 )
x2(1− 6
x+
9
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→3+
−1 12
(x− 3)2= −∞
limx→3−
−1 12
(x− 3)2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 3
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
3
x3 − 9x2 + 27x− 27= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
3
x3 − 9x2 + 27x− 27Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx2 = 3; 2-fache Nullstelle
x < 3 < xf ′(x) − 0 +
x ∈]3;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞; 3[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−9x2 + 54x− 81
x6 − 18x5 + 135x4 − 540x3 + 1, 22 · 103x2 − 1, 46 · 103x+ 729Zaehler = 0
− 9x2 + 54x− 81 = 0
x1/2 =−54±
√542 − 4 · (−9) · (−81)
2 · (−9)
x1/2 =−54±
√0
−18
x1/2 =−54± 0
−18
x1 =−54 + 0
−18x2 =
−54− 0
−18x1 = 3 x2 = 3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x3 = 3; 2-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = 3; 2-fache Nullstelle
x < 3 < xf ′′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 3[ ∪ ]3;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =(−1 1
2 )
(1·x2−6·x+9)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −0, 015 −0, 003 −0, 0009−6 1
2 −0, 0166 −0, 0035 −0, 0011−6 − 1
54 −0, 00412 −0, 00137−5 1
2 −0, 0208 −0, 00489 −0, 00172−5 −0, 0234 −0, 00586 −0, 0022−4 1
2 − 275 −0, 00711 −0, 00284
−4 − 398 −0, 00875 −0, 00375
−3 12 −0, 0355 −0, 0109 −0, 00504
−3 − 124 − 1
72 −0, 00694−2 1
2 − 6121 −0, 018 −0, 00984
−2 − 350 − 3
125 −0, 0144−1 1
2 − 227 −0, 0329 −0, 0219
−1 − 332 −0, 0469 −0, 0352
− 12 − 6
49 −0, 07 −0, 060 − 1
6 −0, 111 −0, 111
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 − 1
6 −0, 111 −0, 11112 − 6
25 −0, 192 −0, 231 − 3
8 −0, 375 −0, 5631 12 − 2
3 −0, 889 −1, 782 −1 1
2 −3 −92 12 −6 −24, 1 −1443 −∞ 0 ∞3 12 −6 24, 1 −1444 −1 1
2 3 −94 12 − 2
3 0, 889 −1, 785 − 3
8 0, 375 −0, 5635 12 − 6
25 0, 192 −0, 236 − 1
6 0, 111 −0, 1116 12 − 6
49 0, 07 −0, 067 − 3
32 0, 0469 −0, 0352
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (12)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
9x
x2 + 3Zaehler faktorisieren:9x = 0x = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 + 3 = 0
1x2 + 3 = 0 /− 31x2 = −3 / : 1
x2 =−3
1keine Lösung
Faktorisierter Term:f (x) =
9x
(x2 + 3)
• Definitionsbereich: D = Rf (x) =
9x
x2 + 3
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =9 · (x2 + 3)− 9x · 2x
(x2 + 3)2
=(9x2 + 27)− 18x2
(x2 + 3)2
=−9x2 + 27
(x2 + 3)2
=−9x2 + 27
(x2 + 3)2
f ′′ (x) =(−18x) · (x4 + 6x2 + 9)− (−9x2 + 27) · (4x3 + 12x)
(x4 + 6x2 + 9)2
=(−18x5 − 108x3 − 162x)− (−36x5 + 324x)
(x4 + 6x2 + 9)2
=18x5 − 108x3 − 486x
(x4 + 6x2 + 9)2
=18x5 − 108x3 − 486x
(x4 + 6x2 + 9)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 09x = 0x2 = 0; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < 0 < x
f(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
limx→±∞
x(9)
x2(1 +3
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =−9x2 + 27
x4 + 6x2 + 9= 0
− 9x2 + 27 = 0 /− 27− 9x2 = −27 / : (−9)
x2 =−27
−9x = ±
√3
x1 = 1, 73 x2 = −1, 73x3 = −1, 73; 1-fache Nullstellex4 = 1, 73; 1-fache Nullstellef ′′(−1, 73) = 0, 866 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−1, 73/− 2, 6)
f ′′(1, 73) = −0, 866f ′′(1, 73) < 0 ⇒ Hochpunkt:(1, 73/2, 6)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =−9x2 + 27
x4 + 6x2 + 9Zaehler = 0x5 = −1, 73; 1-fache Nullstellex6 = 1, 73; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
x < −1, 73 < x < 1, 73 < xf ′(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 1, 73; 1, 73[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−1, 73[ ∪ ]1, 73;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =18x5 − 108x3 − 486x
x8 + 12x6 + 54x4 + 108x2 + 81Zaehler = 0x(18x4 − 108x2 − 486) = 0 ⇒ x = 0 ∨ 18x4 − 108x2 − 486 = 0
u = x2 u2 = x4
18u2 − 108u− 486 = 0
u1/2 =+108±
√(−108)
2 − 4 · 18 · (−486)
2 · 18
u1/2 =+108±
√4, 67 · 104
36
u1/2 =108± 216
36
u1 =108 + 216
36u2 =
108− 216
36u1 = 9 u2 = −3x2 = 9
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x = ±√9
x1 = 3 x2 = −3x2 = −3x = ±
√−3
Diskriminante negativ keine Lösungx7 = 0; 1-fache Nullstellex8 = 3; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx < 0 < x < 3 < x
f ′′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]3;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]0; 3[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (9·x)(1·x2+3)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −1 11
52 −0, 153 −0, 0358−6 1
2 −1, 29 −0, 173 −0, 042−6 −1 5
13 −0, 195 −0, 0492−5 1
2 −1, 49 −0, 222 −0, 0572−5 −1 17
28 −0, 253 −0, 0656−4 1
2 −1 2331 −0, 287 −0, 0725
−4 −1 1719 −0, 324 −0, 0735
−3 12 −2 4
61 −0, 358 −0, 0577−3 −2 1
4 −0, 375 9, 57 · 10−6
−2 12 −2 16
37 −0, 342 0, 156−2 −2 4
7 −0, 184 0, 525−1 1
2 −2 47 0, 245 1, 26
−1 −2 14 1, 13 2, 25
− 12 −1 5
13 2, 34 2, 290 0 3 0
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 0 3 012 1 5
13 2, 34 −2, 291 2 1
4 1, 13 −2, 251 12 2 4
7 0, 245 −1, 262 2 4
7 −0, 184 −0, 5252 12 2 16
37 −0, 342 −0, 1563 2 1
4 −0, 375 −9, 57 · 10−6
3 12 2 4
61 −0, 358 0, 05774 1 17
19 −0, 324 0, 07354 12 1 23
31 −0, 287 0, 07255 1 17
28 −0, 253 0, 06565 12 1, 49 −0, 222 0, 05726 1 5
13 −0, 195 0, 04926 12 1, 29 −0, 173 0, 0427 1 11
52 −0, 153 0, 0358
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (13)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
x
x2
Zaehler faktorisieren:x = 0x = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 = 0x2 = 0 ⇒ x = 0x2 = 0; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
x
x2
• Definitionsbereich: D = R \ {0}• Term gekürzenf (x) =
1
x
f (x) =1
x
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
0 · x− 1 · 1(x)2
=0− 1
(x)2
=−1
(x)2
=−1
(x)2
f ′′ (x) =0 · x2 − (−1) · 2x
(x2)2
=0− (−2x)
(x2)2
=2x
(x2)2
=2x
(x2)2
=2x
x4
=2
x3
=2
x3
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < 0 < x
f(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x ∈]−∞; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(1)
x2(1)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→0+
1
x= ∞
limx→0−
1
x= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−1
x2= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−1
x2
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
2
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞; 0[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x)(1·x2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 1
7 − 149 −0, 00583
−6 12 − 2
13 −0, 0237 −0, 00728−6 − 1
6 − 136 − 1
108
−5 12 − 2
11 − 4121 −0, 012
−5 − 15 − 1
25 − 2125
−4 12 − 2
9 − 481 −0, 0219
−4 − 14 −0, 0625 − 1
32
−3 12 − 2
7 −0, 0816 −0, 0466−3 − 1
3 −0, 111 −0, 0741−2 1
2 − 25 −0, 16 −0, 128
−2 − 12 −0, 25 −0, 25
−1 12 − 2
3 −0, 445 −0, 593−1 −1 −1 −2− 1
2 −2 −4 −160 NaN 3265 15
49 NaN
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 NaN 3265 15
49 NaN12 2 −4 161 1 −1 21 12
23 −0, 445 0, 593
2 12 −0, 25 0, 25
2 12
25 −0, 16 0, 128
3 13 −0, 111 0, 0741
3 12
27 −0, 0816 0, 0466
4 14 −0, 0625 1
32
4 12
29 − 4
81 0, 02195 1
5 − 125
2125
5 12
211 − 4
121 0, 0126 1
6 − 136
1108
6 12
213 −0, 0237 0, 00728
7 17 − 1
49 0, 00583
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (14)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−3x+ 3
2x2 + 4x+ 2Zaehler faktorisieren:− 3x+ 3 = 0
− 3x+ 3 = 0 /− 3− 3x = −3 / : (−3)
x =−3
−3x = 1x1 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:2x2 + 4x+ 2 = 0
2x2 + 4x+ 2 = 0
x1/2 =−4±
√42 − 4 · 2 · 22 · 2
x1/2 =−4±
√0
4
x1/2 =−4± 0
4
x1 =−4 + 0
4x2 =
−4− 0
4x1 = −1 x2 = −1x2 = −1; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−3(x− 1)
2(x+ 1)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}
f (x) =−1 1
2x+ 1 12
x2 + 2x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(−1 1
2 ) · (x2 + 2x+ 1)− (−1 1
2x+ 1 12 ) · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=(−1 1
2x2 − 3x− 1 1
2 )− (−3x2 + 3)
(x2 + 2x+ 1)2
=1 12x
2 − 3x− 4 12
(x2 + 2x+ 1)2
=1 12x
2 − 3x− 4 12
(x2 + 2x+ 1)2
=1 12 (x+ 1)(x− 3)
(x+ 1)4
=1 12 (x− 3)
(x+ 1)3
=1 12x− 4 1
2
x3 + 3x2 + 3x+ 1
f ′′ (x) =1 12 · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− (1 1
2x− 4 12 ) · (3x
2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=(1 1
2x3 + 4 1
2x2 + 4 1
2x+ 1 12 )− (4 1
2x3 − 4 1
2x2 − 22 1
2x− 13 12 )
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
=−3x3 + 9x2 + 27x+ 15
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−3x3 + 9x2 + 27x+ 15
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 11
2x+ 1
1
2= 0
x3 = 1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 1 < x
f(x) + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1; 1[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]1;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(−3 +3
x)
x2(2 +4
x+
2
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−1+
−1 12 (x− 1)
(x+ 1)2= ∞
limx→−1−
−1 12 (x− 1)
(x+ 1)2= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =1 12x− 4 1
2
x3 + 3x2 + 3x+ 1= 0
11
2x− 4
1
2= 0 / + 4
1
2
11
2x = 4
1
2/ : 1
1
2
x =4 12
1 12
x = 3x4 = 3; 1-fache Nullstelle
f ′′(3) = 0, 0234 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(3/− 3
16)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =1 12x− 4 1
2
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0x5 = 3; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = −1; 2-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x < −1 < x < 3 < xf ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]3;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 1; 3[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−3x3 + 9x2 + 27x+ 15
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0
− 3x3 + 9x2 + 27x+ 15 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(−3x3 +9x2 +27x +15 ) : (x+ 1) = −3x2 + 12x+ 15−(−3x3 −3x2)
12x2 +27x +15−(12x2 +12x)
15x +15−(15x +15)
0
− 3x2 + 12x+ 15 = 0
x1/2 =−12±
√122 − 4 · (−3) · 152 · (−3)
x1/2 =−12±
√324
−6
x1/2 =−12± 18
−6
x1 =−12 + 18
−6x2 =
−12− 18
−6x1 = −1 x2 = 5x7 = −1; 2-fache Nullstellex8 = 5; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 5 < xf ′′(x) + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1; 5[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]5;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−3·x+3)(2·x2+4·x+2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1
3572
136
−6 12
45121 0, 0857 0, 0377
−6 2150 0, 108 0, 0528
−5 12
1327 0, 14 0, 0768
−5 916 0, 188 0, 117
−4 12
3349 0, 262 0, 19
−4 56 0, 389 0, 333
−3 12 1 2
25 0, 624 0, 653−3 1 1
2 1, 13 1, 5−2 1
2 2 13 2, 45 4, 45
−2 4 12 7, 5 21
−1 12 15 54, 1 313
−1 ∞ −4897 4749 −∞
− 12 9 −42, 1 2650 1 1
2 −4, 5 15
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 1
2 −4, 5 1512
13 −1, 11 2, 67
1 0 −0, 375 0, 751 12 − 3
25 −0, 144 0, 2692 − 1
6 −0, 0556 0, 1112 12 − 9
49 −0, 0175 0, 053 − 3
16 −1, 79 · 10−6 0, 02343 12 − 5
27 0, 00823 0, 0114 − 9
50 0, 012 0, 00484 12 − 21
121 0, 0135 0, 001645 − 1
6172 7, 88 · 10−8
5 12 −0, 16 0, 0137 −0, 000846 − 15
98 0, 0131 −0, 001256 12 − 11
75 0, 0124 −0, 001427 − 9
64 0, 0117 −0, 00146
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (15)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =12x+ 112x
2 + 14
Zaehler faktorisieren:1
2x+ 1 = 0
1
2x+ 1 = 0 /− 1
1
2x = −1 / :
1
2
x =−112
x = −2x1 = −2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:1
2x2 +
1
4= 0
1
2x2 +
1
4= 0 /− 1
41
2x2 = −1
4/ :
1
2
x2 =− 1
412
keine Lösung
Faktorisierter Term:f (x) =
12 (x+ 2)12 (x
2 + 12 )
• Definitionsbereich: D = Rf (x) =
x+ 2
x2 + 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =1 · (x2 + 1
2 )− (x+ 2) · 2x(x2 + 1
2 )2
=(x2 + 1
2 )− (2x2 + 4x)
(x2 + 12 )
2
=−x2 − 4x+ 1
2
(x2 + 12 )
2
=−x2 − 4x+ 1
2
(x2 + 12 )
2
f ′′ (x) =(−2x− 4) · (x4 + x2 + 1
4 )− (−x2 − 4x+ 12 ) · (4x
3 + 2x)
(x4 + x2 + 14 )
2
=(−2x5 − 4x4 − 2x3 − 4x2 − 1
2x− 1)− (−4x5 − 16x4 − 8x2 + x)
(x4 + x2 + 14 )
2
=2x5 + 12x4 − 2x3 + 4x2 − 1 1
2x− 1
(x4 + x2 + 14 )
2
=2x5 + 12x4 − 2x3 + 4x2 − 1 1
2x− 1
(x4 + x2 + 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x+ 2 = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x2 = −2; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x
f(x) − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x( 12 + x)
x2( 12 +14
x2)
= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =−x2 − 4x+ 1
2
x4 + x2 + 14
= 0
− x2 − 4x+1
2= 0
x1/2 =+4±
√(−4)
2 − 4 · (−1) · 12
2 · (−1)
x1/2 =+4±
√18
−2
x1/2 =4± 4, 24
−2
x1 =4 + 4, 24
−2x2 =
4− 4, 24
−2x1 = −4, 12 x2 = 0, 121x3 = −4, 12; 1-fache Nullstellex4 = 0, 121; 1-fache Nullstellef ′′(−4, 12) = 0, 0139 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−4, 12/− 0, 121)
f ′′(0, 121) = −16f ′′(0, 121) < 0 ⇒ Hochpunkt:(0, 121/4, 12)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =−x2 − 4x+ 1
2
x4 + x2 + 14
Zaehler = 0x5 = −4, 12; 1-fache Nullstellex6 = 0, 121; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
x < −4, 12 < x < 0, 121 < xf ′(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 4, 12; 0, 121[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−4, 12[ ∪ ]0, 121;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
• Kruemmung
f ′′ (x) =2x5 + 12x4 − 2x3 + 4x2 − 1 1
2x− 1
x8 + 2x6 + 1 12x
4 + 12x
2 + 116
Zaehler = 0
NumerischeSuche :x7 = −6, 22; 1-fache Nullstellex8 = −0, 308; 1-fache Nullstellex9 = 0, 523; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx < −6, 22 < x < −0, 308 < x < 0, 523 < x
f ′′(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 6, 22;−0, 308[ ∪ ]0, 523;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−6, 22[ ∪ ]− 0, 308; 0, 523[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =( 12 ·x+1)
( 12 ·x2+ 1
4 )
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 10
99 −0, 00837 −0, 000651−6 1
2 − 219 −0, 00862 −0, 000317
−6 − 873 −0, 00863 0, 000329
−5 12 − 14
123 − 1122 0, 00154
−5 − 217 −0, 00692 0, 0038
−4 12 − 10
83 −0, 00406 0, 00809−4 − 4
33 0, 00184 0, 0165−3 1
2 − 217 0, 0138 0, 0337
−3 − 219 0, 0388 0, 0712
−2 12 − 2
27 0, 0933 0, 16−2 0 0, 222 0, 395−1 1
2211 0, 562 1, 09
−1 23 1, 56 3, 26
− 12 2 4 5, 330 4 2 −16
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 4 2 −1612 3 1
3 −3, 11 −0, 5961 2 −2 2, 671 12 1 3
11 −1, 02 1, 312 8
9 −0, 568 0, 6152 12
23 −0, 346 0, 315
3 1019 −0, 227 0, 176
3 12
2251 −0, 158 0, 106
4 411 −0, 116 0, 0681
4 12
2683 −0, 0877 0, 0459
5 1451 −0, 0684 0, 0321
5 12
1041 −0, 0547 0, 0233
6 1673 −0, 0447 0, 0174
6 12 0, 199 −0, 0371 0, 01327 2
11 −0, 0312 0, 0103
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (16)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−x+ 3
x2 − 9Zaehler faktorisieren:− x+ 3 = 0
− 1x+ 3 = 0 /− 3− 1x = −3 / : (−1)
x =−3
−1x = 3x1 = 3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − 9 = 0
1x2 − 9 = 0 / + 91x2 = 9 / : 1
x2 =9
1x = ±
√9
x1 = 3 x2 = −3x2 = −3; 1-fache Nullstellex3 = 3; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−(x− 3)
(x+ 3)(x− 3)
• Definitionsbereich: D = R \ {−3; 3}• Term gekürzenf (x) =
−1
(x+ 3)
f (x) =−1
x+ 3
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
0 · (x+ 3)− (−1) · 1(x+ 3)2
=0− (−1)
(x+ 3)2
=1
(x+ 3)2
=1
(x+ 3)2
f ′′ (x) =0 · (x2 + 6x+ 9)− 1 · (2x+ 6)
(x2 + 6x+ 9)2
=0− (2x+ 6)
(x2 + 6x+ 9)2
=−2x− 6
(x2 + 6x+ 9)2
=−2x− 6
(x2 + 6x+ 9)2
=−2(x+ 3)
(x+ 3)4
=−2
(x+ 3)3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
=−2
x3 + 9x2 + 27x+ 27
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 1 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < −3 < x
f(x) + 0 −
x ∈]−∞;−3[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 3;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(−1 +3
x)
x2(1− 9
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−3+
−1
(x+ 3)= −∞
limx→−3−
−1
(x+ 3)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −3
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
1
x2 + 6x+ 9= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
1
x2 + 6x+ 9Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −3; 1-fache Nullstelle
x < −3 < xf ′(x) + 0 +
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]− 3;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−2
x3 + 9x2 + 27x+ 27Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx5 = −3; 1-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x < −3 < xf ′′(x) + 0 −
x ∈]−∞;−3[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 3;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1·x+3)(1·x2−9)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1
4 0, 0625 132
−6 12
27 0, 0816 0, 0466
−6 13 0, 111 0, 0741
−5 12
25 0, 16 0, 128
−5 12 0, 25 0, 25
−4 12
23 0, 445 0, 593
−4 1 1 2−3 1
2 2 4 16−3 ∞ −3265 15
49 −∞−2 1
2 −2 4 −16−2 −1 1 −2−1 1
2 − 23 0, 445 −0, 593
−1 − 12 0, 25 −0, 25
− 12 − 2
5 0, 16 −0, 1280 − 1
3 0, 111 −0, 0741
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 − 1
3 0, 111 −0, 074112 − 2
7 0, 0816 −0, 04661 − 1
4 0, 0625 − 132
1 12 − 2
9481 −0, 0219
2 − 15
125 − 2
125
2 12 − 2
114
121 −0, 0123 NaN 1
36 NaN3 12 − 2
13 0, 0237 −0, 007284 − 1
7149 −0, 00583
4 12 − 2
15 0, 0178 −0, 004745 − 1
8164 −0, 00391
5 12 − 2
17 0, 0138 −0, 003266 − 1
9181 −0, 00274
6 12 − 2
19 0, 0111 −0, 002337 − 1
101
100 −0, 002
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (17)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
2x+ 1
x2
Zaehler faktorisieren:2x+ 1 = 0
2x+ 1 = 0 /− 12x = −1 / : 2
x =−1
2
x = −1
2
x1 = −1
2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 = 0x2 = 0 ⇒ x = 0x2 = 0; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
2(x+ 12 )
x2
• Definitionsbereich: D = R \ {0}f (x) =
2x+ 1
x2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =2 · x2 − (2x+ 1) · 2x
(x2)2
=2x2 − (4x2 + 2x)
(x2)2
=−2x2 − 2x
(x2)2
=−2x2 − 2x
(x2)2
=−2(x+ 1)x
x4
=−2(x+ 1)
x3
=−2x− 2
x3
f ′′ (x) =(−2) · x3 − (−2x− 2) · 3x2
(x3)2
=(−2x3)− (−6x3 − 6x2)
(x3)2
=4x3 + 6x2
(x3)2
=4x3 + 6x2
(x3)2
=4(x+ 1 1
2 )x2
x6
=4(x+ 1 1
2 )
x4
=4x+ 6
x4
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 02x+ 1 = 0
x3 = −1
2; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < − 1
2 < x < 0 < xf(x) − 0 + 0 +
x ∈]− 1
2; 0[ ∪ ]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1
2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(2 + x)
x2(1)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→0+
2(x+ 12 )
x2= ∞
limx→0−
2(x+ 12 )
x2= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−2x− 2
x3= 0
− 2x− 2 = 0 / + 2− 2x = 2 / : (−2)
x =2
−2x = −1x4 = −1; 1-fache Nullstellef ′′(−1) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−1/− 1)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−2x− 2
x3
Zaehler = 0x5 = −1; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = 0; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 0 < xf ′(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 1; 0[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
4x+ 6
x4
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Zaehler = 0
4x+ 6 = 0 /− 64x = −6 / : 4
x =−6
4
x = −11
2
x7 = −11
2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx8 = 0; 2-fache Nullstelle
x < −1 12 < x < 0 < x
f ′′(x) − 0 + 0 +
x ∈]− 11
2; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−11
2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (2·x+1)(1·x2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 13
49 −0, 035 −0, 00916−6 1
2 −0, 284 −0, 0401 −0, 0112−6 − 11
36 − 5108 − 1
72
−5 12 − 40
121 −0, 0541 −0, 0175−5 − 9
25 − 8125 −0, 0224
−4 12 − 32
81 −0, 0768 −0, 0293−4 − 7
16 −0, 0938 −0, 0391−3 1
2 − 2449 −0, 117 −0, 0533
−3 − 59 −0, 148 − 2
27
−2 12 − 16
25 −0, 192 −0, 102−2 − 3
4 − 14 −0, 125
−1 12 − 8
9 −0, 296 0, 000108−1 −1 0, 000613 2− 1
2 0 8, 03 64, 20 ∞ 6530 30
49 −∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 ∞ 6530 30
49 −∞12 8 −24 1281 3 −4 101 12 1 7
9 −1, 48 2, 372 1 1
4 −0, 75 0, 8752 12
2425 −0, 448 0, 41
3 79 −0, 296 0, 222
3 12
3249 −0, 21 0, 133
4 916 −0, 156 0, 0859
4 12
4081 −0, 121 0, 0585
5 1125 −0, 096 0, 0416
5 12
48121 −0, 0781 0, 0306
6 1336 − 7
108 0, 02316 12 0, 331 −0, 0546 0, 01797 15
49 −0, 0466 0, 0142
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (18)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
3x− 1
x2
Zaehler faktorisieren:3x− 1 = 0
3x− 1 = 0 / + 13x = 1 / : 3
x =1
3
x =1
3
x1 =1
3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 = 0x2 = 0 ⇒ x = 0x2 = 0; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
3(x− 13 )
x2
• Definitionsbereich: D = R \ {0}f (x) =
3x− 1
x2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =3 · x2 − (3x− 1) · 2x
(x2)2
=3x2 − (6x2 − 2x)
(x2)2
=−3x2 + 2x
(x2)2
=−3x2 + 2x
(x2)2
=−3x(x− 2
3 )
x4
=−3(x− 2
3 )
x3
=−3x+ 2
x3
f ′′ (x) =(−3) · x3 − (−3x+ 2) · 3x2
(x3)2
=(−3x3)− (−9x3 + 6x2)
(x3)2
=6x3 − 6x2
(x3)2
=6x3 − 6x2
(x3)2
=6x2(x− 1)
x6
=6(x− 1)
x4
=6x− 6
x4
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 03x− 1 = 0
x3 =1
3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < 0 < x < 1
3 < xf(x) − 0 − 0 +
x ∈] 13;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;1
3[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(3− 1
x)
x2(1)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→0+
3(x− 13 )
x2= −∞
limx→0−
3(x− 13 )
x2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−3x+ 2
x3= 0
− 3x+ 2 = 0 /− 2− 3x = −2 / : (−3)
x =−2
−3
x =2
3
x4 =2
3; 1-fache Nullstelle
f ′′(2
3) = −10
1
8
f ′′(2
3) < 0 ⇒ Hochpunkt:(2
3/2
1
4)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−3x+ 2
x3
Zaehler = 0
x5 =2
3; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < x < 23 < x
f ′(x) − 0 + 0 −
x ∈]0; 23[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]2
3;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
6x− 6
x4
Zaehler = 0
6x− 6 = 0 / + 66x = 6 / : 6
x =6
6x = 1x7 = 1; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx8 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < x < 1 < xf ′′(x) − 0 − 0 +
x ∈]1;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0; 1[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (3·x−1)(1·x2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 22
49 −0, 0671 −0, 02−6 1
2 −0, 485 −0, 0783 − 3119
−6 − 1936 − 5
54 −0, 0324−5 1
2 − 70121 −0, 111 −0, 0426
−5 − 1625 −0, 136 −0, 0576
−4 12 − 58
81 −0, 17 −0, 0805−4 − 13
16 −0, 219 −0, 117−3 1
2 − 4649 −0, 292 −0, 18
−3 −1 19 −0, 407 −0, 296
−2 12 −1 9
25 −0, 608 −0, 538−2 −1 3
4 −1 −1, 13−1 1
2 −2 49 −1, 93 −2, 96
−1 −4 −5 −12− 1
2 −10 −28, 1 −1440 −∞ 9795 45
49 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ 9795 45
49 ∞12 2 4, 02 −48, 11 2 −1 −0, 001231 12 1 5
9 −0, 741 0, 5932 1 1
4 −0, 5 0, 3752 12 1 1
25 −0, 352 0, 233 8
9 −0, 259 0, 1483 12
3849 −0, 198 0, 1
4 1116 −0, 156 0, 0703
4 12
5081 −0, 126 0, 0512
5 1425 −0, 104 0, 0384
5 12
62121 −0, 0872 0, 0295
6 1736 − 2
27 0, 02316 12 0, 438 −0, 0637 0, 01857 20
49 −0, 0554 0, 015
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (19)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =−4x+ 1
2
x2 + 4Zaehler faktorisieren:− 4x+
1
2= 0
− 4x+1
2= 0 /− 1
2
− 4x = −1
2/ : (−4)
x =− 1
2
−4
x =1
8
x1 =1
8; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 + 4 = 0
1x2 + 4 = 0 /− 41x2 = −4 / : 1
x2 =−4
1keine Lösung
Faktorisierter Term:f (x) =
−4(x− 18 )
(x2 + 4)
• Definitionsbereich: D = R
f (x) =−4x+ 1
2
x2 + 4
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(−4) · (x2 + 4)− (−4x+ 1
2 ) · 2x(x2 + 4)2
=(−4x2 − 16)− (−8x2 + x)
(x2 + 4)2
=4x2 − x− 16
(x2 + 4)2
=4x2 − x− 16
(x2 + 4)2
f ′′ (x) =(8x− 1) · (x4 + 8x2 + 16)− (4x2 − x− 16) · (4x3 + 16x)
(x4 + 8x2 + 16)2
=(8x5 − x4 + 64x3 − 8x2 + 128x− 16)− (16x5 − 4x4 − 16x2 − 256x)
(x4 + 8x2 + 16)2
=−8x5 + 3x4 + 64x3 + 8x2 + 384x− 16
(x4 + 8x2 + 16)2
=−8x5 + 3x4 + 64x3 + 8x2 + 384x− 16
(x4 + 8x2 + 16)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 4x+1
2= 0
x2 =1
8; 1-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
• Vorzeichentabelle:x < 1
8 < xf(x) + 0 −
x ∈]−∞;1
8[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈] 18;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(−4 +12
x)
x2(1 +4
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =4x2 − x− 16
x4 + 8x2 + 16= 0
4x2 − x− 16 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 4 · (−16)
2 · 4x1/2 =
+1±√257
8
x1/2 =1± 16
8
x1 =1 + 16
8x2 =
1− 16
8x1 = 2, 13 x2 = −1, 88x3 = −1, 88; 1-fache Nullstellex4 = 2, 13; 1-fache Nullstellef ′′(−1, 88) = −0, 283f ′′(−1, 88) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−1, 88/1, 06)
f ′′(2, 13) = 0, 22 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(2, 13/− 0, 939)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =4x2 − x− 16
x4 + 8x2 + 16Zaehler = 0x5 = −1, 88; 1-fache Nullstellex6 = 2, 13; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
x < −1, 88 < x < 2, 13 < xf ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1, 88[ ∪ ]2, 13;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 1, 88; 2, 13[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−8x5 + 3x4 + 64x3 + 8x2 + 384x− 16
x8 + 16x6 + 96x4 + 256x2 + 256
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Zaehler = 0
NumerischeSuche :x7 = −3, 3; 1-fache Nullstellex8 = 0, 0416; 1-fache Nullstellex9 = 3, 64; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx < −3, 3 < x < 0, 0416 < x < 3, 64 < x
f ′′(x) + 0 − 0 + 0 −
x ∈]−∞;−3, 3[ ∪ ]0, 0416; 3, 64[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 3, 3; 0, 0416[ ∪ ]3, 64;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =(−4·x+ 1
2 )
(1·x2+4)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 57
106 0, 0666 0, 0149−6 1
2 0, 573 0, 0746 0, 0171−6 49
80 0, 0838 0, 0196−5 1
2 0, 657 0, 0942 0, 0221−5 41
58 0, 106 0, 0242−4 1
27497 0, 118 0, 0248
−4 3340
13100 0, 0215
−3 12
5865 0, 138 0, 00926
−3 2526 0, 136 −0, 0223
−2 12 1 1
41 0, 109 −0, 0931−2 1 1
16 0, 0312 −0, 234−1 1
2 1 125 −0, 141 −0, 468
−1 910 −0, 44 −0, 712
− 12
1017 −0, 803 −0, 655
0 18 −1 −0, 0625
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
8 −1 −0, 062512 − 6
17 −0, 858 0, 571 − 7
10 −0, 52 0, 6961 12 − 22
25 −0, 218 0, 492 − 15
16 −0, 0313 0, 2662 12 − 38
41 0, 0619 0, 123 − 23
26 0, 101 0, 04323 12 − 54
65 0, 112 0, 0064 − 31
40 0, 11 −0, 01054 12 − 70
97 0, 103 −0, 01685 − 39
58 0, 0939 −0, 01845 12 −0, 628 0, 0848 −0, 01786 − 47
80 0, 0763 −0, 01646 12 −0, 551 0, 0685 −0, 01477 − 55
106 0, 0616 −0, 013
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (20)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =2x− 1
4
x2 − 4Zaehler faktorisieren:2x− 1
4= 0
2x− 1
4= 0 / +
1
4
2x =1
4/ : 2
x =14
2
x =1
8
x1 =1
8; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − 4 = 0
1x2 − 4 = 0 / + 41x2 = 4 / : 1
x2 =4
1x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x2 = −2; 1-fache Nullstellex3 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
2(x− 18 )
(x+ 2)(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2; 2}
f (x) =2x− 1
4
x2 − 4
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =2 · (x2 − 4)− (2x− 1
4 ) · 2x(x2 − 4)2
=(2x2 − 8)− (4x2 − 1
2x)
(x2 − 4)2
=−2x2 + 1
2x− 8
(x2 − 4)2
=−2x2 + 1
2x− 8
(x2 − 4)2
f ′′ (x) =(−4x+ 1
2 ) · (x4 − 8x2 + 16)− (−2x2 + 1
2x− 8) · (4x3 − 16x)
(x4 − 8x2 + 16)2
=(−4x5 + 1
2x4 + 32x3 − 4x2 − 64x+ 8)− (−8x5 + 2x4 − 8x2 + 128x)
(x4 − 8x2 + 16)2
=4x5 − 1 1
2x4 + 32x3 + 4x2 − 192x+ 8
(x4 − 8x2 + 16)2
=4x5 − 1 1
2x4 + 32x3 + 4x2 − 192x+ 8
(x4 − 8x2 + 16)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2x− 1
4= 0
x4 =1
8; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < 1
8 < x < 2 < xf(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 2;1
8[ ∪ ]2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]1
8; 2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(2−14
x)
x2(1− 4
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−2+
2(x− 18 )
(x+ 2)(x− 2)= ∞
limx→−2−
2(x− 18 )
(x+ 2)(x− 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
limx→2+
2(x− 18 )
(x+ 2)(x− 2)= ∞
limx→2−
2(x− 18 )
(x+ 2)(x− 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =−2x2 + 1
2x− 8
x4 − 8x2 + 16= 0
− 2x2 +1
2x− 8 = 0
x1/2 =− 1
2 ±√(
12
)2 − 4 · (−2) · (−8)
2 · (−2)
x1/2 =− 1
2 ±√−63 3
4
−4Diskriminante negativ keine Lösung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =−2x2 + 1
2x− 8
x4 − 8x2 + 16Zaehler = 0
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx5 = −2; 1-fache Nullstellex6 = 2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < x < 2 < xf ′(x) − 0 − 0 −
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2; 2[ ∪ ]2;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =4x5 − 1 1
2x4 + 32x3 + 4x2 − 192x+ 8
x8 − 16x6 + 96x4 − 256x2 + 256Zaehler = 0
NumerischeSuche :x7 = −2; 1-fache Nullstellex8 = 0, 0417; 1-fache Nullstellex9 = 2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx10 = −2; 1-fache Nullstellex11 = 2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < x < 0, 0417 < x < 2 < xf ′′(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 2; 0, 0417[ ∪ ]2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]0, 0417; 2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =(2·x− 1
4 )
(1·x2−4)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 19
60 −0, 0541 −0, 0196−6 1
2 −0, 346 −0, 0654 −0, 0264−6 −0, 383 −0, 0811 −0, 0369−5 1
2 − 37 −0, 103 −0, 054
−5 − 4184 −0, 137 −0, 0842
−4 12 − 37
65 −0, 192 −0, 143−4 − 11
16 −0, 292 −0, 274−3 1
2 − 2933 −0, 503 −0, 641
−3 −1 14 −1, 1 −2, 14
−2 12 −2 1
3 −4, 3 −17−2 −∞ 3, 47 · 103 ∞−1 1
2 1 67 −4, 33 17
−1 34 −1, 17 2, 06
− 12
13 −0, 622 0, 51
0 116 −0, 5 0, 0313
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
16 −0, 5 0, 031312 − 1
5 −0, 587 −0, 421 − 7
12 −1, 06 −1, 81 12 −1 4
7 −3, 84 −152 ∞ 3, 06 · 103 −∞2 12 2 1
9 −3, 81 153 1 3
20 −0, 98 1, 893 12
911 −0, 452 0, 568
4 3148 −0, 264 0, 244
4 12
713 −0, 175 0, 128
5 1328 −0, 126 0, 0756
5 12
43105 −0, 0954 0, 0488
6 0, 367 −0, 0752 0, 03346 12
13 −0, 061 0, 024
7 1136 −0, 0506 0, 0179
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (21)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =15x
x2 + 2x+ 1Zaehler faktorisieren:1
5x = 0
x = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 + 2x+ 1 = 0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x2 = −1; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
15x
(x+ 1)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}
f (x) =15x
x2 + 2x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =15 · (x2 + 2x+ 1)− 1
5x · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=( 15x
2 + 25x+ 1
5 )− ( 25x2 + 2
5x)
(x2 + 2x+ 1)2
=− 1
5x2 + 1
5
(x2 + 2x+ 1)2
=− 1
5x2 + 1
5
(x2 + 2x+ 1)2
=− 1
5 (x+ 1)(x− 1)
(x+ 1)4
=− 1
5 (x− 1)
(x+ 1)3
=− 1
5x+ 15
x3 + 3x2 + 3x+ 1
f ′′ (x) =(− 1
5 ) · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− (− 1
5x+ 15 ) · (3x
2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=(− 1
5x3 − 3
5x2 − 3
5x− 15 )− (− 3
5x3 − 3
5x2 + 3
5x+ 35 )
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=25x
3 − 1 15x− 4
5
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=25x
3 − 1 15x− 4
5
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01
5x = 0
x3 = 0; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 0 < x
f(x) − 0 − 0 +
x ∈]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x( 15 )
x2(1 +2
x+
1
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−1+
15x
(x+ 1)2= −∞
limx→−1−
15x
(x+ 1)2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =− 1
5x+ 15
x3 + 3x2 + 3x+ 1= 0
− 1
5x+
1
5= 0 /− 1
5
− 1
5x = −1
5/ :
(−1
5
)x =
− 15
− 15
x = 1x4 = 1; 1-fache Nullstelle
f ′′(1) = − 1
40
f ′′(1) < 0 ⇒ Hochpunkt:(1/ 1
20)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =− 1
5x+ 15
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0x5 = 1; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 1 < xf ′(x) − 0 + 0 −
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x ∈]− 1; 1[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]1;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =25x
3 − 1 15x− 4
5
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0
2
5x3 − 1
1
5x− 4
5= 0
NumerischeSuche :x7 = −1; 2-fache Nullstellex8 = 2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < −1 < x < 2 < xf ′′(x) − 0 − 0 − 0 +
x ∈]2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;−1[ ∪ ]− 1; 2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =( 15 ·x)
(1·x2+2·x+1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −0, 0389 −0, 00741 −0, 00278−6 1
2 −0, 043 −0, 00902 −0, 00372−6 − 6
125 −0, 0112 −0, 00512−5 1
2 −0, 0543 −0, 0143 −0, 00732−5 − 1
16 −0, 0188 −0, 0109−4 1
2 −0, 0735 −0, 0257 −0, 0173−4 − 4
45 −0, 037 −0, 0296−3 1
2 − 14125 −0, 0576 −0, 0563
−3 − 320 −0, 1 −0, 125
−2 12 − 2
9 −0, 207 −0, 356−2 − 2
5 −0, 6 −1, 6−1 1
2 −1 15 −4, 01 −22, 4
−1 −∞ 653 349 ∞
− 12 − 2
5 2, 41 −160 0 0, 2 −0, 8
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 0 0, 2 −0, 812
245 0, 0296 −0, 119
1 120 3, 83 · 10−6 −0, 025
1 12
6125 −0, 0064 −0, 00512
2 245 −0, 00741 −3, 36 · 10−7
2 12
249 −0, 007 0, 00133
3 380 −0, 00625 0, 00156
3 12 0, 0346 −0, 00549 0, 001464 4
125 −0, 0048 0, 001284 12 0, 0298 −0, 00421 0, 001095 1
36 −0, 0037 0, 0009265 12 0, 026 −0, 00328 0, 0007846 0, 0245 −0, 00292 0, 0006666 12 0, 0231 −0, 00261 0, 0005697 0, 0219 −0, 00234 0, 000488
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (22)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =−1 1
2x+ 2
x2 − 6x+ 9Zaehler faktorisieren:− 1
1
2x+ 2 = 0
− 11
2x+ 2 = 0 /− 2
− 11
2x = −2 / :
(−1
1
2
)x =
−2
−1 12
x = 11
3
x1 = 11
3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − 6x+ 9 = 0
1x2 − 6x+ 9 = 0
x1/2 =+6±
√(−6)
2 − 4 · 1 · 92 · 1
x1/2 =+6±
√0
2
x1/2 =6± 0
2
x1 =6 + 0
2x2 =
6− 0
2x1 = 3 x2 = 3x2 = 3; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−1 12 (x− 1 1
3 )
(x− 3)2
• Definitionsbereich: D = R \ {3}
f (x) =−1 1
2x+ 2
x2 − 6x+ 9
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(−1 1
2 ) · (x2 − 6x+ 9)− (−1 1
2x+ 2) · (2x− 6)
(x2 − 6x+ 9)2
=(−1 1
2x2 + 9x− 13 1
2 )− (−3x2 + 13x− 12)
(x2 − 6x+ 9)2
=1 12x
2 − 4x− 1 12
(x2 − 6x+ 9)2
=1 12x
2 − 4x− 1 12
(x2 − 6x+ 9)2
=1 12 (x+ 1
3 )(x− 3)
(x− 3)4
=1 12 (x+ 1
3 )
(x− 3)3
=1 12x+ 1
2
x3 − 9x2 + 27x− 27
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =1 12 · (x3 − 9x2 + 27x− 27)− (1 1
2x+ 12 ) · (3x
2 − 18x+ 27)
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
=(1 1
2x3 − 13 1
2x2 + 40 1
2x− 40 12 )− (4 1
2x3 − 25 1
2x2 + 31 1
2x+ 13 12 )
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
=−3x3 + 12x2 + 9x− 54
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
=−3x3 + 12x2 + 9x− 54
(x3 − 9x2 + 27x− 27)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 11
2x+ 2 = 0
x3 = 11
3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < 1 1
3 < x < 3 < xf(x) + 0 − 0 −
x ∈]−∞; 11
3[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]113; 3[ ∪ ]3;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(−1 12 +
2
x)
x2(1− 6
x+
9
x2)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→3+
−1 12 (x− 1 1
3 )
(x− 3)2= −∞
limx→3−
−1 12 (x− 1 1
3 )
(x− 3)2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 3
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =1 12x+ 1
2
x3 − 9x2 + 27x− 27= 0
11
2x+
1
2= 0 /− 1
2
11
2x = −1
2/ : 1
1
2
x =− 1
2
1 12
x = −1
3
x4 = −1
3; 1-fache Nullstelle
f ′′(−1
3) = −0, 0405
f ′′(−1
3) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−1
3/9
40)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
f ′ (x) =1 12x+ 1
2
x3 − 9x2 + 27x− 27Zaehler = 0
x5 = −1
3; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = 3; 2-fache Nullstelle
x < − 13 < x < 3 < x
f ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1
3[ ∪ ]3;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 1
3; 3[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−3x3 + 12x2 + 9x− 54
x6 − 18x5 + 135x4 − 540x3 + 1, 22 · 103x2 − 1, 46 · 103x+ 729Zaehler = 0
− 3x3 + 12x2 + 9x− 54 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 2(−3x3 +12x2 +9x −54 ) : (x+ 2) = −3x2 + 18x− 27−(−3x3 −6x2)
18x2 +9x −54−(18x2 +36x)
−27x −54−(−27x −54)
0
− 3x2 + 18x− 27 = 0
x1/2 =−18±
√182 − 4 · (−3) · (−27)
2 · (−3)
x1/2 =−18±
√0
−6
x1/2 =−18± 0
−6
x1 =−18 + 0
−6x2 =
−18− 0
−6x1 = 3 x2 = 3x7 = −2; 1-fache Nullstellex8 = 3; 2-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = 3; 2-fache Nullstelle
x < −2 < x < 3 < xf ′′(x) + 0 − 0 −
x ∈]−∞;−2[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 2; 3[ ∪ ]3;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =(−1 1
2 ·x+2)
(1·x2−6·x+9)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1
81
100 0, 0015−6 1
2 0, 13 0, 0108 0, 00166−6 11
81 0, 0117 0, 00183−5 1
2 0, 142 0, 0126 0, 00201−5 0, 148 0, 0137 0, 0022−4 1
2745 0, 0148 0, 00237
−4 849 0, 016 0, 0025
−3 12 0, 172 0, 0173 0, 00252
−3 1372
154 0, 00231
−2 12
23121 0, 0195 0, 00164
−2 15
150 −1, 96 · 10−7
−1 12
1781 0, 0192 −0, 00366
−1 732 0, 0156 −0, 0117
− 12
1149 0, 00583 −0, 03
0 29 −0, 0185 −0, 0741
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 2
9 −0, 0185 −0, 074112
15 −0, 08 −0, 192
1 18 −0, 25 −0, 563
1 12 − 1
9 −0, 815 −2, 072 −1 −3, 5 −122 12 −7 −34, 1 −2163 −∞ −4897 47
49 ∞3 12 −13 46, 1 −2654 −4 6, 5 −184 12 −2 1
9 2, 15 −3, 855 −1 3
8 1 −1, 315 12 −1 0, 56 −0, 5766 − 7
9 0, 352 −0, 2966 12 − 31
49 0, 239 −0, 177 − 17
32 0, 172 −0, 105
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (23)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
1
x3 + 3x2 + 3x+ 1Nenner faktorisieren:x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0
x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(x3 +3x2 +3x +1 ) : (x+ 1) = x2 + 2x+ 1−(x3 +x2)
2x2 +3x +1−(2x2 +2x)
x +1−(x +1)
0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 3-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
1
(x+ 1)3
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}f (x) =
1
x3 + 3x2 + 3x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =0 · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− 1 · (3x2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=0− (3x2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−3x2 − 6x− 3
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−3x2 − 6x− 3
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
f ′′ (x) =(−6x− 6) · (x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1)− (−3x2 − 6x− 3) · (6x5 + 30x4 + 60x3 + 60x2 + 30x+ 6)
(x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1)2
=(−6x7 − 42x6 − 126x5 − 210x4 − 210x3 − 126x2 − 42x− 6)− (−18x7 − 126x6 − 378x5 − 630x4 − 630x3 − 378x2 − 126x− 18)
(x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1)2
=12x7 + 84x6 + 252x5 + 420x4 + 420x3 + 252x2 + 84x+ 12
(x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1)2
=12x7 + 84x6 + 252x5 + 420x4 + 420x3 + 252x2 + 84x+ 12
(x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
1 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x
f(x) − 0 +
x ∈]− 1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
1
x3(1 +3
x+
3
x2+
1
x3)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−1+
1
(x+ 1)3= ∞
limx→−1−
1
(x+ 1)3= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =−3x2 − 6x− 3
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1= 0
− 3x2 − 6x− 3 = 0
x1/2 =+6±
√(−6)
2 − 4 · (−3) · (−3)
2 · (−3)
x1/2 =+6±
√0
−6
x1/2 =6± 0
−6
x1 =6 + 0
−6x2 =
6− 0
−6x1 = −1 x2 = −1x2 = −1; 2-fache Nullstelle
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =−3x2 − 6x− 3
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0x3 = −1; 2-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −1; 3-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =12x7 + 84x6 + 252x5 + 420x4 + 420x3 + 252x2 + 84x+ 12
x12 + 12x11 + 66x10 + 220x9 + 495x8 + 792x7 + 924x6 + 792x5 + 495x4 + 220x3 + 66x2 + 12x+ 1Zaehler = 0
NumerischeSuche :keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx5 = −1; 3-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]− 1;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−1[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1)(1·x3+3·x2+3·x+1)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −0, 00463 −0, 00231 −0, 00154−6 1
2 −0, 00601 −0, 00328 −0, 00238−6 − 1
125 −0, 0048 −0, 00384−5 1
2 −0, 011 −0, 00732 −0, 0065−5 − 1
64 −0, 0117 −0, 0117−4 1
2 −0, 0233 −0, 02 −0, 0228−4 − 1
27 −0, 037 −0, 0494−3 1
2 − 8125 −0, 0768 −0, 123
−3 − 18 −0, 188 −0, 375
−2 12 − 8
27 −0, 593 −1, 58−2 −1 −3 −12−1 1
2 −8 −48, 2 −385−1 ∞ 1, 07 · 107 −∞− 1
2 8 −48, 2 3850 1 −3 12
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 −3 1212
827 −0, 593 1, 58
1 18 −0, 188 0, 375
1 12
8125 −0, 0768 0, 123
2 127 −0, 037 0, 0494
2 12 0, 0233 −0, 02 0, 02283 1
64 −0, 0117 0, 01173 12 0, 011 −0, 00732 0, 00654 1
125 −0, 0048 0, 003844 12 0, 00601 −0, 00328 0, 002385 0, 00463 −0, 00231 0, 001545 12 0, 00364 −0, 00168 0, 001036 0, 00292 −0, 00125 0, 0007146 12 0, 00237 −0, 000948 0, 0005067 0, 00195 −0, 000732 0, 000366
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (24)•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 + 2x+ 1
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler faktorisieren:x2 + 2x+ 1 = 0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 2-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0
x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(x3 +3x2 +3x +1 ) : (x+ 1) = x2 + 2x+ 1−(x3 +x2)
2x2 +3x +1−(2x2 +2x)
x +1−(x +1)
0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x2 = −1; 3-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 1)2
(x+ 1)3
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}• Term gekürzenf (x) =
1
(x+ 1)
f (x) =1
x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
0 · (x+ 1)− 1 · 1(x+ 1)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
=0− 1
(x+ 1)2
=−1
(x+ 1)2
=−1
(x+ 1)2
f ′′ (x) =0 · (x2 + 2x+ 1)− (−1) · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=0− (−2x− 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=2x+ 2
(x2 + 2x+ 1)2
=2x+ 2
(x2 + 2x+ 1)2
=2(x+ 1)
(x+ 1)4
=2
(x+ 1)3
=2
x3 + 3x2 + 3x+ 1
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01 = 0keine Loesung
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x
f(x) − 0 +
x ∈]− 1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(1 +2
x+
1
x2)
x3(1 +3
x+
3
x2+
1
x3)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−1+
1
(x+ 1)= ∞
limx→−1−
1
(x+ 1)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−1
x2 + 2x+ 1= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−1
x2 + 2x+ 1Zaehler = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx3 = −1; 1-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
2
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −1; 1-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]− 1;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−1[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2+2·x+1)(1·x3+3·x2+3·x+1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 1
6 − 136 − 1
108
−6 12 − 2
11 − 4121 −0, 012
−6 − 15 − 1
25 − 2125
−5 12 − 2
9 − 481 −0, 0219
−5 − 14 −0, 0625 − 1
32
−4 12 − 2
7 −0, 0816 −0, 0466−4 − 1
3 −0, 111 −0, 0741−3 1
2 − 25 −0, 16 −0, 128
−3 − 12 −0, 25 −0, 25
−2 12 − 2
3 −0, 445 −0, 593−2 −1 −1 −2−1 1
2 −2 −4 −16−1 NaN 3265 15
49 NaN− 1
2 2 −4 160 1 −1 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 −1 212
23 −0, 445 0, 593
1 12 −0, 25 0, 25
1 12
25 −0, 16 0, 128
2 13 −0, 111 0, 0741
2 12
27 −0, 0816 0, 0466
3 14 −0, 0625 1
32
3 12
29 − 4
81 0, 02194 1
5 − 125
2125
4 12
211 − 4
121 0, 0125 1
6 − 136
1108
5 12
213 −0, 0237 0, 00728
6 17 − 1
49 0, 005836 12
215 −0, 0178 0, 00474
7 18 − 1
64 0, 00391
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
Aufgabe (25)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 − 1
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler faktorisieren:x2 − 1 = 0
1x2 − 1 = 0 / + 11x2 = 1 / : 1
x2 =1
1x = ±
√1
x1 = 1 x2 = −1x1 = −1; 1-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0
x3 + 3x2 + 3x+ 1 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(x3 +3x2 +3x +1 ) : (x+ 1) = x2 + 2x+ 1−(x3 +x2)
2x2 +3x +1−(2x2 +2x)
x +1−(x +1)
0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x3 = −1; 3-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 1)(x− 1)
(x+ 1)3
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}• Term gekürzenf (x) =
(x− 1)
(x+ 1)2
f (x) =x− 1
x2 + 2x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =1 · (x2 + 2x+ 1)− (x− 1) · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=(x2 + 2x+ 1)− (2x2 − 2)
(x2 + 2x+ 1)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
=−x2 + 2x+ 3
(x2 + 2x+ 1)2
=−x2 + 2x+ 3
(x2 + 2x+ 1)2
=−(x+ 1)(x− 3)
(x+ 1)4
=−(x− 3)
(x+ 1)3
=−x+ 3
x3 + 3x2 + 3x+ 1
f ′′ (x) =(−1) · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− (−x+ 3) · (3x2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=(−x3 − 3x2 − 3x− 1)− (−3x3 + 3x2 + 15x+ 9)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=2x3 − 6x2 − 18x− 10
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=2x3 − 6x2 − 18x− 10
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x− 1 = 0x4 = 1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 1 < x
f(x) − 0 − 0 +
x ∈]1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1; 1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(1− 1
x2)
x3(1 +3
x+
3
x2+
1
x3)= 0
Horizontale Asymptote: y = 0
limx→−1+
(x− 1)
(x+ 1)2= −∞
limx→−1−
(x− 1)
(x+ 1)2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−x+ 3
x3 + 3x2 + 3x+ 1= 0
− 1x+ 3 = 0 /− 3− 1x = −3 / : (−1)
x =−3
−1x = 3x5 = 3; 1-fache Nullstelle
f ′′(3) = − 1
64
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
f ′′(3) < 0 ⇒ Hochpunkt:(3/18)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−x+ 3
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0x6 = 3; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx7 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 3 < xf ′(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 1; 3[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]3;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =2x3 − 6x2 − 18x− 10
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0
2x3 − 6x2 − 18x− 10 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(2x3 −6x2 −18x −10 ) : (x+ 1) = 2x2 − 8x− 10−(2x3 +2x2)
−8x2 −18x −10−(−8x2 −8x)
−10x −10−(−10x −10)
0
2x2 − 8x− 10 = 0
x1/2 =+8±
√(−8)
2 − 4 · 2 · (−10)
2 · 2x1/2 =
+8±√144
4
x1/2 =8± 12
4
x1 =8 + 12
4x2 =
8− 12
4x1 = 5 x2 = −1x8 = −1; 2-fache Nullstellex9 = 5; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx10 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 5 < xf ′′(x) − 0 − 0 +
x ∈]5;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1; 5[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2−1)(1·x3+3·x2+3·x+1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 2
9 − 5108 − 1
54
−6 12 − 30
121 −0, 0571 −0, 0251−6 − 7
25 −0, 072 −0, 0352−5 1
2 − 2681 −0, 0933 −0, 0512
−5 − 38 −0, 125 −0, 0781
−4 12 − 22
49 −0, 175 −0, 127−4 − 5
9 −0, 259 −0, 222−3 1
2 − 1825 −0, 416 −0, 435
−3 −1 −0, 75 −1−2 1
2 −1 59 −1, 63 −2, 96
−2 −3 −5 −14−1 1
2 −10 −36, 1 −208−1 NaN 3, 27 · 103 NaN− 1
2 −6 28, 1 −1760 −1 3 −10
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −1 3 −1012 − 2
9 0, 741 −1, 781 0 0, 25 −0, 51 12
225 0, 096 −0, 179
2 19 0, 037 −0, 0741
2 12
649 0, 0117 −0, 0333
3 18 1, 2 · 10−6 − 1
64
3 12
1081 −0, 00549 −0, 00732
4 325 − 1
125 −0, 00324 12
14121 −0, 00902 −0, 00109
5 19 − 1
108 −5, 25 · 10−8
5 12 0, 107 −0, 0091 0, 000566 5
49 −0, 00875 0, 0008336 12 0, 0978 −0, 0083 0, 0009487 3
32 −0, 00781 0, 000977
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad
3 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad3.1 Aufgaben(1) f (x) =
x
2x+ 1
(2) f (x) =−x+ 212x− 1
4
(3) f (x) =−3x+ 1
4x+ 2
(4) f (x) =5x+ 6
−x
(5) f (x) =−3x+ 1
x+ 2
(6) f (x) =− 1
3x+ 15
− 14x− 2
(7) f (x) =−x2 + x
x2 − 1
(8) f (x) =x2 + 2x+ 1
2x2 + 2x
(9) f (x) =x2 + 2x+ 1
x2 − 4
(10) f (x) =− 1
3x2 + 2
5x+ 18
− 12x
2 − x− 12
(11) f (x) =x2 − 5x− 27
x2 + 3x
(12) f (x) =4x2 + 12x+ 5
−2x2 + 1
(13) f (x) =5x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1
(14) f (x) =5x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1
(15) f (x) =x3 + 3x2 − 4
x2
(16) f (x) =−x3 + 3x2 − 4
− 12x
2 − 3x− 4 12
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
3.2 LösungenAufgabe (1)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
x
2x+ 1Zaehler faktorisieren:x = 0x = 0 ⇒ x = 0x1 = 0; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:2x+ 1 = 0
2x+ 1 = 0 /− 12x = −1 / : 2
x =−1
2
x = −1
2
x2 = −1
2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
x
2(x+ 12 )
• Definitionsbereich: D = R \{−1
2
}f (x) =
12x
x+ 12
Polynomdivision :( 12x ) : (x+ 1
2) = 1
2
−( 12x + 1
4)
− 14
f(x) =1
2+
− 14
x+ 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =12 · (x+ 1
2 )−12x · 1
(x+ 12 )
2
=( 12x+ 1
4 )−12x
(x+ 12 )
2
=14
(x+ 12 )
2
=14
(x+ 12 )
2
f ′′ (x) =0 · (x2 + x+ 1
4 )−14 · (2x+ 1)
(x2 + x+ 14 )
2
=0− ( 12x+ 1
4 )
(x2 + x+ 14 )
2
=− 1
2x− 14
(x2 + x+ 14 )
2
=− 1
2x− 14
(x2 + x+ 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Zaehler = 01
2x = 0
x3 = 0; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < − 1
2 < x < 0 < xf(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1
2[ ∪ ]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 1
2; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(1)
x(2 + x)=
0, 5
1=
1
2
Horizontale Asymptote: y =1
2
limx→− 1
2+
12x
(x+ 12 )
= −∞
limx→− 1
2−
12x
(x+ 12 )
= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =14
x2 + x+ 14
= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =14
x2 + x+ 14
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −1
2; 1-fache Nullstelle
x < − 12 < x
f ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−1
2[ ∪ ]− 1
2;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =− 1
2x− 14
x4 + 2x3 + 1 12x
2 + 12x+ 1
16Zaehler = 0
− 1
2x− 1
4= 0 / +
1
4
− 1
2x =
1
4/ :
(−1
2
)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x =14
− 12
x = −1
2
x5 = −1
2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = −1
2; 1-fache Nullstelle
x < − 12 < x
f ′′(x) + 0 −
x ∈]−∞;−1
2[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 1
2;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x)(2·x+1)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 7
13 0, 00592 0, 00182−6 1
21324 0, 00694 0, 00231
−6 611
1121 0, 00301
−5 12
1120
1100 0, 004
−5 59
181 0, 00549
−4 12
916
164 0, 00781
−4 47
149 0, 0117
−3 12
712
136
154
−3 35 0, 04 0, 032
−2 12
58 0, 0625 0, 0625
−2 23 0, 111 0, 148
−1 12
34 0, 25 0, 5
−1 1 1 4− 1
2 −∞ −816 1649 ∞
0 0 1 −4
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 0 1 −412
14 0, 25 −0, 5
1 13 0, 111 −0, 148
1 12
38 0, 0625 −0, 0625
2 25 0, 04 −0, 032
2 12
512
136 − 1
54
3 37
149 −0, 0117
3 12
716
164 −0, 00781
4 49
181 −0, 00549
4 12
920
1100 −0, 004
5 511
1121 −0, 00301
5 12
1124 0, 00694 −0, 00231
6 613 0, 00592 −0, 00182
6 12
1328 0, 0051 −0, 00146
7 715 0, 00444 −0, 00119
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (2)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−x+ 212x− 1
4Zaehler faktorisieren:− x+ 2 = 0
− 1x+ 2 = 0 /− 2− 1x = −2 / : (−1)
x =−2
−1x = 2x1 = 2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:1
2x− 1
4= 0
1
2x− 1
4= 0 / +
1
41
2x =
1
4/ :
1
2
x =1412
x =1
2
x2 =1
2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−(x− 2)12 (x− 1
2 )
• Definitionsbereich: D = R \{1
2
}f (x) =
−2x+ 4
x− 12
Polynomdivision :(−2x +4 ) : (x− 1
2) = −2
−(−2x +1)
3
f(x) = −2 +3
x− 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(−2) · (x− 1
2 )− (−2x+ 4) · 1(x− 1
2 )2
=(−2x+ 1)− (−2x+ 4)
(x− 12 )
2
=−3
(x− 12 )
2
=−3
(x− 12 )
2
f ′′ (x) =0 · (x2 − x+ 1
4 )− (−3) · (2x− 1)
(x2 − x+ 14 )
2
=0− (−6x+ 3)
(x2 − x+ 14 )
2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=6x− 3
(x2 − x+ 14 )
2
=6x− 3
(x2 − x+ 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 2x+ 4 = 0x3 = 2; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < 1
2 < x < 2 < xf(x) − 0 + 0 −
x ∈] 12; 2[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;1
2[ ∪ ]2;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(−1 +2
x)
x( 12 −14
x)
=−2
1= −2
Horizontale Asymptote: y = −2
limx→ 1
2+
−2(x− 2)
(x− 12 )
= ∞
limx→ 1
2−
−2(x− 2)
(x− 12 )
= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x =1
2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−3
x2 − x+ 14
= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−3
x2 − x+ 14
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 =
1
2; 1-fache Nullstelle
x < 12 < x
f ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;1
2[ ∪ ]
1
2;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
6x− 3
x4 − 2x3 + 1 12x
2 − 12x+ 1
16Zaehler = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
6x− 3 = 0 / + 36x = 3 / : 6
x =3
6
x =1
2
x5 =1
2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx6 =
1
2; 1-fache Nullstelle
x < 12 < x
f ′′(x) − 0 +
x ∈] 12;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;1
2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1·x+2)
( 12 ·x−
14 )
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −2 2
5 − 475 −0, 0142
−6 12 −2 3
7 − 349 −0, 0175
−6 −2 613 −0, 071 −0, 0218
−5 12 −2 1
2 − 112 − 1
36
−5 −2 611 −0, 0992 −0, 0361
−4 12 −2 3
5 −0, 12 − 6125
−4 −2 23 −0, 148 −0, 0658
−3 12 −2 3
4 −0, 188 −0, 0938−3 −2 6
7 −0, 245 −0, 14−2 1
2 −3 −0, 333 −0, 222−2 −3 1
5 −0, 48 −0, 384−1 1
2 −3 12 −0, 75 −0, 75
−1 −4 −1, 33 −1, 78− 1
2 −5 −3 −60 −8 −12 −48, 1
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −8 −12 −48, 112 ∞ 9795 45
49 −∞1 4 −12 48, 11 12 1 −3 62 0 −1, 33 1, 782 12 − 1
2 −0, 75 0, 753 − 4
5 −0, 48 0, 3843 12 −1 −0, 333 0, 2224 −1 1
7 −0, 245 0, 144 12 −1 1
4 −0, 188 0, 09385 −1 1
3 −0, 148 0, 06585 12 −1 2
5 −0, 12 6125
6 −1 511 −0, 0992 0, 0361
6 12 −1 1
2 − 112
136
7 −1 713 −0, 071 0, 0218
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (3)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−3x+ 1
4x+ 2Zaehler faktorisieren:− 3x+ 1 = 0
− 3x+ 1 = 0 /− 1− 3x = −1 / : (−3)
x =−1
−3
x =1
3
x1 =1
3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:4x+ 2 = 0
4x+ 2 = 0 /− 24x = −2 / : 4
x =−2
4
x = −1
2
x2 = −1
2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−3(x− 13 )
4(x+ 12 )
• Definitionsbereich: D = R \{−1
2
}f (x) =
− 34x+ 1
4
x+ 12
Polynomdivision :(− 3
4x + 1
4) : (x+ 1
2) = − 3
4
−(− 34x − 3
8)
58
f(x) = −3
4+
58
x+ 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(− 3
4 ) · (x+ 12 )− (− 3
4x+ 14 ) · 1
(x+ 12 )
2
=(− 3
4x− 38 )− (− 3
4x+ 14 )
(x+ 12 )
2
=− 5
8
(x+ 12 )
2
=− 5
8
(x+ 12 )
2
f ′′ (x) =0 · (x2 + x+ 1
4 )− (− 58 ) · (2x+ 1)
(x2 + x+ 14 )
2
=0− (−1 1
4x− 58 )
(x2 + x+ 14 )
2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=1 14x+ 5
8
(x2 + x+ 14 )
2
=1 14x+ 5
8
(x2 + x+ 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 3
4x+
1
4= 0
x3 =1
3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < − 1
2 < x < 13 < x
f(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 1
2;1
3[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1
2[ ∪ ]
1
3;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(−3 + x)
x(4 +2
x)
=−0, 75
1= −3
4
Horizontale Asymptote: y = −3
4
limx→− 1
2+
− 34 (x− 1
3 )
(x+ 12 )
= ∞
limx→− 1
2−
− 34 (x− 1
3 )
(x+ 12 )
= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =− 5
8
x2 + x+ 14
= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =− 5
8
x2 + x+ 14
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −1
2; 1-fache Nullstelle
x < − 12 < x
f ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−1
2[ ∪ ]− 1
2;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =1 14x+ 5
8
x4 + 2x3 + 1 12x
2 + 12x+ 1
16Zaehler = 0
11
4x+
5
8= 0 /− 5
8
11
4x = −5
8/ : 1
1
4
x =− 5
8
1 14
x = −1
2
x5 = −1
2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = −1
2; 1-fache Nullstelle
x < − 12 < x
f ′′(x) − 0 +
x ∈]− 1
2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−1
2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−3·x+1)(4·x+2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 11
13 −0, 0148 −0, 00455−6 1
2 − 4148 −0, 0174 −0, 00579
−6 − 1922 −0, 0207 −0, 00751
−5 12 − 7
8 − 140 − 1
100
−5 − 89 −0, 0309 −0, 0137
−4 12 − 29
32 −0, 0391 −0, 0195−4 − 13
14 −0, 051 −0, 0292−3 1
2 − 2324 −0, 0694 −0, 0463
−3 −1 −0, 1 −0, 08−2 1
2 −1 116 −0, 156 −0, 156
−2 −1 16 −0, 278 −0, 37
−1 12 −1 3
8 −0, 625 −1, 25−1 −2 −2, 5 −10− 1
2 ∞ 2040 4049 −∞
0 12 −2, 5 10
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
2 −2, 5 1012 − 1
8 −0, 625 1, 251 − 1
3 −0, 278 0, 371 12 − 7
16 −0, 156 0, 1562 − 1
2 −0, 1 0, 082 12 − 13
24 −0, 0694 0, 04633 − 4
7 −0, 051 0, 02923 12 − 19
32 −0, 0391 0, 01954 − 11
18 −0, 0309 0, 01374 12 − 5
8 − 140
1100
5 − 711 −0, 0207 0, 00751
5 12 − 31
48 −0, 0174 0, 005796 − 17
26 −0, 0148 0, 004556 12 − 37
56 −0, 0128 0, 003647 − 2
3 − 190 0, 00296
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (4)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
5x+ 6
−xZaehler faktorisieren:5x+ 6 = 0
5x+ 6 = 0 /− 65x = −6 / : 5
x =−6
5
x = −11
5
x1 = −11
5; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− x = 0x = 0 ⇒ x = 0x2 = 0; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
5(x+ 1 15 )
−x
• Definitionsbereich: D = R \ {0}f (x) =
−5x− 6
xPolynomdivision :
(−5x −6 ) : (x) = −5−(−5x)
−6
f(x) = −5 +−6
x
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
(−5) · x− (−5x− 6) · 1(x)2
=(−5x)− (−5x− 6)
(x)2
=6
(x)2
=6
(x)2
f ′′ (x) =0 · x2 − 6 · 2x
(x2)2
=0− 12x
(x2)2
=−12x
(x2)2
=−12x
(x2)2
=−12x
x4
=−12
x3
=−12
x3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 5x− 6 = 0
x3 = −11
5; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 1
5 < x < 0 < xf(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 11
5; 0[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−11
5[ ∪ ]0;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(5 +6
x)
x(−1)=
−5
1= −5
Horizontale Asymptote: y = −5
limx→0+
−5(x+ 1 15 )
x= −∞
limx→0−
−5(x+ 1 15 )
x= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
6
x2= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
6
x2
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−12
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx5 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) + 0 −
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x ∈]−∞; 0[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]0;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (5·x+6)(−1·x)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −4 1
7649 0, 035
−6 12 −4 1
13 0, 142 0, 0437−6 −4 0, 167 1
18
−5 12 −3 10
11 0, 198 0, 0721−5 −3 4
5 0, 24 0, 096−4 1
2 −3 23 0, 296 0, 132
−4 −3 12 0, 375 0, 188
−3 12 −3 2
7 0, 49 0, 28−3 −3 0, 667 0, 444−2 1
2 −2 35 0, 96 0, 768
−2 −2 1, 5 1, 5−1 1
2 −1 2, 67 3, 56−1 1 6 12− 1
2 7 24 96, 10 −∞ −19591 41
49 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ −19591 41
49 ∞12 −17 24 −96, 11 −11 6 −121 12 −9 2, 67 −3, 562 −8 1, 5 −1, 52 12 −7 2
5 0, 96 −0, 7683 −7 0, 667 −0, 4443 12 −6 5
7 0, 49 −0, 284 −6 1
2 0, 375 −0, 1884 12 −6 1
3 0, 296 −0, 1325 −6 1
5 0, 24 −0, 0965 12 −6 1
11 0, 198 −0, 07216 −6 0, 167 − 1
18
6 12 −5 12
13 0, 142 −0, 04377 −5 6
7649 −0, 035
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (5)
•Funktion/Faktorisierenf (x) =
−3x+ 1
x+ 2Zaehler faktorisieren:− 3x+ 1 = 0
− 3x+ 1 = 0 /− 1− 3x = −1 / : (−3)
x =−1
−3
x =1
3
x1 =1
3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x+ 2 = 0
x+ 2 = 0 /− 2x = −2x2 = −2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−3(x− 13 )
(x+ 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2}f (x) =
−3x+ 1
x+ 2Polynomdivision :
(−3x +1 ) : (x+ 2) = −3−(−3x −6)
7
f(x) = −3 +7
x+ 2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
(−3) · (x+ 2)− (−3x+ 1) · 1(x+ 2)2
=(−3x− 6)− (−3x+ 1)
(x+ 2)2
=−7
(x+ 2)2
=−7
(x+ 2)2
f ′′ (x) =0 · (x2 + 4x+ 4)− (−7) · (2x+ 4)
(x2 + 4x+ 4)2
=0− (−14x− 28)
(x2 + 4x+ 4)2
=14x+ 28
(x2 + 4x+ 4)2
=14x+ 28
(x2 + 4x+ 4)2
=14(x+ 2)
(x+ 2)4
=14
(x+ 2)3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=14
x3 + 6x2 + 12x+ 8
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− 3x+ 1 = 0
x3 =1
3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < 1
3 < xf(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 2;1
3[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]1
3;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(−3 + x)
x(1 +2
x)
=−3
1= −3
Horizontale Asymptote: y = −3
limx→−2+
−3(x− 13 )
(x+ 2)= ∞
limx→−2−
−3(x− 13 )
(x+ 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−7
x2 + 4x+ 4= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−7
x2 + 4x+ 4Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
14
x3 + 6x2 + 12x+ 8Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx5 = −2; 1-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x < −2 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−3·x+1)(1·x+2)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −4 2
5 −0, 28 −0, 112−6 1
2 −4 59 −0, 346 −0, 154
−6 −4 34 −0, 438 −0, 219
−5 12 −5 −0, 571 −0, 327
−5 −5 13 −0, 778 −0, 519
−4 12 −5 4
5 −1, 12 −0, 896−4 −6 1
2 −1, 75 −1, 75−3 1
2 −7 23 −3, 11 −4, 15
−3 −10 −7 −14−2 1
2 −17 −28 −112−2 ∞ 22857 1
7 −∞−1 1
2 11 −28 112−1 4 −7 14− 1
2 1 23 −3, 11 4, 15
0 12 −1, 75 1, 75
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
2 −1, 75 1, 7512 − 1
5 −1, 12 0, 8961 − 2
3 −0, 778 0, 5191 12 −1 −0, 571 0, 3272 −1 1
4 −0, 438 0, 2192 12 −1 4
9 −0, 346 0, 1543 −1 3
5 −0, 28 0, 1123 12 −1 8
11 −0, 231 0, 08414 −1 5
6 −0, 194 7108
4 12 −1 12
13 −0, 166 0, 0515 −2 − 1
7249
5 12 −2 1
15 −0, 124 0, 03326 −2 1
8 − 764 0, 0273
6 12 −2 3
17 −0, 0969 0, 02287 −2 2
9 − 781 0, 0192
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (6)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =− 1
3x+ 15
− 14x− 2
Zaehler faktorisieren:− 1
3x+
1
5= 0
− 1
3x+
1
5= 0 /− 1
5
− 1
3x = −1
5/ :
(−1
3
)x =
− 15
− 13
x =3
5
x1 =3
5; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− 1
4x− 2 = 0
− 1
4x− 2 = 0 / + 2
− 1
4x = 2 / :
(−1
4
)x =
2
− 14
x = −8x2 = −8; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
− 13 (x− 3
5 )
− 14 (x+ 8)
• Definitionsbereich: D = R \ {−8}
f (x) =1 13x− 4
5
x+ 8Polynomdivision :
(1 13x − 4
5) : (x+ 8) = 1 1
3
−(1 13x +10 2
3)
−11 715
f(x) = 11
3+
−11 715
x+ 8
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =1 13 · (x+ 8)− (1 1
3x− 45 ) · 1
(x+ 8)2
=(1 1
3x+ 10 23 )− (1 1
3x− 45 )
(x+ 8)2
=11 7
15
(x+ 8)2
=11 7
15
(x+ 8)2
f ′′ (x) =0 · (x2 + 16x+ 64)− 11 7
15 · (2x+ 16)
(x2 + 16x+ 64)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=0− (22 14
15x+ 183 715 )
(x2 + 16x+ 64)2
=−22 14
15x− 183 715
(x2 + 16x+ 64)2
=−22 14
15x− 183 715
(x2 + 16x+ 64)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
11
3x− 4
5= 0
x3 =3
5; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −8 < x < 3
5 < xf(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−8[ ∪ ]3
5;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 8;3
5[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x(− 13 +
15
x)
x(− 14 − 2
x)=
1, 33333333333333
1= 1
1
3
Horizontale Asymptote: y = 11
3
limx→−8+
1 13 (x− 3
5 )
(x+ 8)= −∞
limx→−8−
1 13 (x− 3
5 )
(x+ 8)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −8
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =11 7
15
x2 + 16x+ 64= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =11 7
15
x2 + 16x+ 64Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx4 = −8; 1-fache Nullstelle
x < −8 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−8[ ∪ ]− 8;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =−22 14
15x− 183 715
x4 + 32x3 + 384x2 + 2, 05 · 103x+ 4, 1 · 103Zaehler = 0
− 2214
15x− 183
7
15= 0 / + 183
7
15
− 2214
15x = 183
7
15/ :
(−22
14
15
)x =
183 715
−22 1415
x = −8x5 = −8; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = −8; 1-fache Nullstelle
x < −8 < x < −8 < xf ′′(x) + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−8[ ∪ ]− 8;−8[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 8;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =(− 1
3 ·x+15 )
(− 14 ·x−2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −10 2
15 11, 5 −22, 9−6 1
2 −6 1445 5, 1 −6, 8
−6 −4 25 2, 87 −2, 87
−5 12 −3 19
75 1, 83 −1, 47−5 −2 22
45 1, 27 −0, 849−4 1
2 −1 3335 0, 936 −0, 535
−4 −1 815 0, 717 −0, 358
−3 12 −1, 21 0, 566 −0, 252
−3 − 2425 0, 459 −0, 183
−2 12 −0, 752 0, 379 −0, 138
−2 − 2645 0, 319 −0, 106
−1 12 − 28
65 0, 271 −0, 0835−1 − 32
105 0, 234 −0, 0669− 1
2 −0, 196 0, 204 −0, 05440 − 1
10 0, 179 −0, 0448
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 − 1
10 0, 179 −0, 044812 −0, 0157 0, 159 −0, 03731 0, 0593 0, 142 −0, 03151 12
1295 0, 127 −0, 0267
2 1475 0, 115 −0, 0229
2 12 0, 241 0, 104 −0, 01983 16
55 0, 0948 −0, 01723 12 0, 336 0, 0867 −0, 01514 17
45 0, 0796 −0, 01334 12
52125 0, 0734 −0, 0117
5 0, 451 0, 0679 −0, 01045 12 0, 484 0, 0629 −0, 009326 18
35 0, 0585 −0, 008366 12 0, 543 0, 0545 −0, 007527 0, 569 0, 051 −0, 0068
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (7)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =−x2 + x
x2 − 1Zaehler faktorisieren:− x2 + x = 0x(−x+ 1) = 0 ⇒ x = 0 ∨ −x+ 1 = 0− 1x+ 1 = 0 /− 1− 1x = −1 / : (−1)
x =−1
−1x = 1x1 = 0; 1-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − 1 = 0
1x2 − 1 = 0 / + 11x2 = 1 / : 1
x2 =1
1x = ±
√1
x1 = 1 x2 = −1x3 = −1; 1-fache Nullstellex4 = 1; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−x(x− 1)
(x+ 1)(x− 1)
• Definitionsbereich: D = R \ {−1; 1}• Term gekürzenf (x) =
−x
(x+ 1)
f (x) =−x
x+ 1Polynomdivision :
(−x ) : (x+ 1) = −1−(−x −1)
1
f(x) = −1 +1
x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitungf ′ (x) =
(−1) · (x+ 1)− (−x) · 1(x+ 1)2
=(−x− 1)− (−x)
(x+ 1)2
=−1
(x+ 1)2
=−1
(x+ 1)2
f ′′ (x) =0 · (x2 + 2x+ 1)− (−1) · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=0− (−2x− 2)
(x2 + 2x+ 1)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=2x+ 2
(x2 + 2x+ 1)2
=2x+ 2
(x2 + 2x+ 1)2
=2(x+ 1)
(x+ 1)4
=2
(x+ 1)3
=2
x3 + 3x2 + 3x+ 1
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− x = 0x5 = 0; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 0 < x
f(x) − 0 + 0 −
x ∈]− 1; 0[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]0;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(−1 + x)
x2(1− 1
x2)=
−1
1= −1
Horizontale Asymptote: y = −1
limx→−1+
−x
(x+ 1)= ∞
limx→−1−
−x
(x+ 1)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
−1
x2 + 2x+ 1= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
−1
x2 + 2x+ 1Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = −1; 1-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =2
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx7 = −1; 1-fache Nullstelle
x < −1 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]− 1;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−1[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1·x2+1·x)(1·x2−1)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −1 1
6 − 136 − 1
108
−6 12 −1 2
11 − 4121 −0, 012
−6 −1 15 − 1
25 − 2125
−5 12 −1 2
9 − 481 −0, 0219
−5 −1 14 −0, 0625 − 1
32
−4 12 −1 2
7 −0, 0816 −0, 0466−4 −1 1
3 −0, 111 −0, 0741−3 1
2 −1 25 −0, 16 −0, 128
−3 −1 12 −0, 25 −0, 25
−2 12 −1 2
3 −0, 445 −0, 593−2 −2 −1 −2−1 1
2 −3 −4 −16−1 −∞ 3265 15
49 ∞− 1
2 1 −4 160 0 −1 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 0 −1 212 − 1
3 −0, 445 0, 5931 NaN −0, 25 NaN1 12 − 3
5 −0, 16 0, 1282 − 2
3 −0, 111 0, 07412 12 − 5
7 −0, 0816 0, 04663 − 3
4 −0, 0625 132
3 12 − 7
9 − 481 0, 0219
4 − 45 − 1
252
125
4 12 − 9
11 − 4121 0, 012
5 − 56 − 1
361
108
5 12 − 11
13 −0, 0237 0, 007286 − 6
7 − 149 0, 00583
6 12 − 13
15 −0, 0178 0, 004747 − 7
8 − 164 0, 00391
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (8)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 + 2x+ 1
2x2 + 2xZaehler faktorisieren:x2 + 2x+ 1 = 0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 2-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:2x2 + 2x = 0x(2x+ 2) = 0 ⇒ x = 0 ∨ 2x+ 2 = 02x+ 2 = 0 /− 22x = −2 / : 2
x =−2
2x = −1x2 = −1; 1-fache Nullstellex3 = 0; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 1)2
2(x+ 1)x
• Definitionsbereich: D = R \ {−1; 0}• Term gekürzen
f (x) =12 (x+ 1)
x
f (x) =12x+ 1
2
xPolynomdivision :
( 12x + 1
2) : (x) = 1
2
−( 12x)
12
f(x) =1
2+
12
x
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =12 · x− ( 12x+ 1
2 ) · 1(x)2
=12x− ( 12x+ 1
2 )
(x)2
=− 1
2
(x)2
=− 1
2
(x)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =0 · x2 − (− 1
2 ) · 2x(x2)2
=0− (−x)
(x2)2
=x
(x2)2
=x
(x2)2
=x
x4
=1
x3
=1
x3
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01
2x+
1
2= 0
x4 = −1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 0 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]0;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 1; 0[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(1 +2
x+
1
x2)
x2(2 +2
x)
=0, 5
1=
1
2
Horizontale Asymptote: y =1
2
limx→0+
12 (x+ 1)
x= ∞
limx→0−
12 (x+ 1)
x= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =− 1
2
x2= 0
keine Loesung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =− 1
2
x2
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx5 = 0; 1-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x < 0 < xf ′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
1
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞; 0[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2+2·x+1)(2·x2+2·x)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 3
7 − 198 −0, 00292
−6 12
1126 −0, 0118 −0, 00364
−6 512 − 1
72 −0, 00463−5 1
2922 − 2
121 −0, 00601−5 2
5 − 150 − 1
125
−4 12
718 − 2
81 −0, 011−4 3
8 − 132 − 1
64
−3 12
514 −0, 0408 −0, 0233
−3 13 −0, 0556 −0, 037
−2 12
310 −0, 08 −0, 064
−2 14 −0, 125 −0, 125
−1 12
16 −0, 222 −0, 296
−1 NaN −0, 5 NaN− 1
2 − 12 −2 −8, 01
0 ∞ 1632 3249 −∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 ∞ 1632 32
49 −∞12 1 1
2 −2 8, 011 1 −0, 5 11 12
56 −0, 222 0, 296
2 34 −0, 125 0, 125
2 12
710 −0, 08 0, 064
3 23 −0, 0556 0, 037
3 12
914 −0, 0408 0, 0233
4 58 − 1
32164
4 12
1118 − 2
81 0, 0115 3
5 − 150
1125
5 12
1322 − 2
121 0, 006016 7
12 − 172 0, 00463
6 12
1526 −0, 0118 0, 00364
7 47 − 1
98 0, 00292
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (9)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 + 2x+ 1
x2 − 4Zaehler faktorisieren:x2 + 2x+ 1 = 0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 2-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − 4 = 0
1x2 − 4 = 0 / + 41x2 = 4 / : 1
x2 =4
1x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x2 = −2; 1-fache Nullstellex3 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2; 2}
f (x) =x2 + 2x+ 1
x2 − 4Polynomdivision :
(x2 +2x +1 ) : (x2 − 4) = 1−(x2 −4)
2x +5
f(x) = 1 +2x+ 5
x2 − 4
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(2x+ 2) · (x2 − 4)− (x2 + 2x+ 1) · 2x
(x2 − 4)2
=(2x3 + 2x2 − 8x− 8)− (2x3 + 4x2 + 2x)
(x2 − 4)2
=−2x2 − 10x− 8
(x2 − 4)2
=−2x2 − 10x− 8
(x2 − 4)2
f ′′ (x) =(−4x− 10) · (x4 − 8x2 + 16)− (−2x2 − 10x− 8) · (4x3 − 16x)
(x4 − 8x2 + 16)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=(−4x5 − 10x4 + 32x3 + 80x2 − 64x− 160)− (−8x5 − 40x4 + 160x2 + 128x)
(x4 − 8x2 + 16)2
=4x5 + 30x4 + 32x3 − 80x2 − 192x− 160
(x4 − 8x2 + 16)2
=4x5 + 30x4 + 32x3 − 80x2 − 192x− 160
(x4 − 8x2 + 16)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x2 + 2x+ 1 = 0x4 = −1; 2-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < −1 < x < 2 < x
f(x) + 0 − 0 − 0 +
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 2;−1[ ∪ ]− 1; 2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(1 +2
x+
1
x2)
x2(1− 4
x2)
=1
1= 1
Horizontale Asymptote: y = 1
limx→−2+
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= −∞
limx→−2−
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
limx→2+
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= ∞
limx→2−
(x+ 1)2
(x+ 2)(x− 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =−2x2 − 10x− 8
x4 − 8x2 + 16= 0
− 2x2 − 10x− 8 = 0
x1/2 =+10±
√(−10)
2 − 4 · (−2) · (−8)
2 · (−2)
x1/2 =+10±
√36
−4
x1/2 =10± 6
−4
x1 =10 + 6
−4x2 =
10− 6
−4x1 = −4 x2 = −1x5 = −4; 1-fache Nullstellex6 = −1; 1-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′′(−4) =1
24> 0 ⇒ Tiefpunkt:(−4/
3
4)
f ′′(−1) = −2
3f ′′(−1) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−1/0)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =−2x2 − 10x− 8
x4 − 8x2 + 16Zaehler = 0x7 = −4; 1-fache Nullstellex8 = −1; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = −2; 1-fache Nullstellex10 = 2; 1-fache Nullstelle
x < −4 < x < −2 < x < −1 < x < 2 < xf ′(x) − 0 + 0 + 0 − 0 −
x ∈]− 4;−2[ ∪ ]− 2;−1[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−4[ ∪ ]− 1; 2[ ∪ ]2;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =4x5 + 30x4 + 32x3 − 80x2 − 192x− 160
x8 − 16x6 + 96x4 − 256x2 + 256Zaehler = 0
NumerischeSuche :x11 = −5, 7; 1-fache Nullstellex12 = −2; 1-fache Nullstellex13 = 2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx14 = −2; 1-fache Nullstellex15 = 2; 1-fache Nullstelle
x < −5, 7 < x < −2 < x < −2 < x < 2 < xf ′′(x) − 0 + 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 5, 7;−2[ ∪ ]− 2;−2[ ∪ ]2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−5, 7[ ∪ ]− 2; 2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2+2·x+1)(1·x2−4)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 4
5 −0, 0178 −0, 00217−6 1
2 0, 791 −0, 0188 −0, 00184−6 25
32 −0, 0195 −0, 000976−5 1
22735 −0, 0196 0, 000995
−5 1621 −0, 0181 0, 0054
−4 12
4965 −0, 0133 0, 0156
−4 34 4, 25 · 10−6 0, 0417
−3 12
2533 0, 0367 0, 121
−3 45 0, 16 0, 464
−2 12 1 0, 89 3, 96
−2 ∞ −816 −∞−1 1
2 − 17 0, 818 −4, 11
−1 0 6, 81 · 10−5 −0, 667− 1
2 − 115 −0, 249 −0, 436
0 − 14 −0, 5 −0, 625
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 − 1
4 −0, 5 −0, 62512 − 3
5 −0, 96 −1, 371 −1 1
3 −2, 22 −4, 521 12 −3 4
7 −8, 99 −36, 12 ∞ 7, 35 · 103 −∞2 12 5 4
9 −9 363 3 1
5 −2, 24 4, 53 12 2 5
11 −0, 992 1, 334 2 1
12 −0, 556 0, 564 12 1 56
65 −0, 354 0, 2865 1 5
7 −0, 245 0, 1655 12 1 64
105 −0, 179 11106
6 1 1732 −0, 137 0, 0693
6 12 1 8
17 −0, 108 0, 04867 1 19
45 −0, 0869 0, 0353
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (10)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =− 1
3x2 + 2
5x+ 18
− 12x
2 − x− 12
Zaehler faktorisieren:− 1
3x2 +
2
5x+
1
8= 0
− 1
3x2 +
2
5x+
1
8= 0
x1/2 =− 2
5 ±√(
25
)2 − 4 ·(− 1
3
)· 18
2 ·(− 1
3
)x1/2 =
− 25 ±
√0, 327
− 23
x1/2 =− 2
5 ± 0, 572
− 23
x1 =− 2
5 + 0, 572
− 23
x2 =− 2
5 − 0, 572
− 23
x1 = −0, 257 x2 = 1, 46x1 = −0, 257; 1-fache Nullstellex2 = 1, 46; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− 1
2x2 − x− 1
2= 0
− 1
2x2 − x− 1
2= 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 ·(− 1
2
)·(− 1
2
)2 ·
(− 1
2
)x1/2 =
+1±√0
−1
x1/2 =1± 0
−1
x1 =1 + 0
−1x2 =
1− 0
−1x1 = −1 x2 = −1x3 = −1; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
− 13 (x+ 0, 257)(x− 1, 46)
− 12 (x+ 1)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}
f (x) =23x
2 − 45x− 1
4
x2 + 2x+ 1Polynomdivision :
( 23x2 − 4
5x − 1
4) : (x2 + 2x+ 1) = 2
3
−( 23x2 +1 1
3x + 2
3)
−2 215x − 11
12
f(x) =2
3+
−2 215x− 11
12
x2 + 2x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′ (x) =(1 1
3x− 45 ) · (x
2 + 2x+ 1)− ( 23x2 − 4
5x− 14 ) · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=(1 1
3x3 + 1 13
15x2 − 4
15x− 45 )− (1 1
3x3 − 4
15x2 − 2 1
10x− 12 )
(x2 + 2x+ 1)2
=2 215x
2 + 1 56x− 3
10
(x2 + 2x+ 1)2
=2 215x
2 + 1 56x− 3
10
(x2 + 2x+ 1)2
=2 215 (x+ 1)(x− 9
64 )
(x+ 1)4
=2 215 (x− 9
64 )
(x+ 1)3
=2 215x− 3
10
x3 + 3x2 + 3x+ 1
f ′′ (x) =2 215 · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− (2 2
15x− 310 ) · (3x
2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=(2 2
15x3 + 6 2
5x2 + 6 2
5x+ 2 215 )− (6 2
5x3 + 11 9
10x2 + 4 3
5x− 910 )
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−4 4
15x3 − 5 1
2x2 + 1 4
5x+ 3 130
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−4 4
15x3 − 5 1
2x2 + 1 4
5x+ 3 130
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 02
3x2 − 4
5x− 1
4= 0
x4 = −0, 257; 1-fache Nullstellex5 = 1, 46; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < −0, 257 < x < 1, 46 < x
f(x) + 0 + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;−0, 257[ ∪ ]1, 46;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 0, 257; 1, 46[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(− 13 +
25
x+
18
x2)
x2(− 12 − 1
x−
12
x2)
=0, 666666666666667
1=
2
3
Horizontale Asymptote: y =2
3
limx→−1+
23 (x+ 0, 257)(x− 1, 46)
(x+ 1)2= ∞
limx→−1−
23 (x+ 0, 257)(x− 1, 46)
(x+ 1)2= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′(x) =2 215x− 3
10
x3 + 3x2 + 3x+ 1= 0
22
15x− 3
10= 0 / +
3
10
22
15x =
3
10/ : 2
2
15
x =310
2 215
x =9
64
x6 =9
64; 1-fache Nullstelle
f ′′(9
64) = 1, 44 > 0 ⇒ Tiefpunkt:( 9
64/− 0, 268)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =2 215x− 3
10
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0
x7 =9
64; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx8 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 964 < x
f ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]9
64;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 1;9
64[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−4 4
15x3 − 5 1
2x2 + 1 4
5x+ 3 130
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0
− 44
15x3 − 5
1
2x2 + 1
4
5x+ 3
1
30= 0
NumerischeSuche :x9 = −1; 2-fache Nullstellex10 = 0, 711; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx11 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < −1 < x < 0, 711 < xf ′′(x) + 0 + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;−1[ ∪ ]− 1; 0, 711[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]0, 711;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =(− 1
3 ·x2+ 2
5 ·x+18 )
(− 12 ·x2−1·x− 1
2 )
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1, 06 0, 0705 0, 0254−6 1
2 1, 09 0, 0852 0, 0336−6 1, 14 0, 105 0, 0458−5 1
2 1, 2 0, 132 0, 0646−5 1, 28 0, 171 0, 0952−4 1
2 1, 38 0, 231 0, 148−4 1, 51 0, 327 0, 248−3 1
2 1, 71 0, 497 0, 46−3 2 3
80 0, 838 0, 99−2 1
2 2 1727 1, 67 2, 71
−2 4 160 4, 57 11, 6
−1 12 9 4
5 28, 1 151−1 −∞ −6, 97 · 103 ∞− 1
2 1 415 −11 82, 9
0 − 14 −0, 301 3, 04
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 − 1
4 −0, 301 3, 0412 −0, 215 0, 227 0, 1781 −0, 0958 0, 229 −0, 07711 12
1125 0, 186 −0, 0862
2 0, 0907 0, 147 −0, 06792 12 0, 156 0, 117 −0, 05093 0, 209 0, 0953 −0, 03823 12 0, 253 0, 0786 −0, 0294 0, 289 0, 0659 −0, 02254 12 0, 319 0, 0559 −0, 01775 0, 345 0, 048 −0, 01415 12 0, 367 0, 0416 −0, 01146 0, 387 0, 0364 −0, 00946 12 0, 404 0, 0322 −0, 007817 0, 419 0, 0286 −0, 00655
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (11)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 − 5x− 27
x2 + 3xZaehler faktorisieren:x2 − 5x− 27 = 0
1x2 − 5x− 27 = 0
x1/2 =+5±
√(−5)
2 − 4 · 1 · (−27)
2 · 1x1/2 =
+5±√133
2
x1/2 =5± 11, 5
2
x1 =5 + 11, 5
2x2 =
5− 11, 5
2x1 = 8, 27 x2 = −3, 27x1 = −3, 27; 1-fache Nullstellex2 = 8, 27; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 + 3x = 0x(x+ 3) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x+ 3 = 0x+ 3 = 0 /− 3x = −3x3 = −3; 1-fache Nullstellex4 = 0; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 3, 27)(x− 8, 27)
(x+ 3)x
• Definitionsbereich: D = R \ {−3; 0}
f (x) =x2 − 5x− 27
x2 + 3xPolynomdivision :
(x2 −5x −27 ) : (x2 + 3x) = 1−(x2 +3x)
−8x −27
f(x) = 1 +−8x− 27
x2 + 3x
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(2x− 5) · (x2 + 3x)− (x2 − 5x− 27) · (2x+ 3)
(x2 + 3x)2
=(2x3 + x2 − 15x)− (2x3 − 7x2 − 69x− 81)
(x2 + 3x)2
=8x2 + 54x+ 81
(x2 + 3x)2
=8x2 + 54x+ 81
(x2 + 3x)2
f ′′ (x) =(16x+ 54) · (x4 + 6x3 + 9x2)− (8x2 + 54x+ 81) · (4x3 + 18x2 + 18x)
(x4 + 6x3 + 9x2)2
=(16x5 + 150x4 + 468x3 + 486x2)− (32x5 + 360x4 + 1, 44 · 103x3 + 2, 43 · 103x2 + 1, 46 · 103x)
(x4 + 6x3 + 9x2)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=−16x5 − 210x4 − 972x3 − 1, 94 · 103x2 − 1, 46 · 103x
(x4 + 6x3 + 9x2)2
=−16x5 − 210x4 − 972x3 − 1, 94 · 103x2 − 1, 46 · 103x
(x4 + 6x3 + 9x2)2
=−16(x2 + 4, 35x+ 5, 26)(x+ 5, 78)(x+ 3)x
(x+ 3)4x4
=−16(x2 + 4, 35x+ 5, 26)(x+ 5, 78)
(x+ 3)3x3
=−16x3 − 162x2 − 486x− 486
x6 + 9x5 + 27x4 + 27x3
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x2 − 5x− 27 = 0x5 = −3, 27; 1-fache Nullstellex6 = 8, 27; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −3, 27 < x < −3 < x < 0 < x < 8, 27 < x
f(x) + 0 − 0 + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−3, 27[ ∪ ]− 3; 0[ ∪ ]8, 27;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 3, 27;−3[ ∪ ]0; 8, 27[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(1− 5
x− 27
x2)
x2(1 +3
x)
=1
1= 1
Horizontale Asymptote: y = 1
limx→−3+
(x+ 3, 27)(x− 8, 27)
(x+ 3)x= ∞
limx→−3−
(x+ 3, 27)(x− 8, 27)
(x+ 3)x= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −3
limx→0+
(x+ 3, 27)(x− 8, 27)
(x+ 3)x= −∞
limx→0−
(x+ 3, 27)(x− 8, 27)
(x+ 3)x= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =8x2 + 54x+ 81
x4 + 6x3 + 9x2= 0
8x2 + 54x+ 81 = 0
x1/2 =−54±
√542 − 4 · 8 · 812 · 8
x1/2 =−54±
√324
16
x1/2 =−54± 18
16
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x1 =−54 + 18
16x2 =
−54− 18
16
x1 = −21
4x2 = −4
1
2
x7 = −41
2; 1-fache Nullstelle
x8 = −21
4; 1-fache Nullstelle
f ′′(−41
2) = −32
81
f ′′(−41
2) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−4
1
2/2
1
3)
f ′′(−21
4) = 6
26
81> 0 ⇒ Tiefpunkt:(−2
1
4/6
1
3)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =8x2 + 54x+ 81
x4 + 6x3 + 9x2
Zaehler = 0
x9 = −41
2; 1-fache Nullstelle
x10 = −21
4; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx11 = −3; 1-fache Nullstellex12 = 0; 1-fache Nullstelle
x < −4 12 < x < −3 < x < −2 1
4 < x < 0 < xf ′(x) − 0 − 0 − 0 + 0 +
x ∈]− 21
4; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−41
2[ ∪ ]− 4
1
2;−3[ ∪ ]− 3;−2
1
4[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−16x3 − 162x2 − 486x− 486
x6 + 9x5 + 27x4 + 27x3
Zaehler = 0
− 16x3 − 162x2 − 486x− 486 = 0
NumerischeSuche :x13 = −5, 78; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx14 = −3; 1-fache Nullstellex15 = 0; 1-fache Nullstelle
x < −5, 78 < x < −3 < x < 0 < xf ′′(x) + 0 − 0 + 0 −
x ∈]−∞;−5, 78[ ∪ ]− 3; 0[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 5, 78;−3[ ∪ ]0;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2−5·x−27)(1·x2+3·x)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 2 1
28 0, 121 0, 0212−6 1
2 2 991 0, 131 0, 0189
−6 2 16 0, 139 0, 00926
−5 12 2 13
55 0, 138 −0, 0198−5 2 3
10 0, 11 −0, 106−4 1
2 2 13 −5, 38 · 10−5 −0, 395
−4 2 14 −0, 438 −1, 72
−3 12 1 4
7 −3, 27 −15, 6−3 −∞ 3, 27 · 103 ∞−2 1
2 6 35 −2, 56 17, 2
−2 6 12 1, 25 4, 25
−1 12 7 2
3 3, 56 5, 93−1 10 1
2 8, 75 18, 3− 1
2 19 25 35, 9 144
0 −∞ −2, 94 · 104 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ −2, 94 · 104 ∞12 −16 5
7 36 −1441 −7 3
4 8, 94 −181 12 −4 7
9 3, 95 −5, 312 −3 3
10 2, 21 −2, 232 12 −2 23
55 1, 41 −1, 143 −1 5
6 0, 972 −0, 6573 12 −1 38
91 0, 711 −0, 4134 −1 3
28 0, 542 −0, 2754 12 − 13
15 0, 427 −0, 1935 − 27
40 0, 344 −0, 145 12 −0, 519 0, 284 −0, 1056 − 7
18 0, 238 −0, 08066 12 −0, 279 0, 202 −0, 06327 − 13
70 0, 174 −0, 0505
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (12)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =4x2 + 12x+ 5
−2x2 + 1Zaehler faktorisieren:4x2 + 12x+ 5 = 0
4x2 + 12x+ 5 = 0
x1/2 =−12±
√122 − 4 · 4 · 52 · 4
x1/2 =−12±
√64
8
x1/2 =−12± 8
8
x1 =−12 + 8
8x2 =
−12− 8
8
x1 = −1
2x2 = −2
1
2
x1 = −21
2; 1-fache Nullstelle
x2 = −1
2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− 2x2 + 1 = 0
− 2x2 + 1 = 0 /− 1− 2x2 = −1 / : (−2)
x2 =−1
−2
x = ±√
1
2x1 = 0, 707 x2 = −0, 707x3 = −0, 707; 1-fache Nullstellex4 = 0, 707; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
4(x+ 2 12 )(x+ 1
2 )
−2(x+ 0, 707)(x− 0, 707)
• Definitionsbereich: D = R \ {−0, 707; 0, 707}
f (x) =−2x2 − 6x− 2 1
2
x2 − 12
Polynomdivision :(−2x2 −6x −2 1
2) : (x2 − 1
2) = −2
−(−2x2 +1)
−6x −3 12
f(x) = −2 +−6x− 3 1
2
x2 − 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(−4x− 6) · (x2 − 1
2 )− (−2x2 − 6x− 2 12 ) · 2x
(x2 − 12 )
2
=(−4x3 − 6x2 + 2x+ 3)− (−4x3 − 12x2 − 5x)
(x2 − 12 )
2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=6x2 + 7x+ 3
(x2 − 12 )
2
=6x2 + 7x+ 3
(x2 − 12 )
2
f ′′ (x) =(12x+ 7) · (x4 − x2 + 1
4 )− (6x2 + 7x+ 3) · (4x3 − 2x)
(x4 − x2 + 14 )
2
=(12x5 + 7x4 − 12x3 − 7x2 + 3x+ 1 3
4 )− (24x5 + 28x4 − 14x2 − 6x)
(x4 − x2 + 14 )
2
=−12x5 − 21x4 − 12x3 + 7x2 + 9x+ 1 3
4
(x4 − x2 + 14 )
2
=−12x5 − 21x4 − 12x3 + 7x2 + 9x+ 1 3
4
(x4 − x2 + 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 2x2 − 6x− 21
2= 0
x5 = −21
2; 1-fache Nullstelle
x6 = −1
2; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 1
2 < x < −0, 707 < x < − 12 < x < 0, 707 < x
f(x) − 0 + 0 − 0 + 0 −
x ∈]− 21
2;−0, 707[ ∪ ]− 1
2; 0, 707[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−21
2[ ∪ ]− 0, 707;−1
2[ ∪ ]0, 707;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(4 +12
x+
5
x2)
x2(−2 +1
x2)
=−2
1= −2
Horizontale Asymptote: y = −2
limx→−0,707+
−2(x+ 2 12 )(x+ 1
2 )
(x+ 0, 707)(x− 0, 707)= −∞
limx→−0,707−
−2(x+ 2 12 )(x+ 1
2 )
(x+ 0, 707)(x− 0, 707)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −0, 707
limx→0,707+
−2(x+ 2 12 )(x+ 1
2 )
(x+ 0, 707)(x− 0, 707)= −∞
limx→0,707−
−2(x+ 2 12 )(x+ 1
2 )
(x+ 0, 707)(x− 0, 707)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0, 707
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =6x2 + 7x+ 3
x4 − x2 + 14
= 0
6x2 + 7x+ 3 = 0
x1/2 =−7±
√72 − 4 · 6 · 32 · 6
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x1/2 =−7±
√−23
12Diskriminante negativ keine Lösung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =6x2 + 7x+ 3
x4 − x2 + 14
Zaehler = 0
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx7 = −0, 707; 1-fache Nullstellex8 = 0, 707; 1-fache Nullstelle
x < −0, 707 < x < 0, 707 < xf ′(x) − 0 + 0 +
x ∈]− 0, 707; 0, 707[ ∪ ]0, 707;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−0, 707[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−12x5 − 21x4 − 12x3 + 7x2 + 9x+ 1 3
4
x8 − 2x6 + 1 12x
4 − 12x
2 + 116
Zaehler = 0
NumerischeSuche :x9 = −0, 707; 1-fache Nullstellex10 = −0, 263; 1-fache Nullstellex11 = 0, 707; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx12 = −0, 707; 1-fache Nullstellex13 = 0, 707; 1-fache Nullstelle
x < −0, 707 < x < −0, 707 < x < −0, 263 < x < 0, 707 < x < 0, 707 < xf ′′(x) + 0 + 0 − 0 + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−0, 707[ ∪ ]− 0, 707;−0, 707[ ∪ ]− 0, 263; 0, 707[ ∪ ]0, 707; 0, 707[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 0, 707;−0, 263[ ∪ ]0, 707;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (4·x2+12·x+5)(−2·x2+1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −1 20
97 0, 105 0, 0281−6 1
2 −1, 15 0, 121 0, 0347−6 −1 6
71 0, 14 0, 0434−5 1
2 −1 1119 0, 165 0, 0553
−5 − 4549 0, 197 0, 0722
−4 12 − 64
79 0, 238 0, 0968−4 − 21
31 0, 296 0, 134−3 1
2 − 2447 0, 377 0, 195
−3 − 517 0, 498 0, 302
−2 12 0 0, 696 0, 514
−2 37 1, 06 1, 04
−1 12 1 1
7 1, 96 3, 13−1 3 8, 02 44, 1− 1
2 0 16, 1 −1130 5 12 28
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 5 12 2812 24 129 1, 24 · 1031 −21 64, 2 −4381 12 −9 1
7 8, 82 −22, 12 −6 3
7 3, 35 −5, 122 12 −5 5
23 1, 75 −1, 933 −4 9
17 1 9113 −0, 929
3 12 −4 4
47 0, 732 −0, 5174 −3 24
31 0, 529 −0, 3174 12 −3 43
79 0, 4 −0, 2085 −3 18
49 0, 313 −0, 1445 12 −3 27
119 0, 252 −0, 1046 −3 8
71 0, 207 −0, 07736 12 −3, 02 0, 173 −0, 05917 −2 91
97 0, 147 −0, 0462
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (13)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =5x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1Zaehler faktorisieren:5x2 − 2x+ 1 = 0
5x2 − 2x+ 1 = 0
x1/2 =+2±
√(−2)
2 − 4 · 5 · 12 · 5
x1/2 =+2±
√−16
10Diskriminante negativ keine Lösung
Nenner faktorisieren:x2 + 2x+ 1 = 0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
5(x2 − 25x+ 1
5 )
(x+ 1)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}
f (x) =5x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1Polynomdivision :
(5x2 −2x +1 ) : (x2 + 2x+ 1) = 5−(5x2 +10x +5)
−12x −4
f(x) = 5 +−12x− 4
x2 + 2x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(10x− 2) · (x2 + 2x+ 1)− (5x2 − 2x+ 1) · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=(10x3 + 18x2 + 6x− 2)− (10x3 + 6x2 − 2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=12x2 + 8x− 4
(x2 + 2x+ 1)2
=12x2 + 8x− 4
(x2 + 2x+ 1)2
=12(x+ 1)(x− 1
3 )
(x+ 1)4
=12(x− 1
3 )
(x+ 1)3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=12x− 4
x3 + 3x2 + 3x+ 1
f ′′ (x) =12 · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− (12x− 4) · (3x2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=(12x3 + 36x2 + 36x+ 12)− (36x3 + 60x2 + 12x− 12)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−24x3 − 24x2 + 24x+ 24
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−24x3 − 24x2 + 24x+ 24
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 05x2 − 2x+ 1 = 0
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x
f(x) + 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(5− 2
x+
1
x2)
x2(1 +2
x+
1
x2)=
5
1= 5
Horizontale Asymptote: y = 5
limx→−1+
5(x2 − 25x+ 1
5 )
(x+ 1)2= ∞
limx→−1−
5(x2 − 25x+ 1
5 )
(x+ 1)2= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
12x− 4
x3 + 3x2 + 3x+ 1= 0
12x− 4 = 0 / + 412x = 4 / : 12
x =4
12
x =1
3
x2 =1
3; 1-fache Nullstelle
f ′′(1
3) = 5
1
16> 0 ⇒ Tiefpunkt:(1
3/1
2)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
12x− 4
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0
x3 =1
3; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x4 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 13 < x
f ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]1
3;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 1;1
3[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−24x3 − 24x2 + 24x+ 24
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0
− 24x3 − 24x2 + 24x+ 24 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(−24x3 −24x2 +24x +24 ) : (x− 1) = −24x2 − 48x− 24−(−24x3 +24x2)
−48x2 +24x +24−(−48x2 +48x)
−24x +24−(−24x +24)
0
− 24x2 − 48x− 24 = 0
x1/2 =+48±
√(−48)
2 − 4 · (−24) · (−24)
2 · (−24)
x1/2 =+48±
√0
−48
x1/2 =48± 0
−48
x1 =48 + 0
−48x2 =
48− 0
−48x1 = −1 x2 = −1x5 = −1; 2-fache Nullstellex6 = 1; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx7 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 1 < xf ′′(x) + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1; 1[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]1;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (5·x2−2·x+1)(1·x2+2·x+1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 7 2
9 0, 407 0, 148−6 1
2 7 54121 0, 493 0, 197
−6 7 1825 0, 608 0, 269
−5 12 8 5
81 0, 768 0, 38−5 8 1
2 1 0, 563−4 1
2 9 449 1, 35 0, 88
−4 9 89 1, 93 1, 48
−3 12 11 2
25 2, 94 2, 76−3 13 5 6−2 1
2 16 59 10, 1 16, 6
−2 25 28 72−1 1
2 61 176 962−1 ∞ −39183 33
49 −∞− 1
2 13 −80, 3 5770 1 −4, 01 24
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 −4, 01 2412
59 0, 592 2, 37
1 1 1 0, 0001531 12 1 12
25 0, 896 −0, 3072 1 8
9 0, 741 −0, 2962 12 2 11
49 0, 606 −0, 243 2 1
2 0, 5 −0, 1883 12 2 59
81 0, 417 −0, 1464 2 23
25 0, 352 −0, 1154 12 3 10
121 0, 301 −0, 09185 3 2
9 0, 259 − 227
5 12 3, 34 0, 226 −0, 06056 3 22
49 0, 198 −0, 056 12 3, 54 0, 175 −0, 04177 3 5
8532 −0, 0352
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (14)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =5x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1Zaehler faktorisieren:5x2 − 2x+ 1 = 0
5x2 − 2x+ 1 = 0
x1/2 =+2±
√(−2)
2 − 4 · 5 · 12 · 5
x1/2 =+2±
√−16
10Diskriminante negativ keine Lösung
Nenner faktorisieren:x2 + 2x+ 1 = 0
1x2 + 2x+ 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 1 · 12 · 1
x1/2 =−2±
√0
2
x1/2 =−2± 0
2
x1 =−2 + 0
2x2 =
−2− 0
2x1 = −1 x2 = −1x1 = −1; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
5(x2 − 25x+ 1
5 )
(x+ 1)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}
f (x) =5x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1Polynomdivision :
(5x2 −2x +1 ) : (x2 + 2x+ 1) = 5−(5x2 +10x +5)
−12x −4
f(x) = 5 +−12x− 4
x2 + 2x+ 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(10x− 2) · (x2 + 2x+ 1)− (5x2 − 2x+ 1) · (2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=(10x3 + 18x2 + 6x− 2)− (10x3 + 6x2 − 2x+ 2)
(x2 + 2x+ 1)2
=12x2 + 8x− 4
(x2 + 2x+ 1)2
=12x2 + 8x− 4
(x2 + 2x+ 1)2
=12(x+ 1)(x− 1
3 )
(x+ 1)4
=12(x− 1
3 )
(x+ 1)3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=12x− 4
x3 + 3x2 + 3x+ 1
f ′′ (x) =12 · (x3 + 3x2 + 3x+ 1)− (12x− 4) · (3x2 + 6x+ 3)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=(12x3 + 36x2 + 36x+ 12)− (36x3 + 60x2 + 12x− 12)
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−24x3 − 24x2 + 24x+ 24
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
=−24x3 − 24x2 + 24x+ 24
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 05x2 − 2x+ 1 = 0
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x
f(x) + 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→±∞
x2(5− 2
x+
1
x2)
x2(1 +2
x+
1
x2)=
5
1= 5
Horizontale Asymptote: y = 5
limx→−1+
5(x2 − 25x+ 1
5 )
(x+ 1)2= ∞
limx→−1−
5(x2 − 25x+ 1
5 )
(x+ 1)2= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
12x− 4
x3 + 3x2 + 3x+ 1= 0
12x− 4 = 0 / + 412x = 4 / : 12
x =4
12
x =1
3
x2 =1
3; 1-fache Nullstelle
f ′′(1
3) = 5
1
16> 0 ⇒ Tiefpunkt:(1
3/1
2)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)f ′ (x) =
12x− 4
x3 + 3x2 + 3x+ 1Zaehler = 0
x3 =1
3; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x4 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 13 < x
f ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]1
3;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 1;1
3[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−24x3 − 24x2 + 24x+ 24
x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x+ 1Zaehler = 0
− 24x3 − 24x2 + 24x+ 24 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(−24x3 −24x2 +24x +24 ) : (x− 1) = −24x2 − 48x− 24−(−24x3 +24x2)
−48x2 +24x +24−(−48x2 +48x)
−24x +24−(−24x +24)
0
− 24x2 − 48x− 24 = 0
x1/2 =+48±
√(−48)
2 − 4 · (−24) · (−24)
2 · (−24)
x1/2 =+48±
√0
−48
x1/2 =48± 0
−48
x1 =48 + 0
−48x2 =
48− 0
−48x1 = −1 x2 = −1x5 = −1; 2-fache Nullstellex6 = 1; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx7 = −1; 2-fache Nullstelle
x < −1 < x < 1 < xf ′′(x) + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]− 1; 1[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]1;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (5·x2−2·x+1)(1·x2+2·x+1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 7 2
9 0, 407 0, 148−6 1
2 7 54121 0, 493 0, 197
−6 7 1825 0, 608 0, 269
−5 12 8 5
81 0, 768 0, 38−5 8 1
2 1 0, 563−4 1
2 9 449 1, 35 0, 88
−4 9 89 1, 93 1, 48
−3 12 11 2
25 2, 94 2, 76−3 13 5 6−2 1
2 16 59 10, 1 16, 6
−2 25 28 72−1 1
2 61 176 962−1 ∞ −39183 33
49 −∞− 1
2 13 −80, 3 5770 1 −4, 01 24
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 −4, 01 2412
59 0, 592 2, 37
1 1 1 0, 0001531 12 1 12
25 0, 896 −0, 3072 1 8
9 0, 741 −0, 2962 12 2 11
49 0, 606 −0, 243 2 1
2 0, 5 −0, 1883 12 2 59
81 0, 417 −0, 1464 2 23
25 0, 352 −0, 1154 12 3 10
121 0, 301 −0, 09185 3 2
9 0, 259 − 227
5 12 3, 34 0, 226 −0, 06056 3 22
49 0, 198 −0, 056 12 3, 54 0, 175 −0, 04177 3 5
8532 −0, 0352
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (15)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 + 3x2 − 4
x2
Zaehler faktorisieren:x3 + 3x2 − 4 = 0
x3 + 3x2 − 4 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(x3 +3x2 −4 ) : (x− 1) = x2 + 4x+ 4−(x3 −x2)
4x2 −4−(4x2 −4x)
4x −4−(4x −4)
0
1x2 + 4x+ 4 = 0
x1/2 =−4±
√42 − 4 · 1 · 42 · 1
x1/2 =−4±
√0
2
x1/2 =−4± 0
2
x1 =−4 + 0
2x2 =
−4− 0
2x1 = −2 x2 = −2x1 = −2; 2-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 = 0x2 = 0 ⇒ x = 0x3 = 0; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 2)2(x− 1)
x2
• Definitionsbereich: D = R \ {0}
f (x) =x3 + 3x2 − 4
x2
Polynomdivision :(x3 +3x2 −4 ) : (x2) = x+ 3
−(x3)
3x2 −4−(3x2)
−4
f(x) = x+ 3 +−4
x2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(3x2 + 6x) · x2 − (x3 + 3x2 − 4) · 2x
(x2)2
=(3x4 + 6x3)− (2x4 + 6x3 − 8x)
(x2)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
=x4 + 8x
(x2)2
=x4 + 8x
(x2)2
=(x2 − 2x+ 4)(x+ 2)x
x4
=(x2 − 2x+ 4)(x+ 2)
x3
=x3 + 8
x3
f ′′ (x) =3x2 · x3 − (x3 + 8) · 3x2
(x3)2
=3x5 − (3x5 + 24x2)
(x3)2
=−24x2
(x3)2
=−24x2
(x3)2
=−24x2
x6
=−24
x4
=−24
x4
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x3 + 3x2 − 4 = 0x4 = −2; 2-fache Nullstellex5 = 1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < 0 < x < 1 < x
f(x) − 0 − 0 − 0 +
x ∈]1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2; 0[ ∪ ]0; 1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x3(1 +3
x− 4
x3)
x2(1)= ∞
limx→−∞
x3(1 +3
x− 4
x3)
x2(1)= ∞
Schiefe Asymptote:y = x+ 3
limx→0+
(x+ 2)2(x− 1)
x2= −∞
limx→0−
(x+ 2)2(x− 1)
x2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
f ′(x) =x3 + 8
x3= 0
x3 + 8 = 01x3 + 8 = 0 /− 81x3 = −8 / : 1
x3 =−8
1x = 3
√−8
x = −2Polynomdivision:(−2)
(x3 +8 ) : (x+ 2) = x2 − 2x+ 4−(x3 +2x2)
−2x2 +8−(−2x2 −4x)
4x +8−(4x +8)
0
1x2 − 2x+ 4 = 0
x1/2 =+2±
√(−2)
2 − 4 · 1 · 42 · 1
x1/2 =+2±
√−12
2Diskriminante negativ keine Lösungx6 = −2; 1-fache Nullstelle
f ′′(−2) = −11
2f ′′(−2) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−2/0)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =x3 + 8
x3
Zaehler = 0x7 = −2; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx8 = 0; 2-fache Nullstelle
x < −2 < x < 0 < xf ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 2; 0[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−24
x4
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3+3·x2−4)(1·x2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −4 4
49 0, 977 −0, 01−6 1
2 −3, 59 0, 971 −0, 0134−6 −3 1
92627 − 1
54
−5 12 −2, 63 0, 952 −0, 0262
−5 −2 425 0, 936 −0, 0384
−4 12 −1, 7 0, 912 −0, 0585
−4 −1 14 0, 875 −0, 0938
−3 12 − 81
98 0, 813 −0, 16−3 − 4
9 0, 704 −0, 296−2 1
2 − 750 0, 488 −0, 614
−2 0 −0, 000153 −1, 5−1 1
2 − 518 −1, 37 −4, 74
−1 −2 −7 −24− 1
2 −13 12 −63, 2 −385
0 −∞ 1 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ 1 ∞12 −12 1
2 65, 2 −3851 0 9 −241 12 2 13
18 3, 37 −4, 742 4 2 −1, 52 12 4 43
50 1, 51 −0, 6143 5 5
9 1, 3 −0, 2963 12 6 17
98 1, 19 −0, 164 6 3
4 1, 13 −0, 09384 12 7, 3 1, 09 −0, 05855 7 21
25 1, 06 −0, 03845 12 8, 37 1, 05 −0, 02626 8 8
9 1 127 − 1
54
6 12 9, 41 1, 03 −0, 01347 9 45
49 1, 02 −0, 01
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Aufgabe (16)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =−x3 + 3x2 − 4
− 12x
2 − 3x− 4 12
Zaehler faktorisieren:− x3 + 3x2 − 4 = 0
− x3 + 3x2 − 4 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(−x3 +3x2 −4 ) : (x+ 1) = −x2 + 4x− 4−(−x3 −x2)
4x2 −4−(4x2 +4x)
−4x −4−(−4x −4)
0
− x2 + 4x− 4 = 0
x1/2 =−4±
√42 − 4 · (−1) · (−4)
2 · (−1)
x1/2 =−4±
√0
−2
x1/2 =−4± 0
−2
x1 =−4 + 0
−2x2 =
−4− 0
−2x1 = 2 x2 = 2x1 = −1; 1-fache Nullstellex2 = 2; 2-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− 1
2x2 − 3x− 4
1
2= 0
− 1
2x2 − 3x− 4
1
2= 0
x1/2 =+3±
√(−3)
2 − 4 ·(− 1
2
)·(−4 1
2
)2 ·
(− 1
2
)x1/2 =
+3±√0
−1
x1/2 =3± 0
−1
x1 =3 + 0
−1x2 =
3− 0
−1x1 = −3 x2 = −3x3 = −3; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−(x+ 1)(x− 2)2
− 12 (x+ 3)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−3}
f (x) =2x3 − 6x2 + 8
x2 + 6x+ 9Polynomdivision :
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
(2x3 −6x2 +8 ) : (x2 + 6x+ 9) = 2x− 18−(2x3 +12x2 +18x)
−18x2 −18x +8−(−18x2 −108x −162)
90x +170
f(x) = 2x− 18 +90x+ 170
x2 + 6x+ 9
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(6x2 − 12x) · (x2 + 6x+ 9)− (2x3 − 6x2 + 8) · (2x+ 6)
(x2 + 6x+ 9)2
=(6x4 + 24x3 − 18x2 − 108x)− (4x4 − 36x2 + 16x+ 48)
(x2 + 6x+ 9)2
=2x4 + 24x3 + 18x2 − 124x− 48
(x2 + 6x+ 9)2
=2x4 + 24x3 + 18x2 − 124x− 48
(x2 + 6x+ 9)2
=2(x+ 10, 6)(x+ 3)(x+ 0, 377)(x− 2)
(x+ 3)4
=2(x+ 10, 6)(x+ 0, 377)(x− 2)
(x+ 3)3
=2x3 + 18x2 − 36x− 16
x3 + 9x2 + 27x+ 27
f ′′ (x) =(6x2 + 36x− 36) · (x3 + 9x2 + 27x+ 27)− (2x3 + 18x2 − 36x− 16) · (3x2 + 18x+ 27)
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
=(6x5 + 90x4 + 450x3 + 810x2 − 972)− (6x5 + 90x4 + 270x3 − 210x2 − 1, 26 · 103x− 432)
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
=180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
=180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 02x3 − 6x2 + 8 = 0x4 = −1; 1-fache Nullstellex5 = 2; 2-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −3 < x < −1 < x < 2 < x
f(x) − 0 − 0 + 0 +
x ∈]− 1; 2[ ∪ ]2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]− 3;−1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x3(−1 +3
x− 4
x3)
x2(− 12 − 3
x−
4 12
x2)
= ∞
limx→−∞
x3(−1 +3
x− 4
x3)
x2(− 12 − 3
x−
4 12
x2)
= ∞
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
Schiefe Asymptote:y = 2x− 18
limx→−3+
2(x+ 1)(x− 2)2
(x+ 3)2= −∞
limx→−3−
2(x+ 1)(x− 2)2
(x+ 3)2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −3
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =2x3 + 18x2 − 36x− 16
x3 + 9x2 + 27x+ 27= 0
2x3 + 18x2 − 36x− 16 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:2(2x3 +18x2 −36x −16 ) : (x− 2) = 2x2 + 22x+ 8−(2x3 −4x2)
22x2 −36x −16−(22x2 −44x)
8x −16−(8x −16)
−7, 11 · 10−15
2x2 + 22x+ 8 = 0
x1/2 =−22±
√222 − 4 · 2 · 82 · 2
x1/2 =−22±
√420
4
x1/2 =−22± 20, 5
4
x1 =−22 + 20, 5
4x2 =
−22− 20, 5
4x1 = −0, 377 x2 = −10, 6x6 = −10, 6; 1-fache Nullstellex7 = −0, 377; 1-fache Nullstellex8 = 2; 1-fache Nullstellef ′′(−10, 6) = 0, 515 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−10, 6/− 52, 8)
f ′′(−0, 377) = −2, 67f ′′(−0, 377) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−0, 377/1, 02)
f ′′(2) = 0, 388 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(2/0)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =2x3 + 18x2 − 36x− 16
x3 + 9x2 + 27x+ 27Zaehler = 0x9 = −10, 6; 1-fache Nullstellex10 = −0, 377; 1-fache Nullstellex11 = 2; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx12 = −3; 2-fache Nullstelle
x < −10, 6 < x < −3 < x < −0, 377 < x < 2 < xf ′(x) + 0 − 0 + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−10, 6[ ∪ ]− 3;−0, 377[ ∪ ]2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
x ∈]− 10, 6;−3[ ∪ ]− 0, 377; 2[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540
x6 + 18x5 + 135x4 + 540x3 + 1, 22 · 103x2 + 1, 46 · 103x+ 729Zaehler = 0
180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 3(180x3 +1, 02 · 103x2 +1, 26 · 103x −540 ) : (x+ 3) = 180x2 + 480x− 180−(180x3 +540x2)
480x2 +1, 26 · 103x −540−(480x2 +1, 44 · 103x)
−180x −540−(−180x −540)
2, 27 · 10−13
180x2 + 480x− 180 = 0
x1/2 =−480±
√4802 − 4 · 180 · (−180)
2 · 180
x1/2 =−480±
√3, 6 · 105
360
x1/2 =−480± 600
360
x1 =−480 + 600
360x2 =
−480− 600
360
x1 =1
3x2 = −3
x13 = −3; 2-fache Nullstelle
x14 =1
3; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx15 = −3; 2-fache Nullstelle
x < −3 < x < 13 < x
f ′′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]1
3;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 3;1
3[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad = Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1·x3+3·x2−4)
(− 12 ·x2−3·x−4 1
2 )
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −60 3
4 −6, 75 −5, 16−6 1
2 −64 4349 −10 −8, 2
−6 −71 19 −15, 4 −14, 1
−5 12 −81 −25, 2 −26 97
110
−5 −98 −45, 5 −60−4 1
2 −131 49 −97, 3 −172
−4 −216 −288 −780−3 1
2 −605 −1, 96 · 103 −1, 11 · 104−3 ∞ 293879 27
49 −∞−2 1
2 −243 1, 25 · 103 −8, 18 · 103−2 −32 112 −420−1 1
2 −5 49 21, 3 −65, 2
−1 0 4, 5 −15− 1
2 1 0, 401 −3, 840 8
9 −0, 592 −0, 741
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 8
9 −0, 592 −0, 74112
2749 −0, 682 0, 2
1 14 −0, 5 0, 469
1 12
581 −0, 25 0, 512
2 0 −4, 9 · 10−6 0, 482 12
7121
27119 0, 426
3 29 0, 426 10
27
3 12 0, 479 0, 598 0, 3194 40
49 0, 746 0, 2754 12 1 2
9 0, 874 0, 2375 1 11
16 0, 984 0, 2055 12 2, 2 1, 08 0, 1786 2 62
81 1, 16 0, 1556 12 3, 37 1, 24 0, 1367 4 1, 3 3
25
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad
4 Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad4.1 Aufgaben
(1) f (x) =x2 + 3x
2x− 1
(2) f (x) =x2 + x− 6
5x− 2
(3) f (x) =x2 − 1
x
(4) f (x) =2x2 − 8
2x− 3
(5) f (x) =x2 + 6x+ 8
−9x− 3
(6) f (x) =3x3 − 10x2 + 7x− 12
x− 3
(7) f (x) =13x
3 − 1 13x
2 + 13x+ 2
x− 2
(8) f (x) =x3 + x2 − 4x− 4
x− 2
(9) f (x) =x3 + 5x2 − x− 5
x+ 1
(10) f (x) =3x3 − x2 − 3x+ 1
x− 1
(11) f (x) =x3 − 8x+ 2
x+ 2
(12) f (x) =2x3 + 1
x2 + 1
(13) f (x) =x3 + x
x2 − x− 12
(14) f (x) =x4 − 3x2 − 4
x2 − 4
(15) f (x) =x4 − 5x2 + 4
x2 − 3x+ 2
(16) f (x) =x2 − 6x+ 9
−x+ 2
(17) f (x) =x2 + 3x+ 3
3x+ 6
(18) f (x) =x3 + 3x2 − 4
x2
(19) f (x) =−x3 + 3x2 − 4
− 12x
2 − 3x− 4 12
(20) f (x) =3x3 − 10x2 + 7x− 12
x− 3
(21) f (x) =x3 − 6x2 + 11x− 6
x− 2
(22) f (x) =x3 − 2x2 − 5x+ 6
x− 1
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
4.2 LösungenAufgabe (1)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 + 3x
2x− 1Zaehler faktorisieren:x2 + 3x = 0x(x+ 3) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x+ 3 = 0x+ 3 = 0 /− 3x = −3x1 = −3; 1-fache Nullstellex2 = 0; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:2x− 1 = 0
2x− 1 = 0 / + 12x = 1 / : 2
x =1
2
x =1
2
x3 =1
2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 3)x
2(x− 12 )
• Definitionsbereich: D = R \{1
2
}f (x) =
12x
2 + 1 12x
x− 12
Polynomdivision :( 12x2 +1 1
2x ) : (x− 1
2) = 1
2x+ 1 3
4
−( 12x2 − 1
4x)
1 34x
−(1 34x − 7
8)
78
f(x) =1
2x+ 1
3
4+
78
x− 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(x+ 1 1
2 ) · (x− 12 )− ( 12x
2 + 1 12x) · 1
(x− 12 )
2
=(x2 + x− 3
4 )− ( 12x2 + 1 1
2x)
(x− 12 )
2
=12x
2 − 12x− 3
4
(x− 12 )
2
=12x
2 − 12x− 3
4
(x− 12 )
2
f ′′ (x) =(x− 1
2 ) · (x2 − x+ 1
4 )− ( 12x2 − 1
2x− 34 ) · (2x− 1)
(x2 − x+ 14 )
2
=(x3 − 1 1
2x2 + 3
4x− 18 )− (x3 − 1 1
2x2 − x+ 3
4 )
(x2 − x+ 14 )
2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=1 34x− 7
8
(x2 − x+ 14 )
2
=1 34x− 7
8
(x2 − x+ 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01
2x2 + 1
1
2x = 0
x4 = −3; 1-fache Nullstellex5 = 0; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −3 < x < 0 < x < 1
2 < xf(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 3; 0[ ∪ ]1
2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]0;1
2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x2(1 +3
x)
x(2− 1
x)
= ∞
limx→−∞
x2(1 +3
x)
x(2− 1
x)
= ∞
Schiefe Asymptote:y =1
2x+ 1
3
4
limx→ 1
2+
12 (x+ 3)x
(x− 12 )
= ∞
limx→ 1
2−
12 (x+ 3)x
(x− 12 )
= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x =1
2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =12x
2 − 12x− 3
4
x2 − x+ 14
= 0
1
2x2 − 1
2x− 3
4= 0
x1/2 =+ 1
2 ±√(
− 12
)2 − 4 · 12 ·
(− 3
4
)2 · 1
2
x1/2 =+ 1
2 ±√1 34
1
x1/2 =12 ± 1, 32
1
x1 =12 + 1, 32
1x2 =
12 − 1, 32
1x1 = 1, 82 x2 = −0, 823x6 = −0, 823; 1-fache Nullstelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x7 = 1, 82; 1-fache Nullstelle
f ′′(−0, 823) = −2
7f ′′(−0, 823) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−0, 823/0, 677)
f ′′(1, 82) = −2
7f ′′(1, 82) < 0 ⇒ Hochpunkt:(1, 82/3, 32)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =12x
2 − 12x− 3
4
x2 − x+ 14
Zaehler = 0x8 = −0, 823; 1-fache Nullstellex9 = 1, 82; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx10 =
1
2; 1-fache Nullstelle
x < −0, 823 < x < 12 < x < 1, 82 < x
f ′(x) + 0 − 0 − 0 +
x ∈]−∞;−0, 823[ ∪ ]1, 82;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 0, 823;1
2[ ∪ ]
1
2; 1, 82[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =1 34x− 7
8
x4 − 2x3 + 1 12x
2 − 12x+ 1
16Zaehler = 0
13
4x− 7
8= 0 / +
7
8
13
4x =
7
8/ : 1
3
4
x =78
1 34
x =1
2
x11 =1
2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx12 =
1
2; 1-fache Nullstelle
x < 12 < x
f ′′(x) − 0 −
x ∈]−∞;1
2[ ∪ ]
1
2;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2+3·x)(2·x−1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −1 13
15 0, 484 −0, 00415−6 1
2 −1 58
2756 −0, 0051
−6 −1 513 0, 479 −0, 00637
−5 12 −1 7
48 0, 476 −0, 0081−5 − 10
1157121 −0, 0105
−4 12 − 27
40 0, 465 −0, 014−4 − 4
93781 −0, 0192
−3 12 − 7
32 0, 445 −0, 0273−3 0 0, 429 −0, 0408−2 1
2524 0, 403 −0, 0648
−2 25 0, 36 −0, 112
−1 12
916 0, 281 −0, 219
−1 23 0, 111 −0, 519
− 12
58 −0, 375 −1, 75
0 0 −3 −14
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 0 −3 −1412 ∞ 2857 9
14 −∞1 4 −3 141 12 3 3
8 −0, 375 1, 752 3 1
3 0, 111 0, 5192 12 3 7
16 0, 281 0, 2193 3 3
5 0, 36 0, 1123 12 3 19
24 0, 403 0, 06484 4 0, 429 0, 04084 12 4 7
32 0, 445 0, 02735 4 4
93781 0, 0192
5 12 4 27
40 0, 465 0, 0146 4 10
1157121 0, 0105
6 12 5 7
48 0, 476 0, 00817 5 5
13 0, 479 0, 00637
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (2)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 + x− 6
5x− 2Zaehler faktorisieren:x2 + x− 6 = 0
1x2 + x− 6 = 0
x1/2 =−1±
√12 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1x1/2 =
−1±√25
2
x1/2 =−1± 5
2
x1 =−1 + 5
2x2 =
−1− 5
2x1 = 2 x2 = −3x1 = −3; 1-fache Nullstellex2 = 2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:5x− 2 = 0
5x− 2 = 0 / + 25x = 2 / : 5
x =2
5
x =2
5
x3 =2
5; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 3)(x− 2)
5(x− 25 )
• Definitionsbereich: D = R \{2
5
}f (x) =
15x
2 + 15x− 1 1
5
x− 25
Polynomdivision :( 15x2 + 1
5x −1 1
5) : (x− 2
5) = 1
5x+ 7
25
−( 15x2 − 2
25x)
725x −1 1
5
−( 725x − 14
125)
−1 11125
f(x) =1
5x+
7
25+
−1 11125
x− 25
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =( 25x+ 1
5 ) · (x− 25 )− ( 15x
2 + 15x− 1 1
5 ) · 1(x− 2
5 )2
=( 25x
2 + 125x− 2
25 )− ( 15x2 + 1
5x− 1 15 )
(x− 25 )
2
=15x
2 − 425x+ 1 3
25
(x− 25 )
2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=15x
2 − 425x+ 1 3
25
(x− 25 )
2
f ′′ (x) =( 25x− 4
25 ) · (x2 − 4
5x+ 425 )− ( 15x
2 − 425x+ 1 3
25 ) · (2x− 45 )
(x2 − 45x+ 4
25 )2
=( 25x
3 − 1225x
2 + 24125x− 0, 0256)− ( 25x
3 − 1225x
2 + 2 46125x− 112
125 )
(x2 − 45x+ 4
25 )2
=−2 22
125x+ 0, 87
(x2 − 45x+ 4
25 )2
=−2 22
125x+ 0, 87
(x2 − 45x+ 4
25 )2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01
5x2 +
1
5x− 1
1
5= 0
x4 = −3; 1-fache Nullstellex5 = 2; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −3 < x < 2
5 < x < 2 < xf(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 3;2
5[ ∪ ]2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]2
5; 2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x2(1 + x− 6
x2)
x(5− 2
x)
= ∞
limx→−∞
x2(1 + x− 6
x2)
x(5− 2
x)
= ∞
Schiefe Asymptote:y =1
5x+
7
25
limx→ 2
5+
15 (x+ 3)(x− 2)
(x− 25 )
= −∞
limx→ 2
5−
15 (x+ 3)(x− 2)
(x− 25 )
= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x =2
5
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =15x
2 − 425x+ 1 3
25
x2 − 45x+ 4
25
= 0
1
5x2 − 4
25x+ 1
3
25= 0
x1/2 =+ 4
25 ±√(
− 425
)2 − 4 · 15 · 1 3
25
2 · 15
x1/2 =+ 4
25 ±√−0, 87
25
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Diskriminante negativ keine Lösung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =15x
2 − 425x+ 1 3
25
x2 − 45x+ 4
25Zaehler = 0
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 =
2
5; 1-fache Nullstelle
x < 25 < x
f ′(x) + 0 +
x ∈]−∞;2
5[ ∪ ]
2
5;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−2 22
125x+ 0, 87
x4 − 1 35x
3 + 2425x
2 − 32125x+ 0, 0256
Zaehler = 0
− 222
125x+ 0, 87 = 0 /− 0, 87
− 222
125x = −0, 87 / :
(−2
22
125
)x =
−0, 87
−2 22125
x =2
5
x7 =2
5; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx8 =
2
5; 1-fache Nullstelle
x < 25 < x < 2
5 < xf ′′(x) + 0 + 0 −
x ∈]−∞;2
5[ ∪ ]
2
5;2
5[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈] 25;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2+1·x−6)(5·x−2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 − 36
37 0, 22 0, 00537−6 1
2 −0, 862 0, 223 0, 00662−6 − 3
4 0, 227 0, 0083−5 1
2 − 75118 0, 231 0, 0106
−5 − 1427 0, 237 0, 0138
−4 12 − 39
98 0, 245 0, 0185−4 − 3
1131121 0, 0255
−3 12 − 11
78 0, 272 0, 0367−3 0 0, 294 0, 0554−2 1
2958 0, 329 0, 0892
−2 13 0, 389 0, 157
−1 12
2138 0, 501 0, 317
−1 67 0, 755 0, 793
− 12 1 7
18 1, 54 2, 990 3 7, 01 34, 1
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 3 7, 01 34, 112 −10 1
2 112 −2, 24 · 1031 −1 1
3 3, 22 −10, 11 12 − 9
22 1, 1 −1, 642 0 0, 625 −0, 5312 12
1142 0, 447 −0, 235
3 613 0, 361 −0, 124
3 12
3962 0, 313 −0, 073
4 79 0, 284 −0, 0466
4 12
7582 0, 265 −0, 0316
5 1 123 0, 251 −0, 0224
5 12 1 1
6 0, 242 −0, 01646 1 2
72398 −0, 0124
6 12 1 49
122 0, 229 −0, 009597 1 17
33 0, 225 −0, 00757
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (3)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 − 1
xZaehler faktorisieren:x2 − 1 = 0
1x2 − 1 = 0 / + 11x2 = 1 / : 1
x2 =1
1x = ±
√1
x1 = 1 x2 = −1x1 = −1; 1-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x = 0x = 0 ⇒ x = 0x3 = 0; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 1)(x− 1)
x
• Definitionsbereich: D = R \ {0}
f (x) =x2 − 1
xPolynomdivision :
(x2 −1 ) : (x) = x−(x2)
−1
f(x) = x+−1
x
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =2x · x− (x2 − 1) · 1
(x)2
=2x2 − (x2 − 1)
(x)2
=x2 + 1
(x)2
=x2 + 1
(x)2
f ′′ (x) =2x · x2 − (x2 + 1) · 2x
(x2)2
=2x3 − (2x3 + 2x)
(x2)2
=−2x
(x2)2
=−2x
(x2)2
=−2x
x4
=−2
x3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=−2
x3
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x2 − 1 = 0x4 = −1; 1-fache Nullstellex5 = 1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 0 < x < 1 < x
f(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 1; 0[ ∪ ]1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]0; 1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x2(1− 1
x2)
x(1)= ∞
limx→−∞
x2(1− 1
x2)
x(1)= ∞
Schiefe Asymptote:y = x
limx→0+
(x+ 1)(x− 1)
x= −∞
limx→0−
(x+ 1)(x− 1)
x= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =x2 + 1
x2= 0
1x2 + 1 = 0 /− 11x2 = −1 / : 1
x2 =−1
1keine Lösung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =x2 + 1
x2
Zaehler = 0
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′(x) + 0 +
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
• Kruemmung
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =−2
x3
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx7 = 0; 1-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) + 0 −
x ∈]−∞; 0[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]0;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2−1)(1·x)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −6 6
7 1 149 0, 00583
−6 12 −6 9
26 1, 02 0, 00728−6 −5 5
6 1 136
1108
−5 12 −5 7
22 1 4121 0, 012
−5 −4 45 1 1
252
125
−4 12 −4 5
18 1 481 0, 0219
−4 −3 34 1, 06 1
32
−3 12 −3 3
14 1, 08 0, 0466−3 −2 2
3 1, 11 0, 0741−2 1
2 −2 110 1, 16 0, 128
−2 −1 12 1, 25 0, 25
−1 12 − 5
6 1, 44 0, 593−1 0 2 2− 1
2 1 12 5 16
0 −∞ −3264 1549 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ −3264 15
49 ∞12 −1 1
2 5 −161 0 2 −21 12
56 1, 44 −0, 593
2 1 12 1, 25 −0, 25
2 12 2 1
10 1, 16 −0, 1283 2 2
3 1, 11 −0, 07413 12 3 3
14 1, 08 −0, 04664 3 3
4 1, 06 − 132
4 12 4 5
18 1 481 −0, 0219
5 4 45 1 1
25 − 2125
5 12 5 7
22 1 4121 −0, 012
6 5 56 1 1
36 − 1108
6 12 6 9
26 1, 02 −0, 007287 6 6
7 1 149 −0, 00583
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (4)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =2x2 − 8
2x− 3Zaehler faktorisieren:2x2 − 8 = 0
2x2 − 8 = 0 / + 82x2 = 8 / : 2
x2 =8
2x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = 2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:2x− 3 = 0
2x− 3 = 0 / + 32x = 3 / : 2
x =3
2
x = 11
2
x3 = 11
2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
2(x+ 2)(x− 2)
2(x− 1 12 )
• Definitionsbereich: D = R \{11
2
}f (x) =
x2 − 4
x− 1 12
Polynomdivision :(x2 −4 ) : (x− 1 1
2) = x+ 1 1
2
−(x2 −1 12x)
1 12x −4
−(1 12x −2 1
4)
−1 34
f(x) = x+ 11
2+
−1 34
x− 1 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =2x · (x− 1 1
2 )− (x2 − 4) · 1(x− 1 1
2 )2
=(2x2 − 3x)− (x2 − 4)
(x− 1 12 )
2
=x2 − 3x+ 4
(x− 1 12 )
2
=x2 − 3x+ 4
(x− 1 12 )
2
f ′′ (x) =(2x− 3) · (x2 − 3x+ 2 1
4 )− (x2 − 3x+ 4) · (2x− 3)
(x2 − 3x+ 2 14 )
2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=(2x3 − 9x2 + 13 1
2x− 6 34 )− (2x3 − 9x2 + 17x− 12)
(x2 − 3x+ 2 14 )
2
=−3 1
2x+ 5 14
(x2 − 3x+ 2 14 )
2
=−3 1
2x+ 5 14
(x2 − 3x+ 2 14 )
2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x2 − 4 = 0x4 = −2; 1-fache Nullstellex5 = 2; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < 1 1
2 < x < 2 < xf(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 2; 11
2[ ∪ ]2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]11
2; 2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x2(2− 8
x2)
x(2− 3
x)
= ∞
limx→−∞
x2(2− 8
x2)
x(2− 3
x)
= ∞
Schiefe Asymptote:y = x+ 11
2
limx→1 1
2+
(x+ 2)(x− 2)
(x− 1 12 )
= −∞
limx→1 1
2−
(x+ 2)(x− 2)
(x− 1 12 )
= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 11
2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =x2 − 3x+ 4
x2 − 3x+ 2 14
= 0
1x2 − 3x+ 4 = 0
x1/2 =+3±
√(−3)
2 − 4 · 1 · 42 · 1
x1/2 =+3±
√−7
2Diskriminante negativ keine Lösung
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =x2 − 3x+ 4
x2 − 3x+ 2 14
Zaehler = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = 1
1
2; 1-fache Nullstelle
x < 1 12 < x
f ′(x) + 0 +
x ∈]−∞; 11
2[ ∪ ]1
1
2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−3 1
2x+ 5 14
x4 − 6x3 + 13 12x
2 − 13 12x+ 5 1
16Zaehler = 0
− 31
2x+ 5
1
4= 0 /− 5
1
4
− 31
2x = −5
1
4/ :
(−3
1
2
)x =
−5 14
−3 12
x = 11
2
x7 = 11
2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx8 = 1
1
2; 1-fache Nullstelle
x < 1 12 < x
f ′′(x) + 0 −
x ∈]−∞; 11
2[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]112;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (2·x2−8)(2·x−3)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −5 5
17 1, 02 0, 0057−6 1
2 −4 2532 1, 03 0, 00684
−6 −4 415 1, 03 0, 0083
−5 12 −3 3
4 1 128
198
−5 −3 313 1, 04 0, 0127
−4 12 −2 17
24 1, 05 0, 0162−4 −2 2
11 1 7121 0, 021
−3 12 −1 13
20 1 7100 0, 028
−3 −1 19 1, 09 0, 0384
−2 12 − 9
16 1, 11 0, 0547−2 0 1, 14 0, 0816−1 1
2712 1, 19 0, 13
−1 1 15 1, 28 0, 224
− 12 1 7
8 1, 44 0, 4380 2 2
3 1, 78 1, 04
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 2 2
3 1, 78 1, 0412 3 3
4 2, 75 3, 51 6 8, 01 281 12 −∞ −5713 2
7 ∞2 0 8, 01 −282 12 2 1
4 2, 75 −3, 53 3 1
3 1, 78 −1, 043 12 4 1
8 1, 44 −0, 4384 4 4
5 1, 28 −0, 2244 12 5 5
12 1, 19 −0, 135 6 1, 14 −0, 08165 12 6 9
16 1, 11 −0, 05476 7 1
9 1, 09 −0, 03846 12 7 13
20 1 7100 −0, 028
7 8 211 1 7
121 −0, 021
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (5)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 + 6x+ 8
−9x− 3Zaehler faktorisieren:x2 + 6x+ 8 = 0
1x2 + 6x+ 8 = 0
x1/2 =−6±
√62 − 4 · 1 · 82 · 1
x1/2 =−6±
√4
2
x1/2 =−6± 2
2
x1 =−6 + 2
2x2 =
−6− 2
2x1 = −2 x2 = −4x1 = −4; 1-fache Nullstellex2 = −2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− 9x− 3 = 0
− 9x− 3 = 0 / + 3− 9x = 3 / : (−9)
x =3
−9
x = −1
3
x3 = −1
3; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 4)(x+ 2)
−9(x+ 13 )
• Definitionsbereich: D = R \{−1
3
}f (x) =
− 19x
2 − 23x− 8
9
x+ 13
Polynomdivision :(− 1
9x2 − 2
3x − 8
9) : (x+ 1
3) = − 1
9x− 17
27
−(− 19x2 − 1
27x)
− 1727x − 8
9
−(− 1727x − 17
81)
− 5581
f(x) = −1
9x− 17
27+
− 5581
x+ 13
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(− 2
9x− 23 ) · (x+ 1
3 )− (− 19x
2 − 23x− 8
9 ) · 1(x+ 1
3 )2
=(− 2
9x2 − 20
27x− 29 )− (− 1
9x2 − 2
3x− 89 )
(x+ 13 )
2
=− 1
9x2 − 2
27x+ 23
(x+ 13 )
2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=− 1
9x2 − 2
27x+ 23
(x+ 13 )
2
f ′′ (x) =(− 2
9x− 227 ) · (x
2 + 23x+ 1
9 )− (− 19x
2 − 227x+ 2
3 ) · (2x+ 23 )
(x2 + 23x+ 1
9 )2
=(− 2
9x3 − 2
9x2 − 2
27x− 0, 00823)− (− 29x
3 − 29x
2 + 1 2381x+ 4
9 )
(x2 + 23x+ 1
9 )2
=−1 29
81x− 0, 453
(x2 + 23x+ 1
9 )2
=−1 29
81x− 0, 453
(x2 + 23x+ 1
9 )2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0
− 1
9x2 − 2
3x− 8
9= 0
x4 = −4; 1-fache Nullstellex5 = −2; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −4 < x < −2 < x < − 1
3 < xf(x) + 0 − 0 + 0 −
x ∈]−∞;−4[ ∪ ]− 2;−1
3[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 4;−2[ ∪ ]− 1
3;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x2(1 +6
x+
8
x2)
x(−9− 3
x)
= −∞
limx→−∞
x2(1 +6
x+
8
x2)
x(−9− 3
x)
= ∞
Schiefe Asymptote:y = −1
9x− 17
27
limx→− 1
3+
− 19 (x+ 4)(x+ 2)
(x+ 13 )
= −∞
limx→− 1
3−
− 19 (x+ 4)(x+ 2)
(x+ 13 )
= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −1
3
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =− 1
9x2 − 2
27x+ 23
x2 + 23x+ 1
9
= 0
− 1
9x2 − 2
27x+
2
3= 0
x1/2 =+ 2
27 ±√(
− 227
)2 − 4 ·(− 1
9
)· 23
2 ·(− 1
9
)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x1/2 =+ 2
27 ±√0, 302
− 29
x1/2 =227 ± 0, 549
− 29
x1 =227 + 0, 549
− 29
x2 =227 − 0, 549
− 29
x1 = −2, 81 x2 = 2, 14x6 = −2, 81; 1-fache Nullstellex7 = 2, 14; 1-fache Nullstellef ′′(−2, 81) = 0, 0899 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−2, 81/− 0, 0432)
f ′′(2, 14) = −0, 0899f ′′(2, 14) < 0 ⇒ Hochpunkt:(2, 14/− 1, 14)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =− 1
9x2 − 2
27x+ 23
x2 + 23x+ 1
9Zaehler = 0x8 = −2, 81; 1-fache Nullstellex9 = 2, 14; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx10 = −1
3; 1-fache Nullstelle
x < −2, 81 < x < − 13 < x < 2, 14 < x
f ′(x) − 0 + 0 + 0 −
x ∈]− 2, 81;−1
3[ ∪ ]− 1
3; 2, 14[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−2, 81[ ∪ ]2, 14;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−1 29
81x− 0, 453
x4 + 1 13x
3 + 23x
2 + 427x+ 1
81Zaehler = 0
− 129
81x− 0, 453 = 0 / + 0, 453
− 129
81x = 0, 453 / :
(−1
29
81
)x =
0, 453
−1 2981
x = −1
3
x11 = −1
3; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx12 = −1
3; 1-fache Nullstelle
x < − 13 < x < − 1
3 < xf ′′(x) + 0 + 0 −
x ∈]−∞;−1
3[ ∪ ]− 1
3;−1
3[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 1
3;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2+6·x+8)(−9·x−3)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 1
4 −0, 0958 0, 00458−6 1
21574 −0, 0933 0, 00579
−6 851 −0, 09 0, 00746
−5 12
762 −0, 0857 0, 00985
−5 114 −0, 0799 0, 0134
−4 12
130 − 9
125 0, 0188−4 0 −0, 0606 0, 0275−3 1
2 − 138 −0, 0434 0, 0428
−3 − 124 −0, 0156 0, 0716
−2 12 − 1
26 0, 0335 0, 134−2 0 0, 133 0, 293−1 1
2542 0, 388 0, 855
−1 12 1, 42 4, 59
− 12 3 1
2 24, 6 2970 −2 2
3 6, 02 −36, 8
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −2 2
3 6, 02 −36, 812 −1 1
2 0, 867 −2, 351 −1 1
4 0, 271 −0, 5731 12 −1 1
6 0, 0909 −0, 222 −1 1
7 0, 0136 −0, 1072 12 −1 5
34 −0, 0265 −0, 05973 −1 1
6 −0, 05 −0, 03673 12 −1 9
46 −0, 0649 −0, 02414 −1 3
13 −0, 075 −0, 01674 12 −1, 27 −0, 082 −0, 0125 −1 5
16 −0, 0872 −0, 008955 12 −1 5
14 −0, 0912 −0, 006846 −1 23
57 −0, 0942 −0, 005356 12 −1 37
82 −0, 0966 −0, 004267 −1 1
2 −0, 0985 −0, 00344
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (6)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =3x3 − 10x2 + 7x− 12
x− 3Zaehler faktorisieren:3x3 − 10x2 + 7x− 12 = 0
3x3 − 10x2 + 7x− 12 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:3(3x3 −10x2 +7x −12 ) : (x− 3) = 3x2 − x+ 4−(3x3 −9x2)
−x2 +7x −12−(−x2 +3x)
4x −12−(4x −12)
0
3x2 − x+ 4 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 3 · 42 · 3
x1/2 =+1±
√−47
6Diskriminante negativ keine Lösungx1 = 3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x− 3 = 0
x− 3 = 0 / + 3x = 3x2 = 3; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
3(x2 − 13x+ 1 1
3 )(x− 3)
(x− 3)
• Definitionsbereich: D = R \ {3}• Term gekürzen
f (x) =3(x2 − 1
3x+ 1 13 )
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = 3x2 − x+ 4f ′ (x) = 6x− 1f ′′ (x) = 6
F (x) =
∫(3x2 − x+ 4)dx = x3 − 1
2x2 + 4x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [3
11
12,∞[
• Grenzwerte:f(x) = x2(3− 1
x+
4
x2)
limx→∞
f (x) = [3 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [3 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f (−x) = 3 · (−x)2 − 1 · (−x) + 4keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = 3x2 − x+ 4 = 0
3x2 − x+ 4 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 3 · 42 · 3
x1/2 =+1±
√−47
6Diskriminante negativ keine Lösung
• Vorzeichentabelle:kein Vorzeichenwechselx ∈ R f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 6x− 1 = 0
6x− 1 = 0 / + 16x = 1 / : 6
x =1
6
x =1
6
x1 =1
6; 1-fache Nullstelle
f ′′(1
6) = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(1
6/3
11
12)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < 1
6 < xf ′(x) − 0 +
x ∈] 16;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;1
6[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achsekeine Fläche
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (3·x3−10·x2+7·x−12)(1·x−3)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 158 −43 6−6 1
2 137 14 −40 6
−6 118 −37 6−5 1
2 100 14 −34 6
−5 84 −31 6−4 1
2 69 14 −28 6
−4 56 −25 6−3 1
2 44 14 −22 6
−3 34 −19 6−2 1
2 25 14 −16 6
−2 18 −13 6−1 1
2 12 14 −10 6
−1 8 −7 6− 1
2 5 14 −4 6
0 4 −1 6
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 4 −1 612 4 1
4 2 61 6 5 61 12 9 1
4 8 62 14 11 62 12 20 1
4 14 63 NaN 17 NaN3 12 37 1
4 20 64 48 23 64 12 60 1
4 26 65 74 29 65 12 89 1
4 32 66 106 35 66 12 124 1
4 38 67 144 41 6
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (7)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =13x
3 − 1 13x
2 + 13x+ 2
x− 2Zaehler faktorisieren:1
3x3 − 1
1
3x2 +
1
3x+ 2 = 0
1
3x3 − 1
1
3x2 +
1
3x+ 2 = 0
NumerischeSuche :x1 = −1; 1-fache Nullstellex2 = 2; 1-fache Nullstellex3 = 3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x− 2 = 0
x− 2 = 0 / + 2x = 2x4 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
13 (x+ 1)(x− 2)(x− 3)
(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {2}• Term gekürzen
f (x) =13 (x+ 1)(x− 3)
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) =
1
3x2 − 2
3x− 1 =
1
3(x+ 1)(x− 3)
f ′ (x) =2
3x− 2
3
f ′′ (x) =2
3
F (x) =
∫(1
3x2 − 2
3x− 1)dx =
1
9x3 − 1
3x2 − x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−1
1
3),∞[
• Grenzwerte:f(x) = x2(
1
3−
23
x− 1
x2)
limx→∞
f (x) = [1
3· ∞2] = ∞
limx→−∞
f (x) = [1
3· (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) =
1
3· (−x)2 − 2
3· (−x)− 1
keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) =
1
3x2 − 2
3x− 1 = 0
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
1
3x2 − 2
3x− 1 = 0
x1/2 =+ 2
3 ±√(
− 23
)2 − 4 · 13 · (−1)
2 · 13
x1/2 =+ 2
3 ±√1 79
23
x1/2 =23 ± 1 1
323
x1 =23 + 1 1
323
x2 =23 − 1 1
323
x1 = 3 x2 = −1x1 = −1; 1-fache Nullstellex2 = 3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 3 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]3;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 1; 3[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) =
2
3x− 2
3= 0
2
3x− 2
3= 0 / +
2
32
3x =
2
3/ :
2
3
x =2323
x = 1x3 = 1; 1-fache Nullstelle
f ′′(1) =2
3> 0 ⇒ Tiefpunkt:(1/− 1
1
3)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < 1 < x
f ′(x) − 0 +
x ∈]1;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞; 1[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
A =
∫ 3
−1
(1
3x2 − 2
3x− 1
)dx =
[1
9x3 − 1
3x2 − x
]3−1
=
(1
9· 33 − 1
3· 32 − 1 · 3
)−(1
9· (−1)3 − 1
3· (−1)2 − 1 · (−1)
)= (−3)−
(5
9
)= −3
5
9
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) =( 13 ·x
3−1 13 ·x
2+ 13 ·x+2)
(1·x−2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 20 −5 1
323
−6 12 17 5
12 −5 23
−6 15 −4 23
23
−5 12 12 3
4 −4 13
23
−5 10 23 −4 2
3
−4 12 8 3
4 −3 23
23
−4 7 −3 13
23
−3 12 5 5
12 −3 23
−3 4 −2 23
23
−2 12 2 3
4 −2 13
23
−2 1 23 −2 2
3
−1 12
34 −1 2
323
−1 −1, 33 · 10−15 −1 13
23
− 12 − 7
12 −1 23
0 −1 − 23
23
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −1 − 2
323
12 −1 1
4 − 13
23
1 −1 13 −1, 9 · 10−14 2
3
1 12 −1 1
413
23
2 ∞ 23 −∞
2 12 − 7
12 1 23
3 2, 02 · 10−14 1 13
23
3 12
34 1 2
323
4 1 23 2 2
3
4 12 2 3
4 2 13
23
5 4 2 23
23
5 12 5 5
12 3 23
6 7 3 13
23
6 12 8 3
4 3 23
23
7 10 23 4 2
3
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (8)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 + x2 − 4x− 4
x− 2Zaehler faktorisieren:x3 + x2 − 4x− 4 = 0
x3 + x2 − 4x− 4 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(x3 +x2 −4x −4 ) : (x+ 1) = x2 − 4−(x3 +x2)
−4x −4−(−4x −4)
0
1x2 − 4 = 0 / + 41x2 = 4 / : 1
x2 =4
1x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = −1; 1-fache Nullstellex3 = 2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x− 2 = 0
x− 2 = 0 / + 2x = 2x4 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 2)(x+ 1)(x− 2)
(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {2}• Term gekürzenf (x) =
(x+ 2)(x+ 1)
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)f ′ (x) = 2x+ 3f ′′ (x) = 2
F (x) =
∫(x2 + 3x+ 2)dx =
1
3x3 + 1
1
2x2 + 2x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−1
4),∞[
• Grenzwerte:f(x) = x2(1 +
3
x+
2
x2)
limx→∞
f (x) = [1 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [1 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) = 1 · (−x)2 + 3 · (−x) + 2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = x2 + 3x+ 2 = 0
1x2 + 3x+ 2 = 0
x1/2 =−3±
√32 − 4 · 1 · 22 · 1
x1/2 =−3±
√1
2
x1/2 =−3± 1
2
x1 =−3 + 1
2x2 =
−3− 1
2x1 = −1 x2 = −2x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = −1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < −1 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 2;−1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 2x+ 3 = 0
2x+ 3 = 0 /− 32x = −3 / : 2
x =−3
2
x = −11
2
x3 = −11
2; 1-fache Nullstelle
f ′′(−11
2) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−1
1
2/− 1
4)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < −1 1
2 < xf ′(x) − 0 +
x ∈]− 11
2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−11
2[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
A =
∫ −1
−2
(x2 + 3x+ 2
)dx =
[1
3x3 + 1
1
2x2 + 2x
]−1
−2
=
(1
3· (−1)3 + 1
1
2· (−1)2 + 2 · (−1)
)−(1
3· (−2)3 + 1
1
2· (−2)2 + 2 · (−2)
)=
(−5
6
)−(−2
3
)= −1
6
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3+1·x2−4·x−4)(1·x−2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 30 −11 2−6 1
2 24 34 −10 2
−6 20 −9 2−5 1
2 15 34 −8 2
−5 12 −7 2−4 1
2 8 34 −6 2
−4 6 −5 2−3 1
2 3 34 −4 2
−3 2 −3 2−2 1
234 −2 2
−2 0 −1 2−1 1
2 − 14 3, 17 · 10−15 2
−1 0 1 2− 1
234 2 2
0 2 3 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 2 3 212 3 3
4 4 21 6 5 21 12 8 3
4 6 22 NaN 7 NaN2 12 15 3
4 8 23 20 9 23 12 24 3
4 10 24 30 11 24 12 35 3
4 12 25 42 13 25 12 48 3
4 14 26 56 15 26 12 63 3
4 16 27 72 17 2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (9)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 + 5x2 − x− 5
x+ 1Zaehler faktorisieren:x3 + 5x2 − x− 5 = 0
x3 + 5x2 − x− 5 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(x3 +5x2 −x −5 ) : (x− 1) = x2 + 6x+ 5−(x3 −x2)
6x2 −x −5−(6x2 −6x)
5x −5−(5x −5)
0
1x2 + 6x+ 5 = 0
x1/2 =−6±
√62 − 4 · 1 · 52 · 1
x1/2 =−6±
√16
2
x1/2 =−6± 4
2
x1 =−6 + 4
2x2 =
−6− 4
2x1 = −1 x2 = −5x1 = −5; 1-fache Nullstellex2 = −1; 1-fache Nullstellex3 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x+ 1 = 0
x+ 1 = 0 /− 1x = −1x4 = −1; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 5)(x+ 1)(x− 1)
(x+ 1)
• Definitionsbereich: D = R \ {−1}• Term gekürzenf (x) =
(x+ 5)(x− 1)
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = x2 + 4x− 5 = (x+ 5)(x− 1)f ′ (x) = 2x+ 4f ′′ (x) = 2
F (x) =
∫(x2 + 4x− 5)dx =
1
3x3 + 2x2 − 5x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−9),∞[
• Grenzwerte:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f(x) = x2(1 +4
x− 5
x2)
limx→∞
f (x) = [1 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [1 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) = 1 · (−x)2 + 4 · (−x)− 5keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = x2 + 4x− 5 = 0
1x2 + 4x− 5 = 0
x1/2 =−4±
√42 − 4 · 1 · (−5)
2 · 1x1/2 =
−4±√36
2
x1/2 =−4± 6
2
x1 =−4 + 6
2x2 =
−4− 6
2x1 = 1 x2 = −5x1 = −5; 1-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −5 < x < 1 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−5[ ∪ ]1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 5; 1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 2x+ 4 = 0
2x+ 4 = 0 /− 42x = −4 / : 2
x =−4
2x = −2x3 = −2; 1-fache Nullstellef ′′(−2) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−2/− 9)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < −2 < x
f ′(x) − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−2[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
A =
∫ 1
−5
(x2 + 4x− 5
)dx =
[1
3x3 + 2x2 − 5x
]1−5
=
(1
3· 13 + 2 · 12 − 5 · 1
)−
(1
3· (−5)3 + 2 · (−5)2 − 5 · (−5)
)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=
(−2
2
3
)−
(33
1
3
)= −36
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3+5·x2−1·x−5)(1·x+1)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 16 −10 2−6 1
2 11 14 −9 2
−6 7 −8 2−5 1
2 3 14 −7 2
−5 0 −6 2−4 1
2 −2 34 −5 2
−4 −5 −4 2−3 1
2 −6 34 −3 2
−3 −8 −2 2−2 1
2 −8 34 −1 2
−2 −9 1, 52 · 10−13 2−1 1
2 −8 34 1 2
−1 NaN 2 NaN− 1
2 −6 34 3 2
0 −5 4 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −5 4 212 −2 3
4 5 21 0 6 21 12 3 1
4 7 22 7 8 22 12 11 1
4 9 23 16 10 23 12 21 1
4 11 24 27 12 24 12 33 1
4 13 25 40 14 25 12 47 1
4 15 26 55 16 26 12 63 1
4 17 27 72 18 2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (10)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =3x3 − x2 − 3x+ 1
x− 1Zaehler faktorisieren:3x3 − x2 − 3x+ 1 = 0
3x3 − x2 − 3x+ 1 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(3x3 −x2 −3x +1 ) : (x− 1) = 3x2 + 2x− 1−(3x3 −3x2)
2x2 −3x +1−(2x2 −2x)
−x +1−(−x +1)
0
3x2 + 2x− 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 3 · (−1)
2 · 3x1/2 =
−2±√16
6
x1/2 =−2± 4
6
x1 =−2 + 4
6x2 =
−2− 4
6
x1 =1
3x2 = −1
x1 = −1; 1-fache Nullstelle
x2 =1
3; 1-fache Nullstelle
x3 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x− 1 = 0
x− 1 = 0 / + 1x = 1x4 = 1; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
3(x+ 1)(x− 13 )(x− 1)
(x− 1)
• Definitionsbereich: D = R \ {1}• Term gekürzen
f (x) =3(x+ 1)(x− 1
3 )
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = 3x2 + 2x− 1 = 3(x+ 1)(x− 1
3)
f ′ (x) = 6x+ 2f ′′ (x) = 6
F (x) =
∫(3x2 + 2x− 1)dx = x3 + x2 − x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−1
1
3),∞[
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
• Grenzwerte:f(x) = x2(3 +
2
x− 1
x2)
limx→∞
f (x) = [3 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [3 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) = 3 · (−x)2 + 2 · (−x)− 1keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = 3x2 + 2x− 1 = 0
3x2 + 2x− 1 = 0
x1/2 =−2±
√22 − 4 · 3 · (−1)
2 · 3x1/2 =
−2±√16
6
x1/2 =−2± 4
6
x1 =−2 + 4
6x2 =
−2− 4
6
x1 =1
3x2 = −1
x1 = −1; 1-fache Nullstelle
x2 =1
3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 1
3 < xf(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]1
3;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 1;1
3[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 6x+ 2 = 0
6x+ 2 = 0 /− 26x = −2 / : 6
x =−2
6
x = −1
3
x3 = −1
3; 1-fache Nullstelle
f ′′(−1
3) = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−1
3/− 1
1
3)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < − 1
3 < xf ′(x) − 0 +
x ∈]− 1
3;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−1
3[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
A =
∫ 13
−1
(3x2 + 2x− 1
)dx =
[x3 + x2 − x
] 13
−1
=
(1 · 1
3
3
+ 1 · 13
2
− 1 · 13
)−(1 · (−1)3 + 1 · (−1)2 − 1 · (−1)
)=
(− 5
27
)− (1) = −1
5
27
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (3·x3−1·x2−3·x+1)(1·x−1)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 132 −40 6−6 1
2 112 34 −37 6
−6 95 −34 6−5 1
2 78 34 −31 6
−5 64 −28 6−4 1
2 50 34 −25 6
−4 39 −22 6−3 1
2 28 34 −19 6
−3 20 −16 6−2 1
2 12 34 −13 6
−2 7 −10 6−1 1
2 2 34 −7 6
−1 0 −4 6− 1
2 −1 14 −1 6
0 −1 2 6
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −1 2 612
34 5 6
1 NaN 8 NaN1 12 8 3
4 11 62 15 14 62 12 22 3
4 17 63 32 20 63 12 42 3
4 23 64 55 26 64 12 68 3
4 29 65 84 32 65 12 100 3
4 35 66 119 38 66 12 138 3
4 41 67 160 44 6
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (11)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 − 8x+ 2
x+ 2Zaehler faktorisieren:x3 − 8x+ 2 = 0
x3 − 8x+ 2 = 0
NumerischeSuche :x1 = −2, 95; 1-fache Nullstellex2 = 0, 252; 1-fache Nullstellex3 = 2, 69; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x+ 2 = 0
x+ 2 = 0 /− 2x = −2x4 = −2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 2, 95)(x− 0, 252)(x− 2, 69)
(x+ 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2}
f (x) =x3 − 8x+ 2
x+ 2Polynomdivision :
(x3 −8x +2 ) : (x+ 2) = x2 − 2x− 4−(x3 +2x2)
−2x2 −8x +2−(−2x2 −4x)
−4x +2−(−4x −8)
10
f(x) = x2 − 2x− 4 +10
x+ 2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(3x2 − 8) · (x+ 2)− (x3 − 8x+ 2) · 1
(x+ 2)2
=(3x3 + 6x2 − 8x− 16)− (x3 − 8x+ 2)
(x+ 2)2
=2x3 + 6x2 − 18
(x+ 2)2
=2x3 + 6x2 − 18
(x+ 2)2
f ′′ (x) =(6x2 + 12x) · (x2 + 4x+ 4)− (2x3 + 6x2 − 18) · (2x+ 4)
(x2 + 4x+ 4)2
=(6x4 + 36x3 + 72x2 + 48x)− (4x4 + 20x3 + 24x2 − 36x− 72)
(x2 + 4x+ 4)2
=2x4 + 16x3 + 48x2 + 84x+ 72
(x2 + 4x+ 4)2
=2x4 + 16x3 + 48x2 + 84x+ 72
(x2 + 4x+ 4)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=2(x2 + 1, 85x+ 4, 33)(x+ 4, 15)(x+ 2)
(x+ 2)4
=2(x2 + 1, 85x+ 4, 33)(x+ 4, 15)
(x+ 2)3
=2x3 + 12x2 + 24x+ 36
x3 + 6x2 + 12x+ 8
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x3 − 8x+ 2 = 0x5 = −2, 95; 1-fache Nullstellex6 = 0, 252; 1-fache Nullstellex7 = 2, 69; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2, 95 < x < −2 < x < 0, 252 < x < 2, 69 < x
f(x) + 0 − 0 + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−2, 95[ ∪ ]− 2; 0, 252[ ∪ ]2, 69;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 2, 95;−2[ ∪ ]0, 252; 2, 69[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x3(1− 8
x2+
2
x3)
x(1 +2
x)
= ∞
limx→−∞
x3(1− 8
x2+
2
x3)
x(1 +2
x)
= ∞
limx→−2+
(x+ 2, 95)(x− 0, 252)(x− 2, 69)
(x+ 2)= ∞
limx→−2−
(x+ 2, 95)(x− 0, 252)(x− 2, 69)
(x+ 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =2x3 + 6x2 − 18
x2 + 4x+ 4= 0
2x3 + 6x2 − 18 = 0
NumerischeSuche :x8 = 1, 43; 1-fache Nullstellef ′′(1, 43) = 2, 5 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(1, 43/− 1, 9)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =2x3 + 6x2 − 18
x2 + 4x+ 4Zaehler = 0x9 = 1, 43; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x10 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −2 < x < 1, 43 < xf ′(x) − 0 − 0 +
x ∈]1, 43;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2; 1, 43[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =2x3 + 12x2 + 24x+ 36
x3 + 6x2 + 12x+ 8Zaehler = 0
2x3 + 12x2 + 24x+ 36 = 0
NumerischeSuche :x11 = −4, 15; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx12 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −4, 15 < x < −2 < xf ′′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−4, 15[ ∪ ]− 2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 4, 15;−2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3−8·x+2)(1·x+2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 57 −16, 4 1, 84−6 1
2 49 136 −15, 5 1, 78
−6 41 12 −14, 6 1, 69
−5 12 34 11
28 −13, 8 1, 53−5 27 2
3 −13, 1 1, 26−4 1
2 21 14 −12, 6 0, 72
−4 15 −12, 5 −0, 5−3 1
2 8 712 −13, 4 −3, 93
−3 1 −18 −18−2 1
2 −12 34 −47 −158
−2 ∞ 32647 349 −∞
−1 12 21 1
4 −45 162−1 9 −14 22− 1
2 3 1112 −7, 45 7, 93
0 1 −4, 5 4, 5
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 −4, 5 4, 512 − 3
4 −2, 6 3, 281 −1 2
3 −1, 11 2, 741 12 −1 25
28 0, 184 2, 472 −1 1
2 1, 37 2, 312 12 − 19
36 2, 51 2, 223 1 3, 6 2, 163 12 3 3
44 4, 67 2, 124 5 2
3 5, 72 2 554
4 12 8 41
52 6, 76 2, 075 12 3
7 7, 8 2, 065 12 16 7
12 8 3745 2, 05
6 21 14 9 27
32 2, 046 12 26 29
68 10, 9 2, 037 32 1
9 11 7181 2, 03
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (12)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =2x3 + 1
x2 + 1Zaehler faktorisieren:2x3 + 1 = 0
2x3 + 1 = 02x3 + 1 = 0 /− 12x3 = −1 / : 2
x3 =−1
2
x =3
√−1
2x = −0, 794Polynomdivision:(−0, 794)
(2x3 +1 ) : (x+ 0, 794) = 2x2 − 1, 59x+ 1, 26−(2x3 +1, 59x2)
−1, 59x2 +1−(−1, 59x2 −1, 26x)
1, 26x +1−(1, 26x +1)
−2, 22 · 10−16
2x2 − 1, 59x+ 1, 26 = 0
x1/2 =+1, 59±
√(−1, 59)
2 − 4 · 2 · 1, 262 · 2
x1/2 =+1, 59±
√−7, 56
4Diskriminante negativ keine Lösungx1 = −0, 794; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 + 1 = 0
1x2 + 1 = 0 /− 11x2 = −1 / : 1
x2 =−1
1keine Lösung
Faktorisierter Term:f (x) =
2(x2 − 0, 794x+ 0, 63)(x+ 0, 794)
(x2 + 1)
• Definitionsbereich: D = Rf (x) =
2x3 + 1
x2 + 1Polynomdivision :
(2x3 +1 ) : (x2 + 1) = 2x−(2x3 +2x)
−2x +1
f(x) = 2x+−2x+ 1
x2 + 1
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =6x2 · (x2 + 1)− (2x3 + 1) · 2x
(x2 + 1)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=(6x4 + 6x2)− (4x4 + 2x)
(x2 + 1)2
=2x4 + 6x2 − 2x
(x2 + 1)2
=2x4 + 6x2 − 2x
(x2 + 1)2
f ′′ (x) =(8x3 + 12x− 2) · (x4 + 2x2 + 1)− (2x4 + 6x2 − 2x) · (4x3 + 4x)
(x4 + 2x2 + 1)2
=(8x7 + 28x5 − 2x4 + 32x3 − 4x2 + 12x− 2)− (8x7 + 32x5 − 8x4 + 24x3 − 8x2)
(x4 + 2x2 + 1)2
=−4x5 + 6x4 + 8x3 + 4x2 + 12x− 2
(x4 + 2x2 + 1)2
=−4x5 + 6x4 + 8x3 + 4x2 + 12x− 2
(x4 + 2x2 + 1)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 02x3 + 1 = 0x2 = −0, 794; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −0, 794 < x
f(x) − 0 +
x ∈]− 0, 794;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−0, 794[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x3(2 +1
x3)
x2(1 +1
x2)= ∞
limx→−∞
x3(2 +1
x3)
x2(1 +1
x2)= ∞
Schiefe Asymptote:y = 2x
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =2x4 + 6x2 − 2x
x4 + 2x2 + 1= 0
x(2x3 + 6x− 2) = 0 ⇒ x = 0 ∨ 2x3 + 6x− 2 = 02x3 + 6x− 2 = 0
NumerischeSuche :x3 = 0; 1-fache Nullstellex4 = 0, 322; 1-fache Nullstellef ′′(0) = −2f ′′(0) < 0 ⇒ Hochpunkt:(0/1)f ′′(0, 322) = 1, 75 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(0, 322/0, 967)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f ′ (x) =2x4 + 6x2 − 2x
x4 + 2x2 + 1Zaehler = 0x5 = 0; 1-fache Nullstellex6 = 0, 322; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen
x < 0 < x < 0, 322 < xf ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0, 322;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]0; 0, 322[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =−4x5 + 6x4 + 8x3 + 4x2 + 12x− 2
x8 + 4x6 + 6x4 + 4x2 + 1Zaehler = 0
NumerischeSuche :x7 = −1, 24; 1-fache Nullstellex8 = 0, 156; 1-fache Nullstellex9 = 2, 59; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx < −1, 24 < x < 0, 156 < x < 2, 59 < x
f ′′(x) + 0 − 0 + 0 −
x ∈]−∞;−1, 24[ ∪ ]0, 156; 2, 59[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 1, 24; 0, 156[ ∪ ]2, 59;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (2·x3+1)(1·x2+1)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −13 7
10 2, 04 0, 0126−6 1
2 −12, 7 2, 05 0, 0157−6 −11 24
37 2, 06 0, 0199−5 1
2 −10 77125 2, 07 0, 0255
−5 −9 1526 2, 09 0, 0335
−4 12 −8 9
17 2, 11 0, 0448−4 −7 8
17 2, 13 0, 0615−3 1
2 −6 2153 2, 17 0, 0864
−3 −5 310 2, 22 0, 124
−2 12 −4 5
29 2, 29 0, 178−2 −3 2, 4 0, 24−1 1
2 −1 1013 2, 52 0, 204
−1 − 12 2, 5 −0, 5
− 12
35 1, 68 −3, 07
0 1 0, 000612 −2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 0, 000612 −212 1 0, 4 2, 561 1 1
2 1, 5 1, 51 12 2 5
13 1, 95 0, 4662 3 2
5 2, 08 0, 1122 12 4 13
29 2, 1 0, 007883 5 1
2 2, 1 −0, 023 12 6 29
53 2, 09 −0, 02494 7 10
17 2, 08 −0, 02324 12 8 53
85 2, 07 −0, 01995 9 17
26 2, 06 −0, 01665 12 10 17
25 2, 05 −0, 01386 11 26
37 2, 04 −0, 01146 12 12, 7 2, 04 −0, 009517 13 37
50 2, 03 −0, 00797
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (13)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 + x
x2 − x− 12Zaehler faktorisieren:x3 + x = 0x(x2 + 1) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x2 + 1 = 01x2 + 1 = 0 /− 11x2 = −1 / : 1
x2 =−1
1keine Lösungx1 = 0; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − x− 12 = 0
1x2 − x− 12 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 1 · (−12)
2 · 1x1/2 =
+1±√49
2
x1/2 =1± 7
2
x1 =1 + 7
2x2 =
1− 7
2x1 = 4 x2 = −3x2 = −3; 1-fache Nullstellex3 = 4; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
x(x2 + 1)
(x+ 3)(x− 4)
• Definitionsbereich: D = R \ {−3; 4}
f (x) =x3 + x
x2 − x− 12Polynomdivision :
(x3 +x ) : (x2 − x− 12) = x+ 1−(x3 −x2 −12x)
x2 +13x−(x2 −x −12)
14x +12
f(x) = x+ 1 +14x+ 12
x2 − x− 12
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(3x2 + 1) · (x2 − x− 12)− (x3 + x) · (2x− 1)
(x2 − x− 12)2
=(3x4 − 3x3 − 35x2 − x− 12)− (2x4 − x3 + 2x2 − x)
(x2 − x− 12)2
=x4 − 2x3 − 37x2 − 12
(x2 − x− 12)2
=x4 − 2x3 − 37x2 − 12
(x2 − x− 12)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f ′′ (x) =(4x3 − 6x2 − 74x) · (x4 − 2x3 − 23x2 + 24x+ 144)− (x4 − 2x3 − 37x2 − 12) · (4x3 − 6x2 − 46x+ 24)
(x4 − 2x3 − 23x2 + 24x+ 144)2
=(4x7 − 14x6 − 154x5 + 382x4 + 2, 13 · 103x3 − 2, 64 · 103x2 − 1, 07 · 104x)− (4x7 − 14x6 − 182x5 + 338x4 + 1, 61 · 103x3 − 816x2 + 552x− 288)
(x4 − 2x3 − 23x2 + 24x+ 144)2
=28x5 + 44x4 + 528x3 − 1, 82 · 103x2 − 1, 12 · 104x+ 288
(x4 − 2x3 − 23x2 + 24x+ 144)2
=28x5 + 44x4 + 528x3 − 1, 82 · 103x2 − 1, 12 · 104x+ 288
(x4 − 2x3 − 23x2 + 24x+ 144)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x3 + x = 0x4 = 0; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −3 < x < 0 < x < 4 < x
f(x) − 0 + 0 − 0 +
x ∈]− 3; 0[ ∪ ]4;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]0; 4[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x3(1 +1
x2)
x2(1− 1
x− 12
x2)= ∞
limx→−∞
x3(1 +1
x2)
x2(1− 1
x− 12
x2)= ∞
Schiefe Asymptote:y = x+ 1
limx→−3+
x(x2 + 1)
(x+ 3)(x− 4)= ∞
limx→−3−
x(x2 + 1)
(x+ 3)(x− 4)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −3
limx→4+
x(x2 + 1)
(x+ 3)(x− 4)= ∞
limx→4−
x(x2 + 1)
(x+ 3)(x− 4)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 4
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =x4 − 2x3 − 37x2 − 12
x4 − 2x3 − 23x2 + 24x+ 144= 0
x4 − 2x3 − 37x2 − 12NumerischeSuche :
x5 = −5, 2; 1-fache Nullstellex6 = 7, 18; 1-fache Nullstellef ′′(−5, 2) = −0, 195f ′′(−5, 2) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−5, 2/− 7, 2)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f ′′(7, 18) = 0, 125 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(7, 18/11, 7)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =x4 − 2x3 − 37x2 − 12
x4 − 2x3 − 23x2 + 24x+ 144Zaehler = 0x7 = −5, 2; 1-fache Nullstellex8 = 7, 18; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = −3; 1-fache Nullstellex10 = 4; 1-fache Nullstelle
x < −5, 2 < x < −3 < x < 4 < x < 7, 18 < xf ′(x) + 0 − 0 − 0 − 0 +
x ∈]−∞;−5, 2[ ∪ ]7, 18;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 5, 2;−3[ ∪ ]− 3; 4[ ∪ ]4; 7, 18[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =28x5 + 44x4 + 528x3 − 1, 82 · 103x2 − 1, 12 · 104x+ 288
x8 − 4x7 − 42x6 + 140x5 + 721x4 − 1, 68 · 103x3 − 6, 05 · 103x2 + 6, 91 · 103x+ 2, 07 · 104Zaehler = 0
NumerischeSuche :x11 = −3; 1-fache Nullstellex12 = 0, 0256; 1-fache Nullstellex13 = 4; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx14 = −3; 1-fache Nullstellex15 = 4; 1-fache Nullstelle
x < −3 < x < −3 < x < 0, 0256 < x < 4 < x < 4 < xf ′′(x) + 0 + 0 + 0 − 0 − 0 −
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]− 3;−3[ ∪ ]− 3; 0, 0256[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]0, 0256; 4[ ∪ ]4; 4[ ∪ ]4;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3+1·x)(1·x2−1·x−12)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −7 21
22 0, 652 −0, 149−6 1
2 −7, 65 0, 562 −0, 217−6 −7 2
5 0, 427 −0, 337−5 1
2 −7 938 0, 207 −0, 571
−5 −7 29 −0, 191 −1, 1
−4 12 −7 1
2 −1, 04 −2, 57−4 −8 1
2 −3, 44 −8, 61−3 1
2 −12 1130 −16, 3 −68, 7
−3 −∞ 1, 4 · 104 ∞−2 1
2 5 1526 −16, 4 68, 6
−2 1 23 −3, 56 8, 48
−1 12
1322 −1, 23 2, 42
−1 15 −0, 46 0, 916
− 12
118 −0, 165 0, 335
0 0 −0, 0834 0, 0139
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 0 −0, 0834 0, 013912 − 5
98 −0, 143 −0, 2531 − 1
6 −0, 347 −0, 5861 12 − 13
30 −0, 766 −1 1387
2 −1 −1, 6 −2, 362 12 −2 13
66 −3, 46 −5, 713 −5 −8, 84 −19, 43 12 −14 7
26 −38 −1564 ∞ 3, 17 · 104 −∞4 12 25 1
2 −38 1565 16 1
4 −8, 78 19, 55 12 13 49
102 −3, 38 5, 776 12 1
3 −1, 48 2, 446 12 11, 8 −0, 602 1, 257 11 2
3 −0, 122 0, 728
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (14)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x4 − 3x2 − 4
x2 − 4Zaehler faktorisieren:x4 − 3x2 − 4 = 0
u = x2 u2 = x4
1u2 − 3u− 4 = 0
u1/2 =+3±
√(−3)
2 − 4 · 1 · (−4)
2 · 1u1/2 =
+3±√25
2
u1/2 =3± 5
2
u1 =3 + 5
2u2 =
3− 5
2u1 = 4 u2 = −1x2 = 4x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x2 = −1x = ±
√−1
Diskriminante negativ keine Lösungx1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = 2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − 4 = 0
1x2 − 4 = 0 / + 41x2 = 4 / : 1
x2 =4
1x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x3 = −2; 1-fache Nullstellex4 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 2)(x2 + 1)(x− 2)
(x+ 2)(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2; 2}• Term gekürzen
f (x) =(x2 + 1)
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = x2 − 1 = (x+ 1)(x− 1)f ′ (x) = 2xf ′′ (x) = 2
F (x) =
∫(x2 − 1)dx =
1
3x3 − x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−1),∞[
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
• Grenzwerte:f(x) = x2(1− 1
x2)
limx→∞
f (x) = [1 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [1 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) = 1 · (−x)2 − 1f (−x) = 1 · x2 − 1f (−x) = f (x) → Symmetrie zur y-Achse:
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = x2 − 1 = 0
1x2 − 1 = 0 / + 11x2 = 1 / : 1
x2 =1
1x = ±
√1
x1 = 1 x2 = −1x1 = −1; 1-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −1 < x < 1 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−1[ ∪ ]1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 1; 1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 2x = 0x = 0 ⇒ x = 0x3 = 0; 1-fache Nullstellef ′′(0) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(0/− 1)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < 0 < x
f ′(x) − 0 +
x ∈]0;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞; 0[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
A =
∫ 1
−1
(x2 − 1
)dx =
[1
3x3 − x
]1−1
=
(1
3· 13 − 1 · 1
)−(1
3· (−1)3 − 1 · (−1)
)=
(−2
3
)−(2
3
)= −1
1
3
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x4−3·x2−4)(1·x2−4)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 50 −14 2−6 1
2 43 14 −13 2
−6 37 −12 2−5 1
2 31 14 −11 2
−5 26 −10 2−4 1
2 21 14 −9 2
−4 17 −8 2−3 1
2 13 14 −7 2
−3 10 −6 2−2 1
2 7 14 −5 2
−2 NaN −4 NaN−1 1
2 3 14 −3 2
−1 2 −2 2− 1
2 1 14 −1 2
0 1 0 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1 0 212 1 1
4 1 21 2 2 21 12 3 1
4 3 22 NaN 4 NaN2 12 7 1
4 5 23 10 6 23 12 13 1
4 7 24 17 8 24 12 21 1
4 9 25 26 10 25 12 31 1
4 11 26 37 12 26 12 43 1
4 13 27 50 14 2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (15)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x4 − 5x2 + 4
x2 − 3x+ 2Zaehler faktorisieren:x4 − 5x2 + 4 = 0
u = x2 u2 = x4
1u2 − 5u+ 4 = 0
u1/2 =+5±
√(−5)
2 − 4 · 1 · 42 · 1
u1/2 =+5±
√9
2
u1/2 =5± 3
2
u1 =5 + 3
2u2 =
5− 3
2u1 = 4 u2 = 1x2 = 4x = ±
√4
x1 = 2 x2 = −2x2 = 1x = ±
√1
x1 = 1 x2 = −1x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = −1; 1-fache Nullstellex3 = 1; 1-fache Nullstellex4 = 2; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 − 3x+ 2 = 0
1x2 − 3x+ 2 = 0
x1/2 =+3±
√(−3)
2 − 4 · 1 · 22 · 1
x1/2 =+3±
√1
2
x1/2 =3± 1
2
x1 =3 + 1
2x2 =
3− 1
2x1 = 2 x2 = 1x5 = 1; 1-fache Nullstellex6 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 2)(x+ 1)(x− 1)(x− 2)
(x− 1)(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {1; 2}• Term gekürzenf (x) =
(x+ 2)(x+ 1)
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f ′ (x) = 2x+ 3f ′′ (x) = 2
F (x) =
∫(x2 + 3x+ 2)dx =
1
3x3 + 1
1
2x2 + 2x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−1
4),∞[
• Grenzwerte:f(x) = x2(1 +
3
x+
2
x2)
limx→∞
f (x) = [1 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [1 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) = 1 · (−x)2 + 3 · (−x) + 2keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = x2 + 3x+ 2 = 0
1x2 + 3x+ 2 = 0
x1/2 =−3±
√32 − 4 · 1 · 22 · 1
x1/2 =−3±
√1
2
x1/2 =−3± 1
2
x1 =−3 + 1
2x2 =
−3− 1
2x1 = −1 x2 = −2x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = −1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < −1 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 2;−1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 2x+ 3 = 0
2x+ 3 = 0 /− 32x = −3 / : 2
x =−3
2
x = −11
2
x3 = −11
2; 1-fache Nullstelle
f ′′(−11
2) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−1
1
2/− 1
4)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < −1 1
2 < xf ′(x) − 0 +
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x ∈]− 11
2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;−11
2[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
A =
∫ −1
−2
(x2 + 3x+ 2
)dx =
[1
3x3 + 1
1
2x2 + 2x
]−1
−2
=
(1
3· (−1)3 + 1
1
2· (−1)2 + 2 · (−1)
)−(1
3· (−2)3 + 1
1
2· (−2)2 + 2 · (−2)
)=
(−5
6
)−(−2
3
)= −1
6
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x4−5·x2+4)(1·x2−3·x+2)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 30 −11 2−6 1
2 24 34 −10 2
−6 20 −9 2−5 1
2 15 34 −8 2
−5 12 −7 2−4 1
2 8 34 −6 2
−4 6 −5 2−3 1
2 3 34 −4 2
−3 2 −3 2−2 1
234 −2 2
−2 0 −1 2−1 1
2 − 14 0 2
−1 0 1 2− 1
234 2 2
0 2 3 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 2 3 212 3 3
4 4 21 NaN 5 NaN1 12 8 3
4 6 22 NaN 7 NaN2 12 15 3
4 8 23 20 9 23 12 24 3
4 10 24 30 11 24 12 35 3
4 12 25 42 13 25 12 48 3
4 14 26 56 15 26 12 63 3
4 16 27 72 17 2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (16)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 − 6x+ 9
−x+ 2Zaehler faktorisieren:x2 − 6x+ 9 = 0
1x2 − 6x+ 9 = 0
x1/2 =+6±
√(−6)
2 − 4 · 1 · 92 · 1
x1/2 =+6±
√0
2
x1/2 =6± 0
2
x1 =6 + 0
2x2 =
6− 0
2x1 = 3 x2 = 3x1 = 3; 2-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− x+ 2 = 0
− 1x+ 2 = 0 /− 2− 1x = −2 / : (−1)
x =−2
−1x = 2x2 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x− 3)2
−(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {2}
f (x) =−x2 + 6x− 9
x− 2Polynomdivision :
(−x2 +6x −9 ) : (x− 2) = −x+ 4−(−x2 +2x)
4x −9−(4x −8)
−1
f(x) = −x+ 4 +−1
x− 2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(−2x+ 6) · (x− 2)− (−x2 + 6x− 9) · 1
(x− 2)2
=(−2x2 + 10x− 12)− (−x2 + 6x− 9)
(x− 2)2
=−x2 + 4x− 3
(x− 2)2
=−x2 + 4x− 3
(x− 2)2
f ′′ (x) =(−2x+ 4) · (x2 − 4x+ 4)− (−x2 + 4x− 3) · (2x− 4)
(x2 − 4x+ 4)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=(−2x3 + 12x2 − 24x+ 16)− (−2x3 + 12x2 − 22x+ 12)
(x2 − 4x+ 4)2
=−2x+ 4
(x2 − 4x+ 4)2
=−2x+ 4
(x2 − 4x+ 4)2
=−2(x− 2)
(x− 2)4
=−2
(x− 2)3
=−2
x3 − 6x2 + 12x− 8
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0− x2 + 6x− 9 = 0x3 = 3; 2-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < 2 < x < 3 < x
f(x) + 0 − 0 −
x ∈]−∞; 2[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]2; 3[ ∪ ]3;∞[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x2(1− 6
x+
9
x2)
x(−1 +2
x)
= −∞
limx→−∞
x2(1− 6
x+
9
x2)
x(−1 +2
x)
= ∞
Schiefe Asymptote:y = −x+ 4
limx→2+
−(x− 3)2
(x− 2)= −∞
limx→2−
−(x− 3)2
(x− 2)= ∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =−x2 + 4x− 3
x2 − 4x+ 4= 0
− x2 + 4x− 3 = 0
x1/2 =−4±
√42 − 4 · (−1) · (−3)
2 · (−1)
x1/2 =−4±
√4
−2
x1/2 =−4± 2
−2
x1 =−4 + 2
−2x2 =
−4− 2
−2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x1 = 1 x2 = 3x4 = 1; 1-fache Nullstellex5 = 3; 1-fache Nullstellef ′′(1) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(1/4)f ′′(3) = −2f ′′(3) < 0 ⇒ Hochpunkt:(3/0)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =−x2 + 4x− 3
x2 − 4x+ 4Zaehler = 0x6 = 1; 1-fache Nullstellex7 = 3; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx8 = 2; 1-fache Nullstelle
x < 1 < x < 2 < x < 3 < xf ′(x) − 0 + 0 + 0 −
x ∈]1; 2[ ∪ ]2; 3[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞; 1[ ∪ ]3;∞[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−2
x3 − 6x2 + 12x− 8Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = 2; 1-fache Nullstelle
x < 2 < xf ′′(x) + 0 −
x ∈]−∞; 2[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]2;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2−6·x+9)(−1·x+2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 11 1
9 − 8081 0, 00274
−6 12 10 21
34 −0, 986 0, 00326−6 10 1
8 − 6364 0, 00391
−5 12 9 19
30 −0, 982 0, 00474−5 9 1
7 − 4849 0, 00583
−4 12 8 17
26 −0, 976 0, 00728−4 8 1
6 − 3536
1108
−3 12 7 15
22 − 117121 0, 012
−3 7 15 − 24
252
125
−2 12 6 13
18 − 7781 0, 0219
−2 6 14 −0, 937 1
32
−1 12 5 11
14 −0, 918 0, 0466−1 5 1
3 −0, 889 0, 0741− 1
2 4 910 −0, 84 0, 128
0 4 12 −0, 75 0, 25
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 4 1
2 −0, 75 0, 2512 4 1
6 −0, 555 0, 5931 4 0, 000306 21 12 4 1
2 3 162 ∞ −3266 15
49 −∞2 12 − 1
2 3 −163 0 0, 000306 −23 12 − 1
6 −0, 555 −0, 5934 − 1
2 −0, 75 −0, 254 12 − 9
10 −0, 84 −0, 1285 −1 1
3 −0, 889 −0, 07415 12 −1 11
14 −0, 918 −0, 04666 −2 1
4 −0, 937 − 132
6 12 −2 13
18 − 7781 −0, 0219
7 −3 15 − 24
25 − 2125
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (17)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x2 + 3x+ 3
3x+ 6Zaehler faktorisieren:x2 + 3x+ 3 = 0
1x2 + 3x+ 3 = 0
x1/2 =−3±
√32 − 4 · 1 · 32 · 1
x1/2 =−3±
√−3
2Diskriminante negativ keine Lösung
Nenner faktorisieren:3x+ 6 = 0
3x+ 6 = 0 /− 63x = −6 / : 3
x =−6
3x = −2x1 = −2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x2 + 3x+ 3)
3(x+ 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {−2}
f (x) =13x
2 + x+ 1
x+ 2Polynomdivision :
( 13x2 +x +1 ) : (x+ 2) = 1
3x+ 1
3
−( 13x2 + 2
3x)
13x +1
−( 13x + 2
3)
13
f(x) =1
3x+
1
3+
13
x+ 2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =( 23x+ 1) · (x+ 2)− ( 13x
2 + x+ 1) · 1(x+ 2)2
=( 23x
2 + 2 13x+ 2)− ( 13x
2 + x+ 1)
(x+ 2)2
=13x
2 + 1 13x+ 1
(x+ 2)2
=13x
2 + 1 13x+ 1
(x+ 2)2
f ′′ (x) =( 23x+ 1 1
3 ) · (x2 + 4x+ 4)− ( 13x
2 + 1 13x+ 1) · (2x+ 4)
(x2 + 4x+ 4)2
=( 23x
3 + 4x2 + 8x+ 5 13 )− ( 23x
3 + 4x2 + 7 13x+ 4)
(x2 + 4x+ 4)2
=4, 44 · 10−16x2 + 2
3x+ 1 13
(x2 + 4x+ 4)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=4, 44 · 10−16x2 + 2
3x+ 1 13
(x2 + 4x+ 4)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 01
3x2 + x+ 1 = 0
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x
f(x) − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x2(1 +3
x+
3
x2)
x(3 +6
x)
= ∞
limx→−∞
x2(1 +3
x+
3
x2)
x(3 +6
x)
= ∞
Schiefe Asymptote:y =1
3x+
1
3
limx→−2+
13 (x
2 + 3x+ 3)
(x+ 2)= ∞
limx→−2−
13 (x
2 + 3x+ 3)
(x+ 2)= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −2
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =13x
2 + 1 13x+ 1
x2 + 4x+ 4= 0
1
3x2 + 1
1
3x+ 1 = 0
x1/2 =−1 1
3 ±√(
1 13
)2 − 4 · 13 · 1
2 · 13
x1/2 =−1 1
3 ±√
49
23
x1/2 =−1 1
3 ± 23
23
x1 =−1 1
3 + 23
23
x2 =−1 1
3 − 23
23
x1 = −1 x2 = −3x2 = −3; 1-fache Nullstellex3 = −1; 1-fache Nullstelle
f ′′(−3) = −2
3f ′′(−3) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−3/− 1)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f ′′(−1) =2
3> 0 ⇒ Tiefpunkt:(−1/
1
3)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =13x
2 + 1 13x+ 1
x2 + 4x+ 4Zaehler = 0x4 = −3; 1-fache Nullstellex5 = −1; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx6 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −3 < x < −2 < x < −1 < xf ′(x) + 0 − 0 − 0 +
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]− 1;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 3;−2[ ∪ ]− 2;−1[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =4, 44 · 10−16x2 + 2
3x+ 1 13
x4 + 8x3 + 24x2 + 32x+ 16Zaehler = 0
4, 44 · 10−16x2 +2
3x+ 1
1
3= 0
x1/2 =− 2
3 ±√(
23
)2 − 4 · 4, 44 · 10−16 · 1 13
2 · 4, 44 · 10−16
x1/2 =− 2
3 ±√
49
8, 88 · 10−16
x1/2 =− 2
3 ± 23
8, 88 · 10−16
x1 =− 2
3 + 23
8, 88 · 10−16x2 =
− 23 − 2
3
8, 88 · 10−16
x1 = −2 x2 = −1, 5 · 1015x7 = −1, 5 · 1015; 1-fache Nullstellex8 = −2; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = −2; 1-fache Nullstelle
x < −1, 5 · 1015 < x < −2 < x < −2 < xf ′′(x) − 0 − 0 − 0 +
x ∈]− 2;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]−∞;−1, 5 · 1015[ ∪ ]− 1, 5 · 1015;−2[ ∪ ]− 2;−2[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x2+3·x+3)(3·x+6)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −2 1
15825 −0, 00533
−6 12 −1 49
54 0, 317 −0, 00732−6 −1 3
4516 − 1
96
−5 12 −1 25
421549 −0, 0155
−5 −1 49 0, 296 − 2
81
−4 12 −1 3
10 0, 28 −0, 0427−4 −1 1
6 0, 25 −0, 0833−3 1
2 −1 118 0, 185 −0, 198
−3 −1 −0, 000102 −0, 667−2 1
2 −1 16 −1 −5, 34
−2 ∞ 1, 09 · 103 −∞−1 1
212 −1 5, 34
−1 13 −0, 000102 0, 667
− 12
718 0, 185 0, 198
0 12 0, 25 0, 0833
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 1
2 0, 25 0, 083312
1930 0, 28 0, 0427
1 79 0, 296 2
81
1 12
1314
1549 0, 0155
2 1 112
516
196
2 12 1 13
54 0, 317 0, 007323 1 2
5825 0, 00533
3 12 1 37
6639121 0, 00401
4 1 1318
35108 0, 00309
4 12 1 23
26 0, 325 0, 002435 2 1
211649 0, 00194
5 12 2 19
90 0, 327 0, 001586 2 3
82164 0, 0013
6 12 2 55
102 0, 329 0, 001097 2 19
27 0, 329 0, 000914
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (18)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 + 3x2 − 4
x2
Zaehler faktorisieren:x3 + 3x2 − 4 = 0
x3 + 3x2 − 4 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(x3 +3x2 −4 ) : (x− 1) = x2 + 4x+ 4−(x3 −x2)
4x2 −4−(4x2 −4x)
4x −4−(4x −4)
0
1x2 + 4x+ 4 = 0
x1/2 =−4±
√42 − 4 · 1 · 42 · 1
x1/2 =−4±
√0
2
x1/2 =−4± 0
2
x1 =−4 + 0
2x2 =
−4− 0
2x1 = −2 x2 = −2x1 = −2; 2-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x2 = 0x2 = 0 ⇒ x = 0x3 = 0; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 2)2(x− 1)
x2
• Definitionsbereich: D = R \ {0}
f (x) =x3 + 3x2 − 4
x2
Polynomdivision :(x3 +3x2 −4 ) : (x2) = x+ 3
−(x3)
3x2 −4−(3x2)
−4
f(x) = x+ 3 +−4
x2
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(3x2 + 6x) · x2 − (x3 + 3x2 − 4) · 2x
(x2)2
=(3x4 + 6x3)− (2x4 + 6x3 − 8x)
(x2)2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=x4 + 8x
(x2)2
=x4 + 8x
(x2)2
=(x2 − 2x+ 4)(x+ 2)x
x4
=(x2 − 2x+ 4)(x+ 2)
x3
=x3 + 8
x3
f ′′ (x) =3x2 · x3 − (x3 + 8) · 3x2
(x3)2
=3x5 − (3x5 + 24x2)
(x3)2
=−24x2
(x3)2
=−24x2
(x3)2
=−24x2
x6
=−24
x4
=−24
x4
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 0x3 + 3x2 − 4 = 0x4 = −2; 2-fache Nullstellex5 = 1; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < 0 < x < 1 < x
f(x) − 0 − 0 − 0 +
x ∈]1;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]− 2; 0[ ∪ ]0; 1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x3(1 +3
x− 4
x3)
x2(1)= ∞
limx→−∞
x3(1 +3
x− 4
x3)
x2(1)= ∞
Schiefe Asymptote:y = x+ 3
limx→0+
(x+ 2)2(x− 1)
x2= −∞
limx→0−
(x+ 2)2(x− 1)
x2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 0
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f ′(x) =x3 + 8
x3= 0
x3 + 8 = 01x3 + 8 = 0 /− 81x3 = −8 / : 1
x3 =−8
1x = 3
√−8
x = −2Polynomdivision:(−2)
(x3 +8 ) : (x+ 2) = x2 − 2x+ 4−(x3 +2x2)
−2x2 +8−(−2x2 −4x)
4x +8−(4x +8)
0
1x2 − 2x+ 4 = 0
x1/2 =+2±
√(−2)
2 − 4 · 1 · 42 · 1
x1/2 =+2±
√−12
2Diskriminante negativ keine Lösungx6 = −2; 1-fache Nullstelle
f ′′(−2) = −11
2f ′′(−2) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−2/0)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =x3 + 8
x3
Zaehler = 0x7 = −2; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx8 = 0; 2-fache Nullstelle
x < −2 < x < 0 < xf ′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]0;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]− 2; 0[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmungf ′′ (x) =
−24
x4
Zaehler = 0keine Loesung
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx9 = 0; 2-fache Nullstelle
x < 0 < xf ′′(x) − 0 −
x ∈]−∞; 0[ ∪ ]0;∞[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmtFunktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3+3·x2−4)(1·x2)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −4 4
49 0, 977 −0, 01−6 1
2 −3, 59 0, 971 −0, 0134−6 −3 1
92627 − 1
54
−5 12 −2, 63 0, 952 −0, 0262
−5 −2 425 0, 936 −0, 0384
−4 12 −1, 7 0, 912 −0, 0585
−4 −1 14 0, 875 −0, 0938
−3 12 − 81
98 0, 813 −0, 16−3 − 4
9 0, 704 −0, 296−2 1
2 − 750 0, 488 −0, 614
−2 0 −0, 000153 −1, 5−1 1
2 − 518 −1, 37 −4, 74
−1 −2 −7 −24− 1
2 −13 12 −63, 2 −385
0 −∞ 1 ∞
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −∞ 1 ∞12 −12 1
2 65, 2 −3851 0 9 −241 12 2 13
18 3, 37 −4, 742 4 2 −1, 52 12 4 43
50 1, 51 −0, 6143 5 5
9 1, 3 −0, 2963 12 6 17
98 1, 19 −0, 164 6 3
4 1, 13 −0, 09384 12 7, 3 1, 09 −0, 05855 7 21
25 1, 06 −0, 03845 12 8, 37 1, 05 −0, 02626 8 8
9 1 127 − 1
54
6 12 9, 41 1, 03 −0, 01347 9 45
49 1, 02 −0, 01
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (19)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =−x3 + 3x2 − 4
− 12x
2 − 3x− 4 12
Zaehler faktorisieren:− x3 + 3x2 − 4 = 0
− x3 + 3x2 − 4 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 1(−x3 +3x2 −4 ) : (x+ 1) = −x2 + 4x− 4−(−x3 −x2)
4x2 −4−(4x2 +4x)
−4x −4−(−4x −4)
0
− x2 + 4x− 4 = 0
x1/2 =−4±
√42 − 4 · (−1) · (−4)
2 · (−1)
x1/2 =−4±
√0
−2
x1/2 =−4± 0
−2
x1 =−4 + 0
−2x2 =
−4− 0
−2x1 = 2 x2 = 2x1 = −1; 1-fache Nullstellex2 = 2; 2-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:− 1
2x2 − 3x− 4
1
2= 0
− 1
2x2 − 3x− 4
1
2= 0
x1/2 =+3±
√(−3)
2 − 4 ·(− 1
2
)·(−4 1
2
)2 ·
(− 1
2
)x1/2 =
+3±√0
−1
x1/2 =3± 0
−1
x1 =3 + 0
−1x2 =
3− 0
−1x1 = −3 x2 = −3x3 = −3; 2-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
−(x+ 1)(x− 2)2
− 12 (x+ 3)2
• Definitionsbereich: D = R \ {−3}
f (x) =2x3 − 6x2 + 8
x2 + 6x+ 9Polynomdivision :
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
(2x3 −6x2 +8 ) : (x2 + 6x+ 9) = 2x− 18−(2x3 +12x2 +18x)
−18x2 −18x +8−(−18x2 −108x −162)
90x +170
f(x) = 2x− 18 +90x+ 170
x2 + 6x+ 9
• 1. Ableitungen und 2.Ableitung
f ′ (x) =(6x2 − 12x) · (x2 + 6x+ 9)− (2x3 − 6x2 + 8) · (2x+ 6)
(x2 + 6x+ 9)2
=(6x4 + 24x3 − 18x2 − 108x)− (4x4 − 36x2 + 16x+ 48)
(x2 + 6x+ 9)2
=2x4 + 24x3 + 18x2 − 124x− 48
(x2 + 6x+ 9)2
=2x4 + 24x3 + 18x2 − 124x− 48
(x2 + 6x+ 9)2
=2(x+ 10, 6)(x+ 3)(x+ 0, 377)(x− 2)
(x+ 3)4
=2(x+ 10, 6)(x+ 0, 377)(x− 2)
(x+ 3)3
=2x3 + 18x2 − 36x− 16
x3 + 9x2 + 27x+ 27
f ′′ (x) =(6x2 + 36x− 36) · (x3 + 9x2 + 27x+ 27)− (2x3 + 18x2 − 36x− 16) · (3x2 + 18x+ 27)
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
=(6x5 + 90x4 + 450x3 + 810x2 − 972)− (6x5 + 90x4 + 270x3 − 210x2 − 1, 26 · 103x− 432)
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
=180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
=180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540
(x3 + 9x2 + 27x+ 27)2
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler = 02x3 − 6x2 + 8 = 0x4 = −1; 1-fache Nullstellex5 = 2; 2-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −3 < x < −1 < x < 2 < x
f(x) − 0 − 0 + 0 +
x ∈]− 1; 2[ ∪ ]2;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]− 3;−1[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Grenzwerte und Asymtoten:
limx→∞
x3(−1 +3
x− 4
x3)
x2(− 12 − 3
x−
4 12
x2)
= ∞
limx→−∞
x3(−1 +3
x− 4
x3)
x2(− 12 − 3
x−
4 12
x2)
= ∞
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Schiefe Asymptote:y = 2x− 18
limx→−3+
2(x+ 1)(x− 2)2
(x+ 3)2= −∞
limx→−3−
2(x+ 1)(x− 2)2
(x+ 3)2= −∞
Vertikale Asymptote (Polstelle): x = −3
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:
f ′(x) =2x3 + 18x2 − 36x− 16
x3 + 9x2 + 27x+ 27= 0
2x3 + 18x2 − 36x− 16 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:2(2x3 +18x2 −36x −16 ) : (x− 2) = 2x2 + 22x+ 8−(2x3 −4x2)
22x2 −36x −16−(22x2 −44x)
8x −16−(8x −16)
−7, 11 · 10−15
2x2 + 22x+ 8 = 0
x1/2 =−22±
√222 − 4 · 2 · 82 · 2
x1/2 =−22±
√420
4
x1/2 =−22± 20, 5
4
x1 =−22 + 20, 5
4x2 =
−22− 20, 5
4x1 = −0, 377 x2 = −10, 6x6 = −10, 6; 1-fache Nullstellex7 = −0, 377; 1-fache Nullstellex8 = 2; 1-fache Nullstellef ′′(−10, 6) = 0, 515 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(−10, 6/− 52, 8)
f ′′(−0, 377) = −2, 67f ′′(−0, 377) < 0 ⇒ Hochpunkt:(−0, 377/1, 02)
f ′′(2) = 0, 388 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(2/0)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)
f ′ (x) =2x3 + 18x2 − 36x− 16
x3 + 9x2 + 27x+ 27Zaehler = 0x9 = −10, 6; 1-fache Nullstellex10 = −0, 377; 1-fache Nullstellex11 = 2; 1-fache Nullstelle
Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx12 = −3; 2-fache Nullstelle
x < −10, 6 < x < −3 < x < −0, 377 < x < 2 < xf ′(x) + 0 − 0 + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−10, 6[ ∪ ]− 3;−0, 377[ ∪ ]2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x ∈]− 10, 6;−3[ ∪ ]− 0, 377; 2[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Kruemmung
f ′′ (x) =180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540
x6 + 18x5 + 135x4 + 540x3 + 1, 22 · 103x2 + 1, 46 · 103x+ 729Zaehler = 0
180x3 + 1, 02 · 103x2 + 1, 26 · 103x− 540 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten: − 3(180x3 +1, 02 · 103x2 +1, 26 · 103x −540 ) : (x+ 3) = 180x2 + 480x− 180−(180x3 +540x2)
480x2 +1, 26 · 103x −540−(480x2 +1, 44 · 103x)
−180x −540−(−180x −540)
2, 27 · 10−13
180x2 + 480x− 180 = 0
x1/2 =−480±
√4802 − 4 · 180 · (−180)
2 · 180
x1/2 =−480±
√3, 6 · 105
360
x1/2 =−480± 600
360
x1 =−480 + 600
360x2 =
−480− 600
360
x1 =1
3x2 = −3
x13 = −3; 2-fache Nullstelle
x14 =1
3; 1-fache Nullstelle
Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx15 = −3; 2-fache Nullstelle
x < −3 < x < 13 < x
f ′′(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−3[ ∪ ]1
3;∞[ f ′′(x) > 0 linksgekrümmt
x ∈]− 3;1
3[ f ′′(x) < 0 rechtsgekrümmt
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (−1·x3+3·x2−4)
(− 12 ·x2−3·x−4 1
2 )
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 −60 3
4 −6, 75 −5, 16−6 1
2 −64 4349 −10 −8, 2
−6 −71 19 −15, 4 −14, 1
−5 12 −81 −25, 2 −26 97
110
−5 −98 −45, 5 −60−4 1
2 −131 49 −97, 3 −172
−4 −216 −288 −780−3 1
2 −605 −1, 96 · 103 −1, 11 · 104−3 ∞ 293879 27
49 −∞−2 1
2 −243 1, 25 · 103 −8, 18 · 103−2 −32 112 −420−1 1
2 −5 49 21, 3 −65, 2
−1 0 4, 5 −15− 1
2 1 0, 401 −3, 840 8
9 −0, 592 −0, 741
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 8
9 −0, 592 −0, 74112
2749 −0, 682 0, 2
1 14 −0, 5 0, 469
1 12
581 −0, 25 0, 512
2 0 −4, 9 · 10−6 0, 482 12
7121
27119 0, 426
3 29 0, 426 10
27
3 12 0, 479 0, 598 0, 3194 40
49 0, 746 0, 2754 12 1 2
9 0, 874 0, 2375 1 11
16 0, 984 0, 2055 12 2, 2 1, 08 0, 1786 2 62
81 1, 16 0, 1556 12 3, 37 1, 24 0, 1367 4 1, 3 3
25
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (20)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =3x3 − 10x2 + 7x− 12
x− 3Zaehler faktorisieren:3x3 − 10x2 + 7x− 12 = 0
3x3 − 10x2 + 7x− 12 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:3(3x3 −10x2 +7x −12 ) : (x− 3) = 3x2 − x+ 4−(3x3 −9x2)
−x2 +7x −12−(−x2 +3x)
4x −12−(4x −12)
0
3x2 − x+ 4 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 3 · 42 · 3
x1/2 =+1±
√−47
6Diskriminante negativ keine Lösungx1 = 3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x− 3 = 0
x− 3 = 0 / + 3x = 3x2 = 3; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
3(x2 − 13x+ 1 1
3 )(x− 3)
(x− 3)
• Definitionsbereich: D = R \ {3}• Term gekürzen
f (x) =3(x2 − 1
3x+ 1 13 )
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = 3x2 − x+ 4f ′ (x) = 6x− 1f ′′ (x) = 6
F (x) =
∫(3x2 − x+ 4)dx = x3 − 1
2x2 + 4x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [3
11
12,∞[
• Grenzwerte:f(x) = x2(3− 1
x+
4
x2)
limx→∞
f (x) = [3 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [3 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f (−x) = 3 · (−x)2 − 1 · (−x) + 4keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = 3x2 − x+ 4 = 0
3x2 − x+ 4 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 3 · 42 · 3
x1/2 =+1±
√−47
6Diskriminante negativ keine Lösung
• Vorzeichentabelle:kein Vorzeichenwechselx ∈ R f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 6x− 1 = 0
6x− 1 = 0 / + 16x = 1 / : 6
x =1
6
x =1
6
x1 =1
6; 1-fache Nullstelle
f ′′(1
6) = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(1
6/3
11
12)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < 1
6 < xf ′(x) − 0 +
x ∈] 16;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;1
6[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achsekeine Fläche
Funktionsgraph und Wertetabelle
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (3·x3−10·x2+7·x−12)(1·x−3)
Ableitung von f(x)
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 158 −43 6−6 1
2 137 14 −40 6
−6 118 −37 6−5 1
2 100 14 −34 6
−5 84 −31 6−4 1
2 69 14 −28 6
−4 56 −25 6−3 1
2 44 14 −22 6
−3 34 −19 6−2 1
2 25 14 −16 6
−2 18 −13 6−1 1
2 12 14 −10 6
−1 8 −7 6− 1
2 5 14 −4 6
0 4 −1 6
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 4 −1 612 4 1
4 2 61 6 5 61 12 9 1
4 8 62 14 11 62 12 20 1
4 14 63 NaN 17 NaN3 12 37 1
4 20 64 48 23 64 12 60 1
4 26 65 74 29 65 12 89 1
4 32 66 106 35 66 12 124 1
4 38 67 144 41 6
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (21)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 − 6x2 + 11x− 6
x− 2Zaehler faktorisieren:x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0
x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(x3 −6x2 +11x −6 ) : (x− 1) = x2 − 5x+ 6−(x3 −x2)
−5x2 +11x −6−(−5x2 +5x)
6x −6−(6x −6)
0
1x2 − 5x+ 6 = 0
x1/2 =+5±
√(−5)
2 − 4 · 1 · 62 · 1
x1/2 =+5±
√1
2
x1/2 =5± 1
2
x1 =5 + 1
2x2 =
5− 1
2x1 = 3 x2 = 2x1 = 1; 1-fache Nullstellex2 = 2; 1-fache Nullstellex3 = 3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x− 2 = 0
x− 2 = 0 / + 2x = 2x4 = 2; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
(x− 2)
• Definitionsbereich: D = R \ {2}• Term gekürzenf (x) =
(x− 1)(x− 3)
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = x2 − 4x+ 3 = (x− 1)(x− 3)f ′ (x) = 2x− 4f ′′ (x) = 2
F (x) =
∫(x2 − 4x+ 3)dx =
1
3x3 − 2x2 + 3x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−1),∞[
• Grenzwerte:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f(x) = x2(1− 4
x+
3
x2)
limx→∞
f (x) = [1 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [1 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) = 1 · (−x)2 − 4 · (−x) + 3keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = x2 − 4x+ 3 = 0
1x2 − 4x+ 3 = 0
x1/2 =+4±
√(−4)
2 − 4 · 1 · 32 · 1
x1/2 =+4±
√4
2
x1/2 =4± 2
2
x1 =4 + 2
2x2 =
4− 2
2x1 = 3 x2 = 1x1 = 1; 1-fache Nullstellex2 = 3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < 1 < x < 3 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞; 1[ ∪ ]3;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]1; 3[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 2x− 4 = 0
2x− 4 = 0 / + 42x = 4 / : 2
x =4
2x = 2x3 = 2; 1-fache Nullstellef ′′(2) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(2/− 1)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < 2 < x
f ′(x) − 0 +
x ∈]2;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞; 2[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
A =
∫ 3
1
(x2 − 4x+ 3
)dx =
[1
3x3 − 2x2 + 3x
]31
=
(1
3· 33 − 2 · 32 + 3 · 3
)−(1
3· 13 − 2 · 12 + 3 · 1
)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
=(−8, 88 · 10−15
)−(11
3
)= −1
1
3
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3−6·x2+11·x−6)(1·x−2)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 80 −18 2−6 1
2 71 14 −17 2
−6 63 −16 2−5 1
2 55 14 −15 2
−5 48 −14 2−4 1
2 41 14 −13 2
−4 35 −12 2−3 1
2 29 14 −11 2
−3 24 −10 2−2 1
2 19 14 −9 2
−2 15 −8 2−1 1
2 11 14 −7 2
−1 8 −6 2− 1
2 5 14 −5 2
0 3 −4 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 3 −4 212 1 1
4 −3 21 0 −2 21 12 − 3
4 −1 22 NaN −2, 9 · 10−12 NaN2 12 − 3
4 1 23 0 2 23 12 1 1
4 3 24 3 4 24 12 5 1
4 5 25 8 6 25 12 11 1
4 7 26 15 8 26 12 19 1
4 9 27 24 10 2
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
Aufgabe (22)
•Funktion/Faktorisieren
f (x) =x3 − 2x2 − 5x+ 6
x− 1Zaehler faktorisieren:x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0
x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0
Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(x3 −2x2 −5x +6 ) : (x− 1) = x2 − x− 6−(x3 −x2)
−x2 −5x +6−(−x2 +x)
−6x +6−(−6x +6)
0
1x2 − x− 6 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1x1/2 =
+1±√25
2
x1/2 =1± 5
2
x1 =1 + 5
2x2 =
1− 5
2x1 = 3 x2 = −2x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = 1; 1-fache Nullstellex3 = 3; 1-fache Nullstelle
Nenner faktorisieren:x− 1 = 0
x− 1 = 0 / + 1x = 1x4 = 1; 1-fache Nullstelle
Faktorisierter Term:f (x) =
(x+ 2)(x− 1)(x− 3)
(x− 1)
• Definitionsbereich: D = R \ {1}• Term gekürzenf (x) =
(x+ 2)(x− 3)
1• Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf (x) = x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)f ′ (x) = 2x− 1f ′′ (x) = 2
F (x) =
∫(x2 − x− 6)dx =
1
3x3 − 1
2x2 − 6x+ c
• Definitions- und Wertebereich:D = R W = [(−6
1
4),∞[
• Grenzwerte:
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
f(x) = x2(1− 1
x− 6
x2)
limx→∞
f (x) = [1 · ∞2] = ∞lim
x→−∞f (x) = [1 · (−∞)2] = ∞
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achsef (−x) = 1 · (−x)2 − 1 · (−x)− 6keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung
• Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x) = x2 − x− 6 = 0
1x2 − x− 6 = 0
x1/2 =+1±
√(−1)
2 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1x1/2 =
+1±√25
2
x1/2 =1± 5
2
x1 =1 + 5
2x2 =
1− 5
2x1 = 3 x2 = −2x1 = −2; 1-fache Nullstellex2 = 3; 1-fache Nullstelle
• Vorzeichentabelle:x < −2 < x < 3 < x
f(x) + 0 − 0 +
x ∈]−∞;−2[ ∪ ]3;∞[ f(x) > 0 oberhalb der x-Achse
x ∈]− 2; 3[ f(x) < 0 unterhalb der x-Achse
• Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f ′(x) = 2x− 1 = 0
2x− 1 = 0 / + 12x = 1 / : 2
x =1
2
x =1
2
x3 =1
2; 1-fache Nullstelle
f ′′(1
2) = 2 > 0 ⇒ Tiefpunkt:(1
2/− 6
1
4)
• Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf)x < 1
2 < xf ′(x) − 0 +
x ∈] 12;∞[ f ′(x) > 0 streng monoton steigend
x ∈]−∞;1
2[ f ′(x) < 0 streng monoton fallend
• Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
A =
∫ 3
−2
(x2 − x− 6
)dx =
[1
3x3 − 1
2x2 − 6x
]3−2
=
(1
3· 33 − 1
2· 32 − 6 · 3
)−(1
3· (−2)3 − 1
2· (−2)2 − 6 · (−2)
)=
(−13
1
2
)−(71
3
)= −20
5
6
Funktionsgraph und Wertetabelle
2 4 6−2−4−60
−2
−4
−6
−8
2
4
6
8
f(x) = (1·x3−2·x2−5·x+6)(1·x−1)
Ableitung von f(x)
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Gebrochen rationale Funktion Zählergrad > Nennergrad Lösungen
x f(x) f ′(x) f ′′(x)−7 50 −15 2−6 1
2 42 34 −14 2
−6 36 −13 2−5 1
2 29 34 −12 2
−5 24 −11 2−4 1
2 18 34 −10 2
−4 14 −9 2−3 1
2 9 34 −8 2
−3 6 −7 2−2 1
2 2 34 −6 2
−2 0 −5 2−1 1
2 −2 14 −4 2
−1 −4 −3 2− 1
2 −5 14 −2 2
0 −6 −1 2
x f(x) f ′(x) f ′′(x)0 −6 −1 212 −6 1
4 0 21 NaN 1 NaN1 12 −5 1
4 2 22 −4 3 22 12 −2 1
4 4 23 0 5 23 12 2 3
4 6 24 6 7 24 12 9 3
4 8 25 14 9 25 12 18 3
4 10 26 24 11 26 12 29 3
4 12 27 36 13 2
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