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Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Kevin Schellkes und Christian Hendricks29.08.2011
Inhalt
� Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen
� Ansatz zur Simulation mit Copulas
� Test und Vergleich der beiden Verfahren
� Fazit
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Geometrische Brownsche Bewegung
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
für � � 1,… , �Aktien im Zeitraum 0 �und Wiener Prozess � ~��0, �
Korrelationsansatz
� Geometrische Brownsche Bewegung
� Mit festen Parametern
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
für � � 1,… , �Aktien im Zeitraum 0 �und Wiener Prozess � ~��0, �
Korrelationsansatz
� Analytische Lösung
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Analytische Lösung
� Darstellung der logarithmischen Rendite
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Analytische Lösung in Matrixschreibweise
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
- Aktienkurs einzelner Aktien zum Zeitpunkt t unabhängig voneinander- Entspricht nicht den Beobachtungen in der Realität !
� �
=: α =: �
Korrelationsansatz
� Abhängigkeitsstruktur mit Kovarianzmatrix
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Zufallsvariable � ∊ ��um logarithmische Renditen zu simulieren mit
�~��α, ∑ �� wobei
� ≔ α �∑� � ≁ ��α, ∑ �
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Erst Cholesky-Zerlegung von ∑ führt zum Ziel
∑ � ���
� �:� α � �� � �~��α,���� bzw. ~��α,∑�
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Erst Cholesky-Zerlegung von ∑ führt zum Ziel
∑ � ���
� �:� α � �� � �~��α,���� bzw. ~��α,∑�� � wird mittels �mit � ~�� ,!� simuliert
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Ziel: Portfoliowert in K Tagen simulieren
1) Transformation der Tagesrenditen auf K-Tagesrenditen
2) Ermittlung der Simulationsparameter
α und ∑
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Zu 1)
sei γ# $ die l-te Tagesrendite der Aktie i
und X die Beobachtungsmatrix
X :=
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Korrelationsansatz
� Bsp.: Sei K=3
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
%
:=�&
� Zu 2)
-Parameter ∑&ist die Kovarianzmatrix von �&-Parameter α&
Korrelationsansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Monte-Carlo-Algorithmus
Korrelationsansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Inhalt
� Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen
� Ansatz zur Simulation mit Copulas
� Test und Vergleich der beiden Verfahren
� Fazit
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Können wirklich alle Abhängigkeiten durch
die Korrelation erfasst werden?
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Gleiche Korrelation
� Gleiche Randverteilungen
� Aber unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Gauß-Copula
- mit multivariater Normalverteilung der Dimension � mit Korrelationsmatrix '- univariate Standardnormalverteilung ɸ
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Gauß-Copula Dichte
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� t-Copula
- mit multivariater t-Verteilung der Dimension � mit Korrelationsmatrix ' und νFreiheitsgraden
- univariate t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� t-Copula Dichte
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Tailabhängigkeit
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Bei Gauß-Copula gilt
- Für Korrelation *+1ist λ- � λ. � 0- Extreme Ausprägungen treten unabhängig
voneinander auf
� Bei t-Copula gilt
- Für Korrelation >-1 ist λ- / 0 und λ./ 0- Extreme Ausprägungen treten tendenziell
abhängig voneinander auf
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Mit Hilfe des Satzes von Sklar kann die Simulation der Renditen aufgeteilt werden
012,…,13�45, … , 4�� 612 75 , … , 613�7��
612,…,13 75, … , 7� � 012,…,13�612 75 , … , 613�7���
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Es gilt 8~0, denn: - 9~6und 9#~6# mit stetiger, monotonwachsender Randverteilung- :#~;�0,1�
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
- Für 6 � und6#<5 � ɸ<5 folgt die Gauß-Copula
- Für 6 �00 und 6#<5 � =<5 folgt die t-Copula
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
X erfüllt die gewünschte Verteilung, denn:
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Praktische Anwendung von Algorithmus 3:
� 1) Ermittlung der Randverteilungen
� 2) Wie werden die Copulaparameterermittelt?
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Zu 1)
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Für die Randverteilungen einzelner Beobachtungen kann ausgenutzt werden, dass
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Wir erhalten dadurch eine Matrix ; mit ;#,> � 6#,?�7#,>�
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Bei praktischer Anwendung von Algorithmus 3 bleibt
noch ein Problem offen:
- wie erfolgt die Auswertung von 6#<5 8# ?
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Wir kennen nur die Auswertung der Randverteilungen an den einzelnen Beobachtungen 7#,>
� 6# 7#,> � @#,> bzw. 6#<5 @#,> � 7#,>� i.A. gilt 6#<5 8# * 7#,> für alle j
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Ist die Anzahl der Datensätze groß genug
Randverteilung fast kontinuierlich
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Zu 2) Copula-Parameterschätzung
Maximum-Likelihood-Methode:
Idee: Wähle denjenigen Parameter, der auf Grund der gemachten Beobachtungen am plausibelsten erscheint
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Fasse dazu Beobachtungen als identisch verteilte und stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf
mit c als Dichte der Copula
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Randverteilungsparameter bereits implizit geschätzt
� Monotonie Logarithmus und Maximum von logarithmierter Dichte an gleicher Stelle
Log-Maximum-Likelihoodfunktion
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Einsetzen der beobachteten Werte
Pseudo-Log-Maximum-Likelihoodfunktion
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Praktische Anwendung bei Gauß-Copula
- Maximum des Likelihoodschätzers für Parameter P
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Praktische Anwendung bei t-Copula
- Parameter P über Beziehung zum Kendall‘schenRangkorrelationskoeffizient τ'B � sin F
G H ;- Freiheitsgrade ν mittels Log-Likelihoodschätzers
max= $�7, ν, 'B)
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Copulaansatz
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Inhalt
� Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen
� Ansatz zur Simulation mit Copulas
� Test und Vergleich der beiden Verfahren
� Fazit
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� In der Praxis ist VaR oft interessanter als PF-Wert
� Um ihn berechnen zu können, wird aus den einzelnen Simulationsausgängen LM> für N � 1,… , Odie Dichte approximiert
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Testportfolio mit Daten vomUnternehmen
02.01.2007 bis 29.07.2011Portfoliogewicht
Dt. Telekom AG 25 %
RWE AG 25 %
BMW AG 25 %
Infineon AG 25 %
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Dichte und VaR bei 100.000 Simulationen mit t-Copula für α � 0.99
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
VaR bei 100.000 Simulationen
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Welcher Ansatz erzielt die besseren Ergebnisse?
� Backtest:
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Gauß- oder t-Copula ?
� Nach Ergebnissen von Herrn Deuß bildet die t-Copula die Abhängigkeitstruktur besser ab
� Worauf könnte dies zurückzuführen sein?
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Untersuchung der Tail-Abhängigkeit für Aktien in unserem PF
Numerische Tests
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
Tailabhängigkeitsschätzer für log-Renditen der Dt. Telekom AG und RWE AG
Fazit
Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas
� Standardkorrelationansatz bildet nicht die komplette Abhängigkeitsstruktur ab
� Standardkorrelationsansatz unterschätzt das Risiko
� Copulaansatz erfasst die Abhängigkeiten besser
� t – Copula im Markt mit Tailabhängigkeit besser
geeignet als Gauß-Copula