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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
(Grob-) Gliederung
A Einführung
B Finanzmathematische Grundlagen
C Zinsrechnungen
D Rentenrechnungen
E Tilgungsrechnungen
F Kurs und Rendite
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Thema:
Rentenrechnungen
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen
1 Systematisierung von Rentenvorgängen
2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten5 Aufgaben
E Tilgungsrechnungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Kapitalstock versus Sparziel
D. Rentenrechnungen1 Systematisierung von Rentenvorgängen
© Dr. A. Brink
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen
1 Systematisierung von Rentenvorgängen
2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten5 Aufgaben
E Tilgungsrechnungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen
1 Systematisierung von Rentenvorgängen
2 Endliche Renten2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
3 Ewige Renten4 Progressive Renten
E Tilgungsrechnungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
D Rentenrechnungen1 Systematisierung von
Rentenvorgängen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Renten-
zahlungen2.1.2 Nachschüssige Renten-
zahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Ausgangspunkt:
Über einen endlichen Zeitraum wird aus einemKapital (Rentenbarwert RBWv
n,i), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zu Beginn einesJahres eine bestimmte Rentenrate ř gezahltbzw. es wird jährlich eine bestimmte Rate ř ein-gezahlt, um am Ende ein bestimmtes Endkapi-tal (Rentenendwert REWn,i) zu erhalten.
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Rentenzahlungen
© Dr. A. Brink
8©
Finanzmathematik
vorschüssige
Rentenendwertformel:
11
q
qqrREW
nv
in
,
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Rentenzahlungen
© Dr. A. Brink
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Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang jährlich vorschüssigjeweils 1.000 € auf ein Sparkonto ein, das mit10% Zinsen vergütet wird. Auf welchen Betragwächst das Kapital bis zum Ende des 5. Jahresan?
61,715.611,111,1
1,1000.15
1,0;5
vREW
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
vorschüssige
Rentenbarwertformel:
111
1,
qrRBW
n
nv
in
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand möchte nach 47 Jahren eine Lebens-versicherung in Höhe von 1.000.000 € aus-gezahlt bekommen. Welchen Betrag muss erjährlich vorschüssig ansparen bei i = 6%?
91,912.3)106,1(06,1
106,1000.000.1
47
r
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
D Rentenrechnungen1 Systematisierung von
Rentenvorgängen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Renten-
zahlungen2.1.2 Nachschüssige Renten-
zahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Ausgangspunkt:
Über einen endlichen Zeitraum wird aus einemKapital (Rentenbarwert RBWv
n,i), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zum Ende einesJahres eine bestimmte Rentenrate r gezahltbzw. es wird jährlich eine bestimmte Rate r ein-gezahlt, um am Ende ein bestimmtes Endkapi-tal (Rentenendwert REWn,i) zu erhalten.
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.2 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
nachschüssige
Rentenendwertformel:
11
,
q
qrREW
nn
in
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.2 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang jährlich nachschüs-sig jeweils 1.000 € auf ein Sparkonto ein, dasmit 10% Zinsen vergütet wird. Auf welchenBetrag wächst das Kapital bis zum Ende des 5.Jahres an?
10,105.611,111,1
000.15
5,0;5
nREW
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.2 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
nachschüssige
Rentenbarwertformel:
111
,
q
q
qrRBW
n
nn
in
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.2 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Beispiel:
68,147.4106,1
106,1000.000.1
47
r
Jemand möchte nach 47 Jahren eine Lebens-versicherung in Höhe von 1.000.000 € ausge-zahlt bekommen. Welchen Betrag muss erjährich nachschüssig ansparen bei i = 6%?
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.2 Nachschüssige Rentenzahlungen
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D. Rentenrechnung
1 - q
1 - q
n
; ninREF q
nq
1
1-nn q
1
q
q
nachschüssig vorschüssig
Endwert(t = n)
Barwert(t = 0)
1 - q
1 - qn
Alles geschieht eine Periode früher!
Endwert um n-Perioden abzinsen!
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D. RentenrechnungenUmrechnungsfaktoren
Finanzmathematik
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
D Rentenrechnungen1 Systematisierung von
Rentenvorgängen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
3 Ewige Renten4 Progressive Renten5 Aufgaben
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Ausgangspunkt:
Die Rentenraten werden mehrmals pro Jahr (z.B. vierteljährlich oder monatlich) gezahlt.
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Bezüglich der Verzinsung der gezahlten Rentenraten
können mehrere Fälle unterschieden werden
Verzinsung der gezahlten Rentenraten
(a) die Zinsen werden in jedemJahr mehrfach nach-schüssig berechnet
(1) Zinsperiode = Rentenperiode(2) Zinsperiode > Rentenperiode(3) Zinsperiode < Rentenperiode
(b) die Zinsen werden einmalpro Jahr nachschüssig berechnet
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
D Rentenrechnungen1 Systematisierung von
Rentenvorgängen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
2.2.1 Nachschüssige Renten-zahlungen
2.2.2 Vorschüssige Renten-zahlungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Ausgangspunkt:
Die Rentenraten werden mehrmals pro Jahr(z.B. vierteljährlich oder monatlich) nach-schüssig gezahlt, wohingegen die Zinseneinmal pro Jahr nachschüssig berechnetwerden.
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.1 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Vorgehensweise:
Sind Zins- und Rentenperiode nicht identisch,muss eine Transformation der Rentenzahlungenauf das jeweilige Periodenende vorgenommenwerden
Diese Transformation sieht so aus, dass derWert aller Rentenraten einschließlich der Zinsenzum Ende eines Jahres ermittelt wird.
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.1 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Symbol:
re = jahreskonforme Ersatzrentenrate
Formel:
1
2m
imrre
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.1 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand zahlt jeweils am Ende eines Viertel-jahres je 1.000 € auf ein Sparbuch. Die Bankverzinst dieses mit 8% p.a. Auf welchen Betragwächst dieses Kapital nach 5 Jahren?
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.1 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Ermittlung der jahreskonformen Ersatzrente re:
Ermittlung des Endwertes einer nachschüssigenunterjährigen Rente:
120.414208,0
4000.1
er
40,170.24108,1
108,1120.4
5
08,0;5
nREW
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.1 Nachschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
D Rentenrechnungen1 Systematisierung von
Rentenvorgängen2 Endliche Renten
2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen
2.2.1 Nachschüssige Renten-zahlungen
2.2.2 Vorschüssige Renten-zahlungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Ausgangspunkt:
Die Rentenraten werden mehrmals pro Jahr(z.B. vierteljährlich oder monatlich) vorschüssiggezahlt.
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.2 Vorschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Vorgehensweise:
Wenn man bei der Ermittlung der jahreskonformen vor-schüssigen Ersatzrentenrate die Beträge jeweils auf dasJahresende aufzinst, kann der Rentenendwert analog zuoben (vgl. Abschnitt 2.2.1) bestimmt werden.
Der Unterschied zwischen der vor- und nachschüssi-gen Zahlungsweise ist dann allein bei der Ermittlungder Ersatzrentenrate zu berücksichtigen.
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.2 Vorschüssige Rentenzahlungen
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Finanzmathematik
Symbol:
ře = jahreskonforme Ersatzrentenrate
Formel:
1
2m
imrre
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.2 Vorschüssige Rentenzahlungen
32©
Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand zahlt jeweils zu Beginn eines Viertel-jahres je 1.000 € auf ein Sparbuch. Die Bankverzinst dieses mit 8% p.a. Wie hoch ist diejahreskonforme Ersatzrentenrate?
200.414208,0
4000.1
er
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D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten
2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.2 Vorschüssige Rentenzahlungen
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A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen
1 Systematisierung von Rentenvorgängen
2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten5 Aufgaben
E Tilgungsrechnungen
Finanzmathematik
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Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen
1 Systematisierung von Rentenvorgängen
2 Endliche Renten3 Ewige Renten
3.1 Nachschüssige ewige Rente3.2 Vorschüssige ewige Renten
4 Progressive Renten
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
35©
Finanzmathematik
Ausgangspunkt:
Über einen unendlichen Zeitraum wird auseinem Kapital (Rentenbarwert), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zum Ende einesJahres eine bestimmte Rentenrate r gezahlt.
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen3 Ewige Renten
3.1 Nachschüssige ewige Renten
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Finanzmathematik
Formel:
ir
RBW ni ,
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D. Rentenrechnungen3 Ewige Renten
3.1 Nachschüssige ewige Renten
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Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand möchte eine jährlich nachschüssigeewige Rente von 1.000 € erhalten. Wie hochmuss der Kapitalstock sein bei einer Verzin-sung von 8% p.a.?
500.1208,0
000.1,
niRBW
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D. Rentenrechnungen3 Ewige Renten
3.1 Nachschüssige ewige Renten
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen
1 Systematisierung von Rentenvorgängen
2 Endliche Renten3 Ewige Renten
3.1 Nachschüssige ewige Rente3.2 Vorschüssige ewige Renten
4 Progressive Renten
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Ausgangspunkt:
Über einen unendlichen Zeitraum wird auseinem Kapital (Rentenbarwert), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zu Beginn einesJahres eine bestimmte Rentenrate ř gezahlt.
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen3 Ewige Renten
3.2 Vorschüssige ewige Renten
40©
Finanzmathematik
i
rr
irRBW v
i
11
,
Formel:
~~~
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen3 Ewige Renten
3.2 Vorschüssige ewige Renten
41©
Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand möchte aus seinem Kapitalstock inHöhe von 13.500 € eine ewige Rente beziehen.In welcher Höhe kann eine jährlich vorschüssi-ge ewige Rente gezahlt werden, wenn die Ver-zinsung 8% p.a. beträgt?
000.1
08,01
1
500.131
1
,
i
RBWr
vi
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D. Rentenrechnungen3 Ewige Renten
3.2 Vorschüssige ewige Renten
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
D Rentenrechnungen1 Systematisierung von
Rentenvorgängen2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten
4.1 Geometrisch fortschreitende Renten
4.2. Arithmetisch fortschreitende Renten
5 AufgabenE Tilgungsrechnungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Definition:
Bei einer geometrisch fortschreitende Rentesteigt die (Jahres-)Rentenrate r von Jahr zuJahr um einen bestimmten Prozentsatz.
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D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten
4.1 Geometrisch fortschreitende Renten
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Finanzmathematik
Formel:
qfqf
rREWnn
gsin
,
Symbol:f = Progressionsfaktor
(nachschüssig)
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D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten
4.1 Geometrisch fortschreitende Renten
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Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand bezieht eine nachschüssige Renten-rate über 10 Jahre. Die erste Rentenrate be-trägt 4.000 € und wird jährlich um 4% angeho-ben. Welchen Endwert weist diese Rente beieinem Zinssatz von 6% auf?
68,120.6206,104,106,104,1
000.41010
06,0;10
gsREW
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D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten
4.1 Geometrisch fortschreitende Renten
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Finanzmathematik © Dr. A. Brink
D Rentenrechnungen1 Systematisierung von
Rentenvorgängen2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten
4.1 Geometrisch fortschreitende Renten
4.2. Arithmetisch fortschreitende Renten
5 AufgabenE Tilgungsrechnungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
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Finanzmathematik
Definition:
Bei einer arithmetisch fortschreitenden Rentesteigt die (Jahres-)Rentenrate r von Jahr zuJahr um einen vorgegebenen Betrag.
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D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten
4.2 Arithmetisch fortschreitende Renten
48©
Finanzmathematik
Formel:
nn
inn
inas
inq
nRBFid
RBWRBW1
,,,
Symbol:
d = jährlicher Steigerungsbetrag der Rente
(nachschüssig)
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D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten
4.2 Arithmetisch fortschreitende Renten
49©
Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand bezieht eine nachschüssige Renten-rate über 10 Jahre. Die erste Rentenratebeträgt 4.000 € und wird jährlich um 200 €angehoben. Welchen Barwert weist dieseRente bei einem Zinssatz von 6% auf?
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten
4.2 Arithmetisch fortschreitende Renten
50©
Finanzmathematik
€82,360.35583948,5360088,706,0
20035,440.29
06,1
110
06,0
200
06,0;10
1006,0;1006,0;1006,0;10
as
nnas
RBW
RBFRBWRBW
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten
4.2 Arithmetisch fortschreitende Renten
51©
Finanzmathematik © Dr. A. Brink
A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen
1 Systematisierung von Rentenvorgängen
2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten5 Aufgaben
E Tilgungsrechnungen
Finanzmathematik
Dr. Alfred Brink
Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Thema:
Rentenrechnungen
52©
Finanzmathematik 52
• Aufgabe 9
• Aufgabe 10
• Aufgabe 13
• Aufgabe 17
• Aufgabe 20
• Aufgabe 27
• Aufgabe 29
• Aufgabe 32
Aufgaben:
Aufgabenheft S. 14 - 19
© Dr. A. Brink
D. Rentenrechnungen5 Aufgaben