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4.1Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Didaktik der AlgebraModul 5
Jürgen Roth
4.2Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Inhalt
Didaktik der Algebra
1 Ziele und Inhalte
2 Terme
3 Funktionen
4 Gleichungen
4.3Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kapitel 4: GleichungenDidaktik der Algebra
4.4Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Inhalt
Kapitel 4: Gleichungen
4.1 Aspekte beim Umgang mit Gleichungen
4.2 Methoden zur Lösung von Gleichungen
4.3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
4.4 Gleichungen in der Sekundarstufe I
4.5Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
4.1 Aspekte beim Umgangmit Gleichungen
Kapitel 4: Gleichungen
4.6Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gleichungen als Werkzeuge und Objekte
Gleichungen als Werkzeugezum Formulieren von Beziehungen zwischen mathematischen Objekten (z. B. Zahlen, Größen, Funktionen),
zum Ausdrücken von Eigenschaften,
zum Formulieren und Lösen von Problemen.
Gleichungen als ObjekteUntersuchung von Gleichungstypen
Existenz und Bestimmung von Lösungen
LogikGleichungen ohne Variable → AussagenGleichungen mit Variablen → Aussageformen
2 + 3 = 55 kg + 2 kg = 7 kg
sin 𝑥𝑥 2 + cos 𝑥𝑥 2 = 1𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑐𝑐
4.7Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Aussagen2 + 3 = 5 (wahr)2 + 3 = 6 (falsch)
Begriffe rund um Gleichungen
Begriffe werden benötigt, um über Gleichungen reden,Regeln formulieren und Ergebnisse interpretieren
zu können.
Beschreibung von Gleichungen:VariableTermGleichungAussage
Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist.
AussageformFormulierung, die beim Ein-setzen eine Aussage ergibt.
Aussageformen in ℝ
2 + 𝑥𝑥 = 5 (erfüllbar)
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 (allgemeingültig)
𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 + 2 (unerfüllbar)
4.8Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Begriffe rund um Gleichungen
Beschreibung von LösungenGrundmenge 𝔾𝔾LösungLösungsmenge 𝕃𝕃
Beschreibung des Lösungsverhaltens (bzgl. einer bestimmten Grundmenge 𝔾𝔾!)
erfüllbare Aussageformunerfüllbare Aussageformallgemeingültige Aussageform
Beschreibung von UmformungsartenÄquivalenzumformungGewinnumformungVerlustumformung
Vorrat für Einsetzungen.Element der Grundmenge, das beim Einsetzen zu einer wahren Aussage führt.
Menge aller Lösungen.
𝕃𝕃 ≠ {}𝕃𝕃 = {}𝕃𝕃 = 𝔾𝔾
Gewinnumformung𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 − 1 ⇒ 𝕃𝕃 = 3
𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 − 1 | ²x + 1 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 | − (𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)
𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 = 0𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝕃𝕃 = 0; 3
Verlustumformung𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝕃𝕃 = {−2; 0}𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 = 0 | ∶ 𝒙𝒙𝑥𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝕃𝕃 = {−2}
(z. B. | 2, | ⋅ 𝑥𝑥)
(z. B. | , | ∶ 𝑥𝑥)
(z. B. | + 2, | − 3, | ⋅ 4, | ∶ 5)
4.9Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Umgang mit Gleichungenim Unterricht
Gleichungen vernetzt lernenGleichungen nicht isoliert behandelnEinbinden in zentrale Themen wie Zahlen, Funktionen, Größen Geometrie und Sachbezüge
Einsichtig mit Gleichungen umgehen
Überbetonung des Übens führt leicht zu mechanischem Umformen ohne Einsicht.Deshalb: Umformungen begründen und Lösungen kritisch kontrollieren (lassen)
Näherungslösungen für Gleichungen akzeptieren
Für alle praktischen Zwecke ausreichend genauAuch bei sehr komplizierten Gleichungen anwendbarDie Regel bei Problemlösungen in Wirtschaft und Technik
4.10Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
4.2 Methoden zur Lösung von Gleichungen
Kapitel 4: Gleichungen
4.11Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Methoden zur Lösung von Gleichungen
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝒙𝒙
𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎
Lösungsstrategien für einfache Gleichungen
Streifenmethode
systematisches Probieren
graphische Lösungsverfahren
numerisch-iterative Lösungsverfahren
Gegenoperatoren
Äquivalenzumformungen
Lösungsformeln anwenden
4.12Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lösungsstrategien für einfache Gleichungen
26 + 𝑥𝑥 = 107
Verwandte Gleichung mit gleicher Struktur betrachten
2 + 3 = 5
26 + 81 = 107
26 + 𝑥𝑥 = 107
26 + 𝑥𝑥 = 26 + 81
also
𝑥𝑥 = 81
26 + 𝑥𝑥 = 107
107 − 26 = 𝑥𝑥
81 = 𝑥𝑥
𝑥𝑥 = 81
2 + 𝑥𝑥 = 5
Zerlegung Umkehraufgabe
also also
4.13Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Aus der Grundschule:Umkehr- und Tauschaufgaben
26 + 𝑥𝑥 = 107 𝑥𝑥 + 26 = 107Tauschaufgabe
𝑥𝑥 = 107 − 26
Um
kehr
aufg
abe
26 = 107 − 𝑥𝑥 Tauschaufgabe
Um
kehr
aufg
abe
4.14Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Streifenmethode für lineare Gleichungen
𝒙𝒙 𝟕𝟕𝒙𝒙 𝒙𝒙
𝟕𝟕
𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟗𝟗
𝒙𝒙 = 𝟗𝟗 ∶ 𝟑𝟑 = 𝟑𝟑
4.15Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Streifenmethode für lineare Gleichungen
𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟕𝟕
𝟕𝟕𝒙𝒙 𝒙𝒙
𝟒𝟒
𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 ∶ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐
𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒙𝒙
4.16Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Systematisches Probieren
𝒙𝒙3 + 𝒙𝒙2 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏
0 −11 1
0,5 −0,6250,8 0,1250,7 −0,167
0,75 −0,0156250,77 0,0494330,76 0,016576
0,755 0,00039390,753 −0,0060330,754 −0,002823
4.17Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Graphische Lösungsverfahren
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎𝑥𝑥-Koordinaten der Schnitt-punkte des zum (Funktions-) Term 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5 gehörenden Graphen mit der 𝑥𝑥-Achse
𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝑥𝑥-Koordinaten der Schnitt-punkte der zu den (Funktions-) Termen 𝑥𝑥2 und – 2𝑥𝑥 + 5gehörenden Graphen
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎
4.18Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Graphische LösungsverfahrenAbramovich (2014): One-Variable Equations and Inequalities: Computational Experiment and Formal Demonstration.
In: Computational Experiment Approach to Advanced Secondary Mathematics Curriculum. Dordrecht: Springer, p. 25 -36
https://www.geogebra.org/m/Hw8m75hu • https://www.geogebra.org/m/NVuSuDpC
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 − (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟓𝟓) = 𝟎𝟎
sin 2𝑥𝑥 + 3 ≥𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5
Auch Ungleichungen lassen sich graphisch
lösen!
4.19Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Numerisch-iterative Lösungsverfahren
Algorithmus
1. Wertetabelle für ein Intervall berechnen
2. Teilintervall auswählen, das eine Lösung enthält
3. Teilintervall spreizen und neue Wertetabelle berechnen
4. Wiederholen von 2. und 3. bis die Lösung genau genug ist
𝟏𝟏,𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 ⋅ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬 𝒙𝒙
x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x)
-6 0,0878 2,8805 -2,7927
-5 0,1317 0,8510 -0,7193
-4 0,1975 -1,9609 2,1585
-3 0,2963 -2,9700 3,2663
-2 0,4444 -1,2484 1,6929
-1 0,6667 1,6209 -0,9542
0 1,0000 3,0000 -2,0000
1 1,5000 1,6209 -0,1209
2 2,2500 -1,2484 3,4984
3 3,3750 -2,9700 6,3450
4 5,0625 -1,9609 7,0234
4.20Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Numerisch-iterative Lösungsverfahren
x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x)
-2 0,4444 -1,2484 1,6929
-1,9 0,4628 -0,9699 1,4327
-1,8 0,4820 -0,6816 1,1636
-1,7 0,5019 -0,3865 0,8885
-1,6 0,5227 -0,0876 0,6103
-1,5 0,5443 0,2122 0,3321
-1,4 0,5669 0,5099 0,0570
-1,3 0,5903 0,8025 -0,2122
-1,2 0,6147 1,0871 -0,4723
-1,1 0,6402 1,3608 -0,7206
-1 0,6667 1,6209 -0,9542
x 1,5x 3·cos(x) T1(x) –T2(x)
-1,4 0,5669 0,5099 0,0570
-1,39 0,5692 0,5394 0,0297
-1,38 0,5715 0,5689 0,0025
-1,37 0,5738 0,5983 -0,0246
-1,36 0,5761 0,6277 -0,0516
-1,35 0,5785 0,6570 -0,0786
-1,34 0,5808 0,6863 -0,1054
-1,33 0,5832 0,7154 -0,1323
-1,32 0,5855 0,7445 -0,1590
-1,31 0,5879 0,7736 -0,1856
-1,3 0,5903 0,8025 -0,2122
4.21Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Numerisch-iterative Lösungsverfahren …
liefern im Prinzip beliebig viele Dezimalstellen einer Lösung.
liefern Lösungen nicht als geschlossene Terme, sondern als abbrechende Dezimalbrüche vorgegebener Länge.
liefern nur Lösungen aus einem endlichen Startintervall.
funktionieren nicht, wenn die Gleichung von Parametern abhängt.
beantworten nicht die Frage nach allen Lösungen einer Gleichung
genügen für die meisten praktischen Anwendungen.
werden interaktiv vom Benutzer gesteuert.Rechenpraxis: Automatisch ablaufende Verfahren.Probleme: Startintervall, Konvergenzgeschwindigkeit, …
Ein Startintervall für diese Verfahren kann wie beim graphischen Lösen von Gleichung bestimmt werden.
4.22Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gegenoperatoren
𝒙𝒙
𝒙𝒙 · 𝟑𝟑 + 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟗𝟗
⋅ 𝟑𝟑 +𝟒𝟒
−𝟒𝟒∶ 𝟑𝟑
𝒙𝒙 · 𝟑𝟑 𝒙𝒙 · 𝟑𝟑 + 𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟗𝟗𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
= =
𝒙𝒙 = 𝟓𝟓
4.23Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gegenoperatoren →Äquivalenzumformung
𝑥𝑥 · 3 + 4 = 19
𝑥𝑥 · 3 = 15
𝑥𝑥 = 5
−𝟒𝟒−𝟒𝟒
∶ 𝟑𝟑∶ 𝟑𝟑
4.24Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Äquivalenzumformungenim Waagemodell
1kg𝒙𝒙𝒙𝒙
2kg
1kg
𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑
𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑
1 kg auf beiden Seiten wegnehmen.
4.25Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Äquivalenzumformungenim Waagemodell
𝒙𝒙𝒙𝒙
2kg
𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐
𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑
1 kg auf beiden Seiten wegnehmen.
𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐
Massen auf beiden Seiten halbieren.
4.26Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
1kg
Äquivalenzumformungenim Waagemodell
𝒙𝒙
𝒙𝒙 = 𝟏𝟏
𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟑
1 kg auf beiden Seiten wegnehmen.
𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐
Massen auf beiden Seiten halbieren.
𝒙𝒙 = 𝟏𝟏
4.27Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Äquivalenzumformungenim Waagemodell
Waagemodelllässt sich in einfachen Fällen gut zur Veran-schaulichung nutzen.ist, wie jedes Modell, nur begrenzt nutzbar! (vgl. etwa negative Zahlen, irrationale Zahlen, schwierig bei Bruchzahlen, Division, Multiplikation, …)
4.28Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Äquivalenzumformungenim Modell der Zahlengeraden
𝒙𝒙
−𝟏𝟏𝟐𝟐
𝟖𝟖𝒙𝒙
−𝟒𝟒
𝟖𝟖𝒙𝒙 − 𝟑𝟑
−𝟕𝟕
𝟖𝟖𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 = −𝟕𝟕
0
+ 𝟑𝟑
+ 𝟑𝟑
∶ 𝟖𝟖
∶ 𝟖𝟖
𝒙𝒙 = −𝟏𝟏𝟐𝟐
4.29Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Äquivalenzumformungen
𝟖𝟖𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟕𝟕
Zusammenfassen:
𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟕𝟕
Beidseitig 𝟕𝟕 subtrahieren:
𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟕𝟕 | − 𝟕𝟕
𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎
Beidseitig durch 𝟓𝟓 dividieren:
𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 | ∶ 𝟓𝟓
𝒙𝒙 = 𝟐𝟐
4.30Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
ÄquivalenzumformungenUmformungsregeln
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist äquivalent zu 𝒂𝒂 + 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist äquivalent zu 𝒂𝒂 − 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 − 𝒄𝒄
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist für 𝑐𝑐 ≠ 0 äquivalent zu 𝒂𝒂 · 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 · 𝒄𝒄
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 ist für 𝑐𝑐 ≠ 0 äquivalent zu 𝒂𝒂 ∶ 𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 ∶ 𝒄𝒄
4.31Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Anwenden von Lösungsformeln
2
2
2
0
42
oder
42
ax bx c
b b acxa
b b acxa
+ + =
− + −=
− − −=
2
2
2
0
2 2oder
2 2
x px q
p px q
p px q
+ + =
= − + −
= − − −
-1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
-1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
-1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
2 4 0b ac− =2 4 0b ac− < 2 4 0b ac− >
2
02p q − <
2
02p q − =
2
02p q − >
keineLösung
eineLösung
zweiLösungen
https://www.geogebra.org/m/aweusqha
4.32Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Quadratische GleichungenLösungsformel
Grundsätzliches:Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Form
𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0mit 𝑎𝑎 ≠ 0 (Sonst ist die Gleichung nicht quadratisch.) schreiben.
Die Gleichung muss so umgeformt werden, dass nur ein quadratisches „𝑥𝑥-Glied“ vorkommt, aber kein zusätzliches lineares.
Idee: Anwendung der „Plusformel“/1. Binomischen Formel
Um die binomische Formel von rechts nach links anwenden zu können, muss der Summenterm quadratisch ergänzt werden.
4.33Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Quadratische GleichungenLösungsformel
4.34Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Quadratische GleichungenLösungsformel
Satz von Vieta: Bei einer quadratische Gleichung 𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 = 0
gilt für die Parameter 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 und die Lösungen 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 der Gleichung:𝑝𝑝 = − 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 und 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 � 𝑥𝑥2
Beispiel:𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0
4.35Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
4.3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Kapitel 4: Gleichungen
4.36Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Günstigster Handy-Tarif
Tarif 1: Geringe Grundgebühr Monatliche Grundgebühr: 𝑔𝑔1 = 1,00 €Preis pro Einheit, „Minutenpreis“: 𝑚𝑚1 = 0,15 €Telefoneinheiten (Minuten): 𝑥𝑥Monatliche Kosten: 𝑘𝑘1(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚1 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔1
Tarif 2: Geringer Minutenpreis Monatliche Grundgebühr: 𝑔𝑔2 = 2,50 €Preis pro Einheit, „Minutenpreis“: 𝑚𝑚2 = 0,05 €Telefoneinheiten (Minuten): 𝑥𝑥Monatliche Kosten: 𝑘𝑘2(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚2 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2
Ab wie vielen Telefoneinheiten ist Tarif 2 günstiger?
4.37Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Günstigster Handy-Tarif
4.38Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Günstigster Handy-Tarif
Gesuchtist zunächst ein Paar (𝑥𝑥|𝑦𝑦), das die beiden Gleichungen
𝑘𝑘1:𝑦𝑦 = 0,15𝑥𝑥 + 1 (I)
𝑘𝑘2:𝑦𝑦 = 0,05𝑥𝑥 + 2,5 (II)
gleichzeitig erfüllt, also eine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem darstellt.
Lösungsverfahren (Sek. I)für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen (Unbekannten):
GleichsetzungsverfahrenAdditionsverfahrenEinsetzungsverfahren
ZielEliminieren einer Variable, um zu einer Gleichung mit einer Unbekannten zu kommen, die einfach gelöst werden kann.
4.39Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Günstigster Handy-Tarif
(I) 𝑦𝑦 = 0,15 � 𝑥𝑥 + 1(II) 𝑦𝑦 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5
GleichsetzungsverfahrenGleichsetzen von (I) und (II) liefert:
0,15 � 𝑥𝑥 + 1 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,50,1 � 𝑥𝑥 = 1,5
𝑥𝑥 = 15
Einsetzen in (II) liefert:
𝑦𝑦 = 0,05 � 15 + 2,5= 0,75 + 2,5= 3,25
Die Lösung ist das geordnete Paar (15|3,25).
AdditionsverfahrenSubtraktion der Gleichung (II) von der Gleichung (I), also (I) – (II), liefert:
0 = 0,1 � 𝑥𝑥 − 1,51,5 = 0,1 � 𝑥𝑥15 = 𝑥𝑥
Einsetzen in (II) liefert:
𝑦𝑦 = 0,05 � 15 + 2,5= 0,75 + 2,5= 3,25
Die Lösung ist das geordnete Paar (15|3,25).
|−0,05 � 𝑥𝑥 |−1|� 10
|+1,5|� 10
4.40Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Günstigster Handy-Tarif
(I) 𝑦𝑦 = 0,15 � 𝑥𝑥 + 1(II) 𝑦𝑦 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5
EinsetzungsverfahrenAuflösen der Gleichung (II) nach 𝑥𝑥 liefert:
𝑦𝑦 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5
𝑦𝑦 − 2,5 = 5100
� 𝑥𝑥
20 � (𝑦𝑦 − 2,5) = 𝑥𝑥
Einsetzen in (I) liefert:
𝑦𝑦 = 15100 � 20 � 𝑦𝑦 − 2,5 + 1
𝑦𝑦 = 3 � 𝑦𝑦 − 2,5 + 1𝑦𝑦 = 3𝑦𝑦 − 7,5 + 1𝑦𝑦 = 3𝑦𝑦 − 6,5
6,5 = 2𝑦𝑦3,25 = 𝑦𝑦
Einsetzen in (II) liefert:
3,25 = 0,05 � 𝑥𝑥 + 2,5
0,75 = 5100
� 𝑥𝑥
15 = 𝑥𝑥
Die Lösung ist das geordnete Paar (15|3,25).
|−2,5
�∶ 5100
|−𝑦𝑦 |+6,5
|∶ 2
|−2,5
�∶ 5100
4.41Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lösungen linearer Gleichungssysteme
SatzGegeben sei ein lineares Gleichungssystem:
𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1𝑦𝑦 = 𝑐𝑐1
𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦 = 𝑐𝑐2
Die zugehörige Lösungsmenge ist entwederleer, ein geordnetes Zahlenpaar (𝑥𝑥|𝑦𝑦) oder eine unendliche Menge von Zahlenpaaren.
BemerkungGraphisch interpretiert entsprechen diese drei Fälle genau den möglichen Lagebeziehungen der beiden durch 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1𝑦𝑦 = 𝑐𝑐1und 𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑦𝑦 = 𝑐𝑐2 gegebenen Geraden.
4.42Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lösungen linearer Gleichungssysteme
Die Lösungsmenge istleer, wenn die Geraden parallel sind.
4.43Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lösungen linearer Gleichungssysteme
Die Lösungsmenge istein geordnetes Paar (ein Punkt), wenn die Geraden sich schneiden.
4.44Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lösungen linearer Gleichungssysteme
Die Lösungsmenge isteine unendliche Menge von geordneten Zahlenpaaren (alle Punkte der Geraden), wenn die Geraden identisch sind.
4.45Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
4.4 Gleichungen in der Sekundarstufe I
Kapitel 4: Gleichungen
4.46Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gleichungen in der Sekundarstufe I
OrientierungsstufeEinfache Gleichungen (mit einer Variablen) lösen
7./8. KlasseWertetabellen zu Termen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge)Äquivalenz von Termen und von Gleichungen bzw. Ungleichungen; Grundmenge (ggf. Definitionsmenge)Gleichungen und Ungleichungen über verschiedenen Grundmengen, Lösungsmenge, IntervalleÄquivalenzumformungen (ÄU) bei Gleichungen und Ungleichungen der Form 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐Sachaufgaben (SA) (auch offene Aufgaben, Aufgabenvariation)Proportionalität: fehlende Größen berechnen, SA, grafische Lös.
4.47Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gleichungen in der Sekundarstufe I
7./8. Klasse (Fortsetzung)lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer VariablenTextaufgaben; Lösen ggf. mithilfe einer Text-Term-Tabelle∧-Verknüpfung bzw. ∨-Verknüpfung von linearen Gleichungen bzw. Ungleichungeneinfache Bruchgleichungen mit einer VariablenRelation und Umkehrrelation: Zusammenhang zwischen deren Gleichungen bzw. Ungleichungen; UmkehrfunktionFunktionen mit Gleichungen folgender Form:
𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 bzw. 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑡𝑡lineare Ungleichungen mit zwei Variableneinfache Bruchgleichungen mit einer Variablen
𝑇𝑇1(𝑥𝑥)𝑇𝑇2(𝑥𝑥)
=𝑇𝑇3(𝑥𝑥)𝑇𝑇4(𝑥𝑥)
4.48Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gleichungen in der Sekundarstufe I
9./10. KlasseSysteme linearer Gleichungen mit zwei Variablen:
grafische und algebraische Lösung (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren);auch Aufgaben mit geometrischen Problemstellungen algebraisch lösen
Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen:grafische Lösung
quadratische Gleichungen: grafische Lösung, Lösen mit quadratischer Ergänzung, Lösungsformel; Diskriminante und Lösbarkeitquadratische Gleichungen mit Parametern; Satz des Vietamit Anwendungen; quadratische Ungleichungen
einfache WurzelgleichungenBeachtung der Definitionsmenge; Äquivalenzumformungen
4.49Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gleichungen in der Sekundarstufe I
9./10. Klasse (Fortsetzung)Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von Funktionsgraphen
(maximal quadratische Bestimmungsgleichungen mit maximal einem Parameter)
Tangentialprobleme und DiskriminanteGleichungen der Form
𝑎𝑎 · 𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 0Trigonometrische Gleichungen