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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
6. Komplexe Zahlen
Prof. Dr. Gunar Matthies
Wintersemester 2015/16
Hyperbel-Funktionen
Sinus hyperbolicus
sinh(x) :=ex − e−x
2Kosinus hyperbolicus
cosh(x) :=ex + e−x
2hyperbolischer Pythagoras
cosh2(x)− sinh2(x) = 1Tangens hyperbolicus
tanh(x) :=sinh(x)cosh(x)
=ex − e−x
ex + e−x
Kotangens hyperbolicus
coth(x) :=cosh(x)sinh(x)
=ex + e−x
ex − e−x
G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/26
Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen I
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−2
2
4
cosh(x)
sinh(x)
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/26
Darstellung der reellen Hyperbel-Funktionen II
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
coth(x)
tanh(x)x
y
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Areafunktionen
Areafunktionen = Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
arsinh : R→ R, x 7→ ln(x +
√x2 + 1
)arcosh : [1,∞)→ [0,∞), x 7→ ln
(x +
√x2 − 1
)artanh : (−1, 1)→ R, x 7→ ln
√1+ x
1− x
arcoth : R \ [−1, 1]→ R \ {0}, x 7→ ln
√x + 1x − 1
G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/26
Motivation
Problem: Da für alle reellen Zahlen x stets x2 ≥ 0 gilt, hat dieGleichung x2 = −1 keine (reellen) Lösungen.
Frage: Lässt sich eine Erweiterung von R derart finden, dass dieGleichung x2 + 1 = 0 eine Lösung hat?
Anmerkung: Erweiterungen von Zahlenbereichen sind nicht neu.So führte der Wunsch nach der Durchführbarkeit der Division vonden ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen.
Idee: Wir führen die imaginäre Einheit i ein, für diei2 = −1
gilt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/26
Komplexe Zahlen
Definition
Die Menge der komplexen Zahlen ist durchC :=
{z = a+ bi : a, b ∈ R
}definiert.
Bemerkung
Komplexe Zahlen können als formale Rechenausdrücke mit der„Variablen“ i betrachtet werden.Jede komplexe Zahl z ∈ C lässt sich eindeutig in der Form
z = a+ bi
mit reellen Zahlen a, b schreiben.
Beispiel für komplexe Zahlen
2+ 2i ,√2− 4i , −1
3+ πi
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Real- und Imaginärteil
Definition
Sei z = a+bi eine komplexe Zahl. Dann nennen wir a Realteil vonz und b Imaginärteil von z . Wir schreiben: a = Re z und b = Im z .Die reellen Zahlen a und b heißen kartesische Koordinaten derkomplexen Zahl z . Die Darstellung z = a+ bi wird als kartesischeKoordinatendarstellung bezeichnet.
ACHTUNG: Der Imaginärteil ist stets eine reelle Zahl.
Folgerung
Zwei komplexe Zahlen z = a+bi und w = c+di sind genau danngleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile übereinstimmen,d. h., wenn
a = c und b = dgilt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/26
Komplexe Konjugation und Betrag
Definition
Sei z = a+ bi eine komplexe Zahl. Dann heißt die komplexe Zahlz := a− bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Wir nennen
|z | :=√a2 + b2
den Betrag der komplexen Zahl z .
Bemerkung
Der Betrag von z = a + bi entspricht der Länge des zweidimen-
sionalen Vektors(ab
).
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Gaußsche Zahlenebene
c a
−b
d
b z = a+ bi
z = a− bi
w = c + di
Re
Im
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Polarkoordinatenform
c a
d
b
|z |
z = a+ bi
ϕz
|w |
w = c + di
ϕw Re
Im
Bemerkung
Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich durch ihren Betrag |z |und den Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und derVerbindungsstrecke vom Ursprung zu z in der Form
z = |z |(cos(ϕ) + i sin(ϕ)
), ϕ ∈ [0, 2π),
darstellen, die Polarkoordinatenform genannt wird.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/26
Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln I
z = a+ bi = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)
)
a
b
r
z = a+ bi
ϕ· Re
Im
Gegeben: r , ϕGesucht: a, bUmrechnung:a = r cosϕb = r sinϕ
Gegeben: a, bGesucht: r , ϕUmrechnung:
r =√a2 + b2
b
a=
r sinϕr cosϕ
= tanϕ
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Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tanϕ =b
a, r =
√a2 + b2
ϕ =
arctan ba für a > 0, b ≥ 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26
Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tanϕ =b
a, r =
√a2 + b2
ϕ =
arctan ba für a > 0, b ≥ 0
π2 für a = 0, b > 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26
Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tanϕ =b
a, r =
√a2 + b2
ϕ =
arctan ba für a > 0, b ≥ 0
π2 für a = 0, b > 0
π + arctan ba für a < 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26
Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tanϕ =b
a, r =
√a2 + b2
ϕ =
arctan ba für a > 0, b ≥ 0
π2 für a = 0, b > 0
π + arctan ba für a < 0
32π für a = 0, b < 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26
Umrechnung zwischen den Darstellungsformeln II
tanϕ =b
a, r =
√a2 + b2
ϕ =
arctan ba für a > 0, b ≥ 0
π2 für a = 0, b > 0
π + arctan ba für a < 0
32π für a = 0, b < 0
2π + arctan ba für a > 0, b < 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/26
Grundrechenarten
Satz
Seien z = a + bi und w = c + di zwei komplexe Zahlen. Danngelten die Rechenregeln• Summe: z + w = (a+ bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d)i
• Differenz: z − w = (a+ bi)− (c + di) = (a− c) + (b − d)i
• Produkt: zw = (a+ bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
= (ac − bd) + (bc + ad)i
• Quotient:z
w=
a+ bi
c + di=
(a+ bi)(c − di)
(c + di)(c − di)=
z w
w w
=(ac + bd) + (bc − ad)i
c2 + d2
für w 6= 0+ 0i
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Rechengesetze I
Bemerkung
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entsprechen der Ad-dition und Substraktion von zweidimensionalen Vektoren.
Satz
Für komplexe Zahlen gelten das Kommutativgesetz, das Assozia-tivgesetz und das Distributivgesetz wie für reelle Zahlen.
Bemerkung
Da sich jede reelle Zahl a gemäß a+0i als komplexe Zahl darstellenlässt, bilden die komplexen Zahlen einen Zahlenbereich, der diereellen Zahlen enthält. Statt a+ 0i schreiben wir weiterhin a.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/26
Rechengesetze II
Bemerkung
Für komplexe Zahlen gibt es keine Relationen wie < oder >.Nur Gleichheit kann festgestellt werden.
Bemerkung
Bei der Division komplexer Zahlen wird mit dem konjugiertenKomplement des Nenners erweitert.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/26
Rechenregeln I
Seien z ,w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln• z + w = z + w
• z − w = z − w
• zw = z w
• zn = zn, n ∈ N0
•(z
w
)=
z
w, falls w 6= 0
• z + z = 2Re z• z − z = 2i Im z
• z = z
G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/26
Rechenregeln II
Seien z ,w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln• z z = |z |2 = |z |2
• Dreiecksungleichung: |z + w | ≤ |z |+ |w |
• |zw | = |z | |w |
•∣∣∣ zw
∣∣∣ = |z ||w |
, falls w 6= 0
•∣∣zn∣∣ = |z |n, n ∈ N0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/26
Illustration von Multiplikation und Division
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2z = 2+ 2i
w = −1+ i
zw = −4
z
w= −2i
Re
Im
Vermutung: Bei der Multiplikation werden Beträge multipliziertund Winkel addiert, bei der Division werden Beträge dividiert unddie Winkel subtrahiert.G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/26
Komplexe Exponentialfunktion I
Wert der Exponentialfunktion für komplexe Argumente erklären
n-tes Taylor-Polynom der Exponentialfunktion
T expn (x) = 1+ x +
x2
2+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!Einsetzen von x = iϕ
T expn (iϕ) = 1+ iϕ+
(iϕ)2
2+
(iϕ)3
3!+ · · ·+ (iϕ)n
n!
= 1+ iϕ− ϕ2
2− i
ϕ3
3!+ϕ4
4!+ i
ϕ5
5!− · · ·+ in
ϕn
n!
=
(1− ϕ2
2+ϕ4
4!− . . .
)+ i
(ϕ− ϕ3
3!+ϕ5
5!− . . .
)= T cos
n (ϕ) + iT sinn (ϕ)
Idee: e iϕ = cosϕ+ i sinϕ
G. Matthies Grundlagen Mathematik 20/26
Komplexe Exponentialfunktion II
Definition
Sei z = a+ bi eine komplexe Zahl. Dann legen wirez := ea (cos b + i sin b) ∈ C
als Wert der komplexen Exponentialfunktion an der Stelle z fest.
Bemerkung
Für reelle Zahlen stimmt der Wert der komplexen Exponential-funktion mit dem der üblichen Exponentialfunktion überein, dafür b = 0 der Klammerausdruck 1 wird.
Satz
Seien z ,w zwei komplexe Zahlen. Dann giltez+w = ez ew ,
also das gleiche Gesetz wie bei reellen Exponenten.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/26
Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion
Für z = iϕ mit ϕ ∈ R erhalten wirez = e iϕ = e0(cosϕ+ i sinϕ) = cosϕ+ i sinϕ
und ∣∣e iϕ∣∣ =√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1.Weiterhin gilt
e i(ϕ+2πk) = cos(ϕ+ 2πk) + i sin(ϕ+ 2πk)
= cosϕ+ i sinϕ = e iϕ
für alle k ∈ Z. Damit ist die komplexe Exponentialfunktion, imGegensatz zur reellen Exponentialfunktion, nicht injektiv.
Schönste Gleichung der Mathematike iπ + 1 = 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/26
Exponentialform
Satz
Für alle ϕ ∈ R sind die Zusammenhängee iϕ = e−iϕ,
cosh(iϕ) =12(e iϕ + e−iϕ
)= cos(ϕ),
sinh(iϕ) =12(e iϕ − e−iϕ
)= i sin(ϕ),
erfüllt.
Satz
Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Formz = r e iϕ
mit r ≥ 0 und ϕ ∈ [0, 2π) darstellen, die als Exponentialformbezeichnet wird. Dabei ist r der Betrag von z und ϕ wird alsWinkel oder Argument der komplexen Zahl z bezeichnet.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/26
Multiplikation und Division
Seien z1 = r1eiϕ1 und z2 = r2e
iϕ2 zwei komplexe Zahlen in Expo-nentialform. Dann haben wir
z1z2 = r1eiϕ1 r2e
iϕ2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2)
undz1z2
=r1e
iϕ1
r2e iϕ2=
r1r2e i(ϕ1−ϕ2),
d. h., bei Multiplikation (Division) werden die Beträge multipliziert(dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert).
Weiterhin giltzn =
(r e iϕ
)n= rne i nϕ
für jede komplexe Zahl z = r e iϕ und n ∈ N0.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/26
Wurzeln komplexer Zahlen
Satz
Sei n eine natürliche Zahl. Dann hat die Gleichung zn = 1 genaun verschiedene komplexe Lösungen, die durch
zk = e2kπn
i , k = 0, . . . , n − 1,gegeben sind. Insbesondere ist z0 = 1.
Satz
Seien n eine natürliche Zahl und z = r e iϕ eine von 0 verschiedenekomplexe Zahl, d. h. r 6= 0. Dann hat die Gleichung wn = z genaun verschiedene komplexe Lösungen, die durch
wk = n√r e(
ϕn+ 2kπ
n )i , k = 0, . . . , n − 1,gegeben sind.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/26
Fundamentalsatz der Algebra
Satz
Seien n eine natürliche Zahl undp(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn, an 6= 0,
ein Polynom von Grad n mit komplexen Koeffizienten a0, . . . , an.Dann gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlenz1, . . . , zn ∈ C derart, dass
p(x) = an(x − z1)(x − z2) . . . (x − zn)
für alle x ∈ C erfüllt ist. Damit sind z1, . . . , zn die Nullstellen desPolynoms p.
Beispiel2x3 − 2x2 + 8x − 8 = 2(x − 1)(x2 + 4)
= 2(x − 1)(x − 2i)(x + 2i)
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