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Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Grundlagen der Probabilistik
Matthias Voigt
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Gliederung
• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik • Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen
Untersuchungen• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen
Untersuchungen• Zusammenfassung
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 2
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Einleitung
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 3
StochastikLehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
KombinatorikWie viele Möglichkeiten gibt es, Elemente anzuordnen oder aus einer Menge von Elementen zu ziehen?
StatistikAbleiten von Gesetzmäßigkeiten und Strukturen aus Ereignissen
ProbabilistikDefinition von Modellen zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen
Vorhersagen dieser Ereignisse
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Folie 4
Eingangsgrößen:Geometrie Belastung
Materialeigenschaften
Deterministische Untersuchungen
Ergebnisse:Temperatur
Spannungen Lebensdauer
Strukturanalyse
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Folie 5
Probabilistische Untersuchungen
Strukturanalyse
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Gliederung
• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik • Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen
Untersuchungen• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen
Untersuchungen• Zusammenfassung
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 6
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Zufallsvariablen
Zufallsexperiment
Zufallsvariable
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Folie 7
diskret stetig
Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
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Gaußverteilung
• auch Normalverteilung genannt
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Folie 8
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Lognormalverteilung
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Folie 9
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Gleichverteilung
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Folie 10
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Dreieckverteilung
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Folie 11
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•
Arithmetischer Mittelwert:
−
Flächenschwerpunkt der Fläche unter der Dichtefunktion−
Stark abhängig von Ausreißern
•
Median oder Zentralwert: Stichprobenwert, der genau in der Mitte einer geordneten Stichprobe steht.
−
Robustes Lagemaß
•
Modulwert oder Modus: Ausprägung mit der größten Häufigkeit−
Nur eindeutig, wenn die Häufigkeitsverteilung ein eindeutiges Maximum aufweist
Statistische Maße von Stichproben 1
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Folie 12
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Folie 13
Statistische Maße von Stichproben 2
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Statistische Maße von Stichproben 3
Standardabweichung:
Variationskoeffizient:
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Folie 14
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Statistische Maße von Stichproben 4
Skewness (Schiefe): Grad der Asymmetrie einer Verteilung um den Zentralwert
Kurtosis: Grad der Flachheit/Steilheit einer Verteilung
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Folie 15
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Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest
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Folie 16
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Der Anderson-Darling-Test ist eine Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests.Die Abweichungen der Testverteilung von der Zielverteilung werden in den Randbereichen der Verteilungen höher und im Mittelbereich der Verteilung niedriger gewichtet.
Kritische Werte für sind abhängig von der verwendeten Verteilungsfunktion . Tabellierte Werte für für verschiedene Verteilungsfunktionen sind z.B. in [11] veröffentlicht.
Anderson-Darling-Test
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Folie 17
[10]
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Korrelationen
Korrelationskoeffizient nach Pearson
Wertebereich: [-1,1]
≈
-1 oder 1 starker linearer Zusammenhang≈
0 kein linearer Zusammenhang
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Folie 18
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Korrelationen
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Folie 19
Rangkorrelationskoeffzient nach Spearman
Wertebereich: [-1,1]≈
-1 oder 1 starker linearer oder monotoner nicht-
linearer Zusammenhang≈
0 kein linearer oder monotoner nicht-
linearer Zusammenhang
[1]
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Korrelationen
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Folie 20
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Korrelationen
Nichtlineare Zusammenhänge?
• Quadratischer Korrelationskoeffizient DYNARDO [9]• Regression • Nichtlineares Korrelationsmaß ProSi • Ant-Hill-Plot
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Folie 21
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Konfidenzintervall 1
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Folie 22
•
Statistische Maße (z.B. Mittelwert, Standardabweichung …) sind Punktschätzungen enthalten keine Aussage über die Güte der Schätzung
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Konfidenzintervall 2
Relative Häufigkeit des Ereignisses
Linke Grenze:
Rechte Grenze:
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Folie 23
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Folie 24
Konfidenzintervall 3
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Folie 25
Konfidenzintervall 4
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Konfidenzintervall 5
Weicht der Korrelationskoeffizient statistisch signifikant von Null ab, unterscheidet sich seine Verteilung von der Normalverteilung [1].
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Folie 26
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Konfidenzintervall 6
Folie 27
(α=0.05)
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Konfidenzintervall 7
Folie 28
(α=0.05)
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Konfidenzintervall 8
Problem: Meist werden Systeme untersucht, in denenmehrere Zufallsvariablen Einfluss auf eine Ergebnisgrößehaben.
Die Anzahl der Zufallsvariablen hat Einfluss auf dieIrrtumswahrscheinlichkeit der Konfidenzintervalle.
Lösung:Anpassung der tolerierbaren Irrtumswahrscheinlichkeitmithilfe der Bonferroni-Methode oder Bonferroni-Korrektur:
Die Bonferroni-Methode ist eine grobe Näherung undsehr konservativ.
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Folie 29
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Konfidenzintervall 9
Folie 30
(α=0.05)
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Gliederung
• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik • Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen
Untersuchungen• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen
Untersuchungen• Zusammenfassung
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 31
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1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 32
Monte-Carlo-Simulation (MCS)
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Sampling-Methoden 1
• Simple-Random-Sampling (SRS)•
Realisierungen werden „zufällig“ ermittelt
•
„Transformation“ der durch die Zufallsgeneratoren ermittelten Gleichverteilungen in andere Verteilungen erfolgt z.B. mittels Inversions- methode oder Annahme- Ablehnungsmethode
•
„Cluster“-Bildungen der Realisierungen ist möglich
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Folie 33
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Sampling-Methoden 2
•
Latin-Hypercube-Sampling (LHS)
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Folie 34
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Sampling-Methoden 3
•
Descriptive-Sampling (DS)
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Folie 35
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Sampling-Methoden 3
Vor- und Nachteile der Sampling-Methoden
SRS
• Zufallszahlen werden „unsystematisch“ erzeugt• Liefert bei geringen Stichprobenumfang hohe
statistische Unsicherheiten
LHS / DS
• Zufallszahlen werden „systematisch“ erzeugt• Beschreibt die Zufallsvariablen mit wenigen
Realisierungen gut
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Folie 36
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Monte-Carlo-Simulation
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 37
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Monte-Carlo-Simulation
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 38
Überleben
Versagen
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1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 39
Antwortflächenverfahren (RSM)
Überleben
Versagen
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Versuchspläne 1
Vollfaktorieller Versuchsplan
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 40
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Versuchspläne 2
Central-Composite-Design
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Folie 41
[4,5,6]
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Versuchspläne 3
Box-Behnken-Design
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Folie 42
[4,5,6]
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Versuchspläne 4
Simplex-Design
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Folie 43
[4,5,6]
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1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 44
Versuchspläne 5
*
* Bei den Variablenanzahlen 3-7 und 9-12 sind die originalen BBD [7] dargestellt die anderen beruhen auf Veröffentlichungen von Mee [8]
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Methode der kleinsten Quadrate 1
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Folie 45
Approximationsfunktion mit Polynomen zweiter Ordnung:
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Methode der kleinsten Quadrate 2
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Folie 46
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Bestimmtheitsmaß:
Summe der Abweichungsquadrate:
Totale Summe der Abweichungsquadrate:
Summe der Quadrate der Approximationsfehler:
Analyse des Approximationsergebnisses
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Folie 47
[4,5,6]
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Analyse des Approximationsergebnisses
Das Bestimmtheitsmaß beschreibt den Anteil der Varianz von , der durch die Eingangsgrößen erklärt wird.
korrigiertes Bestimmtheitsmaß:
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Folie 48
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Gliederung
• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik • Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen
Untersuchungen• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen
Untersuchungen• Zusammenfassung
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 49
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(LHS, DS) (SRS) MCS
Ausfallwahrscheinlichkeit
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Folie 50
RSM
Importance Sampling, Zuverlässigkeitsverfahren
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
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Notwendige Anzahl der deterministischen Rechnungen:
MCS: SRS LHS, DS
RSM: - Stark abhängig von der Variablenanzahl - Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich
Importance Sampling: - Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich
Zuverlässigkeitsverfahren:- Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich- Numerische Probleme bei stark nichtlinearen Versagensfunktionen
Ausfallwahrscheinlichkeit
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Folie 51
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Robustes Design ?
• Ingenieurmäßige (deterministische) Maße:−
Überschreiten von Grenzwerten
−
Auftreten von unerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen (z.B. lokales Maximum der Ergebnisgröße)
−
Ansprechen von Systeminstabilitäten (z.B.: Beulen)
• Statistische Maße−
Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen
−
Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen
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Folie 52
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Folie 53
Robustes Design ?
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Robustes Design ?
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Folie 54
Robustes Design ?
Verzweigungssystem
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Robustes Design ?
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Folie 55
Verzweigungssystem mit Ausreißern
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Robustes Design ?
Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS:
Überschreiten von Grenzwerten, Auftreten vonunerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen,Ansprechen von Systeminstabilitäten: −
Abhängig von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen: −
≈
30…50
Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen:−
≈
50…100
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Folie 56
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Sensitivitäten
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Folie 57
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Sensitivitäten
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Folie 58
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Sensitivitäten
Folie 59
Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS:•
Abhängig von der Anzahl der probabilistischen Eingangsgrößen
•
Abhängig von den Beträgen der zu ermittelnden Korrelationskoeffizienten
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Folie 60
Verbesserung des Systems
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Folie 61
Probabilistische Optimierung
Strukturanalyse
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Folie 62
Probabilistische Optimierung
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Folie 63
Probabilistische Optimierung
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Gliederung
• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik• Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen
Untersuchungen• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen
Untersuchungen• Zusammenfassung
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Folie 64
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Einfluss der Eingangsgrößenstreuung
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Folie 65
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Einfluss der Eingangsgrößenstreuung
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Folie 66
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Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation
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Folie 67
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Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation
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Folie 68
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Gliederung
• Einleitung• Theoretische Grundlagen der Stochastik• Probabilistische Methoden • Mögliche Ergebnisse von probabilistischen
Untersuchungen• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen
Untersuchungen• Zusammenfassung
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Folie 69
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Folie 70
Probleme Vorteile
• ausreichende Datenbasis für stochastische Variablen
• höherer Ingenieuraufwandparametrische
Modelle be-
züglich
der stochastischen Variablen,Interpretation der Ergebnisse
• hoher Berechnungsaufwanddurch mehrfache Struktur-
analysen
• Versagenswahrscheinlichkeitkeine akkumulierten konservativen Annahmen
• Robustheit des Designs• Sensitivität
bezüglich der
stochastischen Variablen• Kostengünstigeres Design
größere Toleranzen wenn möglich, kleinere Toleranzen
wenn nötig
bei der Anwendung der probabilistischen
Methoden
Zusammenfassung
1. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Grundlagen der Probabilistik
Matthias Voigt
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Literatur
1. Dresdner Probabilistik- Workshop
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
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Literatur
1. Dresdner Probabilistik- Workshop
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 73
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Deterministisches Beispiel
Folie 75
Verformungen: