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TECHNISCHE MECHANIK 2 (1981) Heftl
Manuskripteingang: 4. 4. 1980
Berechnung von Schauteleigenfrequenzen und Untersuchung
spezieller Einflüsse
H. Sollmann
Es wird ein Übertragungsmatrizenverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen und Schwingformen von Schaufeln axialer Turbo-
maschinen vorgestellt, bei dem die Einflüsse der Einspannelastizität, der Temperatur, der Schubverformung und der Drehträgheit der
Querschnitte sowie der Blattverwindung eingearbeitet sind. Da die Aufstellung einer aus Massen- und Elastizitätsmatrix bestehenden
Kombinationsrnatrix im Hauptachsensystem des beliebigen Feldes geschieht, ist bei der Durchführung der Rechnung jeweils nur noch
eine Transformation der Zustandsgröfien in das Hauptachsensystem des nachfolgenden Feldes vorzunehmen. Dadurch wird das vor-
gestellte Verfahren gegenüber bekannten Verfahren erheblich einfacher und es liefert kürzere Rechenzeiten.
l. Einleitung
Das Problem, das hier vorgestellt wird, gehört in das Auf-
gabengebiet der Maschinendynamik, speziell in das
Gebiet der Biegeschwingungen. Das kürzlich erschienene
Lehrbuch der Maschinendynamik von Holzweißig/Dresig
[1] gibt einen Überblick über die Entwicklung der
Methoden der Modellfindung und der Modellberechnung
in der Maschinendynamik und läßt den Platz erkennen,
den diese Problematik einnimmt. In diesem Aufsatz wird
bereits von einem angemessenen Modell zur Berechnung
der Biegeschwingungen, speziell der Eigenfrequenzen,
ausgegangen. Bei der Berechnung der Eigenfrequenzen
von Laufschaufeln axialer Turbomaschinen berücksich-
tigt man oft die Einflüsse der Einspannelastizität, der
Temperatur, der Schubverformung und der Drehträgheit
der Querschnitte sowie der Blattverwindung gesondert
[2]. Das hat den Vorteil, daß man weiß, wie groß dieser
oder jener Einfluß ist, bzw. mit welchen Änderungen zu
rechnen ist, falls bei der Auslegung bestimmte Parameter
geändgrt werden. Indessen lassen sich diese Einflüsse in
bequemer Weise durch das Verfahren der Übertragungs-
matrizen berücksichtigen. Untersuchungen hierzu, die
den einen oder anderen Einfluß berücksichtigen,
insbesondere den der Verwindung, werden beispielsweise
in [3], [4] vorgenommen.
In der vorliegenden Arbeit wird die Gültigkeit der Bal-
kentheorie vorausgesetzt, d. h. es werden formsteife
Profile angenommen. Ferner wird vorausgesetzt, daß
Profilschwerpunkt und Schubmittelpunkt so dicht bei-
einander liegen, daß sie als identisch betrachtet werden
können, wie das bei zahlreichen Schaufelprofilen der
Fall ist. Damit ist es möglich, den Kopplungseffekt
zwischen den vor allem interessierenden Flachkantbiege-
schWingungen und den Torsionsschwingungen zu ver-
nachlässigen, der, wie Untersuchungen zeigten [5], [6],
die Rechnung erheblich aufwendiger gestaltet, wobei im
allgemeinen zu vernachlässigende Frequenzänderungen
zu erwarten sind. Alle anderen genannten Einflüsse
werden berücksichtigt, und es wird auch bei der Auf-
stellung der Matrizen und Durchführung der Rechnung
ein anderer, einfacherer Weg gegenüber den in der Litera-
tur angegebenen eingeschlagen, der im Hinblick auf ein
aufzustellendes Rechenprogramm zu bedeutend kürzeren
Rechenzeiten führt.
2. L0sungsweg
Ausgangspunkt ist ein verwundener Balken, Bild l, der
in diskrete Punktmassen und masselose, elastische Felder
unterteilt wird. Die Drehträgheit der Querschnitte wird
durch entsprechende Massenträgheitsmomente berück—
Bild 1
Aufsicht einer verwundenen Turbinenschaufel
sicbtigt, die den Punktmassen zugeordnet werden. Den
masselosen, elastischen Feldern wird außer der Biege-
steifigkeit auch eine Schubsteifigkeit zugeschrieben, so
daß damit die Schubdeformation Berücksichtigung
findet. Indem man den in der Biegesteifigkeit ent-
haltenen Elastizitätsmodul und den in der Schubsteifig—
keit enthaltenen Gleitmodul eines jeden Feldes als Funk-
tion der Temperatur betrachtet, wird dem Einfluß der
Temperatur Rechnung getragen. Die Verwindung'y des
gesamten Balkens denkt man sich aus sprunghaften
Änderungen A'yk an den Schnittstellen zusammen-
gesetzt.
Das so vorbereitete Modell wird nun unter der Wirkung
der Fliehkraft betrachtet. Hierbei wird nicht der von
Jäger [4] eingeschlagene, aufwendige Weg beschritten,
der eine dauernde Hin- und Rücktransformation
zwischen dem scheibenfesten Koordinatensystem xyz
und dem Hauptachsensystem Enz des betrachteten
Feldes erforderlich macht, sondern es werden die
41
Zustandsgrößen im Hauptachsensystem beschrieben.
Werden die Elastizitätsmatrix des masselosen, elastischen
Feldes und die Massenmatrix noch zu einer Kombina-
tionsmatrix zusammengefaßt, so ist dann an der Schnitt-
stelle zum nächsten Feld lediglich eine Transformation
der Zustandsgrößen in das neue Hauptachsensystem vor-
zunehmen. Dem Einfluß der Einspannelastizität wird
schließlich durch entsprechende Berücksichtigung der
Randbedingungen an der Einspannstelle Rechnung
getragen.
_ q ' Ä2 Ä3
v— 1 Ä k ( _k _
HT k 26k 66k
Ä 2
w: 0 1 _.k_ AL
.:= 5k 26k
M-T __ O Ä ö l Äk /EI k k k
QFTZ __ o 0 0 1
- EI ‚i u
3. Beschreibung der Matrizen
3.1 . Elastizitätsmatrix
Bezeichnet man nach Bild 2 mit vz eine der Ebenen Ez
bzw. nz des Hauptachsensystems (Bild 3), so erhält man
mit den Gleichgewichts- und Verformungsbedingungen
nach Integration und Beacht_ung der Randbedingungen
zwischen den Schnittstellen k und k-l den Zusammen-
hang der Zustandsgrößen in dimensionsloser Form
J Feldk(EIk‚rs‚GAk‚l„)
(r
{x
“\
F k-1 F z_
VK.
9m (1(2) (um da(\ l I
Bild 2
Balkenelement
mit den Bezugsgrößen
l—
Ei — Bezugssteifigkeit
— Bezugslänge
und den Abkürzungen
1 EI s T2 GA T2_ k _ . _ __
Äk 3ek‘_k’5k' .k. W k_. ‘ (2)
EI EI KS EI
42
Die Längskraft Sk wurde dabei im Feld k als konstant
betrachtet. Ferner wurde unter der Voraussetzung einer
kleinen Feldlänge 1k die Näherung
“’m z S”k-I
verwendet, und es wurden die in die Matrix (l) zunächst
eingehenden Größen
2 2 Aakxk ökÄk 3L (3)
66k 26k 0k
39‘ 3/ Wk-l -
0k l
‘Pk.1
T (1)
M _
k'l / EI
T2 __
_ _Qk'l E14
gestrichen, da sie im allgemeinen sehr viel kleiner als 1
und damit gegen 1 vernachlässigbar sind.
Feld “51“,“, ‚25)
n1th
“km?“
Bild 3
Kräfte und Verschiebungen der Masse mk
Im i'm-Koordinatensystem besteht damit der Zusammenhang
r - _— )‘Izc 7‘: "k Igfi 1 xk (—6.. _ _).
Zenk enk Ok I
Ä2
p,” O 1 —)\k— k '
I
MUT/EI 0 Aksk 1 xk |
_ I2
Qg' /_ o 0 o 1 |
EI
_ _. ._ - = l
O 0 0 O i"/T I
I
I
„E 0 0 0 0 |
!MT_ 0 0 O 0 I
E /EI I
2QnT E 0 0 0 0 :
- - F L.
oder
2; = EkEk-l ‚ (5)
wobei die unterschiedlichen Biegesteifigkeiten in dimen-
sionsloser Form durch
e 2 Elmk.
77k ET ’
EIE‚k:+ 6
65k ET ( )
bezeichnet sind.
3.2. Massenmatrix
Bild 3 zeigt die Verhältnisse. Die an der Masse mk
angreifende Fliehkraft Fk wird ausgedrückt durch ihre
Komponenten im Enz-Hauptachsensystem‚ das zur Be-
schreibung der Deformation des masselosen Balken-
abschnittes benutzt wurde und in dem auch die
Bewegung der Masse mk beschrieben werden soll. Der
Masse mk werden zur Berücksichtigung der Drehträgheit
noch die Massenträgheitsmomente Jgk bei Drehung um
die E-Achse in der nz-Ebene und Jnk bei Drehung um die
n-Achse in der Ez-Ebene zugeordnet.
In das Bild 4 sind in den beiden Ebenen Ez bzw. nz außer
den Komponenten der Fliehkraft noch die weiteren
Trägheitswirkungen, die Schnittreaktionen und die im
Feld k bzw. im Feld k+l konstante Längskraft Sk bzw.
Sk+1 eingetragen.
Man sieht aus dem Gleichgewicht der Kräfte in z-Rich-
tung, daß sich die Stabkraft im nachfolgenden Balken-
abschnitt k+l um die Komponente Zk der Fliehkraft Fk
vermindert.
--——————-———————._-.—
O
0 0 0
0 o 0 «pn
O 0 0 Mül/E
o o 0 QET2/_
EI.. ._ ._ .. 4)
2 3 (
255k 0k
A x2
1 ——k— k ‘Pg
65k 265k
Äkök 1 >‘k MEI/E
20 0 1 OJ E
_ L _ k-l
Die übrigen Gleichgewichts und Verformungsbedin-
gungen bilden die Grundlage für die Massenmatrix.
Berücksichtigt man dabei die Zusammenhänge
Uk
Zk
yk
R+zk ,
(7)
yk = 2k sin'yk + 11k cos’yk; xk = 5k cos'yk — 12k sin'yk , (8)
so wird wegen
Zk s Fk =mk<R+zk>92 (9)
Uk z mk szk = mk 92 (Ek sin'yk + nk cos'yk), (10)
so daß die in den Gleichgewichtsbedingungen auf—
tretende Größe Uk eliminiert werden kann.
Mit den schon verwendeten und den weiteren Abkür-
zungen
m EI 002
#k=_—"; <32: —:‚:2=—2— <11)m [71 1 3 Ö
und 2
J k J k $2ünk=__n__2;t9€k:_%; 12=__’ (12)
nil 1711 52
wobei 1T1 — Bezugsmasse,
erhält man in dimensionsloser Form
5k = Mk 51: (13>
mit der Massenmatn'x
43
3.3. Kombinationsmatrix
Aus den Gln. (13) und (5) folgt
_ik z fikEkEk-l = Fkik-l ’ (15)
dabei stellt Fk die dimensionslose Kombinationsmatrix
dar, die mit den Bezeichnungen nach Bild 5 lautet
1 Äk aIn am I 0
0 1 a3n al n l 0
0 am a5,” a6," I o
bs 1ka alan (111932,?l 37
L _ _ _ _ . _ _ _1__
" I0 0 0 0 l l
0 0 O 0 I 0
0 0 0 0 | 0
g a7 >‘15"‘7 a73111 at73217 he
wobei in der Matrix (16) abgekürzt wurde
_ Ki 1%aln - 2 als :
3 3
a = Lk- i a = ‘_k _ Lk27’ 6€ a s 6€ o
nk k 5k k
Ä Äk
a3 — 83 : —
n enk E Esk
b3 = pk(fzsin27k + :2)
1 0 0 0 I 0 0 0 0 T
o 1 o 0 l 0 o 0 o
0 .ank g2 1 o I o 0 0 0
uk(rzsin27k+§2) 0 0 1 : „krzsinykcosyk 0 0 0
Mk 2 _ _ _ _ _ _ _ _ .. I. _ _ _ _ _ — — —— (14)
0 o 0 o | 1 o 0 o
0 0 0 0 ' o 1 0 0
0 0 o 0 o .9352 1 0
L ka2sin7k cos'yk 0 0 0 l „((12 c0s27k+;2) 0 n 1 a
Bild 4
Schnittreaktionen, Trägheitswirkungen und Stablängskräfte im
Hauptachsensystem
0 0 O
0 O O
0 0 O
‘‘ _ — . — “ — (16)
>‘k als 32$
1 33€ als
345 “52 36$
Äkbc a1 Ebe (1+bc)a2€
Äkank 52 35€ = 1 _ M951: g‚2
(ink 65k
)‘121 ‘9 k 2 232395 2-Äk-—2€—1Lf 362=Äk— e f
nk Sk
(16a)
a7 = ukT2sin7k ' cos'yk
bc = uk(1200527k +
Die in die Abkürzung (2) eingehende Stahlängskraft Sk
des Abschnittes k berechnet sich aus
n n
sk = 25„ z $22 vaan z„).
V=k V=k
(17)
3.4. Transfornwtionsnmtrix
Da die Hauptachsen des nachfolgenden Querschnittes
um den Winkel A'yk = 7k+1 ~7k gedreht sind, ist der
Ausgangsvektor aus dem Feld k nicht gleich dem Ein-
gangsvektor in das Feld k+1‚ und es muß erst eine Trans-
formation der Zustandsgrößen in das neue Hauptachsen-
system 517 vorgenommen werden. Nach Bild 6 erhält man
cos A7k 0 0 O
0 cos Ayk 0 O
0 0 cos A'yk 0
O O 0 cos Ayk
T z
——sm A'yk 0 0 0
0 —sm A'yk 0 0
0 0 —sm A'yk 0
b 0 O 0 —sm A'yk
Bild 6
Zur Transformation der Zustandsgrößen
für eine beliebige Zustandsgröfie, zum Beispiel für die
Verschiebung v, die durch die Komponenten vE und v
ausgedrückt ist, nach der Drehung n
v—=v cosAyk +v sinA'yk,E E n (18)
v7? = — vE sin A'yk + vn cos A'yk
usw.
Somit ist der Zusammenhang der Zustandsgrößen nach
und vor der Drehung hergestellt, er lautet
‘z'k = Tk -‘z‘k (19)
mit der Transformationsmatrix
sin Ayk 0 0 0 "
0 sin A7k 0 O
O 0 sm A7k 0
0 0 0 sm A‘yk
(20)
cos A7k 0 0 0
0 cos A7k 0 0
0 0 cos A'yk 0
0 0 O cos AykJ
FeldHEI'ImiE—TgkiG/‘nik’k i‘rSilk)
Bild 5
Zur Kombinationsmatrix
1. Rechengang
Beginnt man die Rechnung am Innenrand, so ist A7k
negativ (vgl. Bild l), und es ist bei elastischer Einspan-
nung durch die Randbedingungen
= 0VE’O = 0; Vn,0
_ M„T _
80""): fl".M"’0:B"< Ü >0; ß":ßn
_ MEI _ EI
02,0: ßE'ME’OSßE(E_I )0; ‘T—
der Eingangsvektor festgelegt, nämlich
45
-01 _0
1 o
O (MT) 1 QETZ
EO: —-- —_-_n— + -—-
9 EI 0 0 EI 0
0 O
0 0
L0- h—O-
Bei dieser Vorgehensweise sind für die numerische Aus-
wertung auf einem Digita_lrechner die bezogenen Ein-
spannelastizitäten ET, und ß; als Zahlenwerte vorzugehen
und es ist die Kreisfrequenz 0.) so lange zu variieren, bis
der Restwert R(w) zu Null wird, der durch die Rand-
bedingungen des Ausgangsvektors gegeben ist.
Führt man indessen die Rechnung vom freien Außenrand
zum Innenrand durch; so ist A'yk positiv und es ist eine
Kombinationsmatrix F]: zu verwenden, die sich aus der
Matrix (16) durch Spiegelung an der Nebendiagonalen
ergibt. Die Stablängskraft lautet dann
k
s: = 522 vam + 21,).
12:1
(23)
Dieser Weg hat den Vorteil, daß die Einspannelastizi-
täten erst nach den Matrizenmultiplikationen über die
FO 0
0 0
0 0
° (“9) ° (“7‘”)+ ___ _ + --- __ (22)
0 E1 0 0 E 0
Es 0
1
-0 .1 L1 d
Randbedingungen am Innenrand in die Rechnung ein-
gehen. Es läßt sich dann das Problem umkehren, indem
nämlich das zugehörige Wertepaar (BE, ß ) berechnet
. .. . 77 .
Wird, welches das gewahlte w zur Eigenkrelsfrequenz
macht. Gibt man das Verhältnis der Einspannelastizi-
täten
ß
V z i
ßn
über flache und hohe Kante vor, so läßt sich schließlich
die Funktion BE = f(w‚V) aufstellen, aus der die
Frequenzen für bestimmte Werte BE bei gegebenem Ein-
spannverhältnis abgelesen werden können.
(24)
Liegt der Eigenwert w fest, so liefert eine nochmalige
Durchrechnung den Zustandsvektor an der Schnitt—
stelle k, Gl.(15). Die damit festliegenden Verschie-
bungen Ek und 11k lassen sich anschließend mit dem
Winkel 7k nach den Gln. (8) in das xyz-Koordinaten-
Tabelle l
Berücksichtigung von l. Eigenwert 2. Eigenwert
(Flachkant- (Hochkant-
schwingung) schwingung)
ohne mit ohne mit
Verwindung Ver— Verwindung Ver-
windung Windung
Handr. Auto- Auto- Handr. Auto- Auto-
matr. matt. matr. matr.
f[Hz] f[Hz] f[Hz] f[Hz] f[Hz] f[Hz]
Biegung 310,3 309,9 313,5 1241,3 1239,8 1009,8
Biegung,
Schub und 308,9 308,4 311,1 1161,9 1160,4 972,2
Drehträgheit
Biegung,
Einspann- 259,5 259,9 263,1 1241,3 1240,5 945,4
elastizität
Biegung,
Schub u. Dreh-
trägheit, 276,4 276,3 278,7 1167,4 1165 923,7
Einspannel.,
Fliehkraft
46
system umrechnen, so dal3 die Schwingform vorliegt. Das
beschriebene Verfahren wurde in der Sprache FOR-
TRAN für die Rechenanlage BESM 6 programmiert”
und steht als Programm zur Nutzung bereit.
5. Berechnungsbeispiel
Aus Gründen der Vergleichbarkeit der Rechenergebnisse
bei getrennter Berücksichtigung verschiedener Einflüsse
wird ein in der Radscheibe elastisch eingespannter Stab
mit konstantem Rechteckquerschnitt untersucht, der
zwischen 'yi und 7a gleichmäßig verwunden ist. Alle für
die Rechnung erforderlichen Daten sind in das Bild?
eingetragen.
- 3000min"
- 500mm
- 200mm
- 60 mm
15 mm
%L rod (80').
a' {gr—rad (20°)
- o
[31 - 0,6-10'81/Nmm
E - 2,06405N/mm2
-L
6 2,6
?5- 1,2
op°<5SJUPRJJ
I
Bild 7
Daten für das Berechnungsbeispiel
l) Die Programmierung wurde freundlicherweise von Herrn
Doz. Dr.-Ing. D. Orlamünder, Rechenzentrum der TU Dres-
den, übernommen.
Tabelle l zeigt die Ergebnisse. Dabei sind die mit dem
Rechenautomaten erhaltenen Ergebnisse denen gegen-
übergestellt, die man von Hand bei gesonderter Berück-
sichtigung der Einflüsse erhält (vgl. auch Für die
Automatenrechnung wurde der Stab in 20 Abschnitte
unterteilt. Diese Unterteilung ist für die Untersuchung
der ersten beiden Eigenfrequenzen offensichtlich fein
genug, um genügend genaue Werte zu erhalten, denn die
Ergebnisse der Automatenrechnung unterscheiden sich
von denen der Handrechnung für den unverwundenen
Stab nur äußerst wenig voneinander.
Man sieht, daß durch die Verwindung der erste Eigen-
wert geringfügig erhöht (N 1 %)‚ der zweite Eigenwert
indessen beachtlich herabgesetzt wird (z 20 %).
LIT ERAT UR
[l] Holzweifiig/Dresig: Lehrbuch der Maschinendynamik. VEB
Fachbuchverlag Leipzig 1979.
[2] Sollmann, H.: Schaufelschwingungen axialer Turbo-
maschinen. Dissertation B an der TU Dresden 1977.
[3] Dietrich, G., Anke, H.: Die Berechnung der Biegeeigen—
frequenzcn verwundener Schaufeln mit Hilfe von Über-
tragungsmatrizen. Maschinenbautechnik 11 (1962),
S. 627 — 630.
[4] Jäger, B.: Die Eigenfrequenzen verwundener Schaufeln.
Ingenieur-Archiv, XXIX. Band 1960, S. 280 — 290.
[5] Montoya, I.: Gekoppelte Biege-Torsionsschwingungen
einer stark verwundenen rotierenden Schaufel. Brown
Roveri Mitteilungen. Bd. 53. Nr. 3, S. 216 — 230.
[6] Stüwing, D.: Berücksichtigung der Kopplung zwischen
Biegung und Torsion bei diskreten Balkenmodellen.
Maschinenbautechnik 24 (1975), S. 567 — 570.
Anschrift des Verfassers:
Doz. Dr. so. techn. H. Sollmann
Technische Universität
Sektion Grundlagen des
Masohinenwesens,
8027 Dresden, Mommsenstraße
47