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Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Johannes-Kepler-Gymnasium
Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Lernangebot
1. Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen
2. Verhalten —› ±∞ mit Übungen
3. Symmetrie: allgemein bei ganzrationalen
Funktionen
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x
Anwendungsbeispiel
Volumen einer Schachtel
Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x
V(x) = 4x3 - 102x2 + 630x
Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}
21 -
2x
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Definitionen
Neue Funktionsterme
4x3 - 102x2 + 630x
-7x5 + 2x3 – 4,2
3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7
Terme der Form
aannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x + ax + a00
mit n є N und an≠ 0
nennt man PolynomePolynome
Der höchste Exponent nn heißt GradGrad des Polynoms.
Die reellen Zahlen aan n bis aa0 0 heißen KoeffizientenKoeffizienten..
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Definitionen
Ganzrationale FunktionenEine Funktion f mit einem Polynom als
Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktionganzrationale Funktion.
1x5-7x f(x) 4
2x-4)-x(x g(x)
-4xg(x)
1xx h(x)
2
4
3 2
1
0
a 7,
a a 0,
a - 5,
a 1
0a -4, a 1, Grad
0
1
Der Funktionsterm ist
kein Polynom → h ist keine ganzrationale Funktion
Grad 4
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-1000
-800
-600
-400
-200
200
400
600
800
1000
x
y
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-1000
-800
-600
-400
-200
200
400
600
800
1000
x
y
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
3. Grades unter der Lupe
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
f(x)= xf(x)= x33 - x - x
f(x)= xf(x)= x3 3 + x+ x22 - 2x - - 2x -22
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-300
-200
-100
100
200
300
400
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-300
-200
-100
100
200
300
400
x
y
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-200
-100
100
200
300
400
500
600
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-200
-100
100
200
300
x
y
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
-2
-1
1
2
3
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-200
-100
100
200
300
x
y
4. Grades unter der Lupe
f(x)= xf(x)= x44 - 2x - 2x3 3 - x- x22 + 2x + 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-200
-100
100
200
300
400
500
600
x
y
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
f(x)= xf(x)= x44 - 3x - 3x3 3 - x- x22 + 3x + 3x
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3000
-2000
-1000
1000
2000
3000
x
y
5. Grades unter der Lupe
f(x)= xf(x)= x55 - x - x3 3
f(x)= -xf(x)= -x55 + 1,27x + 1,27x3 3 – 0,15x– 0,15x22 + + 0,2376x0,2376x
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
g
f
Direkter Vergleich PotenzfunktionenPotenzfunktionen - ganzrationaleganzrationale FunktionenFunktionen
-3 -2 -1 1 2 3
-20
-10
10
20
x
y
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
2000
4000
6000
8000
10000
12000
x
y
f(x)= xf(x)= x33
g(x)= xg(x)= x33 - x - x
aus der Nähe
f(x)= xf(x)= x44
g(x)= xg(x)= x44 - 2x - 2x33 – x – x22 +2x+2x
aus der Ferne
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Kurvenverlauf
f(x) =f(x) = aannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x + ax + a00
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n
wird für x ∞ bzw. x - ∞ vom Summanden aannxxnn bestimmt.
Ist aann > 0 > 0 und n geraden gerade so folgt für f(x):
für x - ∞ gilt: f(x) + ∞.
für x + ∞ gilt: f(x) + ∞.
Ist aann < 0 < 0 und n geraden gerade so folgt für f(x):
für x - ∞ gilt: f(x) - ∞.
für x + ∞ gilt: f(x) - ∞.
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Kurvenverlauf
Ist aann > 0 > 0 und n ungeraden ungerade so folgt für f(x):
für x - ∞ gilt: f(x) - ∞.
für x + ∞ gilt: f(x) + ∞.
Ist aann < 0 < 0 und n ungeraden ungerade so folgt für f(x):
für x - ∞ gilt: f(x) + ∞.
für x + ∞ gilt: f(x) - ∞.
f(x) =f(x) = aannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x x + a+ a00
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting - Beispiel
CCaassttiinngg::
DDeeuuttsscchhllaanndd ssuucchht t ddeenn KKuurrvveennssttaarr
f(x) = -xf(x) = -x44 +3x +3x33 +x +x22 -3x -3x f(x) =f(x) = -x-x44 +3x+3x33 +x +x22 -3x -3x
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 1A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 2xf(x) = 2x55 +3x +3x44 –7x –7x
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 1B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = f(x) = 2x2x55 +3x +3x44 –7x –7x
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 2A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 7xf(x) = 7x44 –7x –7x55 +x +x22
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 2B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 7xf(x) = 7x44 –7x–7x55 +x +x22
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 3A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 10 -x +xf(x) = 10 -x +x22 -x -x33 +4x +4x4 4 -10x-10x55 +x +x66 -x -x7 7 +x+x88
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 3B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = 10 -x +xf(x) = 10 -x +x22 -x -x33 +4x +4x4 4 -10x-10x55 +x +x66 -x -x7 7 +x+x88
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 4A
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = f(x) = 5x5x66 –50x –50x55 +75x +75x44 +1280x +1280x33 +580x +580x2 2 -6480x +14240-6480x +14240
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Casting 4B
Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
f(x) = f(x) = 5x5x66 –50x –50x55 +75x +75x44 +1280x +1280x33 +580x +580x2 2 -6480x +14240-6480x +14240
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse:
zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert
-2 -1 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Punktsymmetrie zum Ursprung:
die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur
durch das Vorzeichen
f(-x) = f(x)f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)f(-x) = -f(x)
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Symmetrie – einfach zu erkennen
Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geradengeraden HochzahlenHochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achseachsensymmetrisch zur y-Achse.
Solche ganzrationalen Funktionen heißen geradegerade.
Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr
schnell.
Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeradenungeraden HochzahlenHochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprungpunktsymmetrisch zum Ursprung.
Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungeradeungerade.
f(x)= -3x6 + 5x2
g(x)= x400 - 3x78 – 77
h(x)= 4x7 - 5x3 + 9x
k(x)= -22x431 - 3x91
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Die drei Fragen
1. Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“.
2. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen?
3. Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen?
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Aufgaben
Stunde 1 2
BASIC´s LS11 Seite 91: A 3 Seite 91: A 4 Seite 91: A 5
LS11 Seite 93: A 2c,f,i A 3
TOP´s LS11 Seite 99: A 4 LS11 Seite 93: A 4 A 5
LS11 Seite 99: A 8
LS11 Seite 93: A 7
Viel Erfolg! Ludmilla Scheinker, Margit Müller 2005 und Barbara Volkery, Rafael Tolksdorf 2006
Ganzrationale Funktionen 2006/07Mathematik Jahrgangsstufe 11
Vorbereitung auf die 1. Klausur
Was müssen wir beherrschen? Koordinatengeometrie: • Geradengleichung aufstellen! • Wann sind Geraden senkrecht zueinander – wann sind
sie parallel?• Überprüfen ob ein Dreieck rechtwinklig ist?• Abstand von zwei Punkten zueinander berechnen• Anwendungen/ Modellierung (inkl. zeichnen) Funktionen:• Was sind Funktionen?• Alles über die Potenzfunktion!• Ganzrationale Funktionen: Symmetrie –
Grenzwertverhalten – Monotonie