Formation cycle 3 : proportionnalité...Situation proportionnelle ou pas ? Arthur fait le tour du...

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Formation cycle 3

Nathalie PENIN Conseillère pédagogique, Référente Mathématiques, Fontaine Vercors

Le plan mathématique

1 français sur 10 a des difficultés à utiliser les mathématiques dans la vie courante

Le plan mathématique Villani-Torossian : 21 mesures

Erreur, constitutive des apprentissages // démarche d’investigation

Notion de plaisir

Va-et-vient constants entre situation concrète et écriture mathématique par 3 étapes d’apprentissage

Verbalisation au cœur des activités mathématiques explicites

Situation proportionnelle ou pas ?

Arthur fait le tour du lac en courant. Il fait les premiers 200 mètres en 3 minutes. On peut en déduire qu’il fera le tour du lac en 15 min.

Tour du lac : 1 km

Comment définissez-vous une situation de proportionnalité ?

Cycle 3

Maths Monde cycle 4

Deux grandeurs (ou deux suites de

nombres) sont dites proportionnelles

si l’on peut passer de l’une à l’autre

en multipliant par un même nombre

non nul . Ce nombre s’appelle le

coefficient de proportionnalité..

Objectifs de la formation ❖Les notions sous-jacentes à la proportionnalité

au cycle 3 : - Le nombre, ses représentations, sa construction - Résoudre une situation problème relevant de la proportionnalité : procédures

❖Enseigner la proportionnalité au cycle 3 :

- Comment faire choisir la procédure ? - 3 étapes clés de l’apprentissage mathématique : Manipulation (et représentations), verbalisation et abstraction - Ritualisation des apprentissages

Proportionnalité au croisement de 3 thèmes des mathématiques

Nombres et calcul

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions, des nombres décimaux, et le calcul

Grandeurs et mesures

Espace et géométrie

Proportionnalité : Nombres et Calcul

Plan Mathématiques Villani Torossian

« Apprentissage simultané du nombre et des 4 opérations dès le CP»

○ Jeux sur les décompositions additives, multiplicatives dès la maternelle

○ Développer les automatismes de calcul

Programmes, Brissiaud, Rapport Villani-Torossian

Champ Notionnel

“Parler des nombres à l’aide de leur décomposition” “Comprendre un nombre donné, c’est savoir comment il est composé en nombres plus petits que lui et savoir l’utiliser pour en composer de plus grands.” Brissiaud

Champ notionnel Un petit détour sur le nombre ..

Rituel de cycle 2 et 3 : “Trouver toutes les manières d’écrire

le nombre 4/5”

À la manière de la fraction du jour…

Nombre 4/5

Quatre cinquièmes

4/5 c’est 5/5 et j’enlève 1/5

Champ notionnel

Huit dixièmes

dizaines unités dixièmes

Le triple code de Dehaene (1992)

D’après un diaporama de M.Crozet, Formation de formateurs 17-09-18

Champ notionnel

Du cycle 1 au cycle 3

Quatre cinquièmes

Huit dixièmes

Dans le cadre de proportionnalité

Champ notionnel

4/5 de 250 euros c’est 80% de 250 euros 80 eu. sur 100 euros 160 eu. sur 200 euros 40 eu. sur 50 euros 200 eu. sur 250 euros

Situation problème

Sachant que 4 stylos valent 2

euros, combien valent 8 stylos?

Champ notionnel Résoudre une situation proportionnelle

Sachant que 4 stylos valent 2 euros,

combien valent 8 stylos?

Propriétés de linéarité de la multiplication Si 4 stylos valent 2 euros 8 stylos c’est deux fois plus de stylos, ils valent deux fois plus d’euros : 4 euros

Coefficient de proportionnalité 4 stylos valent 2 euros : 2 euros c’est deux fois moins que 4

Pour 8 stylos, je calcule deux fois moins que 8 : 4 euros

Passage à l’unité 4 stylos valent 2 euros : 1 stylo vaut 50 c

8 stylos valent 5 euros

Sachant que 4 stylos valent 2,42

Propriétés de linéarité de la multiplication Si 4 stylos valent 2,42 euros 8 stylos c’est deux fois plus de stylos, ils valent deux fois plus d’euros : 4,84 euros

Coefficient de proportionnalité 4 stylos valent 2 euros : 2 euros c’est deux fois moins que 4

Pour 14 stylos, je calcule deux fois moins que 14 : c’est 7 euros

Passage à l’unité 4 stylos valent 2 euros : 1 stylo vaut 50 c

14 stylos valent 7 euros

Propriétés de linéarité de la multiplication Si 4 stylos valent 2,42 euros 8 stylos c’est deux fois plus de stylos, ils valent deux fois plus d’euros : 4,84 euros Propriétés de linéarité de l’addition 12 stylos valent la somme des deux montants 7,26 euros 2 stylos valent deux fois moins que 4 stylos : 1,21 euros 14 stylos valent la somme des deux montants : 8,37 euros

Différentes procédures: 1) Les propriétés de linéarité

Propriété de linéarité pour l’addition :

stylos 4 8 12 28

Prix (euros)

2,42 4,84 7,26 ?

f(a + b) = f(a) + f(b) : le prix « de a et b » stylos est égal au prix de « a » stylos + le prix de « b » stylos.

Propriété de linéarité pour la multiplication: f(2a) = 2f(a) : le prix de 2 fois « a » stylos est égal à 2 fois le prix de « a » stylos.

Propriété mixte alliant les 2 précédentes

Champ notionnel

2) La recherche de la « valeur de l’unité »

stylos 4 14 1

Prix (euros)

2 ? 2/4=1/2=0,5

stylos 4 7

Prix (euros)

3) L’utilisation du « coefficient » de proportionnalité

Champ notionnel

Classification de Vergnaud : problèmes multiplicatifs

Division partition

Division quotition

Multiplication

Champ notionnel Résolution de problème … de proportionnalité

Résolution de problème … de proportionnalité

Champ notionnel

multiplication

division quotition

Dans une boite, il y a 8 feutres,

combien de boites pour avoir 56 feutres ?

Dans une boite, il y a 8 feutres,

combien de feutres dans 3 boites ?

Avec 4 boites identiques on a 32 feutres,

combien de feutres dans une boite ?

Du Cycle 1 au Cycle 2 et Cycle 3

division partition

boîtes 4 1

feutres 32 ?

boîtes 1 ?

feutres 8 56

boîtes 1 3

feutres 8 ?

Progressivité de l’apprentissage des procédures : par étape et spiralaire

Propriétés de linéarité (additive et multiplicative)

Introduire Institutionnaliser

Passage à l’unité puis coeff. de proportionnalité

Produit en croix 5ème

cf. repères annuels de progression

Coeff. de proportionnalité

Diversité des contextes

Quantités, grandeurs (taille, volume, masse) et aggrandissement

Vitesses constantes, agrandissement, échelles

Pourcentages simples

Quelle progression dans les manuels ?

Cap Maths CM1

Proportionnalité au croisement de 3 thèmes des mathématiques

Nombres et calcul

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions, des nombres décimaux, et le calcul

Organisation et gestion de données

Grandeurs et mesures

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux

Espace et géométrie

Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques

Agrandissement – réduction

Proportionnalité et échelles

Les Fondamentaux de Canopé

Repères annuels de progression (Eduscol)

1) Quelles procédures sont utilisées par les élèves ? Linéarité +, x, unité, coeff. proportionnalité

2) Quel type de représentation ? 3) Quel type d’erreur ?

Champ didactique

« Dans la recette du poulet au citron, il faut 2 citrons pour 5 personnes. Combien faut-il de citrons pour 20 personnes ? »

Analysons de productions d’élèves de cycle 3 …

Quelle procédure et quels types d’erreur ?

Champ didactique

La proportionnalité au cœur des 6 compétences

mathématiques

Chercher

Modéliser Représenter

Raisonner

Calculer

Communiquer

Champ Notionnel

Champ didactique 3 compétences clés en résolution de problèmes

Chercher, raisonner, modéliser: lecture d’énoncé, compréhension du sens de la situation Choix de la procédure la plus adaptée

Calculer : persistance du modèle additif, erreurs de calculs

Représenter , communiquer mauvaise utilisation du signe = dessins couteux en temps

Modéliser

Représenter

Calculer

Quels prérequis pour aborder la proportionnalité ?

Lecture de tableaux

Connaissance des nombres en jeu dans les problèmes

Représentations d’une

situation proportionnelle

o Tableaux o Graphique

Représenter

Modéliser = apprendre à choisir la procédure la plus adaptée

Manipulation mentale : raisonner

Représentation « iconique »

Représentation « symbolique »

Apprendre à représenter aide à modéliser

Manipulation effective (objets réels ou fictifs)

Représentation « enactive »

- Découper et mesurer une bande de 3 cm puis vérifier avec 8 bandes

Modéliser

Champ didactique Obstacles et pistes de différenciation

Modéliser Manipuler Lecture de tableaux Peser des objets

Verbaliser les procédures Mises en commun Traces écrites

Calculer

Représenter, abstraire organisation des données, tableau de proportionnalité

Dans des contextes différents, en faisant varier les nombres pour une procédure visée pour adapter aux compétences en calcul De nombreux petits problèmes

Représenter

Calcul mental Faits mémorisés & Procédures à automatiser

Proportionnalité (questions flashs)

Sophie Thuillier, CPD, Maths sciences 46

Champ pédagogique S’entraîner…

7 objets identiques pèsent ensemble 5 kg.

CM1 Combien pèsent ensemble 21 de ces objets ?

Combien pèsent ensemble 420 de ces objets ?

10 objets identiques pèsent ensemble 45 kg.

CM1 Combien pèsent ensemble 2 de ces objets ?

Combien pèsent ensemble 3 de ces objets ?

Des points de vigilance…

Progressivité dans les procédures attendues

Jouer sur les variables (taille des nombres / rapport interne / rapport externe / situations dans les 3 thèmes)

Insister sur l’oral (explicitation et confrontation)

Multiplier les contextes et l’interdisciplinarité : situations proportionnelles ou pas

Donner du sens avant d’introduire le tableau

Construire des automatismes (questions flash) kkjhg

Les Fondamentaux de Canopé

Ressources institutionnelles

Fiche pédagogique

« 1 semaine, 10 problèmes de proportionnalité »

M@ths envie : les maths ancrés dans la vie quotidienne : Banque de problèmes, la proportionnalité

Eduscol Résoudre des problèmes de proportionnalité au cycle 3

Ressource Eduscol, activité puzzle

Agrandissement – réduction

Activité puzzle

Expérimentation en classe

Projet pour la classe : « 1 semaine, 10 problèmes en proportionnalité »

création de problèmes par les classes : https://padlet.com/tablettesfv/1semaine10problemes

Réflexion d’équipe Mener un conseil de cycle 3 sur :

- Quelle progressivité des situations problèmes au cours du cycle 3, par période ? Carnet de progression des situations problèmes (cf. repères annualisés, grille d’analyse de problèmes)

- Quels liens dans la programmation des 3 thèmes (nombre/calcul, grandeurs/mesures, géométrie) ?

Progressivité de l’apprentissage des procédures

Propriétés de linéarité (additive et multiplicative)

Passage à l’unité puis coeff. de proportionnalité

Produit en croix 5ème

cf. repères annuels de progression

Coeff. de proportionnalité

Diversité des contextes

Quantités, grandeurs (taille, volume, masse) et aggrandissement

Vitesses constantes, agrandissement, échelles, pourcentage

Pourcentages simples

Repérer quand proposer ces situations problèmes dans le cadre d’une progressivité de l’apprentissage des procédures

Réflexion d’équipe

Des rituels communs ? (cf. Ritualisation : activité flash, ressources Eduscol)

Analyse d’un problème et différenciation (cf. introduction progressive du tableau de proportionnalité),

à partir d’un même énoncé , on différencie… « On dispose d’un sac de billes identiques. On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g) » Début CM1 : linéarité somme /multiple « Quelle est la masse de 8 billes ? de 10 billes ? »

Fin CM1 : linéarité somme /différence /multiple « Quelle est la masse de 6 billes ? De 2billes ? de 13 billes ? de 7 billes ? »

Début CM2 : linéarité somme / différence / multiple / diviseur / mixte / passage à l’unité « Quelle est la masse de 21 billes ? de 28 billes ? de 500 billes ? de 250 billes ? 125 billes ? »

Fin CM2 : linéarité, passage à l’unité (et coeff. de prop.) « Quelle est la masse de 21 billes ? de 1 bille ? de 87 billes ? »

Fin 6°linéarité / passage à l’unité / coefficient de proportionnalité /

Ressources de formation

Site de circonscription + Magistère -Diaporama -Grille d’analyse de situation problème sur la proportionnalité -activité : Fiche de progression avec étiquettes problèmes à placer selon les procédures utilisées

merci !

Formation cycle 3 : proportionnalité...Situation proportionnelle ou pas ? Arthur fait le tour du...

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