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Floquet-Theorie –
Differentialgleichungen mit
periodischen Koeffizienten
Januar 2011 | Institut für Angewandte Physik | Nichtlineare Optik/Quantenoptik | Friederike Fassnacht | 1
[1]
Motivation
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Grundgleichung der Quantenmechanik:
• Wie sieht aus?
• Welche Energieeigenwerte hat das System?
• Wie ist die Zeitentwicklung?
Sonderfälle:
Fourier-Entwicklung
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Entwicklung in eine periodische Reihe
Für jede periodische Funktion
f(t)=f(t+T) gilt:
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Differentialgleichungssystem
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Homogenes, lineares,
Differentialgleichungssystem:
Mit:
Floquet, 1883; [3]
Form der Lösungen
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Nach Floquet mindestens eine Lösung der Form:
Fourier – Entwicklung:
: Floquet-Exponenten
Satz von Floquet
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Satz von Floquet:
sind die charakteristischen Exponenten,
maximal N verschiedene
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Atom im Lichtfeld - Anwendung
Entwicklung der Schrödingergleichung
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Periodische Hamiltonian :
Entwicklung der Wellenfunktion :
: Basiszustände
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b: Index der Basiszustände
n: Index der Fourier-Reihe von H
Einsetzen in die Schrödingergleichung und
Multiplizieren mit :
Ausgangssituation – vereinfacht
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Zwei-Niveau-System,
Periodische Wechselwirkung
von außen (Lichtfeld) mit ω
Zwei-Niveau-Atom – Hamiltonian
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Dipoloperator
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Das elektrische Feld:
mit
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Externe, sinusförmige Anregung:
Vereinfachung der Notation:
Koeffizientenbestimmung
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Bestimmungsgleichungen für
Zwei Gleichungssysteme: für gerade und ungerade m
Drehwellennäherung: geschlossenes System
Floquet –Matrix (1)
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Differentialgleichungssystem,
F ist die Floquet-Matrix
Floquet – Matrix (2)
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Eigenschaften:
Gekoppeltes Differentialgleichungssystem
Unendlichdimensional
Eigenwerte von F heißen Floquet-Exponenten Z
Quasienergien
sind die Komponenten der Eigenzustände
Generalisierung der Dressed States der
Drehwellennäherung
Ziel: Lösung
Lösungsansatz Zwei-Niveau-System
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Explizite Zeitabhängigkeit der Koeffizienten (gerade m):
Eigenwertgleichung:
Eigenwertgleichung
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Nichttriviale Lösungen
Drehwellennäherung im Floquet-Bild
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Drehwellennäherung: Schnell oszillierende Terme vernachlässigt
A0 und B-1 dominieren die Eigenwerte
Sind bestimmende Komponenten der Eigenvektoren
innere 2x2-Matrix wird betrachtet
Drehwellennäherung
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Grenzbetrachtung :
Wechselwirkungsbild, deswegen
Energieeigenwerte:
1. Korrektur zu Energieeigenwerten
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Annährung durch Hinzunahme weiterer Terme:
weg Zwei-Niveau-Näherung
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Größe der Korrekturen?
Bloch-Siegert-Verschiebung
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Änderung der Energieeigenwerte in Abhängigkeit
von der Größe der betrachteten Matrix:
Drehwellennäherung im optischen Bereich:
Vollständige Energieeingenwerte
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Höheren harmonischen Seitenbänder,
Sehr unwahrscheinlich
Eigenwerte ohne Kopplung
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Energieeigenwerte in Abhängigkeit
des Energieabstandes
zwischen den beiden Zuständen
Entwicklung der Eigenwerte
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Abhängigkeit der Eigenwerte vom Energieabstand zwischen
den Niveaus
Rabi-Aufspaltung
1 3 5 2 4
Multiphotonresonanz
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Koeffizienten mit große m
können nicht generell
Vernachlässigt werden
ungerade m
weitereTerme
in Floquet-Matrix
Übergangswahrscheinlichkeiten
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Übergangswahrscheinlichkeiten im Zwei-Niveau-System:
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Floquet-Lösungen im Festkörper:
Bloch – Wellen
Bandstruktur
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E
k
verboten
Zustände der Elektronen im Festkörper:
Energiebänder
Festkörper - Beispiel
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Näherung:
Ein Elektron im periodischen Gitter, eindimensional
x
V(x)
V(x)=V(x+a)
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Lösungscharakteristika
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Differentialgleichung 2. Ordnung
zwei unabhängige Lösungen
Immer gilt:
Hamiltonian und Translationsmatrix kommutieren
gleiche Eigenbasis
Aus der Diagonalform:
Floquet-Lösung!
Bandstruktur
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Matrix nur in Jordanform:
nur eine Floquetlösung, zweite Basislösung:
x
V(x)
Wellenfunktionen, die exponentiell im Kristall abfallen
Stetigkeitsbedingungen müssen erfüllt sein
Instabile Lösungen an Grenzflächen (2)
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Mögliche Elektronenzustände im endlichen Kristall:
alle Lösungen suchen (stabil, instabil, Grenzfläche)
Grenzbedingungen müssen erfüllt sein
Reflexion wenn Energie aus dem verbotenen Bereich
E
x
diskretes Spektrum von Energieniveaus
Zyklische Grenzbedingungen
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Endlich großer Kristall der Länge
Blochs Theorem:
Alle nichttrivialen Lösungen sind eine Linearkombination
zweier stabiler Floquet-Lösungen
V
Zusammenfassung
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periodisch
Bestimmte Form
Atom im Lichtfeld: Bloch-Siegert-Verschiebung
Multiphotonresonanz
Blochgleichungen: Energiebänder
Transmissions- & Reflexionsanwendungen
Floquet: endliches, zeitabhängiges Problem
Unendliches, zeitunabhängiges Problem
Quellenangaben
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Bildquellen: [1] http://strangephaenomena.wordpress.com/2008/07/12/der-indische-seiltrick/
4.12.2011
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_Series.svg, 30.11.2011
[3] http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1883_2_12_/
ASENS_1883_2_12__47_0/ASENS_1883_2_12__47_0.pdf,
3.12.2011
[4] http://www.informationsbuero-nicaragua.org/freihandel/materialien/
daten/arbblaetter.html, 3.12.2011
Literatur: [5] J. Shirley: “Solution of the Schrödinger Equation with
a Hamiltonian Periodic in Time”,
Phys. Rev. 138, B979–B987 (1965)
[6] A. A. Cottey: “Floquets’s Theorem and Band Theory in
One Dimension”,
AJP Volume 39, 1235-1244 (1971)
[7] J. C. Garrison: “Quantum mechanics of periodic systems”
AJP Volume 67, 196-203 (1999)
[8] B.W. Shore Wiley: “The Theory of coherent atomic
excitation”, Volume 1 (1999)
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Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit
[4]