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Fachwerke
Fachwerke
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In diesem Abschnitt geht es um:
Inhalt der Vorlesung
Fachwerke
Begriffe rund um Fachwerke
Das Knotenpunkt-Verfahren
Das Verfahren nach Cremona
Das Ritter-Schnitt-Verfahren
Das Culmann-Verfahren
Folie 2
Cul
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2. Teil
1. Teil
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Begriffe
Folie 3
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Linien-Tragwerke
Linientragwerke, kurz „Träger“, sind Bauteile, deren Durchmesser sehr viel kleiner ist als die Länge.
Fachwerke
Tragwerke, die aus abgewinkelten, starr miteinander verbundenen Balken zusammengesetzt sind, werden als Rahmen bezeichnet.
Wird ein Träger nur in Richtung seiner Achse (Zug oder Druck) beansprucht, heißt er Stab.
Beansprucht man einen Träger quer zu seiner Achse, so nennt man ihn einen Balken.
Ein gekrümmter Balken heißt Bogen.
Folie 4
Cul
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Flächen-Tragwerke
Bei den Flächentragwerken unterscheidet man Scheiben, Platten und Schalen:
Fachwerke Folie 5
Eine Platte ist auch eben, die Kräfte wirken aber senkrecht zu ihr. Merkbild: SchallplatteEine Schale ist ein einfach oder doppelt gekrümmtes Flächentragwerk, das beliebige Kräfte übertragen kann.Merkbild: Eierschale
Eine Scheibe ist ein ebenes Flächentragwerk, das nur Kräfte in seiner Ebene zu übertragen hat. Merkbild: TrennscheibeEine Verbindung von Stäben kann ebenfalls „Scheibe“ genannt werden. Cul
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Frag
en
Fachwerke Folie 6
1) Tragwerke werden in zwei Gruppen eingeteilt. Welche sind das?Linien- und Flächentragwerke
2) Was ist der Unterschied zwischen einem „Träger“ und einem „Balken“ ?„Träger“ ist die allgemeine Bezeichnung für Linientragwerke. Ein Balken ist ein spezieller Träger. Er wird quer zu seiner Achse beansprucht.
3) Was ist der Unterschied zwischen einem „Rahmen“ und einem „Bogen“?Ein Bogen ist ein gebogener Träger, ein Rahmen ist ein zusammengesetzter Träger.
4) Wie kann eine Verbindung aus drei Stäben genannt werden,wenn man sie als Flächentragwerk betrachtet?„Scheibe“
5) Was ist der Unterschied zwischen einer „Platte“ und einer „Scheibe“ ?Eine Platte überträgt Kräfte nur senkrecht, eine Scheibe nur parallel zu Ihrer Fläche.
Fragen
Cul
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Qui
z
Begriffe
Fachwerke Folie 7
Ein Fachwerk • ist eine Konstruktion aus…
Trägern, Stäben, Stangen• soll Lasten, Spannungen, Momente
aufnehmen.• hat weniger Volumen, Stabilität, Material
als ein entsprechender Massivträger.
Dimensionierung der StäbeDie Stabkräfte ermittelt man aus den …• äußeren Kräften (Lager + Lasten),• Abmessungen (Längen + Durchmesser)• Gleichgewichtsbedingungen
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Kräfte
Äußere KräfteLasten, die von außen einwirken, z.B. eine Lagerkraft (wie FA) oder eine aufgeprägte Kraft (wie F1).
Fachwerke Folie 8
Innere KräfteZug- oder Druckkraft, die vom Stab übertragen wird.
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Beschriftung
Fachwerke Folie 9
Stablinien = gezeichneter Stab arabische Ziffern: 1, 2, 3 …
Knoten(punkte) = Schnittpunkte der Stablinien römische Ziffern: I, II, III …
Merke:Alle äußeren Kräfte
werden auf die Knoten verteilt
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z
Nullstab
Fachwerke Folie 10
„Nullstäbe“Es ist ratsam, vor der eigentlichen
Berechnung das Fachwerk auf Nullstäbe hin zu untersuchen, denn sie können bei der Berechnung weg gelassen werden.
Nullstäbe sind Stäbe, die weder Zug- noch Druckkräfte enthalten.
Sie sind jedoch in der Praxis notwendig: zur örtlichen Fixierung tragender Stäbe
oder zur Verhinderung von Durchbiegungen.
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Nullstab
Fachwerke Folie 11
Regel 1: An einem unbelasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in die gleiche Richtung zeigen. Beide Stäbe sind Nullstäbe. Auf welche beiden Stäbe (rechts) trifft das zu?
Regel 2: An einem belasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen und die äußere Kraft F greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab.
Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab.
FF
F
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Nullstäbe
Fachwerke Folie 12
[Quelle: www.ingenieurkurse.de/technische-mechanik-statik/fachwerke]
Nach welcher Regel liegt jeweils ein Nullstab vor?
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Qui
z
Begriffe
Fachwerke
Was meinen Sie?Welche Nullstäbe gibt es in diesem Fachwerk?
[s.a. Tutorial auf https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY]
Cul
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Auf
gabe
Auf
gabe
Begriffe
Fachwerke Folie 14
Wo sind Nullstäbe an dem Fachwerk in der Skizze?
Boden-Wand-FW
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Frag
en
Fachwerke Folie 15
1) Was ist ein Fachwerk? Eine Konstruktion aus geraden starren Stäben.2) Was ist der Vorteil eines Fachwerks?
Ein Fachwerksträger erfordert weniger Material als ein Massivträger.3) Wonach richtet sich der Durchmesser eines Fachwerkstabes?
Nach der Größe seiner Stabkraft.4) Was ist der Unterschied zwischen “Knoten” und “Knotenpunkt” ?
Knoten sind die Verbindungsstellen der realen Stäbe, Knotenpunkte die Schnittstellen der gedachten Stablinien.
5) Römische Ziffern an einer Fachwerk-Skizze bezeichnen …?die Knotenpunkte
6) Die Gewichtskraft eines Stabes zählt als innere oder als äußere Kraft ? als äußere Kraft.
7) Wie behandelt man äußere Kräfte, die quer an der Mitte eines Stabes angreifen?Man zerlegt sie in Kräfte, die an den Knoten angreifen.
Fragen
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Qui
z
instabil statisch bestimmt
statisch unbestimm
t
Statische Bestimmtheit
Fachwerke Folie 16
Ein Fachwerk kann instabil sein (zu wenig Stäbe), oder statisch bestimmt sein
(alle Kräfte sind bestimmbar) oder statisch unbestimmt sein
(mehr Stäbe als notwendig da).
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Statische Bestimmtheit
Fachwerke Folie 17
Erstellbare Gleichungen:Jeder Knoten liefert 2 Gleichungen: ΣFx=0, ΣFy=0k Knoten liefern 2k Gleichungen.
Unbekannte Kräfte: Ein Loslager entspricht einer unbekannten Kraft → 1 Ein Festlager entspricht zwei unbek. Kräften → 2 Jeder Stab beinhaltet eine unbekannte Kraft → s
Das Abzählkriterium für statische Bestimmtheit lautet:
2k = 3+s
Vergleich
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Qui
z
Statische Bestimmtheit
Fachwerke Folie 18
2 k = 3 + s2·4 > 3+ 4 8 > 7instabil
2 k = 3 + s2·4 = 3+ 5 8 = 8statisch bestimmt
2 k = 3 + s2·4 < 3+ 6 8 < 9statisch unbestimmt
Drei Fachwerke Ermitteln Sie die statische Stabilität bzw. statische Bestimmtheit der abgebildeten drei Fachwerke - mit Begründung.
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Statische Bestimmtheit
Fachwerke Folie 19
zur Erinnerung:
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Statische Bestimmtheit
Fachwerke Folie 20
Ein statisch bestimmter Stab, der mit zwei anderen Stäben ein Dreieck bildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Denn:
Dreieckige Fachwerke erfüllen
immers = 2k - 3 Cul
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Verfahren
Fachwerke Folie 21
zeichnerisch analytischganzes FW Cremona-
PlanKnotenpunkt-Verfahren
lokal Culmann-Verfahren
RitterscherSchnitt
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© Prof. Dr. Remo IannielloFachwerke Folie 22
Knotenpunkt-Verfahren
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Knotenpunkt-Verfahren
„Rezept: Knotenpunkt-Verfahren“:1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...)
nummerieren2) Statische Bestimmtheit kontrollieren3) Nullstäbe kennzeichnen4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln.5) Freischnitt um ersten Knoten; dabei
alle unbekannten Stabkräfte zunächst als Zugkräfte annehmen.
6) Zerlegung der Stabkräfte in ihre Komponenten
7) Kräfte-Bilanzen erstellen. 8) Ergebnis-Tabelle erstellen:
Kräfte in Zug-Stäben positiv, Kräfte in Druck-Stäbe negativ kennzeichnen
Fachwerke Folie 23
Wird bei allen Verfahren durchgeführt.
Cul
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Auf
gabe
Auf
gabe
Knotenpunkt-Verfahren
Fachwerke Folie 24
Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt-Verfahren zu berechnen.
Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 mFAx = 5 kN
FAy = 15 kN
FB = 20 kN
Kran
Cul
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Auf
gabe
Auf
gabe
Knotenpunkt-Verfahren
Fachwerke Folie 25
Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt-Verfahren zu berechnen.
Gegeben: F
1 = F
2 = F
3 = 10 kN
Boden-Wand-FW
Cul
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Cremona-Plan
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Cremona-Plan
„Rezept: Cremona-Plan“:1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...) nummerieren2) Statische Bestimmtheit kontrollieren3) Nullstäbe kennzeichnen4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln.5) Umlaufsinn (Kraftfolge) festlegen6) Freischnitt des ersten Knotens = Lageplan;
nur zwei unbekannte Kräfte dürfen vorliegen.7) Kräfteplan aufbauen. Stabkräfte nummerieren.8) Vergleich von Umlaufrichtung und Lageplan gibt
an, ob ein Zug- oder Druckstab vorliegt.9) Stabkraft-Tabelle mit Kennzeichnung von Zug-
(+) bzw. Druck-(-) Stäben erstellen.
Fachwerke Folie 27
Wird bei allen Verfahren durchgeführt.
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Auf
gabe
Auf
gabe
Cremona-Plan
Fachwerke Folie 28
Ein Fachwerk wird mit den Kräften F1 , F
2 und F
3 , sowie F
A
und FB nach Skizze belastet.
Alle Stabkräfte sollenmit Hilfe des Cremona-Plans ermittelt werden.
Brücke
Cul
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Cremona-Plan
1) Stäbe und Knoten sind nummeriert.2) Das Fachwerk ist statisch bestimmt.3) Es gibt keine Nullstäbe.4) Lagerkräfte: FA = 5,75 kN,
FB = 6,25 kN
Fachwerke Folie 29
Lageplan
Kräfteplan
FA
2, Zugstab
1, Druckstab
Knoten mit max. 2 unbekannten Stab-kräften aussuchen
Drehsinn festlegen
(mit bekannter Kraft beginnen)
Wirklinie der - nach dem Drehsinn - nächsten Kraft zeichnen
Wirklinie der nächsten Kraft (nach dem Drehsinn) in den Kräfteplan ziehen
Hier enden
Hier fortfahren
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Cremona-Plan
Den ersten Kräfteplan behalten.Dann den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten II
Fachwerke Folie 30
2+
1-
FA
Lageplan
im Drehsinn mit bekannten Kräften starten
Kräfteplan
F1
hier weiter machen
hier enden
3-
4-
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Cremona-Plan
Kräfteplan beibehalten.Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten III
Fachwerke Folie 31
2+
1-
FAim Drehsinn mit bekannten Kräften starten
Kräfteplan
6+hier weiter machen
hier enden
3-
4- 5-
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Cremona-Plan
Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten IV
Fachwerke Folie 32
2+
1-
FAim Drehsinn mit bekannten Kräften starten
Kräfteplan
6+hier weiter machen
hier enden
3-
4- 5-
zur Lösung
F2
8-7-
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Cremona-Plan
Fachwerke Folie 33
Lösung
Cul
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Auf
gabe
Auf
gabe
Cremona-Plan
Fachwerke Folie 34
Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Cremona-Plan zu berechnen.
Gegeben:
F = 7,071 kN,
a = 2,828 m
Kran
zur Lösung
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Cremona-Plan
Fachwerke Folie 35
Lösung
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Auf
gabe
Auf
gabe
Cremona-Plan
Fachwerke Folie 36
FachwerkträgerFür den skizzierten Fachwerkträger sind die Stabkräfte zeichnerisch nach dem Cremona-Verfahren zu bestimmen.
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Ritter-Schnitt-Verfahren
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Ritterscher Schnitt
nicht ein Knoten, sondern mehrere StellenAnsatz: Nicht nur Kräftebilanz, sondern auch Momentenbilanz.
Fachwerke Folie 38
mehrere Stellen
ΣM = 0
Was ist das Verfahren nach Ritter?
Georg Dietrich August Ritter (*1826, † 1908 in Lüneburg) war ein deutscher Professor für Mechanik und für Astrophysik. Er entwickelte das Rittersche Schnittverfahren zur Berechnung von Stabkräften in Fachwerken.
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Ritterscher Schnitt
Ein Ritterscher Schnitt muss entweder durch drei Stäbe, die nicht alle demselben Knoten angehören, gehen oder durch einen Knoten und einen Stab
Fachwerke Folie 39
Das Tragwerk zerfällt dabei in zwei Teile.
Für jeden Teilkörper gelten die drei GGW-Bedingungen → Σ Fx, Σ Fy und Σ M = 0.
drei unbekannte Stabkräfte sind ermittelbar.
Cul
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Wie berechnet man nach Ritter?
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Auf
gabe
Auf
gabe
Ritterscher Schnitt
Fachwerke Folie 40
Bestimmen Sie die Stabkräfte S4 = - 5,75 kN, S5 = -2,47 kN und S6 = +7,5 kN nach dem Ritterschen Schnitt-Verfahren.
Brücke
Cul
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Auf
gabe
Auf
gabe
Ritterscher Schnitt
Fachwerke Folie 41
Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Ritterschen Schnittverfahren die Stabkräfte S
10 = -30 kN, S
11 = -27,4 kN,
S12
= 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN
Ausleger
Cul
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Auf
gabe
Auf
gabe
Ritterscher Schnitt
Fachwerke Folie 42
Kleine Ritter-BrückeBestimmen Sie die Kraft in den Stäben
GE, GC und BC des Fachwerks und geben Sie an, ob die Stäbe unter
Zug oder unter Druck stehen.F1 = 400 N, F2 = 1.200 N,
h = 3 m, l = 4 m.
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Culmann-Verfahren
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Culmann-Verfahren
Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S
10 = -30 kN, S
11 = -27,4 kN,
S12
= 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN
Fachwerke Folie 44
Man benötigt zwei Kräftepaare – daher werden die drei einzelnen Kräfte F zu einer Resultierenden 3 F zusammen gefasst.
Wirklinien der Kräftepaare einzeichnenSchnittpunkte markieren und verbinden
Ausleger
Cul
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Culmann-Verfahren
Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S
10 = -30 kN,
S11
= -27,4 kN,
S12
= 51,88 kN
zu ermitteln. F = 8 kN
Fachwerke Folie 45
Ein Parallelogramm mit der bekannten Kraft...
...liefert S10 unddamit auch R1
S10
R1
R1 hat eine gleich große, entgegen gesetzte Resultierende R2
Ein Parallelogramm der unbekannten Kräfte mit R2 liefert die fehlenden Beträge
S12
S11
Ausleger
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Auf
gabe
Auf
gabe
Knotenpunkt-Verfahren
Fachwerke Folie 47
Brücken-FW
Lösung: S1 = -5,75 kNS2 = 8,13 kN S3 = -4 kN
S7 = -1,77 kN S8 = -6,25 kN
S9 = -5 kN S10 = 8,84 kN S11 = -6,25 kN
S4 = - 5,75 kNS5 = -2,475 kNS6 = 7,5 kN
Lösung
Cul
Ein Fachwerk wird mit den äußeren Kräften F
1 , F
2 , F
3 ,
sowie FA und FB belastet.
Die Stabkräfte ("innere Kräfte") S1 bis S8 sollen mit Hilfe des Knotenpunkt-Verfah-rens ermittelt werden.
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