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Probleme der Dynamik und stochastischen Theorie dissipativer
Hamiltonscher SystemeETH Zürich 2006
Werner Ebeling mit Jörn Dunkel, Udo Erdmann
Lutz Schimansky-Geier und Sergey TriggerHumboldt-Universität Berlin
undA. Chetverikov,V. Makarov,M. Velarde
Uni Complutense Madrid
Skizze
• Als dissipative Hamiltonsysteme bezeichnet man in der Mechanik Systeme mit dissipativen Kräften.
• Bekannte Anwendungen: Selbsterregte Schwingungen/Wellen, Uhren, Motoren
• Neu: Brownsche Modelle der Schwarm-und Agentendynamik (Buch von FS)
• Hier: Neue Probleme & Lösungen für Modelle diss stochast Bewegung
Gliederung
• Grundlagen der Dynamik und Stochastik• Beispiele aus Physik, Biologie• Modelle dissipativer Bewegungen• Aktive Bew in Potmulden-exakte Lösungen,
Bifurkationsverhalten• Aktive Bew in komplexen Potentialen• Schwärme aktiver Teilchen mit WW,• Geladene aktiveTeilchen
1. Grundlagen der nichtlinearen dissipativen Mechanik
Von Helmholtz/Rayleigh/Barkhausen/ Van der Pol /Andronov zur Theorie der
Pionierarbeiten
• Helmholtz: “Die Lehre von den Tonempfindungen ...” (1863).
• Rayleigh: “Theory of Sound” (1883,1894).• Poincare: Mechanique celeste (1892)• Barkhausen: Dissertation NL Schwing (1907)• Van der Pol: Theory of triode vibration (1920)• Andronov: Cycles limites de Poincare (1929)• Andronov/Witt/Chaikin: Th.d.Schwingungen
(1939, 1959, 1965, 1966 )
Bewegungsgl. von Rayleigh
221
2
0
20
2
)(:Reibung negativeGeschw.der Funktion
const,Statt
, - v)(v
vv
xvdtd
γγγ
γγ
ωγ
+−=
===
−=
Rayleigh’s model of Brownian particles withenergy support -> nonlinear friction
Verallgemeinerung: kanonisch-diss Systeme
Thermodynamik offener Systeme:Barkhausen (1907), Prigogine (1947)
• import of high-valued energy and export of low-valued energy = conditio sine qua non.
• That means: We need export of entropy, to compensate the unavoidable production of entropy by irreversible processes !!!
Input Output
E-transformat.
S-production.entropy
energy
entropy
low .E
SYSTEM
2. Grundlagen der stochastischen Theorie
• Stratonovich: entwickelte ~ 1960 die statist Theorie der Rayleigh/van der Pol - Oszillatoren, Fokker-Planck-Gl.
• Klimontovich: Brownsche Teilchen mit aktiver Reibung, Lösungen der Fokker-Planck Gl., Fluktuationen, Korrelations-funktionen
Aktive Brownsche Teilchen mit nichtlinearer Reibung
221
2
2
)(
),(2Dv)(m1v
vv
tvdr
dUdtd
γγγ
ξγ
+−=
⋅+−=+
3. Beispiele dissipativer Dynamik ausPhysik und Biologie
2d-Staubplasmen: Melzer, Klingworth,Piel: PRL 2001
ISS: 3d-StaubplasmenFortov 2002
Dynamik biologischer Zellen
• For example granulocytes (white blood cells) can move actively on glass plates (experiments of Gruler, Schienbein et al.)
• Exist many other types of cell motion as taxis (with bias to a direction), as klinokinesis (bias of turning) etc.
• cells can show rotations, change of form and other complex motions ....
• This is important for their function !!!
Typische Formen der Bewegung höherer Organismen (nach ökologischen
Beobachtungen)• generalization of
many observations shows: Swarms have dynamical modes
• translational modes (rectilinear motion)
• rotational modes (swarm rotation)
• amoeba-mode (change of form)
swarms of fishes in Sancoussi
coherent rotation
Rotationsbewegungen von Fischen
birds above the Spree riverk
coherent translationAnts rotating around a center of motion
4. Modelle dissipativer Bewegung mitEnergiezufuhr
20
0
2
,)( :Näherungadiabat
),()(
:anzEnergiebil umgesetzt. undt gespeicherDepot im n,aufgenomme
qRatemit ngder Umgebuaus wirdEnergie
dvcqeqrq
tedvtceq(r)e(t)dtd
+==
−−=
Gespeicherte Energie Beschleun
energy depot
stochastic collisions
energy-input
stochastic collisions
acceleration
Bewegungsgleichungen für Brownsche Teilchen mit E-Zufuhr
Annahme eines Motors mit Tank e(t)
)(2D)( 0 tmvmvtmdedrdUv
dtdm ξγ ⋅+−=+
Active term(an engine)
passive friction noise
Adiabatic appr.
Löse die Fokker-Planck-Gl. für freie Teilchen
Kanonisch-diss Systeme (allgemein)
5. Aktive Bewegung inPotentialmulden
• Normal BM:• Boltzmann df• centered around the
minimum of the potential
• Active BM: force equil.
• Active BM: right + left limit cycle r_0
000
02
00
20
rv
rmr
vm
ω
ω
=
=
Dynamik ohne Rauschen
igurenLissajousf tekomplizier Für /
)sin()cos(
sGrenzzykluder Lösung exakte eineist Für
)(
)(
)(21),( Pottopf Betrachte
21
000
002
001
2021
22
222
12
111
222
21121
aavr
trxtrxmaa
vvmxavdtdm
vvmxavdtdm
xaxaxxU
≠=
+=+=
==
−=+
−=+
+=
ωψωψωω
γ
γ
the characteristic velocity v_0
= zero of friction = attractor of motion
the characteristic velocity v_0
= zero of friction = attractor of motion
Beobachte Grenzzyklen im Uhrzeiger und Anti-Uhrzeigersinn
Swaest1.gif
10000 aktive Teilchen um linear anzieh. Zentrum
Lösung der FPGl. f(H,L)
6.Aktive Bewegung in komplexen Potentialen
• 1. Studiere anharmonische, nicht radialsymmetrische Potentiale, stabile Lissajousfiguren, Arnold-Zungen
• aktive Bewegung auf Ratchets, geschlossene und offene stabile Trajektorien
• aktive Wellen auf Ketten, optische und solitonartige stabile Moden
Nicht radialsymm Pot: Frequ.verh n=2,3
Ratchets ................ ......
Nichtlineare Kette mit Antrieb
Angetriebene laufende Wellen: stabile dissipative Solitonen
7. Schwärme aktiver Teilchen mit Wechselwirkung
negative friction at small velocities
rotating cluster of Morse particles: bistability of L
Cluster of ABT with Morse-inter.
rotation in clock sense
rotation in counter clock sense
stochastic change of angular momentum
C25625CCluster
Cluster formation of ABT with Morse-int.
structures of amoeba kind show translations, rotationsand stochastic change of forms
Cluster aktiver Partikel mit WW
With Erdmann/Mikhailov (PRE 2005): translational mode
translation comes to stop --> rotational mode
With Erdmann/Mikhailov: noise induced phase transition:
with increasing noise occurs a transition from translation(no angular momentum) to rotation (bistable angular momentum)
small noise
big noise
8. Dynamik geladener Teilchen
Fkt aktive Reibung + Diffusionfür Staubplasmen (Trigger/Zagorodny 2003)
Study 1 or 2 charged particles with negative friction: limit cycles
9. Geladene Teilchen in WW mit getriebenen nichtlinearen Gitterschwingungen
(mit Velarde/Chetverikov/Makarov UC Madrid)
Bewegungsgl. Für die dissipativ getriebenen Ionen (oben) und “Elektronen” (unten)
kk vxdtd
= , (2.a)
( ) )(2 tDvFEexU
dtdv
m kkkk
k ξ++=∂∂
+ , (2.b)
( ) ( )( ) 22
,hxy
eexyU
kj
kkje
+−
−= , (6)
jj vydtd
= , (7.a)
)(202
2
tDvmeEyU
ydtdm jejee
j
eje ξγ +−−=∂∂
+ , (7.b)
Elektrisches Potential erzeugt durch solitäre Anregungen
Die “Elektronen” können durch Solitonen (lokale Kompress -> Pottopf) eingefangen werden
Electron. Strom (soliton-driven) und ion.Strom vgl. mit Drude Strom (nichtlin Char)
Einige Referenzen• Phys. Rev. Lett. 80, 5044-5047 (1998) w S&T• BioSystems 49, 5044-5047 (1999) “• Physica A 273, 294 (1999) “• Eur. Phys. Journal B 15,105-113 (2000)• Phys. Rev. E 64, 021110 (2001); 65, 061106
(2002); 67, 046403 (2003)• Schweitzer: Brownian agents ... (2003)• Phys.Rev.E (2004) with Dunkel/Trigger• Eur. Phys. J. (2005) with Chet&Velarde• Eb/Sokolov: Stat.TD+Stoch.,Singapore2005
10. Zusammenfassung • Neue Modelle der aktiven Brownschen
Bewegung zeigen sehr komplexes dynamisches Verhalten
• Typische Phänom der indiv Bew: Schwing., Rotationen, ...
• Typische kollektive Bew: Schwarmbildung, Clustering, kollektive Translationen, Rotationen, ....
• Neue Anw.: Physik, Biologie, sozio-ökon Systeme ?