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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 1
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 2
Ziele der Varianzanalyse• Vergleich von Mittelwerten• Warum kein t-Test?!• Einfaktorielle ANOVA mit zwei
Gruppen entspricht den t-Test!
strukturell bildhaft
5 12
7 7
3 8
4 10
6 13
M=5 M=10
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 3
Test bei unabhängigen Stichproben
1.455 .262 -3.727 8 .006 -5.0000 1.34164 -8.09383 -1.90617
-3.727 6.680 .008 -5.0000 1.34164 -8.20350 -1.79650
Varianzen sind gleich
Varianzen sind nichtgleich
MEMF Signifikanz
Levene-Test derVarianzgleichheit
T df Sig. (2-seitig)Mittlere
DifferenzStandardfehler der Differenz Untere Obere
95% Konfidenzintervallder Differenz
T-Test für die Mittelwertgleichheit
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable: MEM
62.500a 1 62.500 13.889 .006
562.500 1 562.500 125.000 .000
62.500 1 62.500 13.889 .006
36.000 8 4.500
661.000 10
98.500 9
QuelleKorrigiertes Modell
Konstanter Term
BED
Fehler
Gesamt
KorrigierteGesamtvariation
Quadratsumme vom Typ III df
Mittel derQuadrate F Signifikanz
R-Quadrat = .635 (korrigiertes R-Quadrat = .589)a.
Beide Tests sind äqui-valent, d.h. sie liefern den gleichen p-Wert.
Zudem gilt:F = t² = (-3.73)² = 13.89
ANOVA (F-Test):
t-Test:
Alpha-Fehler Kumulierung
05_anova1 4
Mehrere Gruppen:• Wenn drei Gruppen verglichen werden sollen, sind verschiedene
Vergleiche möglich: (1) struk vs. bild: t(8) = -3,73; p = .006(2) struk vs. emo: t(8) = -9.04; p = .000(3) bild vs. emo: t(8) = -1.69; p = .129
• Frage: Hängt die Erinnerungsleistung von der Lernbedingung ab?
Alpha-Fehler Kumulierung
05_anova1 5
Mehrere Gruppen:• Bei jedem der 3 Vergleiche besteht die Gefahr fälschlicherweise
einen signifikanten Effekt zu finden (α = 0.05).• Die Wahrscheinlichkeit, bei keinem der Vergleiche einen Fehler zu
machen beträgt nach dem Multiplikationstheorem:p(kein Fehler) = 0.95 0.95 0.95 = 0.86∙ ∙
• Die Wahrscheinlichkeit (mindestens) einen Fehler zu machen beträgt damit:
p(Fehler) = 1 - p(kein Fehler) = 1 – 0.86 = 0.14p(Fehler) = 1 - (1- α)³
Dies wird als α-Fehler-Kumulierung (bzw. α-Fehler-Inflation) bezeichnet.
Alpha-Fehler Kumulierung
05_anova1 6
Zwei-faktorielle Versuchspläne:
• Bei 6 Gruppen gibt es bereits 15 Einzelvergleiche…
strukturell bildhaft emotionalmännlich 5 12 12
7 7 113 8 124 10 126 13 13
weiblich 6 13 138 8 124 9 135 11 137 14 14
p(Fehler) = 1 - (.95)15 = 1 - .46 = .54
Alpha-Fehler Kumulierung
05_anova1 7
DefinitionDer kumulierte α-Fehler gibt die Wahrscheinlichkeit an, mindestens einen statistisch Bedeutsamen Gruppen-unterschied zu finden, obwohl in der Population alle Gruppen gleich sind.
Gruppen Vergleiche Kumulierter
α-Fehler3 3 0.1434 6 0.2645 10 0.4016 15 0.5377 21 0.6598 28 0.7629 36 0.842
10 45 0.90111 55 0.94012 66 0.96613 78 0.98214 91 0.99115 105 0.995
Alpha-Fehler Kumulierung
05_anova1 8
Bonferroni-Korrektur• Mit der Bonferoni-Korrektur wird das α-Fehler-Niveau für jeden
einzelnen Test soweit herabgesetzt, dass der kumulierte Fehler nur noch .05 beträgt.
• Beispiel: 6 Gruppen 15 Tests αadj =.05 / 15 = .003• Nachteil: Viele Gruppen sehr niedriges Alpha-Niveau bei den
einzelnen Test geringe Power (großer β-Fehler)• Besser: Berechnung einer Varianzanalyse (Ein Test für alle
Mittelwerte!)
Testsadj N
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Hypothesen der Varianzanalyse
05_anova1 10
Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche?
H0: Alle Mittelwerte sind gleich: μ1 = μ2 = … = μp μi = μj (für alle i,j)
bzw.H0: Alle Effekte sind Null
H0: α1 = α2 = … = αp = 0 αi = 0 (für alle i)bzw.
H0: Die Varianz der Effekte ist NullH0: σ²α = 0 oder σ²Effekt=0
Hypothesen der Varianzanalyse
05_anova1 11
Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche?
H1: Mindestens zwei Mittelwerte sind verschieden
μi ≠ μj (für mind. ein Paar i, j)
bzw.H1: Mindestens ein Effekt ist ungleich Null
αi ≠ 0 (für mindestens ein i) bzw.
H1: Varianz der Effekte ist größer als Null
σ²α > 0 oder σ²Effekt>0
globale (ungerichtete) Alternativhypothese
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 12
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Strukturgleichung
05_anova1 13
• Nach dem Allgemeinen Linearen Modell kann der Wert der AV für Vp i in der Bedingung j geschätzt werden als:
• Wobei gilt:
• Und folglich:
jijij eaay ,0
jijij eyyyy ,)(
yya
ya
jj 0
Strukturgleichung
05_anova1 14
Eigenschaften der Strukturgleichung• Es gilt wiederum die Bedingung der kleinsten Quadrate:
• Der Mittelwert der Fehler (ei,j) ist Null:
• Der Mittelwert der Effekte (aj) ist Null (ohne a0):
N
i i minimale1
2
0e
0a
Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung
05_anova1 15
AV FehlerEffekteDesignmatrix(Indikator-variablen)
3
0
2
3
2
1
1
2
2
0
5.2
5.2
5.7
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
13
10
8
7
12
6
4
3
7
5
Y = X ∙ a + e
Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung
05_anova1 16
ijij exaxaxaxay 33221100
1220
12321012 0101
eaa
eaaaay
Die Varianzanalyse verwendet jedoch nur 2 Variablen (k-1), um die Zugehörigkeit zu den 3 Gruppen zu kodieren.
Designmatrix: Dummykodierung
05_anova1 17
ijij exaxaxay 221100
130
1221013 001
ea
eaaay
Nachteil: Der Effekt für Gruppe 3 kann nicht mehr angegeben werden!
Designmatrix: Effektkodierung
05_anova1 18
ijij exaxaxay 221100
1330
13210
1321013 )1()1(1
eaa
eaaa
eaaay
213321 0 aaaaaa
Kodierung
05_anova1 19
• Je nachdem, ob die Dummycodierung oder die Effektkodierung gewählt wird, ergibt sich eine unterschiedliche Strukturgleichung für „letzte“ Gruppe.
Bei der Dummykodierung:yij=a0+eij
Annahme: kein Effekt in Gruppe j (Kontrollgruppe) Bei der Effektkodierung:
yij=a0+aj+eij
Annahme: Effekt in Gruppe j (z.B. Placebo)
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 20
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Quadratsummen
05_anova1 21
Quadratsummen werden zur Berechnung der Varianz verwendet:
1ˆ
1
2
2
n
yyn
ii
Quadratsumme
Freiheitsgrade
Quadratsummen
05_anova1 22
• Die Varianz entspricht der „mittleren Quadratsummen“ (Mean Sum of Squares, MS)
1ˆ
1
2
2
n
yy
df
SSMS
n
ii
„Quadratsumme“ (QS) oder „Sum of Squares“ (SS)
Freiheitsgrade oder „degrees of freedom“
Beispiel: Quadratsumme
05_anova1 23
strukturell bildhafty11=5 y12=12
y21=7 y22=7
y31=3 y32=8
y41=4 y42=10
y51=6 y52=13
M1=5 M2=10
G=7.5
n
i
p
jijtotal yySS
1 1
2
2
222
222
222
7.5)-(13
7.5)-(107.5)-(8 7.5)-(7
7.5)-(12 7.5)-(6 7.5)-(4
7.5)-(37.5)-(7 7.5)-(5
totalSS
98.50
30.25 6.25 0.25 0.25 20.25
2.25 12.25 20.25 0.25 6.25
totalSS
Beispiel: Freiheitsgrade der Quadratsumme
05_anova1 24
strukturell bildhafty11=5 y12=12
y21=7 y22=7
y31=3 y32=8
y41=4 y42=10
y51=6 y52=13
M1=5 M2=10
G=7.5
11 pnNdftotal
9
125
110
totaldf
Beispiel: Gesamtvarianz
05_anova1 25
strukturell bildhafty11=5 y12=12
y21=7 y22=7
y31=3 y32=8
y41=4 y42=10
y51=6 y52=13
M1=5 M2=10
G=7.5
94.109
5.98ˆ 2 total
1
ˆ
1 1
2
2
pn
yy
df
SS
n
i
p
jij
total
totaltotal
Quadratsummenzerlegung
05_anova1 26
• Gesamt-Quadratsumme (QStotal, SStotal)
• Quadratsumme innerhalb der Gruppen (QSinnerhalb, QSFehler, SSwithin , SSError)
• Quadratsumme zwischen den Gruppen (QSzwischen, QSEffekt, SSbetween, SSTreatment)
n
i
p
jij yy
1 1
2
n
i
p
jjij yy
1 1
2
p
jjj yyn
1
2
Beispiel: Varianz innerhalb der Gruppen
05_anova1 27
strukturell bildhaft
y11=5 y12=12
y21=7 y22=7
y31=3 y32=8
y41=4 y42=10
y51=6 y52=13
M1=5 M2=10
G=7.5
5.48
36ˆ 2 within
n
i
p
jjijwithin yySS
1 1
2
36
904 9 4 1 1 4 4 0
10)²-(13 10)²-(10 10)²-(8 10)²-(7 10)²-(12
5)²-(6 5)²-(4 5)²-(3 5)²-(7 5)²-(5
withinSS
8210 pNdfwithin
Beispiel: Varianz zwischen den Gruppen
05_anova1 28
strukturell bildhaft
y11=5 y12=12
y21=7 y22=7
y31=3 y32=8
y41=4 y42=10
y51=6 y52=13
M1=5 M2=10
G=7.5
50.621
50.62ˆ 2 between
p
jjjbetween yynSS
1
2
50.62
25.3125.31
(2.5)5 (-2.5)5
7.5)-(105 7.5)-(5522
22
betweenSS
1121 pdfbetween
Beispiel: Zwischenergebnisse
05_anova1 29
Gesamtvarianz 94.109
50.98ˆ 2
total
totaltotal df
SS
50.48
36ˆ 2
within
withinwithin df
SS
50.621
50.62ˆ 2
between
betweenbetween df
SS
Varianz innerhalb
Varianz zwischen
Beispiel: Zwischenergebnisse
05_anova1 30
Additivität• Quadratsummen sind additiv!
• Freiheitsgrade sind additiv!
• Varianzen sind nicht additiv!
innerhalbzwischentotal QSQSQS
innerhalbzwischentotal dfdfdf
222 ˆˆˆ innerhalbzwischentotal
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 31
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Erwartungswerte
05_anova1 32
Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“
• Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ1 = µ2 = 7.5 und identischen Populationsvarianzen von σ1 = σ1 = 2.25
• Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet
• Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert) der beiden Varianzen wird berechnet
Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt“
05_anova1 33
Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“• Varianz innerhalb der Gruppen:
– „Varianz innerhalb“ schätzt die Fehlervarianz
• Varianz zwischen den Gruppen:
– „Varianz zwischen“ schätzt Effekt- und Fehlervarianz– Unter der Nullhypothese ist Effektvarianz=0
25.2)ˆ( 222 FehlerinnerhalbinnerhalbE
25.2)ˆ( 222 FehlerEffektzwischen nE
Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt“
05_anova1 34
Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“
• Unter der Nullhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population
• Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt ebenfalls die Fehlervarianz in der Population
Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“
05_anova1 35
Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“• Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ1 = 5 und µ2 = 10 und
identischen Populationsvarianzen von σ1 = σ2 = 2.25• Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird
die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet• Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert)
der beiden Varianzen berechnet
Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“
05_anova1 36
Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“• Varianz innerhalb der Gruppen:
– „Varianz innerhalb“ schätzt die Fehlervarianz
• Varianz zwischen den Gruppen:
25.2)ˆ( 222 FehlerinnerhalbinnerhalbE
75.6425.25.125)ˆ( 222 FehlerEffektzwischen nE
5.12
1
5.7105.75
1
221
2
2
p
p
ii
Effekt
Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“
05_anova1 37
Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“
• Unter der Alternativhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population
• Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt die Summe aus Effekt- und Fehlervarianz in der Population
Gedankenexperimente: Zwischenergebnisse
05_anova1 38
Ergebnisse:
2zwischen̂ 2
Fehler2Effektnschätzt
2innerhalb̂ 2
Fehlerschätzt
2
22
2
2
schätztˆ
ˆ
Fehler
FehlerEffekt
innerhalb
zwischenn
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 39
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Der F-Test
05_anova1 40
Der F-Test vergleicht zwei Varianzen:
• Hypothesen:– H0: Varianzen gleich groß F ≤ 1– H1: Zählervarianz größer F > 1
• Wenn Femp > Fkrit wird die H0 verworfen
• Fkrit hängt ab von …– dfZähler – dfNenner
– α
2
1, Var
VarF
NennerZähler dfdf
Der F-Test
05_anova1 41
Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA
2
2
, ˆ
ˆ
innerhalb
zwischendfdf innerhalbzwischen
F
2
22
schätztFehler
FehlerEffektn
0),(: 20 Effektji oderjiallefürH
0),(: 21 Effektji oderjiPaareinfürH
Der F-Test
05_anova1 42
Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA
• Interpretation des F-Wertes:– F = 1 σbetween = 0 H0 annehmen– F > 1 σbetween > 0 H0 verwerfen
10
:2
2
2
2
2
22
0
Fehler
Fehler
Fehler
Fehler
Fehler
FehlerEffekt nnFH
1:2
22
1
Fehler
FehlerEffektnFH
Der F-Test
05_anova1 43
Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten:
• Signifikante Ergebnisse:• „Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 5.34;
p < .05.“• „Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 5.34;
p < .01).“• Nicht-signifikante Ergebnisse:
– „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 1.44; n.s.“
– „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 1.44; p =.25).“
– „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F < 1.“
Der F-Test
05_anova1 44
Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten:
• Die Angaben zum F-Test werden in der Regel am Ende des Satzes mit Komma getrennt (oder in Klammern) angegeben.
• Folgende Angaben müssen aufgeführt werden:– F-Wert– Zähler und Nennerfreiheitsgrade– p-Wert (exakt oder Signifikanzniveau)
• Für F und p werden immer exakt zwei Nachkommastellen angegeben• Ausnahmen:
– Bei nicht-signifikanten Ergebnissen darf die Angabe des p-Werts weggelassen werden. In diesem Fall wird einfach „n.s.“ für „nicht signifikant“ angehängt.
– Bei F<1 darf die Angabe der Freiheitsgrade und des p-Werts weggelassen werden.
Beispiel: F-Test
05_anova1 45
Beispiel: Durchführung des F-Tests• Gedächtnisexperiment
– drei Gruppen, je n=5• UV: Instruktion
– Konsonanten zählen – bildlich vorstellen– Emotionalität beurteilen
• AV: Anzahl erinnerter Wörter
Beispiel: F-Test
05_anova1 46
Schritte bei der Durchführung des F-Tests1. Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden2. Quadratsummen berechnen 3. Freiheitsgrade berechnen4. Mittlere Quadratsummen berechnen5. Empirischen F-Wert berechnen6. Vergleich mit kritischem F-Wert
1. Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden
05_anova1 47
55
25
5
643751
y
105
50
5
131087122
y
93
27
3
12105
y
strukturell bildhaft emotional
y11=5 y12=12 y13=12
y21=7 y22=7 y23=11
y31=3 y32=8 y33=12
y41=4 y42=10 y43=12
y51=6 y52=13 y53=13
51 y 102 y
00.9y
123 y
125
60
5
13121211123
y
2. Quadratsummen berechnen
05_anova1 48
strukturell bildhaft emotional
y11=5 y12=12 y13=12
y21=7 y22=7 y23=11
y31=3 y32=8 y33=12
y41=4 y42=10 y43=12
y51=6 y52=13 y53=13
51 y 102 y
00.9y
123 y
2
1
p
jjbetween yynSS
00.130
3515)4(5
)912(5)910(5)95(5222
222
betweenSS
Quadratsumme zwischen:
2. Quadratsummen berechnen
05_anova1 49
strukturell bildhaft emotional
y11=5 y12=12 y13=12
y21=7 y22=7 y23=11
y31=3 y32=8 y33=12
y41=4 y42=10 y43=12
y51=6 y52=13 y53=13
51 y 102 y
00.9y
123 y
p
j
n
ijijwithin yySS
1
2
1
00.38
100)1(0
30)2()3(2
1)1()2(20
22222
22222
22222
withinSS
Quadratsumme innerhalb:
3. Freiheitsgrade berechnen
05_anova1 50
strukturell bildhaft emotional
y11=5 y12=12 y13=12
y21=7 y22=7 y23=11
y31=3 y32=8 y33=12
y41=4 y42=10 y43=12
y51=6 y52=13 y53=13
51 y 102 y
00.9y
123 y
12
315
pNdfwithin
2
13
1
pdfbetween
4. Mittlere Quadratsummen
05_anova1 51
12
2
00.38
00.130
within
between
within
between
df
df
SS
SS00.65
2
00.130betweenMS
17.312
00.38withinMS
5. Empirischer F-Wert
05_anova1 52
00.65betweenMS
17.3withinMS
50.2017.3
00.6512,2 empF
6. Kritischer F-Wert
05_anova1 53
6. Kritischer F-Wert
05_anova1 54
50.2012,2 empF
89.312,2 kritF
Interpretation: Die H0 wird verworfen
Die H1 wird angenommen
Es gibt eine Effektvarianz
Die Gruppen unterscheiden sich voneinander
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
05_anova1 55
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
anova und glm in SPSS
05_anova1 56
anova in SPSS
05_anova1 57
Syntax:oneway wörter by bedingung.
anova in SPSS
05_anova1 58
ONEWAY ANOVA wörter
Quadrat summe df
Mittel der Quadrate F Signifikanz
Zwischen den Gruppen
130,000 2 65,000 20,526 ,000
Innerhalb der Gruppen
38,000 12 3,167
Gesamt 168,000 14
glm in SPSS
05_anova1 59
Syntax:unianova wörter by bedingung.
oder
glm wörter by bedingung.
glm in SPSS
05_anova1 60
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable:wörter
Quelle
Quadratsumme vom
Typ III df Mittel der Quadrate F Signifikanz
Korrigiertes Modell 130,000a 2 65,000 20,526 ,000
Konstanter Term 1215,000 1 1215,000 383,684 ,000
bedingung 130,000 2 65,000 20,526 ,000
Fehler 38,000 12 3,167
Gesamt 1383,000 15
Korrigierte Gesamtvariation 168,000 14
a. R-Quadrat = .774 (korrigiertes R-Quadrat = .736)
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Voraussetzungen der Varianzanalyse
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Voraussetzungen der Varianzanalyse• Intervallskalierte, normalverteilte abhängige Variable (AV)
Berechnung von Varianzen• Mindestens 20 Elemente pro Gruppe• Ähnlich Gruppengrößen in den Zellen
• Varianzhomogenität
5.1min
max n
n
Prüfung der Varianzhomogenität
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Zur Überprüfung der Varianzhomogenität stehen verschiedene Tests zur Verfügung:
a) Barlett-Test (sehr empfindlich gegenüber der Verletzungen der Normalverteilung)
b) Levene-Test (relativ unempfindlich gegenüber Verletzungen der Normalverteilung)
c) Fmax-Statistik (Hartley Test)(Nur bei gleichen Gruppen-Größen)
Der Levene-Test
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• Der Levene-Test ist eine Varianzanalyse über die Abweichung der individuellen Messwerte vom Gruppenmittelwert:
• Wird der Levene-Test signifikant (p < .05), dann ist die Annahme der Varianzgleichheit verletzt.
In diesem Fall sollte (streng genommen) keine Varianzanalyse verwendet werden.
H0:
jijij yyd
jddd ...21
Der Levene-Test in SPSS
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Test der Homogenität der Varianzen
wörter
Levene-Statistik df1 df2 Signifikanz
3,840 2 12 ,051 p >.05 ANOVA darf verwendet werden!
Voraussetzungen der Varianzanalyse
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Die Varianzanalyse ist robust!• Bei Verletzungen der Annahmen resultieren meistens trotzdem
sinnvolle Ergebnisse (Insbesondere bei großen Stichproben).• Wenn nur eine der Annahmen verletzt ist, können die Ergebnisse
einer ANOVA dennoch in aller Regel verwendet werden.– Allerdings muss dann berichtet werden, dass die Annahme verletzt ist,
damit der Leser weiß, das die Ergebnisse mit Vorsicht zu interpretieren sind!
• Wenn allerding mehrere Voraussetzungen verletzt sind, sollte keine ANOVA mehr verwendet werden.
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)1. Ziele der Varianzanalyse2. Formale Hypothesen3. Strukturgleichung und Kodierung4. Quadratsummenzerlegung5. Erwartungswerte6. F-Test7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse9. Effektstärke
Berechnung der Effektstärke
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Effektstäre• Wenn eine ANOVA ein signifikantes Ergebnis hat, stellt sich die
Frage nach der Effektstärke.• Formulierungen der H1:
– „Es besteht ein statistisch bedeutsamer Zusammenhang zwischen UV und AV– „Die UV erklärt einen bedeutsamen Anteil der Varianz der AV“
Der Anteil aufgeklärter Varianz (R²) kann als Maß für die Effektstärke interpretiert werden.- Der Anteil aufgeklärter Varianz wird bei der ANOVA als (partielles) η² (Eta²)
bezeichnet.
Berechnung der Effektstärke
05_anova1 69
)()1(
)1(²
pNpF
pF
total
between
SS
SSR ²²
Eta² kann auch aus dem F-Wert berechnet werden:
77.0168
130²
77.006.53
06.41
)315()13(53.20
)13(53.20²
Effektstärke in SPSS
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Effektstärke in SPSS
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Tests der Zwischensubjekteffekte Abhängige Variable:wörter
Quelle
Quadratsumme vom
Typ III df Mittel der Quadrate F
Signifi kanz
Partielles Eta-Quadrat
Korrigiertes Modell 130,000a 2 65,000 20,526 ,000 ,774
Konstanter Term 1215,000 1 1215,000 383,684 ,000 ,970
bedingung 130,000 2 65,000 20,526 ,000 ,774
Fehler 38,000 12 3,167 Gesamt 1383,000 15 Korrigierte Gesamtvariation
168,000 14
Zusammenfassung ANOVA
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1. Warum Varianzanalyse?• Alphafehlerkummulierung• Bonferoni-Korrektur
2. Hypothesen• H0: Alle Mittelwerte sind gleich• H1: Nicht alle Mittelwerte sind gleich
3. Strukturgleichung und Kodierung• Y = X a + e∙• Dummy vs. Effektcodierung
Zusammenfassung ANOVA
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4. Quadratsummenzerlegung
5. Erwartungswerte• Unter der H0: σ²between = σ²within
• Unter der H1: σ²between > σ²within
n
i
p
jijtotal yySS
1 1
2
n
i
p
jjijwithin yySS
1 1
2
p
jjbetween yynSS
1
2
Zusammenfassung ANOVA
6. F-Test:
7. anova und glm in SPSS8. Voraussetzungen der Varianzanalyse
• Intervallskalenniveau, Normalverteilung• Ni ≥ 20• Nmax / Nmin < 1.5• Varianzhomogenität
9. Effektstärke (η²) = Aufgeklärte Varianz (R²)
within
betweenNZemp MS
MSdfdfF ,
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